Diskriminant (Ayırma) Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

İki gruplu bir diskriminant analizinde Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonunun (LDF) katsayılarının belirlenmesi ve elde edilen sonuçların yorumlanmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Doğrusal ayırma fonksiyonu katsayıları (

a

), grupların ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi (

S^{-1}

) ile grup ortalama vektörleri arasındaki farkın (

\bar{x}_1 - \bar{x}_2

) çarpımıyla elde edilir.

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiği 1'e yaklaştıkça, grupların ortalamaları arasındaki farkın anlamlılığı ve fonksiyonun ayırma gücü artar.

Diskriminant analizinin temel sayısal varsayımı gereği, bağımlı (grup) değişkenin mutlaka oran ölçeğinde ölçülen sürekli bir değişken olması gerekir.

Sınıflandırma başarısını gösteren beklenen hata oranı hesaplanırken, grupların ana kütledeki büyüklüklerini temsil eden önsel olasılıklar (prior probabilities) işleme dahil edilmez.

Grupların varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği (eşitliği) varsayımı ihlal edilse dahi Fisher'in doğrusal fonksiyonu her zaman en düşük hata oranını sağlayan optimal yöntemdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Doğrusal ayırma fonksiyonu katsayıları ( $a$ ), grupların ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi ( $S^{-1}$ ) ile grup ortalama vektörleri arasındaki farkın ( $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ ) çarpımıyla elde edilir.

Cevap

Doğrusal ayırma fonksiyonu katsayılarının, ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi ile grup ortalamaları farkının çarpımı (

a = S^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)

) yoluyla hesaplanması gerektiğini belirten ifade doğrudur.

Fisher'in iki gruplu diskriminant analizinde temel amaç, grupları birbirinden en iyi şekilde ayıran katsayıları belirlemektir. Bu katsayılar (

a

), grupların ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi ile grup ortalamaları vektörü farkının matris çarpımıyla (

a = S^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)

) hesaplanır. Bu yöntem, gruplar arası değişkenliğin grup içi değişkenliğe oranını maksimize eder.

Adım Adım Çözüm

1

Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu (LDF) tanımını hatırla.

Fisher'in amacı, gruplar arası varyansın grup içi varyansa oranını maksimize eden katsayıları bulmaktır.

LDF, çok boyutlu veriyi tek bir boyuta indirgeyerek gruplar arasındaki ayrımı en belirgin hale getirir.

2

Katsayılar vektörünün (

a

) matematiksel formülünü doğrula.

a = S^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)

formülü elde edilir.

Bu vektör, diskriminant skorunu hesaplamak için bağımsız değişkenlerin hangi ağırlıklarla toplanacağını belirler.

3

Analizdeki varsayımları ve performans ölçütlerini (Wilks' Lambda, hata oranı) değerlendir.

Wilks' Lambda'nın küçük olması (0'a yakın), homojenlik varsayımının sağlanması ve bağımlı değişkenin kategorik olması gerektiği sonucuna varılır.

Bu değerlendirme, yanlış olan diğer seçeneklerin elenmesini sağlar.

Anahtar Kavram

Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu (LDF) Katsayı Hesaplaması

Alternatif Yöntem

Diskriminant analizi ile Lojistik Regresyon arasındaki ilişkiyi düşünmek: Bağımlı değişken iki kategorili olduğunda, varsayımlar (normallik ve homojenlik) sağlandığında diskriminant analizi daha güçlüdür; ancak bu varsayımlar sağlanamadığında lojistik regresyon daha esnek bir alternatif sunar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 62Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan görevde yükselme sınavı sonrasında adayların "Yönetici Olmaya Uygun" ve "Yönetici Olmaya Uygun Değil" şeklinde iki gruba sınıflandırılması planlanmaktadır. Bu amaçla yürütülen diskriminant analizinde, adayların "Analitik Düşünme" ( $X_1$ ) ve "İletişim Becerileri" ( $X_2$ ) puanlarına ait kareler toplamı değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Değişken	Grup İçi Kareler Toplamı ( $SS_{W}$ )	Toplam Kareler Toplamı ( $SS_{T}$ )
$X_1$ : Analitik Düşünme	36	120
$X_2$ : İletişim Becerileri	60	150

Buna göre, bu iki değişkenin grupları ayırma güçleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

X_1

değişkeninin Wilks' Lambda değeri 0,30 olup, grupları ayırma gücü

X_2

değişkeninden daha yüksektir.

X_2

değişkeninin Wilks' Lambda değeri 0,40 olup, grupları ayırma gücü

X_1

değişkeninden daha yüksektir.

Wilks' Lambda değeri 1'e yaklaştıkça gruplar arasındaki farklılık arttığından,

X_2

değişkeni daha etkili bir ayırıcıdır.

X_1

ve

X_2

değişkenlerinin ayırma güçleri eşittir çünkü her iki değişken için de grup içi varyans toplam varyanstan küçüktür.

X_1

değişkeninin Wilks' Lambda değeri 0,70 olup, bu değer

X_2

değişkeninin değerinden büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_1$ değişkeninin Wilks' Lambda değeri 0,30 olup, grupları ayırma gücü $X_2$ değişkeninden daha yüksektir.

Cevap

Analitik Düşünme değişkeninin Wilks' Lambda değeri 0,30'dur ve bu değer İletişim Becerileri değişkeninin değerinden (0,40) daha küçük olduğu için ayırma gücü daha yüksektir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda Analitik Düşünme (

X_1

) değişkeni için Wilks' Lambda değeri 0,30, İletişim Becerileri (

X_2

) değişkeni için ise 0,40 olarak bulunmuştur. Diskriminant analizinde Wilks' Lambda değeri küçüldükçe (0'a yaklaştıkça), değişkenin grupları birbirinden ayırma kapasitesi artar. Bu durumda 0,30 değeri 0,40'tan daha küçük olduğu için ilk değişkenin ayırma gücü daha yüksektir.

Adım Adım Çözüm

1

Analitik Düşünme (

X_1

) değişkeni için Wilks' Lambda değerini hesapla.

\Lambda_1 = \frac{SS_{W1}}{SS_{T1}} = \frac{36}{120} = 0,30

Wilks' Lambda, grup içi kareler toplamının toplam kareler toplamına oranıdır.

2

İletişim Becerileri (

X_2

) değişkeni için Wilks' Lambda değerini hesapla.

\Lambda_2 = \frac{SS_{W2}}{SS_{T2}} = \frac{60}{150} = 0,40

Değişkenlerin ayırma güçlerini karşılaştırmak için her biri için ayrı ayrı Lambda hesaplanmalıdır.

3

Elde edilen Lambda değerlerini karşılaştır ve ayırma gücünü yorumla.

0,30 < 0,40

olduğundan

X_1

daha güçlü bir ayırıcıdır.

Wilks' Lambda değeri 0'a ne kadar yakınsa, gruplar arasındaki ayrım o kadar belirgin (güçlü) demektir.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda istatistiği (

\Lambda = |W|/|T|

), gruplar içi varyansın toplam varyansa oranını temsil eder ve düşük değerler yüksek ayırma gücüne işaret eder.

Daha Fazla Pratik

Mahalanobis uzaklığı ile Wilks' Lambda arasındaki ilişkiyi incelemek için grup ortalamaları arasındaki farkların bu değerleri nasıl etkilediğini analiz edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 63Soru →

Bir araştırmacı, iki farklı müşteri grubunu ayırmak amacıyla bir diskriminant (ayırma) analizi uygulamış ve aşağıdaki standardize edilmemiş (ham) diskriminant fonksiyonunu elde etmiştir:

D = -3,2 + 0,4X_1 - 0,1X_2

Burada $X_1$ ve $X_2$ analize dahil edilen bağımsız değişkenleri temsil etmektedir. Analiz sonucunda elde edilen Wilks' Lambda istatistiği ise $0,85$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu analiz ve sonuçları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

X_1 = 10

ve

X_2 = 5

değerlerine sahip bir gözlem birimi için hesaplanan diskriminant skoru

0,3

olur.

Wilks' Lambda değerinin

1

'e yakın olması, grupların birbirinden çok iyi ayrıldığını ve fonksiyonun açıklayıcılığının oldukça yüksek olduğunu gösterir.

Diskriminant analizi uygulanabilmesi için bağımlı (grup) değişkenin mutlaka oran veya aralık ölçeğinde (sürekli) ölçülmüş olması gerekir.

Ham katsayılar kullanılarak, mutlak değerce daha büyük olan

0,4

katsayısına sahip

X_1

değişkeninin grupları ayırmadaki en önemli değişken olduğu söylenebilir.

X_2

değişkeninin katsayısı negatif olduğu için bu değişkenin grupları ayırma gücü istatistiksel olarak her zaman anlamsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_1 = 10$ ve $X_2 = 5$ değerlerine sahip bir gözlem birimi için hesaplanan diskriminant skoru $0,3$ olur.

Cevap

Diskriminant fonksiyonunda gözlem değerleri yerine yazıldığında hesaplanan bireysel skor 0,3 olarak bulunur.

Verilen diskriminant fonksiyonunda

X_1 = 10

ve

X_2 = 5

değerleri yerine konulduğunda;

D = -3,2 + 0,4 \times 10 - 0,1 \times 5 = -3,2 + 4 - 0,5 = 0,3

sonucu elde edilmektedir. Bu değer, ilgili birimin diskriminant ekseni üzerindeki konumunu belirleyen skordur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ham diskriminant fonksiyonunu ve gözlem değerlerini belirleme

D = -3,2 + 0,4X_1 - 0,1X_2

;

X_1 = 10

,

X_2 = 5

Hesaplama için temel denklem ve girdi değerleri gereklidir.

2

Değerleri fonksiyonda yerine koyarak matematiksel işlemi gerçekleştirme

D = -3,2 + 0,4(10) - 0,1(5) = -3,2 + 4,0 - 0,5 = 0,3

Bireysel diskriminant skoru, katsayıların ilgili değişken değerleriyle çarpılıp sabit terimle (intercept) toplanmasıyla elde edilir.

3

İstatistiksel yorumları teorik bilgilerle karşılaştırma

Wilks' Lambda (

0,85

) yüksek bir değer olup düşük ayırma gücünü simgeler; ayrıca değişkenlerin önemi için standardize katsayılar gereklidir.

Seçeneklerdeki kavramsal ifadelerin doğruluğunu test etmek için istatistiklerin çalışma yönünü bilmek gerekir.

Anahtar Kavram

Diskriminant Skoru Hesaplama ve Katsayıların Yorumlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 64Soru →

Bir kamu kurumu, işe alım sürecinde adayları "başarılı" (Grup 1) ve "başarısız" (Grup 2) olarak iki sınıfa ayırmak amacıyla diskriminant analizi uygulamaktadır. Analizde kullanılan iki temel değişken ( $X_1$ : Teknik Bilgi, $X_2$ : Genel Yetenek) için grupların ortalama vektörleri ve ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi ( $S^{-1}$ ) aşağıda verilmiştir:

\bar{x}_1 = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}, \quad \bar{x}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad S^{-1} = \begin{bmatrix} 0,4 & -0,1 \\ -0,1 & 0,2 \end{bmatrix}

Buna göre, Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu için hesaplanan katsayılar vektörü ( $a$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

[0,4 \quad 0,6]^T

[-0,4 \quad -0,6]^T

[0,6 \quad 0,4]^T

[2,0 \quad 1,6]^T

[1,2 \quad 1,1]^T

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0,4 \quad 0,6]^T$

Cevap

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu katsayılar vektörü

[0,4 \quad 0,6]^T

olarak bulunur.

Fisher'in yöntemi uyarınca, katsayılar vektörü (

a

), ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi ile grup ortalamaları farkının matrisel çarpımıdır. Verilen değerler yerine konulduğunda

[0,4 \quad 0,6]^T

sonucu matematiksel olarak doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Grup ortalama vektörleri arasındaki farkı (

d

) hesaplayın.

d = \bar{x}_1 - \bar{x}_2 = \begin{bmatrix} 5-3 \\ 8-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu, grupların merkezleri arasındaki farkı en çoklaştıran katsayıları bulmayı amaçlar.

2

Ortak varyans-kovaryans matrisinin tersini (

S^{-1}

) fark vektörü (

d

) ile çarpın.

a = S^{-1}d = \begin{bmatrix} 0,4 & -0,1 \\ -0,1 & 0,2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}

Katsayılar vektörü, değişkenlerin varyans ve kovaryans yapılarını dikkate alarak fark vektörünün ağırlıklandırılmasıyla elde edilir.

3

Matris çarpımını sonuçlandırın.

a_1 = (0,4 \times 2) + (-0,1 \times 4) = 0,8 - 0,4 = 0,4

ve

a_2 = (-0,1 \times 2) + (0,2 \times 4) = -0,2 + 0,8 = 0,6

Çıkan

[0,4 \quad 0,6]^T

vektörü, Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu olan

Z = 0,4X_1 + 0,6X_2

denkleminin katsayılarını temsil eder.

Anahtar Kavram

Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu, gruplar arası kareler toplamının grup içi kareler toplamına oranını maksimize eden katsayılar vektörünü (

a = S^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)

) kullanır.

Soru 65Soru →

Diskriminant (ayırma) analizinde, bağımsız değişkenlerin grupları birbirinden ayırma gücünü değerlendirmek amacıyla kullanılan Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistiğinin yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Wilks' Lambda değerinin

0

'a yaklaşması, gruplar arasındaki ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Wilks' Lambda değerinin

1

'e yaklaşması, gruplar arasındaki farklılığın (ayırma gücünün) maksimum düzeyde olduğunu gösterir.

Wilks' Lambda istatistiği, her zaman

-1

ile

+1

arasında değerler alan bir korelasyon katsayısıdır.

Wilks' Lambda değeri arttıkça, grupların ortalama vektörleri arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olma olasılığı artar.

Wilks' Lambda değeri, sadece gruplar arası varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) hesaplanarak elde edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Wilks' Lambda değerinin $0$ 'a yaklaşması, gruplar arasındaki ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Cevap

Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması, gruplar arasındaki ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Diskriminant analizinde Wilks' Lambda istatistiği, grup içi kareler ve çarpımlar toplamı matrisinin (

W

) determinantının, toplam kareler ve çarpımlar toplamı matrisinin (

T

) determinantına oranıdır. Bu değer

0

ile

1

arasında değişir. Değer

0

'a ne kadar yakınsa, gruplar arası değişkenlik toplam değişkenliğe göre o kadar büyüktür, bu da değişkenlerin grupları ayırma gücünün çok yüksek olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda (

\Lambda

) tanımını hatırla.

\Lambda = \frac{|W|}{|T|} = \frac{|W|}{|W + B|}

Wilks' Lambda, grup içi (hata) varyansının toplam varyansa oranını temsil eden bir ölçüdür.

2

İstatistiğin değer aralığını belirle.

0 \leq \Lambda \leq 1

Determinant oranları negatif olamaz ve grup içi varyans toplam varyanstan büyük olamaz.

3

Uç değerlerin anlamını yorumla.

\Lambda \rightarrow 0 \Rightarrow

Yüksek ayırma gücü;

\Lambda \rightarrow 1 \Rightarrow

Düşük ayırma gücü.

Grup içi varyans (

|W|

) toplam varyansa göre ne kadar küçükse (yani

\Lambda

ne kadar sıfıra yakınsa), gruplar o kadar net ayrışmış demektir.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda İstatistiğinin Yorumlanması

İpuçları

1

Wilks' Lambda'nın formülünü hatırlayın: Grup içi varyansın toplam varyansa oranıdır.

Daha Fazla Pratik

Mahalanobis uzaklığı ile Wilks' Lambda arasındaki ilişkiyi (birinin artarken diğerinin genellikle nasıl değiştiğini) inceleyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 66Soru →

Bir spor bilimcisi, sporcuları performans düzeylerine göre "Elit", "Amatör" ve "Başlangıç" olmak üzere üç gruba ayırmak için diskriminant (ayırma) analizi uygulamıştır. Analizde bağımsız değişkenler olarak $X_1$ (VO2Max), $X_2$ (Çeviklik Skoru) ve $X_3$ (Kas Kütlesi İndeksi) kullanılmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen birinci diskriminant fonksiyonuna ait standartlaştırılmış katsayılar sırasıyla $0,85$ , $-0,42$ ve $0,21$ olarak bulunmuştur. Ayrıca, modele ilişkin Wilks' Lambda değeri $0,15$ hesaplanmış ve elde edilen iki diskriminant fonksiyonunun özdeğerleri $\lambda_1 = 4,20$ ve $\lambda_2 = 0,80$ olarak belirlenmiştir.

Bu araştırma sonuçları ve diskriminant analizinin özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Birinci diskriminant fonksiyonunda grupları birbirinden ayırmaya en yüksek katkıyı VO2Max (

X_1

) değişkeni yapmıştır ve Wilks' Lambda değerinin

0,15

olması modelin ayırma gücünün yüksek olduğuna işaret eder.

Wilks' Lambda değerinin

0,15

gibi küçük bir değer alması, kurulan fonksiyonun grupları birbirinden ayırma gücünün oldukça zayıf olduğunu ve modelin başarısız olduğunu ifade eder.

Analizin geçerli olabilmesi için modeldeki bağımlı değişken olan "performans düzeyi"nin kategorik yapıda olmaması, oran veya aralık ölçeğinde sürekli bir değişken olarak ölçülmesi gerekirdi.

Birinci diskriminant fonksiyonunun verideki toplam varyansı açıklama oranı doğrudan

\lambda_1 = 4,20

değerine eşittir ve varyansın

\%420

'sini açıkladığı şeklinde yorumlanır.

Sporcuların diskriminant skorları vektörel olarak hesaplanırken katsayı ve gözlem matrislerinin çarpım yönü önemsizdir; matris çarpımının değişme özelliği gereği her iki yönlü çarpım aynı sonucu verir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci diskriminant fonksiyonunda grupları birbirinden ayırmaya en yüksek katkıyı VO2Max ( $X_1$ ) değişkeni yapmıştır ve Wilks' Lambda değerinin $0,15$ olması modelin ayırma gücünün yüksek olduğuna işaret eder.

Cevap

Birinci diskriminant fonksiyonunda grupları birbirinden ayırmaya en yüksek katkıyı VO2Max değişkeninin yaptığı ve Wilks' Lambda değerinin 0,15 olmasının modelin ayırma gücünün yüksek olduğuna işaret ettiği ifade doğrudur.

Diskriminant analizinde, bağımsız değişkenlerin grupları ayırmadaki göreli önemleri (katkıları) standartlaştırılmış diskriminant katsayılarının mutlak değerlerine bakılarak belirlenir. Verilen katsayıların mutlak değerleri incelendiğinde en yüksek değerin

|0,85|

ile VO2Max (

X_1

) değişkenine ait olduğu görülür. Ayrıca Wilks' Lambda istatistiği

0

ile

1

arasında değer alır ve

0

'a yaklaşması gruplar arasındaki ayırma gücünün (modelin açıklayıcılığının) yüksek olduğunu gösterir.

0,15

değeri

0

'a yakın olduğundan modelin ayırma gücü oldukça yüksektir.

Adım Adım Çözüm

1

Standartlaştırılmış katsayıların mutlak değerlerinin karşılaştırılması

X_1

:

|0,85|

,

X_2

:

|-0,42| = 0,42

,

X_3

:

|0,21|

. En büyük mutlak değer

X_1

'e aittir.

Diskriminant fonksiyonunda değişkenlerin grupları ayırmaya olan göreli katkıları, standartlaştırılmış katsayıların mutlak değerleri incelenerek belirlenir.

2

Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlanması

Wilks' Lambda değeri

0,15

'tir. Bu değer

0

'a çok yakındır.

Wilks' Lambda değeri

0

ile

1

arasında değişir.

0

'a yaklaşması, modelin grup merkezlerini birbirinden başarılı bir şekilde ayırdığını (ayırma gücünün yüksek olduğunu) gösterir.

3

Diğer seçeneklerdeki hatalı istatistiksel yargıların tespit edilmesi

Özdeğerlerin varyans oranı gibi yorumlanamayacağı, bağımlı değişkenin sürekli olamayacağı ve matris çarpımında değişme özelliği olmadığı belirlenmiştir.

Diskriminant analizinin temel varsayımları, sonuçların yorumlanması ve cebirsel hesaplama kuralları bunu gerektirir.

Anahtar Kavram

Standartlaştırılmış Diskriminant Katsayıları ve Wilks' Lambda İstatistiğinin Yorumlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 67Soru →

Bir araştırmacı, şirketleri finansal performans düzeylerine göre "Düşük", "Orta" ve "Yüksek" ( $g=3$ ) olmak üzere üç gruba ayırmak amacıyla $4$ farklı finansal rasyo ( $p=4$ ) kullanarak çok gruplu diskriminant analizi gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda elde edilen sınıflandırma matrisi aşağıda sunulmuştur:

Gerçek Grup	Düşük (Tahmin)	Orta (Tahmin)	Yüksek (Tahmin)	Toplam
Düşük	$25$	$3$	$2$	$30$
Orta	$5$	$30$	$5$	$40$
Yüksek	$2$	$8$	$20$	$30$

Buna göre, bu diskriminant analizine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Analiz sonucunda elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

4

'tür.

Wilks' Lambda değerinin

1

'e yakın bir değer alması, finansal rasyoların grupları ayırma gücünün çok yüksek olduğunu gösterir.

Analiz sonucunda elde edilen toplam doğru sınıflandırma oranı (hit ratio)

\%75

'tir.

Diskriminant analizi varsayımlarına göre bağımlı değişkenin (performans düzeyleri) çok değişkenli normal dağılım göstermesi gerekmektedir.

Sınıflandırma matrisinde köşegen dışında kalan (off-diagonal) değerlerin toplamı, modelin ayırma başarısını doğrudan ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Analiz sonucunda elde edilen toplam doğru sınıflandırma oranı (hit ratio) $\%75$ 'tir.

Cevap

Analiz sonucunda elde edilen toplam doğru sınıflandırma oranı (hit ratio) %75'tir.

Toplam doğru sınıflandırma oranı (hit ratio), sınıflandırma matrisindeki köşegen elemanlarının toplamının (doğru tahminler), toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir. Bu soruda doğru tahminlerin toplamı

25 + 30 + 20 = 75

, toplam gözlem sayısı ise

100

olduğu için oran

\%75

olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısını belirle.

min(g-1, p) = min(3-1, 4) = 2

fonksiyon.

Çok gruplu diskriminant analizinde fonksiyon sayısı grup sayısının bir eksiği ile değişken sayısından küçük olanıyla sınırlıdır.

2

Sınıflandırma matrisi üzerinden doğru sınıflandırılan birim sayısını hesapla.

25 + 30 + 20 = 75

birim.

Matrisin köşegeni (diagonal), gerçek grubu ile tahmin edilen grubu aynı olan doğru eşleşmeleri gösterir.

3

Toplam doğru sınıflandırma oranını (hit ratio) hesapla.

(75 / 100) \times 100 = \%75

.

Hit ratio, doğru tahminlerin toplam örneklem büyüklüğüne oranıdır.

4

Wilks' Lambda istatistiğini yorumla.

Düşük değerler yüksek ayırma gücü demektir.

Wilks' Lambda, grup içi varyansın toplam varyansa oranını verir; bu oranın küçük olması gruplar arası farkın büyük olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Çok Gruplu Diskriminant Analizi Değerlendirme Ölçütleri

Daha Fazla Pratik

Wilks' Lambda'nın istatistiksel anlamlılığını test etmek için kullanılan ki-kare dönüşümü ve serbestlik derecesi hesaplamalarını gözden geçirin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 68Soru →

Bir halk sağlığı uzmanı, bireyleri "Düşük Riskli", "Orta Riskli" ve "Yüksek Riskli" kalp hastalığı gruplarına ayırmak amacıyla 4 farklı biyobelirteç ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) üzerinden adım adım (stepwise) diskriminant analizi uygulamaktadır. Analizin ilk adımında aday değişkenlere dair elde edilen istatistiksel sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Wilks' Lambda	F-Giriş ( $F_{enter}$ )	Anlamlılık ( $p$ )
$X_1$	0,82	4,12	0,025
$X_2$	0,65	12,45	0,001
$X_3$	0,91	1,85	0,165
$X_4$	0,74	7,32	0,008

Giriş için anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ olarak belirlendiğine göre, analizin ilk adımında modele dahil edilecek olan değişken ve bunun temel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

X_2

değişkeni; çünkü en küçük Wilks' Lambda değerine ve en yüksek F-giriş değerine sahiptir.

X_3

değişkeni; çünkü en büyük Wilks' Lambda değerine sahiptir ve gruplar arası farkın homojenliğini en iyi temsil eder.

X_1

değişkeni; çünkü anlamlılık (

p

) değeri 0,05 sınırına en yakın olan ve modele girmek için en kritik eşikte bulunan değişkendir.

Tüm değişkenler (

X_1, X_2, X_3, X_4

); çünkü analizin başında anlamlı olan tüm değişkenlerin toplu halde modele alınması gerekir.

Hiçbir değişken dahil edilemez; çünkü bağımlı değişken olan risk grupları sürekli ölçekte ölçülmediği için analiz geçersizdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_2$ değişkeni; çünkü en küçük Wilks' Lambda değerine ve en yüksek F-giriş değerine sahiptir.

Cevap

X_2

değişkeni; çünkü en küçük Wilks' Lambda değerine ve en yüksek F-giriş değerine sahiptir.

Adım adım diskriminant analizinde temel amaç, gruplar arasındaki farklılığı en yüksek düzeyde açıklayan değişkenleri sırayla modele dahil etmektir. İlk adımda, Wilks' Lambda değerini en çok küçülten (en yüksek grup ayrımı sağlayan) ve buna paralel olarak en yüksek F istatistiğine sahip olan değişken seçilir. Tablodaki

X_2

değişkeni

0,65

Wilks' Lambda ve

12,45

F değeri ile en güçlü ayırıcıdır ve

0,001

anlamlılık düzeyi ile modele giriş kriterini sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda değerlerini karşılaştırın.

En düşük değer

0,65

ile

X_2

değişkenine aittir.

Wilks' Lambda değeri küçüldükçe (0'a yaklaştıkça) gruplar arasındaki ayrım gücü artar.

2

F-Giriş (

F_{enter}

) değerlerini kontrol edin.

En yüksek F değeri

12,45

ile yine

X_2

değişkenindedir.

Kısmi F istatistiği, modele eklenecek değişkenin grup ortalamaları arasındaki farka olan katkısını ölçer; yüksek değer tercih edilir.

3

Anlamlılık (

p

) düzeyini test edin.

0,001 < 0,05

olduğu için

X_2

istatistiksel olarak anlamlıdır.

Seçilen değişkenin önceden belirlenen

\alpha

hata payı sınırları içinde kalması gerekir.

Anahtar Kavram

Adım adım diskriminant analizinde değişken seçim kriteri

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 69Soru →

Bir insan kaynakları yöneticisi, çalışanları performans düzeylerine göre 'Çok Düşük', 'Düşük', 'Orta-Düşük', 'Orta', 'Orta-Yüksek', 'Yüksek' ve 'Çok Yüksek' olmak üzere $7$ farklı gruba ( $g=7$ ) ayırmayı planlamaktadır. Bu sınıflandırma işlemi için çalışanların liderlik, takım çalışması, problem çözme, iletişim ve zaman yönetimi becerilerini ölçen $5$ farklı değişken ( $p=5$ ) kullanılmaktadır. Buna göre, gerçekleştirilecek çok gruplu diskriminant analizi sonucunda elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı kaçtır?

4

5

6

7

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 5'tir.

Çok gruplu diskriminant analizinde, grupları birbirinden ayırmak için oluşturulabilecek maksimum fonksiyon sayısı, grup sayısının bir eksiği (

g-1

) ile bağımsız değişken sayısı (

p

) değerlerinden hangisi daha küçükse ona eşittir. Bu soruda

g=7

olduğu için

g-1=6

'dır. Değişken sayısı ise

p=5

'tir.

\min(6, 5) = 5

olduğu için doğru cevap 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Analizdeki temel parametreleri belirleyin.

Grup sayısı

g = 7

, Bağımsız değişken sayısı

p = 5

.

Fonksiyon sayısını belirlemek için grup ve değişken sayılarına ihtiyaç duyulur.

2

Çok gruplu diskriminant analizi için maksimum fonksiyon sayısı kuralını uygulayın.

Formül:

\min(g-1, p)

Teorik olarak elde edilebilecek fonksiyon sayısı, grup sayısının bir eksiği ile değişken sayısı arasından küçük olanına eşittir.

3

Değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapın.

\min(7-1, 5) = \min(6, 5) = 5

.

Elde edilen sonuç, analizde tanımlanabilecek en fazla boyut sayısını verir.

Anahtar Kavram

Çok gruplu diskriminant analizinde maksimum fonksiyon sayısı

\min(g-1, p)

ile sınırlıdır.

Daha Fazla Pratik

Değişken sayısının grup sayısından çok daha fazla olduğu bir senaryoda maksimum fonksiyon sayısının nasıl değişeceğini inceleyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 70Soru →

Bir araştırmacı, işletmeleri finansal risk durumlarına göre "Yüksek Riskli" ve "Düşük Riskli" olmak üzere iki gruba ayırmak için altı farklı finansal oran (sürekli değişken) kullanarak Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu'nu (LDF) elde etmiştir. Araştırmacı, katsayıları hesaplarken her iki gruba ait verileri birleştirerek ortak (havuzlanmış) varyans-kovaryans matrisini ( $S_p$ ) kullanmıştır.

Buna göre, Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonunun teorik olarak geçerli olabilmesi için gereken temel varsayım ve analiz sürecindeki durumlarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Kovaryans matrislerinin homojenliğini test eden Box's M testinin istatistiksel olarak anlamlı (

p < 0,05

) çıkması, doğrusal ayırma fonksiyonunun kullanılabilirliğini gösterir.

Gruplar arası ayırma gücünün yüksek olduğunu kanıtlamak için Wilks' Lambda istatistiğinin 1'e çok yakın çıkması gerekir.

İki grubun anakütle varyans-kovaryans matrislerinin eşit (homojen) olması (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) gerekir; bu varsayım ihlal edildiğinde Karesel (Quadratic) Diskriminant Analizi kullanılmalıdır.

Sınıflandırılacak risk grubu değişkeninin (bağımlı değişken) sürekli bir ölçekte ölçülmesi gerekir; analizde kategorik değişken kullanılması hatalıdır.

Sınıflandırma matrisinde doğru sınıflandırma oranı köşegen dışı elemanların toplamı ile, beklenen hata oranı ise köşegen elemanlarının toplamı ile hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İki grubun anakütle varyans-kovaryans matrislerinin eşit (homojen) olması ( $\Sigma_1 = \Sigma_2$ ) gerekir; bu varsayım ihlal edildiğinde Karesel (Quadratic) Diskriminant Analizi kullanılmalıdır.

Cevap

İki grubun anakütle varyans-kovaryans matrislerinin eşit (homojen) olması (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) gerekir; bu varsayım ihlal edildiğinde Karesel (Quadratic) Diskriminant Analizi kullanılmalıdır.

Doğru yanıt, Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu'nda ortak (havuzlanmış) varyans-kovaryans matrisi (

S_p

) kullanılmasının matematiksel temelini açıklamaktadır. Fonksiyonun karar sınırının doğrusal olabilmesi için grupların kendi anakütle varyans-kovaryans matrislerinin eşit olması (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) şarttır. Eğer bu varsayım istatistiksel olarak (örneğin Box's M testi ile) reddedilirse, ortak matris yaklaşımı terkedilmeli ve her grubun kendi matrisi kullanılarak sınıflandırma sınırının eğrisel olduğu Karesel (Quadratic) Diskriminant Analizi formülasyonuna geçilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu'nun veri yapısını ve çalışma prensibini tanımlamak.

Diskriminant analizi, sürekli yapıdaki bağımsız değişkenleri kullanarak kategorik yapıdaki bağımlı değişkenin (örneğin Yüksek/Düşük Risk) sınıflarını ayırmayı hedefler.

Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin ölçek türlerini netleştirerek, değişken tipleriyle ilgili hatalı yaklaşımları elemek.

2

Ortak (havuzlanmış) varyans-kovaryans matrisinin (

S_p

) kullanım koşulunu incelemek.

LDF'nin elde edilebilmesi için gruplara ait anakütle varyans-kovaryans matrislerinin eşit (homojen) olması (

\Sigma_1 = \Sigma_2

) temel bir teorik zorunluluktur.

Karar sınırının matematiksel olarak doğrusal (linear) bir fonksiyon olabilmesi bu varsayıma dayanır.

3

Varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği varsayımının ihlal edilmesinin sonucunu belirlemek.

Homojenlik varsayımı sağlanmadığında (

p < 0,05

ile Box's M anlamlı çıktığında) ortak matris kullanılamaz; bunun yerine grupların ayrı kovaryans matrisleri kullanılarak Karesel (Quadratic) Diskriminant Analizi uygulanır.

Teorik geçerliliği sağlamak ve hatalı sınıflandırmanın önüne geçmek.

4

Diğer model değerlendirme kriterlerini kontrol etmek.

Wilks' Lambda'nın 0'a yaklaşması ayırma gücünü gösterir. Sınıflandırma matrisinde doğru tahminler köşegen elemanlarıyla, hatalar ise köşegen dışı elemanlarla hesaplanır.

Seçeneklerdeki istatistiksel testleri ve matris özelliklerini doğru yorumlamak.

Anahtar Kavram

İki Gruplu Diskriminant Analizi Varsayımları ve Karesel Diskriminant Analizi

Soru 71Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, öğrencileri akademik başarı potansiyellerine göre "Yüksek Potansiyelli" (Grup 1, $n_1 = 50$ ) ve "Standart Potansiyelli" (Grup 2, $n_2 = 30$ ) olarak ikiye ayırmak için 4 farklı bilişsel test skorunu kullanarak Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonunu (LDF) tahmin etmek istemektedir. Analiz öncesi yapılan Box's M testi sonucunda, iki grubun anakütle varyans-kovaryans matrislerinin birbirinden istatistiksel olarak farklı olduğu ( $\Sigma_1 \neq \Sigma_2$ ) sonucuna varılmıştır.

Buna rağmen araştırmacı, bu durumu göz ardı ederek $S_p = \frac{(n_1-1)S_1 + (n_2-1)S_2}{n_1+n_2-2}$ formülü ile ortak (pooled) kovaryans matrisini hesaplamış ve $a = S_p^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)$ eşitliği üzerinden Fisher'in doğrusal ayırma skorlarını elde etmiştir.

Bu analiz süreci ve elde edilecek sınıflandırma sonuçları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı sağlanmadığında Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu yerine karesel (kuadratik) ayırma analizi kullanılmalıdır; aksi halde ortak kovaryans matrisine dayalı modelleme, farklı örneklem hacimleri varlığında sınıflandırma hata oranını artırır.

Box's M testinin istatistiksel olarak anlamlı çıkması (

p < 0,05

), varyans-kovaryans matrislerinin homojenliğini doğruladığı için araştırmacının ortak kovaryans matrisini (

S_p

) kullanması varsayımlara uygundur.

Kovaryans matrislerinin birbirinden farklı olması gruplar arasındaki ayırıcı gücü artırır ve Wilks' Lambda istatistiğini 1'e yaklaştırarak doğrusal sınıflandırma katsayılarının etkinliğini maksimize eder.

Hesaplamada ortak kovaryans matrisi (

S_p

) kullanılması, test skorlarının gruplar arası öncelikli olasılıklarını eşitleyerek sınıflandırma tablosundaki beklenen hata oranının kesin olarak sıfır çıkmasını sağlar.

Öğrencilerin bağımlı değişken olarak "Yüksek" ve "Standart" şeklinde iki kategorik sınıfa ayrılması Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu için hatalıdır; fonksiyonun çalışabilmesi için bağımlı değişkenin sürekli olması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı sağlanmadığında Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu yerine karesel (kuadratik) ayırma analizi kullanılmalıdır; aksi halde ortak kovaryans matrisine dayalı modelleme, farklı örneklem hacimleri varlığında sınıflandırma hata oranını artırır.

Cevap

Varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı sağlanmadığında karesel (kuadratik) ayırma analizi kullanılmalıdır ve aksi durumda hesaplanan doğrusal model hata oranını artırır şeklindeki ifadedir.

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu (LDF), incelenen grupların aynı (ortak) varyans-kovaryans matrisine sahip olduğu varsayımına dayanır. Soru kökündeki senaryoda Box's M testi ile bu varsayımın ihlal edildiği (

\Sigma_1 \neq \Sigma_2

) açıkça belirlenmiştir. Bu durumda Karesel (Kuadratik) Ayırma Analizi (QDA) kullanılması gerekirken, ortak kovaryans matrisi üzerinden doğrusal analiz yapılmaya devam edilmesi sınıflandırma fonksiyonunu hatalı hale getirir. Özellikle örneklem hacimleri eşit olmadığında (

n_1=50, n_2=30

) beklenen hata oranı yapay olarak artar. Dolayısıyla varsayımın ihlalinin ve sonucunun doğru yorumlandığı ifade geçerli olandır.

Adım Adım Çözüm

1

Box's M testinin sonucunun ve LDF varsayımının değerlendirilmesi.

Box's M testi varyans-kovaryans matrislerinin eşitliğini test eder. Anlamlı çıkması (farklı olduğu bulgusu), Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu (LDF) için zorunlu olan ortak kovaryans matrisi (

"\Sigma_1 = \Sigma_2"

) varsayımının ihlal edildiğini gösterir.

LDF'nin geçerliliği grupların varyans-kovaryans yapılarının birbirine benzemesine bağlıdır.

2

Varsayım ihlali durumunda yapılması gereken doğru analitik müdahalenin tespiti.

Eğer

\Sigma_1 \neq \Sigma_2

ise, verilerin ortak bir havuza alınması (

S_p

) yanlış olacağından, her grubun kendi matrisini kullanan Karesel (Kuadratik) Ayırma Analizi (QDA) uygulanmalıdır.

Karesel model grupların farklı yayılım gösterdiği asimetrik veri alanlarını daha doğru sınıflandırır.

3

Hatalı yöntemin sonuçlara etkisinin yorumlanması.

Araştırmacının

n_1 = 50

ve

n_2 = 30

gibi dengesiz hacimlerde ortak kovaryans formülünü zorlaması, sınıflandırma sınırını geniş varyanslı gruba doğru iterek beklenen hata oranını yükseltir.

Farklı varyanslara sahip gruplar tek bir matris üzerinden değerlendirildiğinde yanlış atamaların (yanlış pozitif/negatif) sıklığı artar.

Anahtar Kavram

Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu Varsayımları ve Karesel Ayırma Analizi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 72Soru →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığında görevli bir istatistikçi, illeri hava kalitesi düzeylerine göre (Temiz, Orta, Hassas, Sağlıksız) sınıflandırmak amacıyla bir istatistiksel model kurmak istemektedir. Bu amaçla illere ait $PM_{10}$ , $SO_2$ , $CO$ ve $NO_2$ gibi sürekli ölçekle ölçülen hava kirletici emisyon değerlerini açıklayıcı değişken olarak kullanacaktır.

Buna göre, istatistikçinin Diskriminant (Ayırma) Analizi uygulayabilmesi için kuracağı modelin yapısı ve sağlaması gereken varsayımlarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modelin bağımlı değişkeni kategorik, bağımsız değişkenleri ise sürekli yapıda olmalı ve bağımsız değişken vektörünün her bir hava kalitesi grubu için varyans-kovaryans matrisleri homojen olmalıdır.

Analizin uygulanabilmesi için bağımlı değişkenin (hava kalitesi düzeyi) sürekli ölçekle ölçülmesi, bağımsız değişkenlerin (kirletici parametreleri) ise kategorik yapıda olması gerekir.

Değişkenlerin dağılımına ilişkin varsayımın sağlanması için, açıklayıcı değişkenlerin her birinin marjinal olarak normal dağılması yeterlidir; bağımsız değişkenlerin çok değişkenli normal dağılıma sahip olması gerekmez.

Kurulan ayırma fonksiyonunun grupları birbirinden ayırt etme gücünün istatistiksel olarak yüksek çıkması için hesaplanacak Wilks' Lambda değerinin

1

'e çok yakın olması beklenir.

Grupların varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı Box's M testi ile incelenir ve bu testin istatistiksel olarak anlamlı (

p < 0.05

) çıkması analiz varsayımlarının tam olarak sağlandığını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin bağımlı değişkeni kategorik, bağımsız değişkenleri ise sürekli yapıda olmalı ve bağımsız değişken vektörünün her bir hava kalitesi grubu için varyans-kovaryans matrisleri homojen olmalıdır.

Cevap

Modelin bağımlı değişkeni kategorik, bağımsız değişkenleri ise sürekli yapıda olmalı ve bağımsız değişken vektörünün her bir hava kalitesi grubu için varyans-kovaryans matrisleri homojen olmalıdır.

Diskriminant analizinin temel amacı, gözlemleri kategorik bir bağımlı değişkene (örnekte hava kalitesi düzeyleri) göre sınıflandırmak ve bu ayrımı sürekli bağımsız değişkenler (örnekte kirletici gazlar) yardımıyla yapmaktır. Bu analizde grupların varyans-kovaryans matrislerinin eşit (homojen) olması ile verilerin çok değişkenli normal dağılım göstermesi ana varsayımlardır. Doğru seçenek bu şartları veri tipleri ve varsayımlar açısından eksiksiz olarak ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmanın amacı ve değişkenlerin yapılarını belirleme

Hava kalitesi düzeyi (Temiz, Orta, vb.) kategorik yapıda bağımlı değişken, kirletici ölçümleri (

PM_{10}

,

SO_2

, vb.) sürekli yapıda bağımsız değişkenlerdir.

Diskriminant analizi uygulayabilmek için bağımlı değişkenin sınıflayıcı, bağımsız değişkenlerin sürekli (nicel) özellikte olması ilk şarttır.

2

Temel analiz varsayımlarını değerlendirme

Analizin geçerliliği için bağımsız değişkenlerin her grupta çok değişkenli normal dağılıma sahip olması ve grupların varyans-kovaryans matrislerinin homojen (eşit) olması gerekir.

Diskriminant fonksiyonlarının optimal ayırma işlemi yapabilmesi ve istatistiksel testlerin (Wilks' Lambda vb.) güvenilirliği bu iki ana varsayıma dayanır.

3

Varsayım testlerinin mantığını kurgulama

Homojenlik varsayımı Box's M testi ile sınanır ve varsayımın sağlanması için testin anlamsız (

p > 0.05

) olması istenir. Ayırma gücü için ise Wilks' Lambda'nın

0

'a yakın olması beklenir.

Hatalı istatistik okumalarını eleyerek doğru ifadenin kesin olarak belirlenmesi.

Anahtar Kavram

Diskriminant Analizi Değişken Yapıları ve Temel Varsayımlar

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 73Soru →

Bir kamu kurumunda personelin performans düzeylerini (yüksek ve düşük) belirlemek amacıyla yapılan diskriminant analizinde, üç farklı yetkinlik puanı için hesaplanan Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) değerleri aşağıda verilmiştir:

Yetkinlik Değişkeni	Wilks' Lambda ( $\Lambda$ )
Teknik Bilgi ( $X_1$ )	$0,12$
İletişim Becerisi ( $X_2$ )	$0,75$
Analitik Düşünme ( $X_3$ )	$0,40$

Bu verilere göre, performans gruplarını birbirinden ayırma gücü en yüksek olan yetkinlik değişkeni hangisidir?

Teknik Bilgi

İletişim Becerisi

Analitik Düşünme

Tüm değişkenlerin ayırma gücü birbirine eşittir

Değişkenlerin ayırma gücü, Lambda değerleri 1'den küçük olduğu için hesaplanamaz

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Teknik Bilgi

Cevap

Teknik Bilgi değişkeni en düşük Wilks' Lambda değerine sahip olduğu için ayırma gücü en yüksek olan değişkendir.

Diskriminant analizinde Wilks' Lambda (

\Lambda

) değeri, gruplar içi kareler toplamının toplam kareler toplamına oranını ifade eder. Bu değer

0

'a yaklaştıkça gruplar arası farklılıkların arttığı ve değişkenin ayırma gücünün yükseldiği kabul edilir. Teknik Bilgi değişkenine ait

\Lambda = 0,12

değeri, listedeki en küçük değer olduğu için ayırma gücü en yüksek olan yetkinliktir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen Wilks' Lambda (

\Lambda

) değerlerini karşılaştırın.

X_1 = 0,12

,

X_2 = 0,75

ve

X_3 = 0,40

değerleri mevcuttur.

Değişkenlerin ayırma gücünü belirlemek için metriklerin büyüklük sıralaması yapılmalıdır.

2

Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlama kuralını uygulayın.

Wilks' Lambda değeri

0

'a yaklaştıkça gruplar arasındaki ayırma gücü artar,

1

'e yaklaştıkça azalır.

Lambda, gruplar içi varyasyonun toplam varyasyona oranını temsil eder; bu oranın küçük olması gruplar arası farkın büyük olduğu anlamına gelir.

3

En küçük değeri seçerek en güçlü değişkeni belirleyin.

0,12 < 0,40 < 0,75

olduğu için Teknik Bilgi (

X_1

) en güçlü değişkendir.

En düşük değer, grupların birbirinden en net şekilde ayrıldığını gösterir.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda Değerinin Yorumlanması

Daha Fazla Pratik

Wilks' Lambda ile özdeğerler (eigenvalues) arasındaki ilişkiyi inceleyerek ayırma gücünü farklı bir açıdan değerlendirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 74Soru →

Bir mülki idare amiri, ilçeleri sosyoekonomik göstergelerine göre "Gelişmemiş", "Düşük Gelişmiş", "Gelişmekte Olan", "Orta Gelişmiş", "İyi Gelişmiş", "Yüksek Gelişmiş" ve "Çok Yüksek Gelişmiş" ( $g=7$ ) olmak üzere yedi farklı kategoride sınıflandırmak istemektedir. Bu amaçla ilçelerin kişi başına düşen gelir, okullaşma oranı, hastane yatak sayısı, sanayi parsel sayısı ve tarımsal üretim değeri ( $p=5$ ) verileri kullanılmaktadır.

Buna göre, yapılacak olan çok gruplu diskriminant analizinde elde edilebilecek maksimum diskriminant (ayırma) fonksiyonu sayısı kaçtır?

4

5

6

7

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

5

olarak bulunur.

Çok gruplu diskriminant analizinde hesaplanabilecek maksimum fonksiyon sayısı

m = \min(g-1, p)

formülü ile bulunur. Soruda

g=7

(kategori sayısı) ve

p=5

(değişken sayısı) olarak verildiğinden,

m = \min(7-1, 5) = \min(6, 5) = 5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen grup sayısını (

g

) ve bağımsız değişken sayısını (

p

) tespit edin.

Grup sayısı

g = 7

, değişken sayısı

p = 5

olarak belirlenmiştir.

Çok gruplu diskriminant analizinde fonksiyon sayısı bu iki parametreye bağlıdır.

2

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı formülünü (

m = \min(g-1, p)

) uygulayın.

g-1 = 7 - 1 = 6

ve

p = 5

.

Fonksiyon sayısı, grupları birbirinden ayırmak için gereken serbestlik derecesi ile değişken sayısı arasındaki minimum değerle sınırlıdır.

3

Elde edilen değerler arasından küçük olanı seçin.

\min(6, 5) = 5

.

Değişken sayısı, grup sayısının sağladığı potansiyel ayrıştırma kapasitesinden daha az olduğu için kısıtlayıcı faktördür.

Anahtar Kavram

Çok gruplu diskriminant analizinde üretilebilecek maksimum fonksiyon sayısı, grup sayısının bir eksiği (

g-1

) ile değişken sayısı (

p

) değerlerinden küçük olanına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Eğer değişken sayısı 8 olsaydı, maksimum fonksiyon sayısı kaç olurdu sorusunu cevaplayarak kısıtlayıcı faktörün nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 75Soru →

İki gruplu bir diskriminant analizinde Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonunun (LDF) katsayılarını belirlemek için kullanılan "ortak (pooled) varyans-kovaryans matrisi" yaklaşımı, grupların anakütle özellikleri hakkında aşağıdaki varsayımlardan hangisine dayanmaktadır?

Grupların anakütle varyans-kovaryans matrislerinin birbirine eşit olması

Bağımlı (grup) değişkenin sürekli bir ölçekte ölçülmüş olması

Grupların anakütle ortalama vektörlerinin birbirine eşit olması

Bağımsız değişkenlerin her birinin varyansının 1'e eşit olması

Wilks' Lambda istatistiğinin 1 değerine çok yakın olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Grupların anakütle varyans-kovaryans matrislerinin birbirine eşit olması

Cevap

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu, grupların anakütle varyans-kovaryans matrislerinin birbirine eşit olduğu varsayımına dayanır.

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonunun elde edilmesinde temel dayanak, her iki grubun verilerinin aynı varyans-kovaryans yapısına (homojenlik) sahip olduğudur. Bu sayede iki grubun varyans-kovaryans matrisleri ağırlıklı ortalamaları alınarak tek bir 'ortak varyans-kovaryans matrisi' (

S_{pooled}

) şeklinde birleştirilebilir ve katsayılar bu matris üzerinden hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonunun (LDF) matematiksel yapısını incele.

LDF, grupları birbirinden en iyi ayıracak doğrusal katsayılar vektörünü (

a

) belirler.

Bu katsayılar, gruplar arası varyansın grup içi varyansa oranını maksimize eder.

2

LDF katsayı vektörü formülünü (

a = S_{pooled}^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)

) analiz et.

Formülde tek bir ortak varyans-kovaryans matrisinin (

S_{pooled}

) tersinin kullanıldığı görülür.

İki farklı matris yerine tek bir ortak matrisin kullanımı, grupların yayılım yapılarının benzer olduğunu varsayar.

3

Bu matematiksel gerekliliğin istatistiksel varsayımla eşleşmesini sağla.

Ortak matris kullanımı, homojenlik (eşitlik) varsayımının bir sonucudur.

Eğer varyans-kovaryans matrisleri eşit değilse, doğrusal fonksiyon yerine karesel (quadratic) ayırma fonksiyonu kullanılması gerekir.

Anahtar Kavram

Varyans-Kovaryans Matrislerinin Homojenliği Varsayımı

Soru 76Soru →

Bir tıp merkezinde, bireyleri "Sağlıklı" ( $Π_1$ ) ve "Hasta" ( $Π_2$ ) olarak iki gruba ayıran bir tanı yönteminin başarısını ölçmek amacıyla $100$ kişilik bir örneklem üzerinde inceleme yapılmış ve aşağıdaki sınıflandırma matrisi elde edilmiştir:

Gerçek Grup	$Π_1$ (Tahmin)	$Π_2$ (Tahmin)	Toplam
$Π_1$ (Sağlıklı)	$70$	$10$	$80$
$Π_2$ (Hasta)	$5$	$15$	$20$
Toplam	$75$	$25$	$100$

Buna göre, bu tanı yöntemi için hesaplanan görünür hata oranı (APER) aşağıdakilerden hangisidir?

0,10

0,15

0,25

0,70

0,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,15$

Cevap

Görünür hata oranı (APER)

0,15

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan

0,15

değeri, matristeki yanlış sınıflandırmaların (köşegen dışındaki

10

ve

5

değerleri) toplamı olan

15

'in, toplam katılımcı sayısı olan

100

'e bölünmesiyle (

15/100

) doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Yanlış sınıflandırılan toplam birim sayısını (

n_{hata}

) belirleyin.

n_{hata} = 10 + 5 = 15

Sınıflandırma matrisinde köşegen dışı elemanlar yanlış sınıflandırmaları temsil eder.

Π_1

grubundan olup

Π_2

olarak tahmin edilen

10

kişi ve

Π_2

grubundan olup

Π_1

olarak tahmin edilen

5

kişi hatalı sınıflandırılmıştır.

2

Toplam örneklem büyüklüğünü (

n

) belirleyin.

n = 100

Tüm hücrelerin toplamı veya grupların toplam sayıları olan

80 + 20

toplam örneklem büyüklüğünü verir.

3

Görünür hata oranı (APER) formülünü uygulayın.

APER = \frac{15}{100} = 0,15

APER, toplam hata sayısının toplam birim sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Görünür Hata Oranı (Apparent Error Rate - APER), bir diskriminant kuralının örneklem verileri üzerindeki performansını ölçen, toplam yanlış sınıflandırma sayısının toplam gözlem sayısına oranıdır.

Soru 77Soru →

Bir finans kurumu, kredi başvurularını "Uygun" ve "Uygun Değil" şeklinde iki gruba ayırmak amacıyla diskriminant analizi uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen standardize edilmiş diskriminant katsayıları aşağıda verilmiştir:

* Aylık Gelir ( $X_1$ ): $0,88$
* Kredi Skoru ( $X_2$ ): $0,75$
* Mevcut Borç Oranı ( $X_3$ ): $-0,50$
* Yaş ( $X_4$ ): $0,12$

Buna göre, bu kurumun kredi uygunluk gruplarını birbirinden ayırmada en yüksek göreli (nispi) öneme sahip olan değişken aşağıdakilerden hangisidir?

Aylık Gelir (

X_1

)

Mevcut Borç Oranı (

X_3

)

Yaş (

X_4

)

Kredi Miktarı (Bağımlı değişken olarak sürekli ölçekte)

Wilks' Lambda değeri

1

'e en yakın olan değişken

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Aylık Gelir ( $X_1$ )

Cevap

En yüksek göreli öneme sahip değişken Aylık Gelir (

X_1

) değişkenidir.

Standardize edilmiş diskriminant katsayıları, değişkenlerin ölçü birimlerinden arındırılmış halleridir ve bu katsayıların mutlak değerce büyüklüğü, o değişkenin grupları ayırmadaki nispi (göreli) gücünü temsil eder. Verilen katsayılar arasında mutlak değeri en büyük olan

0,88

ile Aylık Gelir değişkenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Katsayıların mutlak değerlerini belirle.

|0,88|; |0,75|; |-0,50|; |0,12|

Standardize edilmiş katsayıların işareti (pozitif veya negatif) sadece etkinin yönünü gösterir; önemi ise büyüklük (mutlak değer) belirler.

2

Mutlak değerleri büyüklük sırasına göre karşılaştır.

0,88 > 0,75 > 0,50 > 0,12

En büyük mutlak değer, grupları birbirinden ayırmada en yüksek katkıyı sağlayan değişkeni temsil eder.

3

En büyük değere karşılık gelen değişkeni seç.

Aylık Gelir (

X_1

)

0,88

değeri listedeki en yüksek standardize katsayıdır.

Anahtar Kavram

Standardize edilmiş diskriminant katsayılarının mutlak büyüklüğü, bağımsız değişkenlerin gruplar arasındaki ayrışmaya yaptığı göreli (nispi) katkıyı ölçer.

İpuçları

1

Değişkenlerin önemini karşılaştırırken katsayıların önündeki artı veya eksi işaretine bakmaksızın sadece sayısal büyüklüğe odaklanın.

2

Standardize edilmiş katsayılar, değişkenlerin farklı birimlerde (TL, yaş, puan vb.) olmasından kaynaklanan karşılaştırma zorluğunu ortadan kaldırır.

Daha Fazla Pratik

Standardize edilmemiş (ham) katsayıların neden değişken önemini belirlemede doğrudan kullanılamayacağını araştırınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 78Soru →

Tarımsal üretim yapan bir işletmede elmalar, belirli fiziksel özellikleri temel alınarak "Kaliteli" ( $\Pi_1$ ) ve "İskarta" ( $\Pi_2$ ) olmak üzere iki sınıfa ayrılmaktadır. Yapılan diskriminant analizi sonucunda elde edilen sınıflandırma (karışıklık) matrisi aşağıda verilmiştir:

Gerçek Grup \ Tahmin Edilen Grup	$\Pi_1$	$\Pi_2$	Toplam
$\Pi_1$ (Kaliteli)	$80$	$20$	$100$
$\Pi_2$ (İskarta)	$10$	$90$	$100$
Toplam	$90$	$110$	$200$

Buna göre, bu sınıflandırma işleminin Görünür Hata Oranı (APER) aşağıdakilerden hangisidir?

0,05

0,10

0,15

0,30

0,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,15$

Cevap

Sınıflandırma işleminin Görünür Hata Oranı (APER)

0,15

olarak hesaplanır.

Görünür Hata Oranı (APER), bir diskriminant fonksiyonunun verideki tüm birimleri ne kadar doğru sınıflandırdığını ölçen basit bir orandır. Formülü

APER = \frac{n_{12} + n_{21}}{n}

şeklindedir. Burada

n_{12} = 20

(1. grupta olup 2. gruba atananlar) ve

n_{21} = 10

(2. grupta olup 1. gruba atananlar) olmak üzere toplam

30

hata yapılmıştır. Toplam gözlem sayısı

200

olduğu için

30/200 = 0,15

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısını (

n

) hesapla.

n = 80 + 20 + 10 + 90 = 200

Görünür hata oranı, tüm veri seti üzerinden hesaplanan bir orandır.

2

Yanlış sınıflandırılan (hatalı) gözlem sayısını belirle.

n_{12} + n_{21} = 20 + 10 = 30

Hatalar, sınıflandırma matrisindeki ana köşegen dışındaki (çapraz) hücrelerde yer alır.

3

Görünür Hata Oranını (APER) hesapla.

APER = \frac{30}{200} = 0,15

APER, toplam hata sayısının toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Görünür Hata Oranı (Apparent Error Rate - APER)

Alternatif Yöntem

APER değerini, başarı oranını (

170/200 = 0,85

) bulup bu değeri

1

'den çıkararak (

1 - 0,85 = 0,15

) de hesaplayabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 79Soru →

Bir kamu denetçisi, belediyelerin mali performans düzeylerini "Yüksek", "Orta" ve "Düşük" olarak sınıflandırmak amacıyla adım adım (stepwise) diskriminant analizi uygulamaktadır. Analizin başlangıcında, modele dahil edilme potansiyeli olan üç farklı harcama kalemi için hesaplanan istatistikler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Harcama Kalemi	Wilks' Lambda	Kısmi F ( $F_{giriş}$ )
Personel Giderleri ( $Z_1$ )	0,94	1,95
Altyapı Yatırımları ( $Z_2$ )	0,72	9,15
Sosyal Yardımlar ( $Z_3$ )	0,86	3,42

Buna göre, analizin ilk adımında modele dahil edilmesi gereken değişken ve temel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Z_2

değişkeni; çünkü gruplar arası ayrımı en üst düzeye çıkaran en düşük Wilks' Lambda değerine sahiptir.

Z_1

değişkeni; çünkü gruplar arası benzerliği en iyi temsil eden en yüksek Wilks' Lambda değerine sahiptir.

Z_1

değişkeni; çünkü modele anlamlılık katkısını gösteren en düşük kısmi F değerine sahiptir.

Z_2

değişkeni; çünkü bağımlı değişkenin kategorik ölçekte olması gerektiğini belirleyen tek değişkendir.

Z_3

değişkeni; çünkü Wilks' Lambda değeri 1'e en yakın olan değişkendir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Z_2$ değişkeni; çünkü gruplar arası ayrımı en üst düzeye çıkaran en düşük Wilks' Lambda değerine sahiptir.

Cevap

Altyapı Yatırımları (

Z_2

) değişkeni, gruplar arası ayrımı en iyi sağlayan en düşük Wilks' Lambda değerine sahip olduğu için seçilmelidir.

Adım adım diskriminant analizinin giriş (entry) aşamasında, aday değişkenler arasından gruplar arası varyansı en iyi açıklayan değişken tercih edilir. İstatistiksel olarak bu durum, en küçük Wilks' Lambda değerine veya en büyük kısmi F değerine sahip değişkenin seçilmesi anlamına gelir. Tablodaki verilere bakıldığında, 0,72 ile en düşük Wilks' Lambda değerine ve 9,15 ile en yüksek kısmi F değerine sahip olan Altyapı Yatırımları (

Z_2

) değişkeni ilk adımda modele dahil edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda değerlerini karşılaştırınız.

Z_2

(0,72) <

Z_3

(0,86) <

Z_1

(0,94)

Wilks' Lambda istatistiği, gruplar içi varyasyonun toplam varyasyona oranını verir; değer küçüldükçe gruplar arası ayrım artar.

2

Kısmi F (F-to-enter) değerlerini inceleyiniz.

Z_2

(9,15) en yüksek değere sahiptir.

Stepwise analizde modele dahil edilecek değişken, Wilks' Lambda'yı en çok küçülten ve F istatistiğini en çok büyüten değişkendir.

Anahtar Kavram

Stepwise diskriminant analizinde değişken seçiminde Wilks' Lambda istatistiğinin minimize edilmesi temel kriterdir.

Tahmini Süre:45s

Soru 80Soru →

Bir kamu bankası, kredi başvurusu yapan müşterileri "Düşük Riskli" ve "Yüksek Riskli" olarak iki gruba ayırmak amacıyla üç farklı finansal göstergeyi ( $G_1, G_2, G_3$ ) diskriminant analizine tabi tutmuştur. Analiz sonucunda bu göstergelere ait Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmıştır:

Finansal Gösterge	Wilks' Lambda ( $\Lambda$ )
$G_1$	$0,18$
$G_2$	$0,45$
$G_3$	$0,82$

Buna göre, bu üç gösterge arasında grupları birbirinden ayırma gücü en yüksek olan gösterge hangisidir?

G_1

G_2

G_3

Üç göstergenin de ayırma güçleri eşittir

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $G_1$

Cevap

Grupları birbirinden ayırma gücü en yüksek olan gösterge

G_1

değişkenidir.

Diskriminant analizinde Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiği 0 ile 1 arasında değer alır. Değerin 0'a yaklaşması, bağımsız değişkenin grupları birbirinden ayırmadaki başarısının yüksek olduğunu; 1'e yaklaşması ise gruplar arasında anlamlı bir fark olmadığını gösterir. Soruda verilen değerler karşılaştırıldığında,

0,18

değeri en küçük olduğu için ilgili gösterge en yüksek ayırma gücüne sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda (

\Lambda

) değerlerini karşılaştırın

0,18 < 0,45 < 0,82

Değişkenlerin ayırma gücünü belirlemek için hesaplanan istatistiksel değerlerin büyüklük sıralaması yapılmalıdır.

2

Wilks' Lambda yorum kuralını uygulayın

En küçük

\Lambda

değeri (

0,18

) en yüksek ayırma gücünü temsil eder.

Wilks' Lambda, gruplar içi kareler toplamının toplam kareler toplamına oranıdır; değer küçüldükçe gruplar arası farkın toplam varyans içindeki payı artar.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda istatistiği ile ayırma gücü yorumlama

Alternatif Yöntem

Ayırma gücü,

1 - \Lambda

değeri üzerinden de değerlendirilebilir. Bu değer ne kadar büyükse ayırma gücü o kadar yüksektir (

G_1

için

0,82

,

G_2

için

0,55

,

G_3

için

0,18

).

Tahmini Süre:45s

Diskriminant (Ayırma) Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap