Examkin

Kümeleme Analizi

56 soru

Soru 21Soru →

Bir çevre mühendisi, dört farklı gölden (G1,G2,G3,G4G_1, G_2, G_3, G_4) aldığı su numunelerinin kirlilik düzeylerini sınıflandırmak için hiyerarşik kümeleme analizi uygulamaktadır. Başlangıç uzaklık matrisi aşağıda verilmiştir:

G1G_1G2G_2G3G_3G4G_4
**G1G_1**0022441010
**G2G_2**2200991111
**G3G_3**44990077
**G4G_4**101011117700

İlk aşamada birbirine en yakın olan G1G_1 ve G2G_2 numuneleri birleştirilerek K1={G1,G2}K_1 = \{G_1, G_2\} kümesi oluşturulmuştur.

Mühendis, analizin devamında kümeler arası uzaklığı belirlerken 'zincirleme (chaining) etkisinden kaçınan ve genellikle sıkı (kompakt), küresel kümeler üretme eğiliminde olan' yöntemi kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, belirtilen yöntemin kullanılması durumunda analizin ikinci adımında hangi kümeler (veya numuneler) birleştirilir ve bu birleşme hangi uzaklık seviyesinde gerçekleşir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: G3G_3 ve G4G_4 birleşir, uzaklık: 77

Cevap

Analizin ikinci adımında en küçük uzaklığa sahip olan G3 ve G4 numuneleri birleşir ve bu birleşme 7 uzaklık seviyesinde gerçekleşir.
Verilen teorik özellikler Tam Bağlantı (Complete Linkage) yöntemini işaret etmektedir. Bu yönteme göre K1K_1 kümesi ile G3G_3 arasındaki uzaklık max⁡(4,9)=9\max(4, 9) = 9, K1K_1 ile G4G_4 arasındaki uzaklık ise max⁡(10,11)=11\max(10, 11) = 11 olarak bulunur. G3G_3 ve G4G_4 arasındaki uzaklık ise başlangıç matrisinde 77 olarak verilmiştir. Hiyerarşik kümelemede her aşamada en küçük uzaklığa sahip birimler birleştirileceğinden, olasılıklar içindeki en küçük değer olan 77 uzaklığında G3G_3 ve G4G_4 numuneleri birleştirilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kullanılacak yöntemin teorik özelliklerden yola çıkılarak belirlenmesi
Tam Bağlantı (En Uzak Komşu) Yöntemi
Zincirleme etkisinden kaçınan ve sıkı/küresel (kompakt) kümeler üreten hiyerarşik yöntem Tam Bağlantı yöntemidir.
2
K1={G1,G2}K_1 = \{G_1, G_2\} kümesi ile diğer numuneler arasındaki uzaklıkların Tam Bağlantı kuralına (maksimum uzaklık) göre hesaplanması
d(K1,G3)=max⁡{4,9}=9d(K_1, G_3) = \max\{4, 9\} = 9 ve d(K1,G4)=max⁡{10,11}=11d(K_1, G_4) = \max\{10, 11\} = 11
Tam Bağlantı yönteminde iki küme arasındaki uzaklık, bu kümelerin elemanları arasındaki en büyük uzaklık (en uzak komşu) olarak tanımlanır.
3
İkinci adım için güncellenmiş uzaklık matrisindeki en küçük değerin bulunması
min⁡{d(K1,G3)=9,d(K1,G4)=11,d(G3,G4)=7}=7\min\{ d(K_1, G_3)=9, d(K_1, G_4)=11, d(G_3, G_4)=7 \} = 7
Hiyerarşik kümeleme analizinde her adımda birbirine en yakın (uzaklığı en küçük olan) iki küme veya gözlem birleştirilir.

Anahtar Kavram

Tam Bağlantı (En Uzak Komşu) Yönteminde Uzaklık Hesaplama ve Küme Birleştirme
Soru 22Soru →

Bir finansal analist, borsada işlem gören şirketleri bilanço özelliklerine ve kârlılık oranlarına göre homojen alt gruplara ayırmak amacıyla yığılmalı (agglomeratif) hiyerarşik kümeleme analizi uygulamaktadır. Analist, birleştirme aşamasında kümeler arası uzaklığı uç noktalar veya ortalamalar üzerinden tanımlamak yerine; her adımda bir araya geldiğinde küme içi hata kareler toplamındaki (Error Sum of Squares) artışı en küçük (minimum) yapacak iki kümeyi birleştiren algoritmayı tercih etmiştir.

Buna göre, analistin kullandığı kümeleme yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ward yöntemi

Cevap

Ward yöntemi
Doğru seçenek, hiyerarşik kümeleme yöntemleri arasında varyans analizi yaklaşımını benimseyen yöntemi ifade etmektedir. Ward yöntemi, diğer bağlantı teknikleri gibi doğrudan iki veri noktası veya grup merkezleri arası bir uzaklık ölçüsünü temel almak yerine, iki kümenin birleştirilmesi sonucunda oluşacak yeni kümenin hata kareler toplamındaki (Error Sum of Squares - ESS) artış miktarını hesaplar. Temel stratejisi, her hiyerarşik adımda bu artışı en az (minimum) düzeyde tutacak olan iki kümeyi birleştirmektir.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen kümeleme yönteminin temel matematiksel amacının belirlenmesi
Algoritmanın asıl kriterinin 'her adımda küme içi hata kareler toplamındaki artışı en küçük yapmak' olduğu saptanmıştır.
Yığılmalı hiyerarşik kümeleme algoritmaları, kümeleri birleştirirken başvurdukları uzaklık, benzerlik veya varyans metriklerine göre birbirinden ayırt edilir.
2
Verilen kriterin bilinen hiyerarşik kümeleme yöntemleriyle eşleştirilmesi
Tek bağlantı en yakın komşuya, tam bağlantı en uzak komşuya, ortalama bağlantı ortalama uzaklıklara bakar. Ward yöntemi ise doğrudan küme içi hata kareler toplamını (ESS) baz alır.
Varyans analizi mantığına dayanan ve kümelerin kendi içinde olabildiğince homojen kalmasını maksimize etmeye çalışan hiyerarşik yöntem Ward yöntemidir.

Anahtar Kavram

Ward yöntemi ile hiyerarşik kümeleme
Soru 23Soru →

Bir araştırmacı, K-Ortalamalar (K-Means) algoritmasını kullanarak sismik olayları sınıflandırmayı amaçlamaktadır. Analizde "Odak Derinliği" (X1X_1) ve "Açığa Çıkan Enerji" (X2X_2) olmak üzere iki sürekli değişken kullanılmaktadır. Veri setinin tamamı üzerinden hesaplanan standart sapmalar sırasıyla SX1=1S_{X_1} = 1 ve SX2=10S_{X_2} = 10 olarak elde edilmiştir.

Algoritmanın başlangıç aşamasında, veri setinde yer alan üç gözlem noktası P1(2,100)P_1(2, 100), P2(4,100)P_2(4, 100) ve P3(3,110)P_3(3, 110) olarak belirlenmiştir. Araştırmacı, ilk iterasyon için başlangıç küme merkezlerini M1=P1M_1 = P_1 ve M2=P3M_2 = P_3 olarak atamıştır.

Buna göre, Öklid uzaklığı kullanılarak yapılacak ilk kümeleme adımında P2P_2 noktasının atanacağı küme ile ilgili, veri setinin ham haliyle kullanılması ve Z-skoru ile standartlaştırılarak kullanılması durumlarındaki matematiksel sonuçlar aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Veriler standartlaştırılmadığında X2X_2 değişkeni uzaklık hesabını domine ettiği için P2P_2 noktası M1M_1 merkezli kümeye atanır; standartlaştırma yapıldığında ise varyanslar eşitleneceğinden P2P_2 noktası M2M_2 merkezli kümeye atanır.

Cevap

Standartlaştırma yapılmadığında yüksek varyanslı X2 değişkeni uzaklık hesabını domine ederek P2'yi M1'e atar; Z-skoru standartlaştırması yapıldığında varyanslar eşitlenir ve P2 noktası M2'ye atanır.
K-Ortalamalar algoritması, atama adımında doğrudan Öklid uzaklığını kullandığı için değişkenlerin ölçek büyüklüklerine karşı oldukça hassastır. Ham verilerde X2X_2 değişkeninin varyansı (SX2=10S_{X_2}=10, karesel etkisi 100) çok büyüktür. Bu durum uzaklık hesabını domine eder ve P2P_2 noktasını X2X_2 değeri tıpatıp aynı olan M1M_1 merkezine atar. Ancak değişkenler Z-skoru ile standartlaştırıldığında, standart sapmalara bölünme işlemi her iki değişkenin algoritma üzerindeki etkisini eşitler. Bu durum X1X_1 eksenindeki gerçek yakınlığı ortaya çıkarır ve P2P_2 noktası matematiksel olarak M2M_2 merkezine daha yakın (2<42 < 4) konuma gelerek atama sonucu değişir.

Adım Adım Çözüm

1
Standartlaştırma yapılmadan (ham verilerle) P2 noktasının M1 ve M2 merkezlerine olan Öklid uzaklıklarının karesini hesaplamak
d2(P2,M1)=(4−2)2+(100−100)2=4+0=4d^2(P_2, M_1) = (4-2)^2 + (100-100)^2 = 4 + 0 = 4
d2(P2,M2)=(4−3)2+(100−110)2=1+100=101d^2(P_2, M_2) = (4-3)^2 + (100-110)^2 = 1 + 100 = 101
K-Ortalamalar algoritması atama adımında her gözlemi en yakın merkeze atar. 4<1014 < 101 olduğundan ham veride P2P_2 noktası M1M_1'e atanır.
2
Verileri standartlaştırarak (Z-skoru dönüşümü ile) yeni uzaklıkları hesaplamak
ZZ dönüşümü sonrası uzaklık hesabı değişken varyanslarına bölünerek yapılır: dz2=(ΔX1SX1)2+(ΔX2SX2)2d_z^2 = \left(\frac{\Delta X_1}{S_{X_1}}\right)^2 + \left(\frac{\Delta X_2}{S_{X_2}}\right)^2
dz2(P2,M1)=(2/1)2+(0/10)2=4d_z^2(P_2, M_1) = (2/1)^2 + (0/10)^2 = 4
dz2(P2,M2)=(1/1)2+(−10/10)2=1+1=2d_z^2(P_2, M_2) = (1/1)^2 + (-10/10)^2 = 1 + 1 = 2
Standartlaştırma, her iki değişkenin varyans etkisini eşitleyerek X2X_2'nin (100 birimlik) haksız baskınlığını ortadan kaldırır. 2<42 < 4 olduğundan standartlaştırılmış uzayda P2P_2 noktası M2M_2'ye atanır.

Anahtar Kavram

K-Ortalamalar algoritmasında değişkenlerin ölçek farklılıklarının Öklid uzaklık matrisine ve dolayısıyla küme atamalarına olan asimetrik etkisi (Standardizasyonun önemi).
Soru 24Soru →

Bir araştırmacı, dört farklı ilin (K, L, M, N) sosyoekonomik gelişmişlik düzeylerini sınıflandırmak amacıyla hiyerarşik kümeleme analizi uygulamaktadır. İller arasındaki uzaklıkları gösteren matris aşağıda verilmiştir:

İlKLMN
K02108
L2046
M10403
N8630

Araştırmacı, analizinde tek bağlantı (en yakın komşu) yöntemini kullanmaktadır.

Buna göre, hiyerarşik kümelemenin ilk adımında oluşturulan yeni küme ile M ili arasındaki uzaklık değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İlk adımda aralarındaki uzaklık en küçük olan K ve L illeri birleştirilir. Tek bağlantı yöntemine göre bu yeni kümenin M iline uzaklığı 4 olarak hesaplanır.
Hiyerarşik kümeleme analizinin ilk adımında, uzaklık matrisindeki en küçük değere sahip iki gözlem birleştirilir. Tablodaki en küçük uzaklık K ve L illeri arasındaki 2'dir. Tek bağlantı (en yakın komşu) yöntemi kullanıldığında, yeni oluşturulan (K, L) kümesinin diğer bir gözlem olan M'ye uzaklığı, K ve L'nin M'ye olan uzaklıklarının en küçüğüdür. Formül olarak: min⁡(d(K,M),d(L,M))=min⁡(10,4)=4\min(d(K,M), d(L,M)) = \min(10, 4) = 4 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk birleştirilecek kümelerin belirlenmesi
K ve L illeri birleştirilerek (K, L) kümesi oluşturulur.
Matristeki sıfır harici en küçük uzaklık değeri K ile L arasındaki 2'dir.
2
Yeni küme ile M ili arasındaki uzaklık formülünün yazılması
d((K,L),M)=min⁡(d(K,M),d(L,M))d((K,L), M) = \min(d(K,M), d(L,M))
Tek bağlantı (en yakın komşu) yönteminde, iki küme arasındaki uzaklık, birbirine en yakın olan eleman çiftinin uzaklığı olarak tanımlanır.
3
Değerlerin matristen alınarak hesaplanması
min⁡(10,4)=4\min(10, 4) = 4
K'nın M'ye uzaklığı 10, L'nin M'ye uzaklığı 4'tür. Bu değerlerin minimumu 4 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) Yönteminde Uzaklık Hesaplama
Soru 25Soru →

Bir pazar araştırmacısı, beş farklı müşteri segmentinin (S1,S2,S3,S4,S5S_1, S_2, S_3, S_4, S_5) davranışsal özelliklerindeki benzerlikleri incelemek için hiyerarşik kümeleme algoritmalarından "tek bağlantı (en yakın komşu)" yöntemini uygulamaktadır. Bu segmentlere ait başlangıç uzaklık matrisi aşağıda verilmiştir:

S1S_1S2S_2S3S_3S4S_4S5S_5
**S1S_1**0
**S2S_2**50
**S3S_3**870
**S4S_4**6930
**S5S_5**74580

Buna göre, algoritmada ilk birleşme adımı sonucunda oluşan yeni küme ile S5S_5 segmenti arasındaki uzaklık değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap, ilk birleşen S3S_3 ve S4S_4 segmentlerinden oluşan kümeye S5S_5'in olan uzaklıklarının minimumu olan 5 değeridir.
Hiyerarşik kümeleme analizinde ilk adım, matristeki en küçük uzaklık değerine sahip iki gözlemin birleştirilmesidir. Uzaklık matrisi incelendiğinde sıfır dışındaki en küçük uzaklık d(S3,S4)=3d(S_3, S_4) = 3 olarak görülmektedir. Bu nedenle ilk aşamada S3S_3 ve S4S_4 birleşerek (S3,S4)(S_3, S_4) kümesini oluşturur. Tek bağlantı (en yakın komşu) yönteminde, yeni oluşan bir küme ile dışarıdaki bir gözlem arasındaki uzaklık, o gözlemin kümeyi oluşturan elemanlara olan uzaklıklarının minimumu alınarak hesaplanır. S5S_5 segmentinin S3S_3 ve S4S_4'e olan uzaklıkları sırasıyla 5 ve 8'dir. Buna göre, d(S5,(S3,S4))=min⁡(5,8)=5d(S_5, (S_3, S_4)) = \min(5, 8) = 5 olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Matristeki sıfır harici en küçük uzaklık değerini bularak ilk birleşecek segmentleri belirlemek.
Matristeki en küçük uzaklık değeri 3'tür ve S3S_3 ile S4S_4 segmentleri arasındadır. Algoritmanın ilk adımında bu iki segment birleşerek (S3,S4)(S_3, S_4) kümesini oluşturur.
Hiyerarşik kümeleme analizinde her zaman öncelikle birbirine en yakın (uzaklık değeri en küçük) iki gözlem veya küme birleştirilir.
2
Tek bağlantı yönteminin kuralını uygulayarak yeni kümenin S5S_5 segmentine olan uzaklığını hesaplamak.
Matristen d(S5,S3)=5d(S_5, S_3) = 5 ve d(S5,S4)=8d(S_5, S_4) = 8 olduğu görülür. Tek bağlantı kuralı gereği: d(S5,(S3,S4))=min⁡(5,8)=5d(S_5, (S_3, S_4)) = \min(5, 8) = 5 olarak bulunur.
Tek bağlantı (en yakın komşu) yönteminde, yeni oluşan bir küme ile dışarıdaki bir gözlem arasındaki uzaklık, kümeyi oluşturan elemanlara olan uzaklıkların minimum değeri alınarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) Yönteminde Uzaklık Hesaplama
Soru 26Soru →

Bir araştırmacı, farklı ölçüm birimlerine sahip sürekli değişkenlerden oluşan bir veri setini K-Ortalamalar (K-Means) algoritması ile kümelere ayırmak istemektedir. Gözlemlerin merkezlere atanması aşamasında uzaklık ölçüsü olarak Öklid (Euclidean) uzaklığı tercih edilmiştir. Değişkenler herhangi bir standartlaştırma işlemine tabi tutulmadan (ham verilerle) analize dâhil edilmiştir. Araştırmacı, veri setindeki olası uç değerlerin (outliers) küme merkezlerini (centroid) aşırı derecede saptırmasını önlemek düşüncesiyle algoritmada bir modifikasyon yapmış; her iterasyon sonundaki merkez güncelleme adımında, ilgili kümeye düşen gözlemlerin aritmetik ortalaması yerine medyan (ortanca) değerini yeni merkez olarak belirlemiştir.

Buna göre, veri setinin yapısı ve yapılan bu modifikasyonun K-Ortalamalar algoritması üzerindeki etkisiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Atama adımında Öklid uzaklığı kullanılıp güncelleme adımında medyan alınması, algoritmanın minimize etmeye çalıştığı grup içi kareler toplamının iterasyonlar boyunca monoton olarak azalmasını engeller ve yakınsama garantisini ortadan kaldırır.

Cevap

Atama adımında Öklid uzaklığı kullanılırken güncelleme adımında medyan alınması, amaç fonksiyonu ile güncelleme kuralı arasındaki matematiksel uyumu bozarak iterasyonlarda grup içi kareler toplamının monoton azalmasını engeller.
K-Ortalamalar algoritmasının iterasyon sürecinde her adımın, grup içi hata kareler toplamını (WCSS) daha da küçültmesi veya sabit bırakması gerekir. Matematiksel olarak, belirli bir noktalar kümesi için uzaklıkların kareleri toplamını minimum yapan tek merkez noktası o noktaların aritmetik ortalamasıdır. Medyan ise mutlak uzaklıkların (Manhattan uzaklığı) toplamını minimize eder. Atama adımında noktalar Öklid uzaklığına (uzaklıkların karesine) göre kümelenip, ardından merkezler medyan olarak güncellenirse; medyan, ataması yapılmış noktaların Öklid uzaklıkları kareleri toplamını optimize etmediğinden algoritmanın monotonik olarak yakınsama (convergence) garantisi bozulur.

Adım Adım Çözüm

1
K-Ortalamalar algoritmasının amaç fonksiyonunu ve standart güncelleme kuralını tanımlama.
Standart K-Ortalamalar algoritması, ∑i=1k∑x∈Ci∣∣x−μi∣∣2\sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in C_i} ||x - \mu_i||^2 ile ifade edilen grup içi hata kareler toplamını (WCSS) minimize etmeyi amaçlar. Bu karesel amaç fonksiyonunu belirli bir küme için minimum yapan merkez noktası (μi\mu_i) matematiksel olarak aritmetik ortalamadır.
Algoritmanın matematiksel temelini anlamak, yapılan modifikasyonun etkisini değerlendirebilmek için gereklidir.
2
Medyan kullanımının hangi uzaklık ölçüsüyle uyumlu olduğunu belirleme.
Medyan (ortanca) değeri, K-Medians algoritmasında olduğu gibi ∑∣x−μ∣\sum |x - \mu| ile ifade edilen mutlak farkların toplamını (Manhattan veya L1L_1 normu) minimize eden optimal noktadır.
Medyanın sahip olduğu optimizasyon özelliğini saptamak.
3
Atama adımı ile güncelleme adımı arasındaki uyumsuzluğun sonucunu analiz etme.
Atama adımında gözlemler Öklid uzaklığına (L2L_2 normu) göre en yakın merkeze atanıp, merkezler L1L_1 normunu minimize eden medyan ile güncellendiğinde; her iki adım farklı amaç fonksiyonlarını optimize etmeye çalışır. Bu yapısal çelişki nedeniyle WCSS'nin her iterasyonda (Lloyd algoritmasında) istikrarlı biçimde azalacağı garanti edilemez ve algoritma yakınsamadan osilasyona uğrayabilir.
Amaç fonksiyonu uyumsuzluğunun algoritmanın yakınsama (convergence) garantisine olan etkisini ortaya koymak.

Anahtar Kavram

K-Ortalamalar Algoritmasında Amaç Fonksiyonu ve Yakınsama (Convergence) Garantisi
Soru 27Soru →

Bir insan kaynakları uzmanı, dört farklı adayın (A1,A2,A3,A4A_1, A_2, A_3, A_4) yetkinlik testlerinden aldıkları puanlara dayalı uzaklık matrisini kullanarak hiyerarşik kümeleme yapmaktadır. Adaylar arasındaki Öklid uzaklıklarını gösteren matris aşağıda verilmiştir:

AdayA1A_1A2A_2A3A_3A4A_4
**A1A_1**0258
**A2A_2**2069
**A3A_3**5607
**A4A_4**8970

Uzman, analizinde tam bağlantı (en uzak komşu) yöntemini kullanmaktadır. Kümeleme işleminin ilk aşamasında en yakın iki aday birleştirilerek bir küme oluşturulmuştur.

Buna göre, hiyerarşik kümelemenin ikinci aşamasında hangi adaylar veya kümeler birleştirilir ve bu birleşme hangi uzaklık değerinde gerçekleşir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {A1,A2}\{A_1, A_2\} kümesi ile A3A_3 adayı birleşir, uzaklık değeri 66'dır.

Cevap

{A1,A2}\{A_1, A_2\} kümesi ile A3A_3 adayı birleşir ve birleşme uzaklığı 66'dır.
Hiyerarşik kümeleme işlemine başlanırken uzaklık matrisine bakılır ve matristeki en küçük değer olan 2 mesafesinde A1A_1 ve A2A_2 ilk olarak birleştirilir. Tam bağlantı yöntemi kuralına göre, oluşan {A1,A2}\{A_1, A_2\} kümesinin dışarıdaki adaylarla uzaklığı, eleman bazındaki uzaklıkların en büyüğüne eşittir. Bu nedenle A3A_3 ile uzaklık max⁡(5,6)=6\max(5, 6)=6, A4A_4 ile uzaklık max⁡(8,9)=9\max(8, 9)=9 olarak güncellenir. Aday A3A_3 ve A4A_4 arasındaki doğal mesafe ise tablodan 7 olarak okunur. Bu 3 alternatif mesafe (6, 9 ve 7) arasından en küçük olan 6 seçilerek ikinci birleşme aşaması tamamlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Matristeki en küçük uzaklık değerini bularak ilk kümeyi oluşturmak.
Matristeki en küçük uzaklık d(A1,A2)=2d(A_1, A_2) = 2'dir. İlk aşamada A1A_1 ve A2A_2 birleşerek {A1,A2}\{A_1, A_2\} kümesini oluşturur.
Hiyerarşik (yığmalı) kümelemede her zaman mevcut elemanlar ve kümeler arasından birbirine en yakın olanlar (en küçük uzaklık) birleştirilir.
2
Oluşan yeni küme ile geriye kalan elemanlar (A3A_3 ve A4A_4) arasındaki uzaklıkları tam bağlantı yöntemine göre hesaplamak.
d({A1,A2},A3)=max⁡(d(A1,A3),d(A2,A3))=max⁡(5,6)=6d(\{A_1, A_2\}, A_3) = \max(d(A_1, A_3), d(A_2, A_3)) = \max(5, 6) = 6
d({A1,A2},A4)=max⁡(d(A1,A4),d(A2,A4))=max⁡(8,9)=9d(\{A_1, A_2\}, A_4) = \max(d(A_1, A_4), d(A_2, A_4)) = \max(8, 9) = 9
Tam bağlantı (en uzak komşu) yönteminde, yeni oluşan küme ile dışarıdaki bir eleman arasındaki uzaklık, elemanlar arasındaki olası uzaklıkların en büyüğü alınarak tanımlanır.
3
Güncellenmiş uzaklık matrisindeki değerleri değerlendirerek ikinci birleşmeyi belirlemek.
Yeni durumda uzaklıklar: 6 ({A1,A2}\{A_1, A_2\} ile A3A_3), 9 ({A1,A2}\{A_1, A_2\} ile A4A_4) ve 7 (A3A_3 ile A4A_4). En küçük değer 6 olduğundan ikinci aşamada {A1,A2}\{A_1, A_2\} ile A3A_3 birleşir.
Bağlantı yöntemi (tam, tek, ortalama) sadece mesafenin tanımını değiştirir. Birleşme kuralı değişmez ve her iterasyonda her zaman mesafesi en küçük olanlar birleşir.

Anahtar Kavram

Tam Bağlantı (En Uzak Komşu) Yönteminde Küme Uzaklıklarının Hesaplanması
Soru 28Soru →

Bir çevre mühendisi, 5 farklı sanayi bölgesinin (Z1,Z2,Z3,Z4,Z5Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5) hava kirliliği emisyon profillerini sınıflandırmak amacıyla hiyerarşik kümeleme analizi uygulamaktadır. Bu bölgeler için hesaplanan uzaklık matrisinin alt üçgensel kısmı aşağıda verilmiştir:

Z1Z2Z3Z4Z5Z10Z2120Z32580Z4181460Z5302215100 \begin{array}{c|ccccc} & Z_1 & Z_2 & Z_3 & Z_4 & Z_5 \\ \hline Z_1 & 0 & & & & \\ Z_2 & 12 & 0 & & & \\ Z_3 & 25 & 8 & 0 & & \\ Z_4 & 18 & 14 & 6 & 0 & \\ Z_5 & 30 & 22 & 15 & 10 & 0 \end{array}

(Satır ve sütunlar sırasıyla Z1,Z2,Z3,Z4,Z5Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5 bölgelerini temsil etmektedir.)

Bu analizde tek bağlantı (en yakın komşu) yöntemi kullanıldığına göre, birinci birleştirme adımı tamamlandıktan sonra, yeni oluşan küme ile Z5Z_5 bölgesi arasındaki uzaklık değeri aşağıdakilerden hangisi olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Hiyerarşik kümeleme analizinde ilk adım, uzaklık matrisindeki en küçük değere sahip iki gözlemin birleştirilmesidir. Matriste sıfır dışındaki en küçük değer 6 olup, Z3Z_3 ile Z4Z_4 bölgeleri arasındadır. Bu nedenle ilk birleştirme adımında (Z3,Z4)(Z_3, Z_4) kümesi oluşur. Tek bağlantı (en yakın komşu) yönteminde, yeni oluşan kümenin başka bir gözlemle olan uzaklığı, mevcut uzaklıkların minimum değeri seçilerek belirlenir. Z5Z_5 bölgesinin Z3Z_3'e uzaklığı 15, Z4Z_4'e uzaklığı ise 10'dur. Bu yönteme göre yeni oluşan küme ile Z5Z_5 arasındaki uzaklık min⁡(15,10)=10\min(15, 10) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık matrisinden sıfır dışındaki en küçük değeri bularak ilk birleşecek kümeleri belirlemek
En küçük uzaklık değeri 6 (Z3Z_3 ve Z4Z_4 arası) olduğundan, ilk birleştirme adımında yeni küme (Z3,Z4)(Z_3, Z_4) olur.
Hiyerarşik kümeleme analizi, birbirine en yakın iki gözlemin (veya kümenin) birleştirilmesiyle başlar.
2
Oluşan yeni küme ile hedef gözlem (Z5Z_5) arasındaki mevcut mesafeleri tespit etmek
Matristen Z3Z_3 ile Z5Z_5 arası uzaklığın 15; Z4Z_4 ile Z5Z_5 arası uzaklığın 10 olduğu görülür.
Yeni küme ile dışarıdaki bir gözlem arasındaki uzaklığı bulmak için, küme elemanlarının o gözleme olan bireysel uzaklıkları kullanılır.
3
Tek bağlantı (en yakın komşu) yönteminin uzaklık kuralını uygulamak
min⁡(15,10)=10\min(15, 10) = 10
Tek bağlantı yöntemi, bir kümenin başka bir gözleme olan uzaklığını, o küme içindeki elemanların dışarıdaki gözleme olan uzaklıklarının en küçüğü (minimumu) olarak tanımlar.

Anahtar Kavram

Tek Bağlantı Yöntemi ile Uzaklık Güncelleme
Soru 29Soru →

Araştırmacı, nn birimden oluşan çok değişkenli bir veri setinde hiyerarşik kümeleme analizi uygulamak istemektedir. Literatür taraması sonucunda Merkezcil (Centroid) yöntem ile Ward yöntemini incelemiş ve her iki yöntemin de kümeleri birleştirirken küme ağırlık merkezlerini (centroid) temel aldığını fark etmiştir.

Buna göre, Ward yönteminin istatistiksel ve geometrik özellikleri ile Merkezcil yöntemden ayrılan yönleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ward yöntemi, her birleştirme adımında küme içi hata kareler toplamındaki (ESS) artışı maksimize edecek iki kümeyi birleştirerek, nihai aşamada kümeler arası varyansı minimize etmeyi amaçlar.

Cevap

Ward yönteminin amacını küme içi hata kareler toplamındaki (ESS) artışı maksimize etmek ve gruplar arası varyansı minimize etmek olarak ters tanımlayan ifadedir.
Ward yöntemi, varyans analizi prensiplerine dayanır. Temel amacı, kümeler oluşturulurken küme içi hata kareler toplamındaki (Error Sum of Squares - ESS) artışı MİNİMİZE etmek ve dolayısıyla kümeler arası varyansı MAKSİMİZE etmektir. Yanlış olan ifadede bu amaçlar tam tersi, yani ESS'yi maksimize edip kümeler arası varyansı minimize etmek şeklinde verilmiştir. Kümeleme analizinde amaç hiçbir zaman grup içi hataları maksimize etmek olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Hiyerarşik kümeleme yöntemlerinin amaç fonksiyonlarını karşılaştırmak.
Ward yöntemi Varyans Analizi (ANOVA) mantığına dayanır ve temel amacı Toplam Kareler Toplamını (TSS), Küme İçi Kareler Toplamı (ESS) ile Kümeler Arası Kareler Toplamı (BSS) olarak parçalamaktır.
Yöntemin hangi optimizasyon kriterini kullandığını istatistiksel temelde belirlemek için.
2
Ward yönteminin birleştirme kuralını ve optimizasyon hedefini değerlendirmek.
Ward yöntemi, daha homojen ve kompakt kümeler elde etmek için her adımda ESS'deki artışı (grup içi varyansı) en az (minimize) yapacak iki kümeyi birleştirir. TSS sabit olduğundan, ESS'nin minimize edilmesi doğrudan BSS'nin (gruplar arası varyansın) maksimize edilmesini sağlar.
Şıklarda verilen minimizasyon ve maksimizasyon ifadelerinin teorik doğruluğunu test etmek için.
3
Seçeneklerdeki ifadeleri sırasıyla analiz etmek.
İlgili seçenekte ESS'deki artışın 'maksimize', kümeler arası varyansın ise 'minimize' edildiği belirtilmiştir. Bu durum, iyi bir kümeleme yapısının özelliklerine tamamen terstir.
Yanlış olan spesifik ifadeyi tespit edip ayıklamak için.

Anahtar Kavram

Ward Yönteminin Optimizasyon Kriteri ve Merkezcil Yöntem Karşılaştırması
Soru 30Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, idari yetki alanındaki dört kamu hastanesini (H1, H2, H3, H4) altyapı kapasitelerine göre hiyerarşik olarak kümelemek istemektedir. Hastaneler arası başlangıç uzaklıklarını gösteren alt üçgensel matris aşağıda verilmiştir:

H1H2H3
H214
H3206
H4282218

Bu veriler kullanılarak Ağırlıklandırılmamış Ortalama Bağlantı (UPGMA) yöntemiyle kümeleme işlemi gerçekleştirilecektir.

Buna göre, ilk adımda birbirine en yakın olan iki hastane birleştirildikten sonra, oluşan yeni kümenin H1 ve H4 hastanelerine olan uzaklık değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17 ve 20

Cevap

17 ve 20
Hiyerarşik kümeleme analizinin ilk adımında, uzaklık matrisindeki en küçük değere sahip olan elemanlar birleştirilir. Tabloda en küçük mesafe 6 olup, H2 ve H3 hastaneleri arasındadır. Bu nedenle ilk olarak H2 ve H3 birleşerek yeni bir küme oluşturur. UPGMA (Ağırlıklandırılmamış Ortalama Bağlantı) yönteminde, oluşan yeni kümenin diğer gözlemlere uzaklığı, o gözlemin kümedeki her bir elemana olan uzaklıklarının aritmetik ortalamasıyla bulunur. Yeni kümenin H1'e uzaklığı: (14+20)/2=17(14 + 20) / 2 = 17. Yeni kümenin H4'e uzaklığı: (22+18)/2=20(22 + 18) / 2 = 20. Sırasıyla 17 ve 20 değerleri doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk birleştirilecek kümeyi belirleme
H2 ve H3 hastaneleri birleştirilerek C={H2,H3}C = \{H2, H3\} kümesi oluşturulur.
Alt üçgensel matristeki en küçük uzaklık değeri 6'dır ve bu değer H2 ile H3 hastaneleri arasındadır.
2
Oluşan yeni kümenin H1 hastanesine olan uzaklığını hesaplama
d(C,H1)=17d(C, H1) = 17
UPGMA yöntemine göre uzaklıkların ortalaması alınır: d(C,H1)=d(H2,H1)+d(H3,H1)2=14+202=17d(C, H1) = \frac{d(H2, H1) + d(H3, H1)}{2} = \frac{14 + 20}{2} = 17.
3
Oluşan yeni kümenin H4 hastanesine olan uzaklığını hesaplama
d(C,H4)=20d(C, H4) = 20
UPGMA yöntemine göre uzaklıkların ortalaması alınır: d(C,H4)=d(H2,H4)+d(H3,H4)2=22+182=20d(C, H4) = \frac{d(H2, H4) + d(H3, H4)}{2} = \frac{22 + 18}{2} = 20.

Anahtar Kavram

UPGMA (Ağırlıklandırılmamış Ortalama Bağlantı) Yöntemi İle Uzaklık Hesaplaması
Soru 31Soru →

Bir veri bilimci, müşteri segmentasyonu analizi kapsamında yığılmalı (agglomerative) hiyerarşik kümeleme algoritmalarından Ward yöntemini kullanmaktadır. Algoritmanın belirli bir adımında, birleştirilmek üzere aday olan iki farklı küme çifti (XX ve YY) değerlendirilmektedir.

- **XX çifti:** K1K_1 (eleman sayısı n1=4n_1 = 4) ve K2K_2 (eleman sayısı n2=4n_2 = 4) kümelerinden oluşmaktadır. Bu iki kümenin ağırlık merkezleri (sentroidleri) arasındaki Öklid uzaklığı d(K1,K2)=3d(K_1, K_2) = 3 birimdir.
- **YY çifti:** K3K_3 (eleman sayısı n3=1n_3 = 1) ve K4K_4 (eleman sayısı n4=7n_4 = 7) kümelerinden oluşmaktadır. Bu iki kümenin ağırlık merkezleri arasındaki Öklid uzaklığı d(K3,K4)=4d(K_3, K_4) = 4 birimdir.

Ward yönteminin temel amacı ve birleştirme kriteri dikkate alındığında, algoritmanın bu adımında hangi çiftin seçileceği ve bu seçime dayanak oluşturan hata kareler toplamındaki (ESS) artış miktarı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: YY çifti seçilir; çünkü bu işlem grup içi varyanstaki artışı en aza indirir ve hata kareler toplamındaki artış 14 birimdir.

Cevap

Hata kareler toplamındaki artışı en aza indiren YY çifti seçilir ve bu artış miktarı 14 birimdir.
Ward yöntemi, her adımda küme içi hata kareler toplamını (ESS) en az artıran küme çiftini birleştirmeyi amaçlar. İki kümenin birleşimiyle oluşan ESS artış miktarı ΔESS=ninjni+njd2\Delta ESS = \frac{n_i n_j}{n_i + n_j} d^2 formülü ile hesaplanır. XX çifti için bu değer 4×44+4×32=2×9=18\frac{4 \times 4}{4 + 4} \times 3^2 = 2 \times 9 = 18'dir. YY çifti için ise 1×71+7×42=78×16=14\frac{1 \times 7}{1 + 7} \times 4^2 = \frac{7}{8} \times 16 = 14'tür. 14 değeri 18'den daha küçük olduğu için, algoritma toplam varyansı daha az artıran YY çiftini seçer.

Adım Adım Çözüm

1
Ward yönteminde iki kümenin birleşmesi sonucu oluşan hata kareler toplamı (ESS) artış formülünü hatırlamak.
\Delta ESS = \frac{n_i n_j}{n_i + n_j} d^2
Ward yöntemi doğrudan Öklid uzaklığını değil, birleşme sonrası grup içi varyanstaki artışı minimize etmeyi hedefler.
2
XX çifti için verilen değerleri (n1=4n_1=4, n2=4n_2=4, d=3d=3) formülde yerine koyarak ESS artışını hesaplamak.
\Delta ESS_X = \frac{4 \times 4}{4 + 4} \times 3^2 = \frac{16}{8} \times 9 = 2 \times 9 = 18
XX çifti birleştirildiğinde oluşacak grup içi varyans artışını (maliyetini) bulmak için.
3
YY çifti için verilen değerleri (n3=1n_3=1, n4=7n_4=7, d=4d=4) formülde yerine koyarak ESS artışını hesaplamak.
\Delta ESS_Y = \frac{1 \times 7}{1 + 7} \times 4^2 = \frac{7}{8} \times 16 = 7 \times 2 = 14
YY çifti birleştirildiğinde oluşacak grup içi varyans artışını bulmak için.
4
Elde edilen ESS artış miktarlarını karşılaştırarak en küçük değere sahip olanı belirlemek.
14 < 18 olduğundan YY çifti seçilir.
Ward algoritmasının birleştirme kriteri her adımda ESS değerindeki artışı en aza (minimuma) indirmektir.

Anahtar Kavram

Ward Yönteminde Hata Kareler Toplamı (ESS) Artış Formülü
Soru 32Soru →

İstatistiksel kümeleme algoritmaları, kümelerin birbirine olan uzaklıklarını veya benzerliklerini tanımlarken farklı matematiksel kriterler kullanır. Hiyerarşik bir teknik olan Ward yöntemi, diğer bağlantı (linkage) algoritmalarından büyük ölçüde farklılaşarak doğrudan varyans tabanlı bir optimizasyon süreci yürütür.

Buna göre, Ward yönteminin temel küme birleştirme mekanizması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her iterasyonda, kümelerin ağırlık merkezleri arasındaki karesel Öklid uzaklığı, ilgili kümelerin eleman sayıları ile ağırlıklandırılır ve küme içi hata kareler toplamındaki (ESS) artışı en küçük yapan küme çifti birleştirilir.

Cevap

Her iterasyonda, kümelerin ağırlık merkezleri arasındaki karesel Öklid uzaklığı, ilgili kümelerin eleman sayıları ile ağırlıklandırılır ve küme içi hata kareler toplamındaki (ESS) artışı en küçük yapan küme çifti birleştirilir.
Ward yöntemi, hiyerarşik kümeleme algoritmaları içinde varyans analizi prensiplerini kullanan tek yaklaşımdır. Her iterasyonda tüm olası küme birleşimlerinin, küme içi hata kareler toplamını (Error Sum of Squares - ESS) ne kadar artıracağı hesaplanır. Algoritma, bu artışı (ΔESS=nAnBnA+nB∣∣xˉA−xˉB∣∣2\Delta ESS = \frac{n_A n_B}{n_A + n_B} ||\bar{x}_A - \bar{x}_B||^2) minimum yapan küme çiftini birleştirerek bilgi kaybını en aza indirmeyi hedefler.

Adım Adım Çözüm

1
Ward yönteminin temel amacının küme içi varyansı (hata kareler toplamı - ESS) minimize etmek olduğunu analiz et.
Ward yönteminin doğrudan Öklid uzaklıkları yerine bilgi kaybı (varyans artışı) üzerinden çalıştığı belirlenir.
Yöntemin varyans analizi (ANOVA) prensiplerini temel alması, klasik yöntemlerden en büyük farkıdır.
2
Diğer bağlantı yöntemlerinin (tek, tam, ortalama, medyan) uzaklık hesaplama metriklerini gözden geçir.
Tek bağlantının en yakın komşu, tam bağlantının en uzak komşu, ortalama bağlantının aritmetik ortalama, medyan bağlantının ise ortancaları kullandığı görülür.
Yanlış seçenekleri eleyebilmek için her yöntemin ayırıcı özelliğini bilmek gerekir.
3
Ward yönteminde iki kümenin (AA ve BB) birleştirilme maliyetinin ( ΔESS\Delta ESS ) matematiksel yapısını incele.
Artışın hesaplanmasında, kümelerin ağırlık merkezleri (xˉA\bar{x}_A, xˉB\bar{x}_B) arasındaki karesel Öklid uzaklığının, kümelerin eleman sayıları (nA,nBn_A, n_B) üzerinden nAnBnA+nB\frac{n_A n_B}{n_A + n_B} ile ağırlıklandırıldığı doğrulanır.
Ağırlıklandırma, büyük ve küçük kümelerin birleşme maliyetlerinin adil bir şekilde karşılaştırılmasını sağlar.
4
Seçenekler arasında bu spesifik matematiksel süreci (ağırlık merkezleri, eleman sayılarıyla ağırlıklandırma ve ESS minimizasyonu) içeren ifadeyi tespit et.
ESS artışını en küçük yapan çiftin birleştirildiğini belirten ifade doğru kabul edilir.
Algoritmanın her adımındaki temel optimizasyon kuralı budur.

Anahtar Kavram

Ward Yöntemi ve Hata Kareler Toplamı (ESS) Minimizasyonu
Soru 33Soru →

Bir Halk Sağlığı Kurumu uzmanı, 81 ili sağlık profillerine göre gruplamak amacıyla KK-Ortalamalar (KK-Means) kümeleme analizi uygulayacaktır. Analizde kullanılacak iki temel değişken şunlardır:

- Yıllık kişi başı sağlık harcaması (1.000 TL ile 50.000 TL arasında değişen değerler)
- Yüz bin kişide görülen belirli bir kronik hastalık vaka sayısı (1 ile 50 arasında değişen değerler)

Uzman, algoritmada uzaklık ölçüsü olarak Öklid (Euclidean) uzaklığını kullanmaya karar vermiş, ancak değişkenleri herhangi bir standartlaştırma (ölçeklendirme) işlemine tabi tutmadan ham halleriyle analize dâhil etmiştir.

Buna göre, verilerin standartlaştırılmamasının analiz sonuçları üzerindeki temel etkisi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Geniş değer aralığına ve yüksek varyansa sahip olan "yıllık kişi başı sağlık harcaması" değişkeni Öklid uzaklığı hesaplamalarını domine edecek ve kümeler büyük oranda sadece bu değişkene göre şekillenecektir.

Cevap

Geniş değer aralığına sahip olan değişkenin uzaklık hesaplamalarını domine edeceği ve kümelerin buna göre şekilleneceği ifadesidir.
Öklid uzaklığı hesaplanırken her boyutun (değişkenin) farklarının karesi alınarak toplanır. Bir değişkenin değerleri binlerle ifade edilirken diğeri onlarla ifade ediliyorsa, binlerle ifade edilen değişkenin uzaklık formülüne katkısı devasa olacaktır. Bu durumda, küçük aralıktaki değişkenin kümelerin oluşumuna hiçbir etkisi kalmaz ve tüm kümeleme yapısı varyansı büyük olan değişkene göre şekillenir. Bu nedenle kümeleme analizinden önce birim farklılıklarını ortadan kaldırmak için Z-skor standartlaştırması gibi işlemlerin yapılması kritik öneme sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1
KK-Ortalamalar algoritmasında kullanılan uzaklık ölçüsünün özelliklerini değerlendirme
Öklid uzaklığı, iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplarken her bir değişkendeki mutlak farkların karelerini toplar.
Algoritmanın atama adımlarının hangi matematiğe dayandığını belirlemek.
2
Değişkenlerin ölçek farklılıklarının uzaklık formülündeki etkisini hesaplama
Harcanan tutardaki 5.000 TL'lik bir farkın karesi (25.000.000), hastalık vaka sayısındaki maksimum farkın (örneğin 40) karesinden (1.600) kıyaslanamayacak kadar büyüktür.
Verilerin standartlaştırılmamasının yarattığı asimetriyi görmek.
3
Algoritmanın bu asimetriye vereceği tepkiyi analiz etme
Hastalık vaka sayısındaki değişimler Öklid uzaklığı toplamı içinde tamamen kaybolacaktır. Algoritma, illeri sadece sağlık harcaması birbirine yakın olanlar şeklinde kümeleyecektir.
Sorunun sorduğu temel etkiyi bilimsel bir nedene bağlamak.

Anahtar Kavram

K-Ortalamalar Yönteminde Değişken Ölçeklendirmesinin (Standartlaştırma) Önemi
Soru 34Soru →

Hiyerarşik kümeleme analizi algoritmalarından Ward yöntemi (minimum varyans yöntemi) ile gerçekleştirilen bir işlemde, algoritmanın herhangi bir adımında ağırlık merkezleri (centroid) birbirine geometrik olarak en yakın olan AA ve BB kümelerini birleştirmek yerine, ağırlık merkezleri arasındaki karesel Öklid uzaklığı nispeten daha büyük olan CC ve DD kümelerini birleştirdiği tespit edilmiştir.

Buna göre, Ward yönteminin bu birleştirme tercihini yapmasının temel matematiksel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birleştirme kriterinin doğrudan merkezler arası uzaklığı değil, birleşme sonrası küme içi hata kareler toplamındaki (ESS) artışı minimize etmesi ve bu artışın kümelerin eleman sayılarıyla ağırlıklandırılması

Cevap

Ward yönteminde birleştirme kararı, doğrudan merkezler arası uzaklığa değil, birleşme sonucu hata kareler toplamında (ESS) oluşacak artışın minimize edilmesine ve bu artışın kümelerin eleman sayılarıyla ağırlıklandırılmasına dayanır.
Ward yöntemi, birleştirme kararlarını sadece kümelerin ağırlık merkezleri arasındaki karesel Öklid uzaklığına (∣∣xˉi−xˉj∣∣2||\bar{x}_i - \bar{x}_j||^2) göre vermez. Yöntemin temel amacı, birleşme sonrasında toplam küme içi varyansta (hata kareler toplamı - ESS) oluşacak artışı minimize etmektir. Bu artış miktarı, kümelerin eleman sayılarıyla ağırlıklandırılmış karesel uzaklığa eşittir: ΔESS=nAnBnA+nB∣∣xˉA−xˉB∣∣2\Delta ESS = \frac{n_A n_B}{n_A + n_B} ||\bar{x}_A - \bar{x}_B||^2. Dolayısıyla, eleman sayısı çok fazla olan ancak birbirine yakın iki kümenin birleşmesi, ESS değerini büyük oranda artırabilirken; eleman sayısı çok az olan ancak birbirine nispeten daha uzak iki kümenin birleşmesi ESS değerini daha az artırabilir. Bu matematiksel ağırlıklandırma nedeniyle algoritma, uzak ama küçük kümeleri birleştirmeyi tercih etmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Ward yönteminin hedef fonksiyonunu analiz etme
Ward yöntemi, her adımda küme içi hata kareler toplamındaki (Error Sum of Squares - ESS) artışı en küçük yapan iki kümeyi birleştirir.
Yöntemin temel çalışma prensibi varyans minimizasyonudur.
2
ESS artış miktarının matematiksel formülünü değerlendirme
İki kümenin (ii ve jj) birleşmesi durumunda ESS'deki artış şu formülle hesaplanır: ΔESS=ninjni+nj∣∣xˉi−xˉj∣∣2\Delta ESS = \frac{n_i n_j}{n_i + n_j} ||\bar{x}_i - \bar{x}_j||^2. Burada nn eleman sayısını, xˉ\bar{x} ise ağırlık merkezini ifade eder.
Uzaklığın eleman sayısıyla nasıl ağırlıklandırıldığını görmek için formüle ihtiyaç vardır.
3
Formülü senaryoya uygulama
Eğer AA ve BB kümelerinin eleman sayıları (nA,nBn_A, n_B) çok büyükse, merkezleri yakın olsa bile ΔESS\Delta ESS çok yüksek çıkabilir. Buna karşın CC ve DD kümelerinin eleman sayıları çok küçükse, merkezleri daha uzak olsa da ΔESS\Delta ESS daha düşük çıkabilir. Algoritma düşük olanı seçeceği için CC ve DD'yi birleştirir.
Merkezleri yakın olan kümelerin neden her zaman ilk olarak birleştirilmediğini formül üzerinden ispatlamak.

Anahtar Kavram

Ward Yöntemi Hedef Fonksiyonu ve Hata Kareler Toplamı (ESS) Artışı
Soru 35Soru →
Bir araştırmacı, çok değişkenli bir veri seti üzerinde hiyerarşik kümeleme analizi uygularken, herhangi iki küme (K1K_1 ve K2K_2) arasındaki uzaklığı belirlemek için bu kümelerde yer alan gözlem birimi çiftleri arasındaki en küçük uzaklığı dikkate almaktadır. Matematiksel olarak bu uzaklık, d(K1,K2)=min⁡{d(x,y):x∈K1,y∈K2}d(K_1, K_2) = \min \{d(x,y) : x \in K_1, y \in K_2\} formülü ile hesaplanmaktadır.

Araştırmacının kullandığı bu bağlantı yöntemi ve veri setinde kümeler arasında köprü (bridge) görevi gören gözlemler bulunduğunda, bu yöntemin yol açması beklenen tipik yapısal sorun aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tek bağlantı yöntemi — Zincirleme (chaining) etkisi

Cevap

Araştırmacının kullandığı yöntem Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) yöntemidir ve bu yöntemin tipik sorunu zincirleme (chaining) etkisidir.
Verilen d(K1,K2)=min⁡{d(x,y)}d(K_1, K_2) = \min \{d(x,y)\} matematiksel formülü, iki küme arasındaki mesafeyi en yakın iki üye arasındaki mesafe olarak tanımlayan 'Tek Bağlantı' (En Yakın Komşu) yöntemine aittir. Bu yöntemin istatistiksel analizlerdeki en bilinen ve karakteristik dezavantajı, kümeler arasında yer alan aykırı değerlerin veya köprü görevi gören noktaların, kümeleri mantıksız bir şekilde uzatarak birleştirmesine neden olan 'zincirleme' (chaining) etkisidir.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık formülünün hangi kümeleme yöntemine ait olduğunu tanımla.
d(K1,K2)=min⁡{...}d(K_1, K_2) = \min \{...\} formülü, iki küme arasındaki mesafeyi, kümelerin birbirine en yakın iki elemanı arasındaki mesafe olarak ölçer. Bu, 'Tek Bağlantı' (Single Linkage) yöntemidir.
Yöntemin adını belirlemek, sorunun ilk parçasını çözmek için gereklidir.
2
Belirlenen yöntemin temel zayıflığını ve özelliklerini analiz et.
Tek bağlantı yönteminde, kümeler arasına düşen birkaç aykırı değer veya 'köprü' niteliğindeki gözlem, birbirinden ayrı ve belirgin olması gereken büyük kümelerin birbiriyle erken birleşmesine ve yılan gibi uzayan kümeler oluşmasına neden olur.
Soruda bahsedilen 'köprü görevi gören gözlemler bulunduğunda ortaya çıkan sorun' ifadesinin literatürdeki karşılığını bulmak hedeflenmektedir.
3
Bulunan yöntemi ve dezavantajını eşleştir.
Yöntem: Tek bağlantı yöntemi. Sorun: Zincirleme (chaining) etkisi.
Seçenekler arasından doğru ikiliyi seçmek.

Anahtar Kavram

Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) Yöntemi ve Özellikleri
Soru 36Soru →

İki değişkenli (X1X_1 ve X2X_2) bir veri setinden elde edilen örneklem ortalama vektörü xˉ=[00]\bar{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi S=[108081]S = \begin{bmatrix} 1 & 0{}8 \\ 0{}8 & 1 \end{bmatrix} olarak verilmiştir.

Bu veri setinde yer alan P(1,1)P(1, 1) ve Q(1,−1)Q(1, -1) gözlem vektörlerinin ortalama vektörüne (orijine) olan Öklid uzaklıkları sırasıyla dE(P)d_E(P) ve dE(Q)d_E(Q), Mahalanobis uzaklıkları ise dM(P)d_M(P) ve dM(Q)d_M(Q) ile gösterilmektedir.

Buna göre, bu iki gözlemin uzaklık değerleri arasındaki ilişkiler aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: dE(P)=dE(Q)d_E(P) = d_E(Q) ve dM(P)<dM(Q)d_M(P) < d_M(Q)

Cevap

Her iki noktanın Öklid uzaklıkları eşittir (dE(P)=dE(Q)d_E(P) = d_E(Q)), ancak pozitif korelasyonun yönü hesaba katıldığında P noktasının Mahalanobis uzaklığı Q noktasından daha küçüktür (dM(P)<dM(Q)d_M(P) < d_M(Q)).
Öklid uzaklığı değişkenler arası korelasyonu dikkate almaz; dolayısıyla her iki noktanın orijine olan uzaklığı formüle göre 12+(±1)2=2\sqrt{1^2 + (\pm 1)^2} = \sqrt{2} olarak birbirine eşittir. Mahalanobis uzaklığı ise veri setinin varyans-kovaryans yapısını hesaba katar. Verilen SS matrisindeki 080{}8 değeri, değişkenler arasında çok güçlü bir pozitif korelasyon olduğunu gösterir. Geometrik olarak bu durum, veri bulutunun (dağılım elipsinin) X1=X2X_1 = X_2 doğrusu boyunca uzandığı anlamına gelir. P(1,1)P(1, 1) noktası tam olarak bu yayılım yönünde (dağılımın ana ekseni üzerinde) yer aldığı için Mahalanobis uzaklığı çok küçüktür. Buna karşın Q(1,−1)Q(1, -1) noktası, dağılımın en dar olduğu ortogonal yönde yer alır ve varyansın çok küçük olduğu bu eksendeki sapma şiddetle cezalandırılarak istatistiksel uzaklık ciddi şekilde büyür (dM2=10d_M^2 = 10).

Adım Adım Çözüm

1
Her iki gözlem noktasının ortalama vektörüne (orijine) olan Öklid uzaklıklarını hesaplamak.
dE(P)=12+12=2d_E(P) = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ve dE(Q)=12+(−1)2=2d_E(Q) = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} elde edilir. Buradan dE(P)=dE(Q)d_E(P) = d_E(Q) bulunur.
Öklid uzaklığı, noktalar arasındaki geometrik mesafeyi ölçer ve değişkenler arası korelasyonu (kovaryansı) dikkate almaz.
2
Mahalanobis uzaklığını hesaplayabilmek için varyans-kovaryans matrisinin tersini (S−1S^{-1}) bulmak.
S−1=11−(08)2[1−08−081]=1036[1−08−081]S^{-1} = \frac{1}{1 - (0{}8)^2} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Mahalanobis uzaklığının karesel formu olan dM2=(x−xˉ)TS−1(x−xˉ)d_M^2 = (x - \bar{x})^T S^{-1} (x - \bar{x}) eşitliği, dağılımın yapısını yansıtmak için ters matris işlemine ihtiyaç duyar.
3
Elde edilen S−1S^{-1} matrisini kullanarak her iki nokta için karesel Mahalanobis uzaklıklarını hesaplamak.
dM2(P)=[11]1036[1−08−081][11]=04036≈111d_M^2(P) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{0{}4}{0{}36} \approx 1{}11 ve dM2(Q)=[1−1]1036[1−08−081][1−1]=36036=10d_M^2(Q) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{3{}6}{0{}36} = 10 olarak bulunur. Sonuç olarak dM(P)<dM(Q)d_M(P) < d_M(Q) olur.
Veri setinde pozitif ve yüksek bir korelasyon (080{}8) olduğundan dağılım X1=X2X_1 = X_2 doğrusu boyunca uzanmaktadır. Bu eksen üzerindeki P(1,1)P(1, 1) noktasının istatistiksel uzaklığı küçük çıkarken, bu dağılıma ters yönde yer alan Q(1,−1)Q(1, -1) noktası güçlü bir şekilde cezalandırılır.

Anahtar Kavram

Öklid ve Mahalanobis Uzaklıklarının Geometrik ile İstatistiksel Farklılıkları
Soru 37Soru →

Bir veri bilimci, e-ticaret platformundaki 6 farklı kullanıcı profilini (M1,M2,M3,M4,M5,M6M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6) davranışsal metrikler üzerinden gruplamak için hiyerarşik kümeleme analizi algoritmalarından Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) yöntemini tercih etmiştir.

Analizin ilerleyen bir aşamasında algoritmik süreç şu durumu üretmiştir:
- Oluşan kümeler: KA={M1,M3,M5}K_A = \{M_1, M_3, M_5\} ve KB={M2,M4}K_B = \{M_2, M_4\}
- Henüz hiçbir kümeye atanmamış tekil gözlem: M6M_6

Kullanıcı profilleri arasındaki başlangıç Öklid uzaklık matrisinden alınan bazı değerler aşağıda verilmiştir:
- d(M1,M2)=14d(M_1, M_2) = 14, d(M1,M4)=6d(M_1, M_4) = 6
- d(M3,M2)=9d(M_3, M_2) = 9, d(M3,M4)=12d(M_3, M_4) = 12
- d(M5,M2)=15d(M_5, M_2) = 15, d(M5,M4)=17d(M_5, M_4) = 17
- M6M_6'nın KAK_A kümesindeki elemanlara olan uzaklıkları sırasıyla: d(M1,M6)=16d(M_1, M_6) = 16, d(M3,M6)=8d(M_3, M_6) = 8, d(M5,M6)=11d(M_5, M_6) = 11

Verilen bu kesit bilgisine göre, algoritmanın bir sonraki iterasyonda kullanacağı d(KA,KB)d(K_A, K_B) ve d(KA,M6)d(K_A, M_6) güncel küme uzaklıkları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6 ve 8

Cevap

Güncel uzaklıklar sırasıyla 6 ve 8'dir.
Tek bağlantı (En yakın komşu) yönteminde iki küme arasındaki uzaklık, bu iki kümenin birbirine en yakın iki elemanı arasındaki uzaklık olarak tanımlanır. KAK_A ve KBK_B kümeleri için tüm ikili kombinasyonlar incelendiğinde minimum uzaklık d(M1,M4)=6d(M_1, M_4) = 6'dır. KAK_A ve M6M_6 için incelendiğinde minimum uzaklık d(M3,M6)=8d(M_3, M_6) = 8'dir. Bu nedenle doğru uzaklıklar sırasıyla 6 ve 8 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) yönteminin hesaplama kuralını tanımlamak.
İki küme arasındaki uzaklık, bu kümelerin elemanları arasındaki tüm olası ikili uzaklıkların en küçüğü (minimum değeri) olarak belirlenir.
Algoritmanın ilerlemesi için kümelerin birbirine en yakın noktalarından birleştirilmesi gerekmektedir.
2
KAK_A ve KBK_B kümeleri arasındaki uzaklığı hesaplamak.
Verilen dd değerleri arasından minimum olanı bulunur: min⁡(14,6,9,12,15,17)=6\min(14, 6, 9, 12, 15, 17) = 6.
KA={M1,M3,M5}K_A=\{M_1, M_3, M_5\} ve KB={M2,M4}K_B=\{M_2, M_4\} kümelerinin tüm eleman eşleşmeleri değerlendirildiğinde en kısa mesafe d(M1,M4)=6d(M_1, M_4) = 6 olarak tespit edilir.
3
KAK_A kümesi ile M6M_6 gözlemi arasındaki uzaklığı hesaplamak.
M6M_6'nın KAK_A elemanlarına uzaklıklarının minimumu bulunur: min⁡(16,8,11)=8\min(16, 8, 11) = 8.
M6M_6 gözlemi ile KAK_A kümesi arasındaki en yakın bağlantı d(M3,M6)=8d(M_3, M_6) = 8 üzerinden kurulmaktadır.

Anahtar Kavram

Tek Bağlantı (En Yakın Komşu) yönteminde küme uzaklıklarının minimum değerler üzerinden hesaplanması.
Soru 38Soru →

Bir kamu kurumunun insan kaynakları analisti, çalışanları "Aylık Gelir (TL)" ve "Performans Puanı (1-100)" olmak üzere iki nicel değişken üzerinden gruplandırmak için KK-Ortalamalar (KK-Means) algoritmasını kullanacaktır. Aylık gelir değişkeni 20.00020.000 ile 150.000150.000 TL aralığında, performans puanı ise 1010 ile 100100 aralığında değerler almaktadır. Analist, veri setindeki değişkenlere herhangi bir standartlaştırma (ölçeklendirme) işlemi uygulamadan, uzaklık ölçüsü olarak Öklid bağıntısını seçerek algoritmayı çalıştırmıştır.

Algoritmanın bir aşamasında, C1C_1 kümesinin mevcut merkez noktası (sentroidi) (40.000,60)(40.000, 60) olarak hesaplanmış olup bu kümede 44 çalışan bulunmaktadır. Bir sonraki iterasyonda, aylık geliri 60.00060.000 TL ve performans puanı 8080 olan yeni bir çalışan daha C1C_1 kümesine dahil edilmiş, mevcut çalışanlardan hiçbiri kümeden ayrılmamıştır.

Buna göre, analizde standartlaştırma yapılmamasının yaratacağı kavramsal sonuç ve C1C_1 kümesinin güncellenmiş merkez noktası aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Aylık gelir değişkeninin değer aralığı ve varyansı çok daha büyük olduğu için uzaklık hesaplamalarını domine etmesi; yeni merkez noktasının (44.000,64)(44.000, 64) olması

Cevap

Standartlaştırma yapılmaması durumunda, değer aralığı ve varyansı çok daha büyük olan aylık gelir değişkeninin uzaklık hesaplamalarını domine edeceği ve güncellenmiş merkez noktasının ağırlıklı ortalama ile (44.000, 64) olarak hesaplandığı seçenektir.
Öklid uzaklığı, standartlaştırma yapılmadığında her zaman birim aralığı (varyansı) en büyük olan değişkenin yönlendirmesi altında kalır; bu senaryoda binlerce liralık farklar yaratan aylık gelir, onluk birimlerde kalan performans puanını tamamen gölgede bırakacaktır. Ayrıca, bir kümeye yeni eleman eklendiğinde merkez noktası (sentroid) güncellenirken mevcut elemanların sayısı (ağırlığı) dikkate alınarak ağırlıklı ortalama hesaplanmalıdır: ((4 × 40.000) + 60.000) / 5 = 44.000 ve ((4 × 60) + 80) / 5 = 64 işlemleri, algoritmanın doğru matematiksel güncelleme adımlarıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Standartlaştırma yapılmamasının etkisini belirleme
Aylık gelir değişkeni (20.000-150.000), performans puanı değişkenine (10-100) göre çok daha büyük değerler aldığı için, iki gözlem arasındaki Öklid uzaklığındaki kareler farkı tamamen aylık gelir tarafından domine edilecektir.
Öklid uzaklığı değişkenlerin ölçek farklılıklarına karşı hassastır ve standartlaştırma (z-skoru vb.) yapılmadığında varyansı büyük olan değişken, mesafe matrisini tek başına belirler.
2
Mevcut kümedeki toplam değerleri hesaplama
4 çalışanın toplam aylık geliri = 4 × 40.000 = 160.000 TL. 4 çalışanın toplam performans puanı = 4 × 60 = 240.
Yeni sentroidi (merkez noktayı) bulabilmek için kümedeki mevcut elemanların toplam değerlerini bilmek ve ağırlıklı ortalamayı kullanmak gerekir.
3
Yeni nokta eklendiğinde oluşan güncel toplamları bulma
Yeni toplam aylık gelir = 160.000 + 60.000 = 220.000 TL. Yeni toplam performans puanı = 240 + 80 = 320.
Kümeye yeni katılan gözlemin değerleri mevcut toplamlara eklenerek yeni iterasyonun veri havuzu oluşturulur.
4
Güncellenmiş merkez noktasını hesaplama
Yeni merkez = (220.000 / 5, 320 / 5) = (44.000, 64).
Kümeye 1 çalışan eklendiği için yeni eleman sayısı 5 olmuştur. Her iki değişkenin toplam değeri 5'e bölünerek yeni sentroid elde edilir.

Anahtar Kavram

K-Ortalamalar Algoritmasında Değişken Ölçeklendirme ve Sentroid Güncellemesi
Soru 39Soru →

Bir araştırmacı, çok boyutlu sürekli değişkenlerden oluşan bir veri seti üzerinde yığılmalı (agglomerative) hiyerarşik kümeleme analizi yapmaktadır. Araştırmacı, analizinde hem Ward yöntemini hem de Merkezcil (Centroid) yöntemi uygulamış ve her iki yönteme ait dendrogramları karşılaştırmıştır. İnceleme sonucunda, Merkezcil yönteme ait dendrogramda bazı birleştirme adımlarında 'tersine dönme' (inversion / dendrogram dallarının aşağı doğru uzaması) problemi yaşandığını, Ward yönteminde ise birleşme uzaklıklarının her iterasyonda monoton olarak arttığını ve tersine dönme durumunun kesinlikle oluşmadığını gözlemlemiştir.

Bilindiği üzere, her iki yöntem de temel olarak kümelerin ağırlık merkezleri (centroid) üzerinden işlem yapmaktadır.

Buna göre, Ward yönteminde Merkezcil yöntemden farklı olarak tersine dönme (inversion) probleminin hiçbir zaman ortaya çıkmamasının temel matematiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ward yönteminde birleşme uzaklığının, kümelerin ağırlık merkezleri arasındaki karesel mesafenin ninjni+nj\frac{n_i n_j}{n_i+n_j} katsayısıyla ağırlıklandırılarak hesaplanması ve bu sayede Lance-Williams güncelleme formülünde monotonluk koşullarının daima sağlanması.

Cevap

Ward yönteminde Merkezcil yöntemden farklı olarak tersine dönme probleminin yaşanmamasının temel nedeni, uzaklık ölçüsünün ninjni+nj\frac{n_i n_j}{n_i+n_j} faktörü ile ağırlıklandırılarak Lance-Williams formülünde monotonluk koşulunu sağlamasıdır.
Hiyerarşik kümeleme algoritmalarında, birleşme uzaklıklarının her adımda büyümesi 'monotonluk' olarak adlandırılır. Merkezcil (Centroid) yöntemde iki küme birleşirken oluşan yeni ağırlık merkezinin konumu, Lance-Williams formülünde monotonluğu bozabilen (negatif beta katsayısı üreten) bir yapıya sahiptir ve bu da dendrogramda 'tersine dönme' (inversion) yaratır. Ward yöntemi de ağırlık merkezlerini kullanmasına rağmen, uzaklık fonksiyonu merkezler arası mesafeyi ninjni+nj\frac{n_i n_j}{n_i+n_j} faktörü ile (hata kareler toplamındaki artış formunda) ağırlıklandırır. Bu faktör, algoritmanın matematiksel olarak Lance-Williams monotonluk koşulunu (αi+αj+β≥1\alpha_i + \alpha_j + \beta \geq 1) her iterasyonda kusursuz olarak sağlamasını garanti eder.

Adım Adım Çözüm

1
Tersine dönme (inversion) probleminin hiyerarşik kümeleme algoritmalarındaki matematiksel karşılığını tanımlamak.
Tersine dönme (inversion), Lance-Williams birleştirme formülünde birleşme mesafesinin önceki adımdan daha küçük çıkması, yani monotonluğun bozulması durumudur.
Merkezcil yöntemde bu problemin neden yaşandığını ve Ward yönteminde neden engellendiğini karşılaştırmak için temel teorik altyapıyı kurmak.
2
Merkezcil (Centroid) yöntemin uzaklık fonksiyonunu ve monotonluk ihlalini değerlendirmek.
Merkezcil yöntem, birleşme uzaklığını doğrudan ağırlık merkezleri arası Öklid uzaklığı olarak tanımlar. Lance-Williams formülündeki β\beta katsayısının negatif ve mutlak değerce büyük olabilmesi nedeniyle formül monotonluk koşulunu (αi+αj+β≥1\alpha_i + \alpha_j + \beta \geq 1) her zaman sağlamaz.
Tersine dönmenin asıl kaynağını tespit etmek.
3
Ward yönteminin uzaklık fonksiyonunu ve Lance-Williams katsayılarını incelemek.
Ward yöntemi, iki küme arasındaki mesafeyi doğrudan merkezler arası uzaklık olarak değil, ninjni+nj∣∣xˉi−xˉj∣∣2\frac{n_i n_j}{n_i+n_j} ||\bar{x}_i - \bar{x}_j||^2 şeklinde eleman sayılarıyla ağırlıklandırarak (Grup İçi Hata Kareler Toplamındaki artış olarak) hesaplar.
Ağırlıklandırma faktörünün yöntemin matematiksel işleyişine olan etkisini belirlemek.
4
Ward yöntemindeki ağırlıklandırmanın Lance-Williams formülüne etkisini bağlamak.
Eleman sayılarına dayalı bu spesifik ağırlıklandırma, Lance-Williams güncelleme formülündeki parametrelerin toplamının monotonluk şartını daima güvence altına almasına neden olur ve inversion problemini kesin olarak ortadan kaldırır.
Soruda istenen temel matematiksel kanıtı sonuçlandırmak.

Anahtar Kavram

Ward Yönteminde Monotonluk ve Lance-Williams Formülü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 40Soru →

Bir Kalkınma Ajansı uzmanı, bölgeleri "Yatırım Teşvik Tutarı (milyon TL)" ve "İşsizlik Oranı Değişimi (yüzde)" değişkenlerini kullanarak KK-Ortalamalar (KK-Means) yöntemiyle kümelemektedir. Yatırım tutarları 5050 ile 5.0005.000 arasında değişirken, işsizlik oranı değişimi −2-2 ile +2+2 arasındadır. Uzman, verileri standartlaştırmadan Öklid uzaklığı kullanarak analizi tamamladığında elde edilen kümelerin yapısı hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kümeler büyük ölçüde "Yatırım Teşvik Tutarı" değişkenindeki farklılıklara göre şekillenir ve işsizlik oranındaki değişimlerin etkisi ihmal edilebilir düzeyde kalır.

Cevap

Kümelerin büyük ölçüde Yatırım Teşvik Tutarı değişkenindeki farklılıklara göre şekillenmesi ve işsizlik oranının etkisinin azalması.
K-Ortalamalar algoritması Öklid uzaklığını kullandığından, değişkenlerin ölçüm birimleri ve varyansları sonuçlar üzerinde belirleyici bir etkiye sahiptir. Yatırım Teşvik Tutarı değişkeni binlerce birimlik bir aralığa sahipken, işsizlik oranı sadece 4 birimlik bir aralıkta değişmektedir. Bu durum, uzaklık hesaplamasında yatırım tutarındaki küçük oynamaların bile işsizlik oranındaki en büyük farktan daha etkili olmasına yol açar. Dolayısıyla kümeler sadece yatırım tutarına göre ayrışmış gibi görünür.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin değer aralıklarını karşılaştırın.
Yatırım tutarı aralığı: 4.9504.950 birim; İşsizlik oranı aralığı: 44 birim.
Değişkenler arasındaki ölçek farkını tespit etmek için aralık analizi gereklidir.
2
Öklid uzaklığı formülünü (d=∑(xi−yi)2d = \sqrt{\sum(x_i - y_i)^2}) analiz edin.
Yatırım tutarındaki 100100 birimlik bir farkın karesi (10.00010.000), işsizlik oranındaki maksimum farkın karesinden (42=164^2 = 16) çok daha büyüktür.
Uzaklık hesaplamasında hangi değişkenin daha fazla ağırlığa sahip olacağını belirlemek için.
3
Ölçeklendirmenin etkisini yorumlayın.
Büyük varyanslı ve geniş aralıklı değişken (Yatırım), küme sınırlarını belirleyen temel unsur olur.
K-Ortalamalar yönteminin ölçek hassasiyetini sonuca bağlamak için.

Anahtar Kavram

K-Ortalamalar yönteminde değişken ölçeklendirmesinin (standardizasyon) uzaklık hesaplaması üzerindeki kritik etkisi.

Daha Fazla Pratik

Standartlaştırma (Z-skoru) veya Normalizasyon (0-1) işlemlerinin kümeleme sonuçları üzerindeki etkisini görselleştiren sorulara çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Kümeleme Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2 | Examkin