Temel Bileşenler Analizi

Sağlık Bakanlığı'na bağlı bir denetim birimi, ilçe devlet hastanelerinin hizmet kapasitesini incelemek için; "personel sayısı (kişi)", "aylık poliklinik bütçesi (bin TL)", "yoğun bakım doluluk oranı (yüzde)" ve "randevu bekleme süresi (gün)" değişkenlerini içeren bir veri matrisi oluşturmuştur. Bir araştırmacı, veriler üzerinde herhangi bir dönüştürme yapmadan doğrudan örneklem kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Buna göre, tercih edilen matrisin analiz sonuçlarına etkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA), $p$-boyutlu uzaydaki orijinal değişkenlerin varyans-kovaryans yapısı, özdeğer ve özvektörler kullanılarak yeni bir koordinat sistemine dönüştürülür.

Bu dönüşümün geometrik yorumu ve matrislerin diklik (ortogonallik) özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Çok değişkenli istatistiksel analizde, $p$ boyutlu bir $\mathbf{X}$ veri matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirilirken, analizin örneklem kovaryans matrisi ($\mathbf{S}$) veya örneklem korelasyon matrisi ($\mathbf{R}$) üzerinden yapılması elde edilecek sonuçları köklü biçimde etkilemektedir.

Bir veri analisti, sırasıyla $X_1, X_2, \dots, X_p$ değişkenlerinden oluşan ve ölçüm birimleri ile varyansları arasında devasa farklılıklar (heterojen ölçek yapısı) bulunan bir teorik veri seti üzerinde TBA uygulamaktadır. $\mathbf{S}$ matrisinin özdeğerleri $l_1 \ge l_2 \ge \dots \ge l_p$, $\mathbf{R}$ matrisinin özdeğerleri ise $c_1 \ge c_2 \ge \dots \ge c_p$ olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, matris seçimi ve TBA sonuçları üzerindeki teorik etkileri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir araştırmacı, ölçüm birimleri birbirinden farklı olan $p=8$ değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Değişkenlerin standartlaştırılmasıyla elde edilen korelasyon matrisi üzerinden yapılan analiz sonucunda, ilk beş bileşene ait özdeğerler (eigenvalues, $\lambda$) sırasıyla $3.2$, $2.1$, $1.1$, $0.6$ ve $0.5$ olarak bulunmuştur.

Araştırmacı analiz çıktılarında yer alan yamaç grafiğini (scree plot) incelediğinde, grafikteki yataylaşmaya başlayan belirgin kırılma (dirsek) noktasının dördüncü bileşene denk geldiğini gözlemlemiştir. Ayrıca, analize dahil edilecek bileşenlerin veri setindeki toplam varyansın en az $\%70$'ini açıklamasını hedeflemektedir.

Buna göre; Kaiser kriteri, yamaç grafiği kırılma noktası kuralı ve açıklanan varyans oranı birlikte değerlendirildiğinde, analize dahil edilecek optimum bileşen sayısı ve bunun istatistiksel gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

İki değişkenli bir $(X_1, X_2)$ veri seti için hesaplanan örneklem varyans-kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

Bu veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulandığında, elde edilecek birinci temel bileşenin ($Y_1$) doğrusal kombinasyon denklemi ve bu bileşenin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Temel bileşen katsayı vektörlerinin birim uzunluğa sahip olacak şekilde, yani kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edildiği varsayılacaktır.)

Bir kamu kurumunda çalışan veri bilimci, sosyo-ekonomik göstergelerden oluşan çok değişkenli bir veri setini özetlemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Araştırmacı, $p \times p$ boyutlu örneklem varyans-kovaryans matrisinden ($S$) yararlanarak matrisin özdeğerlerini ($\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_p \geq 0$) ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri ($e_1, e_2, \dots, e_p$) hesaplamıştır.

Bu analizin matematiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, $n=101$ gözlem ve $p=4$ değişkenden oluşan çok değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamış ve analiz sonucunda elde edilen korelasyon matrisinin özdeğerlerini $\lambda_1 = 2.0$, $\lambda_2 = 1.0$, $\lambda_3 = 0.6$ ve $\lambda_4 = 0.4$ olarak bulmuştur.

Araştırmacı, standartlaştırılmış veri matrisini kullanarak her bir gözlem için 4 adet temel bileşen skorunu hesaplamıştır. $i$. gözlemin $j$. temel bileşen skoru $y_{ij}$ ile gösterilmektedir ($i=1, 2, \dots, 101$ ve $j=1, 2, 3, 4$).

Örneklem varyansı hesaplamalarında paydada $(n-1)$ kullanıldığı ve temel bileşen skorlarının ortalamalarının sıfır olduğu bilindiğine göre, veri setindeki tüm gözlemlere ait tüm temel bileşen skorlarının kareleri toplamı olan $\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=1}^{101} y_{ij}^2$ değeri kaçtır?

Üç değişkenli ($X_1, X_2, X_3$) bir veri setinde değişkenlerin ortalamaları sırasıyla $\bar{X} = [10, 8, 15]^T$ ve standart sapmaları $S = [4, 2, 5]^T$ olarak hesaplanmıştır.

Bu veri seti üzerinden korelasyon matrisi kullanılarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda birinci temel bileşene ait özdeğer $\lambda_1 = 1.5$ ve bu bileşene karşılık gelen standartlaştırılmış özvektör $v_1 = \left[ \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right]^T$ olarak elde edilmiştir.

Veri setindeki belirli bir gözlem biriminin başlangıç (ham) değerleri $X = [22, 2, 22.5]^T$ olduğuna göre, bu gözlem biriminin birinci temel bileşen skoru ($Y_1$) ile tüm veri seti için birinci temel bileşen skorlarının varyansı ($Var(Y_1)$) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir araştırmacı, $p$ değişkenli bir veri setini merkezcilleştirerek (ortalamalarından arındırarak) kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda özdeğerleri $\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_p$ olan $p$ adet temel bileşen elde edilmiştir.

Elde edilen temel bileşen skorları (değerleri) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir pazar araştırmacısı, tüketicilerin iki farklı ürün özelliğine ($X_1$ ve $X_2$) verdikleri puanları içeren bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Veri setindeki değişkenlerin örneklem ortalamaları sırasıyla $\bar{X}_1 = 40$ ve $\bar{X}_2 = 60$ olarak hesaplanmıştır.

Analiz, değişkenlerin kovaryans matrisi üzerinden gerçekleştirilmiş olup, elde edilen en büyük özdeğer $\lambda_1 = 50$ ve bu özdeğere karşılık gelen normalize edilmiş (birim uzunluktaki) özvektör $e_1 = \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.6 \end{bmatrix}$ olarak bulunmuştur.

Veri setinden rastgele seçilen bir $i$. tüketicinin ürün özelliklerine verdiği orijinal puanlar $X_{1i} = 45$ ve $X_{2i} = 50$ şeklindedir.

Buna göre, bu tüketici için hesaplanacak birinci temel bileşen skoru ($Y_{1i}$) ve tüm veri seti üzerinden hesaplanan birinci temel bileşen skorlarının örneklem varyansı ($Var(Y_1)$) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Bir araştırmacı, 5 adet değişkenden ($X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$) oluşan bir veri seti üzerinde, değişkenleri standartlaştırarak korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. İlk temel bileşene ($Y_1$) ait özdeğer $\lambda_1 = 2,16$ olarak bulunmuştur.

İlk dört değişkenin birinci temel bileşen ile olan korelasyonları (temel bileşen yükleri) sırasıyla $l_{11} = 0,80$; $l_{21} = -0,60$; $l_{31} = 0,60$ ve $l_{41} = 0,40$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca, beşinci değişkene ait birinci özvektör elemanının pozitif işaretli olduğu ($e_{51} > 0$) bilinmektedir.

Bu analiz sonuçlarıyla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kamu kurumu, ilçelerin sosyo-ekonomik gelişmişlik endeksini belirlemek amacıyla; "nüfus yoğunluğu (kişi/$\text{km}^2$)", "kişi başına düşen yıllık gelir (TL)", "ortalama yaşam süresi (yıl)" ve "işsizlik oranı (%)" gibi çok farklı ölçüm birimlerine ve varyanslara sahip $p$ adet değişken üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmektedir. Analiz aşamasında, modelin örneklem kovaryans matrisi ($\mathbf{S}$) veya örneklem korelasyon matrisi ($\mathbf{R}$) üzerinden kurulması alternatifleri değerlendirilmektedir.

$\mathbf{S}$ matrisinin özdeğerleri $\lambda_i$, $\mathbf{R}$ matrisinin özdeğerleri ise $\delta_i$ $(i=1, 2, \dots, p)$ ile gösterilmek üzere; bu iki farklı matris seçiminin analitik sonuçlar ve geometrik yapı üzerindeki teorik etkisine ilişkin aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir insan kaynakları analisti, çalışanların iş performansını etkileyen faktörleri belirlemek amacıyla $5$ değişkenden ($p=5$) oluşan ve değişkenlerin standartlaştırılarak korelasyon matrisinin hesaplandığı bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır.

Analiz sonucunda elde edilen ilk üç temel bileşene ait özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 2,40$, $\lambda_2 = 1,20$ ve $\lambda_3 = 0,40$ olarak bulunmuştur.

Kaiser kriteri (özdeğeri $1$'den büyük olan bileşenlerin seçilmesi) dikkate alındığında, seçilen temel bileşenlerin veri setindeki toplam varyansın yüzde kaçını açıkladığı aşağıdakilerden hangisidir?

Çok değişkenli veri setlerinin yapısını incelemek için kullanılan Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) geometrik yorumu, eksen dönüşümleri ve diklik (ortogonallik) özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Büyük boyutlu bir veri seti üzerinde öznitelik çıkarımı çalışmaları yapan bir veri bilimci, $n$ gözlem ve $p$ değişkenden oluşan çok değişkenli bir veri matrisi için örneklem kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. İlgili analist, kovaryans matrisinin özdeğerlerini ($\lambda_j$) ve bu özdeğerlere karşılık gelen ortogonal özvektörlerden oluşan matrisi ($E$) hatasız bir şekilde elde etmiştir.

Analizin son aşamasında temel bileşen skorlarını hesaplarken dikkatsizlik sonucu verileri merkezcilleştirmeyi (sütun ortalamalarını her bir gözlemden çıkarmayı) unutmuş; doğrudan ham veri matrisi ($X$) ile özvektör matrisini ($E$) çarparak $Y^* = XE$ şeklinde hatalı bir skor matrisi elde etmiştir. Teorik olarak doğru hesaplama ise, merkezcilleştirilmiş veri matrisi ($X_c$) kullanılarak $Y = X_cE$ şeklinde yapılmalıdır.

Buna göre, veri bilimcinin hatalı hesapladığı $Y^*$ skor matrisi ile matematiksel olarak doğru hesaplanması gereken $Y$ skor matrisi karşılaştırıldığında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir istatistik uzmanı, aralarında yüksek pozitif korelasyon bulunan iki sürekli değişkene $(X_1, X_2)$ sahip bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Orijinal veri uzayındaki saçılım grafiği incelendiğinde, gözlemlerin eğik bir elipsoid şeklinde dağıldığı görülmektedir. Uzman, varyans-kovaryans matrisinin özdeğer ve özvektörlerini hesaplayarak veri setini $Z_1$ ve $Z_2$ temel bileşen eksenlerine dönüştürür.

Buna göre, elde edilen yeni geometrik uzay ve eksen dönüşümü ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir halk sağlığı araştırmacısı, bireylerin sağlıklı yaşam biçimi davranışlarını ölçmek amacıyla $p=4$ değişkenden oluşan standartlaştırılmış veriler (korelasyon matrisi) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Elde edilen korelasyon matrisine ait özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 2,0$, $\lambda_2 = 1,2$, $\lambda_3 = 0,6$ ve $\lambda_4 = 0,2$ olarak hesaplanmıştır. Araştırmacı, ilk iki temel bileşen skorunu ($Y_1$ ve $Y_2$) kullanarak yeni bir 'Bütünleşik Risk İndeksi' ($R$) tanımlamak istemiştir. Bu indeks şu doğrusal denklem ile ifade edilmektedir:

Temel bileşen skorlarının istatistiksel özellikleri dikkate alındığında, tanımlanan Bütünleşik Risk İndeksinin ($R$) varyansı aşağıdakilerden hangisidir?