Diskriminant (Ayırma) Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı projesinde, illerdeki hava kalitesi istasyonlarından alınan veriler kullanılarak bölgeler "Riskli" ( $\Pi_1$ ) ve "Risksiz" ( $\Pi_2$ ) olarak iki gruba ayrılmak istenmektedir. Kurulan diskriminant fonksiyonunun performansını değerlendirmek üzere $500$ bölgeden oluşan bir eğitim veri seti kullanılarak aşağıdaki sınıflandırma matrisi elde edilmiştir:

Gerçek Durum	$\Pi_1$ 'e Atanan (Riskli)	$\Pi_2$ 'ye Atanan (Risksiz)	Toplam
$\Pi_1$ (Riskli)	$160$	$40$	$200$
$\Pi_2$ (Risksiz)	$30$	$270$	$300$

Araştırmacılar, geçmiş yıllara ait kapsamlı verilere dayanarak ülke genelinde bir bölgenin gerçekten riskli olma olasılığını (öncelikli olasılık) $p_1 = 0,30$ ve risksiz olma olasılığını $p_2 = 0,70$ olarak belirlemişlerdir.

Buna göre, elde edilen diskriminant fonksiyonu için hesaplanan beklenen hata oranı kaçtır?

0,13

0,14

0,15

0,17

0,87

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,13$

Cevap

Hesaplanan beklenen hata oranı

0,13

'tür.

Beklenen hata oranı, her bir grubun koşullu yanlış sınıflandırma olasılıklarının, o grubun öncelikli (prior) olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

\Pi_1

grubu için koşullu hata olasılığı

40/200 = 0,20

,

\Pi_2

grubu için ise

30/300 = 0,10

'dur. Öncelikli olasılıklarla ağırlıklandırıldığında:

(0,30 \cdot 0,20) + (0,70 \cdot 0,10) = 0,06 + 0,07 = 0,13

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

\Pi_1

grubu için koşullu yanlış sınıflandırma olasılığını (

P(2|1)

) hesaplayın.

P(2|1) = \frac{40}{200} = 0,20

Gerçekte

\Pi_1

(Riskli) grubunda olan toplam

200

bölgenin

40

tanesi yanlışlıkla

\Pi_2

(Risksiz) olarak sınıflandırılmıştır.

2

\Pi_2

grubu için koşullu yanlış sınıflandırma olasılığını (

P(1|2)

) hesaplayın.

P(1|2) = \frac{30}{300} = 0,10

Gerçekte

\Pi_2

(Risksiz) grubunda olan toplam

300

bölgenin

30

tanesi yanlışlıkla

\Pi_1

(Riskli) olarak sınıflandırılmıştır.

3

Beklenen hata oranı (Expected Error Rate - EER) formülünü uygulayın.

EER = p_1 \cdot P(2|1) + p_2 \cdot P(1|2)

Beklenen hata oranı, her bir grubun koşullu hata olasılıklarının, o grubun evrendeki öncelikli bulunma olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

4

Değerleri formülde yerine koyarak işlemleri tamamlayın.

EER = (0,30 \cdot 0,20) + (0,70 \cdot 0,10) = 0,06 + 0,07 = 0,13

Öncelikli olasılıklar (

p_1 = 0,30

,

p_2 = 0,70

) ile elde edilen koşullu hata olasılıkları çarpılarak genel hata oranı bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Beklenen Hata Oranı (Expected Error Rate) ve Koşullu Hata Olasılıkları

Soru 42Soru →

Orman Genel Müdürlüğü, ormanlık alanları meteorolojik ve topoğrafik özelliklerine göre "Yangın Riski Düşük" ( $\Pi_1$ ) ve "Yangın Riski Yüksek" ( $\Pi_2$ ) olmak üzere iki gruba ayırmak için bir diskriminant fonksiyonu geliştirmiştir.

Geçmiş yıllara ait verilere göre bir bölgenin $\Pi_1$ grubuna ait olma önsel olasılığı $p_1 = 0,70$ ve $\Pi_2$ grubuna ait olma önsel olasılığı $p_2 = 0,30$ olarak belirlenmiştir.

Riskli bir alanı ( $\Pi_2$ ) risksiz ( $\Pi_1$ ) olarak yanlış sınıflandırmanın maliyeti ( $C(1|2)$ ), risksiz bir alanı ( $\Pi_1$ ) riskli ( $\Pi_2$ ) olarak yanlış sınıflandırmanın maliyetinin ( $C(2|1)$ ) 4 katıdır. Yani $C(1|2) = 4 \cdot C(2|1)$ 'dir.

Geliştirilen sınıflandırma modelinin 300 farklı ormanlık alan üzerindeki test sonuçlarına göre oluşturulan sınıflandırma matrisi aşağıda verilmiştir:

Gerçek Durum	$\Pi_1$ Olarak Sınıflandırılan	$\Pi_2$ Olarak Sınıflandırılan	Toplam
$\Pi_1$ (Risksiz)	140	60	200
$\Pi_2$ (Riskli)	20	80	100

Buna göre, bu sınıflandırma kuralı için "Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM)" değeri, $C(2|1)$ maliyeti cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?

0,22

0,45

0,50

0,90

1,10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,45$

Cevap

Doğru cevap

0,45

'tir. Formülde koşullu olasılıklar, önsel olasılıklar ve maliyet katsayıları kullanılarak Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti bulunmuştur.

Sınıflandırma matrisine göre koşullu hata olasılıkları hesaplandığında

P(2|1) = 60/200 = 0,30

ve

P(1|2) = 20/100 = 0,20

'dir. Verilen önsel olasılıklar (

p_1=0,70, p_2=0,30

) ve maliyet ilişkisi (

C(1|2) = 4 \cdot C(2|1)

) ECM formülünde yerine konulduğunda:

(0,70 \cdot 0,30 \cdot 1) + (0,30 \cdot 0,20 \cdot 4) = 0,21 + 0,24 = 0,45

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM) formülünü yazmak.

ECM = p_1 \cdot P(2|1) \cdot C(2|1) + p_2 \cdot P(1|2) \cdot C(1|2)

İki gruplu diskriminant analizinde sınıflandırma performansının maliyetini ölçmek için önsel olasılıklar, koşullu hata olasılıkları ve yanlış sınıflandırma maliyetleri birleştirilir.

2

Sınıflandırma matrisinden koşullu yanlış sınıflandırma olasılıklarını (

P(2|1)

ve

P(1|2)

) hesaplamak.

P(2|1) = \frac{60}{200} = 0,30

ve

P(1|2) = \frac{20}{100} = 0,20

Koşullu olasılıklar, o gruba ait toplam gözlem sayısının (satır toplamı) yanlış gruba atanan kısmına bölünmesiyle elde edilir.

3

Verilen önsel olasılıkları ve maliyet ilişkisini parametrelere atamak.

p_1 = 0,70

,

p_2 = 0,30

ve

C(1|2) = 4 \cdot C(2|1)

Soru metninde,

\Pi_2

'yi

\Pi_1

olarak atamanın maliyetinin diğer durumun 4 katı olduğu ve grupların önsel olasılıkları verilmiştir.

4

Elde edilen tüm değerleri ECM formülünde yerine koyarak sonucu

C(2|1)

cinsinden hesaplamak.

ECM = (0,70 \cdot 0,30 \cdot 1) + (0,30 \cdot 0,20 \cdot 4) = 0,21 + 0,24 = 0,45

Tüm parametreler ECM denklemine yerleştirildiğinde, toplam maliyetin katsayısı

0,45

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Beklenen Yanlış Sınıflandırma Maliyeti (ECM) ve Koşullu Hata Olasılıkları

Soru 43Soru →

Bir tarım uzmanı, $5$ farklı buğday çeşidini birbirinden ayırmak amacıyla, buğday tanelerinden elde edilen $7$ farklı fizikokimyasal özelliği kullanarak çok gruplu diskriminant analizi uygulamıştır. Toplam $400$ buğday tanesinin incelendiği bu çalışmada, elde edilen sınıflandırma matrisinin esas köşegeni üzerindeki elemanların toplamı $288$ olarak bulunmuştur. Ayrıca, modele ilişkin elde edilen ilk iki diskriminant fonksiyonunun Wilks' $\Lambda$ (Lambda) değerleri sırasıyla $0,18$ ve $0,54$ olarak hesaplanmıştır.

Bu analiz sonuçlarına ve diskriminant analizinin teorik yapısına göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı, değişkenlerin serbestlik derecesine eşit olup

6

'dır ve Wilks'

\Lambda

değeri daha büyük olan ikinci fonksiyonun ayırma gücü daha yüksektir.

Doğru sınıflandırma oranı üzerinden elde edilen

\%28

'lik değer beklenen hata oranıdır ve bu oran grupların önsel olasılıkları (prior probabilities) bilinmeden doğrudan hesaplanabilir.

Modelin doğru sınıflandırma oranı

\%72

'dir ve daha küçük Wilks'

\Lambda

değerine sahip olduğu için birinci diskriminant fonksiyonunun ayırma gücü, ikinci fonksiyondan daha yüksektir.

Diskriminant analizi varsayımları gereği,

5

farklı buğday çeşidi bağımsız değişken,

7

farklı fizikokimyasal özellik ise bağımlı değişken olarak modelde yer almalıdır.

Sınıflandırma matrisinin izi (trace)

288

olduğundan, gruplar arası kareler toplamı da

288

'dir ve birinci fonksiyonun anlamlılığı matrisin determinantı üzerinden test edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin doğru sınıflandırma oranı $\%72$ 'dir ve daha küçük Wilks' $\Lambda$ değerine sahip olduğu için birinci diskriminant fonksiyonunun ayırma gücü, ikinci fonksiyondan daha yüksektir.

Cevap

Modelin doğru sınıflandırma oranının %72 olduğu ve Wilks' Lambda değeri daha küçük olan birinci diskriminant fonksiyonunun ayırma gücünün daha yüksek olduğunu belirten ifade doğrudur.

Verilen bilgiler doğrultusunda, sınıflandırma matrisinin izi (doğru sınıflandırılanlar)

288

ve toplam gözlem

400

'dür. Buradan doğru sınıflandırma oranı

288/400 = 0,72

(\%72) bulunur. Ayrıca Wilks' Lambda istatistiği, açıklanamayan varyansın bir ölçüsü olduğu için değeri

0

'a yaklaştıkça diskriminant fonksiyonunun ayırma gücünün arttığını gösterir. Bu nedenle

\Lambda = 0,18

olan birinci fonksiyon,

\Lambda = 0,54

olan ikinci fonksiyona göre grupları çok daha iyi ayırmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru sınıflandırma oranının (hit ratio) hesaplanması.

Doğru sınıflandırma oranı =

288 / 400 = 0,72

(\%72)

Sınıflandırma matrisinin esas köşegeni üzerindeki elemanlar, model tarafından doğru sınıflandırılan gözlemleri temsil eder. Oran, bu toplamın genel toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir.

2

Maksimum elde edilecek diskriminant fonksiyonu sayısının teorik olarak belirlenmesi.

s = \min(g-1, p) = \min(5-1, 7) = 4

Çok gruplu diskriminant analizinde çıkarılabilecek maksimum fonksiyon sayısı, grup sayısının bir eksiği ile bağımsız değişken sayısından küçük olanıdır.

3

Wilks' Lambda değerlerine göre fonksiyonların ayırma güçlerinin karşılaştırılması.

\Lambda_1 = 0,18

ve

\Lambda_2 = 0,54

olduğundan, birinci fonksiyonun ayırma gücü daha yüksektir.

Wilks' Lambda değeri

0

ile

1

arasında değişir ve açıklanamayan varyansı ifade eder. Değer küçüldükçe, fonksiyonun grupları ayırma gücü artar.

Anahtar Kavram

Çok Gruplu Diskriminant Analizinde Fonksiyonların Elde Edilmesi ve Yorumlanması

Soru 44Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, ağ trafiğini 'Normal', 'DDoS Saldırısı' ve 'Zararlı Yazılım İletişimi' olmak üzere üç farklı sınıfa ayırmak amacıyla diskriminant (ayırma) analizi uygulamaktadır. Uzman, analize dahil ettiği dört farklı sürekli ağ trafik değişkeninin ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) ayırma gücünü tek tek değerlendirmiş ve her bir değişken için aşağıdaki Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistiklerini hesaplamıştır:

* $X_1$ değişkeni için $\Lambda = 0.82$
* $X_2$ değişkeni için $\Lambda = 0.14$
* $X_3$ değişkeni için $\Lambda = 0.96$
* $X_4$ değişkeni için $\Lambda = 0.48$

Uzman ayrıca, gruplar arası ayırımın genel düzeyini değerlendirmek için sınıf merkezleri arasındaki Mahalanobis uzaklıklarını ( $D^2$ ) incelemektedir.

Buna göre, elde edilen istatistiklerin yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Ağ trafiği sınıflarını birbirinden ayırmada en yüksek katkıyı

X_2

değişkeni sağlamaktadır ve gruplar arasındaki Mahalanobis uzaklıklarının (

D^2

) büyümesi ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Sınıfları ayırmada en güçlü değişken

X_3

'tür; çünkü Wilks' Lambda değerinin 1'e en yakın olması, söz konusu değişkenin açıklayıcılık gücünün maksimum düzeyde olduğunu gösterir.

X_2

değişkeni en zayıf ayırıcıdır; çünkü düşük Wilks' Lambda değeri grup içi varyansın çok yüksek olduğunu, dolayısıyla grupların birbirinden ayrılamadığını ifade eder.

X_4

değişkeninin ayırma gücü

X_1

'den daha düşüktür; çünkü Wilks' Lambda istatistiği büyüdükçe grupların merkezleri arasındaki Mahalanobis uzaklığı da artar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ağ trafiği sınıflarını birbirinden ayırmada en yüksek katkıyı $X_2$ değişkeni sağlamaktadır ve gruplar arasındaki Mahalanobis uzaklıklarının ( $D^2$ ) büyümesi ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Cevap

Wilks' Lambda değerinin 0'a yaklaşması ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterdiği için en güçlü ayırıcı X2'dir ve Mahalanobis uzaklığının büyümesi grupların iyi ayrıştığını ifade eder.

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiği 0 ile 1 arasında değer alır ve bu değer 0'a yaklaştıkça grup içi varyasyonun toplam varyasyon içindeki payı azalır, dolayısıyla modelin grupları ayırma gücü artar. Verilen değişkenler arasında en küçük

\Lambda

değerine (0.14) sahip olan

X_2

, sınıfları ayırmada en yüksek katkıyı sağlar. Ayrıca, Mahalanobis uzaklığı (

D^2

) grupların merkezleri arasındaki istatistiksel mesafeyi ölçer; bu uzaklığın artması grupların birbirinden daha belirgin şekilde ayrıştığının doğrudan bir göstergesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin yorumlanma kuralını hatırlamak.

Wilks' Lambda değeri 0'a ne kadar yakınsa, değişkenin grupları ayırma gücü o kadar yüksektir.

\Lambda

oranı, grup içi varyansın toplam varyansa oranını verir. Düşük oran, gruplar arası farklılığın (ayırma gücünün) yüksek olduğu anlamına gelir.

2

Verilen Wilks' Lambda değerlerini karşılaştırarak en güçlü ayırıcı değişkeni belirlemek.

En küçük değer

\Lambda = 0.14

ile

X_2

değişkenine aittir. Dolayısıyla en güçlü ayırıcı

X_2

'dir.

Grupları birbirinden en net şekilde ayırabilen değişken en düşük

\Lambda

değerine sahip olandır.

3

Mahalanobis uzaklığının (

D^2

) ayırma gücüyle ilişkisini değerlendirmek.

Mahalanobis uzaklığı, grup merkezleri (sentroidleri) arasındaki mesafeyi ölçer. Bu mesafenin büyük olması, grupların birbirinden daha iyi ayrıştığını gösterir.

Gruplar arası mesafe ne kadar açılırsa, sınıflandırma hataları o kadar azalır ve ayırma işlemi o kadar başarılı olur.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda ve Mahalanobis Uzaklığı Yorumu

Soru 45Soru →

Bir iklim bilimci, bir bölgedeki mikroklima alanlarını sıcaklık, nem, rüzgar hızı, bitki örtüsü yoğunluğu ve toprak nemi olmak üzere $5$ farklı değişkene dayanarak "Kurak", "Yarı Kurak", "Ilıman" ve "Nemli" olmak üzere $4$ farklı gruba ayırmak için çok gruplu diskriminant analizi uygulamıştır.

Analiz sonucunda modelin genel Wilks' Lambda değeri $0.15$ ( $p < 0.05$ ) olarak hesaplanmış ve sınıflandırma matrisinde incelenen toplam $200$ bölgeden $160$ 'ı kendi orijinal grubuna doğru şekilde atanmıştır.

Buna göre, kurulan modelle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

3

'tür, doğru sınıflandırma oranı

\%80

'dir ve Wilks' Lambda değerinin sıfıra yakın olması grupların birbirinden iyi ayrıştığını gösterir.

Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

3

'tür, doğru sınıflandırma oranı

\%80

'dir ancak Wilks' Lambda değerinin

1

'e yakın olmaması gruplar arası ayırma gücünün zayıf olduğunu gösterir.

Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

3

'tür, doğru sınıflandırma oranı

\%20

'dir ve Wilks' Lambda değerinin sıfıra yakın olması grupların birbirinden iyi ayrıştığını gösterir.

Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

4

'tür, doğru sınıflandırma oranı

\%80

'dir ve Wilks' Lambda değerinin sıfıra yakın olması grupların birbirinden iyi ayrıştığını gösterir.

Modelin istatistiksel olarak geçerli olabilmesi için mikroklima gruplarını ifade eden bağımlı değişkenin sürekli ölçekle ölçülmüş olması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı $3$ 'tür, doğru sınıflandırma oranı $\%80$ 'dir ve Wilks' Lambda değerinin sıfıra yakın olması grupların birbirinden iyi ayrıştığını gösterir.

Cevap

Elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı 3'tür, doğru sınıflandırma oranı %80'dir ve Wilks' Lambda değerinin sıfıra yakın olması grupların birbirinden iyi ayrıştığını gösterir.

Verilen senaryoda g=4 grup ve p=5 bağımsız değişken bulunmaktadır. Maksimum fonksiyon sayısı min(g-1, p) = min(3, 5) = 3 olarak doğru hesaplanmıştır. Sınıflandırma başarısı 160/200 hesabıyla %80 bulunmuştur. Wilks' Lambda değerinin 0.15 gibi 0'a yakın bir değer çıkması, modelin grupları ayırmada oldukça başarılı olduğunu teyit eder. Bu üç bilginin de doğru sunulduğu seçenek doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısını hesaplama

min(4 - 1, 5) = 3 olarak bulunur.

Çok gruplu diskriminant analizinde elde edilebilecek maksimum fonksiyon sayısı, grup sayısının bir eksiği (g-1) ile bağımsız değişken sayısı (p) değerlerinin minimumu alınarak hesaplanır.

2

Doğru sınıflandırma oranını (hit ratio) hesaplama

160 / 200 = 0.80 (%80) olarak bulunur.

Sınıflandırma matrisinde doğru sınıflandırılan birimlerin toplam birim sayısına oranı modelin doğru sınıflandırma başarısını verir.

3

Wilks' Lambda değerini yorumlama

0.15 değeri 0'a yakın olduğu için gruplar arası ayrımın güçlü olduğu sonucuna varılır.

Wilks' Lambda istatistiği 0 ile 1 arasında değer alır. 0'a yaklaşması gruplar arası varyansın yüksek olduğunu (iyi ayrışma), 1'e yaklaşması ise grup ortalamalarının farksız olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Çok Gruplu Diskriminant Analizinde Fonksiyon Sayısı ve Model Başarısının Yorumlanması

Soru 46Soru →

Bir çevre mühendisi, su havzalarının kirlilik seviyelerini (Temiz, Az Kirlenmiş, Çok Kirlenmiş) sınıflandırmak amacıyla 8 farklı kimyasal ölçüm üzerinden adım adım (stepwise) diskriminant analizi uygulamaktadır. Analizin bir aşamasında modele $X_1$ ve $X_2$ değişkenleri dâhil edilmiş olup, bu modelin Wilks' Lambda değeri $0,55$ olarak hesaplanmıştır.

Bir sonraki adımda, modele dâhil edilmeye aday $X_3$ ve $X_4$ değişkenleri için şu sonuçlar elde edilmiştir:
- Modele sadece $X_3$ eklendiğinde yeni Wilks' Lambda değeri $0,15$ olmaktadır.
- Modele sadece $X_4$ eklendiğinde yeni Wilks' Lambda değeri $0,48$ olmaktadır.

Ayrıca, yeni bir değişken modele alındıktan sonra yapılan geriye dönük önem kontrolünde, daha önce modele dâhil edilmiş olan $X_1$ değişkeninin ayrım gücüne sağladığı kısmi katkıyı test eden $F_{\text{çıkar}}$ (F-to-remove) istatistiği, belirlenen kritik tolerans değerinin altına inmiştir.

Bu bilgilere ve adım adım diskriminant analizinin değişken seçimi kriterlerine göre, araştırmacının izlemesi gereken istatistiksel prosedür aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Gruplar arası ayrım gücünü en yüksek düzeye çıkardığı (Wilks' Lambda değerini en aza indirdiği) için öncelikle

X_3

değişkeni modele alınmalı, hemen ardından kısmi katkısı anlamsız hâle gelen

X_1

değişkeni modelden çıkarılmalıdır.

Wilks' Lambda değerinin büyümesi modelin ayırma gücünün arttığını gösterdiğinden, modele

0,48

değeriyle

X_4

değişkeni dâhil edilmeli ve

F_{\text{çıkar}}

istatistiği dikkate alınmaksızın analize devam edilmelidir.

Adım adım analizde

F_{\text{gir}}

ve

F_{\text{çıkar}}

istatistiklerinin geçerli olabilmesi için kategorik olan kirlilik seviyesi değişkeninin sürekli bir değişkene dönüştürülerek analizin tekrarlanması gerekir.

Wilks' Lambda değerini en çok düşüren

X_3

değişkeni modele dâhil edilmeli, ancak beklenen hata oranının yanlış hesaplanmaması için

X_1

değişkeni çıkarılmak yerine öncelik olasılıkları (prior probabilities) yeniden belirlenmelidir.

Değişkenlerin modele giriş sırası yalnızca aday değişkenlerin kendi aralarındaki korelasyona bağlı olduğundan, Wilks' Lambda değerleri yerine doğrudan varyans-kovaryans matrisinin iz (trace) değerlerine bakılarak

X_4

modele alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gruplar arası ayrım gücünü en yüksek düzeye çıkardığı (Wilks' Lambda değerini en aza indirdiği) için öncelikle $X_3$ değişkeni modele alınmalı, hemen ardından kısmi katkısı anlamsız hâle gelen $X_1$ değişkeni modelden çıkarılmalıdır.

Cevap

Doğru prosedür, Wilks' Lambda değerini en fazla düşüren değişkenin modele eklenmesini ve kısmi katkısını yitiren eski değişkenin modelden çıkarılmasını ifade eden seçenektir.

Adım adım (stepwise) diskriminant analizinde algoritmik süreç, her adımda modele en büyük katkıyı sağlayacak değişkenin seçilmesine (

F_{\text{gir}}

maksimizasyonu veya Wilks' Lambda minimizasyonu) ve eş zamanlı olarak, modele önceden dâhil edilmiş değişkenlerin yeni durumda katkılarının devam edip etmediğinin (

F_{\text{çıkar}}

istatistiği ile) kontrol edilmesine dayanır. Olay örgüsünde

X_3

'ün Wilks' Lambda'yı en çok düşüren değişken olması onun modele alınmasını gerektirir.

X_3

alındıktan sonra

X_1

'in kısmi katkısının kritik değerin altına düşmesi ise,

X_1

'in açıklayıcılığının

X_3

tarafından kapsandığını gösterir ve algoritma gereği

X_1

modelden çıkarılır.

Adım Adım Çözüm

1

Aday değişkenlerin (

X_3

ve

X_4

) Wilks' Lambda üzerindeki etkilerini karşılaştır.

X_3

eklendiğinde Wilks' Lambda

0,15

'e,

X_4

eklendiğinde ise

0,48

'e düşmektedir.

Adım adım diskriminant analizinde modele ilk girecek değişken, gruplar arası ayrımı en çok artıran, yani Wilks' Lambda istatistiğini en küçük yapan değişkendir.

2

Modele eklenecek yeni değişkeni belirle.

X_3

değişkeni (

0,15 < 0,48

) modele dâhil edilir.

Daha küçük Wilks' Lambda değeri, grup içi varyansın toplam varyansa oranının daha düşük olduğunu, dolayısıyla ayrım gücünün daha yüksek olduğunu gösterir.

3

F_{\text{çıkar}}

istatistiği düşen

X_1

değişkeni için atılacak adımı belirle.

X_1

değişkeni modelden çıkarılır.

Adım adım yöntemin temel özelliği, yeni bir değişken modele girdiğinde daha önce girmiş olan değişkenlerin önemini (kısmi F değerini) yeniden test etmesidir.

X_3

'ün varlığında

X_1

'in ayrım gücüne ek katkısı anlamsızlaştığı için (

F_{\text{çıkar}}

kritik değerin altında), modelin sadeliğini korumak amacıyla

X_1

çıkarılır.

Anahtar Kavram

Adım Adım Diskriminant Analizinde İleri Seçim ve Geriye Doğru Eleme Kuralları

Soru 47Soru →

Bir eğitim bilimleri araştırmacısı, üniversite öğrencilerinin yerleştikleri bölümleri (Eşit Ağırlık, Sayısal, Sözel) temel alarak, dört farklı bilişsel yetenek testinden ( $T_1, T_2, T_3, T_4$ ) alınan puanların ayırma gücünü incelemek amacıyla diskriminant (ayırma) analizi uygulamıştır.

Her bir yetenek testinin grupları ayırma gücünü bağımsız olarak değerlendirmek için hesaplanan Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) değerleri aşağıda verilmiştir:
$\Lambda_1 = 0,91 \quad \Lambda_2 = 0,18 \quad \Lambda_3 = 0,76 \quad \Lambda_4 = 0,45$

Araştırmacı ayrıca bölümlerin ağırlık merkezleri (sentroidleri) arasındaki Mahalanobis uzaklıklarını ( $D^2$ ) hesaplamış ve en yüksek uzaklığın $D^2(\text{Sayısal}, \text{Sözel}) = 15,4$ , en düşük uzaklığın ise $D^2(\text{Eşit Ağırlık}, \text{Sözel}) = 3,2$ olduğunu belirlemiştir.

Buna göre, analiz sonuçlarının yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Grupları birbirinden ayırmada en fazla katkı sağlayan test

T_2

'dir ve Sayısal ile Sözel bölümleri arasındaki yanlış sınıflandırma olasılığı en düşüktür.

Grupları ayırma gücü en yüksek olan test Wilks' Lambda değeri en büyük olan

T_1

'dir ve bu testin varyansı gruplar arasında maksimize olmuştur.

Wilks' Lambda değeri, matrislerin izlerinin (trace) birbirine oranıyla hesaplandığından,

\Lambda

değerlerinin 1'e yaklaşması modelin ayırma gücünün arttığını gösterir.

Eşit Ağırlık ile Sözel bölümleri arasındaki Mahalanobis uzaklığının küçük olması, bu iki grup arasındaki beklenen doğru sınıflandırma oranının yüksek olacağını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Grupları birbirinden ayırmada en fazla katkı sağlayan test $T_2$ 'dir ve Sayısal ile Sözel bölümleri arasındaki yanlış sınıflandırma olasılığı en düşüktür.

Cevap

En düşük Wilks' Lambda değerine sahip değişkenin en güçlü ayırıcı olduğunu ve Mahalanobis uzaklığı en büyük olan gruplar arasındaki hata olasılığının en düşük olduğunu belirten seçenektir.

Diskriminant analizinde değişkenlerin ayırma gücü Wilks' Lambda istatistiği ile ters orantılıdır; bu nedenle en küçük değere sahip olan test, grupları en iyi ayıran değişkendir. Ayrıca, Mahalanobis uzaklığı iki grubun sentroidleri (merkezleri) arasındaki ayrışmayı ifade eder; uzaklık ne kadar büyükse gruplar o kadar farklıdır ve bu iki grup arasında bir gözlemi yanlış sınıflandırma olasılığı o derece düşüktür.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda değerlerini yorumlayarak değişkenlerin ayırma güçlerini karşılaştırın.

Wilks' Lambda (

\Lambda

) değeri 0 ile 1 aralığında değer alır. Değer 0'a yaklaştıkça gruplar arası varyansın grup içi varyansa göre büyük olduğu, yani değişkenin ayırma gücünün yüksek olduğu anlaşılır. En küçük değere sahip olan

T_2

(

\Lambda = 0,18

) en güçlü ayırıcıdır.

Değişkenlerin modele yaptıkları katkıyı belirlemek için

\Lambda

değerlerinin büyüklük sıralaması ters orantılı olarak değerlendirilmelidir.

2

Mahalanobis uzaklıklarını analiz ederek gruplar arası örtüşme ve hata olasılıklarını çıkarın.

Mahalanobis uzaklığı (

D^2

), iki grubun ağırlık merkezleri arasındaki istatistiksel uzaklığı ölçer.

D^2

büyüdükçe gruplar birbirinden uzaklaşır ve örtüşme azalır. Sayısal ve Sözel arasındaki

D^2 = 15,4

en yüksek uzaklıktır, bu nedenle bu iki grup en net ayrışan ve birbirine karıştırılma (yanlış sınıflandırma) ihtimali en düşük olan gruplardır.

Sınıflandırma kurallarında iki grup birbirine ne kadar uzaksa, bir bireyin yanlışlıkla diğer gruba atanma olasılığı o kadar düşer.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlanması ve Mahalanobis uzaklığının sınıflandırma hata oranı ile ilişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 48Soru →

Bir insan kaynakları uzmanı, işe başvuran adayları "İşe Alınmalı", "Yedek Listeye Alınmalı" ve "Reddedilmeli" olmak üzere üç gruba ayırmak amacıyla diskriminant analizi uygulamıştır. Analizde bağımsız değişken olarak adayların "Genel yetenek sınav puanı ( $X_1$ )", "Mülakat puanı ( $X_2$ )" ve "Mesleki deneyim süresi ( $X_3$ )" kullanılmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen ilk iki diskriminant fonksiyonuna ait standartlaştırılmış katsayılar ve Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken / İstatistik	1. Fonksiyon ( $Z_1$ )	2. Fonksiyon ( $Z_2$ )
$X_1$ (Genel Yetenek)	0,82	-0,35
$X_2$ (Mülakat)	0,55	0,78
$X_3$ (Deneyim)	-0,18	0,65
Wilks' Lambda ( $\Lambda$ )	0,15	0,72

Bu analiz sonuçları ve diskriminant analizinin teorik yapısı dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Birinci ayırma fonksiyonunda grupları ayırt etmede en büyük katkıyı "Genel yetenek sınav puanı" (

X_1

) sağlamaktadır ve bu fonksiyonun grupları ayırma gücü ikinci fonksiyondan daha yüksektir.

İkinci fonksiyonun Wilks' Lambda (

\Lambda

) değeri (0,72) daha büyük olduğu için, ikinci fonksiyonun adayları farklı gruplara ayırma yeteneği birinci fonksiyondan daha yüksektir.

Analiz sonunda oluşturulan sınıflandırma matrisinin (karmaşıklık matrisi) esas köşegenindeki elemanların toplamının genel toplama bölünmesi, bu modelin beklenen hata oranını verir.

Adayların yerleştirileceği gruplar kategorik bir yapı yerine sürekli bir ölçekte ölçülseydi de bu verilere diskriminant analizi uygulanabilirdi.

Diskriminant fonksiyon katsayılarını (özvektörleri) bulurken gruplariçi (

W

) ve gruplararası (

B

) varyans-kovaryans matrislerinin çarpım yönü önemsizdir; çünkü

W^{-1}B

ile

BW^{-1}

çarpımları matrislerde değişme özelliğinden dolayı daima birbirine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci ayırma fonksiyonunda grupları ayırt etmede en büyük katkıyı "Genel yetenek sınav puanı" ( $X_1$ ) sağlamaktadır ve bu fonksiyonun grupları ayırma gücü ikinci fonksiyondan daha yüksektir.

Cevap

Birinci ayırma fonksiyonunda grupları ayırt etmede en büyük katkıyı "Genel yetenek sınav puanı" (

X_1

) sağlamaktadır ve bu fonksiyonun grupları ayırma gücü ikinci fonksiyondan daha yüksektir.

Standartlaştırılmış diskriminant katsayılarının mutlak değerce büyüklüğü, ilgili değişkenin ayırma fonksiyonuna olan katkısını gösterir. Birinci fonksiyonda mutlak değerce en büyük katsayı 0,82 ile Genel Yetenek Sınav Puanına (

X_1

) aittir. Ayrıca, Wilks' Lambda (

\Lambda

) değeri 0 ile 1 arasında değer alır ve 0'a yaklaştıkça gruplar arası varyansın yüksek (ayırma gücünün fazla) olduğu anlaşılır. İlk fonksiyonun Wilks' Lambda değeri (0,15), ikinci fonksiyondan (0,72) küçük olduğu için ayırma gücü daha yüksektir.

Adım Adım Çözüm

1

Standartlaştırılmış katsayıların incelenmesi

Birinci fonksiyonda mutlak değerce en büyük katsayı 0,82 ile

X_1

(Genel Yetenek) değişkenine aittir.

Standartlaştırılmış katsayıların mutlak değeri, değişkenin ayırma fonksiyonundaki göreli önemini (katkısını) gösterir.

2

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiklerinin karşılaştırılması

Birinci fonksiyonun

\Lambda

değeri (0,15), ikinci fonksiyonun değerinden (0,72) daha küçüktür.

Wilks' Lambda değeri 0 ile 1 arasında değişir; 0'a yaklaşması açıklanamayan varyansın düşük olduğunu, dolayısıyla ayırma gücünün daha yüksek olduğunu ifade eder.

3

Diğer seçeneklerin teorik varsayımlar açısından değerlendirilmesi

Bağımlı değişkenin kategorik olması gerektiği, hata oranının köşegen dışı elemanlarla hesaplandığı ve matrislerde çarpmanın değişme özelliği olmadığı tespit edilmiştir.

Diskriminant analizinin temel kavramları ve matris cebiri kuralları hatalı ifadeleri elemek için kullanılır.

Anahtar Kavram

Diskriminant Fonksiyonlarının Elde Edilmesi ve Katsayıların Yorumlanması

Soru 49Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri bilimcisi, müşterileri satın alma davranışlarına göre "Sadık", "Potansiyel", "Riskli" ve "Kayıp" olmak üzere $4$ farklı segmente ayırmak istemektedir. Bu amaçla, müşterilerin platformdaki hareketlerini yansıtan $6$ farklı sürekli değişken (ziyaret sıklığı, ortalama sepet tutarı, sepette bekleme süresi vb.) kullanılarak Çok Gruplu Diskriminant Analizi uygulanmıştır.

Analiz sonucunda Wilks' Lambda değeri $0.12$ ( $p < 0.001$ ) olarak hesaplanmış ve oluşturulan sınıflandırma matrisinde toplam $800$ müşteriden $600$ 'ünün başlangıçtaki gerçek segmenti ile modelin atadığı segmentin birbiriyle eşleştiği görülmüştür.

Buna göre, yapılan analiz ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Wilks' Lambda değerinin

0.12

gibi küçük bir değer çıkması, modelin grupları ayırma gücünün oldukça zayıf olduğunu ve gruplar arası farklılığın olmadığını gösterir.

Diskriminant Analizi varsayımları gereği, analize dahil edilen bağımlı değişkenin (müşteri segmentleri) sürekli bir metrik ölçekte ölçülmüş olması zorunludur.

Oluşturulan sınıflandırma matrisine göre modelin genel hata oranı

\%75

, doğru sınıflandırma oranı (hit ratio) ise

\%25

olarak hesaplanır.

Modele ait türetilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı, grup sayısı ve bağımsız değişken sayısı dikkate alındığında

3

'tür.

Diskriminant fonksiyonlarının açıklanan varyans oranları, ilgili kovaryans matrisinin determinantının iz (trace) değerine bölünmesiyle hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modele ait türetilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı, grup sayısı ve bağımsız değişken sayısı dikkate alındığında $3$ 'tür.

Cevap

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısının 3 olduğunu belirten ifade doğrudur.

Çok gruplu diskriminant analizinde elde edilebilecek maksimum fonksiyon sayısı

\min(g-1, p)

kuralı ile belirlenir. Problemde

4

grup (

g=4

) ve

6

bağımsız değişken (

p=6

) bulunmaktadır. Bu durumda

\min(4-1, 6) = 3

adet diskriminant fonksiyonu türetilebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımlı değişkenin grup sayısını (

g

) ve bağımsız değişken sayısını (

p

) belirleme.

Bağımlı değişken 4 kategoriden ("Sadık", "Potansiyel", "Riskli", "Kayıp") oluştuğu için

g=4

'tür. Analizde kullanılan sürekli bağımsız değişken sayısı

p=6

'dır.

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısını hesaplamak için bu parametrelere ihtiyaç vardır.

2

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısını hesaplama.

Maksimum fonksiyon sayısı formülü

\min(g-1, p)

'dir.

\min(4-1, 6) = \min(3, 6) = 3

olarak bulunur.

Diskriminant analizi, grupları ayırmak için en fazla

g-1

veya

p

kadar (hangisi küçükse) bağımsız doğrusal kombinasyon oluşturabilir.

3

Wilks' Lambda değerini yorumlama.

0.12

değeri

0

'a yakın olduğu için modelin ayırma gücünün yüksek olduğu sonucuna varılır.

Wilks' Lambda istatistiği, gruplar içi varyansın toplam varyansa oranını ifade eder ve küçüldükçe grup ortalamalarının birbirinden anlamlı derecede farklılaştığını gösterir.

4

Doğru sınıflandırma oranını (hit ratio) hesaplama.

Hit Ratio = Doğru Tahmin / Toplam Gözlem =

600 / 800 = 0.75

(

\%,75

). Hata oranı ise

1 - 0.75 = 0.25

(

\%,25

)'tir.

Modelin sınıflandırma performansını doğru değerlendirmek için sınıflandırma matrisindeki isabetli tahminlerin oranına bakılır.

Anahtar Kavram

Çok gruplu diskriminant analizinde fonksiyon sayısının belirlenmesi, Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlanması ve sınıflandırma başarı oranlarının hesaplanması.

Soru 50Soru →

Bir sivil havacılık otoritesi, uçuş verilerini kullanarak uçuşları "Güvenli Uçuş" ( $\Pi_1$ ) ve "Riskli Uçuş" ( $\Pi_2$ ) olmak üzere iki sınıfa ayırmak için bir diskriminant fonksiyonu geliştirmiştir. Geliştirilen model, toplam 500 uçuşluk bir test veri setine uygulanmış ve aşağıdaki sınıflandırma matrisi elde edilmiştir:

Gerçek Sınıf	$\Pi_1$ Olarak Sınıflandırılan	$\Pi_2$ Olarak Sınıflandırılan	Toplam
$\Pi_1$ (Güvenli)	360	40	400
$\Pi_2$ (Riskli)	15	85	100

Havacılık otoritesinin geçmiş verilerine göre, genel uçuş trafiği içinde bir uçuşun güvenli olma olasılığı (öncel olasılık) $p_1 = 0,90$ ve riskli olma olasılığı $p_2 = 0,10$ 'dur.

Güvenli bir uçuşu riskli olarak sınıflandırmanın maliyeti $c(2|1) = 50$ birim, riskli bir uçuşu güvenli olarak sınıflandırmanın maliyeti ise $c(1|2) = 200$ birim olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu sınıflandırma kuralı için Beklenen Hata Maliyeti (Expected Cost of Misclassification - ECM) aşağıdakilerden hangisidir?

7,5

10,0

15,2

17,5

18,75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,5

Cevap

Beklenen Hata Maliyeti (ECM) 7,5 birimdir.

Beklenen Hata Maliyeti (ECM) hesaplanırken her bir yanlış sınıflandırmanın maliyeti, ilgili yanlış sınıflandırma olasılığı ve sınıfın popülasyondaki öncel olasılığı ile çarpılır. Gerçekte

\Pi_1

olan bir uçuşun

\Pi_2

olarak atanma olasılığı

P(2|1) = 40/400 = 0,10

'dur. Gerçekte

\Pi_2

olan bir uçuşun

\Pi_1

olarak atanma olasılığı

P(1|2) = 15/100 = 0,15

'tir. Verilen öncel olasılıklar (

p_1=0,90

,

p_2=0,10

) ve maliyetler (

c(2|1)=50

,

c(1|2)=200

) kullanıldığında;

ECM = (50 \times 0,10 \times 0,90) + (200 \times 0,15 \times 0,10) = 4,5 + 3,0 = 7,5

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sınıflandırma matrisinden koşullu hata olasılıklarını hesaplama

P(2|1) = 40 / 400 = 0,10

ve

P(1|2) = 15 / 100 = 0,15

Gerçekte

\Pi_1

olanların ne kadarının

\Pi_2

olarak ve gerçekte

\Pi_2

olanların ne kadarının

\Pi_1

olarak yanlış sınıflandırıldığını bulmak için satır toplamları kullanılır.

2

Beklenen Hata Maliyeti (ECM) formülünü yazma

ECM = c(2|1) \cdot P(2|1) \cdot p_1 + c(1|2) \cdot P(1|2) \cdot p_2

Her bir hata türünün maliyeti, o hatanın yapılma olasılığı ve sınıfın öncel olasılığı ile çarpılarak toplanmalıdır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyma

ECM = (50 \cdot 0,10 \cdot 0,90) + (200 \cdot 0,15 \cdot 0,10)

Maliyetler, hesaplanan koşullu olasılıklar ve soruda verilen gerçek öncel olasılıklar (

p_1=0,90

,

p_2=0,10

) denkleme entegre edilir.

4

Matematiksel işlemi tamamlama

ECM = 4,5 + 3,0 = 7,5

Çarpma ve toplama işlemleri yapılarak nihai beklenen maliyete ulaşılır.

Anahtar Kavram

Beklenen Hata Maliyeti (Expected Cost of Misclassification)

Soru 51Soru →

Bir şehir bölge planlamacısı, bir büyükşehirdeki mahalleleri sosyoekonomik gelişmişlik düzeylerine göre "Düşük", "Orta-Düşük", "Orta-Yüksek" ve "Yüksek" olmak üzere $4$ farklı gruba ayırmak amacıyla Çok Gruplu Diskriminant Analizi uygulamıştır. Bu analizde, her mahalle için eğitim seviyesi, sağlık altyapısı, kişi başına düşen yeşil alan, ulaşım erişilebilirliği, hanehalkı büyüklüğü ve ortalama gelir düzeyi olmak üzere $6$ farklı sürekli değişken kullanılmıştır.

Analiz sonucunda modelin genel Wilks' Lambda değeri $0.05$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca oluşturulan sınıflandırma matrisine göre, analize dahil edilen toplam $200$ mahalleden $170$ 'i ait oldukları gruplara doğru bir şekilde atanmıştır.

Buna göre; modelden elde edilebilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı, Wilks' Lambda istatistiğinin yorumu ve analiz sonucunda elde edilen doğru sınıflandırma oranı (hit ratio) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

3

; Gruplar arası ayırma gücü yüksektir ; \%85

3

; Gruplar arası ayırma gücü düşüktür ; \%85

3

; Gruplar arası ayırma gücü yüksektir ; \%15

6

; Gruplar arası ayırma gücü düşüktür ; \%85

4

; Gruplar arası ayırma gücü yüksektir ; \%15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$ ; Gruplar arası ayırma gücü yüksektir ; \%85

Cevap

Modelden elde edilebilecek maksimum fonksiyon sayısı

3

, Wilks' Lambda değeri sıfıra çok yakın olduğu için gruplar arası ayırma gücü yüksektir ve doğru sınıflandırma oranı (hit ratio)

\%85

'tir.

Verilen senaryoda maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı

\min(g-1, p) = \min(4-1, 6) = 3

'tür. Wilks' Lambda istatistiği

0

'a çok yakın (

0.05

) olduğundan gruplar arası ayırma gücü oldukça yüksektir. Doğru sınıflandırma oranı ise doğru sınıflandırılanların tüm gözlemlere bölümüyle (

\frac{170}{200} = \%85

) hesaplanır. Bu üç hesaplama ve doğru yorumun bir arada verildiği seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Maksimum diskriminant fonksiyonu sayısının hesaplanması

Grup sayısı

g=4

ve değişken sayısı

p=6

'dır. Maksimum fonksiyon sayısı

\min(g-1, p) = \min(4-1, 6) = \min(3, 6) = 3

olarak bulunur.

Çok gruplu diskriminant analizinde çıkarılabilecek maksimum diskriminant fonksiyonu sayısı, grup sayısının bir eksiği ile bağımsız değişken sayısından hangisi küçükse ona eşittir.

2

Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlanması

Wilks' Lambda değeri

0.05

olarak verilmiştir. Bu değer

0

'a çok yakın olduğundan, gruplar arası ayırma gücünün (farklılığın) yüksek olduğu sonucuna varılır.

Wilks' Lambda değeri

0

ile

1

arasında değişir. Bu değer

0

'a ne kadar yakınsa, grup ortalamaları arasındaki fark o kadar anlamlıdır ve modelin ayırt ediciliği o kadar yüksektir.

3

Doğru sınıflandırma oranının (hit ratio) hesaplanması

Toplam gözlem sayısı

200

, doğru sınıflandırılan gözlem sayısı

170

'tir. Hit ratio

= \frac{170}{200} = 0.85

yani

\%85

olarak bulunur.

Doğru sınıflandırma oranı (isabet oranı), sınıflandırma matrisinde doğru tahmin edilen gözlemlerin (köşegen toplamının) genel toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Çok Gruplu Diskriminant Analizinde Fonksiyon Sayısı, Wilks' Lambda ve İsabet Oranı

Soru 52Soru →

Bir gıda kalite kontrol laboratuvarında görevli bir araştırmacı, zeytinyağı örneklerini üretildikleri coğrafi bölgelere (Ege, Marmara, Akdeniz) göre sınıflandırmak istemektedir. Bu amaçla 12 farklı yağ asidi bileşeninin ölçüm değerlerini kullanarak Adım Adım (Stepwise) Diskriminant Analizi uygulamaktadır.

Analizin değişken seçimi aşamasında, modele henüz girmemiş olan değişkenlerin modele dâhil edilme ve modeldeki mevcut değişkenlerin çıkarılma durumları algoritmik olarak değerlendirilmektedir.

Buna göre, araştırmacının adım adım diskriminant analizinde değişkenleri modele dâhil etme (F-to-enter) ve modelden çıkarma (F-to-remove) süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modele dâhil edilecek yeni değişken, modelde olmayanlar arasından Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğini en çok küçülten ve hesaplanan kısmî

F

değeri

F_{\text{ekleme}}

kritik değerinden büyük olan değişkendir.

Gruplar arası ayrım gücünü maksimize etmek amacıyla modele eklenecek yeni değişken, Wilks' Lambda (

\Lambda

) değerini en çok büyüten ve hesaplanan

F

değeri

F_{\text{ekleme}}

sınırını aşan değişkendir.

Adım adım değişken seçimi algoritmalarının çalışabilmesi için analizdeki bağımlı değişken konumundaki coğrafi bölge gruplarının kesikli (kategorik) değil, sürekli sayısal bir yapıda ölçülmüş olması zorunludur.

Modeldeki bir değişkenin dışarıda bırakılması (F-to-remove), o değişkenin hesaplanan kısmî

F

değerinin belirlenen

F_{\text{çıkarma}}

kritik değerinden sürekli olarak yüksek çıkması sonucunda uygulanır.

Adım adım analizde değişkenlerin modele eklenme sırası, Wilks' Lambda değerlerinin doğrudan gruplardaki 'açıklanan varyans oranı' olarak kabul edilip büyükten küçüğe sıralanmasıyla belirlenir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modele dâhil edilecek yeni değişken, modelde olmayanlar arasından Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) istatistiğini en çok küçülten ve hesaplanan kısmî $F$ değeri $F_{\text{ekleme}}$ kritik değerinden büyük olan değişkendir.

Cevap

Modele dâhil edilecek yeni değişken, modelde olmayanlar arasından Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğini en çok küçülten ve hesaplanan kısmî

F

değeri

F_{\text{ekleme}}

kritik değerinden büyük olan değişkendir.

Adım adım (stepwise) diskriminant analizinde, algoritmik seçim süreci iki temel eşik değere dayanır:

F_{\text{ekleme}}

(F-to-enter) ve

F_{\text{çıkarma}}

(F-to-remove). İleriye doğru seçim aşamasında algoritma, dışarıda kalan değişkenler içinde ayrım gücüne en fazla katkı sağlayanı (en yüksek

F

değeri) bulur. Bu katkı, grup içi varyans oranını ölçen Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğini en çok küçülten değişkendir. Aday değişkenin modele girebilmesi için, hesaplanan kısmî

F

değerinin önceden belirlenen minimum anlamlılık sınırı olan

F_{\text{ekleme}}

değerini aşması zorunludur. Doğru ifade bu ilkeyi eksiksiz olarak tanımlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Diskriminant analizinde temel ayrım kriteri olan Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin yönünü değerlendirmek.

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiği açıklanamayan varyans oranını ifade ettiğinden, bu değerin sıfıra yaklaşması (küçülmesi) gruplar arası ayrımın güçlü olduğunu gösterir.

Değişken seçiminde hangi ölçütün iyileştirileceğini matematiksel olarak netleştirmek.

2

Adım Adım (Stepwise) prosedüründe değişken ekleme (F-to-enter) kuralını belirlemek.

Henüz modelde bulunmayan değişkenler arasından, modele eklendiğinde

\Lambda

değerini en çok küçülten (yani en yüksek kısmî

F

istatistiğini üreten) değişken tespit edilir. Bu değer

F_{\text{ekleme}}

barajını aşıyorsa modele dâhil edilir.

Algoritmanın değişkeni kalıcı olarak modele alması için istatistiksel anlamlılık koşulunu (F > F-enter) sınamak.

3

Modelden çıkarma (F-to-remove) kriterinin işleyişini doğrulamak.

Eğer modeldeki bir değişkenin diğer değişkenler eklendikten sonra ayrım gücüne katkısı (kısmî

F

değeri)

F_{\text{çıkarma}}

barajının altına düşerse değişken çıkarılır (üstünde kalırsa değil).

Çoklu bağlantı veya yeni eklenen değişkenlerin etkisiyle anlamsızlaşan değişkenleri ayıklamak.

Anahtar Kavram

Adım Adım (Stepwise) Diskriminant Analizinde F-to-enter ve F-to-remove Kriterleri

Soru 53Soru →

Bir büyükşehir belediyesine bağlı su ve kanalizasyon idaresi, yeraltı su boru hatlarından alınan basınç ve akış sensörü verilerini kullanarak hatları $\pi_1$ (Sağlam) ve $\pi_2$ (Arızalı/Sızıntılı) olmak üzere iki sınıfa ayırmak için bir diskriminant fonksiyonu oluşturmuştur. Rassal olarak seçilen $400$ boru hattı üzerinde yapılan analiz sonucunda aşağıdaki sınıflandırma matrisi (karmaşıklık matrisi) elde edilmiştir:

Gerçek Durum	$\pi_1$ 'e Atanan	$\pi_2$ 'ye Atanan	Toplam
$\pi_1$ (Sağlam)	270	30	300
$\pi_2$ (Arızalı)	15	85	100

Buna göre, kurulan diskriminant fonksiyonunun Görünür Hata Oranı (Apparent Error Rate - APER) aşağıdakilerden hangisidir?

0,0750

0,1000

0,1125

0,1500

0,8875

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,1125$

Cevap

Doğru cevap

0,1125

değeridir.

Görünür hata oranı (APER), sınıflandırma matrisinde doğru köşegenin (diagonal) dışında kalan, yani yanlış sınıflandırılan tüm gözlem sayılarının genel toplama bölünmesiyle elde edilir. Gerçekte

\pi_1

(Sağlam) grubunda olup

\pi_2

(Arızalı) grubuna atanan

30

gözlem ve gerçekte

\pi_2

grubunda olup

\pi_1

grubuna atanan

15

gözlem bulunmaktadır. Toplam hata sayısı

30 + 15 = 45

'tir. Toplam gözlem sayısı ise

400

'dür. Buradan, APER

= 45 / 400 = 0,1125

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Görünür Hata Oranı (APER) formülünün ifade edilmesi.

APER, matriste yanlış sınıflandırılan (köşegen dışı) gözlem sayılarının toplam gözlem sayısına bölünmesiyle bulunur.

Sınıflandırma modelinin örneklem üzerindeki toplam performans hatasını belirlemek.

2

Yanlış sınıflandırılan toplam gözlem sayısının hesaplanması.

Gerçekte

\pi_1

olup

\pi_2

'ye atananlar (

30

) ile gerçekte

\pi_2

olup

\pi_1

'e atananlar (

15

) toplanır:

30 + 15 = 45

.

Modelin her iki grupta yaptığı hataları birleştirmek.

3

Toplam hata sayısının toplam örneklem hacmine bölünmesi.

Toplam hata (

45

), toplam gözlem sayısına (

400

) bölünür:

45 / 400 = 0,1125

.

Mutlak hata sayısını oransal bir ifadeye (APER) dönüştürmek.

Anahtar Kavram

Görünür Hata Oranı (Apparent Error Rate)

Soru 54Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığına bağlı bir zirai araştırma enstitüsü uzmanı, yetiştirilen bir buğday türünün kalite sınıflarını (I. Sınıf, II. Sınıf ve III. Sınıf) tahmin edebilmek amacıyla bir istatistiksel model kurmayı planlamaktadır. Uzman, modelini oluştururken her bir buğday numunesinden elde ettiği protein oranı, nem miktarı ve gluten indeksi gibi metrik ölçümleri bağımsız değişkenler olarak kullanacaktır.

Bu amaçla diskriminant (ayırma) analizi kullanmaya karar veren uzman için, analizin temel varsayımları ve değişken özellikleri bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bağımsız değişkenlerin her bir kalite sınıfı içinde çok değişkenli normal dağılım göstermesi ve gruplara ait varyans-kovaryans matrislerinin homojen olması gerekmektedir.

Bağımlı değişkeni oluşturan buğday kalite sınıflarının kategorik düzeyde değil, aralıklı veya oransal ölçekle ifade edilen sürekli bir yapıda olması zorunludur.

Çok değişkenli normallik varsayımının karşılanabilmesi için bağımsız değişkenlerin analiz öncesinde tek tek (marjinal olarak) normal dağılması yeterli bir koşuldur.

Grupların varyans-kovaryans matrislerinin Box's M testi sonucunda birbirinden farklı (heterojen) çıkması, sınıflandırma fonksiyonunun ayırma başarısını artırır.

Bağımsız değişkenlerin ayırma gücünü ölçen Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin

1

'e yaklaşması, gruplar arasında ayrımın mükemmel olduğunu kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bağımsız değişkenlerin her bir kalite sınıfı içinde çok değişkenli normal dağılım göstermesi ve gruplara ait varyans-kovaryans matrislerinin homojen olması gerekmektedir.

Cevap

Doğru seçenek, diskriminant analizinin uygulanabilmesi için bağımsız değişkenlerin her bir grup içerisinde çok değişkenli normal dağılması ve gruplara ait varyans-kovaryans matrislerinin homojen olması gerektiğini belirten ifadedir.

Diskriminant (Ayırma) analizinin parametrik kurallarla uygulanabilmesi için iki temel istatistiksel varsayımın sağlanması gerekir: 1) Bağımsız değişkenlerin hedef değişkenin (kalite sınıfları) her bir alt grubu içinde çok değişkenli normal dağılıma sahip olması, 2) Grupların varyans-kovaryans matrislerinin istatistiksel olarak eşit (homojen) olması. Doğru seçenek bu iki temel varsayımı eksiksiz ve teorik olarak doğru bir şekilde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Soru metnindeki araştırmanın amacı ve analiz edilecek değişkenlerin ölçüm türleri (bağımlı: kategorik kalite sınıfları, bağımsız: sürekli metrik ölçümler) incelenir.

Araştırma deseninin diskriminant analizi kurgusuna tamamen uygun olduğu teyit edilir.

Analizin doğru yapılandırıldığını ve değişken yapılarının uyuştuğunu kontrol etmek için.

2

Diskriminant analizi uygulanmadan önce verilerin taşıması gereken temel parametrik varsayımlar değerlendirilir.

Grup içi çok değişkenli normallik ve Box's M testi ile incelenen grup varyans-kovaryans matrislerinin homojenliği varsayımlarının zorunlu olduğu sonucuna varılır.

Model katsayılarının ve anlamlılık testlerinin (Wilks' Lambda gibi) istatistiksel olarak güvenilir sonuçlar üretmesi bu koşullara bağlıdır.

3

Seçeneklerde yer alan ifadeler, analiz varsayımları ve temel istatistiksel özellikleri ile karşılaştırılarak test edilir.

Sadece temel varsayımları doğru ifade eden seçeneğin geçerli olduğu, diğer seçeneklerin ise kavramsal hatalar barındırdığı saptanır.

Bağımlı değişkenin yapısı, marjinal normallik kavramı, varyans-kovaryans matrisi heterojenliği beklentisi ve Wilks' Lambda istatistiğinin yorumlanması konularındaki yaygın yanılgıları elemek için.

Anahtar Kavram

Diskriminant Analizinin Varsayımları ve Değişken Özellikleri

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 55Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, şehirdeki kavşakları kaza risklerine göre "Yüksek Riskli", "Orta Riskli" ve "Düşük Riskli" olarak üç gruba ayırmak amacıyla çoklu diskriminant (ayırma) analizi uygulamaktadır.

Analizde bağımsız değişken olarak şunlar kullanılmıştır:
- $X_1$ : Günlük ortalama araç geçiş sayısı
- $X_2$ : Kavşaktaki sinyalizasyon faz sayısı
- $X_3$ : Yaya geçidi yoğunluk indeksi
- $X_4$ : Kavşağa bağlanan şerit sayısı

Analiz sonucunda elde edilen birinci diskriminant fonksiyonu ( $Z_1$ ) için istatistikler şu şekildedir:
- Fonksiyonun Wilks' $\Lambda$ (Lambda) değeri: $0.18$ ( $p < 0.001$ )
- Standartlaştırılmış diskriminant katsayıları (Ağırlıklar): $X_1 = 0.85$ , $X_2 = -0.15$ , $X_3 = 0.65$ , $X_4 = 0.10$
- Yapı matrisi (Structure matrix) korelasyonları (Yükler): $X_1 = 0.88$ , $X_2 = 0.76$ , $X_3 = 0.42$ , $X_4 = 0.15$

Bu bulgulara göre, analizin sonuçları hakkında yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Sınıflandırma matrisinde köşegen üzerinde yer alan gözlem sayılarının toplamının genel toplam gözlem sayısına oranı, doğrudan analizin beklenen hata oranını ifade eder.

Diskriminant analizinin temel varsayımları gereği, analizin daha geçerli olabilmesi için bağımlı değişkenin kategorik değil, sürekli bir metrik ölçekle ifade edilmesi gerekirdi.

X_2

değişkeni grupları ayırmada tek başına yüksek bir ilişkiye sahip olmasına rağmen, modeldeki diğer değişkenlerle paylaştığı varyans nedeniyle fonksiyona sağladığı özgün katkı düşük kalmıştır.

Wilks'

\Lambda

değerinin

0.18

olarak

1

'den uzak çıkması, birinci diskriminant fonksiyonunun grupları birbirinden ayırma gücünün oldukça zayıf olduğunu gösterir.

Standartlaştırılmış katsayılar ile yapı korelasyonları değişkenlerin önemini ölçmede aynı anlama geldiğinden,

X_2

için gözlenen farklılık veri setindeki hesaplama hatasına işaret eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_2$ değişkeni grupları ayırmada tek başına yüksek bir ilişkiye sahip olmasına rağmen, modeldeki diğer değişkenlerle paylaştığı varyans nedeniyle fonksiyona sağladığı özgün katkı düşük kalmıştır.

Cevap

X_2

değişkeni grupları ayırmada tek başına yüksek bir ilişkiye sahip olmasına rağmen, modeldeki diğer değişkenlerle paylaştığı varyans nedeniyle fonksiyona sağladığı özgün katkı düşük kalmıştır.

Diskriminant analizinde yapı matrisi (structure matrix), her bir bağımsız değişken ile hesaplanan diskriminant fonksiyonu arasındaki basit (bivariate) korelasyonu gösterir ve

X_2

için bu değer

0.76

ile oldukça yüksektir; yani tek başına ele alındığında risk gruplarını ayırmada oldukça başarılıdır. Ancak standartlaştırılmış katsayılar, regresyondaki beta katsayılarına benzer şekilde, modele dahil edilen diğer değişkenler sabit tutulduğunda sağlanan kısmi (özgün) katkıyı ifade eder.

X_2

'nin standart katsayısının

-0.15

gibi düşük bir değere inmesi, bu değişkenin kaza riskini ayırmada taşıdığı bilginin büyük bir kısmının modele giren diğer değişkenler (muhtemelen yüksek korelasyonlu olan

X_1

) tarafından halihazırda açıklanmış olmasından, diğer bir deyişle çoklu bağlantı (multicollinearity) sorunundan kaynaklanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda değerini yorumlama

Wilks'

\Lambda = 0.18

değeri

0

'a oldukça yakındır. Bu durum, modelin açıklayamadığı grup içi varyansın düşük olduğunu ve fonksiyonun grupları ayırma gücünün yüksek olduğunu gösterir.

Fonksiyonun genel geçerliliğini ve grupları birbirinden ayırma kalitesini test etmek için Wilks' Lambda değerinin büyüklüğü değerlendirilir.

2

X_2

değişkeninin katsayılarını karşılaştırma

X_2

'nin yapı matrisi korelasyonu

0.76

(yüksek) iken, standartlaştırılmış katsayısı

-0.15

(düşük ve ters işaretli) olarak verilmiştir.

Değişkenlerin ayırma fonksiyonuna katkılarını hem tek değişkenli (yükler) hem de çok değişkenli (ağırlıklar) bağlamda incelemek için bu iki değerin eş zamanlı analizi gerekir.

3

Katsayı farklılığının nedenini (istatistiksel olgusunu) belirleme

Yapı korelasyonu (basit korelasyon) yüksekken standart katsayının (kısmi etki) düşük olması,

X_2

'nin ayırma bilgisini diğer değişkenlerle (örneğin katsayısı yüksek olan

X_1

ile) paylaştığını, yani değişkenler arası çoklu bağlantı (multicollinearity) olduğunu kanıtlar.

Standartlaştırılmış katsayılar diğer değişkenler modeldeyken sağlanan 'özgün' katkıyı yansıtırken, yapı matrisi değişkenin fonksiyonla olan yapısal/basit doğrusal ilişkisini ölçer.

Anahtar Kavram

Standartlaştırılmış Diskriminant Katsayıları ve Yapı Matrisi (Structure Matrix) Arasındaki Farkın Yorumlanması

Soru 56Soru →

Bir kamu kurumunda belediyelerin "Finansal Sürdürülebilirlik" düzeylerini (Yüksek, Orta, Düşük) sınıflandırmak amacıyla yürütülen bir araştırmada adım adım (stepwise) diskriminant analizi uygulanmaktadır. Analizin belirli bir adımında, henüz modele dâhil edilmemiş üç aday değişkenin istatistikleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Değişken	Kısmi $F$ Değeri	Wilks' Lambda
$X_4$	$4,25$	$0,85$
$X_7$	$7,12$	$0,72$
$X_9$	$2,10$	$0,94$

Analiz için belirlenen giriş eşiği ( $F_{\text{giriş}}$ ) $3,84$ olduğuna göre, bu adımda modele dâhil edilecek değişken ve seçim kriteri aşağıdakilerden hangisidir?

X_7

değişkeni; çünkü Wilks' Lambda değerini en çok küçültmekte ve kısmi

F

değeri giriş eşiğinden büyüktür.

X_9

değişkeni; çünkü Wilks' Lambda değerinin

1

'e en yakın olması, gruplar arasındaki ayrım gücünün maksimum düzeyde olduğunu gösterir.

X_4

değişkeni; çünkü bağımlı değişkenin sürekli ölçekte olması nedeniyle hata kareler toplamını minimize eden ilk anlamlı değişkendir.

X_9

değişkeni; çünkü kısmi

F

değeri giriş eşiğinden küçük olduğu için modele dâhil edilerek Tip II hatayı minimize eder.

X_7

değişkeni; çünkü sadece özdeğeri (eigenvalue)

1

'den büyük olan değişkenler adım adım analiz sürecine dâhil edilebilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_7$ değişkeni; çünkü Wilks' Lambda değerini en çok küçültmekte ve kısmi $F$ değeri giriş eşiğinden büyüktür.

Cevap

Modelde yer almayan değişkenler arasından, Wilks' Lambda değerini en fazla düşüren ve kısmi F istatistiği belirlenen giriş eşiğinden büyük olan

X_7

değişkeni modele dâhil edilmelidir.

Adım adım (stepwise) değişken seçimi sürecinde, her adımda modele dâhil edilmemiş değişkenler arasından gruplar arası ayrımı en çok artıran değişken değerlendirilir. Bu ayrım gücü, Wilks' Lambda istatistiğinin en küçük değeri alması veya buna eşdeğer olan kısmi

F

istatistiğinin en büyük değeri almasıyla ölçülür. Tabloda

X_7

değişkeni hem en düşük Wilks' Lambda değerine (

0,72

) hem de en yüksek kısmi

F

değerine (

7,12

) sahiptir. Ayrıca bu

F

değeri, belirlenen giriş eşiği olan

3,84

değerinden büyük olduğu için değişken modele dâhil edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Aday değişkenlerin Wilks' Lambda değerlerini karşılaştırın.

X_7

değişkeni

0,72

değeri ile en düşük Lambda değerine sahiptir.

Wilks' Lambda değeri küçüldükçe, değişkenin grupları birbirinden ayırma kapasitesi artar.

2

Seçilen değişkenin kısmi

F

değerini giriş eşiği (

F_{\text{giriş}}

) ile kıyaslayın.

X_7

için kısmi

F = 7,12 > 3,84

(eşik değeri).

Bir değişkenin modele girebilmesi için sağladığı katkının istatistiksel olarak anlamlı (eşikten büyük) olması gerekir.

Anahtar Kavram

Adım adım diskriminant analizinde değişken seçimi, Wilks' Lambda'nın minimizasyonu ve kısmi F testinin anlamlılığına dayanır.

Daha Fazla Pratik

Wilks' Lambda ile kısmi F istatistiği arasındaki matematiksel ilişkiyi ve 'F-to-remove' (çıkış eşiği) mantığını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 57Soru →

Bir araştırmacı, hanehalklarını "Yüksek Tüketim" ve "Düşük Tüketim" gruplarına ayırmak amacıyla iki değişkenli bir diskriminant analizi uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen katsayılar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Katsayı Türü	$X_1$ (Aylık Gelir)	$X_2$ (Eğitim Süresi)	Sabit Terim
Ham Katsayılar	$0,05$	$1,50$	$-6,40$
Standartlaştırılmış Katsayılar	$0,92$	$0,35$	-

$X_1$ değişkeni TL cinsinden aylık geliri, $X_2$ değişkeni ise yıl cinsinden eğitim süresini temsil etmektedir. $X_1 = 100$ ve $X_2 = 12$ değerlerine sahip bir hanehalkı için elde edilecek diskriminant skoru ve değişkenlerin grupları ayırmadaki göreli önemi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Diskriminant skoru

16,60

'dır ve

X_1

değişkeni grupları ayırmada

X_2

değişkeninden daha etkilidir.

Diskriminant skoru

16,60

'dır ve ham katsayısı daha büyük olan

X_2

değişkeni grupları ayırmada daha etkilidir.

Diskriminant skoru

11,60

'dır ve

X_1

değişkeni grupları ayırmada daha etkilidir.

Elde edilen skor pozitif olduğu için analizdeki Wilks' Lambda istatistiğinin değeri

1

'den büyük olmalıdır.

Analizin geçerli olabilmesi için bağımlı değişken olan tüketim gruplarının sürekli bir ölçekle ölçülmesi gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Diskriminant skoru $16,60$ 'dır ve $X_1$ değişkeni grupları ayırmada $X_2$ değişkeninden daha etkilidir.

Cevap

Diskriminant skoru

16,60

olarak hesaplanır ve standartlaştırılmış katsayısı daha yüksek olan aylık gelir (

X_1

) değişkeni ayırma gücü bakımından daha etkilidir.

Verilen ham katsayılar kullanılarak hesaplanan diskriminant skoru

-6,40 + 5 + 18 = 16,60

olarak bulunur. Değişkenlerin grupları ayırmadaki göreli başarısını belirlemek için ise standartlaştırılmış katsayılar incelenir. Aylık gelirin (

X_1

) standartlaştırılmış katsayısı (

0,92

), eğitim süresinin (

X_2

) katsayısından (

0,35

) daha büyük olduğu için gelirin grupları birbirinden ayırmada daha etkili bir değişken olduğu sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Diskriminant skorunun hesaplanması için ham katsayılar ve gözlem değerleri fonksiyon formülünde yerine konur.

Z = u_0 + u_1 X_1 + u_2 X_2

formülünden

Z = -6,40 + (0,05 \times 100) + (1,50 \times 12)

elde edilir.

Ham katsayılar, orijinal birimlerdeki verilerle skor hesaplamak için kullanılır.

2

Matematiksel işlemler gerçekleştirilir.

Z = -6,40 + 5,00 + 18,00 = 16,60

.

Toplama ve çarpma işlemleriyle nihai diskriminant skoru bulunur.

3

Değişkenlerin grupları ayırmadaki önemi için standartlaştırılmış katsayılar karşılaştırılır.

|b_1^*| = 0,92

ve

|b_2^*| = 0,35

olduğu için

X_1 > X_2

sonucuna varılır.

Standartlaştırılmış katsayılar, değişkenlerin ölçü birimlerinden arındırıldığı için göreli katkıyı ölçmede kullanılır.

Anahtar Kavram

Diskriminant skoru ham katsayılarla hesaplanırken, değişkenlerin grupları ayırma gücü (önemi) standartlaştırılmış katsayıların mutlak değerlerine bakılarak yorumlanır.

Daha Fazla Pratik

Standartlaştırılmış katsayılar ile yapı (structure) matrisi arasındaki farkları inceleyerek değişkenlerin önemini daha derinlemesine analiz edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 58Soru →

Bir banka, kredi başvurularını "Düşük Risk" ( $Π_1$ ) ve "Yüksek Risk" ( $Π_2$ ) olarak iki gruba ayırmak için diskriminant analizi kullanmaktadır. Başvuru sahiplerinin $\%70$ 'inin düşük riskli, $\%30$ 'unun ise yüksek riskli olduğu bilinmektedir. Yapılan analiz sonucunda, düşük riskli bir başvurunun hatalı olarak yüksek riskli grupta sınıflandırılma olasılığı $0,10$ ; yüksek riskli bir başvurunun ise hatalı olarak düşük riskli grupta sınıflandırılma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu sınıflandırma kuralı için toplam beklenen hata oranı (expected error rate) kaçtır?

0,07

0,13

0,15

0,17

0,30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,13$

Cevap

Hesaplanan toplam beklenen hata oranı

0,13

değeridir.

Toplam beklenen hata oranı, her bir anakütlenin önsel olasılığı (

π_i

) ile o anakütleye ait koşullu hatalı sınıflandırma olasılığının (

P(j|i)

) çarpımlarının toplamıdır. Soruda verilen değerlere göre

(0,70 \times 0,10) + (0,30 \times 0,20) = 0,13

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Önsel olasılıkları ve koşullu hata olasılıklarını belirle.

π_1 = 0,70

,

π_2 = 0,30

,

P(2|1) = 0,10

ve

P(1|2) = 0,20

.

Beklenen hata oranı formülü için gerekli parametreleri saptamak gerekir.

2

Beklenen hata oranı (EER) formülünü uygula.

EER = π_1 \times P(2|1) + π_2 \times P(1|2)

Toplam hata oranı, her bir grubun seçilme olasılığı ile o grupta hata yapma olasılığının ağırlıklı toplamıdır.

3

Sayısal değerleri yerine koyarak çarpma ve toplama işlemlerini yap.

EER = (0,70 \times 0,10) + (0,30 \times 0,20) = 0,07 + 0,06 = 0,13

.

Nihai beklenen hata oranına ulaşmak için gerekli matematiksel işlem tamamlanmıştır.

Anahtar Kavram

Beklenen Hata Oranı (Expected Error Rate)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Bir veri bilimci, iki farklı coğrafi bölgeden toplanan $n_1 = 45$ ve $n_2 = 35$ hacimli örneklemler üzerinden, ait oldukları lokasyonları tahmin etmek amacıyla Fisher tarafından geliştirilen iki gruplu doğrusal diskriminant fonksiyonunu modellemektedir.

Ön analizlerde uygulanan Box's M testi sonucunda "kitle varyans-kovaryans matrisleri homojendir" ( $H_0: \Sigma_1 = \Sigma_2 = \Sigma$ ) hipotezi reddedilememiştir.

Bu çok değişkenli yöntemin matematiksel formülasyonu, dayandığı varsayımlar ve sınıflandırma mantığı dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Eğer Box's M testinin p-değeri 0.05'ten küçük bulunsaydı, varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği bozulacağından örneklem büyüklükleri göz ardı edilerek matrislerin doğrudan aritmetik ortalaması (

S_{pool} = \frac{S_1 + S_2}{2}

) alınmalı ve ortak matris bu şekilde oluşturularak doğrusal yaklaşıma devam edilmeliydi.

Katsayılar vektörü (

a

), her iki grubun örneklem büyüklükleri ve serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılmış ortak (havuzlanmış) kovaryans matrisinin tersi alınarak ortalama vektörleri farkı ile çarpılması (

a = S_{pool}^{-1}(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)

) yoluyla elde edilir; yeni atamalar ise hesaplanan bu skorların bir kesim noktasıyla kıyaslanmasıyla gerçekleştirilir.

Yöntemin matematiksel altyapısı gereği, modeldeki bağımlı (hedef) değişkenin mutlaka sürekli bir ölçekle ölçülmüş olması zorunluyken, sınıflandırmada kullanılacak yordayıcı (bağımsız) değişkenlerin kategorik veya kesikli yapıda olması gerekmektedir.

Sınıflandırma matrisi üzerinden beklenen hata oranı tahmin edilirken, grupların ana kütledeki öncelik olasılıkları (prior probabilities) hesaba katılmaksızın sadece doğru sınıflandırılan (köşegen üzerindeki) birimlerin oranlanması teorik olarak yeterli kabul edilir.

Modelin genel geçerliliğini ve grupların ayrışma düzeyini gösteren Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiği hesaplandığında, ortaya çıkan değerin teorik üst sınır olan 1'e yaklaşması modelin sınıflandırma yeteneğinin mükemmel olduğunu kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Katsayılar vektörü ( $a$ ), her iki grubun örneklem büyüklükleri ve serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılmış ortak (havuzlanmış) kovaryans matrisinin tersi alınarak ortalama vektörleri farkı ile çarpılması ( $a = S_{pool}^{-1}(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)$ ) yoluyla elde edilir; yeni atamalar ise hesaplanan bu skorların bir kesim noktasıyla kıyaslanmasıyla gerçekleştirilir.

Cevap

Doğrusal ayırma katsayılarının serbestlik dereceleriyle ağırlıklandırılmış havuzlanmış matris kullanılarak hesaplandığını ve sınıflandırmanın kesim noktasına göre yapıldığını belirten seçenek.

Fisher'in önerdiği doğrusal ayırma fonksiyonunda (LDF), iki grubun kitle varyans-kovaryans matrislerinin eşit olduğu varsayıldığında, her iki grubun varyans matrisleri, örneklem büyüklüklerinin serbestlik derecelerine göre ağırlıklandırılarak ortak (havuzlanmış) matris elde edilir. Fonksiyonun katsayıları

a = S_{pool}^{-1}(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)

olarak tespit edilir. Hesaplanan her bir

Y = a'X

skoru, grupların ortalama skorlarının tam orta noktası (veya öncelik olasılıklarına göre ağırlıklandırılmış noktası) olan bir kesim noktası (cut-off) değerine göre sınıflandırılır. Bu seçenekteki ifade bütünüyle doğru bir teorik tanımdır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin yapısal varsayımlarını değerlendirmek.

Diskriminant analizinde bağımlı değişken kategorik (sınıf etiketleri), bağımsız değişkenler ise sürekli olmalıdır.

Bağımlı değişkenin sürekli olması gerektiğini öne süren ifade temel varsayımlara aykırıdır.

2

Box's M testi sonucunu ve hatalı havuzlama yaklaşımını analiz etmek.

Homojenlik varsayımı ihlal edilirse (p < 0.05), LDF yerine karesel diskriminant (QDA) uygulanmalıdır. Hatalı biçimde örneklem büyüklüklerini göz ardı eden basit aritmetik ortalama (

S_{pool} = \frac{S_1 + S_2}{2}

) kullanılamaz.

Bu yüzden Box's M testinin anlamlı çıkması durumunda LDF'ye hatalı bir havuzlama ile devam edileceğini söyleyen ifade yanlıştır.

3

Wilks' Lambda (

\Lambda

) yorumunu incelemek.

Wilks' Lambda değerinin sıfıra yaklaşması yüksek ayırma gücünü, 1'e yaklaşması ise zayıf ayırma gücünü ifade eder.

1'e yaklaşmanın mükemmel sınıflandırma anlamına geldiğini belirten seçenek ters bir yorum içermektedir.

4

Sınıflandırma matrisi ve beklenen hata hesaplamasını incelemek.

Sınıflandırma oranları belirlenirken ve kesim noktası atanırken mutlaka öncelik olasılıkları (prior probabilities) gözetilmelidir.

Öncelik olasılıklarının dikkate alınmaması gerektiği ifadesi yanlıştır.

5

Fisher'in doğrusal fonksiyonunu formüle etmek.

Homojen matris varsayımı altında, grupların örneklem büyüklükleriyle (

n_i - 1

) orantılı hesaplanan

S_{pool}

havuzlanmış matrisi alınır ve

a = S_{pool}^{-1}(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)

denklemiyle fonksiyon ağırlıkları bulunur. Yeni gözlem bu fonksiyonda yerine konur ve skor bir kesim noktasıyla (m) karşılaştırılır.

Bu önerme Fisher LDF yönteminin matematiksel altyapısını eksiksiz ve doğru biçimde aktarmaktadır.

Anahtar Kavram

Fisher Doğrusal Ayırma Fonksiyonu Formülasyonu ve Varsayımları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 60Soru →

Bir bankanın kredi risk birimi, yeni kredi başvurularını "Düşük Riskli" ve "Yüksek Riskli" şeklinde iki gruba ayırmak amacıyla adım adım (stepwise) diskriminant analizi yöntemiyle bir model oluşturmaktadır. Analizin başlangıç aşamasında, modele dâhil edilmemiş dört potansiyel tahmin değişkeninin tek başlarına modele girmeleri durumunda hesaplanan Wilks' Lambda ( $\Lambda$ ) değerleri şu şekildedir:

Değişken	Wilks' Lambda ( $\Lambda$ )
$X_1$ (Aylık Gelir)	$0,85$
$X_2$ (Mevcut Borç Tutarı)	$0,72$
$X_3$ (Kredi Kayıt Bürosu Skoru)	$0,68$
$X_4$ (Müşteri Yaşı)	$0,91$

İstatistiksel olarak modele dâhil edilme kriterlerinin (F-to-enter) tüm değişkenler için sağlandığı varsayıldığında, bu adımda modele dâhil edilmesi gereken ilk değişken aşağıdakilerden hangisidir?

X_3

değişkeni; çünkü en düşük Wilks' Lambda değerine sahip olması en yüksek ayırma gücünü ifade eder.

X_4

değişkeni; çünkü en yüksek Wilks' Lambda değerine sahip olması grupları en iyi ayırt ettiğini gösterir.

X_1

değişkeni; çünkü Wilks' Lambda değerinin

1

'e yakın olması gruplar arası varyansın yüksek olduğunu kanıtlar.

Hiçbiri; çünkü diskriminant analizinde bağımlı değişkenin (risk grubu) sürekli bir ölçekle ölçülmesi zorunludur.

X_2

değişkeni; çünkü orta düzeyde bir Wilks' Lambda değeri modelin aşırı uyum (overfitting) yapmasını engeller.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_3$ değişkeni; çünkü en düşük Wilks' Lambda değerine sahip olması en yüksek ayırma gücünü ifade eder.

Cevap

Modele dâhil edilmesi gereken ilk değişken, en yüksek ayırma gücünü temsil eden en küçük Wilks' Lambda değerine (

0,68

) sahip olan

X_3

(Kredi Kayıt Bürosu Skoru) değişkenidir.

Adım adım diskriminant analizinde, her adımda henüz modele girmemiş değişkenler arasından gruplar arası ayrımı en çok artıran değişken seçilir. Wilks' Lambda istatistiği, gruplar arası farklılığın bir ölçüsüdür ve değeri küçüldükçe değişkenin grupları birbirinden ayırma gücü artar.

X_3

değişkeni

0,68

ile en küçük değere sahip olduğu için modele ilk girmesi gereken değişkendir.

Adım Adım Çözüm

1

Wilks' Lambda (

\Lambda

) istatistiğinin yorumlanma kuralını belirle.

Wilks' Lambda, gruplar içi kareler toplamının toplam kareler toplamına oranıdır (

\Lambda = |W| / |T|

).

Değişken seçiminde hangi istatistiksel değerin neyi ifade ettiğini bilmek analizin temelidir.

2

Değer ile ayırma gücü arasındaki ilişkiyi analiz et.

Wilks' Lambda değeri

0

ile

1

arasında değer alır;

0

'a yaklaştıkça gruplar arası ayrım artar,

1

'e yaklaştıkça azalır.

Adım adım yöntemde her aşamada modele en fazla katkı sağlayan (ayrımı maksimize eden) değişken aranır.

3

Verilen tabloda en küçük Wilks' Lambda değerini tespit et.

X_3

değişkeni için

\Lambda = 0,68

, diğer tüm değişkenlerden (

0,72

,

0,85

,

0,91

) daha küçüktür.

Sayısal karşılaştırma yoluyla en etkili değişkeni belirlemek için gereklidir.

Anahtar Kavram

Wilks' Lambda ve Değişken Seçim Kriteri

Tahmini Süre:1m 30s

Diskriminant (Ayırma) Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap