Cebir

Soru 361Soru →

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

x - y = 4

y - z = 6

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$ ifadesinin değeri kaçtır?

28

52

76

100

152

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

İfadenin doğru değeri 76'dır.

Verilen ifade

\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2]

özdeşliğine eşittir. Denklem sisteminden

x-z=10

bulunur. Değerler yerine yazıldığında sonuç 76 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sorulan ifadeyi tam kare özdeşlikleri cinsinden düzenle.

x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \left[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 \right]

formülünü kullan.

Bu özdeşlik, kareler toplamı ve ikili çarpımlar farkını verilen farklar cinsinden ifade etmeyi sağlar.

2

x-z

değerini bulmak için verilen denklemleri taraf tarafa topla.

(x-y) + (y-z) = 4 + 6 \implies x - z = 10

Formüldeki üçüncü terim olan

(x-z)

'yi bulmak için.

3

Bulunan değerleri formülde yerine yaz.

\frac{1}{2} \left[ 4^2 + 6^2 + 10^2 \right]

Değerleri hesaplamak için.

4

İşlemleri tamamla.

\frac{1}{2} [16 + 36 + 100] = \frac{1}{2} [152] = 76

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin özel dönüşümleri

İpuçları

1

Bu ifadeyi çarpanlara ayırma formüllerinden yararlanarak

(x-y)^2

,

(y-z)^2

ve

(x-z)^2

terimlerini içerecek şekilde düzenlemeye çalışın.

2

İfadeyi 2 ile çarpıp 2'ye bölerseniz,

2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx

elde edersiniz. Bu terimleri

(x^2-2xy+y^2)

şeklinde gruplandırın.

3

Kullanmanız gereken özdeşlik:

\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2]

. Ayrıca

x-z = (x-y) + (y-z)

eşitliğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

x-y=y-z

(eşit farklar) durumu için çözerek sonucun nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi:

y=0

seçilirse, denklemlerden

x=4

ve

z=-6

bulunur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa:

4^2 + 0^2 + (-6)^2 - (4)(0) - (0)(-6) - (-6)(4) = 16 + 36 + 24 = 76

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 362Soru →

3^x \cdot 5^y = 135

5^x \cdot 3^y = 375

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

x^2 - y^2

ifadesinin değeri kaçtır?

4

6

8

10

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin değeri 8'dir.

Soruda verilen iki üslü denklem, değişkenleri (

x

ve

y

) doğrudan bulmak yerine, sistem olarak düşünülmelidir. Denklemler taraf tarafa çarpıldığında tabanlar birleştirilerek

15^{x+y}=15^4

elde edilir, bu da

x+y=4

sonucunu verir. Denklemler taraf tarafa bölündüğünde ise

(3/5)^{x-y}=(3/5)^2

elde edilir, bu da

x-y=2

sonucunu verir. İstenen

x^2-y^2

ifadesi, iki kare farkı özdeşliği gereği

(x-y)(x+y)

çarpımına eşittir. Dolayısıyla sonuç

2 \cdot 4 = 8

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpın.

(3^x \cdot 5^y) \cdot (5^x \cdot 3^y) = 135 \cdot 375

(3^x \cdot 3^y) \cdot (5^x \cdot 5^y) = (27 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 125)

3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = 3^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 5^3

15^{x+y} = 3^4 \cdot 5^4 = 15^4

Buradan

x+y = 4

bulunur.

Tabanları farklı üslü ifadelerde üsler toplamını bulmak için denklemlerin çarpılması, ortak üs parantezine almayı sağlar.

2

Verilen iki eşitliği taraf tarafa bölün (birinciyi ikinciye).

\frac{3^x \cdot 5^y}{5^x \cdot 3^y} = \frac{135}{375}

\frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{5^y}{5^x} = \frac{27}{75} = \frac{9}{25}

3^{x-y} \cdot 5^{-(x-y)} = \left(\frac{3}{5}\right)^2

\left(\frac{3}{5}\right)^{x-y} = \left(\frac{3}{5}\right)^2

Buradan

x-y = 2

bulunur.

Üsler farkını bulmak için denklemlerin bölünmesi, aynı tabanların oranlanmasını sağlar.

3

İstenen ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ile hesaplayın.

x^2 - y^2 = (x-y) \cdot (x+y)

x^2 - y^2 = 2 \cdot 4 = 8

x

ve

y

değerlerini ayrı ayrı bulmak yerine özdeşlik kullanmak daha kısa ve güvenilir bir yoldur.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemlerde Sistem Çözümü ve İki Kare Farkı

İpuçları

1

x

ve

y

değerlerini tek tek bulmaya çalışmak yerine, eşitlikleri taraf tarafa çarpmayı deneyin.

2

Eşitlikleri taraf tarafa çarptığınızda

x+y

, böldüğünüzde ise

x-y

ile ilgili bir bağıntı bulacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış köklü sayı sistemleri soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

x=3

ve

y=1

değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya

135 = 3^3 \cdot 5^1

asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle doğrudan bularak da sonuca gidilebilir:

3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8

.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 363Soru →

Sıfırdan farklı

a, b

ve

c

gerçel sayıları için;

a \cdot b < 0

b - a < 0

a \cdot c > b \cdot c

eşitsizlikleri verildiğine göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi her durumda sağlanır?

a \cdot b \cdot c > 0

a + b + c > 0

\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}

c - a > 0

a^2 > b^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}$

Cevap

\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}

bağıntısının bulunduğu seçenek doğrudur.

Verilen eşitsizliklerden

b < 0

,

a > 0

ve

c > 0

sonuçları elde edilir.

a

ve

c

pozitif olduğu için

a + c

değeri

a

'dan büyüktür. Paydası daha büyük olan pozitif kesir (

\frac{1}{a+c}

) daha küçüktür. Ancak bu kesir negatif olan

b

sayısı ile çarpıldığında, eşitsizlik yön değiştirerek

\frac{b}{a} < \frac{b}{a+c}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

a

ve

b

değişkenlerinin işaretlerini belirleyin.

b < 0 < a

a \cdot b < 0

olması sayıların zıt işaretli olduğunu,

b - a < 0 \Rightarrow b < a

olması ise

b

'nin negatif,

a

'nın pozitif olduğunu gösterir.

2

c

değişkeninin işaretini belirleyin.

c > 0

a \cdot c > b \cdot c

eşitsizliğinde terimler sol tarafa toplanırsa

c(a - b) > 0

elde edilir.

a > b

olduğu için

(a - b)

pozitiftir; dolayısıyla

c

de pozitif olmalıdır.

3

Doğru bağıntıyı kanıtlayın.

\frac{b}{a} < \frac{b}{a + c}

a > 0

ve

c > 0

olduğundan

a < a + c

yazılabilir. Pozitif sayılarla kurulan rasyonel ifadede

\frac{1}{a} > \frac{1}{a + c}

olur. Bu eşitsizlik negatif olan

b

sayısı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerde Çarpma ve İşaret Analizi

Soru 364Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri için;

$s(A \cup B) = 17$
$s(A \cap B) = 4$
$s(A) = 2 \cdot s(B)$

olduğuna göre, $B \setminus A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

3

4

5

7

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Sadece B kümesine ait olan eleman sayısı 3'tür.

Doğru yanıt olan 3 değeri,

B

kümesinin toplam eleman sayısı olan 7'den, her iki kümede ortak bulunan 4 elemanın çıkarılmasıyla elde edilir. Bu işlem

B \setminus A

bölgesini doğru tanımlar.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerde birleşim formülünü yazalım.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısını bulmak için temel kuraldır.

2

Verilen oranları değişken kullanarak ifade edelim.

s(B) = x

ise

s(A) = 2x

olur.

Soruda

s(A)

'nın

s(B)

'nin iki katı olduğu belirtilmiştir.

3

Değerleri formülde yerine koyarak denklemi çözelim.

17 = 2x + x - 4 \Rightarrow 17 + 4 = 3x \Rightarrow 21 = 3x \Rightarrow x = 7

. Yani

s(B) = 7

ve

s(A) = 14

bulunur.

s(B)

değerini bulmak için cebirsel çözüm yapılır.

4

İstenen fark kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.

s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 7 - 4 = 3

.

B \setminus A

,

B

kümesinde olup

A

kümesinde olmayan elemanları temsil eder.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Fark İşlemi

İpuçları

1

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünü hatırlayın.

2

s(B)

'ye

x

diyerek

s(A)

'yı

2x

olarak yazın ve birleşim sayısını veren denklemde yerine koyun.

3

s(B)

'yi bulduktan sonra, sadece

B

kümesinde olanları bulmak için kesişimdeki 4 elemanı çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Venn şeması çizerek her bölgeye düşen eleman sayılarını yerleştirmek, bu tür soruları görselleştirmek için en iyi yoldur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 365Soru →

x \neq -5, x \neq -3, x \neq -2

ve

x \neq 5

olmak üzere,

\frac{x^3 - 19x - 30}{x^2 - 25} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x^2 + 5x + 6}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

x

x + 2

x - 5

\frac{x}{x+2}

\frac{1}{x+5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x

Cevap

İfadenin en sade hâli

x

sonucudur.

Verilen rasyonel ifadede önce küplü terim

(x-5)(x^2+5x+6)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Diğer terimler de çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki

(x-5)

,

(x+5)

ve

(x^2+5x+6)

ifadelerinin tamamı birbirini sadeleştirir ve geriye sadece

x

çarpanı kalır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk kesrin payındaki küp ifadeyi çarpanlarına ayır.

x^3 - 19x - 30

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, paydadaki

(x^2-25)

ipucu olarak kullanılabilir.

x=5

denendiğinde

125 - 95 - 30 = 0

olduğu görülür. Polinom bölmesi veya Horner yöntemiyle:

x^3 - 19x - 30 = (x-5)(x^2 + 5x + 6)

elde edilir.

Üçüncü dereceden ifadelerin çarpanlarını bulmak için rasyonel kök teoremi veya verilen diğer ifadelerden ipucu alma yöntemi kullanılır.

2

Elde edilen ikinci derece ifadeyi ve diğer tüm terimleri çarpanlarına ayır.

Pay:

(x-5)(x+2)(x+3)

. Payda:

x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

. İkinci kesir pay:

x^2 + 5x = x(x+5)

. İkinci kesir payda:

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

.

Sadeleştirme yapabilmek için tüm ifadeler çarpım durumuna getirilmelidir.

3

Tüm çarpanları yerine yaz ve sadeleştirme işlemini uygula.

\frac{(x-5)(x+2)(x+3)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x(x+5)}{(x+2)(x+3)}

Ortak çarpanlar

(x-5)

,

(x+5)

ve

(x+2)(x+3)

birbirini götürür. Geriye sadece

x

kalır.

Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini sadeleştirir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması.

İpuçları

1

İşleme başlamadan önce paydadaki

(x^2 - 25)

ifadesinin çarpanlarına (

x-5

ve

x+5

) dikkat edin. Bu çarpanlardan biri pay kısmındaki

x^3 - 19x - 30

ifadesinin de bir çarpanı olabilir mi?

2

x=5

değerini

x^3 - 19x - 30

ifadesinde yerine koyarak sonucun 0 olup olmadığını kontrol edin. Eğer 0 ise,

(x-5)

bir çarpandır.

3

x^3 - 19x - 30

ifadesini

(x-5)

'e böldüğünüzde elde edeceğiniz bölüm

x^2 + 5x + 6

olacaktır. Bu ifade, ikinci kesrin paydasıyla aynıdır.

Daha Fazla Pratik

Üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması konusunda daha fazla pratik yapmak için 'Polinomlarda Bölme' konusuna göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yapmak yerine, şıklardan giderek veya

x

yerine tanım kümesine uygun basit bir sayı (örneğin

x=1

) vererek sonuç kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem teorik öğrenmeyi desteklemez.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 366Soru →

x

ve

y

birer gerçel sayı olmak üzere,

x^2 + y^2 + 4x - 10y + 29 = 0

olduğuna göre,

x \cdot y

çarpımının değeri kaçtır?

10

3

-10

-7

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Verilen denklem tam kare ifadelere dönüştürüldüğünde

x=-2

ve

y=5

değerlerine ulaşılır, bu değerlerin çarpımı ise -10 sonucunu verir.

Verilen denklemde

x^2+4x

ve

y^2-10y

ifadeleri, tam kareye tamamlanmak için sırasıyla

4

ve

25

sayılarına ihtiyaç duyar. Sabit terim olan

29

bu ihtiyacı tam olarak karşılar (

29 = 4 + 25

). Bu durumda ifade

(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0

halini alır. Gerçel sayılarda karelerin toplamı sıfır ise her bir terim sıfır olmalıdır. Buradan

x = -2

ve

y = 5

bulunur. Çarpımları ise

-10

eder.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemi, değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak ve sabit terimi bu gruplara uygun şekilde paylaştırarak yeniden düzenleyin.

x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 0

29 sayısını 4 ve 25 olarak ayırmak, ifadeyi tam kare toplamları haline getirebilmemizi sağlar.

2

x

ve

y

içeren grupları tam kare özdeşliklerini kullanarak çarpanlarına ayırın.

(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 0

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

özdeşliğini uygulamak için.

3

İki tam karenin toplamı sıfır ise, her bir tam karenin içinin sıfıra eşit olması gerektiğini kullanarak

x

ve

y

değerlerini bulun.

x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2

ve

y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5

Gerçel sayıların kareleri toplamı ancak her bir terim ayrı ayrı sıfır olduğunda sıfıra eşit olabilir.

4

Bulunan

x

ve

y

değerlerini çarparak soruda istenen sonucu elde edin.

(-2) \cdot 5 = -10

Soruda bizden

x

ve

y

değişkenlerinin çarpımı istendiği için.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Kareler Toplamı

İpuçları

1

Denklemi tam kare ifadelerin toplamı (

(...)^2 + (...)^2 = 0

) şeklinde yazmaya çalışın.

2

29

sayısını

4

ve

25

olarak ikiye ayırarak

x

ve

y

terimleriyle gruplandırın.

3

(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0

eşitliğini elde ettikten sonra, her bir parantezin içini sıfıra eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla üç değişkenli (x, y ve z) tam kare tamamlama sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 20s

Soru 367Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda, $2$ noktasının içi boş ve $6$ noktasının içi dolu olarak işaretlenmiş, bu iki nokta arasındaki bölge ise koyu renkli bir çizgiyle taranmıştır.

Bu taranan bölgedeki sayılar $x - 3$ ifadesinin alabileceği değerleri temsil ettiğine göre, $x$ reel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

5 < x \leq 9

5 \leq x < 9

-1 < x \leq 3

5 < x < 9

-9 < x \leq -5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5 < x \leq 9$

Cevap

x

reel sayısının alabileceği en geniş aralık

5 < x \leq 9

eşitsizliği ile ifade edilir.

Sayı doğrusunda verilen aralık

(2, 6]

şeklindedir ve bu aralık

x-3

ifadesini temsil eder. Dolayısıyla kurulan eşitsizlik

2 < x-3 \leq 6

olur.

x

değerini bulmak için eşitsizliğin her tarafına

3

eklendiğinde

5 < x \leq 9

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sayı doğrusundaki görsel veriyi eşitsizlik formuna dönüştürün.

2 < x - 3 \leq 6

2

noktası açık (içi boş) olduğu için 'küçüktür' (

<

),

6

noktası kapalı (içi dolu) olduğu için 'küçük eşittir' (

\leq

) sembolü kullanılır.

2

x

değişkenini yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına

3

ekleyin.

2 + 3 < x - 3 + 3 \leq 6 + 3

Eşitsizliğin bir tarafındaki sabiti yok etmek için o sabitin toplama işlemine göre tersi her tarafa eklenmelidir.

3

İşlemleri tamamlayarak nihai aralığı belirleyin.

5 < x \leq 9

Basit toplama işlemleri sonucunda

x

değişkeninin alabileceği değer aralığına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi ve eşitsizliklerde temel toplama-çıkarma işlemleri.

İpuçları

1

Sayı doğrusundaki içi boş ve içi dolu noktaların hangi eşitsizlik sembollerine (

<

,

\leq

) karşılık geldiğini belirleyin.

2

Taranan bölgenin

x

değil,

x-3

olduğunu fark edin. Önce

x-3

için bir aralık kurun.

3

2 < x - 3 \leq 6

eşitsizliğinde

x

'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına

3

ekleyin.

Daha Fazla Pratik

Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizliğin yön değiştirmesi gerektiğini unutmayın.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 368Soru →

x

ve

y

gerçel sayıları için,

(x+y)^2 = 45

(x-y)^2 = 21

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x \cdot y$ çarpımı kaçtır?

3

6

12

24

33

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Soruda verilen

(x+y)^2

ve

(x-y)^2

ifadeleri arasındaki temel ilişki

(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

özdeşliğidir. Verilen sayısal değerler (45 ve 21) bu denklemde yerine konulduğunda

45 - 21 = 24

bulunur. Bu değer

4xy

'ye eşittir. Her iki taraf 4'e bölündüğünde

xy = 6

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iki ifade taraf tarafa çıkarılır.

(x+y)^2 - (x-y)^2 = 45 - 21

x \cdot y

terimini elde etmek için tam kare ifadelerin farkından yararlanılır.

2

Tam kare açılımları yazılarak işlem düzenlenir.

(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 24

Parantez içindeki terimlerin işaretlerine dikkat edilerek çıkarma işlemi yapılır.

3

Sadeleştirme yapılır ve

xy

bulunur.

4xy = 24 \Rightarrow xy = 6

x^2

ve

y^2

terimleri birbirini götürür, geriye

4xy

kalır.

Anahtar Kavram

İki terimin toplamının ve farkının karesi özdeşlikleri arasındaki ilişki:

(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

İpuçları

1

(x+y)^2

ve

(x-y)^2

ifadelerini açık halleriyle (

x^2 + 2xy + y^2

ve

x^2 - 2xy + y^2

) yazmayı deneyin.

2

Yazdığınız bu iki ifadeyi taraf tarafa çıkarırsanız

x^2

ve

y^2

terimleri yok olur.

3

Çıkarma işlemi sonucunda elinizde sadece

4xy

kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

x^2 + y^2

toplamının sorulduğu bir soru çözerek iki yöntem arasındaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak; birinci denklemden

x^2 + y^2 = 45 - 2xy

, ikinci denklemden

x^2 + y^2 = 21 + 2xy

yazıp bu iki ifade birbirine eşitlenerek de çözülebilir:

45 - 2xy = 21 + 2xy \Rightarrow 24 = 4xy

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 369Soru →

Bir kamu kurumundaki bilgisayar sayısının çalışan sayısına oranı $\frac{3}{5}$ 'tir. Bu kurumda toplam 45 çalışan olduğuna göre, kurumdaki bilgisayar sayısı kaçtır?

15

27

75

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Kurumdaki bilgisayar sayısı 27'dir.

Verilen orana göre bilgisayar sayısı

3k

, çalışan sayısı

5k

olarak temsil edilir. Çalışan sayısı

5k = 45

olduğundan

k = 9

bulunur. Buradan bilgisayar sayısı

3 \times 9 = 27

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranı matematiksel olarak ifade etme

\frac{\text{Bilgisayar Sayısı}}{\text{Çalışan Sayısı}} = \frac{3}{5}

Soruda bilgisayar sayısının çalışan sayısına oranının 3/5 olduğu belirtilmiştir.

2

Orantı sabiti (

k

) belirleme

\text{Bilgisayar Sayısı} = 3k

,

\text{Çalışan Sayısı} = 5k

Oranlardaki pay ve payda, gerçek değerlerin ortak bir katı ile ifade edilebilir.

3

Verilen çalışan sayısı bilgisini kullanarak

k

değerini bulma

5k = 45 \Rightarrow k = \frac{45}{5} = 9

Kurumda 45 çalışan olduğu bilgisiyle orantı sabiti hesaplanır.

4

Bilgisayar sayısını hesaplama

\text{Bilgisayar Sayısı} = 3k = 3 \times 9 = 27

Hesaplanan orantı sabiti bilgisayar sayısı ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Oran, iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasıdır. Bir

a/b

oranında gerçek değerleri bulmak için orantı sabiti (

k

) kullanılır.

İpuçları

1

Oran, parçaların birbirine olan büyüklüğünü gösterir. Bilgisayarlar 3 kat iken çalışanlar 5 kattır.

2

Çalışan sayısı 45 olduğuna göre, 5 katın kaça denk geldiğini bularak bir 'kat' (birim) değerini hesaplayın.

3

5 \times \text{Kat} = 45

ise

\text{Kat} = 9

'dur. Şimdi bilgisayar sayısı olan 3 katı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, bilgisayar ve çalışan sayılarının toplamı verilerek her birinin ayrı ayrı değerleri istenebilir.

Alternatif Yöntem

İçler dışlar çarpımı yöntemi:

\frac{3}{5} = \frac{x}{45}

eşitliğinde

5x = 3 \times 45

denkleminden

x = 27

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 370Soru →

a, b

ve

c

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

\frac{a}{b} < -1

b \cdot c > 0

a + c < 0

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a < 0

|a| > |c|

a \cdot c < 0

a + b < 0

b > c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot c < 0$

Cevap

a

ve

c

sayılarının çarpımının negatif olduğu (

a \cdot c < 0

) seçeneği daima doğrudur.

Verilen sistemde

b

sayısının işareti belirsizdir, bu yüzden iki durum incelenmelidir.

b

pozitifse

c

pozitif ve

a

negatif olur.

b

negatifse

c

negatif ve

a

pozitif olur. Her iki durumda da

a

ve

c

sayıları zıt işaretlidir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir (

a \cdot c < 0

).

Adım Adım Çözüm

1

b

ve

c

işaretlerini analiz et

b \cdot c > 0

olduğu için

b

ve

c

aynı işaretlidir (

+,+

veya

-,-

).

İki sayının çarpımı pozitifse, sayılar aynı işaretli olmalıdır.

2

1. Durumu (

b > 0

) incele

b > 0

ise

c > 0

olur.

\frac{a}{b} < -1

eşitsizliğinde her iki tarafı

b

(pozitif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez:

a < -b

. Bu durumda

a

negatiftir.

a(-), b(+), c(+)

.

Eşitsizliklerde pozitif sayıyla çarpma yönü korur.

3

2. Durumu (

b < 0

) incele

b < 0

ise

c < 0

olur.

\frac{a}{b} < -1

eşitsizliğinde her iki tarafı

b

(negatif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir:

a > -b

.

b

negatif olduğu için

-b

pozitiftir, yani

a

pozitiftir.

a(+), b(-), c(-)

.

Eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma yönü değiştirir. Bu kritik bir ayrımdır.

4

Seçenekleri her iki durum için test et

1. Durumda:

a(-), c(+)

çarpımı negatiftir. 2. Durumda:

a(+), c(-)

çarpımı negatiftir. Her iki durumda da

a \cdot c < 0

kesindir.

Daima doğru olması için tüm olası senaryolarda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde işaret analizi ve durum (vaka) incelemesi

Soru 371Soru →

$3x^2 - 75$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

3(x - 5)(x + 5)

3(x - 5)^2

3(x - 25)(x + 25)

(3x - 15)(3x + 15)

3(x + 5)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3(x - 5)(x + 5)$

Cevap

Verilen ifade önce 3 ortak çarpan parantezine alınmalı, ardından elde edilen

x^2 - 25

ifadesine iki kare farkı özdeşliği uygulanarak

3(x - 5)(x + 5)

sonucuna ulaşılmalıdır.

Verilen ifade 3 parantezine alındığında

x^2 - 25

elde edilir. 25 sayısı 5'in karesi olduğu için bu ifade

x^2 - 5^2

biçiminde bir iki kare farkıdır. Özdeşlik kuralına göre bu fark, terimlerin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak çarpanı belirle ve dışarı çıkar.

3(x^2 - 25)

İfadedeki her iki terim de 3 sayısına tam bölünmektedir.

2

Parantez içindeki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini uygula.

3(x - 5)(x + 5)

x^2 - 25

ifadesi

x^2 - 5^2

şeklinde yazılabildiğinden

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma ve İki Kare Farkı Özdeşliği

İpuçları

1

İfadedeki her iki terimin de 3 ile bölünüp bölünmediğine bakın.

2

3 parantezine aldıktan sonra parantez içinde kalan

x^2 - 25

ifadesine odaklanın. 25 hangi sayının karesidir?

3

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

özdeşliğini kullanarak parantez içini çarpanlarına ayırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

2x^2 - 18

ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyerek yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardaki ifadeleri tek tek dağıtarak hangisinin

3x^2 - 75

sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 372Soru →

Bir terazinin sol kefesinde her birinin ağırlığı $x$ kg olan 2 adet özdeş kutu ve 9 kg'lık bir ağırlık, sağ kefesinde ise 21 kg'lık bir ağırlık bulunmaktadır. Terazi bu haliyle dengede olduğuna göre, bir adet $x$ kutusunun ağırlığı kaç kg'dır?

6

15

12

3

-6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bir adet

x

kutusunun ağırlığı 6 kg'dır.

Terazi dengede olduğu için

2x + 9 = 21

denklemi kurulur. Buradan 9 sayısı karşıya

-9

olarak geçer ve

2x = 12

elde edilir. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde

x = 6

kg bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Terazinin denge durumunu matematiksel bir denklem olarak ifade edin.

2x + 9 = 21

Sol kefedeki ağırlıkların toplamı, sağ kefedeki ağırlığa eşit olmalıdır.

2

+9

sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirin.

2x = 21 - 9

Bilinmeyeni (

x

) yalnız bırakmak için sabit terimi karşı tarafa zıt işaretiyle (

+9 \rightarrow -9

) göndeririz.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapın.

2x = 12

Denklemi sadeleştirerek bilinmeyenin katsayısına ulaşırız.

4

Her iki tarafı

x

'in katsayısı olan 2'ye bölün.

x = 6

x

değerini tek başına bulmak için çarpım durumundaki katsayıyı bölü olarak karşıya göndeririz.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde terimlerin eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçmesi ve bilinmeyenin yalnız bırakılması.

İpuçları

1

Terazinin dengede olması, her iki tarafın toplam ağırlığının birbirine eşit olduğu anlamına gelir.

2

Önce kutuların yanındaki 9 kg'lık fazlalığı her iki taraftan da çıkarmayı deneyin.

3

2 adet kutunun toplam ağırlığı

21 - 9 = 12

kg ise, bir adet kutunun ağırlığını bulmak için bu değeri 2'ye bölmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Bilinmeyenin katsayısının negatif olduğu (örneğin

10 - 2x = 4

) benzer bir denklem çözerek işaret değiştirme kuralını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Deneme-yanılma yoluyla seçenekleri

2x + 9 = 21

denkleminde yerine koyabilirsiniz. Örneğin

x = 6

için

2(6) + 9 = 12 + 9 = 21

eşitliği sağlandığı görülür.

Tahmini Süre:45s

Soru 373Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

(2x + 5)^2

ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?

4x^2 + 20x + 25

4x^2 + 25

4x^2 - 20x + 25

4x^2 + 10x + 25

2x^2 + 20x + 25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4x^2 + 20x + 25$

Cevap

4x^2 + 20x + 25

ifadesidir.

İki terimli bir ifadenin karesi alınırken

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

kuralı uygulanır. Burada

a=2x

ve

b=5

olduğundan;

(2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2

işlemi bizi

4x^2 + 20x + 25

sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Tam kare özdeşliği formülünü belirle.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

İki terimli bir toplamın karesi bu temel özdeşlik kullanılarak açılır.

2

Sorudaki terimleri formülde yerlerine koy.

a = 2x

ve

b = 5

Birinci terim

2x

, ikinci terim ise

5

olarak tanımlanmıştır.

3

Her bir parçayı ayrı ayrı hesapla.

(2x)^2 = 4x^2

,

2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x

,

5^2 = 25

Katsayıların ve değişkenlerin kareleri ile çarpımlarının iki katı doğru hesaplanmalıdır.

4

Hesaplanan terimleri toplayarak ifadeyi düzenle.

4x^2 + 20x + 25

Özdeşliğin en sade ve açık hali bu toplamdır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği

İpuçları

1

İki terimli bir toplamın karesini açarken

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

formülünü kullanmalısın.

2

Bu soruda birinci terim (

a

)

2x

, ikinci terim (

b

) ise

5

'tir. Her iki terimin de karesini almayı unutma.

3

Orta terim olan

2ab

kısmını hesaplarken

2 \cdot 2x \cdot 5

işlemini yapmalısın. Bu sana

20x

sonucunu verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

(3x - 2)^2

ifadesinin açılımını yaparak farkın karesi özdeşliğini pekiştirebilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 374Soru →

Bir

f

fonksiyonu, her bir gerçel sayıyı kendisinin 4 katının 6 fazlasının yarısı ile eşleştirmektedir. Bu durum matematiksel olarak

f(x) = \frac{4x + 6}{2}

şeklinde ifade edilmektedir. Buna göre, 5 sayısının bu fonksiyon altındaki görüntüsü (

f(5)

değeri) kaçtır?

13

23

26

16

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

5 sayısının bu fonksiyon altındaki görüntüsü 13'tür.

Verilen fonksiyon kuralında

x

yerine 5 yazıldığında, işlem sırasıyla

(4 \times 5) = 20

,

(20 + 6) = 26

ve son olarak

26 / 2 = 13

adımları takip edilir. Fonksiyon bir giriş değerini (5) alıp bu kuralı uygulayarak bir çıkış değerine (13) ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken yerine değeri yazma

f(5) = \frac{4 \times 5 + 6}{2}

Fonksiyonda bir değerin görüntüsünü bulmak için kuraldaki

x

değişkeni yerine o değer yazılır.

2

Pay kısmındaki çarpma işlemini yapma

f(5) = \frac{20 + 6}{2}

İşlem önceliğine göre önce parantez içi veya pay/payda gibi gruplandırılmış ifadelerdeki çarpma yapılır.

3

Pay kısmındaki toplama işlemini tamamlama

f(5) = \frac{26}{2}

Bölme işlemine geçmeden önce paydaki ifadenin tek bir sayı haline getirilmesi gerekir.

4

Sonucu paydadaki sayıya bölme

f(5) = 13

Kesir çizgisi tüm payın paydaya bölünmesi gerektiğini ifade eder.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Görüntü Kümesi Elemanı Hesaplama)

İpuçları

1

Bir sayının fonksiyondaki görüntüsünü bulmak için, o sayıyı kuraldaki

x

harfinin olduğu yere yerleştirerek matematiksel işlemleri yapmalısınız.

2

Kuralda

x

yerine 5 yazdığınızda, önce pay kısmındaki çarpma ve toplama işlemlerini yapıp tek bir sayı bulmaya odaklanın.

3

İşlemimiz

f(5) = (4 \times 5 + 6) / 2

şeklindedir. Payı 26 bulduktan sonra bunu 2'ye bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kuralı

f(x) = 3x - 4

şeklinde tanımlayıp farklı giriş değerleri için sonuçları hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu sadeleştirerek de çözebilirsiniz:

f(x) = \frac{4x + 6}{2} = \frac{4x}{2} + \frac{6}{2} = 2x + 3

. Bu sadeleşmiş kuralda

x=5

yazıldığında

2(5) + 3 = 13

sonucu daha hızlı elde edilebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 375Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 9

eşitliğini sağlayan

x

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

9

16

25

36

49

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Denklemi sağlayan değer 16'dır.

Verilen denklemde köklü ifadenin yalnız bırakılıp karesinin alınması veya eşlenik (iki kare farkı) yönteminin kullanılmasıyla doğru sonuca ulaşılır. Bulunan değerin denklemi sağladığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitlikteki köklü ifadelerden birini yalnız bırakın.

\sqrt{x+9} = 9 - \sqrt{x}

Kare alma işlemini daha kolay uygulayabilmek için köklü ifadenin izole edilmesi gerekir.

2

Eşitliğin her iki tarafının karesini alın.

(\sqrt{x+9})^2 = (9 - \sqrt{x})^2

\Rightarrow x + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x

Köklü ifadelerden kurtulmak için kare alma işlemi uygulanır. Sağ tarafta tam kare özdeşliği

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

kullanılır.

3

Elde edilen denklemi sadeleştirerek bilinmeyeni bulun.

9 = 81 - 18\sqrt{x}

\Rightarrow 18\sqrt{x} = 72

\Rightarrow \sqrt{x} = 4

\Rightarrow x = 16

Sadeleştirme sonucunda basit bir köklü denklem elde edilir ve çözüm kümesi bulunur.

4

Bulunan değeri orijinal denklemde kontrol edin.

\sqrt{16+9} + \sqrt{16} = \sqrt{25} + 4 = 5 + 4 = 9

(Doğru)

Köklü denklemlerde bulunan kökler bazen yalancı kök olabilir, bu yüzden sağlaması yapılmalıdır.

Anahtar Kavram

Köklü Denklemlerin Çözümü

İpuçları

1

Denklemdeki köklü ifadelerden birini eşitliğin diğer tarafına atarak işe başlayın.

2

\sqrt{x+9} = 9 - \sqrt{x}

yazdıktan sonra her iki tarafın karesini alarak köklerden kurtulmaya çalışın.

3

Kare alma işleminden sonra

x + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x

eşitliğini sadeleştirerek

\sqrt{x}

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

\sqrt{2x+5} - \sqrt{2x} = 1

denklemini çözünüz.

Alternatif Yöntem

Eşlenik Yöntemi:

\sqrt{x+9} - \sqrt{x} = A

diyelim. Verilen denklemle taraf tarafa çarparsak:

(\sqrt{x+9} + \sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x+9} - \sqrt{x}) = 9 \cdot A

. İki kare farkından

(x+9) - x = 9A \Rightarrow 9 = 9A \Rightarrow A=1

. Taraf tarafa toplama ile

2\sqrt{x+9} = 10 \Rightarrow \sqrt{x+9}=5 \Rightarrow x=16

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 376Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı $\star$ işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$\star$	1	2	3	4	5
1	3	4	5	1	2
2	4	5	1	2	3
3	5	1	2	3	4
4	1	2	3	4	5
5	2	3	4	5	1

Buna göre, $((x \star 3)^{-1} \star 2) = 5$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?
( $x^{-1}$ , $x$ elemanının $\star$ işlemine göre tersini göstermektedir.)

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitliği sağlayan değer 2'dir.

İşlemin birim elemanı tablodan 4 olarak bulunur. Denklem

(x \star 3)^{-1} \star 2 = 5

şeklinde çözülürken, önce parantez dışındaki işlem tersine çevrilir, ardından bulunan değerin tersi alınarak

x

yalnız bırakılır. Adımlar takip edildiğinde

x=2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İşlemin birim (etkisiz) elemanını bul.

Birim eleman (e) = 4

Tabloda 4. satır ve 4. sütun, elemanları değiştirmemiştir (1,2,3,4,5 sırasını korumuştur). Bu nedenle etkisiz eleman 4'tür.

2

Parantez içindeki ifadeye bir değişken atayarak denklemi basitleştir:

(x \star 3)^{-1} = Y

olsun.

Y \star 2 = 5

eşitliğini sağlayan Y değerini bul.

Y = 2

Tablonun 2. sütununda sonucu 5 olan satırı ararız. 2. satır ile 2. sütunun kesişimi 5'tir (

2 \star 2 = 5

). Demek ki

Y = 2

.

3

(x \star 3)^{-1} = 2

bulduk. Her iki tarafın tersini alarak parantez içini yalnız bırak:

x \star 3 = 2^{-1}

. Şimdi 2'nin tersini bul.

2^{-1} = 1

Bir elemanın tersi, o elemanla işleme girdiğinde birim elemanı (4) veren sayıdır. Tabloda 2. satırda sonuç 4 nerede? 1. sütunda. Yani

2 \star 1 = 4

, dolayısıyla

2^{-1} = 1

.

4

Son denklemi çöz:

x \star 3 = 1

.

x = 2

Tablonun 3. sütununda sonucu 1 olan satırı ararız. 2. satırda

2 \star 3 = 1

olduğunu görürüz. Bu durumda

x = 2

olur.

Anahtar Kavram

İşlem tablosunda birim eleman ve ters eleman bulma, ters işlem özellikleri ile denklem çözme.

Soru 377Soru →

a \neq 1

olmak üzere,

\frac{a^6 - 1}{(a^2 + 1)^2 - a^2} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

a + 1

a - 1

a^2 + 1

1

a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + 1$

Cevap

İfadenin en sade hâli

a + 1

olarak bulunur.

Verilen rasyonel ifade incelendiğinde,

a^6-1

terimi

(a^3-1)(a^3+1)

olarak, paydadaki

(a^2+1)^2-a^2

terimi ise

a^4+a^2+1 = (a^2+a+1)(a^2-a+1)

olarak çarpanlarına ayrılır. İfadedeki ortak çarpanlar olan

(a^3-1)

ve

(a^2+a+1)

sadeleştirildiğinde geriye

(a^3+1) / (a^2-a+1)

kalır. Son olarak

a^3+1

ifadesi

(a+1)(a^2-a+1)

şeklinde açıldığında paydadaki terimle sadeleşir ve sonuç

a+1

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

a^6 - 1

ifadesini iki kare farkı yardımıyla çarpanlarına ayırın.

a^6 - 1 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)

Yüksek dereceli terimleri daha yönetilebilir parçalara ayırmak için temel özdeşliklerden faydalanılır.

2

Paydada yer alan

(a^2 + 1)^2 - a^2

ifadesini açın ve düzenleyin.

a^4 + 2a^2 + 1 - a^2 = a^4 + a^2 + 1

İfadeyi sadeleştirebilmek için terimleri polinom formatına getirmek gerekir.

3

a^4 + a^2 + 1

ifadesini, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (veya iki kare farkı olarak) çarpanlarına ayırın.

a^4 + a^2 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)

a^4 + a^2 + 1

ifadesi özdeşliklerden gelen özel bir çarpan yapısına sahiptir.

4

Tüm çarpanları ana ifadede yerine koyarak sadeleştirmeleri yapın.

\frac{(a^3 - 1)(a^3 + 1)}{(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}

Pay ve paydadaki ortak olan

(a^3 - 1)

ve

(a^2 + a + 1)

terimleri birbirini sadeleştirir.

5

Kalan

a^3 + 1

ifadesini küpler toplamı özdeşliği ile açarak son sadeleştirmeyi gerçekleştirin.

\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1} = a + 1

a^2 - a + 1

çarpanları birbirini yok eder ve en sade sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

İki kare farkı, küp toplamı/farkı ve özel üç terimlilerin çarpanlarına ayrılması.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle

x^4 + 4

ifadesini tam kareye tamamlayarak çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 378Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

-4 < 5 - 2x \leq 1

eşitsizliği veriliyor. Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan

x

tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

-9

-6

7

9

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 9'dur.

Verilen eşitsizlik çözülürken önce her taraftan 5 çıkarılır (

-9 < -2x \leq -4

). Ardından her taraf -2'ye bölünür. Negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir (

4,5 > x \geq 2

). Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları 9 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkararak

x

'li terimi yalnız bırakmaya başla.

-4 - 5 < -2x \leq 1 - 5 \implies -9 < -2x \leq -4

Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.

2

Her tarafı

-2

'ye böl ve eşitsizliğin yönünü değiştir.

\frac{-9}{-2} > x \geq \frac{-4}{-2} \implies 4,5 > x \geq 2

Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolleri yön değiştirir (< olur >,

\leq

olur

\geq

).

3

Elde edilen aralıktaki tam sayıları belirle.

2 \leq x < 4,5

aralığındaki tam sayılar:

2, 3, 4

Alt sınır (2) dahildir, üst sınır (4,5) dahil değildir ancak tam sayı istendiği için 4'e kadar alınır.

4

Bulunan tam sayı değerlerini topla.

2 + 3 + 4 = 9

Soruda tam sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma veya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

İpuçları

1

Eşitsizlikte

x

'i yalnız bırakmak için önce her taraftan 5 sayısını çıkarın.

2

x

'in katsayısı negatif (

-2

) olduğu için, her tarafı bu sayıya bölerken eşitsizlik işaretlerinin yönünü değiştirmeyi unutmayın.

3

Sonuçta

2 \le x < 4,5

aralığını bulmalısınız. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, paydada bilinmeyen olduğu durumlar için çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 379Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

\triangle

işlemi, her

x

ve

y

gerçel sayısı için

x \triangle y = 3x + 3y + xy + k

eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunduğuna göre, $\triangle$ işlemine göre tersi olmayan eleman kaçtır?

-2

3

-3

6

-1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Tersi olmayan eleman -3'tür.

Birim eleman tanımı kullanılarak önce birim eleman (

e=-2

) ve işlem sabiti (

k=6

) bulunur. Ters eleman formülü

y = (-3x - 8)/(x + 3)

olarak elde edildiğinde, paydayı sıfır yapan

x=-3

değeri için ters eleman tanımsızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Birim eleman tanımını uygula

x \triangle e = x \Rightarrow 3x + 3e + xe + k = x

Birim eleman (

e

), işleme girdiğinde elemanın kendisini vermelidir.

2

Eşitliği

x

parantezine alarak düzenle ve katsayıları eşitle

x(3+e) + (3e+k) = x \cdot 1 + 0

Buradan:
1)

3+e = 1 \Rightarrow e = -2

2)

3e+k = 0 \Rightarrow 3(-2)+k=0 \Rightarrow k=6

Polinom eşitliği ilkesi gereği

x

'in katsayıları ve sabit terimler karşılıklı eşit olmalıdır.

3

Ters eleman (

y

) bulma denklemini kur

x \triangle y = e \Rightarrow 3x + 3y + xy + 6 = -2

Bir elemanın tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı (

e=-2

) vermelidir.

4

y

'yi yalnız bırak ve tanımsız yapan değeri bul

y(3+x) + 3x + 6 = -2

y(3+x) = -3x - 8

y = \frac{-3x - 8}{x + 3}

y

'nin (ters elemanın) hesaplanabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.

5

Paydayı sıfır yapan

x

değerini belirle

x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3

x = -3

için payda sıfır olur ve işlem tanımsızlaşır. Bu nedenle -3'ün tersi yoktur.

Anahtar Kavram

İşlemde Yutan Eleman ve Ters Eleman İlişkisi

İpuçları

1

Önce birim elemanı (

e

) bulmak için

x \triangle e = x

eşitliğini kullanın.

2

x(3+e) + (3e+k) = x

eşitliğinden

e

ve

k

değerlerini bulun.

3

Ters elemanı

y

olarak yazıp yalnız bıraktığınızda, oluşan kesirli ifadenin paydasını sıfır yapan

x

değerini arayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde tersi kendisine eşit olan elemanları soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Kural:

x \triangle y = ax + by + cxy + k

tipindeki değişmeli işlemlerde (burada

a=b

), tersi olmayan eleman her zaman

-a/c

formülü ile bulunur. Burada

a=3, c=1

olduğundan cevap

-3/1 = -3

olur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 380Soru →

x

değişkenine bağlı

\frac{a(x-1)}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4x - b}{6} + x

denkleminin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar (

\mathbb{R}

) olduğuna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

-8

-2

3

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.

Denklemin tüm gerçel sayılar için sağlanması, eşitliğin her iki tarafındaki x'li terimlerin katsayılarının birbirine ve sabit sayıların birbirine eşit olması demektir. İşlemler doğru yapıldığında

a=5

ve

b=7

bulunur, toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemdeki paydaları eşitlemek için eşitliğin her iki tarafını 6 ile çarp.

2 \cdot [a(x-1)] + 3 \cdot [1] = 1 \cdot [4x - b] + 6 \cdot [x]

Kesirli ifadelerden kurtularak işlemi basitleştirmek için en küçük ortak kat (EKOK) kullanılır.

2

Parantezleri dağıt ve benzer terimleri düzenle.

2ax - 2a + 3 = 4x - b + 6x

2ax + (3 - 2a) = 10x - b

x'li terimler ve sabit terimler gruplandırılarak katsayı eşitliği için hazırlanır.

3

Çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için x'in katsayılarını ve sabit terimleri eşitle.

x katsayıları:

2a = 10 \Rightarrow a = 5

Sabit terimler:

3 - 2a = -b

Her x değeri için sağlanan denklemlerde (özdeşlik), eşitliğin iki tarafı tıpatıp aynı olmalıdır (

0x=0

durumu).

4

Bulunan a değerini yerine koyarak b'yi bul ve toplamı hesapla.

3 - 2(5) = -b \Rightarrow 3 - 10 = -b \Rightarrow -7 = -b \Rightarrow b = 7

a + b = 5 + 7 = 12

a ve b değerleri bulunduktan sonra istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir denklemin çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olması için, düzenlenmiş halinin

0=0

(özdeşlik) biçiminde olması gerekir.

İpuçları

1

Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için tüm terimleri paydaların en küçük ortak katı olan 6 ile çarpın.

2

Bir denklemin çözüm kümesinin 'tüm gerçel sayılar' olması, o denklemin bir özdeşlik olduğu anlamına gelir. Yani sol taraftaki x'in katsayısı sağ taraftakine, sabit terim de sabit terime eşit olmalıdır.

3

Düzenlenmiş denklem

2ax + (3-2a) = 10x - b

şeklindedir. Burada

2a=10

eşitliğini kullanarak a'yı bulun.

Daha Fazla Pratik

Çözüm kümesi boş küme olan parametreli denklemler (örneğin katsayılar eşit, sabitler farklı) üzerine çalışın.

Tahmini Süre:2m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar