Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 soru

Soru 61Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0
x⋅y>0x \cdot y > 0
x+z>0x + z > 0

ifadeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2>z2x^2 > z^2

Cevap

x2>z2x^2 > z^2 ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden zz'nin negatif, xx ve yy'nin pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca x+z>0x + z > 0 ifadesi, xx'in mutlak değerinin zz'nin mutlak değerinden büyük olduğunu (∣x∣>∣z∣|x| > |z|) kanıtlar. Bu durumda her iki tarafın karesi alındığında x2>z2x^2 > z^2 eşitsizliği daima doğru olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0 eşitsizliğini inceleme
x2x^2 daima pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için z<0z < 0 olmalıdır.
Çift kuvvetler (sıfır hariç) daima pozitiftir.
2
x+z>0x + z > 0 eşitsizliğini kullanarak xx ve zz arasındaki ilişkiyi belirleme
x>−zx > -z sonucuna ulaşılır. zz negatif bir sayı olduğundan, −z-z pozitiftir. Bu durumda xx kesinlikle pozitiftir (x>0x > 0) ve mutlak değerce zz'den büyüktür (∣x∣>∣z∣|x| > |z|).
Bir sayının negatifiyle toplamının pozitif olması için, pozitif olan sayının mutlak değerce daha büyük olması gerekir.
3
x⋅y>0x \cdot y > 0 eşitsizliğini inceleme
x>0x > 0 olduğu bilindiğine göre, çarpımın pozitif olması için yy de pozitif (y>0y > 0) olmalıdır.
Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir.
4
Seçenekleri değerlendirme
∣x∣>∣z∣|x| > |z| olduğu için her iki tarafın karesi alındığında x2>z2x^2 > z^2 eşitsizliği elde edilir.
Doğru seçeneği tespit etmek için bulguları şıklarda test etme.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemlerinde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

İpuçları

1
Önce x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0 ifadesinden başlayarak zz'nin işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin işaret üzerindeki etkisini hatırlayınız.
2
x+z>0x + z > 0 ifadesini x>−zx > -z olarak düşününüz. zz negatif ise, −z-z pozitiftir. Bu durum xx ve zz'nin mutlak değerleri hakkında ne söyler?
3
xx'in mutlak değerce zz'den büyük olduğunu bulduktan sonra (∣x∣>∣z∣|x| > |z|), karelerini alarak seçenekleri kontrol ediniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış mutlak değerli eşitsizlik sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yöntemi: Şartları sağlayan değerler seçiniz. Örneğin z=−2z = -2 olsun. x2x^2 pozitif olmalı, x+z>0x+z > 0 için x>2x > 2 olmalı (mesela x=3x=3). x⋅y>0x \cdot y > 0 için yy de pozitif olmalı (mesela y=5y=5). Bu değerleri (x=3,y=5,z=−2x=3, y=5, z=-2) şıklarda yerine koyarak hangisinin sağlandığını görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 62Soru →
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.
x⋅(y+z)=114x \cdot (y + z) = 114
x<y<zx < y < z

Verilen bilgilere göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Asal çarpanların analizi ve deneme yoluyla bulunan sayıların toplamı 41'dir.
Verilen eşitlikte xx, 114'ün asal çarpanlarından biri olmalıdır. 2, 3 ve 19 seçenekleri tek tek denendiğinde, sadece x=3x=3 durumu için 'birbirinden farklı' ve x<y<zx < y < z şartlarını sağlayan asal sayılar (y=7,z=31y=7, z=31) bulunabilir. Bu sayıların toplamı 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği analiz et ve 114 sayısını asal çarpanlarına ayır.
114=2×3×19114 = 2 \times 3 \times 19. Bu durumda xx, 114'ün bir asal çarpanı olmalıdır (x∈{2,3,19}x \in \{2, 3, 19\}).
xx bir asal sayı ve çarpımın bir bileşeni olduğu için 114'ü tam bölmek zorundadır.
2
x=2x=2 durumunu incele.
2⋅(y+z)=114⇒y+z=572 \cdot (y+z) = 114 \Rightarrow y+z=57. Toplam tektir, bu yüzden toplanan asallardan biri çifttir (2). Ancak x=2x=2 olduğu için sayılar birbirinden farklı olamaz.
İki asal sayının toplamı tek ise, biri mutlaka 2 olmalıdır. Soruda sayıların birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir.
3
x=19x=19 durumunu incele.
19⋅(y+z)=114⇒y+z=619 \cdot (y+z) = 114 \Rightarrow y+z=6. Toplamı 6 olan asallar sadece 3 ve 3'tür. Farklılık şartı sağlanmaz.
Sayılardan ikisi aynı (3 ve 3) çıktığı için bu durum elenir.
4
x=3x=3 durumunu incele ve uygun y,zy, z değerlerini bul.
3⋅(y+z)=114⇒y+z=383 \cdot (y+z) = 114 \Rightarrow y+z=38. Toplamı 38 olan farklı asalları ara. y=7y=7 ve z=31z=31 şartı sağlar.
38 için olası asal çiftler: (7, 31). (19, 19 elenir). x<y<zx < y < z şartı (3<7<313 < 7 < 31) sağlanır.
5
Bulunan değerleri topla.
x+y+z=3+7+31=41x+y+z = 3 + 7 + 31 = 41.
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri ve bölünebilme kurallarının denklem çözümünde kullanımı.

İpuçları

1
114 sayısını asal çarpanlarına ayırarak xx'in alabileceği değerleri belirleyin.
2
xx için olası değerler 2, 3 ve 19'dur. Her bir durum için y+zy+z toplamını inceleyin ve yy ile zz'nin de asal olması gerektiğini unutmayın.
3
İki asal sayının toplamı tek sayı ise (örneğin 57), sayılardan biri mutlaka 2 olmalıdır. Sorudaki 'birbirinden farklı' şartı bu durumda sağlanıyor mu kontrol edin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 63Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

a3<a2<∣a∣ a^3 < a^2 < |a|
a⋅b<0 a \cdot b < 0
a−b>0 a - b > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a⋅bb < a \cdot b

Cevap

b<a⋅bb < a \cdot b ifadesi daima doğrudur.
Verilen koşullardan 0<a<10 < a < 1 ve b<0b < 0 olduğu tespit edilir. b<a⋅bb < a \cdot b eşitsizliği düzenlendiğinde b(1−a)<0b(1 - a) < 0 elde edilir. bb negatif, (1−a)(1-a) pozitif olduğu için çarpımları daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3<a2<∣a∣a^3 < a^2 < |a| eşitsizliğini analiz et.
aa'nın aralığı (−1,0)∪(0,1)(-1, 0) \cup (0, 1) olarak bulunur.
Bir sayının karesi kendisinden mutlak değerce küçükse sayı (−1,1)(-1, 1) aralığındadır. Küpünün karesinden küçük olması ise negatif sayıları veya (0,1)(0, 1) aralığını işaret eder.
2
a⋅b<0a \cdot b < 0 ve a−b>0a - b > 0 koşullarını kullanarak işaretleri belirle.
aa pozitif (0<a<10 < a < 1), bb negatiftir.
aa ve bb zıt işaretlidir. a>ba > b olduğuna göre pozitif olan aa, negatif olan bb olmalıdır. (Eğer aa negatif olsaydı bb pozitif olurdu ve a>ba > b sağlanamazdı).
3
Doğru seçeneği (b<a⋅bb < a \cdot b) incele.
b(1−a)<0b(1 - a) < 0 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliği düzenlediğimizde b−ab<0⇒b(1−a)<0b - ab < 0 \Rightarrow b(1 - a) < 0 olur.
4
Sonucun doğruluğunu teyit et.
İfade daima doğrudur.
bb negatiftir (-). 0<a<10 < a < 1 olduğundan (1−a)(1 - a) pozitiftir (+). (-) ile (+) çarpımı negatiftir (< 0). Bu daima sağlanır.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
Önce a3<a2<∣a∣a^3 < a^2 < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayılarını sayı doğrusu üzerinde düşünün. Hangi aralıktaki sayıların karesi kendisinden küçük olur?
2
aa ve bb'nin işaretlerini belirlemek için a⋅b<0a \cdot b < 0 (zıt işaretli) ve a>ba > b (büyük olan pozitif olmalı) bilgilerini birleştirin.
3
0<a<10 < a < 1 ve b<0b < 0 bulduktan sonra, seçeneklerdeki eşitsizlikleri bir tarafa toplayarak (örneğin b−ab<0b - ab < 0) işaret incelemesi yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x2<xx^2 < x ve y3<yy^3 < y koşullarını sağlayan sayıların çarpımının işaretini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: a=0.5a = 0.5 ve b=−2b = -2 değerlerini seçerek şıkları test edebilirsiniz. Ancak 'daima' dendiği için sınır durumları da düşünmelisiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 64Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için,
4a2+a⋅b+b=c3+c4a^2 + a \cdot b + b = c^3 + c
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b^a + b

Cevap

ba+bb^a + b ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte sağ taraf (c3+cc^3+c) daima çifttir. Sol tarafta 4a24a^2 terimi de daima çifttir. Dolayısıyla geriye kalan a⋅b+ba \cdot b + b yani b(a+1)b(a+1) ifadesi çift sayı olmalıdır. Bu koşul iki durumda sağlanır: Ya bb çifttir ya da (bb tek ise) aa tektir. İstenen seçenek (ba+bb^a + b), b(ba−1+1)b(b^{a-1} + 1) olarak da düşünülebilir veya doğrudan yerine koyma yapılabilir. bb çift ise sonuç çifttir. bb tek ise aa da tek olacağından, Tek + Tek = Çift sonucu elde edilir. Her iki senaryoda da sonuç daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki c3+cc^3 + c ifadesini çarpanlarına ayırarak incele.
c3+c=c(c2+1)c^3 + c = c(c^2 + 1). Eğer cc tek ise c2+1c^2+1 çift olur; eğer cc çift ise sonuç zaten çifttir. Yani bu ifade daima çifttir.
Eşitliğin bir tarafının paritesini (tek/çift durumunu) kesinleştirmek çözümün anahtarıdır.
2
Sol tarafı düzenle ve çift sayıya eşitle.
4a2+b(a+1)4a^2 + b(a + 1) ifadesi çifttir. 4a24a^2 ifadesi, aa ne olursa olsun (4 çarpanından dolayı) daima çifttir.
Toplamın sonucunu etkileyen terimleri ayrıştırmak.
3
Kalan terim olan b(a+1)b(a + 1) ifadesini analiz et.
Çift + b(a+1)b(a+1) = Çift olmalı. Bu durumda b(a+1)b(a + 1) ifadesi kesinlikle çift olmalıdır.
Çift sayı ile ancak çift sayının toplamı çift eder.
4
Olası durumları (senaryoları) belirle.
Durum 1: bb çifttir (aa her şey olabilir). Durum 2: bb tektir, bu durumda (a+1)(a+1) çift olmalı, yani aa tek olmalıdır.
Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.
5
Seçenekleri bu iki duruma göre test et.
ba+bb^a + b seçeneği: Durum 1'de (bb çift) C¸ifta+C¸ift=C¸ift\text{Çift}^a + \text{Çift} = \text{Çift}. Durum 2'de (bb tek, aa tek) TekTek+Tek=Tek+Tek=C¸ift\text{Tek}^{\text{Tek}} + \text{Tek} = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}. Her iki durumda da sonuç çifttir.
Daima doğru olanı bulmak için tüm geçerli senaryoları sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda dört işlem kuralları ve x(x+1)x(x+1) biçimindeki ifadelerin paritesi.

İpuçları

1
Önce eşitliğin sağ tarafındaki c3+cc^3 + c ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyiniz.
2
Sol taraftaki 4a24a^2 ifadesinin her zaman çift olduğunu fark edip, geriye kalan b(a+1)b(a+1) ifadesinin paritesi üzerine yoğunlaşınız.
3
b(a+1)b(a+1) çarpımı çift ise, iki olasılık vardır: Ya bb çifttir ya da bb tek ise aa tektir. Seçenekleri bu iki duruma göre test ediniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Koşulu sağlayan küçük değerler vererek elemeyi deneyebilirsiniz. Örnek: c=1c=1 için sağ taraf 2 olur. 4a2+b(a+1)=24a^2+b(a+1)=2 için uygun a,ba,b değerleri bulup seçenekleri eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 65Soru →

Sıfırdan farklı AA, BB ve CC rakamları kullanılarak oluşturulan üç basamaklı ABCABC, BCABCA ve CABCAB doğal sayıları için;

A<B<CA < B < C
ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665

koşulları sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Koşulları sağlayan 8 farklı ABC sayısı vardır.
Verilen toplama işlemi çözümlendiğinde 111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 elde edilir, buradan A+B+C=15A+B+C=15 bulunur. A<B<CA<B<C koşulunu sağlayan rakam üçlüleri sistemli olarak sayıldığında; A=1 için 2, A=2 için 3, A=3 için 2 ve A=4 için 1 durum olmak üzere toplamda 8 farklı değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları çözümleyerek toplama işlemini basitleştir.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)(100A + 10B + C) + (100B + 10C + A) + (100C + 10A + B) = 111(A + B + C)
Basamak analizi problemlerinde sayıları çözümleyerek A,B,CA, B, C rakamları arasında doğrusal bir ilişki kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi verilen toplama eşitle ve A+B+CA+B+C değerini bul.
111(A+B+C)=1665⇒A+B+C=15111(A + B + C) = 1665 \Rightarrow A + B + C = 15
Denklemi çözerek rakamların toplam kısıtını belirlemek çözüm kümesini daraltır.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve A+B+C=15A+B+C=15 eşitliğini sağlayan (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini sistemli bir şekilde listele.
Olası durumlar belirlenir.
Rakamlar kümesinde (11 ile 99 arası) deneme yoluyla uygun üçlüler bulunur.
4
Her bir AA değeri için olası BB ve CC değerlerini kontrol et.
Durumlar:
- A=1A=1 için B+C=14⇒(5,9),(6,8)B+C=14 \Rightarrow (5,9), (6,8) (2 adet)
- A=2A=2 için B+C=13⇒(4,9),(5,8),(6,7)B+C=13 \Rightarrow (4,9), (5,8), (6,7) (3 adet)
- A=3A=3 için B+C=12⇒(4,8),(5,7)B+C=12 \Rightarrow (4,8), (5,7) (2 adet)
- A=4A=4 için B+C=11⇒(5,6)B+C=11 \Rightarrow (5,6) (1 adet)
- A=5A=5 için B+C=10⇒B+C=10 \Rightarrow Uygun B,CB,C yok (B>5B>5 olmalı, en az 6+7=13 > 10)
AA değerini sabitleyip BB ve CC için olası toplamları incelemek hata yapmayı önler.
5
Bulunan tüm durum sayılarını topla.
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı sayı vardır.
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları ve Çözümleme

İpuçları

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyin (örneğin ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C). Tüm terimleri topladığınızda A,BA, B ve CC parantezinde ortak bir çarpan bulacaksınız.
2
Çözümleme sonucunda 111(A+B+C)=1665111(A + B + C) = 1665 denklemini elde etmelisiniz. Buradan A+B+CA+B+C toplamını bulun.
3
A+B+C=15A + B + C = 15 ve A<B<CA < B < C koşullarını sağlayan sayıları bulmak için AA değerini 1'den başlatarak deneyin. A=5A=5 olduğunda BB ve CC için uygun değer kalmadığını göreceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Rakamları toplamı sabit olan üç basamaklı sayıların kaç tanesinin rakamlarının artan sırada olduğunu soran benzer bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek ilerlemek yerine, CC için üst sınırdan başlayarak geriye doğru saymak da mümkündür ancak AA en küçük olduğu için AA'dan başlamak işlem yükünü azaltır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 66Soru →
x,yx, y ve zz birer asal sayı olmak üzere,
x⋅(y−z)=19x \cdot (y - z) = 19
eşitliği verilmektedir.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür (x=19,y=3,z=2x=19, y=3, z=2).
Verilen eşitlikte sonuç 19 (asal sayı) olduğundan, çarpanlar 19 ve 1 olmalıdır. xx asal sayı olduğu için 1 olamaz, dolayısıyla x=19x=19 ve y−z=1y-z=1 olur. Farkı 1 olan asal sayılar sadece 3 ve 2'dir. Toplam: 19+3+2=2419+3+2=24.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği ve asal sayı tanımını analiz et.
1919 bir asal sayıdır. Çarpanları sadece 11 ve 1919 olabilir. Dolayısıyla x⋅(y−z)=19x \cdot (y - z) = 19 eşitliğinde çarpanlardan biri 1919, diğeri 11 olmalıdır.
Asal sayıların sadece iki pozitif böleni vardır: 1 ve kendisi.
2
xx ve (y−z)(y-z) değerlerini belirle.
xx bir asal sayı olduğu için 11 olamaz. Bu durumda zorunlu olarak x=19x = 19 ve parantez içi (y−z)=1(y - z) = 1 olmalıdır.
x=1x=1 olsaydı asal sayı olmazdı.
3
yy ve zz asal sayılarını bul.
Aralarındaki fark 11 olan iki asal sayı sadece 33 ve 22'dir. Bu nedenle y=3y = 3 ve z=2z = 2 olur.
2 dışında tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift olacağından, farkın 1 olması için sayılardan biri çift asal sayı olan 2, diğeri de 3 olmak zorundadır.
4
İstenen toplamı hesapla.
x+y+z=19+3+2=24x + y + z = 19 + 3 + 2 = 24.
Bulunan değerlerin toplamı isstenmektedir.

Anahtar Kavram

Asal Sayıların Çarpanları ve Ardışık Asal Sayılar
Soru 67Soru →
a,ba, b ve cc asal sayılar olmak üzere,
a⋅(b−c)=21 a \cdot (b - c) = 21
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Verilen eşitlikte 21'in asal çarpanları düşünülmelidir. aa bir asal sayı olduğu için a=3a=3 veya a=7a=7 olabilir. a=3a=3 durumunda b−c=7b-c=7 olur ki bu durumda c=2c=2 için b=9b=9 çıkar (9 asal değildir). a=7a=7 durumunda ise b−c=3b-c=3 olur. İki asal sayının farkı tek ise biri mutlaka 2'dir. c=2c=2 alındığında b=5b=5 bulunur ve 5 asaldır. Böylece sayılar 7, 5 ve 2 olarak bulunur, toplamları 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği analiz et
21 sayısı iki tam sayının çarpımıdır: 1×211 \times 21 veya 3×73 \times 7. a bir asal sayı olduğu için 3 veya 7 olmalıdır.
Asal çarpanların belirlenmesi
2
a = 3 durumunu dene
3⋅(b−c)=21  ⟹  b−c=73 \cdot (b - c) = 21 \implies b - c = 7. Farkları tek sayı (7) olan iki asaldan biri mutlaka 2 olmalıdır (çift asal). c=2c=2 dersek b−2=7  ⟹  b=9b-2=7 \implies b=9. Ancak 9 asal değildir.
Varsayımın doğrulanması
3
a = 7 durumunu dene
7⋅(b−c)=21  ⟹  b−c=37 \cdot (b - c) = 21 \implies b - c = 3. Farkları tek sayı (3) olan iki asaldan biri 2 olmalıdır. c=2c=2 dersek b−2=3  ⟹  b=5b-2=3 \implies b=5. 5 bir asal sayıdır. Bu durum tüm şartları sağlar.
Varsayımın doğrulanması
4
Toplamı hesapla
a=7,b=5,c=2a=7, b=5, c=2 ise a+b+c=7+5+2=14a + b + c = 7 + 5 + 2 = 14.
Sonuca ulaşma

Anahtar Kavram

Asal sayılar ve Tek/Çift Sayı Özellikleri

İpuçları

1
21 sayısının çarpanlarını düşünün (1,3,7,211, 3, 7, 21). aa sayısı bunlardan hangisi olabilir?
2
bb ve cc asal sayı olduğuna göre, farkları (b−cb-c) tek sayı çıkıyorsa, bu sayılardan biri mutlaka 2 olmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 68Soru →

a+ba+b ve a−ba-b aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

a+ba−b=5133\frac{a+b}{a-b} = \frac{51}{33}

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Değişkenlerin çarpımı olan 42 değeri doğru cevaptır.
Verilen oran 51/3351/33, pay ve payda 3 ile sadeleştirildiğinde 17/1117/11 olur. a+ba+b ve a−ba-b aralarında asal olduğu için a+b=17a+b=17 ve a−b=11a-b=11 eşitlikleri yazılır. Bu sistem çözüldüğünde a=14a=14 ve b=3b=3 bulunur. Bu iki değerin çarpımı 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesri en sade haline getirme
51/33=17/1151/33 = 17/11
Aralarında asal iki sayının oranı, bu sayıların en sade haliyle eşleşmelidir.
2
Pay ve paydayı değişkenlerle eşitleme
a+b=17a+b = 17 ve a−b=11a-b = 11
17 ve 11 aralarında asal olduğu için a+ba+b ve a−ba-b ifadelerine doğrudan eşitlenebilirler.
3
Denklem sistemini çözme
2a=28⇒a=142a = 28 \Rightarrow a = 14 ve b=3b = 3
İki denklem taraf tarafa toplandığında bb değerleri birbirini yok eder ve aa bulunur; ardından herhangi bir denklemde yerine yazılarak bb elde edilir.
4
İstenen çarpımı hesaplama
14×3=4214 \times 3 = 42
Soruda a⋅ba \cdot b ifadesinin değeri sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

İki sayı aralarında asal ise, bu sayıların birbirine oranı her zaman en sade biçimdedir.

İpuçları

1
Oranlanan sayıların aralarında asal olması, kesrin en sade biçimde olması gerektiği anlamına gelir.
2
51 ve 33 sayılarını ortak bir bölenle (örneğin 3) sadeleştirmeyi deneyin.
3
Sadeleşmiş hali 17/1117/11 olan kesirde, a+b=17a+b=17 ve a−b=11a-b=11 denklemlerini taraf tarafa toplayarak aa ve bb değerlerine ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x+yx+y ve 2x−y2x-y ifadelerinin aralarında asal olduğu durumları inceleyen soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 69Soru →
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=3a2+12a \cdot b + a \cdot c = 3a^2 + 12
eşitliği ve a<b<ca < b < c eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

a, b ve c asal sayılarının toplamı 14'tür
Verilen eşitlik düzenlendiğinde b+c=3a+12/ab+c = 3a + 12/a elde edilir. aa asal sayı olduğundan 12'yi tam bölmeli, yani 2 veya 3 olmalıdır. a=2a=2 için b+c=12b+c=12 bulunur ve (5,7)(5,7) çifti a<b<ca<b<c şartını sağlar. Toplamları 14 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alıp sadeleştir
a(b+c)=3a2+12a(b + c) = 3a^2 + 12. Her iki tarafı aa'ya bölerek: b+c=3a+12ab + c = 3a + \frac{12}{a} elde edilir.
Bilinmeyenleri analiz edebilmek için b+cb+c toplamını aa cinsinden ifade etmek gerekir.
2
aa sayısının alabileceği değerleri belirle
b+cb + c bir tam sayı olduğundan, 12a\frac{12}{a} ifadesi tam sayı olmalıdır. aa bir asal sayı olduğu için 12'yi bölen asallar: a=2a = 2 veya a=3a = 3 olabilir.
Asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralı gereği.
3
a=2a = 2 durumu için çözüm ara
b+c=3(2)+122=6+6=12b + c = 3(2) + \frac{12}{2} = 6 + 6 = 12. Toplamı 12 olan farklı asal sayı çifti: (5,7)(5, 7).
a<b<ca < b < c şartını kontrol etmek için: 2<5<72 < 5 < 7 sağlanır. Bu geçerli bir çözümdür.
4
a=3a = 3 durumu için çözüm ara (doğrulama)
b+c=3(3)+123=9+4=13b + c = 3(3) + \frac{12}{3} = 9 + 4 = 13. Toplamı 13 olan asallar: (2,11)(2, 11). Ancak a<ba < b şartı (3<23 < 2) sağlanmaz.
Eşitsizlik kısıtlaması bu durumu eler.
5
Bulunan geçerli değerleri topla
a=2,b=5,c=7a = 2, b = 5, c = 7 olduğundan, toplam 2+5+7=142 + 5 + 7 = 14.
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlar ve tam sayı bölünebilme özellikleri ile eşitsizlik kısıtlamalarının birlikte analizi.

İpuçları

1
Denklemin sol tarafını aa parantezine alarak ifadeyi sadeleştirin.
2
b+cb + c toplamını aa cinsinden yazın ve 12a\frac{12}{a} ifadesinin tam sayı olması gerektiğini kullanın.
3
12 sayısını bölen asal sayıları (22 ve 33) deneyerek a<b<ca < b < c eşitsizliğini sağlayan durumu bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 70Soru →

xx, yy ve zz sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

x+y<0 x + y < 0
x⋅z>0 x \cdot z > 0
y−z>0 y - z > 0
∣x∣<∣y∣ |x| < |y|

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman pozitiftir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−yx - y

Cevap

x - y ifadesi her zaman pozitiftir.
Verilen eşitsizliklerden y'nin negatif olduğu, y'nin z'den büyük olduğu ve x'in de negatif olduğu anlaşılmaktadır. Sayılar arasındaki büyüklük ilişkisi z < y < x < 0 şeklindedir. x sayısı y'den daha büyük (sıfıra daha yakın) bir negatif sayı olduğu için, x - y çıkarma işlemi pozitif bir fark yaratır.

Adım Adım Çözüm

1
y'nin işaretini belirleme
y<0y < 0
∣x∣<∣y∣|x| < |y| ve x+y<0x + y < 0 ise, mutlak değerce büyük olan yy sayısının işareti toplamın sonucunu belirler. Dolayısıyla yy negatiftir.
2
z'nin işaretini ve y ile ilişkisini bulma
z<y<0z < y < 0
y−z>0⇒y>zy - z > 0 \Rightarrow y > z olur. yy negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan zz de kesinlikle negatiftir.
3
x'in işaretini belirleme
x<0x < 0
x⋅z>0x \cdot z > 0 olduğu verilmiştir. zz negatif olduğuna göre çarpımın pozitif olması için xx de negatif olmalıdır.
4
Sayıları sıralama ve mutlak değer ilişkisini kontrol etme
z<y<x<0z < y < x < 0
y>zy > z ve ∣x∣<∣y∣|x| < |y| (negatif sayılarda mutlak değerce küçük olan daha büyüktür) bilgilerinden hareketle tüm sayılar negatiftir ve sıralama z<y<x<0z < y < x < 0 şeklindedir.
5
Seçenekleri değerlendirme
x−y>0x - y > 0
x>yx > y olduğu için büyük sayıdan küçük sayı çıkarıldığında sonuç pozitif olur.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarda toplama, çıkarma ve mutlak değer yorumu

İpuçları

1
Önce mutlak değer ve toplam bilgisini kullanarak y'nin işaretini bulun.
2
Tüm sayıların negatif olduğunu keşfettikten sonra z < y < x < 0 sıralamasını oluşturun.
3
Şıkları kontrol ederken x = -1, y = -3, z = -5 gibi basit değerler vererek sonuçları test edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda çift kuvvet içeren ifadelerin (örneğin x^2) her zaman pozitif olduğunu varsayarak diğer değişkenlerin işaretlerini daha hızlı analiz edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde yerleşim yaparak düşünmek: y sayısı z'nin sağında, x sayısı ise y'nin sağındadır. Tüm bu sayılar 0'ın solundadır. x, y'nin sağında olduğu için x - y mesafesi pozitif bir değerdir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 71Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a^3 ve a^4 rasyonel sayı ise a rasyonel sayıdır

Cevap

a küp ve a üzeri 4 rasyonel sayı ise a rasyonel sayıdır ifadesi daima doğrudur.
Üslü ifadelerin özelliklerine göre, a4a^4 ve a3a^3 biliniyorsa aa sayısı bu iki ifadenin bölümü olarak ifade edilebilir (a=a4/a3a = a^4 / a^3). Rasyonel sayıların birbirine bölümü (bölen sıfır değilse) daima rasyoneldir. a=0a=0 durumunda da sonuç rasyonel olduğu için bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Seçenekleri analiz etmek için 'Aksi Örnek Verme' yöntemini kullan.
Yanlış olduğunu düşündüğün seçenekleri çürüten en az bir sayı çifti bul.
Matematikte 'daima doğrudur' sorularında tek bir aksi örnek, ifadenin yanlış olduğunu kanıtlar.
2
İrrasyonel sayıların toplamını ve çarpımını incele.
a=2a = \sqrt{2} ve b=−2b = -\sqrt{2} seçilirse toplamları 00 (Rasyonel) olur. a=3a = \sqrt{3} ve b=3b = \sqrt{3} seçilirse çarpımları 33 (Rasyonel) olur. Bu durum ilgili seçenekleri eler.
İrrasyonel sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemine göre kapalı değildir.
3
Rasyonel ve irrasyonel çarpımını ve '0' durumunu incele.
a=0a = 0 (Rasyonel) ve b=5b = \sqrt{5} (İrrasyonel) olsun. a⋅b=0a \cdot b = 0 olur. 00 rasyoneldir.
0 yutan elemandır ve rasyoneldir; bu yüzden çarpım her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir.
4
Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtla.
a3∈Qa^3 \in \mathbb{Q} ve a4∈Qa^4 \in \mathbb{Q} olsun. Eğer a=0a=0 ise 0∈Q0 \in \mathbb{Q}. Eğer a≠0a \neq 0 ise, a=a4a3a = \frac{a^4}{a^3} işlemi iki rasyonel sayının bölümüdür ve sonuç rasyoneldir.
Sıfırdan farklı iki rasyonel sayının bölümü daima rasyoneldir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümelerinde Kapalılık Özellikleri ve Rasyonel Sayı İşlemleri

İpuçları

1
Her seçeneğin yanlış olduğunu kanıtlamak için istisnai sayıları (0, kök2, -kök2 gibi) deneyin.
2
Rasyonel sayı ile İrrasyonel sayının çarpımında 'yutan eleman' (0) durumunu unutmayın.
3
a^4 sayısını a^3 sayısına bölerseniz elde edeceğiniz a sayısının türü, böldüğünüz sayıların türüne (rasyonel) bağlıdır.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel sayıların çarpma ve toplama işlemlerine göre kapalılık özelliklerini inceleyen sorular çözünüz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 72Soru →
−(−12)+(−4)⋅(+2)-(-12) + (-4) \cdot (+2)

Yukarıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İşlemin sonucu 4'tür.
Verilen işlemde öncelikle −(−12)-(-12) ifadesi +12+12 olarak dışarı çıkar. Ardından işlem önceliğine dikkat edilerek (−4)⋅(+2)(-4) \cdot (+2) çarpımı yapılır ve −8-8 sonucu bulunur. Son aşamada 1212 ile −8-8 toplandığında sonuç 44 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez önündeki eksi işaretini dağıtın.
−(−12)=+12-(-12) = +12
Bir parantezin önündeki eksi (-) işareti, içerideki sayının işaretini tersine çevirir. İki negatif işaretin yan yana gelmesi sonucu pozitif yapar.
2
Çarpma işlemini gerçekleştirin.
(−4)⋅(+2)=−8(-4) \cdot (+2) = -8
Matematikte işlem önceliği gereği çarpma işlemi toplama işleminden önce yapılır. Zıt işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.
3
Elde edilen sonuçları toplayın.
12+(−8)=412 + (-8) = 4
Büyük olan sayının işaretini alarak çıkarma işlemi yapılır (12−8=412 - 8 = 4).

Anahtar Kavram

Tam sayılarda dört işlem yaparken işlem önceliği ve işaret çarpım kuralları (eksi ile eksinin çarpımı artı, artı ile eksinin çarpımı eksi) hayati önem taşır.

İpuçları

1
İşlemde hem toplama/çıkarma hem de çarpma var. Hangisini önce yapman gerektiğini hatırla.
2
Zıt işaretli iki sayıyı çarptığında sonucun işareti ne olur? Peki ya iki negatif işaret yan yana gelirse?
3
İşlemi iki parçaya ayır: İlk parça −(−12)-(-12), ikinci parça (−4)⋅(+2)(-4) \cdot (+2). Bu iki parçanın sonuçlarını bulup birleştir.

Daha Fazla Pratik

İşaret kurallarını iyice pekiştirmek için benzer şekilde içinde parantez ve çarpma olan 3-4 farklı işlem daha çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşlemi bir borç-alacak hesabı gibi düşünebilirsiniz: −(−12)-(-12) size 12 TL para gelmesi demektir. (−4)⋅2(-4) \cdot 2 ise her biri 4 TL olan 2 adet borç demektir. 12 TL paranız varken 8 TL borç öderseniz elinizde 4 TL kalır.
Tahmini Süre:45s
Soru 73Soru →

xx ve yy sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, x+yx+y toplamının ve x⋅yx \cdot y çarpımının rasyonel sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+y2x^2 + y^2 toplamı rasyonel sayıdır

Cevap

x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin rasyonel olduğu kesinlikle doğrudur.
Verilen ifadede x2+y2x^2 + y^2 terimi, bilinen x+yx+y ve x⋅yx \cdot y değerleri cinsinden (x+y)2−2xy(x+y)^2 - 2xy olarak yazılabilir. Rasyonel sayıların karesi, çarpımı ve farkı yine rasyonel sayı olduğundan (kapalılık özelliği), bu işlemin sonucu kesinlikle rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen bilgileri matematiksel kümelerle ifade et.
x+y∈Qx+y \in \mathbb{Q} ve x⋅y∈Qx \cdot y \in \mathbb{Q} (Burada Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesidir).
Verilen önermeleri sembolik mantığa dökerek çözüm için zemin hazırlamak gerekir.
2
Seçenekleri analiz etmek için tam kare özdeşliğini kullan.
(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy özdeşliğinden x2+y2x^2 + y^2 yalnız bırakılırsa: x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy.
İstenen x2+y2x^2+y^2 terimi ile verilen x+yx+y ve xyxy terimleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
3
Rasyonel sayıların kapalılık özelliğini uygula.
x+yx+y rasyonel ise karesi (x+y)2(x+y)^2 rasyoneldir. xyxy rasyonel ise 2 katı 2xy2xy de rasyoneldir. İki rasyonel sayının farkı yine rasyonel olacağından sonuç rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altında kapalıdır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

İpuçları

1
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu test etmek için x+yx+y ve x⋅yx \cdot y terimlerini içeren cebirsel özdeşlikleri düşünün.
2
(x+y)2(x+y)^2 açılımını yazarak elinizdeki verilerle (x+yx+y ve xyxy) hangi terimi elde edebileceğinizi kontrol edin.
3
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy eşitliğini kullanın. Rasyonel sayıların karesi ve farkı yine rasyoneldir.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılar kümesinin hangi işlemler altında kapalı olmadığını inceleyen sorular çözünüz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (Counter-example): x=3x=\sqrt{3} ve y=−3y=-\sqrt{3} vererek A, B, D ve E seçeneklerinin her zaman sağlanmadığını görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 74Soru →

A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere;

ABC=25⋅(A+B+C)ABC = 25 \cdot (A + B + C)

eşitliğini sağlayan ABCABC üç basamaklı doğal sayısı için A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

Rakamları çarpımı 105 olan 375 sayısıdır.
Verilen ABC=25(A+B+C)ABC = 25(A+B+C) eşitliği çözümlendiğinde 25A=5B+8C25A = 5B + 8C elde edilir. 5 ile bölünebilme kuralından C=5C=5 olmak zorundadır (sıfırdan farklı dediği için). Yerine yazıldığında 5A=B+85A = B+8 bulunur. Rakamların birbirinden farklı olması koşulu sadece A=3,B=7A=3, B=7 durumunda sağlanır. Böylece sayı 375 ve rakamları çarpımı 105 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği basamak değerlerine göre çözümle:
100A+10B+C=25(A+B+C)100A + 10B + C = 25(A + B + C)
Üç basamaklı sayının çözümlenmiş hali yazılır.
2
Parantezi açıp benzer terimleri bir araya getir:
100A+10B+C=25A+25B+25C100A + 10B + C = 25A + 25B + 25C ⇒75A=15B+24C\Rightarrow 75A = 15B + 24C
Denklemi sadeleştirmek için A, B ve C terimleri gruplandırılır.
3
Denklemin her iki tarafını 3 ile sadeleştir:
25A=5B+8C25A = 5B + 8C
Katsayıları küçülterek analizi kolaylaştırmak için.
4
Modüler aritmetik veya bölünebilme kurallarını kullanarak C değerini bul:
25A25A ve 5B5B 5'in katıdır, bu yüzden 8C8C de 5'in katı olmalıdır. C bir rakam ve C≠0C \neq 0 (sıfırdan farklı) olduğu için C=5C = 5 olmalıdır.
Bir toplamda terimlerin çoğu 5'e bölünüyorsa, kalan terim de 5'e bölünmelidir.
5
C = 5 değerini yerine yazıp A ve B'yi bul:
25A=5B+8(5)⇒25A=5B+40⇒5A=B+825A = 5B + 8(5) \Rightarrow 25A = 5B + 40 \Rightarrow 5A = B + 8. B bir rakam olduğundan (B≤9B \le 9), 5A≤175A \le 17 olur. A=1, 2 veya 3 olabilir. A=1⇒B=−3A=1 \Rightarrow B=-3 (olmaz). A=2⇒B=2A=2 \Rightarrow B=2 (olmaz, A ve B farklı olmalı). A=3⇒B=7A=3 \Rightarrow B=7 (olur).
Elde edilen basit eşitlikte rakam olma ve birbirinden farklı olma koşulları denenir.
6
Sonuçları çarp:
A=3,B=7,C=5A=3, B=7, C=5 olduğundan 3⋅7⋅5=1053 \cdot 7 \cdot 5 = 105.
İstenen değer rakamların çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

İpuçları

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde açarak eşitliği düzenleyin.
2
Elde ettiğiniz 75A=15B+24C75A = 15B + 24C denklemini sadeleştirin ve 5 ile bölünebilme kuralını düşünün.
3
25A=5B+8C25A = 5B + 8C eşitliğinde, 25A25A ve 5B5B 5'in katıdır. Eşitliğin sağlanması için 8C8C de 5'in katı olmalıdır. C rakam olduğu için C kaç olabilir?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla ABC=11(A+B+C)ABC = 11(A+B+C) şartını sağlayan sayıları inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

ABC sayısı 25'in katı olmalıdır. Sonu 25, 50, 75 ile biten (00 olamaz çünkü C sıfırdan farklı) üç basamaklı sayılar üzerinden deneme-yanılma yapılabilir. Örneğin 375 için: 3+7+5=15 ve 15x25=375 sağlar.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 75Soru →

Bir kurumun arşivinde bulunan dosyalar, xx pozitif tam sayısından başlanarak ardışık çift tam sayılar ile numaralandırılmıştır. Dosyaların üzerindeki numaraların toplamı, bu dosyalardan en küçük ve en büyük numaralı olanların toplamının 24 katıdır.

En büyük dosya numarası 110 olduğuna göre, en küçük dosya numarası (xx) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

En küçük dosya numarası 16'dır.
Ardışık sayı dizilerinde toplam, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir (veya terim sayısı çarpı uç değerlerin aritmetik ortalaması). Soruda toplamın, uç değerler toplamının 24 katı olduğu belirtilmiştir. Matematiksel olarak Toplam=n⋅ailk+ason2Toplam = n \cdot \frac{a_{ilk} + a_{son}}{2} ve verilen bilgi Toplam=24⋅(ailk+ason)Toplam = 24 \cdot (a_{ilk} + a_{son}) olduğundan, bu iki ifade eşitlendiğinde terim sayısı n=48n=48 olarak bulunur. Son terimi bilinen (110110) ve 48 terimden oluşan ardışık çift sayı dizisinin ilk terimi, ason=ailk+(n−1)ra_{son} = a_{ilk} + (n-1)r formülüyle 110=x+(47⋅2)110 = x + (47 \cdot 2) işleminden x=16x=16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ilişkisinden terim sayısını (n) bulma
n=48n = 48
Ardışık sayıların toplamı T=n⋅a1+an2T = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} formülü ile bulunur. Soruda T=24⋅(a1+an)T = 24 \cdot (a_1 + a_n) verildiği için, n⋅a1+an2=24⋅(a1+an)n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} = 24 \cdot (a_1 + a_n) eşitliğinden n/2=24n/2 = 24 ve buradan n=48n = 48 bulunur.
2
Sonlu dizi formülünü kullanarak ilk terimi (xx) hesaplama
110=x+(48−1)⋅2  ⟹  x=16110 = x + (48-1) \cdot 2 \implies x = 16
Son terim formülü an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r şeklindedir. Burada an=110a_n = 110, n=48n = 48 ve ardışık çift sayılar olduğu için artış miktarı r=2r = 2'dir. Değerler yerine konulduğunda 110=x+47⋅2110 = x + 47 \cdot 2 denklemi elde edilir.
3
Denklemi çözme
x=110−94=16x = 110 - 94 = 16
47⋅2=9447 \cdot 2 = 94 bulunur ve bu değer 110'dan çıkarılarak ilk terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayılar Toplam Formülü ve Terim Sayısı İlişkisi

İpuçları

1
Ardışık sayıların toplam formülünü hatırlayın: Terim Sayısı×I˙lk Terim+Son Terim2\text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2}.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 76Soru →
Gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan KK kümesi,
K={x∈R∣x2∈Q} K = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{Q} \}
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, KK kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: K kümesinden alınan her x ve y elemanı için, x · y çarpımı da K kümesindedir

Cevap

Seçilen iki sayının çarpımının karesi de rasyonel olacağından, çarpım işlemi bu kümede kapalılık özelliği gösterir.
K kümesinin tanımı gereği, bir sayının bu kümede olması için karesinin rasyonel olması şarttır. Eğer iki sayı (xx ve yy) bu kümedeyse, kareleri (x2x^2 ve y2y^2) rasyoneldir. Bu sayıların çarpımının (x⋅yx \cdot y) bu kümede olup olmadığını anlamak için karesine bakarız: (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2. İki rasyonel sayının çarpımı daima rasyonel olduğu için, sonuç rasyoneldir ve x⋅yx \cdot y elemanı K kümesindedir.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin tanımını analiz et.
Bir sayının K kümesinde olması için karesinin (x2x^2) rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) olması gerekir.
Soruda verilen tanım budur.
2
Doğru seçeneği (Çarpma özelliği) test et.
x∈Kx \in K ve y∈Ky \in K olsun. Bu durumda x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve y2∈Qy^2 \in \mathbb{Q} olur. Çarpımları (x⋅y)(x \cdot y)'nin K'de olması için (x⋅y)2(x \cdot y)^2'nin rasyonel olması gerekir. (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 olur. İki rasyonel sayının çarpımı rasyoneldir, dolayısıyla (xy)2∈Q(xy)^2 \in \mathbb{Q} olur.
Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
3
Yanlış seçenekleri ele (Toplam özelliği).
x=2x=\sqrt{2} ve y=3y=\sqrt{3} seçelim. İkisi de K kümesindedir çünkü kareleri 2 ve 3'tür (rasyonel). Toplamları: (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}). Karesi: 2+3+26=5+262 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}. 6\sqrt{6} irrasyonel olduğu için bu ifade rasyonel değildir. Yani toplam K kümesinde değildir.
Aksi ispat yöntemi (counter-example) ile yanlışlık gösterilir.
4
Diğer çeldiricileri kontrol et.
0 sayısı K kümesindedir (02=0∈Q0^2=0 \in \mathbb{Q}) ancak tersi tanımsızdır. Rasyonel sayılar (örn. 3) K kümesindedir (32=93^2=9), bu yüzden 'hepsi irrasyoneldir' ifadesi yanlıştır. 2\sqrt{2}'nin küpü 222\sqrt{2}'dir ve irrasyoneldir.
Her seçenek için bir aksi örnek bulunarak elenir.

Anahtar Kavram

Kapalılık Özelliği ve Rasyonel Sayı İşlemleri

İpuçları

1
K kümesinde olup olmadığını anlamak istediğiniz yeni sayının (toplamın veya çarpımın) karesini alıp, sonucun rasyonel olup olmadığını kontrol edin.
2
Çarpma şıkkı için: (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 özdeşliğini kullanın. Rasyonel sayıların çarpımı rasyonel midir?
3
Toplama şıkkı için aksi örnek düşünün: 2\sqrt{2} ve 3\sqrt{3} sayılarını deneyin. Bu sayıların kareleri rasyoneldir (K kümesindeler), peki (2+3)2(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 rasyonel midir?

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel iki sayının toplamının rasyonel olabileceği (eşlenik) durumlar üzerine bir soru çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Sayı kümeleri yerine değer vererek eleme yöntemi: A şıkkı için 2\sqrt{2} ve 3\sqrt{3}, B şıkkı için genel a,ba, b, E şıkkı için 0 veya 2\sqrt{2} değerlerini deneyerek seçenekleri test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 77Soru →

Gerçel sayılar kümesinin ( R \,\mathbb{R}\,, reel sayılar) bir alt kümesi olan KK kümesi aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

K={x∣x=a+b2 ve a,b∈Q} K = \{ x \mid x = a + b\sqrt{2} \text{ ve } a, b \in \mathbb{Q} \}

Bu tanıma göre, KK kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sayı doğrusu üzerindeki tüm irrasyonel sayılar KK kümesinde yer alır.

Cevap

Sayı doğrusu üzerindeki tüm irrasyonel sayıların KK kümesinde yer aldığı ifadesi yanlıştır.
Tanımlanan KK kümesi, sadece rasyonel sayılar ve 2\sqrt{2} ile türetilebilen sayıları içerir. Ancak irrasyonel sayılar kümesi çok daha geniştir (örneğin 3,5,π,e\sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi, e gibi). Bu sayılar a+b2a+b\sqrt{2} formunda yazılamadığı için kümenin içinde yer almazlar. Bu nedenle 'tüm irrasyonel sayılar KK kümesindedir' ifadesi yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
KK kümesinin tanımını analiz et.
KK kümesi, rasyonel sayılar (aa) ile 2\sqrt{2}'nin rasyonel katlarının (b2b\sqrt{2}) toplamından oluşan sayılardır.
Kümenin kapsamını belirlemek için elemanların genel formunu anlamak gerekir.
2
Doğru olduğu iddia edilen seçenekleri test et.
Rasyonel sayılar (b=0b=0 durumu), çarpımsal tersler (eşlenik) ve işlem kapalılığı özellikleri sağlanır.
Yanlış olan seçeneği bulmak için diğer seçeneklerin doğruluğu teyit edilmelidir.
3
Tüm irrasyonel sayıların kümeye dahil olup olmadığını kontrol et.
3\sqrt{3} sayısı irrasyoneldir ancak a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} olmak üzere a+b2=3a + b\sqrt{2} = \sqrt{3} eşitliğini sağlayan a,ba,b değerleri bulunamaz.
Kapsam iddiasını çürütmek için kümeye dahil olmayan bir karşıt örnek (counter-example) yeterlidir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler ve Kapalılık Özellikleri

İpuçları

1
Kümenin tanımındaki aa ve bb sayılarını değiştirerek hangi sayıları elde edebileceğinizi düşünün. Örneğin b=0b=0 olursa ne olur?
2
Şıklardaki iddiaları çürütmek için 'karşıt örnek' (counter-example) bulmaya çalışın. Özellikle 'tüm' ifadesi geçen şıkkı sorgulayın.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayılarla işlemlerin sonucunun (toplam, çarpım) rasyonel olup olamayacağına dair sorular çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklarda verilen önermeleri sayısal değerler vererek test edin. E şıkkı için 3\sqrt{3} sayısını a+b2a+b\sqrt{2} formunda yazıp yazamayacağınızı deneyin (a2=3−2b2...a^2 = 3 - 2b^2... gibi bir çelişkiye ulaşırsınız).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 78Soru →

Matematik dersinde tahtaya aşağıdaki tabloda bulunan beş sayı yazılmıştır. Öğrencilerden bu sayılardan tam sayı (Z\mathbb{Z}) olanları belirleyip toplamaları istenmiştir.

Sayı
I.−140-1^{40}
II.0,64\sqrt{0,64}
III.3ππ\frac{3\pi}{\pi}
IV.2,9‾2,\overline{9}
V.−16-\sqrt{16}

Buna göre, işlemi hatasız yapan bir öğrencinin bulduğu sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen ifadeler tek tek incelendiğinde; −140=−1-1^{40} = -1, 3ππ=3\frac{3\pi}{\pi} = 3, 2,9‾=32,\overline{9} = 3 ve −16=−4-\sqrt{16} = -4 olmak üzere dört ifade tam sayıdır. 0,64=0,8\sqrt{0,64}=0,8 rasyonel olup tam sayı değildir. Bu tam sayıların toplamı: (−1)+3+3+(−4)=1(-1) + 3 + 3 + (-4) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tablodaki her bir sayının değerini hesaplayarak tam sayı olup olmadığını belirle.
Analiz yapılıyor...
Her ifadenin en sade halini bulmak küme tespiti için gereklidir.
2
I. sayıyı analiz et: −140-1^{40}
-1 (Tam Sayıdır)
Parantez olmadığı için üs sadece 1'e aittir, eksi işareti etkilenmez (−1⋅140=−1-1 \cdot 1^{40} = -1). Bu bir tam sayıdır.
3
II. sayıyı analiz et: 0,64\sqrt{0,64}
0,8 (Tam Sayı Değildir)
64100=810=0,8\sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{8}{10} = 0,8. Bu bir rasyonel sayıdır ancak tam sayı değildir.
4
III. sayıyı analiz et: 3ππ\frac{3\pi}{\pi}
3 (Tam Sayıdır)
π\pi sayıları sadeleşir, geriye 3 kalır. Bu bir tam sayıdır.
5
IV. sayıyı analiz et: 2,9‾2,\overline{9}
3 (Tam Sayıdır)
Devreden rakam 9 olduğunda bir önceki basamak 1 artırılır. 2,9‾=32,\overline{9} = 3. Bu bir tam sayıdır.
6
V. sayıyı analiz et: −16-\sqrt{16}
-4 (Tam Sayıdır)
16=4\sqrt{16}=4, önündeki eksi ile −4-4 olur. Bu bir tam sayıdır.
7
Belirlenen tam sayıları topla.
(−1)+3+3+(−4)=1(-1) + 3 + 3 + (-4) = 1
Tam sayı olan değerler: -1, 3, 3 ve -4.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki ilişkiler ve sayıların (üslü, köklü, devirli) standart değerlerinin hesaplanması.

İpuçları

1
Önce tablodaki her ifadenin sayısal değerini hesaplayınız. Örneğin 0,64\sqrt{0,64} kökten nasıl çıkar?
2
−140-1^{40} işleminde parantez olmadığına dikkat ediniz; işaret kuvvete dahil değildir. Ayrıca 2,9‾2,\overline{9} devirli sayısı bir tam sayıya yuvarlanır mı?
3
−140=−1-1^{40}=-1 ve 2,9‾=32,\overline{9}=3 değerlerini kullanın. 0,64=0,8\sqrt{0,64}=0,8 tam sayı değildir. Sadece tam sayı olanları toplayın.

Daha Fazla Pratik

İçinde π\pi, ee gibi irrasyonel sayıların bulunduğu ancak işlemin sonucunun rasyonel çıktığı sorulara göz atın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 79Soru →
ABCABC üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
ABC−(A+B+C)=KL4 ABC - (A + B + C) = KL4
eşitliği veriliyor. KL4KL4 üç basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

En büyük ABC sayısının rakamları toplamı 25'tir.
Verilen ABC−(A+B+C)=KL4ABC - (A+B+C) = KL4 eşitliği çözümlendiğinde 99A+9B=KL499A + 9B = KL4 elde edilir. Bu eşitlik C'den bağımsızdır. Eşitliğin sol tarafı 9 parantezine alındığında 9(11A+B)9(11A+B) olur, yani sonuç 9'un katıdır. Sonu 4 ile biten ve 9'un katı olan bir sayı elde etmek için (11A+B)(11A+B) ifadesinin birler basamağı 6 olmalıdır. ABC'nin en büyük olması için A=9 seçilirse, 11(9)+B11(9)+B ifadesinin sonunun 6 olması için B=7 olmalıdır. C değeri denklemi etkilemediğinden, sayıyı maksimize etmek için C=9 seçilir. Böylece ABC=979ABC=979 olur ve rakamları toplamı 9+7+9=259+7+9=25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikteki ABC sayısını basamak değerlerine göre çözümle.
(100A+10B+C)−(A+B+C)=KL4(100A + 10B + C) - (A + B + C) = KL4
Sayı çözümleme (basamak analizi) yöntemi ile harfli ifadeleri katsayılarına ayırmak gerekir.
2
İfadeyi sadeleştir ve ortak çarpan parantezine al.
99A+9B=KL4  ⟹  9(11A+B)=KL499A + 9B = KL4 \implies 9(11A + B) = KL4
C terimleri birbirini götürür (C - C = 0). Sonuç 9'un katı olmalıdır.
3
Birler basamağı analizi yaparak A ve B arasındaki ilişkiyi bul.
9×(11A+B)9 \times (11A + B) işleminin sonucu 4 ile bitmelidir. 9 ile çarpıldığında sonu 4 olan sayı 6'dır (9x6=54). Yani (11A+B)(11A + B) sayısının birler basamağı 6 olmalıdır.
Birler basamağı analizi, olası A ve B değerlerini kısıtlamak için kullanılır.
4
ABC sayısını en büyük yapacak A, B ve C değerlerini belirle.
En büyük sayı için A=9 seçilir. 11(9)+B=99+B11(9) + B = 99 + B ifadesinin sonunun 6 olması için 9+B9+B sonu 6 olmalı, buradan B=7B=7 bulunur. Denklem C'ye bağlı olmadığı için, sayıyı büyütmek adına C=9 seçilir. Sayı: 979.
Maksimum değer istendiği için en büyük basamaktan (yüzler) başlayarak değerler seçilir. C bağımsız değişken olduğu için en büyük rakam seçilebilir.
5
Bulunan rakamların toplamını hesapla.
A+B+C=9+7+9=25A+B+C = 9 + 7 + 9 = 25
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları

İpuçları

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen çıkarma işlemini yapın.
2
Çıkarma işleminden sonra C'lerin birbirini götürdüğünü göreceksiniz. Kalan ifade 99A+9B99A + 9B olacaktır. Bu ifadenin sonucunun sonu 4 olan bir sayı olması gerekir.
3
9(11A+B)9(11A + B) çarpımının son basamağının 4 olması için (11A+B)(11A + B)'nin son basamağı 6 olmalıdır. A'yı en büyük seçip (9), B'yi buna göre bulun. C denklemde olmadığı için en büyük rakamı verin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla ABC−(A+B+C)ABC - (A+B+C) farkının alabileceği en küçük değerin sorulduğu bir problem çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Modüler aritmetik kullanarak: 99A+9B≡−A−B≡4(mod10)99A + 9B \equiv -A - B \equiv 4 \pmod{10} veya doğrudan değer vererek deneme yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 80Soru →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.
a⋅b+2a=60a \cdot b + 2a = 60
olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 97

Cevap

Aralarında asallık şartını sağlayan farklı toplamlar 59, 17 ve 21 olduğundan bu değerlerin toplamı 97'dir.
Verilen denklemi a(b+2)=60a(b+2) = 60 şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, aa ve bb değerlerini sistematik olarak inceleyebiliriz. bb pozitif tam sayı olduğu için aa değeri 6060'ın 2020 veya daha küçük bir böleni olmalıdır. Bu şartları sağlayan ve aralarında asal olan (a,b)(a, b) ikilileri (1,58)(1, 58), (4,13)(4, 13), (15,2)(15, 2) ve (20,1)(20, 1) olarak bulunur. Bu ikililerden elde edilen farklı a+ba+b toplamları {59,17,21}\{59, 17, 21\} kümesidir. Bu değerlerin toplamı 59+17+21=9759+17+21 = 97 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
a(b+2)=60a(b + 2) = 60
Değişkenlerin alabileceği değerleri 60'ın bölenleri üzerinden daha kolay analiz etmek için.
2
bb pozitif tam sayı (b≥1b \geq 1) olduğu için b+2b+2 ifadesinin alabileceği değerleri belirleyin.
b≥1  ⟹  b+2≥3b \geq 1 \implies b+2 \geq 3 olmalıdır. Buna göre aa, 6060'ın 2020 ve daha küçük pozitif bölenleri olabilir.
bb'nin pozitif tam sayı olma sınırını belirlemek için.
3
aa değerlerine göre bb değerlerini hesaplayın ve aralarında asallık şartını kontrol edin.
- a=1  ⟹  b=58a=1 \implies b=58 (EBOB(1, 58)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=59\implies a+b=59
- a=2  ⟹  b=28a=2 \implies b=28 (EBOB(2, 28)=2, Uygun değil)
- a=3  ⟹  b=18a=3 \implies b=18 (EBOB(3, 18)=3, Uygun değil)
- a=4  ⟹  b=13a=4 \implies b=13 (EBOB(4, 13)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=17\implies a+b=17
- a=5  ⟹  b=10a=5 \implies b=10 (EBOB(5, 10)=5, Uygun değil)
- a=6  ⟹  b=8a=6 \implies b=8 (EBOB(6, 8)=2, Uygun değil)
- a=10  ⟹  b=4a=10 \implies b=4 (EBOB(10, 4)=2, Uygun değil)
- a=12  ⟹  b=3a=12 \implies b=3 (EBOB(12, 3)=3, Uygun değil)
- a=15  ⟹  b=2a=15 \implies b=2 (EBOB(15, 2)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=17\implies a+b=17
- a=20  ⟹  b=1a=20 \implies b=1 (EBOB(20, 1)=1, Uygundur)   ⟹  a+b=21\implies a+b=21
Hangi ikililerin 'aralarında asal' tanımına uyduğunu tespit etmek için.
4
Elde edilen farklı a+ba+b değerlerini toplayın.
59+17+21=9759 + 17 + 21 = 97
Soruda istenen 'farklı değerlerin toplamı' sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.

İpuçları

1
Denklemi a(b+2)=60a(b+2) = 60 şeklinde yazarak aa ve b+2b+2 sayılarını 6060'ın çarpanları üzerinden inceleyin.
2
bb sayısının pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın; yani b+2b+2 en az 33 olabilir.
3
Bulduğunuz her (a,b)(a, b) çifti için EBOB(a,b)=1EBOB(a, b) = 1 olup olmadığını mutlaka kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla x⋅y−3x=12x \cdot y - 3x = 12 denklemini aralarında asal xx ve yy pozitif tam sayıları için çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 4 / 16Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 4 | Examkin