Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3

Soru 41Soru →

$A = \{ - \frac{12}{3}, \sqrt{0,9}, 0,25, \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}, \pi + 1 \}$ kümesi veriliyor.

Buna göre bu kümenin elemanları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Kümede 3 tane rasyonel sayı bulunmaktadır.

Kümede 2 tane irrasyonel sayı bulunmaktadır.

Kümede 2 tane tam sayı bulunmaktadır.

Kümede 2 tane doğal sayı bulunmaktadır.

Kümedeki tüm elemanlar gerçel (reel) sayılar kümesinin elemanıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kümede 2 tane doğal sayı bulunmaktadır.

Cevap

Kümede sadece 1 tane doğal sayı bulunmaktadır, bu nedenle 'Kümede 2 tane doğal sayı bulunmaktadır' ifadesi yanlıştır.

Kümede bulunan

-4

sayısı bir tam sayıdır ancak doğal sayı değildir. Doğal sayılar kümesi

0

ile başlar ve pozitif yönde sonsuza gider. Kümedeki tek doğal sayı

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4

sayısıdır. Dolayısıyla '2 tane doğal sayı vardır' ifadesi hatalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümedeki karmaşık görünen ifadeleri sadeleştirin.

- \frac{12}{3} = -4

(Tam sayı, rasyonel sayı)

\sqrt{0,9} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

(İrrasyonel sayı)

0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

(Rasyonel sayı)

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4

(Doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı)

\pi + 1

(İrrasyonel sayı)

Sayıların hangi kümeye ait olduğunu belirlemek için en sade hallerini görmek gerekir.

2

Her bir sayı kümesi için eleman sayılarını belirleyin.

Rasyonel Sayılar (

Q

):

\{-4, 0,25, 4\}

\rightarrow

3 tane
İrrasyonel Sayılar (

Q'

):

\{\sqrt{0,9}, \pi + 1\}

\rightarrow

2 tane
Tam Sayılar (

Z

):

\{-4, 4\}

\rightarrow

2 tane
Doğal Sayılar (

N

):

\{4\}

\rightarrow

1 tane
Gerçel Sayılar (

R

): Hepsi

\rightarrow

5 tane

Seçeneklerin doğruluğunu kontrol etmek için sayısal verileri gruplandırmak gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki hiyerarşik ilişki (

N \subset Z \subset Q \subset R

) ve rasyonel-irrasyonel sayı ayrımı.

İpuçları

1

Önce köklü ve rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sayıların gerçek değerlerini bulun.

2

Doğal sayılar kümesinin negatif sayıları kapsayıp kapsamadığını hatırlayın.

3

-12/3 = -4

ve

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4

sonuçlarını sayı kümeleriyle eşleştirin.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılarla yapılan toplama ve çarpma işlemlerinin sonucunun her zaman irrasyonel olup olmadığını araştırın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 42Soru →

$a, b$ ve $c$ tam sayıları için,
* $a^2 + ab$ ifadesinin bir çift sayı,
* $b^2 + bc$ ifadesinin bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek bir sayıdır?

a + c

a \cdot b + c

b \cdot c + a

a \cdot c + b

a + b \cdot c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot c + b$

Cevap

a \cdot c + b

ifadesi daima tektir.

b(b+c)

çarpımının tek olması için

b

tek ve

c

çift olmalıdır.

a(a+b)

ifadesi ise

b

tek olduğunda

a

tek olsa da çift olsa da çift sonuç vereceği için

a

hakkında kesin bilgi yoktur. Ancak

c

çift olduğu için

a \cdot c

çarpımı her zaman çifttir ve tek olan

b

ile toplandığında sonuç daima tek olur.

Adım Adım Çözüm

1

b^2 + bc

ifadesinin çarpanlarına ayrılarak incelenmesi

b

sayısının tek,

c

sayısının çift olduğunun belirlenmesi

b^2 + bc = b(b + c)

şeklinde yazılır. Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir. Dolayısıyla

b

tektir ve

b + c

tektir.

b

tek ise

c

çift olmalıdır.

2

a^2 + ab

ifadesinin

b

değeri yerine yazılarak analiz edilmesi

a

sayısının hem tek hem de çift olabileceğinin fark edilmesi

a^2 + ab = a(a + b)

şeklinde yazılır.

b

tek iken; eğer

a

tek ise

T \times (T + T) = T \times Ç = Çift

olur. Eğer

a

çift ise

Ç \times (Ç + T) = Ç \times T = Çift

olur. Bu durumda

a

her iki değerini de alabilir.

3

a \cdot c + b

ifadesinin kesinlik testine tabi tutulması

İfadenin daima tek sonuç verdiğinin kanıtlanması

c

çift bir sayı olduğundan,

a

ne olursa olsun

a \cdot c

çarpımı daima çifttir.

b

sayısı tek olduğu için

Çift + Tek = Tek

kuralı gereği sonuç daima tektir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinde teklik-çiftlik analizi ve çarpanlara ayırma yöntemi.

İpuçları

1

Öncelikle çarpım durumuna getirilebilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak başlayın.

2

b(b+c)

çarpımı tek ise hem

b

hem de

b+c

ifadesinin tek olması gerektiğini unutmayın.

3

a(a+b)

ifadesinde

b

tek iken

a

'nın hem tek hem de çift olma durumlarını ayrı ayrı test edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu belirtilseydi, üslü ifadelerin tabanlarının parity üzerindeki etkisini inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılabilir:

b=1

ve

c=2

(bu durumda

b^2+bc = 1+2=3

tek olur) seçilirse,

a(a+1)

çift olmalıdır.

a=1

ve

a=2

değerlerini seçeneklerde deneyerek her iki durumda da tek çıkan seçeneği bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 43Soru →

$2a$ sayısından başlayan $n$ tane ardışık pozitif çift tam sayının toplamı $120$ olarak verilmiştir.

Bu sayı dizisinin terim sayısı ( $n$ ), dizinin ilk terimine eşit olduğuna göre, dizinin en büyük terimi aşağıdakilerden hangisidir?

4

8

16

22

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin en büyük terimi 22'dir.

Ardışık çift sayıların toplam formülü kullanılarak kurulan

2n^2 - n - 120 = 0

denkleminin çözümü

n=8

'i verir. Bu, dizinin ilk terimidir. Son terim formülü uygulandığında (

8 + (8-1)2

) sonuç 22 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri matematiksel ifadelere dök.

İlk terim =

2a

, Terim sayısı

n = 2a

. Dizi:

n, n+2, n+4, ...

Soruda terim sayısının ilk terime eşit olduğu belirtilmiştir.

2

Son terimi

n

cinsinden ifade et.

Son Terim = İlk Terim + (Terim Sayısı - 1)

\times

Artış Miktarı =

n + (n-1)2 = 3n - 2

Ardışık çift sayılar 2'şer artar.

3

Toplam formülünü kur ve

n

değerini bul.

Toplam =

\frac{n}{2}(\text{İlk} + \text{Son}) = \frac{n}{2}(n + 3n - 2) = n(2n-1) = 2n^2 - n = 120

. Buradan

n=8

bulunur.

İkinci dereceden denklem çözümü (

2n^2 - n - 120 = 0

) sonucu pozitif kök alınır.

4

En büyük terimi hesapla.

En büyük terim =

3n - 2 = 3(8) - 2 = 22

.

Bulunan

n

değeri son terim formülünde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde genel toplam formülü: Terim Sayısı

\times

Ortancadır.

İpuçları

1

Terim sayısı ile ilk terimin eşit olduğunu (

n

) kullanarak, son terimi

n

cinsinden yazmayı deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 44Soru →

Sıfırdan farklı

x, y

ve

z

gerçel sayıları için,

\frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z} = -1

x \cdot y < 0

y - z < 0

bilgileri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x + y + z > 0

x \cdot (y - z) > 0

y^2 < z^2

\frac{x - y}{z} < 0

|y| < |z|

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{x - y}{z} < 0$

Cevap

\frac{x - y}{z} < 0

ifadesi daima doğrudur.

Verilen eşitlikten hareketle iki sayının negatif, bir sayının pozitif olduğu bulunur.

x

ve

y

'nin çarpımı negatif olduğundan zıt işaretlidirler, bu durumda üçüncü sayı olan

z

kesinlikle negatiftir.

y < z

bilgisiyle

y

'nin de negatif olduğu, dolayısıyla

x

'in pozitif olduğu kesinleşir. İstenen ifadede pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında (

x-y

) pay pozitif olur; payda (

z

) ise negatiftir. Artının eksiye bölümü daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk eşitliği analiz et.

\frac{|a|}{a}

ifadesi

a>0

için

1

,

a<0

için

-1

değerini alır. Toplamın

-1

olması için terimlerden ikisi

-1

, biri

+1

olmalıdır. Yani sayılardan ikisi negatif, biri pozitiftir.

İşaret analizi yapmak için.

2

İkinci ve üçüncü eşitsizlikleri kullanarak işaretleri belirle.

x \cdot y < 0

olduğu için

x

ve

y

zıt işaretlidir (biri negatif, biri pozitif). Toplamda iki negatif sayı olması gerektiğinden, geriye kalan

z

sayısı kesinlikle negatif olmalıdır (

z < 0

).

Değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek için.

3

y

ve

x

işaretlerini netleştir.

y - z < 0

ifadesinden

y < z

elde edilir.

z

negatif olduğuna göre,

z

'den küçük olan

y

de kesinlikle negatiftir.

y

negatif ise, zıt işaretli olan

x

pozitiftir.

Sıralamayı ve tüm işaretleri bulmak için.

4

Elde edilen bulguları özetle.

İşaretler:

x(+), y(-), z(-)

. Sıralama:

y < z < 0 < x

.

Seçenekleri test etmek için referans oluşturmak.

5

Doğru seçeneği test et.

\frac{x - y}{z}

ifadesinde; Pay (

x - y

) = (Pozitif) - (Negatif) = Pozitif. Payda (

z

) = Negatif. Sonuç:

(+) / (-) = (-)

. İfade

< 0

dediği için bu seçenek daima doğrudur.

Kesin doğruluğu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

İşaret Fonksiyonu ve Eşitsizlik Sistemleri

İpuçları

1

\frac{|a|}{a}

ifadesi sadece

1

veya

-1

değerini alabilir. Toplamın

-1

olması, kaç tanesinin negatif olması gerektiğini gösterir?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 45Soru →

a, b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

(a + 2b) \cdot (b + 3c) = 2023

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

b + c

a \cdot b

a + b + c

a^2 + c^2

3a + 2c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a + b + c

Cevap

a + b + c

ifadesi daima çifttir.

Verilen eşitlikte çarpım tek sayı olduğundan her iki çarpan da tek olmalıdır.

a+2b

tek ise,

2b

çift olduğundan

a

kesinlikle tektir.

b+3c

tek ise,

b

ve

3c

(dolayısıyla

c

) zıt karakterlidir (biri tek, biri çift). Bu durumda

b+c

toplamı kesinlikle tektir. Sonuç olarak

a + b + c

ifadesi,

Tek + (Tek)

formundadır ve iki tek sayının toplamı daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sağ tarafını analiz et.

2023 tek sayıdır. Çarpım sonucu tek ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır:

(a + 2b) = \text{Tek}

ve

(b + 3c) = \text{Tek}

.

Çarpma işleminde sonucun tek olabilmesi için tüm çarpanların tek olması gerekir (

T \cdot T = T

).

2

Birinci çarpanı kullanarak

a

'nın durumunu belirle.

a + 2b = \text{Tek}

.

2b

her zaman çifttir. Bu durumda

a

kesinlikle Tek sayıdır.

Çift bir sayı ile ancak tek bir sayı toplanırsa sonuç tek olur (

Ç + T = T

).

3

İkinci çarpanı kullanarak

b

ve

c

arasındaki ilişkiyi belirle.

b + 3c = \text{Tek}

. Katsayısı tek olan

3c

,

c

ile aynı karakterdedir. Yani

b + c = \text{Tek}

demektir.

İki sayının toplamı tek ise, bu sayılardan biri tek, diğeri çifttir. Yani

b

ve

c

zıt karakterlidir.

4

Doğru seçeneği bulmak için verileri birleştir.

a

tektir,

(b+c)

tektir. Bizden

a + b + c

isteniyor.

a + (b+c) = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}

.

İki tek sayının toplamı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler

İpuçları

1

Çarpım sonucu 2023 (tek sayı) olduğuna göre, parantez içlerinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyin.

2

a + 2b

tek ise

a

nedir?

b + 3c

tek ise

b

ve

c

arasındaki teklik-çiftlik ilişkisi nasıldır?

3

a

kesinlikle tektir.

b

ve

c

'den biri tek diğeri çifttir, yani

(b+c)

toplamı tektir.

a + (b+c)

toplamını düşünün.

Daha Fazla Pratik

İçinde faktöriyel bulunan tek-çift sayı sorularını çözerek pratiğinizi artırın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan örnek değerler bulun.

a=1

(tek) olsun.

1+2b

tektir.

b+3c

de tek olmalı.

b=1

(tek) seçersek,

1+3c

tek olmalı

\rightarrow 3c

çift

\rightarrow c=2

(çift).

a=1, b=1, c=2

için şıkları deneyin. Sadece

a+b+c

(

1+1+2=4

) çift çıkar.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 46Soru →

$p$ bir asal sayı olmak üzere, $\sqrt{17p + 1}$ ifadesi bir tam sayıya eşittir. Buna göre, $p$ aşağıdakilerden hangisidir?

1

7

13

17

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19

Verilen ifade

\sqrt{17p + 1} = k

şeklinde düşünüldüğünde,

17p = (k-1)(k+1)

eşitliği elde edilir. 17 asal bir sayı olduğundan, sağ taraftaki çarpanlardan biri 17'nin katı olmalıdır.

(k+1)

ve

(k-1)

arasındaki fark 2'dir. Bu şartı sağlayan durum

k-1=17

ve

k+1=19

olduğunda gerçekleşir (çünkü

19

da asaldır). Buradan

p=19

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadenin bir tam sayıya eşit olduğunu varsayarak denklemi kurun.

\sqrt{17p + 1} = k

(k bir pozitif tam sayı)

Kök dışına tam sayı olarak çıkması için içerisi tam kare olmalıdır.

2

Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak

p

'yi yalnız bırakmaya yönelik düzenleme yapın.

17p + 1 = k^2 \Rightarrow 17p = k^2 - 1

Köklü ifadeden kurtulmak için kare alınır.

3

İki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlara ayırın.

17p = (k - 1) \cdot (k + 1)

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

özdeşliği kullanılır.

4

Asal çarpanları analiz ederek

p

değerini bulun. 17 asal olduğu için çarpanlardan biri 17 olmalıdır.

Çarpanlar

(k-1)

ve

(k+1)

aralarındaki fark 2'dir. Biri 17, diğeri

p

olmalıdır.

k-1=17

ise

k=18

. O zaman

k+1=19

. Yani

p=19

.

17 ve p asal sayılar olduğu için,

(k-1)

ve

(k+1)

çarpanları 17 ve p (veya 1 ve 17p) olmalıdır. Farkı 2 olan tek uygun durum budur.

5

Bulunan değeri kontrol edin.

\sqrt{17 \cdot 19 + 1} = \sqrt{323 + 1} = \sqrt{324} = 18

. Tam sayıdır.

Sağlaması yapılarak çözüm doğrulanır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki kare farkı özdeşliği.

Soru 47Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı sayı türleri ve bu türler arasındaki ilişkiler ile ilgili olarak, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

İki irrasyonel sayının toplamı yine bir irrasyonel sayıdır.

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.

Her tam sayı aynı zamanda bir doğal sayıdır.

İrrasyonel bir sayının karesi rasyonel bir sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.

Cevap

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.

Rasyonel sayılar kümesi (

\mathbb{Q}

) ile İrrasyonel sayılar kümesi (

\mathbb{Q}'

) ayrıktır. Bir rasyonel sayı (

r

) ile bir irrasyonel sayının (

i

) toplamı her zaman irrasyoneldir. Aksini varsayarsak, yani

r + i = q

(rasyonel) desek,

i = q - r

olurdu. İki rasyonel sayının farkı yine rasyonel olacağı için bu durum

i

'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerde verilen kümeler arası ilişkileri ve işlem özelliklerini tek tek analiz et.

Her seçeneğin doğruluğunu test etmek için karşıt örnek (aksine örnek) düşünülür.

'Daima doğrudur' sorularında tek bir karşıt örnek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlar.

2

Birinci seçeneği incele: 'İki irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.'

Yanlış. Örnek:

a = \sqrt{3}

ve

b = -\sqrt{3}

irrasyoneldir ancak

a+b = 0

rasyoneldir.

İrrasyonel sayıların toplamı rasyonel olabilir.

3

İkinci seçeneği incele: 'Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.'

Yanlış. Örnek: Rasyonel sayı

0

alındığında,

0 \cdot \sqrt{2} = 0

olur ve

0

rasyoneldir.

Yutan eleman (

0

) kuralı bu genellemeyi bozar.

4

Üçüncü seçeneği incele: 'Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.'

Doğru.

r \in \mathbb{Q}

ve

i \in \mathbb{Q}'

olsun. Eğer

r+i = q \in \mathbb{Q}

olsa,

i = q-r

olurdu. İki rasyonel sayının farkı rasyonel olacağından

i

rasyonel çıkardı, bu bir çelişkidir.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı kapalı değildir, sonuç daima irrasyoneldir.

5

Dördüncü ve beşinci seçenekleri kontrol et.

D yanlış (Negatif tam sayılar doğal sayı değildir). E yanlış (

\pi^2

irrasyoneldir).

Diğer seçeneklerin de kesinlikle yanlış olduğundan emin olunur.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler ve İşlemler

Soru 48Soru →

x

ve

y

birer asal sayı olmak üzere,

y = x^2 + 19

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

21

23

25

27

31

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Verilen eşitliği sağlayan asal sayıların toplamı 25'tir.

Verilen

y = x^2 + 19

denkleminde

y

bir asal sayı ise,

x

mutlaka çift olmak zorundadır. Çünkü

x

tek olsaydı

x^2 + 19

ifadesi çift bir sayı olurdu ve 2'den büyük hiçbir çift sayı asal değildir. Tek çift asal sayı 2 olduğu için

x = 2

alınır. Bu durumda

y = 4 + 19 = 23

olur. Hem 2 hem de 23 asal sayı olduğundan koşul sağlanır. Toplamları ise

2 + 23 = 25

eder.

Adım Adım Çözüm

1

x

asal sayısının tek veya çift olma durumunu incele.

x

sayısı 2'den büyük bir asal sayı (tek sayı) olsaydı,

x^2

de tek olurdu.

Asal sayıların 2 haricindeki tamamı tek sayıdır ve tek sayıların karesi de tektir.

2

y

sayısının asallığını kontrol et.

y = \text{tek} + 19 = \text{çift}

olurdu. 2'den büyük çift sayılar asal olamaz.

İki tek sayının toplamı çifttir ve 2'den büyük çift sayılar asal sayı tanımına uymaz.

3

x

için tek çift olan asal sayıyı yerine koy.

x = 2

olmalıdır. Buradan

y = 2^2 + 19 = 4 + 19 = 23

bulunur.

Denklemin her iki tarafının da asal olması için

x

çift asal sayı (2) olmalıdır.

4

İstenen toplamı hesapla.

x + y = 2 + 23 = 25

olarak bulunur.

Soru kökünde

x

ve

y

değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Asal sayılar içerisinde çift olan tek sayının 2 olması ve sayıların teklik-çiftlik özelliklerinin asal sayı sorularındaki belirleyici rolü.

İpuçları

1

x

sayısı tek bir asal sayı olsaydı,

y

nasıl bir sayı olurdu?

2

En küçük ve tek çift asal sayıyı hatırlayın; bu sayı denklemi sağlıyor mu?

3

x=2

değerini denklemde yerine koyarak

y

değerini bulun ve asallığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

İki asal sayının farkı tek bir sayı ise bu sayılardan birinin mutlaka 2 olması gerektiğini unutmayın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemiyle en küçük asal sayılardan (2, 3, 5...) başlanarak

y

değerinin asal olup olmadığı kontrol edilebilir.

x=2

için

y=23

(asal),

x=3

için

y=28

(asal değil) olduğu görülür.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 49Soru →

Sıfırdan farklı $x, y$ ve $z$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x - z > |x + z|

x + y < 0

y > z

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi kesinlikle doğrudur?

z < x < y

y^2 < x^2 < z^2

x^2 < y^2 < z^2

z^2 < y^2 < x^2

y < z < x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 < y^2 < z^2$

Cevap

Sayıların karelerinin sıralaması

x^2 < y^2 < z^2

şeklindedir.

Verilen

x - z > |x + z|

eşitsizliği,

x

'in pozitif ve

z

'nin negatif olduğunu garanti eder. İkinci bilgi (

x+y<0

), pozitif

x

'e rağmen toplamın negatif olması nedeniyle

y

'nin negatif olduğunu ve sıfıra olan uzaklığının

x

'ten fazla olduğunu gösterir (

|y|>|x|

). Üçüncü bilgi (

y>z

), her ikisi de negatif olan bu sayılardan

z

'nin daha solda (daha küçük) olduğunu, dolayısıyla sıfıra en uzak olanın

z

olduğunu kanıtlar (

|z|>|y|

). Sıfıra uzaklık (mutlak değer) arttıkça kare de büyüdüğünden, doğru sıralama

x^2 < y^2 < z^2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x - z > |x + z|

eşitsizliğini analiz et.

x > 0

ve

z < 0

olduğu tespit edilir.

Bir sayının (

x-z

) mutlak değerden büyük olması için pozitif olması gerekir. Ayrıca işaret analizi yapıldığında bu eşitsizlik sadece

x

pozitif ve

z

negatifken sağlanır.

2

x + y < 0

eşitsizliğini ve

x

'in işaretini kullanarak

y

'yi yorumla.

y < -x

olduğu için

y

negatiftir ve mutlak değeri

x

'ten büyüktür (

|y| > x

).

Pozitif bir sayı (

x

) ile toplandığında sonuç negatif oluyorsa, diğer sayı (

y

) mutlak değerce daha büyük bir negatif sayı olmalıdır.

3

y > z

eşitsizliğini sayı doğrusu ve mutlak değer açısından değerlendir.

z

,

y

'den daha küçüktür (daha soldadır), bu nedenle

|z| > |y|

olur.

Negatif sayılarda küçüldükçe sıfırdan uzaklaşılır, yani mutlak değer büyür.

4

Elde edilen mutlak değer ilişkilerini kare alma işlemiyle sırala.

|z| > |y| > |x|

olduğundan

z^2 > y^2 > x^2

elde edilir.

Mutlak değeri büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1

İlk eşitsizlikte

x

ve

z

'nin işaretlerini belirlemeye çalışın. Farkları (

x-z

), toplamlarının mutlak değerinden büyükse, bu sayılar zıt işaretli olabilir mi?

2

x - z > |x + z|

eşitsizliği ancak

x > 0

ve

z < 0

olduğunda sağlanır. Bunu doğruladıktan sonra diğer eşitsizlikleri kullanarak sayıların mutlak değerlerini (sıfıra uzaklıklarını) kıyaslayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

a \cdot b < 0

ve

|a| < |b|

verip

a+b

toplamının işaretini soran sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme (Değer verme) yöntemi:

x=2

seçelim.

x+y<0

olması için

y=-3

olsun (

|y|>x

sağlanır).

y>z

olması için

z=-5

olsun. Şartları kontrol edelim:

2 - (-5) > |2-5| \Rightarrow 7 > 3

(Doğru). Bu değerlerin kareleri:

x^2=4, y^2=9, z^2=25

. Sıralama

x^2 < y^2 < z^2

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 50Soru →

k, m

ve

n

pozitif tam sayılar olmak üzere,

7k + 6m = 8n + 5

eşitliği verilmiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

k + m

k \cdot n

3k + 2

k^m + k^n

m + n

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: k^m + k^n

Cevap

k^m + k^n ifadesi daima çift sayıdır.

Verilen denklemde çift katsayılı terimler (6m ve 8n) elendiğinde geriye 7k'nın tek sayıya eşit olduğu kalır, bu da k'nın kesinlikle tek sayı olduğunu gösterir. m ve n değişkenlerinin katsayıları çift olduğu için bu değişkenlerin kendileri hakkında yorum yapılamaz (tek de olabilirler çift de). Doğru seçenek, k'nın tek sayı olması durumunda iki tek sayının toplamını (Tek^m + Tek^n = Tek + Tek = Çift) ifade ettiği için daima çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitlikteki terimlerin teklik-çiftlik durumlarını incele.

6m ve 8n ifadeleri, katsayıları çift olduğu için m ve n ne olursa olsun daima çift sayıdır.

Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

2

Eşitliği sadeleştirerek k sayısının durumunu belirle.

7k + Çift = Çift + 5 (Tek) eşitliğinden, 7k + Çift = Tek bulunur. Çift sayıyı karşıya atarsak 7k = Tek - Çift = Tek olur.

Eşitliğin korunması için sol ve sağ tarafın paritesi (teklik-çiftlik durumu) aynı olmalıdır.

3

k sayısının tek mi çift mi olduğuna karar ver.

7k tek sayı olduğuna göre ve 7 tek sayı olduğundan, k kesinlikle tek sayı olmalıdır.

İki sayının çarpımı tek ise, çarpanların her ikisi de tek sayı olmalıdır.

4

Doğru seçeneği bulmak için k'nın tek olduğu bilgisini şıklarda dene.

k tek sayı olduğundan k^m ve k^n ifadeleri de tektir (pozitif tam sayı üsleri tekliği bozmaz). İki tek sayının toplamı (Tek + Tek) daima çift sayıdır.

Tek sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetleri tektir; iki tek sayının toplamı ise çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda işlemlerin teklik-çiftlik özellikleri (Parite analizi)

İpuçları

1

Eşitlikteki terimlerin katsayılarına dikkat edin; çift katsayı ile çarpılan bir tam sayının sonucu daima çifttir.

2

6m ve 8n ifadeleri kesinlikle çifttir. Bu bilgiyi kullanarak 7k'nın teklik-çiftlik durumunu belirleyin.

3

7k ifadesinin tek sayı olması zorunludur. k tek sayı ise, şıklardaki k^m + k^n ifadesinin sonucunu (Tek + Tek) inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, çarpımları çift olan sayıların özelliklerini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıları bulmaya çalışın. Örneğin k=1 için 7(1) + 6m = 8n + 5 => 2 + 6m = 8n => 1 + 3m = 4n. m=1, n=1 bu eşitliği sağlar. k=1, m=1, n=1 değerlerini şıklarda deneyerek eleme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 51Soru →

\frac{5!}{4!} + \frac{3!}{2!} + 0!

işleminin sonucu kaçtır?

3

8

9

12

34

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yapılan sadeleştirmeler ve 0! tanımı sonucunda işlemin sonucu 9 olarak bulunur.

İşlemdeki faktöriyelli ifadeler sadeleştirildiğinde

\frac{5!}{4!} = 5

ve

\frac{3!}{2!} = 3

değerleri elde edilir. Faktöriyel kavramındaki en önemli kurallardan biri olan

0! = 1

bilgisi de eklendiğinde toplam

5 + 3 + 1 = 9

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

\frac{5!}{4!}

ifadesini sadeleştirin.

\frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5

Faktöriyel tanımı gereği

n! = n \cdot (n-1)!

olduğundan büyük olan faktöriyel küçüğüne benzetilerek sadeleştirilir.

2

\frac{3!}{2!}

ifadesini sadeleştirin.

\frac{3 \cdot 2!}{2!} = 3

Pay kısmındaki 3!, 3 × 2! şeklinde yazılarak paydadaki 2! ile sadeleşir.

3

0!

değerini belirleyin.

0! = 1

Matematiksel bir kabul ve tanım olarak 0 faktöriyel 1'e eşittir.

4

Bulunan değerleri toplayın.

5 + 3 + 1 = 9

İşlemdeki tüm terimler sadeleşmiş halleriyle toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve Özel Durumlar

İpuçları

1

Faktöriyelli ifadelerde bölme yaparken büyük sayıyı küçük sayıya kadar açıp sadeleştirmeyi deneyin.

2

5! = 5 \cdot 4!

ve

3! = 3 \cdot 2!

olduğunu hatırlayın. Ayrıca

0!

değerinin kaça eşit olduğuna dikkat edin.

3

İşlemde

5!/4! = 5

,

3!/2! = 3

ve

0! = 1

değerlerini yerine koyarak toplama yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla

(6! - 5!) / 4!

işlemini yaparak sadeleştirme pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sadeleştirme yapmadan önce küçük sayıların faktöriyel değerlerini hesaplayabilirsiniz:

5!=120

,

4!=24

,

3!=6

,

2!=2

. Buradan

(120/24) + (6/2) + 1 = 5 + 3 + 1 = 9

sonucuna varılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 52Soru →

$1$ 'den $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$ formülü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $1$ 'den $15$ 'e kadar olan ( $15$ dahil) tüm ardışık tam sayıların toplamı kaçtır?

105

115

120

136

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

1'den 15'e kadar olan ardışık sayıların toplamı 120'dir.

Verilen toplam formülünde son terim olan

n=15

değeri yerine yazıldığında,

\frac{15 \times 16}{2}

işlemi sonucunda

120

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Terim sayısını (

n

) belirle.

n = 15

Soru 1'den 15'e kadar olan sayıların toplamını istediği için son terim 15'tir.

2

Gauss toplam formülünü uygula.

\frac{15 \cdot (15 + 1)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2}

Ardışık sayıların toplamı için n(n+1)/2 formülü kullanılır.

3

Çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştir.

\frac{240}{2} = 120

veya

15 \cdot 8 = 120

16 ile 2 sadeleştiğinde 8 kalır, 15 ile 8'in çarpımı sonucu verir.

Anahtar Kavram

Gauss Toplam Formülü: 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı

İpuçları

1

Soru metninde verilen formülü kullanmayı dene.

2

Formülde

n

yerine toplamın bittiği son sayıyı (

15

) yazmalısın.

3

15

ile

16

'yı çarpıp sonucun yarısını alarak veya

16

ile

2

'yi sadeleştirip

15 \times 8

işlemini yaparak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Ardışık çift sayıların (2, 4, 6, ...) toplam formülünü inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Sayıları gruplayarak toplama: (1+15) + (2+14) + ... + (7+9) + 8 şeklinde 7 tane 16 ve bir tane ortadaki 8 sayısını toplayarak (7 * 16 + 8 = 112 + 8 = 120) sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 53Soru →

Pozitif tam sayılar kümesinde aralarında asal sayılar; 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır.

Buna göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

21 ve 57

15 ve 40

1 ve 72

22 ve 33

14 ve 42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1 ve 72

Cevap

1 ve 72 çifti aralarında asaldır.

1 ve 72 çiftinde, 1 sayısının tek pozitif böleni 1'dir. Dolayısıyla 72 ile olan tek ortak böleni de 1'dir. Matematiksel bir kural olarak 1, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Adım Adım Çözüm

1

Aralarında asal olma tanımını hatırla.

İki sayının aralarında asal olması için 1 dışında hiçbir ortak pozitif böleninin olmaması gerekir.

Sorunun çözümündeki temel kriter budur.

2

Özel bir kural olan 1 sayısının durumunu değerlendir.

1 sayısı, tüm pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır.

1'in tek pozitif böleni kendisidir, dolayısıyla başka bir sayı ile 1'den başka ortak böleni olması mümkün değildir.

3

Verilen seçeneklerdeki ortak bölenleri kontrol et.

Diğer seçeneklerdeki sayıların 1 dışında 3, 5, 11 veya 14 gibi ortak bölenleri olduğu görülür.

Aralarında asal olmayan şıkları eleyerek doğru sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

1 sayısı ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.

İpuçları

1

İki sayının aynı anda hangi sayılara bölündüğünü kontrol edin. Eğer sadece 1'e bölünüyorlarsa aralarında asaldırlar.

2

1 sayısının aralarında asal olma konusundaki özel durumunu hatırlayın; 1 tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

3

Seçeneklerdeki sayıların rakamları toplamına bakarak 3'e bölünüp bölünmediklerini veya son basamaklarına bakarak 5'e bölünüp bölünmediklerini hızlıca kontrol edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Ardışık iki pozitif tam sayının (örneğin 15 ve 16) her zaman aralarında asal olduğunu kanıtlamaya çalışın.

Tahmini Süre:45s

Soru 54Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,
* $a \cdot b + c$ toplamı bir tek sayıdır.
* $a + b \cdot c$ toplamı bir tek sayıdır.
* $a^c + b$ toplamı bir çift sayıdır.

eşitlikleri verilmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman tek sayıdır?

a + b

a + b + c

a \cdot b \cdot c

b + c

c \cdot (a + b)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b + c$

Cevap

Verilen koşullara göre

b

tek ve

c

çift sayı olduğundan, bu iki sayının toplamı olan ifade her zaman tek sayıdır.

Verilen üç koşulun aynı anda sağlanabilmesi için

a

ve

b

sayılarının her ikisinin de tek,

c

sayısının ise çift olması gerekmektedir. Bir tek sayı (

b

) ile bir çift sayının (

c

) toplamı her zaman tek sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

a^c + b

ifadesinin tekliğini/çiftliğini analiz edin.

a

ve

b

sayılarının her ikisi de ya tek ya da çifttir.

c

pozitif bir tam sayı olduğundan,

a^c

ifadesinin tekliği/çiftliği

a

tabanı ile aynıdır. Toplamın çift olması için iki sayının da aynı karakterde olması gerekir.

2

a

ve

b

sayılarının çift olduğu varsayımını test edin.

Çelişki oluşur.

a

ve

b

çift olsaydı,

a \cdot b + c

ifadesinin tek olması için

c

tek olmalıydı. Bu durumda

a + b \cdot c

ifadesi (Ç + Ç

\cdot

T = Ç) çift olurdu, ancak soruda tek olduğu verilmiştir.

3

a

ve

b

sayılarının tek olduğu varsayımını test edin.

a

: Tek,

b

: Tek,

c

: Çift.

a

ve

b

tek ise,

a \cdot b + c

ifadesinin tek olması için (T

\cdot

T +

c

= T +

c

= T)

c

çift olmalıdır. Bu durumda

a + b \cdot c

ifadesi (T + T

\cdot

Ç = T + Ç = T) tek olur ve tüm koşullar sağlanır.

4

Bulunan karakterlere göre seçenekleri değerlendirin.

b + c

toplamı T + Ç = Tek olur.

a

: Tek,

b

: Tek ve

c

: Çift olduğu kesinleştiği için seçeneklerdeki işlemler bu değerlere göre yapılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde teklik ve çiftlik analizi.

Tahmini Süre:1m 45s

Soru 55Soru →

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı $3AB$ doğal sayısı, iki basamaklı $BA$ doğal sayısının 14 katından 2 fazladır.

Buna göre, $A + B$ toplamı kaçtır?

5

6

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A + B = 7

Verilen

3AB = 14(BA) + 2

eşitliği basamaklarına ayrıldığında

300 + 10A + B = 140B + 14A + 2

elde edilir. Bu denklem düzenlenirse

298 = 4A + 139B

bulunur.

B

bir rakam olduğu için

139

katsayısı ile deneme yapılır.

B=2

seçildiğinde

139 \times 2 = 278

olur ve geriye kalan

20

sayısı

4A

'ya eşitlenerek

A=5

bulunur. Rakamları birbirinden farklı şartı (

3, 5, 2

) sağlandığı için toplam

5+2=7

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi matematiksel eşitliğe dökün.

3AB = 14 \cdot (BA) + 2

Soruda verilen 'katı' ve 'fazlası' ifadeleri matematiksel denkleme çevrilir.

2

Sayıları basamak değerlerine ayırarak (çözümleyerek) yazın.

300 + 10A + B = 14(10B + A) + 2

3AB

sayısı

300 + 10A + B

ve

BA

sayısı

10B + A

şeklinde ifade edilir.

3

Parantezi dağıtın ve benzer terimleri bir araya getirin.

300 + 10A + B = 140B + 14A + 2 \implies 298 = 4A + 139B

Denklem sadeleştirilerek

A

ve

B

rakamlarını bulmaya uygun hale getirilir.

4

B

için olası rakam değerlerini deneyerek

A

'yı bulun.

B=2

için

4A = 298 - 278 = 20 \implies A=5

B=1

için

4A=159

(tam sayı değil),

B \ge 3

için sonuç negatif çıkar. Tek çözüm

A=5, B=2

dir.

5

Rakamları toplayın.

A + B = 5 + 2 = 7

Soruda istenen sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Denklem Çözme

İpuçları

1

3AB

sayısı

300 + 10A + B

şeklinde,

BA

sayısı ise

10B + A

şeklinde çözümlenir.

2

Denklemi kurup sadeleştirdiğinizde

298 = 4A + 139B

eşitliğine ulaşmalısınız.

3

139B

ifadesinin 298'e yaklaşması için

B

sadece 1 veya 2 olabilir. Bu değerleri deneyerek

A

'nın tam sayı çıkıp çıkmadığına bakın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 56Soru →

x

ve

y

aralarında asal doğal sayılar olmak üzere,

x \cdot y + 72 = 13y

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

23

24

35

47

59

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap,

x

'in alabileceği değerlerin toplamı olan 24'tür.

Verilen denklem

x = 13 - \frac{72}{y}

şeklinde düzenlendiğinde,

y

'nin 72'yi bölen ve 5,5'ten büyük bir sayı olması gerektiği bulunur. Olası

y

değerleri denenip karşılık gelen

x

değerleri bulunduğunda, sadece

(1,6), (5,9), (7,12)

ve

(11,36)

çiftlerinin aralarında asal olduğu görülür. Bu duruma uyan

x

değerlerinin toplamı

1+5+7+11=24

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde

x

'i yalnız bırakarak

y

ile ilişkisini belirle.

xy + 72 = 13y \Rightarrow xy = 13y - 72 \Rightarrow x = \frac{13y - 72}{y} = 13 - \frac{72}{y}

x

'in doğal sayı olması için

y

'nin hangi şartları sağlaması gerektiğini görmek için.

2

x

'in bir doğal sayı olması şartını sağlayan

y

değerlerini bul.

x > 0

olması için

13 - \frac{72}{y} > 0 \Rightarrow 13 > \frac{72}{y} \Rightarrow y > \frac{72}{13} \approx 5,5

. Ayrıca

\frac{72}{y}

tam sayı olmalı, yani

y

, 72'nin 5,5'ten büyük bölenleri olmalıdır:

\{6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}

.

Olası tüm adayları belirlemek için.

3

Her bir

y

değeri için

x

'i hesapla ve

(x, y)

çiftinin aralarında asal olup olmadığını kontrol et.

Tablo oluşturarak kontrol edelim:
-

y=6 \Rightarrow x=13-12=1

.

(1,6)

aralarında asal mı? EVET.
-

y=8 \Rightarrow x=13-9=4

.

(4,8)

aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 4).
-

y=9 \Rightarrow x=13-8=5

.

(5,9)

aralarında asal mı? EVET.
-

y=12 \Rightarrow x=13-6=7

.

(7,12)

aralarında asal mı? EVET.
-

y=18 \Rightarrow x=13-4=9

.

(9,18)

aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 9).
-

y=24 \Rightarrow x=13-3=10

.

(10,24)

aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 2).
-

y=36 \Rightarrow x=13-2=11

.

(11,36)

aralarında asal mı? EVET.
-

y=72 \Rightarrow x=13-1=12

.

(12,72)

aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 12).

Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlayan gerçek çözümleri ayrıştırmak için.

4

Şartları sağlayan

x

değerlerini topla.

Uygun

x

değerleri:

1, 5, 7, 11

. Toplam:

1 + 5 + 7 + 11 = 24

.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki doğal sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenleri olmamalıdır. 1 sayısı tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

İpuçları

1

Denklemde

x

'i yalnız bırakın:

x = \frac{13y-72}{y}

. Bu ifadeyi basit kesirlerine ayırarak (

13 - \frac{72}{y}

)

x

'in tam sayı olması için

y

'nin hangi özellikleri taşıması gerektiğini düşünün.

2

x

'in doğal sayı olabilmesi için

13 - \frac{72}{y}

ifadesinin 0'dan büyük ve tam sayı olması gerekir. Bu da

y

'nin 72'nin bir böleni olmasını ve aynı zamanda

13 > \frac{72}{y}

eşitsizliğini sağlamasını gerektirir.

3

Bulduğunuz

(x, y)

çiftleri için OBEB(x, y) = 1 kontrolü yapmayı unutmayın. Örneğin

y=8

için

x=4

çıkar, ancak 4 ve 8 aralarında asal değildir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 57Soru →

Üç basamaklı bir $ABC$ doğal sayısının rakamları toplamı $12$ 'dir. Bu sayının yüzler ve birler basamağı yer değiştirdiğinde oluşan sayı, ilk sayıdan $198$ eksiktir. Buna göre, $A > B > C$ koşulunu sağlayan kaç farklı $ABC$ doğal sayısı yazılabilir?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Şartları sağlayan sadece

1

adet

ABC

doğal sayısı (543) bulunmaktadır.

Verilen bilgilere göre

ABC - CBA = 198

denklemi

A - C = 2

sonucunu verir. Rakamlar toplamı

A + B + C = 12

olduğundan,

A

yerine

C + 2

yazıldığında

2C + B = 10

ilişkisi bulunur. Bu ilişkiyi sağlayan rakam grupları test edildiğinde (

381, 462, 543, 624, 705

), sadece

543

sayısının

5 > 4 > 3

(

A > B > C

) şartını sağladığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Basamak analizi yapılarak fark denklemini kurun.

99(A - C) = 198 \Rightarrow A - C = 2

ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99A - 99C

ifadesi

198

'e eşittir.

2

Rakamlar toplamı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem oluşturun.

2C + B = 10

A + B + C = 12

denkleminde

A

yerine

C + 2

yazıldığında

(C + 2) + B + C = 12

elde edilir.

3

Denklemleri sağlayan rakam ikililerini ve

A > B > C

şartını kontrol edin.

Sadece

(5, 4, 3)

üçlüsü şartı sağlar.

C=1 \rightarrow A=3, B=8

(Hayır);

C=2 \rightarrow A=4, B=6

(Hayır);

C=3 \rightarrow A=5, B=4

(Evet);

C=4 \rightarrow A=6, B=2

(Hayır);

C=5 \rightarrow A=7, B=0

(Hayır).

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme

İpuçları

1

ABC

ve

CBA

sayılarını basamaklarına ayırarak aralarındaki farkı

A

ve

C

cinsinden ifade edin.

2

A - C = 2

olduğunu bulduktan sonra, bu bilgiyi rakamlar toplamı olan

12

eşitliğinde yerine koyarak

B

ile

C

arasında bir bağıntı kurun.

3

2C + B = 10

denklemini sağlayan her

C

değeri için

A

ve

B

değerlerini bulun ve

A > B > C

sıralamasını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, sayının

198

artması ve rakamların çarpımının verilmesi durumu için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi kurduktan sonra

C

rakamına değer vererek (

1, 2, 3, 4, 5

) hızlıca

A

ve

B

değerlerini bir tablo halinde yazıp şartı kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 58Soru →

Bir kamu kurumundaki arşivleme çalışmaları kapsamında, $1$ 'den $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış toplam $n$ adet dosya iki farklı arşive yerleştirilecektir. $1$ 'den $k$ 'ye kadar numaralı dosyalar A arşivine, $k+1$ 'den $n$ 'ye kadar numaralı dosyalar ise B arşivine konulmuştur. A arşivindeki dosyaların numaraları toplamı $X$ , B arşivindeki dosyaların numaraları toplamı $Y$ olarak belirlenmiştir.

$k = 10$ ve $Y - X = 100$ olduğuna göre, arşivlenen toplam dosya sayısı ( $n$ ) kaçtır?

17

19

20

21

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Toplam dosya sayısı 20'dir.

Doğru cevap olan 20 değeri; A arşivindeki ilk 10 dosyanın toplamı olan 55 ile bu değerden 100 fazla olan B arşivi toplamı 155 toplandığında elde edilen 210 genel toplamına tam olarak uymaktadır.

1

'den

20

'ye kadar olan sayıların toplamı

\frac{20 \times 21}{2} = 210

olduğundan eşitlik sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1

A arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (

X

) bulun.

X = 1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

A arşivi

1

'den

k=10

'a kadar olan dosyaları içermektedir.

2

B arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (

Y

) hesaplayın.

Y - 55 = 100 \Rightarrow Y = 155

Soruda

Y - X = 100

olduğu verilmiştir.

3

Tüm dosyaların numaraları toplamını (

S

) belirleyin.

S = X + Y = 55 + 155 = 210

Tüm dosyalar ya A ya da B arşivinde olduğundan, toplam tüm numaraların toplamına eşittir.

4

1

'den

n

'ye kadar olan sayıların toplam formülünü kullanarak

n

'yi bulun.

\frac{n(n+1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n+1) = 420

Ardışık tam sayıların toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülü ile bulunur.

5

Denklemi sağlayan

n

tam sayısını tespit edin.

20 \times 21 = 420 \Rightarrow n = 20

420 sayısı, ardışık 20 ve 21 sayılarının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Yöntemi)

İpuçları

1

Arşivlerdeki toplamları ayrı ayrı bulmak yerine, tüm dosyaların genel toplamını bulmaya çalışın.

2

A arşivindeki toplamı (

1+2+...+10

) hesaplayın ve buna 100 ekleyerek B arşivindeki toplamı bulun.

3

Genel toplam

S = X + Y

olacaktır.

X = 55

ve

Y = 155

ise

S = 210

olur.

\frac{n(n+1)}{2} = 210

denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu ardışık tek sayılar veya belirli bir katın ardışık sayıları (örneğin 3'ün katları) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Y - X = 100

ve

Y + X = S

denklemlerini taraf tarafa toplarsak

2Y = 100 + S

elde ederiz. Buradan da

n

değerine gidilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Sıfırdan farklı bir

x

gerçel sayısı için,

x^2 + \sqrt{2}x

ve

x^2 - \sqrt{2}x

ifadelerinin her ikisinin de birer rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir irrasyonel sayıdır?

x^2

x \cdot \sqrt{2}

\frac{x}{\sqrt{2}}

x^4 + 1

x + \frac{1}{x}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + \frac{1}{x}$

Cevap

x + 1/x ifadesi her zaman bir irrasyonel sayıdır.

Verilen iki ifadenin taraf tarafa toplanmasıyla

2x^2

, çıkarılmasıyla ise

2\sqrt{2}x

ifadelerinin rasyonel olduğu anlaşılır. Bu durum

x

sayısının bir rasyonel sayı ile

\sqrt{2}

'nin çarpımı formunda olduğunu kanıtlar. Bu formdaki bir sayının karesi ve

\sqrt{2}

ile çarpımı rasyonel iken; sayının kendisi ve çarpmaya göre tersinin toplamı (

x + 1/x

) her zaman irrasyonel bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen rasyonel ifadeleri toplayın.

(x^2 + \sqrt{2}x) + (x^2 - \sqrt{2}x) = 2x^2

rasyoneldir.

İki rasyonel sayının toplamı rasyoneldir. Buradan

x^2

rasyonel bulunur.

2

Verilen rasyonel ifadeleri birbirinden çıkarın.

(x^2 + \sqrt{2}x) - (x^2 - \sqrt{2}x) = 2\sqrt{2}x

rasyoneldir.

İki rasyonel sayının farkı rasyoneldir. Buradan

x\sqrt{2}

rasyonel bulunur.

3

x

sayısının karakterini belirleyin.

x\sqrt{2} = q

(burada

q \in \mathbb{Q}

) olsun.

x = \frac{q}{\sqrt{2}} = \frac{q\sqrt{2}}{2}

.

x\sqrt{2}

rasyonel ve

x

sıfırdan farklı ise

x

, rasyonel bir sayının

\sqrt{2}

katı olmak zorundadır.

4

Doğru seçeneği kontrol edin.

x + \frac{1}{x} = \frac{q\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{q\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot (\frac{q}{2} + \frac{1}{q})

.

Parantez içindeki rasyonel ifade sıfır olamayacağı için (

q^2 \neq -2

), sonuç irrasyoneldir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Soru 60Soru →

Rakamları birbirinden farklı

A

,

B

ve

C

rakamlarıyla oluşturulan üç basamaklı

ABC

doğal sayısı için;

ABC = 41 \cdot (A + C) + B

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $A \cdot B - C$ ifadesinin değeri kaçtır?

11

13

15

16

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Doğru cevap 15'tir.

Verilen eşitlik çözümlendiğinde

59A + 9B = 40C

elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için

A+B=10

olmalıdır. Bu şartı sağlayan ve sonucu tam sayı yapan tek çözüm kümesi

A=3, B=7, C=6

'dır. İstenen

A \cdot B - C

değeri ise

3 \cdot 7 - 6 = 15

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

doğal sayısını çözümleyin ve eşitlikte yerine yazın.

100A + 10B + C = 41A + 41C + B

Basamak analizi sorularında sayıların çözümlenmiş hali (100A+10B+C) kullanılarak rakamlar arasındaki ilişki bulunur.

2

Eşitliği düzenleyerek benzer terimleri bir araya toplayın.

59A + 9B = 40C

Denklemi sadeleştirip katsayılar üzerinden yorum yapabilmek için.

3

59A + 9B

ifadesinin son basamağını inceleyerek

A

ve

B

için olası değerleri belirleyin.

Eşitliğin sağ tarafı (

40C

) 10'un katı olduğu için son basamağı 0'dır. Sol tarafın (

59A + 9B

) da son basamağı 0 olmalıdır. Bu durum,

9(A+B)

ifadesinin 10'un katı olmasını, dolayısıyla

A+B=10

olmasını gerektirir.

Katsayı analizi ve modüler aritmetik (birler basamağı kontrolü) deneme yanılma sürecini kısaltır.

4

A+B=10

şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan

(A, B)

ikililerini deneyerek

C

'nin rakam olup olmadığını kontrol edin.

-

A=1, B=9 \implies 59(1)+9(9)=140

(40'a bölünmez)
-

A=2, B=8 \implies 59(2)+9(8)=190

(40'a bölünmez)
-

A=3, B=7 \implies 59(3)+9(7)=177+63=240

.

40C=240 \implies C=6

. (Rakamlar farklı: 3, 7, 6. SAĞLAR)
- Diğer durumlar (

A=4

ve sonrası) 40'a bölünmez veya

C

rakam olmaz.

Bulunan aday değerlerin tüm şartları (rakam olma, birbirinden farklı olma) sağladığını doğrulamak gerekir.

5

Bulunan

A=3, B=7, C=6

değerlerini istenen işlemde yerine yazın.

A \cdot B - C = 3 \cdot 7 - 6 = 21 - 6 = 15

Sorunun nihai cevabını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sayı çözümleme ve katsayı analizi ile doğrusal Diophantine denklem çözümü.

İpuçları

1

ABC

sayısını

100A + 10B + C

şeklinde çözümleyerek eşitliği sadeleştirin.

2

Sadeleştirme sonucu

59A + 9B = 40C

elde edeceksiniz. Eşitliğin sağ tarafı 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır.

3

9(A+B)

ifadesinin sonunun 0 olması için

A+B=10

olmalıdır.

A

yerine 1, 2, 3... değerlerini deneyerek

C

'nin bir rakam olup olmadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla

ABC = k \cdot (A+B+C)

tipindeki soruları çözerek basamak analizi pratiği yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Temel Kavramlar ve Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik