Cebir

Gerçel sayılar kümesi ( $\mathbb{R}$ ) üzerinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 16 \le 0 \}

B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \ge 2 \}

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin ifade ettiği aralık aşağıdakilerden hangisidir?

[-4, -1] \cup [3, 4]

(-1, 3)

[-4, 4]

[-4, -2] \cup [2, 4]

[-4, -1) \cup (3, 4]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-4, -1] \cup [3, 4]$

Cevap

[-4, -1] \cup [3, 4]

aralığıdır.

Doğru cevap,

A

kümesi olan

[-4, 4]

aralığı ile

B

kümesi olan

(-\infty, -1] \cup [3, \infty)

aralığının ortak elemanlarının birleşimidir. Bu kesişim işlemi sonucunda elde edilen küme,

[-4, -1]

ve

[3, 4]

kapalı aralıklarının birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin çözüm aralığını bul.

x^2 - 16 \le 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4

. Yani

A = [-4, 4]

.

İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesinin belirlenmesi.

2

B

kümesinin çözüm aralığını bul.

|x - 1| \ge 2

eşitsizliği iki durumu ifade eder:

x - 1 \ge 2 \implies x \ge 3

VEYA

x - 1 \le -2 \implies x \le -1

. Yani

B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)

.

Mutlak değerli eşitsizliğin 'büyüktür' durumuna göre açılması.

3

A

ve

B

kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) hesapla.

[-4, 4]

aralığı ile

(-\infty, -1] \cup [3, \infty)

birleşiminin ortak elemanları:

[-4, 4]

ile

(-\infty, -1]

kesişimi

[-4, -1]

verir.

[-4, 4]

ile

[3, \infty)

kesişimi

[3, 4]

verir.

İki farklı kümenin sayı doğrusu üzerindeki ortak bölgelerinin tespit edilmesi.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve Kümelerle Gösterimi

İpuçları

1

Önce

A

ve

B

kümelerinin hangi sayı aralıklarını temsil ettiğini ayrı ayrı bulun.

2

A

kümesi, karesi 16'dan küçük veya eşit olan sayıları;

B

kümesi ise 1'e olan uzaklığı 2 birim veya daha fazla olan sayıları içerir.

3

Sayı doğrusu üzerinde

A

kümesini

[-4, 4]

olarak çizin.

B

kümesini ise 1'den sağa 2 birim gidip (3 ve sonrası) ve sola 2 birim gidip (-1 ve öncesi) olarak işaretleyin. Bu iki çizimin üst üste geldiği yerleri belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu tam sayılar kümesi (

\mathbb{Z}

) üzerinde sorarak eleman sayısını bulmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizerek görsel çözüm: Bir sayı doğrusunda -4 ile 4 arasını tarayın (Set A). Aynı doğru üzerinde -1'den küçük ve 3'ten büyük yerleri tarayın (Set B). İki taramanın da olduğu bölgeler cevaptır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 322Soru →

$|x - 5| = 3$ denklemini sağlayan $x$ gerçek sayılarının toplamı kaçtır?

10

8

5

3

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Denklemi sağlayan değerlerin toplamı 10'dur.

Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içindeki ifade bu sayının hem kendisine hem de negatifine eşit olabilir. Bu kural uygulandığında

x-5=3

den

x=8

ve

x-5=-3

den

x=2

değerleri elde edilir. Bu iki değerin toplamı olan 10 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Mutlak değer tanımını uygulayarak denklemi iki farklı duruma ayırın.

x - 5 = 3

veya

x - 5 = -3

Bir ifadenin mutlak değeri bir sayıya eşitse, o ifade sayının kendisine veya ters işaretlisine eşittir.

2

Birinci durumu (

x - 5 = 3

) çözerek ilk

x

değerini bulun.

x = 8

-5

ifadesi eşitliğin karşı tarafına

+5

olarak geçer (

3 + 5 = 8

).

3

İkinci durumu (

x - 5 = -3

) çözerek ikinci

x

değerini bulun.

x = 2

-5

ifadesi eşitliğin karşı tarafına

+5

olarak geçer (

-3 + 5 = 2

).

4

Bulunan

x

değerlerinin toplamını hesaplayın.

8 + 2 = 10

Soru bizden değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler

İpuçları

1

Mutlak değeri bir sayının sıfıra (başlangıç noktasına) olan uzaklığı olarak düşünün.

2

Sayı doğrusu üzerinde 5 noktasından 3 birim sağa ve 3 birim sola giderek hangi sayılara ulaştığınızı kontrol edin.

3

Mutlak değerin içindeki ifadeyi hem 3'e hem de -3'e eşitleyerek iki ayrı denklem kurun.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli bir eşitsizliği (örneğin

|x - 5| < 3

) çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu yöntemi:

|x - 5| = 3

ifadesi, 'x sayısının 5 sayısına olan uzaklığı 3 birimdir' anlamına gelir. 5'ten 3 birim ileri giderseniz 8'e, 3 birim geri giderseniz 2'ye ulaşırsınız.

8 + 2 = 10

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 323Soru →

Toplam 1.170 TL tutarındaki bir prim, performans puanları 3, 4 ve 6 olan üç personel arasında, puanları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılmıştır. Eğer bu prim, puanlar ile doğru orantılı olarak paylaştırılsaydı, ilk durumda en yüksek primi alan personelin eline geçen miktar nasıl değişirdi?

250 TL azalır

280 TL artar

250 TL artar

30 TL azalır

270 TL azalır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250 TL azalır

Cevap

İlk durumda en yüksek primi alan personelin payı 250 TL azalır.

Soruda iki farklı paylaşım senaryosu kıyaslanmaktadır. İlk senaryoda (Ters Orantı), paylar 3, 4 ve 6 ile ters orantılı olduğu için payda eşitlemesiyle sırasıyla 4k, 3k ve 2k oranları bulunur. 1170 TL, 9 parçaya bölündüğünde parça başı 130 TL düşer; en yüksek payı 4k (520 TL) ile 3 puanlı personel alır. İkinci senaryoda (Doğru Orantı), paylar 3m, 4m ve 6m olur. 1170 TL, 13 parçaya bölündüğünde parça başı 90 TL düşer; aynı personel 3m (270 TL) alır. Aradaki fark 520 - 270 = 250 TL'dir ve miktar azalmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Ters orantı hesabını yap

Paylar k/3, k/4 ve k/6 ile orantılıdır. Paydalar 12'de eşitlenirse paylar sırasıyla 4, 3 ve 2 kat olur. Toplam kat: 4k + 3k + 2k = 9k.

Ters orantıda sayılar çarpım durumundadır (3a = 4b = 6c). En küçük ortak katları 12 olduğundan a=4k, b=3k, c=2k olur.

2

İlk durumdaki payları hesapla

9k = 1170 ⇒ k = 130. Paylar: 4x130=520 TL, 3x130=390 TL, 2x130=260 TL. En yüksek payı alan: 520 TL ile 3 puanlı personel.

Toplam tutarı toplam birim sayısına bölerek birim değeri buluruz.

3

Doğru orantı hesabını yap

Paylar 3, 4 ve 6 ile doğru orantılıdır. Toplam kat: 3m + 4m + 6m = 13m.

Doğru orantıda sayılar bölüm durumundadır.

4

İkinci durumdaki payları hesapla

13m = 1170 ⇒ m = 90. Paylar: 3x90=270 TL, 4x90=360 TL, 6x90=540 TL.

Aynı personel (3 puanlı) bu durumda 3m = 270 TL alır.

5

Değişimi hesapla

İlk durum: 520 TL. İkinci durum: 270 TL. Fark: 520 - 270 = 250 TL azalır.

Soruda belirtilen 'ilk durumda en yüksek payı alan' kişi için kıyaslama yapılır.

Anahtar Kavram

Ters ve Doğru Orantı İlişkisi

İpuçları

1

Ters orantı kurarken sayıların çarpımının sabit (k) olduğunu hatırlayın: 3a = 4b = 6c = k.

2

Ters orantı için katsayıları bulmak adına 3, 4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) kullanın. Doğru orantı için ise sayıları direkt katsayı olarak toplayın.

3

İlk durumda toplam pay 9 birim (4+3+2), ikinci durumda 13 birimdir (3+4+6). Her iki durumda da toplam para 1.170 TL'dir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar verilmeden 'payın yüzde kaçı değişirdi?' şeklinde sorarak yüzde problemlerini tekrar edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Payların oranlarını kesir olarak yazıp farkı bulabilirsiniz: İlk durumda A kişisi toplamın 4/9'unu, ikinci durumda 3/13'ünü alır. Fark: 1170 x (4/9 - 3/13) işlemiyle de bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 324Soru →

Bir üniversitenin spor kulübünde futbol (F), basketbol (B) ve voleybol (V) branşlarından en az birine kayıtlı öğrencilerin bulunduğu bir grup incelenmiştir.

Bu gruptaki öğrencilerin sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Futbol oynayanların sayısı: $s(F) = 30$
* Basketbol oynayanların sayısı: $s(B) = 26$
* Voleybol oynayanların sayısı: $s(V) = 24$
* Futbol ve basketbol oynayanların sayısı: $s(F \cap B) = 10$
* Futbol ve voleybol oynayanların sayısı: $s(F \cap V) = 9$
* Basketbol ve voleybol oynayanların sayısı: $s(B \cap V) = 8$
* Her üç branşı da oynayanların sayısı: $s(F \cap B \cap V) = 4$

Buna göre, bu grupta yalnızca bir branşa kayıtlı olan öğrenci sayısı kaçtır?

15

38

42

53

57

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Yalnızca bir branşa kayıtlı öğrenci sayısı 38'dir.

Yalnızca bir branş oynayan öğrencilerin sayısı, her bir branşın toplam sayısından o branşın diğerleriyle olan kesişimlerinin çıkarılmasıyla bulunur. Sadece futbol oynayanlar

30 - (6+5+4) = 15

, sadece basketbol oynayanlar

26 - (6+4+4) = 12

, sadece voleybol oynayanlar

24 - (5+4+4) = 11

kişidir. Bunların toplamı

15 + 12 + 11 = 38

eder.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen sayıları Venn şeması mantığına göre analiz et.

s(F)=30, s(B)=26, s(V)=24. İkili kesişimler: 10, 9, 8. Üçlü kesişim: 4.

Her bir bölgedeki öğrenci sayısını bulmak için verileri sınıflandırmak gerekir.

2

Yalnızca iki branşı oynayan öğrenci sayılarını hesapla.

Sadece F ve B = 10 - 4 = 6; Sadece F ve V = 9 - 4 = 5; Sadece B ve V = 8 - 4 = 4. Toplam 'yalnızca iki' = 6 + 5 + 4 = 15.

İkili kesişim kümeleri, üçlü kesişim kümesini de kapsadığı için, 'sadece' iki ders alanları bulmak adına üçlü kesişim çıkarılmalıdır.

3

Toplam formülünü kullanarak veya kümelerden çıkararak 'yalnızca bir' branş oynayanları bul.

Yöntem 1 (Parça parça): Sadece F = 30 - (6+5+4) = 15. Sadece B = 26 - (6+4+4) = 12. Sadece V = 24 - (5+4+4) = 11. Toplam = 15 + 12 + 11 = 38.

Her kümenin toplam eleman sayısından, o kümenin diğer kümelerle olan kesişim bölgelerindeki elemanlar çıkarılarak sadece o kümeye ait elemanlar bulunur.

Anahtar Kavram

Üçlü Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1

Verilen sayıları yerleştirmek için üç kesişen daireden oluşan bir Venn şeması çizmeyi deneyin.

2

Şemayı doldurmaya en içten, yani her üçünü de oynayanların sayısından (4 kişi) başlayın.

3

'Futbol ve Basketbol' kesişimi 10 kişidir, ancak bunlardan 4'ü voleybol da oynamaktadır. Sadece Futbol ve Basketbol oynayanları bulmak için 10'dan 4'ü çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az iki ders alanlar' veya 'en çok bir ders alanlar' koşuluyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam Formülü Yöntemi:

s(A)+s(B)+s(C) = 1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + 3 \cdot N_3

. Burada

N_k

tam olarak

k

ders alanların sayısıdır.

30+26+24 = N_1 + 2(15) + 3(4)

denklemiyle

N_1

doğrudan bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 325Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan mimar sayısının mühendis sayısına oranı $\frac{2}{3}$ 'tür. Bu kurumda $12$ mimar çalıştığına göre, mühendis sayısı kaçtır?

8

10

15

18

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Kurumda çalışan mühendis sayısı 18'dir.

Verilen orana göre mimar sayısı

2k

, mühendis sayısı ise

3k

ile temsil edilebilir.

2k = 12

olduğu bilgisi kullanıldığında oran sabiti

k = 6

olarak bulunur. Bu durumda mühendis sayısı olan

3k

ifadesi

3 \times 6 = 18

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranı bir kesir ifadesi olarak yazın.

\frac{\text{Mimar sayısı}}{\text{Mühendis sayısı}} = \frac{2}{3}

Soruda mimar sayısının mühendis sayısına oranının

\frac{2}{3}

olduğu belirtilmiştir.

2

Bilinen mimar sayısını orantıda yerine yerleştirin.

\frac{12}{x} = \frac{2}{3}

Mimar sayısı 12 olarak verildiği için pay kısmına bu değeri, bilinmeyen mühendis sayısına ise

x

yazdık.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi kurun.

2 \times x = 12 \times 3

Orantı özelliğine göre içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

4

Bilinmeyen mühendis sayısını bulmak için denklemi çözün.

2x = 36 \implies x = 18

Her iki tarafı 2'ye bölerek mühendis sayısına ulaştık.

Anahtar Kavram

Oran ve Orantı Tanımı

İpuçları

1

Mimar ve mühendis sayıları arasındaki ilişkiyi

\frac{\text{Mimar}}{\text{Mühendis}} = \frac{2}{3}

şeklinde bir eşitlik olarak yazın.

2

Yazdığınız eşitlikte 'Mimar' yerine 12 yazıp mühendis sayısı için içler dışlar çarpımı yapın.

3

2 birime 12 kişi düşüyorsa, 1 birime kaç kişi düştüğünü bulun ve bu değeri 3 ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Oran sabitini bulmayı öğrendikten sonra, toplam personel sayısının sorulduğu soruları çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kat yöntemi: Mimar sayısı

2k = 12

ise her bir 'kat' (k) için

6

kişi düşer. Mühendis sayısı

3k

olduğuna göre

3 \times 6 = 18

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 326Soru →

Sıfırdan farklı

x

ve

y

gerçel sayıları için,

x^2 < |x|

x \cdot y > y

|x| \cdot y > x

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x \cdot y > 1

x - y > 0

x + y > -2

x^2 + y^2 > 2

\frac{x}{y} < 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + y > -2$

Cevap

x + y > -2

ifadesi daima doğrudur.

Yapılan analizler sonucunda

x

ve

y

sayılarının her ikisinin de

(-1, 0)

aralığında olduğu görülmüştür. Bu aralıktaki iki sayının toplamı, alt sınırların toplamı olan -2'den kesinlikle büyüktür (

x > -1

ve

y > -1 \implies x+y > -2

).

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliği analiz et.

x^2 < |x| \implies |x| < 1

. Yani

x \in (-1, 1)

ve

x \neq 0

.

Bir sayının karesi mutlak değerinden küçükse, o sayı -1 ile 1 arasındadır.

2

İkinci eşitsizliği ve

x

'in aralığını kullanarak

y

'nin işaretini belirle.

x \cdot y - y > 0 \implies y(x - 1) > 0

.

x < 1

olduğundan

x-1

negatiftir. Çarpımın pozitif olması için

y

de negatif (

y < 0

) olmalıdır.

Eşitsizliklerde işaret incelemesi yaparak değişkenin aralığını daraltmak.

3

Üçüncü eşitsizliği kullanarak

x

'in işaretini ve

y

'nin alt sınırını belirle.

Eğer

x > 0

olsaydı,

x(y-1) > 0 \implies y > 1

olurdu ki bu

y < 0

ile çelişir. Demek ki

x < 0

. O halde

|x| = -x

olur.

-x \cdot y > x \implies -x(y+1) > 0

.

-x

pozitif olduğundan

y+1 > 0 \implies y > -1

.

Mutlak değer dışına çıkarma ve çelişki yöntemiyle değişkenin işaretini kesinleştirmek.

4

Bulunan aralıkları birleştirip seçenekleri değerlendir.

Sonuç olarak:

x \in (-1, 0)

ve

y \in (-1, 0)

. Taraf tarafa toplarsak:

(-1) + (-1) < x + y < 0 + 0 \implies -2 < x + y < 0

.

Elde edilen aralıkları toplayarak kesin yargıya varmak.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde aralık analizi ve işaret incelemesi.

İpuçları

1

Birinci eşitsizliği kullanarak

x

'in -1 ile 1 arasında olduğunu hatırlayın.

2

İkinci eşitsizlikte

y

'yi sol tarafa atıp paranteze alarak işaret incelemesi yapın.

3

x

ve

y

'nin her ikisinin de negatif basit kesir olduğunu bulduktan sonra, bu aralıktaki sayıların toplamının en az kaç olabileceğini düşünün.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 327Soru →

x

ve

y

gerçel sayılar olmak üzere,

x^2 + y^2 - 12x + 10y + 61 = 0

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $x - y$ farkı kaçtır?

-11

1

11

22

61

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11

Verilen ifade

(x-6)^2 + (y+5)^2 = 0

şeklinde düzenlendiğinde, gerçel sayılar kümesinde çözüm için her iki tam karenin içi sıfır olmalıdır. Buradan

x=6

ve

y=-5

bulunur. Farkları

6 - (-5) = 11

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi tam kare ifadeler oluşturacak şekilde gruplandır

(x^2 - 12x) + (y^2 + 10y) + 61 = 0

İki değişkenli ikinci dereceden ifadelerde çözüm kümesi bulmak için tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır.

2

Sabit sayı olan 61'i, tam kareleri tamamlayacak şekilde parçala

(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 10y + 25) = 0

(-12/2)^2 = 36

ve

(10/2)^2 = 25

olduğundan,

36+25=61

eşitliği tam sağlanır.

3

İfadeleri tam kare formunda yaz

(x-6)^2 + (y+5)^2 = 0

Tam kare özdeşlikleri:

(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

ve

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

.

4

Gerçel sayılarda kareler toplamının sıfır olması kuralını uygula

x-6=0 \Rightarrow x=6

ve

y+5=0 \Rightarrow y=-5

Gerçel sayıların kareleri negatif olamaz. Toplamları sıfırsa, her bir terim ayrı ayrı sıfır olmalıdır.

5

İstenen

x-y

değerini hesapla

6 - (-5) = 6 + 5 = 11

Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli İfadelerde Tam Kareye Tamamlama

İpuçları

1

İfadeyi

x

ve

y

terimlerini ayrı ayrı gruplandırarak düşünün:

(x^2 - 12x + \dots) + (y^2 + 10y + \dots) + \dots = 0

2

Grupları tam kareye tamamlamak için sabit sayı 61'i iki parçaya ayırmanız gerekir:

(x-a)^2

ve

(y+b)^2

formlarını arayın.

3

x^2 - 12x

ifadesi

(x-6)^2

'den gelir ve 36 gerektirir.

y^2 + 10y

ifadesi

(y+5)^2

'den gelir ve 25 gerektirir.

36+25=61

tam uyuşuyor.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla

x^2 + y^2 = 0

ise

x=0, y=0

kuralını içeren köklü ifadeler sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Türev bilgisi olanlar için (KPSS müfredat dışı olsa da): İfade

f(x,y)

olarak düşünülürse minimum noktası

f_x = 2x-12=0

ve

f_y = 2y+10=0

ile bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 328Soru →

x = \sqrt{7} + 2

olduğuna göre,

x^2 - 4x + 12

ifadesinin değeri kaçtır?

11

13

15

19

31

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin değeri 15'tir.

Verilen

x = \sqrt{7} + 2

eşitliği düzenlenerek

x - 2 = \sqrt{7}

elde edilir. Her iki tarafın karesi alındığında

x^2 - 4x + 4 = 7

bulunur. Buradan

x^2 - 4x = 3

olduğu görülür. İstenen

x^2 - 4x + 12

ifadesinde

x^2 - 4x

yerine 3 yazıldığında sonuç

3 + 12 = 15

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitlikte köklü ifadeyi yalnız bırakmak için sabit sayıyı eşitliğin diğer tarafına atalım.

x - 2 = \sqrt{7}

Köklü ifadeden kurtulmak için kare alma işlemi yapmadan önce köklü terimi yalnız bırakmak işlemi kolaylaştırır.

2

Elde edilen eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.

(x - 2)^2 = (\sqrt{7})^2 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 7

Tam kare özdeşliğini

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

kullanarak açılımı yaparız.

3

x^2 - 4x

ifadesini yalnız bırakalım.

x^2 - 4x = 7 - 4 \Rightarrow x^2 - 4x = 3

Soruda sorulan ifadenin bir parçasını (x^2 - 4x) elde ederek yerine koyma işlemi yapacağız.

4

Bulunan değeri sorulan ifadede yerine yazalım.

x^2 - 4x + 12 = 3 + 12 = 15

Bulduğumuz 3 değerini ana ifadede yerine koyarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Köklü İfadeler ve Özdeşlikler

İpuçları

1

Soruda

x

değerini doğrudan yerine yazmak yerine, verilen eşitliği düzenleyerek sorulan ifadeye benzetmeye çalışın.

2

2

sayısını eşitliğin sol tarafına atıp her iki tarafın karesini almayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen

x = \sqrt{5} - 1

ise

x^2 + 2x

kaçtır? sorusunu inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x değerini doğrudan yerine yazarak da çözebilirsiniz:

(\sqrt{7}+2)^2 - 4(\sqrt{7}+2) + 12

. Bu işlemde tam kare açılımını

(7 + 4\sqrt{7} + 4)

ve dağılma özelliğini

(-4\sqrt{7} - 8)

dikkatli yaparak aynı sonuca ulaşırsınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 329Soru →

Bir kamu personeli seçme sınavında başarılı olan adayların sayısının, başarısız olan adayların sayısına oranı $\frac{3}{7}$ olarak belirlenmiştir. Bu sınavda başarısız olan aday sayısı $210$ olduğuna göre, sınava giren toplam aday sayısı kaçtır?

300

90

490

700

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Sınava giren toplam aday sayısı 300'dür.

Verilen

\frac{3}{7}

oranı doğrultusunda başarılı adaylar 3 birim (

3k

), başarısız adaylar ise 7 birim (

7k

) olarak temsil edilir. 7 birimlik başarısız aday sayısı 210 ise, her bir birim (orantı sabiti

k

) 30 adaya karşılık gelir. Toplam aday sayısı 10 birim (

3k + 7k

) olduğu için

10 \times 30 = 300

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Orantı sabitini (

k

) kullanarak aday sayılarını ifade edin.

Başarılı aday sayısı

3k

, başarısız aday sayısı

7k

olur.

Verilen

\frac{3}{7}

oranı, her 3 başarılı adaya karşılık 7 başarısız aday olduğunu gösterir.

2

Verilen başarısız aday sayısını kullanarak

k

değerini bulun.

7k = 210 \Rightarrow k = 30

.

Soruda başarısız aday sayısının 210 olduğu belirtilmiştir.

3

Toplam aday sayısını birim cinsinden belirleyin ve hesaplayın.

Toplam aday sayısı

= 3k + 7k = 10k

.

10 \times 30 = 300

.

Sınava giren toplam kişi sayısı, başarılı ve başarısız olanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Oran, iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasıdır; orantı ise bu oranların eşitliğidir.

İpuçları

1

Oran

\frac{3}{7}

ise başarılılara

3k

, başarısızlara

7k

diyerek başlayabilirsiniz.

2

Başarısızların sayısı (

7k

) 210 olarak verilmiş. Buradan

k

değerini bulmayı deneyin.

3

k

değerini bulduktan sonra, toplam aday sayısının

3k + 7k = 10k

olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda orantı verildiğinde, bir miktar yerine 'fark' verilseydi (örneğin başarılı ve başarısızlar arasındaki fark),

7k - 3k = 4k

üzerinden işlem yapmanız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Doğru orantı kurarak: 7 birim 210 kişi ise, 10 birim (toplam) x kişidir şeklinde içler dışlar çarpımı yapabilirsiniz:

7x = 10 \times 210 \Rightarrow x = 300

.

Tahmini Süre:45s

Soru 330Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlanan

\ast

işlemi, her

x

ve

y

gerçel sayısı için

x \ast y = 2xy - 2x - 2y + 3

biçiminde tanımlanıyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı $e$ olduğuna göre, $2$ sayısının bu işleme göre tersi kaçtır?

1

\frac{5}{4}

\frac{3}{2}

\frac{7}{4}

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{4}$

Cevap

İşlemin tanımına göre 2 sayısının tersi 5/4'tür.

Verilen işlem tanımında önce birim eleman

e

değeri

x \ast e = x

bağıntısıyla

3/2

olarak hesaplanır. Ardından 2 sayısının tersi olan

y

değeri,

2 \ast y = e

(yani

2 \ast y = 3/2

) eşitliğiyle aranır. Denklemin çözümü sonucunda

2y = 2,5

ve buradan

y = 5/4

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim elemanı (

e

) bulmak için

x \ast e = x

eşitliğini kurun.

2xe - 2x - 2e + 3 = x

Birim eleman, işleme girdiği her elemanı kendisine götüren elemandır.

2

Eşitliği

e

parantezine alarak çözün.

2e(x - 1) = 3x - 3 \Rightarrow 2e(x - 1) = 3(x - 1) \Rightarrow e = \frac{3}{2}

Birim eleman değişkenlerden bağımsız bir sabit sayı olmalıdır.

3

2 sayısının tersini (

y

) bulmak için

2 \ast y = e

eşitliğini kurun.

2(2)y - 2(2) - 2y + 3 = \frac{3}{2}

Bir eleman ile tersinin işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir.

4

Oluşan denklemi

y

için çözün.

4y - 4 - 2y + 3 = 1,5 \Rightarrow 2y - 1 = 1,5 \Rightarrow 2y = 2,5 \Rightarrow y = \frac{5}{4}

Cebirsel sadeleştirme yapılarak ters eleman değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İşlem konusundaki birim (etkisiz) eleman ve ters eleman kavramlarının cebirsel olarak hesaplanması.

İpuçları

1

Önce işlemin etkisiz elemanını (

e

) bulmalısın. Bunun için

x \ast e = x

eşitliğini kullanabilirsin.

2

Etkisiz elemanı

3/2

olarak bulduktan sonra,

2

ile tersinin (örneğin

y

) işleme girmesi durumunda sonucun

3/2

olması gerektiğini unutma.

3

2 \ast y = 3/2

denklemini

2(2)y - 2(2) - 2y + 3 = 1,5

şeklinde açarak

y

değerini çekebilirsin.

Daha Fazla Pratik

Birim elemanı olmayan bir işlem tanımlanabilir mi? Eğer işlem tanımındaki katsayılar bağımsız değişkenleri yok edemezse birim eleman bulunamaz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 331Soru →

x

ve

y

birer gerçel sayı olmak üzere,

x^2 - y^2 - 4x + 6y - 5

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

x + y + 5

x - y - 1

x + y - 5

x - y + 5

x + y - 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x + y - 5

Cevap

İfadenin çarpanlarından biri x + y - 5 ifadesidir.

Verilen ifade gruplandırılarak tam kareye tamamlandığında sabit terimler sadeleşir ve ifade

(x-2)^2 - (y-3)^2

halini alır. Bu iki kare farkı özdeşliği ile açıldığında çarpanlar

(x-y+1)

ve

(x+y-5)

olarak bulunur. Seçeneklerde verilen doğru çarpan

(x+y-5)

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeyi x ve y değişkenlerine göre gruplandır.

(x^2 - 4x) - (y^2 - 6y) - 5

Tam kare ifadeleri oluşturmak için değişkenleri ayırmak gerekir.

2

Her iki grup için tam kareye tamamlama işlemi yap.

((x-2)^2 - 4) - ((y-3)^2 - 9) - 5

x^2-4x

ifadesi

(x-2)^2

'den 4 eksiktir;

y^2-6y

ifadesi

(y-3)^2

'den 9 eksiktir.

3

Parantezleri aç ve sabit sayıları toparla.

(x-2)^2 - 4 - (y-3)^2 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y-3)^2

Sabit terimler (-4 + 9 - 5 = 0) birbirini götürür ve geriye iki kare farkı kalır.

4

İki kare farkı özdeşliğini uygula:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

.

((x-2) - (y-3)) \cdot ((x-2) + (y-3))

İfadeyi çarpım durumuna getirmek için son adımdır.

5

Parantez içlerini düzenle.

(x - 2 - y + 3)(x - 2 + y - 3) = (x - y + 1)(x + y - 5)

Çarpanların en sade halini bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve İki Kare Farkı

İpuçları

1

İfadede

x

ve

y

değişkenlerini ayrı ayrı gruplandırarak tam kare ifadeler (örneğin

(x-a)^2

) oluşturmaya çalışın.

2

x^2 - 4x

ifadesini

(x-2)^2

'ye ve

y^2 - 6y

ifadesini

(y-3)^2

'ye benzeterek artan sabit sayıları kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0

ise

x \cdot y

kaçtır? sorusu ile tam kare toplamının sıfır olması durumunu inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi:

x=2

ve

y=3

gibi ifadeyi basitleştirecek değerler vererek sonuç 0 bulunabilir. Bu durumda çarpanlardan biri 0 olmalıdır. Seçeneklerde

x=2, y=3

yazıldığında 0 sonucunu veren tek seçenek doğru cevaptır:

2+3-5=0

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 332Soru →

$3x^3 - 12x$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

3x(x - 2)(x + 2)

3x(x - 2)^2

3x^2(x - 4)

3x(x^2 - 4)

x(x - 2)(x + 2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3x(x - 2)(x + 2)$

Cevap

Verilen ifade en sade haliyle

3x(x - 2)(x + 2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

İfadenin her iki teriminde de bulunan

3x

çarpanı dışarı alındığında

3x(x^2 - 4)

elde edilir. Parantez içindeki

x^2 - 4

ifadesi

x^2 - 2^2

biçiminde bir iki kare farkıdır ve

(x-2)(x+2)

olarak çarpanlarına ayrılır. Bu iki adım birleştirildiğinde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak çarpan parantezine alma

3x(x^2 - 4)

Her iki terimde de bulunan en büyük ortak çarpan

3x

ifadesidir.

2

İki kare farkı özdeşliğini uygulama

3x(x - 2)(x + 2)

x^2 - 4

ifadesi

x^2 - 2^2

şeklinde yazılabildiği için

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma ve İki Kare Farkı Özdeşliği

İpuçları

1

İfadedeki her iki terimde de ortak olan sayı ve harfleri belirleyerek başlayın.

2

3x

çarpanını parantez dışına aldıktan sonra parantez içinde kalan ifadeye dikkat edin.

3

x^2 - 4

ifadesi bir 'iki kare farkı'dır.

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

2a^3 - 18a

ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 333Soru →

f

doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her

x

gerçel sayısı için

f(x) + (f \circ f)(x) = 6x + 8

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(0) > 0$ olduğu bilindiğine göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

-14

4

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Verilen eşitlikte

f(x)=ax+b

dönüşümü yapıldığında, katsayılar eşitliğinden

a=2

ve

b=2

değerleri

f(0)>0

koşulunu sağlayan tek çözümdür. Böylece

f(x)=2x+2

bulunur ve

f(2)=6

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

doğrusal fonksiyon olduğu için

f(x) = ax + b

formunda yazılır.

f(x) = ax + b

Doğrusal fonksiyonların genel formatı

ax+b

şeklindedir.

2

(f \circ f)(x)

bileşke fonksiyonunu hesapla.

(f \circ f)(x) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b

Bileşke işleminde içteki fonksiyon dıştaki fonksiyonda

x

yerine yazılır.

3

Eşitlikte yerlerine yazarak polinom eşitliği kur:

(ax+b) + (a^2x + ab + b) = 6x + 8

.

(a^2+a)x + (ab+2b) = 6x + 8

x

'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşitlenir.

4

x

'in katsayısını eşitleyerek

a

değerlerini bul:

a^2 + a = 6

.

a^2 + a - 6 = 0 \Rightarrow (a+3)(a-2) = 0 \Rightarrow a = -3

veya

a = 2

.

İkinci dereceden denklem çözümü.

5

Sabit terimleri eşitleyerek

b

değerini bul:

b(a+2) = 8

. Her iki

a

değeri için

b

'yi ve

f(0)

koşulunu kontrol et.

Durum 1 (

a=2

):

b(4)=8 \Rightarrow b=2

. Bu durumda

f(0)=b=2 > 0

. (Koşul sağlanır).
Durum 2 (

a=-3

):

b(-1)=8 \Rightarrow b=-8

. Bu durumda

f(0)=b=-8 < 0

. (Koşul sağlanmaz).

Soruda verilen

f(0) > 0

kısıtlaması doğru fonksiyonu seçmemizi sağlar.

6

Doğru fonksiyon

f(x) = 2x + 2

olduğuna göre

f(2)

değerini hesapla.

f(2) = 2(2) + 2 = 6

.

Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Polinom Eşitliği

İpuçları

1

f(x)

fonksiyonunun doğrusal olduğu belirtildiğinden,

f(x) = ax + b

şeklinde bir ifade varsayarak başlayın.

2

(f \circ f)(x)

ifadesini bulmak için

f(x)

ifadesinde

x

gördüğünüz yere tekrar

ax + b

yazın:

a(ax+b) + b

.

3

Elde ettiğiniz

(a^2+a)x + (ab+2b)

ifadesini

6x+8

ile eşitleyin.

a^2+a=6

denkleminden gelen köklerden hangisinin

f(0)>0

(yani

b>0

) koşulunu sağladığını kontrol edin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 334Soru →

$x$ ve $y$ birer tam sayıdır.

|x| = 5

|y| = 2

olduğuna göre, $x - 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

-11

-1

1

7

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük değer 11'dir.

İfadenin en büyük olması için pozitif katsayılı terim (

x

) mümkün olan en büyük, negatif katsayılı terim (

-3y

) ise mümkün olan en küçük değeri (yani

y

negatif) almalıdır.

x=5

ve

y=-2

seçildiğinde sonuç 11 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Mutlak değer özelliklerini kullanarak

x

ve

y

'nin alabileceği olası değerleri belirle.

x \in \{5, -5\}

ve

y \in \{2, -2\}

Bir sayının mutlak değeri

a

ise, sayı

a

veya

-a

olabilir.

2

x - 3y

ifadesini maksimize etmek için

x

ve

y

seçimlerini yap.

x

en büyük (5),

y

en küçük (-2) seçilmelidir.

Çıkarma işleminde sonucun büyük olması için eksilen (

x

) büyük, çıkan (

3y

) küçük (mümkünse negatif) olmalıdır.

3

Seçilen değerleri yerine koyarak işlemi hesapla.

5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11

İşlem önceliğine ve işaret çarpımına dikkat edilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı ve tam sayılarda dört işlemde maksimizasyon.

İpuçları

1

Bir çıkarma işleminin sonucunu en büyük yapmak için; eksilen sayıyı olabildiğince büyük, çıkan sayıyı ise olabildiğince küçük seçmelisin.

2

|y| = 2

ise

y

sayısı

2

veya

-2

olabilir.

-3y

ifadesini büyütmek için

y

yerine hangisini yazman gerektiğini düşün.

3

x

yerine

5

,

y

yerine

-2

yazarak işlemi tekrar hesapla:

5 - 3(-2)

.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

x - y

ifadesinin en küçük değerini soran sorular çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 335Soru →

Aşağıdaki üslü ifadelerden hangisinin sonucu pozitiftir?

(-3)^3

-3^4

(-3)^{-3}

(-3)^{-4}

-3^{-4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-3)^{-4}$

Cevap

Çift kuvvetin parantez dışındaki etkisi nedeniyle pozitif sonuç veren seçenek

(-3)^{-4}

ifadesidir.

Doğru seçenekte verilen

(-3)^{-4}

ifadesinde, taban negatif (-3) olmasına rağmen üs çift sayı (-4) olduğu için sonuç pozitif olur. Negatif üs sadece sayıyı ters çevirir (1/81), işaretini değiştirmez.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerin işaretlerini belirlemek için üslü sayıların işaret kuralları incelenir.

Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Parantez yoksa üs sadece sayıyı etkiler, işareti etkilemez.

Üslü ifadelerde işaret tespiti yapılırken tabanın işareti, üssün tekliği/çiftliği ve parantez durumu dikkate alınır.

2

A seçeneği incelenir:

(-3)^3

Taban negatif (-3), üs tek (3). Sonuç negatiftir (

-27

).

Negatif sayıların tek kuvveti negatiftir.

3

B seçeneği incelenir:

-3^4

Parantez yok.

3^4 = 81

, önündeki eksi ile sonuç

-81

.

Parantezsiz ifadelerde üs sadece sayıyı etkiler, öndeki eksi işareti kalır.

4

C seçeneği incelenir:

(-3)^{-3}

Üs negatif ama tek. Sonuç

\frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}

olur. İşaret negatiftir.

Üssün negatif olması sayının işaretini değiştirmez, sadece çarpma işlemine göre tersini alır.

5

D seçeneği incelenir:

(-3)^{-4}

Taban negatif (-3), üs çift (-4). Sonuç

\frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}

olur. İşaret pozitiftir.

Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti daima pozitiftir.

6

E seçeneği incelenir:

-3^{-4}

Parantez yok.

3^{-4} = \frac{1}{81}

, önündeki eksi ile sonuç

-\frac{1}{81}

.

Parantezsiz olduğu için sonuç negatiftir.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda işaret incelemesi yapılırken; negatif sayıların çift kuvvetlerinin pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olduğu ve parantez durumunun önemi unutulmamalıdır.

Soru 336Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda, $-2$ noktasının içi dolu ve $3$ noktasının içi boş olarak işaretlenmiş, bu iki nokta arasındaki bölge ise kalın çizgiyle taranmıştır.

Buna göre, sayı doğrusunda gösterilen bu aralığı ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

-2 < x \leq 3

-2 \leq x < 3

-2 \leq x \leq 3

-2 < x < 3

x \geq -2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2 \leq x < 3$

Cevap

Sayı doğrusundaki taralı bölge

-2

noktasından başlayıp (dahil)

3

noktasına kadar (hariç) devam ettiği için doğru eşitsizlik

-2 \leq x < 3

ifadesidir.

Doğru cevap olan

-2 \leq x < 3

ifadesi, sayı doğrusundaki

-2

noktasının dolu (dahil) ve

3

noktasının boş (hariç) olduğu gösterimiyle tam olarak örtüşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Alt sınırı kontrol et.

-2

noktası dahil (dolu yuvarlak).

Sayı doğrusunda bir noktanın içinin dolu olması, o değerin çözüm kümesine dahil olduğunu ve

\leq

veya

\geq

sembollerinin kullanılacağını gösterir.

2

Üst sınırı kontrol et.

3

noktası hariç (boş yuvarlak).

Noktanın içinin boş olması, o değerin çözüm kümesine dahil olmadığını ve

<

veya

>

sembollerinin kullanılacağını gösterir.

3

Bulguları birleştirerek eşitsizliği yaz.

-2 \leq x < 3

Bilinmeyen

x

değeri

-2

ile

3

arasında olup,

-2

dahil,

3

hariçtir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusu üzerinde aralık gösterimi ve sınır değerlerin (dahil/hariç) belirlenmesi.

İpuçları

1

Sayı doğrusundaki yuvarlakların içine bakın. Dolu olması o sayının 'dahil' olduğu anlamına gelir.

2

Dahil olan sınırlar için

\leq

veya

\geq

, dahil olmayan sınırlar için

<

veya

>

sembollerini kullanırız.

3

-2

noktası dolu olduğuna göre

-2 \leq x

ile başlamalı,

3

noktası boş olduğuna göre

x < 3

ile bitmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, aynı aralığın parantezli gösterimini (örneğin

[-2, 3)

) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 337Soru →

\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{6} - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.

Verilen işlemde ilk kesrin paydası

(1+\sqrt{2}) + \sqrt{3}

şeklinde gruplandırılıp

(1+\sqrt{2}) - \sqrt{3}

ile çarpıldığında

√2 + 2 - √6

ifadesi elde edilir. İkinci kesir ise

a^3-b^3

açılımı kullanılarak rasyonel hale getirildiğinde

\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}

sonucuna ulaşılır. Tüm terimler toplandığında irrasyonel ifadeler birbirini yok eder ve geriye sadece 2 kalır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk kesrin paydasını eşleniği ile çarparak rasyonel hale getirmek.

\frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - 3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{1+2+2\sqrt{2}-3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}

Üç terimli paydalarda gruplandırma yapılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanır.

2

Küpkök içeren ikinci kesrin paydasını rasyonel hale getirmek.

\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{3-2} = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

özdeşliğinden faydalanarak paydayı kökten kurtarmak gerekir.

3

Bulunan ifadeleri ana denklemde yerine koyarak sadeleştirme yapmak.

(\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}) + \sqrt{6} - \sqrt{2} + (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2} = 2

Zıt işaretli köklü terimlerin toplamı sıfıra eşit olduğu için sadece tam sayı olan terim kalır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması (eşlenik) ve küp açılımı özdeşliklerinin kullanımı.

Soru 338Soru →

Bir belediyenin park ve bahçeler birimi, üç farklı parka (K, L ve M) toplam 620 adet fidan dikecektir. Dikilecek fidan sayıları sırasıyla; 2 dönümlük K parkının alanı ile doğru, 3 dönümlük L parkının alanı ile ters ve 4 dönümlük M parkının alanı ile ters orantılıdır. Buna göre, L parkına kaç adet fidan dikilecektir?

60

80

120

240

480

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

L parkına 80 adet fidan dikilecektir.

Soruda verilen orantı türlerine göre denklemler kurulur: K doğru orantılı olduğu için 2k, L ters orantılı olduğu için k/3 ve M ters orantılı olduğu için k/4 şeklinde ifade edilir. Toplam fidan sayısı 620 olduğundan, bu ifadelerin toplamı 620'ye eşitlenir. Kurulan denklemden orantı sabiti k=240 bulunur. Soruda L parkı sorulduğu için k/3 değeri hesaplanır ve 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Orantı ilişkilerini matematiksel ifadeye dökme

K = 2k, L = k/3, M = k/4

Doğru orantıda çarpım, ters orantıda bölüm ilişkisi kurulur (K/2 = 3L = 4M = k).

2

Toplam fidan sayısı denklemini kurma

2k + k/3 + k/4 = 620

Tüm parklara dikilecek fidanların toplamı verilmiştir.

3

Paydaları eşitleyerek denklemi çözme (Payda: 12)

(24k + 4k + 3k) / 12 = 620 → 31k / 12 = 620

Rasyonel ifadelerle toplama yapabilmek için paydalar eşitlenir.

4

Orantı sabiti k değerini bulma

31k = 7440 → k = 240

İçler dışlar çarpımı ve sadeleştirme yapılır.

5

İstenen L değerini hesaplama

L = k/3 = 240 / 3 = 80

Bulunan k değeri L parkı için kurulan denklemde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı (Doğru ve Ters Orantı Birlikte)

İpuçları

1

Doğru orantı 'çarpım (k.x)', ters orantı 'bölüm (k/x)' şeklinde ifade edilir. K=2k yazarak başlayın.

2

L ve M ters orantılı olduğu için L = k/3 ve M = k/4 denklemlerini kullanın.

3

Denklem: 2k + k/3 + k/4 = 620. Paydaları 12'de eşitleyerek k'yı bulun, sonra 3'e bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam miktar yerine iki kişi arasındaki fark verildiğinde çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Kesirlerle uğraşmamak için orantı sabitini baştan 12k olarak seçebilirsiniz. Bu durumda K=24k (2 ile doğru), L=4k (3 ile ters -> 12k/3), M=3k (4 ile ters -> 12k/4) olur. Toplam 31k=620 ise k=20 bulunur. L=4k=80 çıkar.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 339Soru →

$4x^2 - 12x$ ifadesinin ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

4x(x - 3)

4x(x + 3)

4(x^2 - 3)

4x(x - 12)

x(4x - 3)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4x(x - 3)$

Cevap

Verilen ifade her iki terimde de ortak olan

4x

parantezine alındığında

4x(x - 3)

sonucu elde edilir.

İfadedeki her iki terim de

4x

ile tam bölünmektedir.

4x^2

terimi

4x \cdot x

olarak,

-12x

terimi ise

4x \cdot (-3)

olarak yazılabilir. Ortak olan

4x

değeri parantez dışına alındığında geriye kalan

x

ve

-3

terimleri parantez içine yazılır.

Adım Adım Çözüm

1

Terimlerdeki ortak katsayıyı belirleyin.

4 ve 12 sayılarının en büyük ortak böleni 4'tür.

Her iki terimin de sayısal olarak bölünebileceği en büyük değeri bulmak için.

2

Terimlerdeki ortak değişkeni belirleyin.

x^2

ve

x

terimlerinde ortak olan değişken

x

'dir.

Her iki terimde de en az bir tane

x

çarpanı bulunmaktadır.

3

Ortak çarpanı (

4x

) belirleyip her bir terimi bu çarpana bölün.

\frac{4x^2}{4x} = x

ve

\frac{-12x}{4x} = -3

Parantez içine yazılacak terimleri bulmak için bölme işlemi yapılır.

4

İfadeyi çarpan çarpımı şeklinde yazın.

4x(x - 3)

Dağılma özelliğinin tersini uygulayarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma

İpuçları

1

Her iki terimde de ortak olan sayı ve harfi bulmaya çalışın.

2

4 ve 12 sayıları kaça bölünür? Ayrıca her iki terimde de

x

harfi var mı?

3

İfadeyi

4x

parantezine almayı deneyin; yani her terimi

4x

'e bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

3a^2 + 6a

ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Parantez dışındaki terimi içeri dağıtarak orijinal ifadeye (

4x^2 - 12x

) ulaşıp ulaşmadığınızı kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 340Soru →

x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

olduğuna göre, $x$ reel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

2

4

2√2

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen ifadede kök içindeki sayılar,

(a+b)^3

ve

(a-b)^3

formundadır.

20+14\sqrt{2}

sayısı

(2+\sqrt{2})

'nin kübü,

20-14\sqrt{2}

sayısı ise

(2-\sqrt{2})

'nin kübüdür. Bu sayılar küp kök dışına çıkarıldığında

\sqrt{2}

'ler birbirini götürür ve sonuç tamsayı olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kök içindeki ifadelerin tam küp olup olmadığını kontrol et.

(2 + \sqrt{2})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3

hesaplanır.

Köklü ifadelerde, özellikle küp kök içindeki

A + B\sqrt{C}

formundaki sayılar genellikle

(m + n\sqrt{C})^3

biçimindedir.

2

Açılımı tamamla ve kök içi ile eşleştir.

8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2} = 20 + 14\sqrt{2}

olduğu görülür. Benzer şekilde

(2 - \sqrt{2})^3 = 20 - 14\sqrt{2}

'dir.

Bu özdeşlik, köklü ifadelerin kök dışına tam olarak çıkmasını sağlar.

3

Bulunan değerleri yerine yaz ve toplama işlemini yap.

x = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(2 - \sqrt{2})^3} = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2})

\sqrt[3]{a^3} = a

kuralı uygulanır.

4

Sonucu hesapla.

2 + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 4

Köklü terimler birbirini götürür ve geriye sadece tamsayılar kalır.

Anahtar Kavram

Tam Küp Açılımı ve Köklü İfadeler

İpuçları

1

Küp kök içindeki ifadeyi

(a + \sqrt{b})^3

şeklinde yazıp yazamayacağınızı kontrol edin.

2

(2 + \sqrt{2})^3

ifadesinin açılımını yaparak kök içindeki ifadeyle karşılaştırın.

3

20 + 14\sqrt{2} = (2+\sqrt{2})^3

eşitliğini kullanarak kökleri sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde

\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}

kuralını içeren soruları çözerek pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi:

x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

olsun. Her iki tarafın kübü alınırsa

x^3 = (20+14\sqrt{2}) + (20-14\sqrt{2}) + 3\cdot(\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})})\cdot x

elde edilir. Bu denklem düzenlenerek

x^3 = 40 + 6x

bulunur ve

x=4

kökü tespit edilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları