Examkin

Özdeşlikler

39 soru

Soru 21Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
1x+1y=32vex⋅y=4\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \quad \text{ve} \quad x \cdot y = 4
olduğuna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

İstenen ifadenin değeri 28'dir.
Soruda verilen rasyonel ifadeden x+yx+y toplamının 6 olduğu bulunur. x2+y2x^2+y^2 ifadesi, (x+y)2−2xy(x+y)^2 - 2xy özdeşliğine eşittir. Değerler yerine konulduğunda 36−8=2836 - 8 = 28 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel denklemin paydalarını eşitleyerek x+yx+y toplamını bul.
x+yx⋅y=32\frac{x+y}{x \cdot y} = \frac{3}{2}
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde toplam ve çarpım değerlerine ulaşmak çözümün ilk adımıdır.
2
x⋅y=4x \cdot y = 4 değerini yerine yazarak x+yx+y değerini hesapla.
x+y4=32⇒2(x+y)=12⇒x+y=6\frac{x+y}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2(x+y) = 12 \Rightarrow x+y = 6
Toplam (x+yx+y) ve çarpım (x⋅yx \cdot y) değerleri bilindiğinde kareler toplamı hesaplanabilir.
3
x2+y2x^2 + y^2 ifadesini (x+y)(x+y) ve xyxy cinsinden yazan özdeşliği kullan.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
Tam kare özdeşliği (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 düzenlenerek kareler toplamı yalnız bırakılır.
4
Bulunan değerleri özdeşlikte yerine koyarak sonucu bul.
x2+y2=62−2(4)=36−8=28x^2 + y^2 = 6^2 - 2(4) = 36 - 8 = 28
İşlem hatası yapmadan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Soru 22Soru →

Bir kenar uzunluğu aa birim olan kare ile bir kenar uzunluğu bb birim olan karenin alanları farkı 6060 birimkaredir. Bu iki karenin çevre uzunlukları toplamı 4040 birim olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki fark (a−ba-b) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kenar uzunlukları farkı 6 birimdir.
Karelerin alanları farkı a2−b2=60a^2 - b^2 = 60 ve çevreleri toplamı 4a+4b=404a+4b=40 olarak verilir. Çevre denkleminden a+b=10a+b=10 bulunur. İki kare farkı özdeşliği (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2-b^2 kullanıldığında, (a−b)⋅10=60(a-b) \cdot 10 = 60 eşitliği elde edilir ve buradan a−b=6a-b=6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dökün.
Alanlar farkı: a2−b2=60a^2 - b^2 = 60. Çevreler toplamı: 4a+4b=404a + 4b = 40.
Problemdeki geometrik tanımları cebirsel ifadelere çevirmek gerekir.
2
Çevre denklemini sadeleştirerek (a+b)(a+b) toplamını bulun.
4(a+b)=40  ⟹  a+b=104(a + b) = 40 \implies a + b = 10.
İki kare farkı özdeşliğini kullanabilmek için terimlerin toplamına ihtiyaç vardır.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi yazın.
a2−b2=(a−b)⋅(a+b)a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b) olduğu için 60=(a−b)⋅1060 = (a - b) \cdot 10.
Özdeşlik, çarpım durumundaki ifadeleri birbirine bağlar.
4
Bilinmeyen (a−b)(a-b) değerini hesaplayın.
a−b=6010=6a - b = \frac{60}{10} = 6.
Çarpma işleminin tersi olan bölme işlemi ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

İpuçları

1
Karenin alanı a2a^2, çevresi ise 4a4a formülü ile bulunur.
2
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliğini hatırlayın.
3
Çevrelerin toplamından a+ba+b değerini bulup, alanlar farkı formülünde yerine koyarak a−ba-b değerini çekebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, iki küp farkı özdeşliğini kullanan problemler çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
a3−b3=19a^3 - b^3 = 19
olduğuna göre, a2+b2a^2 + b^2 toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İki kare toplamının değeri 13 olarak bulunur.
Verilen küp farkı ifadesi (a−b)(a2+ab+b2)=19(a-b)(a^2+ab+b^2)=19 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 19 asal bir sayı olduğu ve a,ba, b pozitif tam sayılar olduğu için a−b=1a-b=1 ve a2+ab+b2=19a^2+ab+b^2=19 eşitlikleri kurulur. Birinci denklemden a=b+1a=b+1 elde edilir. Bu değer ikinci denklemde yerine yazıldığında b=2b=2 ve a=3a=3 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin kareleri toplamı olan 32+22=133^2 + 2^2 = 13 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Küp farkı özdeşliğini uygulayın.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=19a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 19
İfadedeki değişkenlerin değerlerini bulabilmek için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
2
19 sayısının asal çarpanlarını belirleyin.
19 asaldır, çarpanları 1 ve 19'dur. aa ve bb pozitif tam sayı olduğundan a>ba > b olmalıdır; dolayısıyla a−b=1a - b = 1 ve a2+ab+b2=19a^2 + ab + b^2 = 19 olur.
Tam sayı kısıtlaması ve asal sayı özelliği denklemi basitleştirir.
3
Birinci dereceden denklemden aa değerini bb cinsinden yazıp ikinci denklemde yerine koyun.
a=b+1a = b + 1 için (b+1)2+(b+1)b+b2=19⇒3b2+3b+1=19(b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 19 \Rightarrow 3b^2 + 3b + 1 = 19
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyene indirgemek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek bb ve aa değerlerini bulun.
3b2+3b−18=0⇒b2+b−6=0⇒(b+3)(b−2)=03b^2 + 3b - 18 = 0 \Rightarrow b^2 + b - 6 = 0 \Rightarrow (b + 3)(b - 2) = 0. bb pozitif olduğundan b=2b = 2 ve buradan a=3a = 3 bulunur.
Pozitif tam sayı şartını sağlayan kök seçilir.
5
a2+b2a^2 + b^2 toplamını hesaplayın.
32+22=9+4=133^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
Soru kökünde istenen nihai işlem gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

İki küp farkı özdeşliği ve tam sayılarda çarpanlara ayırma

İpuçları

1
a3−b3a^3 - b^3 ifadesini çarpanlarına ayırarak başlayın ve ifadenin 19'a eşitliğini yazın.
2
19 sayısının asal olduğunu düşünerek, çarpanların hangi tam sayı değerlerini alabileceğini belirleyin.
3
a−b=1a-b=1 ve a2+ab+b2=19a^2+ab+b^2=19 denklemlerini ortak çözerek pozitif tam sayı olan aa ve bb değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

İki küp toplamı (a3+b3a^3 + b^3) formülünü de kullanarak benzer tam sayı problemlerini çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 24Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−8)⋅(x+8)(x - 8) \cdot (x + 8)
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2−64x^2 - 64

Cevap

x2−64x^2 - 64 ifadesi verilen çarpımın özdeşidir.
x2−64x^2 - 64 ifadesi doğrudur çünkü (x−8)(x-8) ve (x+8)(x+8) terimlerinin çarpımı, (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 özdeşliğine tam olarak uymaktadır. Burada birinci terimin karesi (x2x^2) ile ikinci terimin karesi (82=648^2 = 64) birbirinden çıkarılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi iki kare farkı özdeşlik kalıbıyla karşılaştırın.
(a−b)⋅(a+b)(a - b) \cdot (a + b) yapısında a=xa = x ve b=8b = 8 olduğu görülür.
İki terimin farkı ile toplamının çarpımı temel bir özdeşlik formudur.
2
İki kare farkı formülünü uygulayın.
(x−8)⋅(x+8)=x2−82(x - 8) \cdot (x + 8) = x^2 - 8^2 elde edilir.
(a−b)⋅(a+b)=a2−b2(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2 kuralı gereği sonuç terimlerin karelerinin farkıdır.
3
Sabit sayının karesini hesaplayın.
x2−64x^2 - 64 sonucuna ulaşılır.
88 sayısının karesi (8×88 \times 8) 6464 değerine eşittir.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği

İpuçları

1
Bu ifade (a−b)⋅(a+b)(a-b) \cdot (a+b) biçimindedir. Bu yapının özel bir adı vardır.
2
İki kare farkı özdeşliğini hatırlayın: (a−b)⋅(a+b)=a2−b2(a-b) \cdot (a+b) = a^2 - b^2.
3
Birinci terim olan xx'in karesinden, ikinci terim olan 88'in karesini çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (2x−3)⋅(2x+3)(2x - 3) \cdot (2x + 3) ifadesini genişleterek katsayıların nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çarpma işlemini dağılma özelliğini kullanarak yapabilirsiniz: x⋅x+x⋅8−8⋅x−8⋅8x \cdot x + x \cdot 8 - 8 \cdot x - 8 \cdot 8. Burada +8x+8x ve −8x-8x birbirini yok edecek ve geriye sadece x2−64x^2 - 64 kalacaktır.
Tahmini Süre:45s
Soru 25Soru →

xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,

x2−y2=24x^2 - y^2 = 24
x−y=2x - y = 2

olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Verilen bilgilere göre x⋅yx \cdot y çarpımının değeri 35'tir.
İki kare farkı özdeşliği olan x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) ifadesinde verilenler yerine yazıldığında 24=2(x+y)24 = 2(x + y) elde edilir ve buradan x+y=12x + y = 12 bulunur. x+y=12x + y = 12 ve x−y=2x - y = 2 denklemleri ortak çözüldüğünde x=7x = 7 ve y=5y = 5 değerlerine ulaşılır. Bu iki sayının çarpımı 35 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini yazarak verilen değerleri yerine koymak
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) özdeşliğinden 24=2⋅(x+y)24 = 2 \cdot (x + y) elde edilir.
İki kare farkı kuralı gereği bir ifadenin kareleri farkı, o ifadelerin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
2
Bilinmeyenlerin toplamını bulmak
x+y=12x + y = 12
Eşitliğin her iki tarafı 2'ye bölünerek toplam değeri bulunur.
3
Denklem sistemini çözerek xx ve yy değerlerini ayrı ayrı hesaplamak
x=7x = 7 ve y=5y = 5
x+y=12x + y = 12 ve x−y=2x - y = 2 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2x=14⇒x=72x = 14 \Rightarrow x = 7 bulunur. Yerine konulduğunda y=5y = 5 çıkar.
4
Soru kökünde istenen çarpma işlemini gerçekleştirmek
7⋅5=357 \cdot 5 = 35
Soru bizden xx ve yy değerlerinin çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği

İpuçları

1
x2−y2x^2 - y^2 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) özdeşliğini kullanarak x+yx+y değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Toplamları ve kareleri toplamı verilen iki sayının çarpımını bulmaya yönelik tam kare özdeşliği sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x−y=2x - y = 2 ise x=y+2x = y + 2 yazılabilir. Bu ifadeyi x2−y2=24x^2 - y^2 = 24 denkleminde yerine koyarak (y+2)2−y2=24(y + 2)^2 - y^2 = 24 üzerinden yy değerini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x+y+z=4 x + y + z = 4
x2+y2+z2=18 x^2 + y^2 + z^2 = 18
x3+y3+z3=58 x^3 + y^3 + z^3 = 58
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Verilen üç denklem, x,y,zx, y, z değişkenlerinin simetrik özdeşliklerini kullanmayı gerektirir. Öncelikle (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılarak ikili çarpımların toplamı bulunur, ardından x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3xyz özdeşliği kullanılarak çarpım değeri elde edilir. İşlemler doğru takip edildiğinde sonuç -6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) özdeşliğini kullanarak xy+yz+zxxy+yz+zx değerini bul.
42=18+2(xy+yz+zx)⇒16=18+2(xy+yz+zx)⇒2(xy+yz+zx)=−2⇒xy+yz+zx=−14^2 = 18 + 2(xy+yz+zx) \Rightarrow 16 = 18 + 2(xy+yz+zx) \Rightarrow 2(xy+yz+zx) = -2 \Rightarrow xy+yz+zx = -1
Üç terimli küp açılımını kullanabilmek için ikili çarpımların toplamına ihtiyacımız var.
2
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)⋅[(x2+y2+z2)−(xy+yz+zx)]x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z) \cdot [ (x^2+y^2+z^2) - (xy+yz+zx) ] özdeşliğinde bilinen değerleri yerine yaz.
58−3xyz=4⋅[18−(−1)]58 - 3xyz = 4 \cdot [ 18 - (-1) ]
Bu özdeşlik, kareler toplamı, küpler toplamı ve sayıların çarpımı arasındaki ilişkiyi kurar.
3
Elde edilen denklemi çözerek xyzxyz değerini hesapla.
58−3xyz=4⋅19⇒58−3xyz=76⇒−3xyz=18⇒xyz=−658 - 3xyz = 4 \cdot 19 \Rightarrow 58 - 3xyz = 76 \Rightarrow -3xyz = 18 \Rightarrow xyz = -6
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üç Terimlilerin Kare ve Küp Özdeşlikleri

İpuçları

1
Soruda verilenler x,y,zx, y, z toplamı, kareleri toplamı ve küpleri toplamıdır. Bu üç ifadeyi birbirine bağlayan iki temel özdeşliği hatırlamalısın.
2
Önce (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımını yaparak xy+yz+zxxy+yz+zx değerini hesapla.
3
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) formülünü kullan.

Alternatif Yöntem

Newton Toplamları (Newton Sums) yöntemiyle de S1,S2,S3S_1, S_2, S_3 kullanılarak polinom katsayıları bulunabilir, ancak KPSS müfredatı için yukarıdaki özdeşlik yöntemi esastır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →
xx bir gerçel sayı ve x2−8x+13=0x^2 - 8x + 13 = 0 olduğuna göre,
(x−2)2+1(x−2)2(x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İfadenin değeri 14 olarak bulunur.
Verilen denklem (x−2)2−4(x−2)+1=0(x-2)^2 - 4(x-2) + 1 = 0 şeklinde düzenlenip her terim (x−2)(x-2)'ye bölündüğünde (x−2)+1/(x−2)=4(x-2) + 1/(x-2) = 4 eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin karesi alındığında (x−2)2+2+1/(x−2)2=16(x-2)^2 + 2 + 1/(x-2)^2 = 16 bağıntısına ulaşılır ve buradan istenen değer 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x2−8x+13=0x^2 - 8x + 13 = 0 denklemini (x−2)(x-2) terimine göre düzenleyin.
(x−2)2−4(x−2)+1=0(x-2)^2 - 4(x-2) + 1 = 0
Soruda sorulan ifadenin tabanı (x−2)(x-2) olduğu için denklem bu terim cinsinden yazılmalıdır.
2
Elde edilen denklemin her terimini (x−2)(x-2) ile bölün.
(x−2)−4+1x−2=0⇒(x−2)+1x−2=4(x-2) - 4 + \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow (x-2) + \frac{1}{x-2} = 4
İstenen kareli ifadeye ulaşmak için toplam biçimindeki temel özdeşlik yapısını kurmak gerekir.
3
Her iki yanın karesini alın.
((x−2)+1x−2)2=42⇒(x−2)2+2+1(x−2)2=16((x-2) + \frac{1}{x-2})^2 = 4^2 \Rightarrow (x-2)^2 + 2 + \frac{1}{(x-2)^2} = 16
Tam kare özdeşliği (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kuralını uygulamak için karesi alınır.
4
Sabit terimi karşıya atarak sonucu bulun.
(x−2)2+1(x−2)2=16−2=14(x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2} = 16 - 2 = 14
Denklemin sol tarafında yalnızca istenen ifadeyi bırakmak için çarpım teriminden gelen 2 sayısı karşıya geçirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemleri değişken değiştirme ve tam kare özdeşliği yardımıyla rasyonel ifadelere dönüştürme.

Daha Fazla Pratik

Değişkeni kaydırılmış benzer rasyonel özdeşlik soruları çözerek terim benzetme becerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemin kökleri x=4±3x = 4 \pm \sqrt{3} olarak bulunabilir. Bu köklerden biri yerine yazıldığında (4+3−2)=2+3(4 + \sqrt{3} - 2) = 2 + \sqrt{3} elde edilir. (2+3)2+1/(2+3)2(2 + \sqrt{3})^2 + 1/(2 + \sqrt{3})^2 ifadesi hesaplandığında 7+43+7−43=147 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14 sonucuna yine ulaşılacaktır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
x−y=6x - y = 6
x⋅y=4x \cdot y = 4
olduğuna göre, (x+y)2(x + y)^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

Toplamın karesi ile farkın karesi arasındaki ilişki kullanıldığında sonuç 52 olarak bulunur.
Toplamın karesi (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 iken farkın karesi (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 şeklindedir. Bu iki ifade arasındaki fark 4xy4xy terimidir. Dolayısıyla (x+y)2=(x−y)2+4xy(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy eşitliği sağlanır. Verilen değerlerle 62+4⋅4=36+16=526^2 + 4 \cdot 4 = 36 + 16 = 52 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki tam kare özdeşliği arasındaki ilişkiyi kur.
(x+y)2=(x−y)2+4xy(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
(x+y)2=x2+2xy+y2(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ve (x−y)2=x2−2xy+y2(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 açılımları karşılaştırıldığında, aradaki farkın 4xy4xy olduğu görülür.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine yaz.
(x+y)2=62+4(4)(x + y)^2 = 6^2 + 4(4)
Soruda x−y=6x - y = 6 ve x⋅y=4x \cdot y = 4 olarak verilmiştir.
3
İşlemleri tamamlayarak sonucu bul.
36 + 16 = 52
Karesini alma ve çarpma işlemlerinden sonra toplama yapılarak nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri Arasındaki İlişki

İpuçları

1
(x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 açılımlarını yan yana yazarak aralarındaki farkı görmeye çalışın.
2
(x+y)2=(x−y)2+4xy(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy özdeşliği bu tarz sorularda doğrudan sonuca ulaşmanızı sağlar.
3
Farkın karesi olan 62=366^2=36 değerine, çarpımlarının 4 katı olan 4⋅4=164 \cdot 4=16 değerini eklemelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (x−y)2(x-y)^2 sorulsaydı hangi işlemi yapmanız gerekirdi? (Bu kez 4xy4xy çıkarılırdı).

Alternatif Yöntem

Önce (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 açılımından 36=x2−2(4)+y2⇒x2+y2=4436 = x^2 - 2(4) + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 44 bulunur. Ardından bu değer (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 açılımında yerine yazılarak 44+2(4)=5244 + 2(4) = 52 sonucuna iki aşamada ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 29Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, (x+4)2(x+4)^2 ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+8x+16x^2 + 8x + 16

Cevap

x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ifadesi verilen parantez karesinin doğru açılımıdır.
x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ifadesi, tam kare açılımı kuralına (a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2) tam olarak uymaktadır: xx'in karesi, xx ile 44'ün çarpımının iki katı (8x8x) ve 44'ün karesi (1616).

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirle.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimin toplamının karesini açmak için temel özdeşlik kuralı kullanılır.
2
Verilen ifadede aa ve bb değerlerini yerleştir.
a=xa = x ve b=4b = 4
Soruda verilen (x+4)2(x+4)^2 ifadesini formüle uyarlamak gerekir.
3
Terimlerin karelerini ve çarpımlarının iki katını hesapla.
x2+2⋅(x⋅4)+42x^2 + 2 \cdot (x \cdot 4) + 4^2
Formüldeki her bir bileşeni tek tek hesaplayarak toplama işlemini hazırlarız.
4
İşlemleri sadeleştirerek sonucu bul.
x2+8x+16x^2 + 8x + 16
Çarpma ve üs alma işlemlerini tamamlayarak en sade hali elde ederiz.

Anahtar Kavram

İki Terim Toplamının Karesi Özdeşliği

İpuçları

1
Bu bir tam kare açılımı sorusudur. Hatırlaman gereken formül: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
2
Formülde aa yerine xx, bb yerine ise 44 yazarak terimleri tek tek hesaplamayı dene.
3
Birinci terimin karesi x2x^2, ikinci terimin karesi 1616 ve ikisinin çarpımının iki katı 8x8x olmalıdır. Bu üç terimi topla.

Daha Fazla Pratik

Şimdi de (x−3)2(x-3)^2 ifadesinin açılımını yaparak işaretlerin nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Özdeşliği hatırlamıyorsan, (x+4)2(x+4)^2 ifadesini (x+4)⋅(x+4)(x+4) \cdot (x+4) şeklinde yazıp her bir terimi diğeriyle tek tek çarparak (dağılma özelliği) sonucu bulabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 30Soru →
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
x2+y2−12x+10y+61=0x^2 + y^2 - 12x + 10y + 61 = 0
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x−yx - y farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Verilen ifade (x−6)2+(y+5)2=0(x-6)^2 + (y+5)^2 = 0 şeklinde düzenlendiğinde, gerçel sayılar kümesinde çözüm için her iki tam karenin içi sıfır olmalıdır. Buradan x=6x=6 ve y=−5y=-5 bulunur. Farkları 6−(−5)=116 - (-5) = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam kare ifadeler oluşturacak şekilde gruplandır
(x2−12x)+(y2+10y)+61=0(x^2 - 12x) + (y^2 + 10y) + 61 = 0
İki değişkenli ikinci dereceden ifadelerde çözüm kümesi bulmak için tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır.
2
Sabit sayı olan 61'i, tam kareleri tamamlayacak şekilde parçala
(x2−12x+36)+(y2+10y+25)=0(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 10y + 25) = 0
(−12/2)2=36(-12/2)^2 = 36 ve (10/2)2=25(10/2)^2 = 25 olduğundan, 36+25=6136+25=61 eşitliği tam sağlanır.
3
İfadeleri tam kare formunda yaz
(x−6)2+(y+5)2=0(x-6)^2 + (y+5)^2 = 0
Tam kare özdeşlikleri: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ve (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.
4
Gerçel sayılarda kareler toplamının sıfır olması kuralını uygula
x−6=0⇒x=6x-6=0 \Rightarrow x=6 ve y+5=0⇒y=−5y+5=0 \Rightarrow y=-5
Gerçel sayıların kareleri negatif olamaz. Toplamları sıfırsa, her bir terim ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
5
İstenen x−yx-y değerini hesapla
6−(−5)=6+5=116 - (-5) = 6 + 5 = 11
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli İfadelerde Tam Kareye Tamamlama

İpuçları

1
İfadeyi xx ve yy terimlerini ayrı ayrı gruplandırarak düşünün: (x2−12x+… )+(y2+10y+… )+⋯=0(x^2 - 12x + \dots) + (y^2 + 10y + \dots) + \dots = 0
2
Grupları tam kareye tamamlamak için sabit sayı 61'i iki parçaya ayırmanız gerekir: (x−a)2(x-a)^2 ve (y+b)2(y+b)^2 formlarını arayın.
3
x2−12xx^2 - 12x ifadesi (x−6)2(x-6)^2'den gelir ve 36 gerektirir. y2+10yy^2 + 10y ifadesi (y+5)2(y+5)^2'den gelir ve 25 gerektirir. 36+25=6136+25=61 tam uyuşuyor.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla x2+y2=0x^2 + y^2 = 0 ise x=0,y=0x=0, y=0 kuralını içeren köklü ifadeler sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Türev bilgisi olanlar için (KPSS müfredat dışı olsa da): İfade f(x,y)f(x,y) olarak düşünülürse minimum noktası fx=2x−12=0f_x = 2x-12=0 ve fy=2y+10=0f_y = 2y+10=0 ile bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için,
a2−b2−4b−4a+b+2 \frac{a^2 - b^2 - 4b - 4}{a + b + 2}
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a - b - 2

Cevap

İfadenin en sade hali a−b−2a - b - 2 olur.
Verilen rasyonel ifadede pay kısmı, terim ekleyip çıkarma veya gruplandırma yöntemiyle çarpanlarına ayrılabilir. a2−b2−4b−4a^2 - b^2 - 4b - 4 ifadesinde son üç terim eksi parantezine alındığında a2−(b2+4b+4)a^2 - (b^2 + 4b + 4) elde edilir. Bu da a2−(b+2)2a^2 - (b+2)^2 demektir. İki kare farkı özdeşliği uygulanarak pay (a−b−2)(a+b+2)(a - b - 2)(a + b + 2) şeklinde yazılır. Paydadaki a+b+2a + b + 2 ile sadeleştirme yapıldığında geriye a−b−2a - b - 2 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki ifadede eksi parantezine alarak tam kareyi ortaya çıkar.
a2−(b2+4b+4)a^2 - (b^2 + 4b + 4)
Terimlerin gruplandırılarak çarpanlara ayrılması gerekmektedir.
2
Parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yaz.
a2−(b+2)2a^2 - (b + 2)^2
b2+4b+4b^2 + 4b + 4 ifadesi (b+2)(b+2)'nin karesidir.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayır.
(a−(b+2))⋅(a+(b+2))=(a−b−2)(a+b+2)(a - (b + 2)) \cdot (a + (b + 2)) = (a - b - 2)(a + b + 2)
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliği uygulanır.
4
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştir.
(a−b−2)(a+b+2)a+b+2=a−b−2\frac{(a - b - 2)(a + b + 2)}{a + b + 2} = a - b - 2
Pay ve paydadaki (a+b+2)(a + b + 2) çarpanları birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Tam Kare ve İki Kare Farkı Özdeşlikleri
Soru 32Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0
olduğunu göre, x6−1x3\frac{x^6 - 1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

İfadenin değeri 76'dır.
Verilen denklem xx ile bölünerek x−1/x=4x - 1/x = 4 bulunur. İstenen ifade x3−1/x3x^3 - 1/x^3 şeklinde sadeleşir. İki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)) kullanılarak 43+3(4)=64+12=764^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölün (x ≠\neq 0 olduğu açıktır).
x−4−1x=0  ⟹  x−1x=4x - 4 - \frac{1}{x} = 0 \implies x - \frac{1}{x} = 4
Sorulan ifadeyi hesaplamak için x−1xx - \frac{1}{x} değerine ihtiyacımız vardır.
2
Sorulan x6−1x3\frac{x^6 - 1}{x^3} ifadesini terimlerine ayırarak sadeleştirin.
x6x3−1x3=x3−1x3\frac{x^6}{x^3} - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3}
İfadeyi iki küp farkı özdeşliği formuna getirmek çözümü kolaylaştırır.
3
İki küp farkı özdeşliğini (a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)) kullanarak değeri hesaplayın.
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})
=43+3⋅1⋅4= 4^3 + 3 \cdot 1 \cdot 4
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 değeri yerine yazılır.
4
Son aritmetik işlemleri yapın.
64+12=7664 + 12 = 76
Sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki Küp Farkı Özdeşliği ve Rasyonel İfade Sadeleştirme

İpuçları

1
Sorulan ifadeyi x6x3−1x3\frac{x^6}{x^3} - \frac{1}{x^3} şeklinde ayırarak sadeleştirin.
2
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölerek x−1xx - \frac{1}{x} değerini bulun.
3
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

x değerini kök formülüyle bulup (x=2+5x = 2 + \sqrt{5}) yerine koymak da mümkündür ancak bu işlem çok daha uzun sürer ve hata riski yüksektir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →
xx ve yy pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
x2+y2=29x^2 + y^2 = 29
x⋅y=10x \cdot y = 10
eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İfadenin pozitif değeri 7'dir.
Soruda verilen x2+y2x^2+y^2 ve x⋅yx \cdot y ifadeleri, (x+y)2(x+y)^2 tam kare açılımının parçalarıdır. Özdeşlik formülü (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy şeklindedir. Verilenler yerine konulduğunda 29+2(10)=4929 + 2(10) = 49 bulunur. Karesi 49 olan pozitif sayı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliğini hatırla ve yaz.
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
Verilen x2+y2x^2+y^2 ve xyxy değerlerini kullanarak x+yx+y toplamına ulaşmak için bu özdeşlik gereklidir.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koy.
(x+y)2=29+2⋅10=29+20=49(x+y)^2 = 29 + 2 \cdot 10 = 29 + 20 = 49
x2+y2x^2+y^2 yerine 29 ve xyxy yerine 10 yazılarak toplamın karesi hesaplanır.
3
Sonucun karekökünü alarak x+yx+y değerini bul.
x+y=49=7x+y = \sqrt{49} = 7
Karesi 49 olan pozitif sayı 7'dir. Soruda pozitif gerçel sayılar denildiği için sonuç pozitiftir.

Anahtar Kavram

İki Terim Toplamının Karesi Özdeşliği

İpuçları

1
Soruda verilen terimler (x+y)2(x+y)^2 açılımını hatırlatmalıdır.
2
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy özdeşliğini kullanarak verilenleri yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (x−y)2(x-y)^2 değerinin sorulduğu veya x2+y2x^2+y^2 değerinin istendiği sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayıları tahmin etme yöntemi (Değer verme): Çarpımları 10 olan sayılar (1,10) veya (2,5) olabilir. Kareleri toplamı 22+52=4+25=292^2+5^2 = 4+25=29 sağlandığı için sayılar 2 ve 5'tir. Toplamları 7 yapar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x−y=4x - y = 4
y−z=6y - z = 6
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x2+y2+z2−xy−yz−zxx^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

İfadenin doğru değeri 76'dır.
Verilen ifade 12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2] özdeşliğine eşittir. Denklem sisteminden x−z=10x-z=10 bulunur. Değerler yerine yazıldığında sonuç 76 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sorulan ifadeyi tam kare özdeşlikleri cinsinden düzenle.
x2+y2+z2−xy−yz−zx=12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \left[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 \right] formülünü kullan.
Bu özdeşlik, kareler toplamı ve ikili çarpımlar farkını verilen farklar cinsinden ifade etmeyi sağlar.
2
x−zx-z değerini bulmak için verilen denklemleri taraf tarafa topla.
(x−y)+(y−z)=4+6  ⟹  x−z=10(x-y) + (y-z) = 4 + 6 \implies x - z = 10
Formüldeki üçüncü terim olan (x−z)(x-z)'yi bulmak için.
3
Bulunan değerleri formülde yerine yaz.
12[42+62+102]\frac{1}{2} \left[ 4^2 + 6^2 + 10^2 \right]
Değerleri hesaplamak için.
4
İşlemleri tamamla.
12[16+36+100]=12[152]=76\frac{1}{2} [16 + 36 + 100] = \frac{1}{2} [152] = 76
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin özel dönüşümleri

İpuçları

1
Bu ifadeyi çarpanlara ayırma formüllerinden yararlanarak (x−y)2(x-y)^2, (y−z)2(y-z)^2 ve (x−z)2(x-z)^2 terimlerini içerecek şekilde düzenlemeye çalışın.
2
İfadeyi 2 ile çarpıp 2'ye bölerseniz, 2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx elde edersiniz. Bu terimleri (x2−2xy+y2)(x^2-2xy+y^2) şeklinde gruplandırın.
3
Kullanmanız gereken özdeşlik: 12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2]. Ayrıca x−z=(x−y)+(y−z)x-z = (x-y) + (y-z) eşitliğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu x−y=y−zx-y=y-z (eşit farklar) durumu için çözerek sonucun nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: y=0y=0 seçilirse, denklemlerden x=4x=4 ve z=−6z=-6 bulunur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa: 42+02+(−6)2−(4)(0)−(0)(−6)−(−6)(4)=16+36+24=764^2 + 0^2 + (-6)^2 - (4)(0) - (0)(-6) - (-6)(4) = 16 + 36 + 24 = 76.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 35Soru →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x2+y2+4x−10y+29=0x^2 + y^2 + 4x - 10y + 29 = 0
olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Verilen denklem tam kare ifadelere dönüştürüldüğünde x=−2x=-2 ve y=5y=5 değerlerine ulaşılır, bu değerlerin çarpımı ise -10 sonucunu verir.
Verilen denklemde x2+4xx^2+4x ve y2−10yy^2-10y ifadeleri, tam kareye tamamlanmak için sırasıyla 44 ve 2525 sayılarına ihtiyaç duyar. Sabit terim olan 2929 bu ihtiyacı tam olarak karşılar (29=4+2529 = 4 + 25). Bu durumda ifade (x+2)2+(y−5)2=0(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0 halini alır. Gerçel sayılarda karelerin toplamı sıfır ise her bir terim sıfır olmalıdır. Buradan x=−2x = -2 ve y=5y = 5 bulunur. Çarpımları ise −10-10 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi, değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak ve sabit terimi bu gruplara uygun şekilde paylaştırarak yeniden düzenleyin.
x2+4x+4+y2−10y+25=0x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 0
29 sayısını 4 ve 25 olarak ayırmak, ifadeyi tam kare toplamları haline getirebilmemizi sağlar.
2
xx ve yy içeren grupları tam kare özdeşliklerini kullanarak çarpanlarına ayırın.
(x+2)2+(y−5)2=0(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 0
(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 özdeşliğini uygulamak için.
3
İki tam karenin toplamı sıfır ise, her bir tam karenin içinin sıfıra eşit olması gerektiğini kullanarak xx ve yy değerlerini bulun.
x+2=0⇒x=−2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 ve y−5=0⇒y=5y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5
Gerçel sayıların kareleri toplamı ancak her bir terim ayrı ayrı sıfır olduğunda sıfıra eşit olabilir.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini çarparak soruda istenen sonucu elde edin.
(−2)⋅5=−10(-2) \cdot 5 = -10
Soruda bizden xx ve yy değişkenlerinin çarpımı istendiği için.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Kareler Toplamı

İpuçları

1
Denklemi tam kare ifadelerin toplamı ((...)2+(...)2=0(...)^2 + (...)^2 = 0) şeklinde yazmaya çalışın.
2
2929 sayısını 44 ve 2525 olarak ikiye ayırarak xx ve yy terimleriyle gruplandırın.
3
(x+2)2+(y−5)2=0(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0 eşitliğini elde ettikten sonra, her bir parantezin içini sıfıra eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla üç değişkenli (x, y ve z) tam kare tamamlama sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 20s
Soru 36Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
(x+y)2=45(x+y)^2 = 45
(x−y)2=21(x-y)^2 = 21
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Soruda verilen (x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 ifadeleri arasındaki temel ilişki (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy özdeşliğidir. Verilen sayısal değerler (45 ve 21) bu denklemde yerine konulduğunda 45−21=2445 - 21 = 24 bulunur. Bu değer 4xy4xy'ye eşittir. Her iki taraf 4'e bölündüğünde xy=6xy = 6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifade taraf tarafa çıkarılır.
(x+y)2−(x−y)2=45−21(x+y)^2 - (x-y)^2 = 45 - 21
x⋅yx \cdot y terimini elde etmek için tam kare ifadelerin farkından yararlanılır.
2
Tam kare açılımları yazılarak işlem düzenlenir.
(x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2)=24(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 24
Parantez içindeki terimlerin işaretlerine dikkat edilerek çıkarma işlemi yapılır.
3
Sadeleştirme yapılır ve xyxy bulunur.
4xy=24⇒xy=64xy = 24 \Rightarrow xy = 6
x2x^2 ve y2y^2 terimleri birbirini götürür, geriye 4xy4xy kalır.

Anahtar Kavram

İki terimin toplamının ve farkının karesi özdeşlikleri arasındaki ilişki: (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

İpuçları

1
(x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 ifadelerini açık halleriyle (x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 ve x2−2xy+y2x^2 - 2xy + y^2) yazmayı deneyin.
2
Yazdığınız bu iki ifadeyi taraf tarafa çıkarırsanız x2x^2 ve y2y^2 terimleri yok olur.
3
Çıkarma işlemi sonucunda elinizde sadece 4xy4xy kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

x2+y2x^2 + y^2 toplamının sorulduğu bir soru çözerek iki yöntem arasındaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak; birinci denklemden x2+y2=45−2xyx^2 + y^2 = 45 - 2xy, ikinci denklemden x2+y2=21+2xyx^2 + y^2 = 21 + 2xy yazıp bu iki ifade birbirine eşitlenerek de çözülebilir: 45−2xy=21+2xy⇒24=4xy45 - 2xy = 21 + 2xy \Rightarrow 24 = 4xy.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(2x+5)2(2x + 5)^2
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25

Cevap

4x2+20x+254x^2 + 20x + 25 ifadesidir.
İki terimli bir ifadenin karesi alınırken (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kuralı uygulanır. Burada a=2xa=2x ve b=5b=5 olduğundan; (2x)2+2(2x)(5)+52(2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 işlemi bizi 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25 sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirle.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimli bir toplamın karesi bu temel özdeşlik kullanılarak açılır.
2
Sorudaki terimleri formülde yerlerine koy.
a=2xa = 2x ve b=5b = 5
Birinci terim 2x2x, ikinci terim ise 55 olarak tanımlanmıştır.
3
Her bir parçayı ayrı ayrı hesapla.
(2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2, 2⋅(2x)⋅5=20x2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x, 52=255^2 = 25
Katsayıların ve değişkenlerin kareleri ile çarpımlarının iki katı doğru hesaplanmalıdır.
4
Hesaplanan terimleri toplayarak ifadeyi düzenle.
4x2+20x+254x^2 + 20x + 25
Özdeşliğin en sade ve açık hali bu toplamdır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği

İpuçları

1
İki terimli bir toplamın karesini açarken (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 formülünü kullanmalısın.
2
Bu soruda birinci terim (aa) 2x2x, ikinci terim (bb) ise 55'tir. Her iki terimin de karesini almayı unutma.
3
Orta terim olan 2ab2ab kısmını hesaplarken 2⋅2x⋅52 \cdot 2x \cdot 5 işlemini yapmalısın. Bu sana 20x20x sonucunu verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (3x−2)2(3x - 2)^2 ifadesinin açılımını yaparak farkın karesi özdeşliğini pekiştirebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 38Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0
eşitliği verilmiştir.

Buna göre, x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

İstenen ifadenin değeri 76'dır.
Verilen ikinci dereceden denklem düzenlenerek x−1/x=4x - 1/x = 4 bulunur. Daha sonra a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliği kullanılarak 43+3(4)=64+12=764^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını, x≠0x \neq 0 olduğu için xx'e bölelim.
x2x−4xx−1x=0  ⟹  x−4−1x=0\frac{x^2}{x} - \frac{4x}{x} - \frac{1}{x} = 0 \implies x - 4 - \frac{1}{x} = 0
Sorulan ifadede xx ve 1/x1/x terimleri olduğu için, verilen denklemden x−1/xx - 1/x formuna ulaşmamız gerekir.
2
Elde edilen denklemden x−1xx - \frac{1}{x} ifadesini yalnız bırakalım.
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4
Özdeşlik formülünü kullanabilmek için bu temel farkın sayısal değerine ihtiyacımız vardır.
3
İki küp farkı özdeşliğini hatırlayalım: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). Burada a=xa=x ve b=1xb=\frac{1}{x} alalım.
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x - \frac{1}{x}\right)
Bu özdeşlik, bildiğimiz (x−1/x)(x-1/x) değeri ile aradığımız sonucu ilişkilendirir.
4
Bulduğumuz x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 değerini formülde yerine yazalım.
=43+3⋅1⋅4=64+12=76= 4^3 + 3 \cdot 1 \cdot 4 = 64 + 12 = 76
Doğru hesaplama için işlem önceliğine dikkat edilir.

Anahtar Kavram

İki Küp Farkı Özdeşliği ve Değişken Dönüştürme

İpuçları

1
Sorudaki x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 ifadesini, xx'li bir terim ile 1/x1/x'li bir terim arasındaki farkı bulacak şekilde düzenlemeyi deneyin.
2
Eşitliğin her iki tarafını xx'e bölerseniz x−1xx - \frac{1}{x} değerini bulabilirsiniz.
3
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliğini kullanarak x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0 verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 toplamını soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

(x−1x)3(x - \frac{1}{x})^3 ifadesini doğrudan açarak: (x−1x)3=x3−3x2(1x)+3x(1x)2−1x3=x3−1x3−3(x−1x)(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x})^2 - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x}). Buradan 43=A−3(4)  ⟹  64=A−12  ⟹  A=764^3 = A - 3(4) \implies 64 = A - 12 \implies A = 76 şeklinde de çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 39Soru →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x3+3xy2=63x^3 + 3xy^2 = 63
3x2y+y3=623x^2y + y^3 = 62
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x2−y2x^2 - y^2 ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak elde edilen sonuç 5'tir.
Verilen iki denklem taraf tarafa toplandığında (x+y)3=125(x+y)^3 = 125 elde edilir, buradan x+y=5x+y=5 bulunur. Taraf tarafa çıkarıldığında ise (x−y)3=1(x-y)^3 = 1 elde edilir, buradan x−y=1x-y=1 bulunur. İstenen x2−y2x^2-y^2 ifadesi (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) çarpımına eşittir, bu da 1⋅5=51 \cdot 5 = 5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak (x+y)3(x+y)^3 açılımını elde et.
x3+3x2y+3xy2+y3=63+62  ⟹  (x+y)3=125x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 63 + 62 \implies (x+y)^3 = 125
Tam küp toplamı özdeşliğini: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 kullanmak için.
2
Elde edilen eşitlikten x+yx+y değerini bul.
(x+y)3=53  ⟹  x+y=5(x+y)^3 = 5^3 \implies x+y = 5
Sonuca gitmek için gerekli olan bileşenlerden birini bulmak.
3
Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkararak (x−y)3(x-y)^3 açılımını elde et.
x3−3x2y+3xy2−y3=63−62  ⟹  (x−y)3=1x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 63 - 62 \implies (x-y)^3 = 1
Tam küp farkı özdeşliğini: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 kullanmak için.
4
Elde edilen eşitlikten x−yx-y değerini bul.
(x−y)3=13  ⟹  x−y=1(x-y)^3 = 1^3 \implies x-y = 1
İstenen ifadeyi hesaplamak için ikinci bileşeni bulmak.
5
x2−y2x^2 - y^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği ile hesapla.
x2−y2=(x−y)(x+y)=1⋅5=5x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 1 \cdot 5 = 5
Bulunan değerleri yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam küp açılımları ((x±y)3(x ± y)^3) ve iki kare farkı (x2−y2x^2-y^2) özdeşliklerinin sistemli kullanımı.

İpuçları

1
Denklemleri taraf tarafa toplamayı ve çıkarmayı deneyin.
2
Toplama işlemi (x+y)3(x+y)^3 açılımını, çıkarma işlemi (x−y)3(x-y)^3 açılımını verecektir.
3
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullanmak için x+yx+y ve x−yx-y değerlerini ayrı ayrı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer katsayı ilişkileri içeren ancak x3+y3x^3+y^3 toplamının sorulduğu sorular.

Alternatif Yöntem

x ve y değerlerini tahmin ederek veya çözerek (x=3,y=2x=3, y=2) doğrudan yerine koyma yöntemi de kullanılabilir, ancak denklem sistemi çözümü daha geneldir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Özdeşlikler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin