Examkin

Cebir

424 soru

Soru 341Soru →

Bir kamu kurumunun döner sermaye işletmesi, yıl sonunda elde edilen kâr payını üç farklı birimdeki (A, B ve C) projelere dağıtmaktadır. Dağıtım planı ile ilgili şu bilgiler mevcuttur:

* Plan 1: Dağıtım; A birimi ile 22 doğru, B birimi ile 33 ters ve C birimi ile 44 doğru orantılı olacak şekilde yapılırsa,
* Plan 2: Dağıtım; A birimi ile 22 ters, B birimi ile 33 doğru ve C birimi ile 44 ters orantılı olacak şekilde yapılırsa,

A birimine düşen payın, Plan 2'de Plan 1'e göre 520520 TL daha az olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, dağıtılan toplam kâr payı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2850

Cevap

Toplam kâr payı 2850 TL'dir.
Soruda aynı toplam paranın iki farklı senaryoya göre dağıtımı sorulmaktadır. Birinci durumda A, B, C sayıları sırasıyla 6, 1 ve 12 ile orantılıdır (Toplam 19 pay). İkinci durumda ise 2, 12 ve 1 ile orantılıdır (Toplam 15 pay). Toplam parayı 19 ve 15'in ortak katı olan 285x olarak alırsak; birinci durumda A'nın payı 90x, ikinci durumda 38x olur. Aradaki fark 52x = 520 TL olduğundan x=10 bulunur. Toplam para 285x = 2850 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Plan 1 için oranları kur ve ortak katı belirle.
A:B:C = 2k : k/3 : 4k. Paydadan kurtarmak için 3 ile genişletirsek: A=6, B=1, C=12 birim. Toplam pay = 19 birim.
Doğru orantı çarpım, ters orantı bölüm durumundadır; kesirlerden kurtulmak işlemi kolaylaştırır.
2
Plan 2 için oranları kur ve ortak katı belirle.
A:B:C = m/2 : 3m : m/4. Paydadan kurtarmak için 4 ile genişletirsek: A=2, B=12, C=1 birim. Toplam pay = 15 birim.
İkinci durumda orantı türleri değiştiği için yeni birim katsayıları bulunur.
3
Toplam para miktarını eşitlemek için OKEK(19, 15) hesapla.
OKEK(19, 15) = 285. Toplam paraya 285x diyelim.
Her iki planda da dağıtılan toplam para aynıdır, bu nedenle ortak bir kat üzerinden gidilmelidir.
4
Her iki plan için A biriminin payını 285x cinsinden hesapla.
Plan 1'de A'nın payı: (6/19) * 285x = 90x. Plan 2'de A'nın payı: (2/15) * 285x = 38x.
A'nın payının toplam içindeki oranını bulmak gerekir.
5
Aradaki farkı kullanarak x değerini ve toplam parayı bul.
Fark = 90x - 38x = 52x. Denklem: 52x = 520 => x = 10. Toplam para = 285x = 285 * 10 = 2850.
Soruda verilen 520 TL'lik fark, birim cinsinden farka eşitlenerek bilinmeyen çözülür.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı ve Paylaşım Problemleri

İpuçları

1
Her iki durumda da dağıtılan toplam para miktarı değişmemektedir. İki durum için de toplam payı temsil eden bir 'K' sayısı belirlemelisin.
2
Birinci durumda paylar 6, 1, 12 ile orantılı (Toplam 19k); ikinci durumda 2, 12, 1 ile orantılıdır (Toplam 15m). 19k = 15m eşitliğini sağlamalısın.
3
Toplam paraya 19 ve 15'in en küçük ortak katı olan 285x de. Şimdi A'nın her iki durumda alacağı payı x cinsinden bulup farkı 520'ye eşitle.

Daha Fazla Pratik

B benzeri bir soruda, B kişisinin payının nasıl değiştiğini soran bir alıştırma çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Oran sabiti kullanmadan kesirlerle çözüm: Toplam paraya T diyelim. A'nın ilk payı (6/19)T, ikinci payı (2/15)T. Denklem: (6/19 - 2/15)T = 520.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 342Soru →
x<0x < 0 olmak üzere,
(−x)6⋅(−x2)−3⋅(−x)−1(−x3)2⋅(−x)−5 \frac{(-x)^{6} \cdot (-x^2)^{-3} \cdot (-x)^{-1}}{(-x^3)^2 \cdot (-x)^{-5}}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −x−2-x^{-2}

Cevap

−x−2-x^{-2}
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; pay kısmı x−1x^{-1}, payda kısmı −x-x olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü −x−2-x^{-2} sonucunu verir. Negatif xx değeri için bu sonuç negatif bir reel sayıya karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir üslü ifadeyi işaret ve taban kurallarına göre sadeleştir.
Pay: (−x)6=x6(-x)^6 = x^6, (−x2)−3=−x−6(-x^2)^{-3} = -x^{-6}, (−x)−1=−x−1(-x)^{-1} = -x^{-1}. Payda: (−x3)2=x6(-x^3)^2 = x^6, (−x)−5=−x−5(-x)^{-5} = -x^{-5}.
Çift kuvvetler negatifi pozitif yapar, tek kuvvetler negatifi korur. Parantez dışındaki üsler işareti etkiler.
2
Paydaki ifadeleri çarp.
x6⋅(−x−6)⋅(−x−1)=x6−6−1=x−1x^6 \cdot (-x^{-6}) \cdot (-x^{-1}) = x^{6-6-1} = x^{-1}
Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır. (−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1 olduğu için katsayı pozitiftir.
3
Paydadaki ifadeleri çarp.
x6⋅(−x−5)=−x6−5=−x1=−xx^6 \cdot (-x^{-5}) = -x^{6-5} = -x^1 = -x
Tabanlar aynı, üsler toplanır. İşaret negatiftir.
4
Payı paydaya böl.
x−1−x1=−x−1−1=−x−2\frac{x^{-1}}{-x^1} = -x^{-1-1} = -x^{-2}
Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda negatif taban, çift/tek kuvvet ve parantez kuralları.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki işaretleri ve kuvvetlerin tek/çift olma durumunu inceleyerek her bir terimi xx'in kuvveti şeklinde yazın.
2
(−x)6=x6(-x)^6 = x^6 olurken, (−x2)−3=−x−6(-x^2)^{-3} = -x^{-6} olduğuna dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Negatif üslerin kesirli ifadeye dönüşümü ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 343Soru →
aa bir tam sayı olmak üzere,
x(2a−1)=7a+1 x(2a - 1) = 7a + 1
eşitliğini sağlayan xx değeri bir tam sayı olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a'nın alabileceği değerlerin toplamı 3'tür.
Verilen denklemde xx yalnız bırakıldığında x=7a+12a−1x = \frac{7a+1}{2a-1} elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için payın paydaya bölünmesi gerekir. İşlemi kolaylaştırmak adına ifade 2 ile genişletilip polimom bölmesi yapıldığında 2x=7+92a−12x = 7 + \frac{9}{2a-1} bulunur. Buradan 2a−12a-1'in 9'un tam sayı bölenleri (−9,−3,−1,1,3,9-9, -3, -1, 1, 3, 9) olması gerektiği görülür. Bu denklemler çözüldüğünde aa değerleri −4,−1,0,1,2,5-4, -1, 0, 1, 2, 5 olarak bulunur ve toplamları 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
x değişkenini a cinsinden ifade et
x=7a+12a−1 x = \frac{7a + 1}{2a - 1}
Denklem çözümünde istenen değişken yalnız bırakılarak analize hazırlanır.
2
Kesri tam sayılı kesre dönüştür veya payı paydanın katı şeklinde yaz (2 ile genişleterek bölmeyi kolaylaştır)
2x=14a+22a−1=7(2a−1)+92a−1=7+92a−1 2x = \frac{14a + 2}{2a - 1} = \frac{7(2a - 1) + 9}{2a - 1} = 7 + \frac{9}{2a - 1}
Değişkeni paydadan kurtararak tam sayı olma koşulunu (bölen analizi) daha kolay incelemek için.
3
Tam sayı olma koşulunu sağlayan bölenleri belirle
9 sayısının tam sayı bölenleri: {−9,−3,−1,1,3,9}\{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}. 2a−12a-1 bu değerlere eşit olmalıdır.
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir.
4
Her bölen için a değerini hesapla
2a−1=−9⇒a=−42a-1 = -9 \Rightarrow a=-4
2a−1=−3⇒a=−12a-1 = -3 \Rightarrow a=-1
2a−1=−1⇒a=02a-1 = -1 \Rightarrow a=0
2a−1=1⇒a=12a-1 = 1 \Rightarrow a=1
2a−1=3⇒a=22a-1 = 3 \Rightarrow a=2
2a−1=9⇒a=52a-1 = 9 \Rightarrow a=5
Olası tüm a tam sayı değerlerini bulmak için.
5
Bulunan değerleri topla
(−4)+(−1)+0+1+2+5=3(-4) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 5 = 3
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parametreli denklemlerde tam sayı çözüm analizi ve polinom bölmesi.

İpuçları

1
Önce denklemde x'i yalnız bırakın ve a cinsinden bir kesir elde edin.
2
Kesirli ifadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. Payı paydaya benzeterek (polinom bölmesi yaparak) ifadeyi tam sayı ve basit kesir toplamı şeklinde yazmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yerine 7a+1=k(2a−1)7a+1 = k(2a-1) diyerek a(7−2k)=−k−1a(7-2k) = -k-1 şeklinde aa'yı çekip kk değerlerini analiz etmek mümkündür ancak daha karmaşıktır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 344Soru →

AA ve BB birer küme olmak üzere,

s(A∖B)=s(A∩B)+3s(B∖A)=2⋅s(A∩B)s(A∪B)=19\begin{aligned} s(A \setminus B) &= s(A \cap B) + 3 \\ s(B \setminus A) &= 2 \cdot s(A \cap B) \\ s(A \cup B) &= 19 \end{aligned}

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 11'dir.
Verilen bağıntılar kullanılarak kesişim kümesine xx dendiğinde, AA fark BB kümesi x+3x+3, BB fark AA kümesi ise 2x2x olur. Bu üç bölgenin toplamı birleşim kümesini (19) verdiğinden 4x+3=194x+3=19 denkleminden x=4x=4 bulunur. AA kümesi ise (x+3)+x(x+3) + x toplamından 7+4=117+4=11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısına bir değişken atayın.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x olsun.
Diğer tüm bölgeler kesişim kümesine bağlı olarak tanımlanmıştır.
2
Diğer bölgeleri xx cinsinden ifade edin.
s(A∖B)=x+3s(A \setminus B) = x + 3 ve s(B∖A)=2xs(B \setminus A) = 2x.
Soruda verilen eşitlikler kullanılmıştır.
3
Birleşim formülünü kullanarak denklem kurun.
(x+3)+x+2x=19  ⟹  4x+3=19(x + 3) + x + 2x = 19 \implies 4x + 3 = 19.
Birleşim kümesi, ayrık olan A∖BA \setminus B, A∩BA \cap B ve B∖AB \setminus A bölgelerinin toplamıdır.
4
Denklemi çözerek xx değerini bulun.
4x=16  ⟹  x=44x = 16 \implies x = 4.
Kesişim kümesinin eleman sayısı belirlenmiştir.
5
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=(x+3)+x=7+4=11s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = (x + 3) + x = 7 + 4 = 11.
A kümesi, kendisine ait fark bölgesi ile kesişim bölgesinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Küme işlemlerinde bölgelerin ayrık olarak incelenmesi ve birleşim prensibi.

İpuçları

1
Venn şeması çizerek bölgeleri harflerle veya değişkenlerle isimlendirin.
2
Kesişim bölgesine xx derseniz, diğer bölgeleri bu xx türünden yazıp birleşimin toplamına eşitleyebilirsiniz.
3
AA kümesinin eleman sayısının s(A∖B)+s(A∩B)s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, eleman sayıları yerine alt küme sayıları verildiğinde nasıl çözeceğinizi düşünün.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 345Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı, bir kırsal kalkınma projesi kapsamında AA, BB ve CC köylerindeki kooperatiflere tohum desteği sağlayacaktır. Dağıtılacak tohum miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- AA kooperatifine verilen tohum miktarının BB kooperatifine verilen tohum miktarına oranı 34\frac{3}{4}'tür.
- BB kooperatifine verilen tohum miktarının CC kooperatifine verilen tohum miktarına oranı ise 25\frac{2}{5}'tir.
- CC kooperatifine sağlanan tohum desteği, AA kooperatifine sağlanandan 28002800 kg daha fazladır.

Buna göre, bu üç kooperatife sağlanan toplam tohum desteği kaç kilogramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6800

Cevap

Üç kooperatife sağlanan toplam tohum desteği 6800 kg'dır.
Verilen iki ayrı oranı (A/BA/B ve B/CB/C) ortak olan BB terimi üzerinden birleştirdiğimizde, BB her iki durumda da 44 birimi temsil edecek şekilde genişletilir. Bu durumda A=3kA=3k, B=4kB=4k ve C=10kC=10k olur. CC ve AA arasındaki 7k7k birimlik fark 28002800 kg'a karşılık geldiği için k=400k=400 bulunur. Toplam miktar olan 17k17k ise 68006800 kg sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları ortak olan BB değişkeni üzerinden birleştirmek.
A/B=3/4A/B = 3/4 ve B/C=2/5=4/10B/C = 2/5 = 4/10 olduğundan A:B:C=3:4:10A:B:C = 3:4:10 oranı elde edilir.
Miktarları tek bir bilinmeyen (kk) cinsinden ifade edebilmek için ortak terimin oranlardaki karşılıkları eşitlenmelidir.
2
Kooperatif miktarlarını kk cinsinden tanımlamak.
A=3kA = 3k, B=4kB = 4k ve C=10kC = 10k olarak belirlenir.
Orantı sabitini kullanarak cebirsel bir denklem kurmak.
3
Soruda verilen fark bilgisini kullanarak kk değerini hesaplamak.
C−A=10k−3k=7kC - A = 10k - 3k = 7k ve 7k=28007k = 2800 ise k=400k = 400 bulunur.
Verilen sayısal fark, değişkenler arasındaki farka eşitlenerek orantı sabiti bulunur.
4
Toplam tohum miktarını hesaplamak.
Toplam =3k+4k+10k=17k= 3k + 4k + 10k = 17k ve 17×400=680017 \times 400 = 6800 kg elde edilir.
İstenen değer olan tüm kooperatiflerin toplamı, orantı sabiti ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki farklı orantıdaki ortak terimi eşitleyerek birleşik orantı kurma.

İpuçları

1
Her iki oranda da ortak olan değişken B'dir. B'nin her iki orantıdaki sayısal karşılıklarını eşitlemeyi deneyin.
2
B, ilk oranda 4, ikincisinde 2'dir. İkinci oranı 2 ile genişleterek B'yi her iki tarafta da 4 yapabilirsiniz.
3
B birleştirildiğinde A=3k, B=4k ve C=10k olur. C ve A arasındaki farkın 7k olduğunu görüp bu farkı 2800'e eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla ters orantılı paylaşımları içeren oran birleştirme soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 346Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, altyapı iyileştirme çalışmaları kapsamında ayırdığı toplam 132.000 TL'lik ödeneği; Çınar, Defne ve Erguvan mahallelerine, bu mahallelerin ilçe merkezine olan uzaklıkları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştıracaktır.

Mahallelerin ilçe merkezine olan uzaklıkları sırasıyla 4 km, 6 km ve 12 km olduğuna göre, bu paylaştırma sonucunda en az ödenek alan mahallenin alacağı miktar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22.000

Cevap

En az ödenek alan mahalle 22.000 TL alır.
Ters orantı mantığına göre, uzaklık arttıkça alınan pay azalır. 4, 6 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. Bu sayıları 12'de eşitlemek için gereken katsayılar sırasıyla 3, 2 ve 1'dir. Toplam 6 birimlik pay 132.000 TL ise, 1 birimlik pay (en az alan) 22.000 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantı kurallarını uygula
Ödenek miktarları uzaklıklarla (4, 6, 12) ters orantılıdır. Paylar sırasıyla k/4, k/6 ve k/12 olacaktır.
Ters orantıda çoklukların çarpımı sabittir (a⋅x=ka \cdot x = k).
2
Paydaları eşitle ve orantı katsayılarını tam sayıya çevir
Paydalar (4, 6, 12) 12'de eşitlenir. Buna göre paylar: Çınar = 3k, Defne = 2k, Erguvan = k olur.
Kesirli ifadelerle işlem yapmaktansa tam sayı katsayıları kullanmak işlemi kolaylaştırır.
3
Toplam pay sayısını bul ve birim değeri hesapla
Toplam pay = 3k + 2k + k = 6k. Denklem: 6k = 132.000 TL ⇒\Rightarrow k = 22.000 TL.
Toplam bütçe, toplam pay sayısına bölünerek birim pay (k) bulunur.
4
İstenen değeri (en az ödenek) hesapla
En az ödenek, en düşük katsayıya (k) sahip olan Erguvan mahallesinindir: 1 ×\times 22.000 = 22.000 TL.
Soru en az ödenek miktarını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Ters orantıda, değişkenlerden biri artarken diğeri aynı oranda azalır. a,b,ca, b, c sayıları ile ters orantılı çokluklar k/a,k/b,k/ck/a, k/b, k/c şeklinde ifade edilir.

İpuçları

1
Ters orantı problemlerinde, verilen sayıların çarpımı sabit bir sayıya eşittir. Kesirlerle uğraşmamak için verilen sayıların (4, 6, 12) EKOK'unu bulun.
2
4, 6 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı 12'dir. Buna göre payları; 4⋅a=12k4 \cdot a = 12k, 6⋅b=12k6 \cdot b = 12k ve 12⋅c=12k12 \cdot c = 12k eşitliğini sağlayacak şekilde belirleyebilirsiniz.
3
Paylar sırasıyla 3k, 2k ve 1k olacaktır. Toplam pay (6k) 132.000 TL'ye eşittir. Buradan k değerini bularak en küçük payı (1k) hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik yol: Uzaklıklar 4, 6, 12'dir. 12 km, 4 km'nin 3 katı olduğuna göre; 4 km uzaklıktaki yer, 12 km uzaklıktakinin 3 katı ödenek alır (Ters Orantı). Benzer şekilde 6 km'deki, 12 km'dekinin 2 katı alır. Paylar direkt 3, 2, 1 şeklinde yazılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 347Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için,
a2−b2−4b−4a+b+2 \frac{a^2 - b^2 - 4b - 4}{a + b + 2}
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a - b - 2

Cevap

İfadenin en sade hali a−b−2a - b - 2 olur.
Verilen rasyonel ifadede pay kısmı, terim ekleyip çıkarma veya gruplandırma yöntemiyle çarpanlarına ayrılabilir. a2−b2−4b−4a^2 - b^2 - 4b - 4 ifadesinde son üç terim eksi parantezine alındığında a2−(b2+4b+4)a^2 - (b^2 + 4b + 4) elde edilir. Bu da a2−(b+2)2a^2 - (b+2)^2 demektir. İki kare farkı özdeşliği uygulanarak pay (a−b−2)(a+b+2)(a - b - 2)(a + b + 2) şeklinde yazılır. Paydadaki a+b+2a + b + 2 ile sadeleştirme yapıldığında geriye a−b−2a - b - 2 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki ifadede eksi parantezine alarak tam kareyi ortaya çıkar.
a2−(b2+4b+4)a^2 - (b^2 + 4b + 4)
Terimlerin gruplandırılarak çarpanlara ayrılması gerekmektedir.
2
Parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yaz.
a2−(b+2)2a^2 - (b + 2)^2
b2+4b+4b^2 + 4b + 4 ifadesi (b+2)(b+2)'nin karesidir.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayır.
(a−(b+2))⋅(a+(b+2))=(a−b−2)(a+b+2)(a - (b + 2)) \cdot (a + (b + 2)) = (a - b - 2)(a + b + 2)
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliği uygulanır.
4
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştir.
(a−b−2)(a+b+2)a+b+2=a−b−2\frac{(a - b - 2)(a + b + 2)}{a + b + 2} = a - b - 2
Pay ve paydadaki (a+b+2)(a + b + 2) çarpanları birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Tam Kare ve İki Kare Farkı Özdeşlikleri
Soru 348Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋆\star işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a⋆b=2a+3ba \star b = 2a + 3b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4⋆24 \star 2 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İşlem kuralına göre 4⋆24 \star 2 ifadesinin sonucu 14'tür.
Verilen kuralda a⋆ba \star b ifadesinde aa yerine 4, bb yerine 2 yazılmalıdır. Bu durumda 2(4)+3(2)=8+6=142(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri belirleme
a=4a = 4 ve b=2b = 2
a⋆ba \star b kuralında ilk sayı aa, ikinci sayı bb yerine yazılır.
2
Kuralda yerine yazma
2(4)+3(2)2(4) + 3(2)
Tanımlanan a⋆b=2a+3ba \star b = 2a + 3b kuralında değişkenler yerleştirilir.
3
Çarpma işlemlerini yapma
8+68 + 6
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar (2×4=82 \times 4 = 8 ve 3×2=63 \times 2 = 6) yapılır.
4
Sonucu bulma
1414
Elde edilen sonuçlar toplanarak nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler: Verilen sembolün (yıldız, üçgen vb.) sağındaki ve solundaki sayıların, kuraldaki karşılık gelen değişkenlerin yerine yazılması.

İpuçları

1
Bu soruda ⋆\star sembolü size bir kural veriyor. aa harfinin olduğu yere ilk sayıyı, bb harfinin olduğu yere ikinci sayıyı yazmalısınız.
2
4⋆24 \star 2 işleminde a=4a=4 ve b=2b=2 değerlerini 2a+3b2a + 3b formülünde yerlerine koymayı deneyin.
3
2×42 \times 4 ve 3×23 \times 2 sonuçlarını bulup topladığınızda doğru cevaba ulaşacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin karelerini veya mutlak değerlerini içeren daha karmaşık işlem sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 349Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0
olduğunu göre, x6−1x3\frac{x^6 - 1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

İfadenin değeri 76'dır.
Verilen denklem xx ile bölünerek x−1/x=4x - 1/x = 4 bulunur. İstenen ifade x3−1/x3x^3 - 1/x^3 şeklinde sadeleşir. İki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)) kullanılarak 43+3(4)=64+12=764^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölün (x ≠\neq 0 olduğu açıktır).
x−4−1x=0  ⟹  x−1x=4x - 4 - \frac{1}{x} = 0 \implies x - \frac{1}{x} = 4
Sorulan ifadeyi hesaplamak için x−1xx - \frac{1}{x} değerine ihtiyacımız vardır.
2
Sorulan x6−1x3\frac{x^6 - 1}{x^3} ifadesini terimlerine ayırarak sadeleştirin.
x6x3−1x3=x3−1x3\frac{x^6}{x^3} - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3}
İfadeyi iki küp farkı özdeşliği formuna getirmek çözümü kolaylaştırır.
3
İki küp farkı özdeşliğini (a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)) kullanarak değeri hesaplayın.
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})
=43+3⋅1⋅4= 4^3 + 3 \cdot 1 \cdot 4
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 değeri yerine yazılır.
4
Son aritmetik işlemleri yapın.
64+12=7664 + 12 = 76
Sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki Küp Farkı Özdeşliği ve Rasyonel İfade Sadeleştirme

İpuçları

1
Sorulan ifadeyi x6x3−1x3\frac{x^6}{x^3} - \frac{1}{x^3} şeklinde ayırarak sadeleştirin.
2
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölerek x−1xx - \frac{1}{x} değerini bulun.
3
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

x değerini kök formülüyle bulup (x=2+5x = 2 + \sqrt{5}) yerine koymak da mümkündür ancak bu işlem çok daha uzun sürer ve hata riski yüksektir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 350Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

I. x2<xx^2 < x
II. x⋅y>yx \cdot y > y
III. y⋅z>zy \cdot z > z
IV. 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z}

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x + y > z

Cevap

x ile y'nin toplamının z'den büyük olduğu ifadesi daima doğrudur.
Verilen öncüllerden sayıların z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1 şeklinde sıralandığı bulunur. Doğru seçenek x+y>zx + y > z ifadesidir. yy sayısı zz sayısından büyüktür (y>zy > z). Eşitsizliğin sol tarafına pozitif bir sayı olan xx eklendiğinde büyüklük daha da artar (x+y>y>zx + y > y > z). Dolayısıyla bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncül olan x2<xx^2 < x eşitsizliğini analiz et.
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır. Yani 0<x<10 < x < 1.
Karesi kendinden küçük olan tek sayı aralığı (0,1)(0,1) aralığıdır.
2
İkinci öncül olan x⋅y>yx \cdot y > y eşitsizliğini düzenle.
x⋅y−y>0⇒y(x−1)>0x \cdot y - y > 0 \Rightarrow y(x - 1) > 0 elde edilir. x<1x < 1 olduğundan (x−1)(x-1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy negatif olmalıdır (y<0y < 0).
İşaret incelemesi yaparak y'nin aralığını belirlemek gerekir.
3
Üçüncü öncül olan y⋅z>zy \cdot z > z eşitsizliğini düzenle.
y⋅z−z>0⇒z(y−1)>0y \cdot z - z > 0 \Rightarrow z(y - 1) > 0 elde edilir. y<0y < 0 olduğundan (y−1)(y-1) kesinlikle negatiftir. Çarpımın pozitif olması için zz negatif olmalıdır (z<0z < 0).
Benzer işaret incelemesi ile z'nin aralığını belirlemek gerekir.
4
Dördüncü öncül olan 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z} eşitsizliğini yorumla.
yy ve zz negatif sayılardır. Negatif sayılarda çarpmaya göre tersi küçük olan sayı aslında daha büyüktür (Sıfıra daha yakındır). Dolayısıyla y>zy > z sonucuna ulaşılır.
Negatif sayılarda sıralama tersine döner.
5
Elde edilen tüm bilgileri sayı doğrusunda sırala ve seçenekleri değerlendir.
Sıralama: z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1. Bu durumda x>0x > 0 ve y>zy > z olduğu için, xx eklenince (x+yx+y), sonuç zz'den kesinlikle büyük olur (x+y>y>zx+y > y > z).
Doğru seçeneği bulmak için sentez yapılması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerde Sıralama ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
Önce x2<xx^2 < x eşitsizliğinden xx'in hangi aralıkta olduğunu belirleyin.
2
xx sayısının (0,1)(0, 1) aralığında olduğunu bulduktan sonra, diğer eşitsizliklerdeki paranteze alma işlemlerini (örn. y(x−1)>0y(x-1)>0) yaparak işaretleri inceleyin.
3
Negatif sayılar olan yy ve zz için 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z} eşitsizliği y>zy > z anlamına gelir. Sıralamanızı z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1 şeklinde kurun.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek sağlama yapılabilir. Örneğin şartları sağlayan değerler olarak x=0.5x = 0.5, y=−2y = -2, z=−4z = -4 seçilip seçenekler test edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 351Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=3xy−12x−12y+52x \triangle y = 3xy - 12x - 12y + 52
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemde tersi kendisine eşit olan farklı gerçel sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 8'dir.
Verilen işlem x△y=3(x−4)(y−4)+4x \triangle y = 3(x-4)(y-4) + 4 biçiminde düzenlenebilir. Bu yapıda birim eleman e=4+1/3=13/3e = 4 + 1/3 = 13/3 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan elemanlar için x△x=ex \triangle x = e denklemi çözüldüğünde, kökler x=4±1/3x = 4 \pm 1/3 gelir. Bu köklerin toplamı 2×4=82 \times 4 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini çöz.
3xe−12x−12e+52=x3xe - 12x - 12e + 52 = x
Birim eleman tanımı gereği, bir sayı ile birim eleman işleme girdiğinde sonuç sayının kendisi olmalıdır.
2
Elde edilen denklemden ee değerini çek.
x(3e−13)−12e+52=0x(3e - 13) - 12e + 52 = 0. Bu eşitliğin her xx için sağlanması için 3e−13=03e - 13 = 0 olmalıdır. Buradan e=13/3e = 13/3 bulunur.
Değişken (xx) içeren bir ifadenin her zaman sıfır olması için katsayılarının sıfır olması gerekir.
3
Bir xx sayısının tersi (x−1x^{-1}) kendisine eşitse, x△x=ex \triangle x = e eşitliğini sağlayan xx değerlerini bul.
3x2−12x−12x+52=13/3⇒3x2−24x+52=13/33x^2 - 12x - 12x + 52 = 13/3 \Rightarrow 3x^2 - 24x + 52 = 13/3
Ters eleman tanımı (x△x−1=ex \triangle x^{-1} = e) ve sorudaki x=x−1x = x^{-1} koşulu birleştirilir.
4
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenle ve kökler toplamını bul.
9x2−72x+156=13⇒9x2−72x+143=09x^2 - 72x + 156 = 13 \Rightarrow 9x^2 - 72x + 143 = 0. Kökler toplamı −b/a=−(−72)/9=8-b/a = -(-72)/9 = 8.
İkinci dereceden bir denklemde kökler toplamı formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

İşlem konusunda birim eleman ve ters eleman bulma yöntemleri ile ikinci dereceden denklem kök ilişkileri.

İpuçları

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee ise, her xx için x△e=xx \triangle e = x olmalıdır.
2
3xe−12x−12e+52=x3xe - 12x - 12e + 52 = x eşitliğinden ee değerini çek. Sonra tersi kendisine eşit olan sayılar için x△x=ex \triangle x = e denklemini kur.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi (9x2−72x+143=09x^2 - 72x + 143 = 0) çözmek yerine, kökler toplamı formülünü (−b/a-b/a) kullanabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda, tersi kendisine eşit olmayan bir elemanın tersini sormayı dene.

Alternatif Yöntem

İşlem x△y=m(x−a)(y−a)+ax \triangle y = m(x-a)(y-a) + a formatına dönüştürülebilir. Burada m=3m=3 ve a=4a=4 olduğu görülür (3(−4x)=−12x3(-4x) = -12x). Bu formattaki işlemlerde tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı her zaman 2a2a değerine eşittir. Yani 2×4=82 \times 4 = 8.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 352Soru →
xx ve yy pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
x2+y2=29x^2 + y^2 = 29
x⋅y=10x \cdot y = 10
eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İfadenin pozitif değeri 7'dir.
Soruda verilen x2+y2x^2+y^2 ve x⋅yx \cdot y ifadeleri, (x+y)2(x+y)^2 tam kare açılımının parçalarıdır. Özdeşlik formülü (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy şeklindedir. Verilenler yerine konulduğunda 29+2(10)=4929 + 2(10) = 49 bulunur. Karesi 49 olan pozitif sayı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliğini hatırla ve yaz.
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
Verilen x2+y2x^2+y^2 ve xyxy değerlerini kullanarak x+yx+y toplamına ulaşmak için bu özdeşlik gereklidir.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koy.
(x+y)2=29+2⋅10=29+20=49(x+y)^2 = 29 + 2 \cdot 10 = 29 + 20 = 49
x2+y2x^2+y^2 yerine 29 ve xyxy yerine 10 yazılarak toplamın karesi hesaplanır.
3
Sonucun karekökünü alarak x+yx+y değerini bul.
x+y=49=7x+y = \sqrt{49} = 7
Karesi 49 olan pozitif sayı 7'dir. Soruda pozitif gerçel sayılar denildiği için sonuç pozitiftir.

Anahtar Kavram

İki Terim Toplamının Karesi Özdeşliği

İpuçları

1
Soruda verilen terimler (x+y)2(x+y)^2 açılımını hatırlatmalıdır.
2
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy özdeşliğini kullanarak verilenleri yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (x−y)2(x-y)^2 değerinin sorulduğu veya x2+y2x^2+y^2 değerinin istendiği sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayıları tahmin etme yöntemi (Değer verme): Çarpımları 10 olan sayılar (1,10) veya (2,5) olabilir. Kareleri toplamı 22+52=4+25=292^2+5^2 = 4+25=29 sağlandığı için sayılar 2 ve 5'tir. Toplamları 7 yapar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 353Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x⋆y={2x+y,x<yx−2y,x≥yx \star y = \begin{cases} 2x + y & , x < y \\ x - 2y & , x \geq y \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (3⋆5)⋆1(3 \star 5) \star 1 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlemin sonucu 9'dur.
İşlem parçalı fonksiyon şeklinde tanımlanmıştır. Önce parantez içi hesaplanır: 3<53 < 5 olduğu için 2x+y2x+y kuralı uygulanır ve 11 bulunur. Sonra 11⋆111 \star 1 işlemi için 11≥111 \geq 1 olduğundan x−2yx-2y kuralı uygulanır ve sonuç 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (3⋆5)(3 \star 5) işlemini yap. 3<53 < 5 olduğu için üstteki kuralı (2x+y2x + y) kullan.
2(3)+5=6+5=112(3) + 5 = 6 + 5 = 11
x<yx < y koşulu sağlandığı için birinci durum geçerlidir.
2
Bulunan sonucu yerine yazarak (11⋆1)(11 \star 1) işlemini yap. 11≥111 \geq 1 olduğu için alttaki kuralı (x−2yx - 2y) kullan.
11−2(1)=11−2=911 - 2(1) = 11 - 2 = 9
x≥yx \geq y koşulu sağlandığı için ikinci durum geçerlidir.

Anahtar Kavram

Parçalı Tanımlı İşlemler
Soru 354Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3<x<4-3 < x < 4
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, x2−4xx^2 - 4x ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

İfadenin alabileceği değerler [-4, 21) aralığındadır ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 200'dür.
İkinci dereceden x2−4xx^2 - 4x ifadesi bir paraboldür ve kolları yukarı bakar. Bu ifadenin en küçük değerini aldığı yer tepe noktasıdır (r=−b/2a=2r = -b/2a = 2). x=2x=2 değeri verilen (−3,4)(-3, 4) aralığında olduğu için, ifadenin alabileceği en küçük değer 22−4(2)=−42^2 - 4(2) = -4 olur. Uç noktalar kontrol edildiğinde üst sınırın 21'e yaklaştığı görülür. Böylece değer aralığı [−4,21)[-4, 21) olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı hesaplandığında doğru cevap bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama veya parabol tepe noktasını bulma yöntemini uygula.
f(x)=x2−4x=(x−2)2−4f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4
İkinci dereceden bir ifadenin görüntü kümesini bulmak için tepe noktası kritik öneme sahiptir. Doğrudan uç noktaları yerine koymak hatalı olur.
2
Tanım aralığı (−3,4)(-3, 4) içinde tepe noktasının (x=2x=2) bulunup bulunmadığını kontrol et ve minimum değeri hesapla.
x=2x=2 aralıkta olduğu için minimum değer f(2)=22−4(2)=−4f(2) = 2^2 - 4(2) = -4 olur.
Bir parabolün bir aralıktaki en küçük veya en büyük değeri, tepe noktası aralık içindeyse tepe noktasında alır.
3
Aralığın uç noktalarındaki değerleri hesapla.
x=−3x = -3 için (−3)2−4(−3)=9+12=21(-3)^2 - 4(-3) = 9 + 12 = 21. x=4x = 4 için 42−4(4)=04^2 - 4(4) = 0.
Görüntü kümesinin üst sınırlarını belirlemek için uç noktalar test edilmelidir.
4
Görüntü kümesini (aralığını) yaz.
Minimum -4 (dahil), maksimum 21 (açık aralık çünkü x=−3x=-3 dahil değil). Aralık: [−4,21)[-4, 21).
Minimum değer tepe noktasından gelir, üst sınır ise uç noktalardan büyük olanıdır.
5
Bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesapla.
Tam sayılar: {−4,−3,−2,−1,0,1,2,...,20}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ..., 20\}. Pozitif kısım (1'den 20'ye): 20⋅212=210\frac{20 \cdot 21}{2} = 210. Negatif kısım: −4−3−2−1=−10-4-3-2-1 = -10. Toplam: 210−10=200210 - 10 = 200.
Gauss toplam formülü kullanılarak işlem pratikleştirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde görüntü kümesi bulunurken tepe noktası (minimum/maksimum) mutlaka kontrol edilmelidir. Uç noktaların yerine konulması yeterli değildir.

İpuçları

1
İfade ikinci dereceden (x2x^2) olduğu için, değer aralığını bulurken sadece uç noktaları (-3 ve 4) yerine koymak yetmez.
2
x2−4xx^2 - 4x ifadesini tam kareye tamamlayın veya bir parabol gibi düşünerek tepe noktasına bakın. (x−2)2−4(x-2)^2 - 4 size ne anlatıyor?
3
Tepe noktası x=2x=2 bu aralığın içindedir. Bu noktada fonksiyon en küçük değerini alır. Minimum değer -4'tür. Negatif tam sayıları toplamdan çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, −2<x<5-2 < x < 5 iken x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesinin aralığını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik inşası yöntemi: −3<x<4-3 < x < 4 ise her taraftan 2 çıkaralım: −5<x−2<2-5 < x-2 < 2. Şimdi karesini alalım: 0≤(x−2)2<250 \le (x-2)^2 < 25 (Dikkat: Bir aralık 0'ı içeriyorsa karenin alt sınırı 0 olur). Her taraftan 4 çıkaralım: −4≤(x−2)2−4<21-4 \le (x-2)^2 - 4 < 21.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 355Soru →

a,ba, b ve cc gerçel sayıları için a<b<0<ca < b < 0 < c eşitsizliği ve ∣a∣=∣b∣+∣c∣|a| = |b| + |c| eşitliği veriliyor.

Buna göre,
∣a+c∣+∣c−b∣−∣a∣∣b∣ \frac{|a+c| + |c-b| - |a|}{|b|}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemin sonucu 1'dir.
Verilen ∣a∣=∣b∣+∣c∣|a| = |b| + |c| eşitliği, aa ve bb negatif, cc pozitif olduğu için −a=−b+c-a = -b + c şeklinde yazılır. Buradan −a>c-a > c yani a+c<0a+c < 0 sonucu çıkarılır. Mutlak değerler işaretlerine göre dışarı çıkarıldığında pay −a−c+c−b+a=−b-a-c+c-b+a = -b olur. Payda ise −b-b dir. Oran 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ∣a∣=∣b∣+∣c∣|a| = |b| + |c| eşitliğini ve a<b<0<ca < b < 0 < c eşitsizliğini kullanarak mutlak değerlerin işaretlerini belirle.
aa negatif olduğundan ∣a∣=−a|a| = -a; bb negatif olduğundan ∣b∣=−b|b| = -b; cc pozitif olduğundan ∣c∣=c|c| = c. Eşitlik −a=−b+c-a = -b + c haline gelir. Bu durum −a>c-a > c olduğunu, yani a+c<0a+c < 0 olduğunu gösterir.
Mutlak değer içindeki ifadeleri dışarı doğru şekilde çıkarmak için işaretlerinin belirlenmesi gerekir.
2
İşaretlere göre kesirdeki mutlak değer ifadelerini dışarı çıkar.
∣a+c∣|a+c| ifadesinde a+c<0a+c < 0 olduğundan dışarı −(a+c)=−a−c-(a+c) = -a-c olarak çıkar. ∣c−b∣|c-b| ifadesinde c>0c > 0 ve b<0b < 0 olduğundan c−b>0c-b > 0 olur ve dışarı aynen c−bc-b olarak çıkar. ∣a∣|a| ifadesi −a-a olarak çıkar.
Mutlak değer tanımı gereği içi negatifse eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen çıkarılır.
3
Pay kısmındaki cebirsel ifadeyi toparla ve sadeleştir.
Pay: (−a−c)+(c−b)−(−a)=−a−c+c−b+a=−b(-a - c) + (c - b) - (-a) = -a - c + c - b + a = -b.
Benzer terimler toplanarak ifade en sade haline getirilir.
4
Paydayı düzenle ve sonucu bul.
Payda ∣b∣=−b|b| = -b dir. Sonuç: −b−b=1\frac{-b}{-b} = 1.
Pay ve payda birbirine oranlanarak işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret Analizi
Soru 356Soru →
2−32+3+3 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \sqrt{3}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen ifade eşleniği ile genişletildiğinde, payda kısmında iki kare farkından dolayı 4−3=1\sqrt{4-3}=1 elde edilir. Pay kısmında ise köklü ifadenin karesi alınarak 2−32-\sqrt{3} sonucuna ulaşılır. İfadenin sonundaki +3+\sqrt{3} ile paydan gelen −3-\sqrt{3} toplandığında sonuç tam sayı olan 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesrin paydasını rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan 2−3\sqrt{2 - \sqrt{3}} ile genişletin.
2−3⋅2−32+3⋅2−3+3 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}} + \sqrt{3}
Paydada köklü ifade bırakmamak ve işlemi sadeleştirmek için eşlenik ile çarpma yöntemi kullanılır.
2
Pay ve paydadaki çarpma işlemlerini gerçekleştirin.
Pay: (2−3)2=2−3(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3}
Payda: (2+3)(2−3)=22−(3)2=4−3=1=1\sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1
Bir köklü ifadenin kendisiyle çarpımı kökü kaldırır; paydada ise iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
3
Elde edilen değerleri ana ifadede yerine yazarak sadeleştirin.
2−31+3=2−3+3=2 \frac{2 - \sqrt{3}}{1} + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2
Payda 1 olduğu için kesir kalkar ve zıt işaretli köklü terimler birbirini sıfırlar.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması (eşlenik çarpımı) ve iç içe köklerin sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
Kesirli bir ifadede paydada kök varsa, paydayı kökten kurtarmak için eşleniğiyle çarpmayı deneyin.
2
Paydayı 2−3\sqrt{2 - \sqrt{3}} ile çarptığınızda payda kısmında (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 özdeşliğini kullanabilirsiniz.
3
Payda rasyonel hale geldiğinde 1 olacaktır. Pay kısmındaki ifade ile dışarıdaki köklü ifadeyi toplayarak sadeleştirme yapın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formülünün kullanıldığı benzer rasyonelleştirme sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İfadeyi bütün olarak KK değerine eşitleyip karesini alarak da çözüme gidilebilir, ancak rasyonelleştirme (eşlenik) yöntemi bu tip sorular için en pratik ve standart yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 357Soru →
Reel sayılar kümesinden A=R−{−32}A = \mathbb{R} - \{-\frac{3}{2}\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, her x,y∈Ax, y \in A için
x⋆y=2xy+3x+3y+3x \star y = 2xy + 3x + 3y + 3
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 22 sayısının ⋆\star işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −107-\frac{10}{7}

Cevap

2 sayısının tersi -10/7'dir.
İşlem sorularında bir sayının tersini bulmak için iki aşamalı yol izlenir. Önce sistemin etkisiz elemanı (birim eleman) bulunur. x⋆e=xx \star e = x eşitliğinden 2xe+3x+3e+3=x2xe + 3x + 3e + 3 = x yazılır. Düzenlenirse x(2e+2)+3e+3=0x(2e+2) + 3e + 3 = 0 olur. Bu eşitliğin her xx için sağlanması adına xx'in katsayısı sıfır olmalıdır: 2e+2=02e+2=0 buradan e=−1e=-1 bulunur. İkinci adımda, 2'nin tersi olan tt sayısı için 2⋆t=e2 \star t = e eşitliği çözülür: 2(2)t+3(2)+3t+3=−12(2)t + 3(2) + 3t + 3 = -1. Buradan 4t+6+3t+3=−1⇒7t+9=−1⇒7t=−104t + 6 + 3t + 3 = -1 \Rightarrow 7t + 9 = -1 \Rightarrow 7t = -10 ve sonuç −107-\frac{10}{7} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Etkisiz elemanı (e) bulmak için x⋆e=xx \star e = x eşitliğini kuralım.
2xe+3x+3e+3=x2xe + 3x + 3e + 3 = x
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin etkisiz (birim) elemanının bilinmesi gerekir.
2
Eşitliği düzenleyerek e değerini, x'e bağlı olmayacak şekilde hesaplayalım.
x(2e+3)+3e+3=x⇒x(2e+2)+3e+3=0x(2e + 3) + 3e + 3 = x \Rightarrow x(2e + 2) + 3e + 3 = 0. Buradan 2e+2=02e+2=0 ise e=−1e=-1 bulunur.
Etkisiz eleman sistemdeki tüm sayılar için sabit olmalıdır, bu yüzden x'li terimlerin katsayıları eşitlenir.
3
2 sayısının tersine tt diyerek, ters eleman tanımı olan 2⋆t=e2 \star t = e eşitliğini kuralım.
2(2)(t)+3(2)+3t+3=−12(2)(t) + 3(2) + 3t + 3 = -1
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu her zaman etkisiz elemanı vermelidir.
4
Oluşan birinci dereceden denklemi tt için çözelim.
4t+6+3t+3=−1⇒7t+9=−1⇒7t=−10⇒t=−1074t + 6 + 3t + 3 = -1 \Rightarrow 7t + 9 = -1 \Rightarrow 7t = -10 \Rightarrow t = -\frac{10}{7}
Doğrusal denklem çözümü ile sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

İşlem konusunda ters eleman bulunurken önce x⋆e=xx \star e = x kuralıyla etkisiz eleman (e), sonra a⋆a−1=ea \star a^{-1} = e kuralıyla ters eleman bulunur.

İpuçları

1
Bir işlemde ters elemanı bulabilmek için önce 'etkisiz elemanı' (birim eleman) bulmalısınız.
2
Etkisiz eleman ee olmak üzere, her xx için x⋆e=xx \star e = x eşitliğini sağlayan ee değerini hesaplayın.
3
Etkisiz eleman e=−1e = -1 dir. Şimdi 22'nin tersine tt diyerek 2⋆t=−12 \star t = -1 denklemini çözün.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 358Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2+mx−12x2−x−6 \frac{x^2 + mx - 12}{x^2 - x - 6}
ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre, mm'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

m değerlerinin toplamı -3'tür.
Kesrin sadeleşebilmesi için pay kısmındaki x2+mx−12x^2 + mx - 12 ifadesinin, paydadaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesinin çarpanlarından en az birini barındırması gerekir. Paydanın çarpanları (x−3)(x-3) ve (x+2)(x+2)'dir. Bu çarpanlar payı sıfır yapan değerlerdir. x=3x=3 için m=1m=1 ve x=−2x=-2 için m=−4m=-4 bulunur. Bu değerlerin toplamı -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Payda ifadesini çarpanlarına ayırarak köklerini bul.
x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) olduğu için, ifadenin tanımsız olduğu noktalar x=3x = 3 ve x=−2x = -2'dir.
Kesrin sadeleşebilmesi için pay ve paydanın en az bir ortak çarpanı olmalıdır. Bu ortak çarpan paydanın çarpanlarından biri, yani (x−3)(x-3) veya (x+2)(x+2) olmalıdır.
2
Pay ifadesinde xx yerine paydanın köklerini yazarak mm değerlerini hesapla (Polinom bölmesi kalanı 0 olmalı mantığıyla).
Durum 1: Ortak çarpan (x−3)(x-3) ise, pay x=3x=3 için 0 olmalıdır. 32+3m−12=0⇒9+3m−12=0⇒3m=3⇒m=13^2 + 3m - 12 = 0 \Rightarrow 9 + 3m - 12 = 0 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1.
Eğer (x−3)(x-3) ortak çarpansa, pay polinomu x−3x-3'e tam bölünür, yani P(3)=0P(3)=0 olur.
3
İkinci kök için işlemi tekrarla.
Durum 2: Ortak çarpan (x+2)(x+2) ise, pay x=−2x=-2 için 0 olmalıdır. (−2)2+(−2)m−12=0⇒4−2m−12=0⇒−2m=8⇒m=−4(-2)^2 + (-2)m - 12 = 0 \Rightarrow 4 - 2m - 12 = 0 \Rightarrow -2m = 8 \Rightarrow m = -4.
Eğer (x+2)(x+2) ortak çarpansa, pay polinomu x+2x+2'ye tam bölünür, yani P(−2)=0P(-2)=0 olur.
4
Bulunan mm değerlerini topla.
1+(−4)=−31 + (-4) = -3.
Soruda mm'nin alabileceği değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi için pay ve paydanın ortak bir çarpana (köke) sahip olması gerekir.
Soru 359Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a△b=3ab−6a−6b+ka \triangle b = 3ab - 6a - 6b + k
biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunduğuna göre, 33 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 199\frac{19}{9}

Cevap

3 sayısının △\triangle işlemine göre tersi 199\frac{19}{9}'dur.
Birim elemanın varlığı şartından k=14k=14 ve birim eleman e=7/3e=7/3 bulunur. 3△x=7/33 \triangle x = 7/3 eşitliğinden x=19/9x=19/9 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim eleman ee'nin varlığı için a△e=aa \triangle e = a denklemini kur.
3ae−6a−6e+k=a3ae - 6a - 6e + k = a
Birim eleman, işleme girdiği her elemanı kendisine dönüştürmelidir.
2
Eşitliği aa parantezine alarak ee ve kk değerlerini bul.
a(3e−7)=6e−k⇒3e−7=0 ve 6e−k=0a(3e - 7) = 6e - k \Rightarrow 3e-7=0 \text{ ve } 6e-k=0. Buradan e=73e = \frac{7}{3} ve k=14k = 14 bulunur.
Eşitliğin her aa değeri için sağlanması, aa'nın katsayısının ve sabit terimin sıfır olmasını gerektirir.
3
k=14k=14 değerini işlem kuralında yerine yazarak 3'ün tersi olan xx değerini (3△x=e3 \triangle x = e) hesapla.
3△x=73⇒3(3)(x)−6(3)−6x+14=733 \triangle x = \frac{7}{3} \Rightarrow 3(3)(x) - 6(3) - 6x + 14 = \frac{7}{3}
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilmelidir.
4
Oluşan denklemi çöz.
9x−18−6x+14=73⇒3x−4=73⇒3x=193⇒x=1999x - 18 - 6x + 14 = \frac{7}{3} \Rightarrow 3x - 4 = \frac{7}{3} \Rightarrow 3x = \frac{19}{3} \Rightarrow x = \frac{19}{9}
Bulunan x değeri 3'ün tersidir.

Anahtar Kavram

İşlemde Birim ve Ters Eleman İlişkisi

İpuçları

1
Önce birim elemanı (ee) bulmalısın. Birim eleman tanımı gereği her aa sayısı için a△e=aa \triangle e = a eşitliği sağlanmalıdır.
2
a△e=aa \triangle e = a eşitliğini kurduğunda, aa'ya bağlı terimlerin birbirini yok etmesi gerekir. Bu şart sana ee ve kk değerlerini verecektir.
3
Birim elemanı 7/37/3 olarak bulduktan sonra, 3'ün tersini bulmak için 3△x=7/33 \triangle x = 7/3 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

Birim elemanı olmayan ancak yutan elemanı olan işlem soruları çöz.

Alternatif Yöntem

Dönüşüm Yöntemi: Verilen ifade 3(a−2)(b−2)+23(a-2)(b-2)+2 şeklinde düzenlenebilir. Bu, u∗v=3uvu \ast v = 3uv işlemine dönüşür. Burada birim eleman 1/31/3'tür, geri dönüşümle e−2=1/3⇒e=7/3e-2=1/3 \Rightarrow e=7/3 bulunur.
Tahmini Süre:3m 30s
Soru 360Soru →
(0,04)−x⋅5x3=3125 \sqrt[3]{ (0,04)^{-x} \cdot \sqrt{ 5^{x} } } = 3125

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen denklemde tüm ifadeler 5 tabanında yazılarak çözüme gidilir. Ondalık sayı 5−25^{-2}'ye dönüştürülür, köklü ifadeler rasyonel üs olarak yazılır (x/2x/2 ve 1/31/3 kuvvetleri). Üslerin toplanması ve çarpılması kuralları uygulandığında sol taraf 55x/65^{5x/6} bulunur. Sağ taraf 555^5 olduğundan, üsler eşitlenerek x=6x=6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ondalık sayıyı üslü ifadeye çevir
0,04=4100=125=5−20,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} olarak yazılır.
Tüm tabanları asal çarpanlarına (5 tabanına) ayırarak işlem kolaylığı sağlamak için.
2
Negatif üssü ve parantez kuvvetini düzenle
(0,04)−x=(5−2)−x=52x(0,04)^{-x} = (5^{-2})^{-x} = 5^{2x} olur.
Üssün üssü kuralı ((am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} ) gereği.
3
En içteki köklü ifadeyi üslü sayıya çevir
5x=5x/2\sqrt{5^x} = 5^{x/2} olarak yazılır.
Köklü sayıları üslü sayı biçiminde yazmak işlemleri birleştirmeyi sağlar.
4
Kök içindeki çarpma işlemini yap
52x⋅5x/2=52x+x2=55x25^{2x} \cdot 5^{x/2} = 5^{2x + \frac{x}{2}} = 5^{\frac{5x}{2}} elde edilir.
Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üsler toplanır.
5
Dış kökü (küp kök) üslü ifadeye yansıt
55x/23=(55x/2)1/3=55x6\sqrt[3]{5^{5x/2}} = (5^{5x/2})^{1/3} = 5^{\frac{5x}{6}} olur.
Kök derecesi, üslü ifadenin paydasına gelir.
6
Denklemin sağ tarafını düzenle ve eşitle
3125=553125 = 5^5 olduğu için, 55x6=555^{\frac{5x}{6}} = 5^5 denklemi kurulur.
Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar aynı olduğunda üsler de eşit olmalıdır.
7
Üsleri eşitleyerek x'i çöz
5x6=5⇒5x=30⇒x=6\frac{5x}{6} = 5 \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6.
Birinci dereceden denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerin üslü sayıya dönüştürülmesi ve üslü denklemlerin çözümü.

İpuçları

1
Denklemdeki tüm sayıları (0,04 ve 3125 dahil) 5 sayısının kuvvetleri şeklinde yazmayı deneyin.
2
amn=am/n\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} kuralını kullanarak köklü ifadeleri üslü sayıya çevirin. 0,04=5−20,04 = 5^{-2} olduğunu unutmayın.
3
İfadeyi 55x/6=555^{5x/6} = 5^5 formuna getirdikten sonra üsleri birbirine eşitleyerek x'i bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde sonsuza giden ifadelerle ilgili (xx... \sqrt{x \sqrt{x...}} ) sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Her iki tarafın küpünü alarak en dıştaki kökten kurtulun: (0,04)−x⋅5x=31253(0,04)^{-x} \cdot \sqrt{5^x} = 3125^3. Ardından karekökten kurtulmak için tekrar kare alın ve üsleri eşitleyin.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 18 / 22Sonraki
Cebir Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 18 | Examkin