Temel Bileşenler Analizi

$p$ değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanırken, orijinal veri matrisi ortogonal bir dönüşüm matrisi $\mathbf{A}$ (burada $\mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}' = \mathbf{I}$ eşitliği geçerlidir) kullanılarak yeni bir koordinat sistemine taşınır.

Bu dönüşümün geometrik yorumu, temel bileşenlerin yapısı ve diklik (ortogonallik) özelliği dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir sosyolog, hanehalkı refahını ölçmek amacıyla derlediği $p$ adet nicel değişkene Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamayı planlamaktadır. Analiz öncesi hesaplanan korelasyon matrisi incelendiğinde, matrisin köşegen dışı elemanlarının sıfıra çok yakın olduğu ve matrisin büyük ölçüde birim matrise benzediği saptanmıştır.

TBA'nın teorik yapısı ve ana hedefleri dikkate alındığında, mevcut veri seti yapısının analiz süreci ve sonuçları üzerindeki etkisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir hidrobiyoloji araştırma merkezi, göl ekosistemlerindeki su kalitesini izlemek amacıyla geniş çaplı bir veri tabanı oluşturmuştur. Bu veri setinde su numunelerine ait "çözünmüş oksijen (mg/L)", "su sıcaklığı (°C)", "pH düzeyi" ve "elektriksel iletkenlik ($\mu$ S/cm)" gibi farklı ölçek ve birimlerle ölçülen çok sayıda değişken bulunmaktadır. Ölçüm birimlerinin doğası gereği, elektriksel iletkenlik değerleri binli sayılarla ifade edilirken, pH değerleri $0$ ile $14$ arasında dar bir aralıkta değişmektedir.

Veri boyutunu indirgemek isteyen bir uzman, değişkenleri standartlaştırmadan orijinal veri seti üzerinden hesaplanan örneklem kovaryans matrisini ($\mathbf{S}$) kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir.

Bu uzmanın tercih ettiği matris ve elde edeceği analitik sonuçlar ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, $p$ adet birbiriyle ilişkili değişkenden oluşan çok değişkenli normal dağılımlı bir veri setini analiz etmektedir. Orijinal koordinat sisteminde, veri noktalarının oluşturduğu saçılım grafiği (veri bulutu), eksenlere göre eğik konumlanmış bir $p$-boyutlu hiper-elipsoit şeklindedir.

Araştırmacı, Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulayarak orijinal değişken uzayından yeni bir bileşen uzayına geçiş yapmıştır.

Bu dönüşüm işleminin geometrik doğası ve elde edilen bileşenlerin yapısal özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, tarımsal verimliliği etkileyen $3$ farklı değişken arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analizde kullanılan $3 \times 3$ boyutlu varyans-kovaryans matrisinin ($\Sigma$) izi (trace) $15$ ve determinantı $45$'tir.

Analiz sonucunda elde edilen en büyük iki özdeğer sırasıyla $\lambda_1 = 9$ ve $\lambda_2 = 5$ olarak bulunmuştur.

Bu analizle ilgili,
I. Üçüncü temel bileşene ait özdeğer $\lambda_3 = 1$'dir.
II. Birinci temel bileşen, veri setindeki toplam varyansın $\%20$'sini açıklamaktadır.
III. Temel bileşenleri elde etmek için kullanılan özvektörler birbirine diktir ($\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_j = 0$) ve birim uzunluktadır ($\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_i = 1$).

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Meteoroloji Genel Müdürlüğü araştırmacıları, Türkiye'deki çeşitli istasyonlardan elde edilen iklim verilerini kullanarak bölgelerin iklim profillerini özetlemek istemektedir. Araştırmada "Yıllık Ortalama Sıcaklık ($^\circ\text{C}$)", "Yıllık Toplam Yağış ($\text{mm}$)", "Ortalama Rüzgâr Hızı ($\text{km/sa}$)" ve "Ortalama Deniz Seviyesi Basıncı ($\text{hPa}$)" değişkenleri kullanılarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) yapılması planlanmıştır.

Bir veri analisti, analiz sürecinde değişkenleri standartlaştırmadan doğrudan örneklem kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi gerçekleştirmiştir.

Verilen değişkenlerin ölçüm birimleri ve potansiyel sayısal büyüklükleri göz önüne alındığında, bu yöntemsel tercihin analiz sonuçları üzerindeki en olası etkisi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu uzmanı, 6 farklı bölgesel kalkınma göstergesini standartlaştırarak korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda, birinci temel bileşene ($Y_1$) ait özdeğer $\lambda_1 = 3,24$ olarak bulunmuştur. Bu bileşeni oluşturmak için kullanılan özvektörün ilk iki elemanı (katsayısı) sırasıyla $e_{11} = 0,50$ ve $e_{21} = -0,40$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, analizin sonuçları ve temel bileşen yüklerinin yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, 3 sürekli değişkenden ($X_1, X_2, X_3$) oluşan bir veri seti üzerinde, örneklem kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır.

Analiz sonucunda elde edilen bazı bilgiler şunlardır:
- Örneklem kovaryans matrisinin izi (trace) $50$'dir.
- Birinci temel bileşen $Y_1 = 0{}6X_1 + 0{}8X_2 + aX_3$ şeklinde elde edilmiştir.
- İkinci ve üçüncü temel bileşenlerin açıkladıkları varyanslar sırasıyla $\lambda_2 = 12$ ve $\lambda_3 = 6$'dır.

Araştırmacı, ilk iki temel bileşeni kullanarak $Z = \frac{1}{2}Y_1 + 2Y_2$ biçiminde yeni bir doğrusal kombinasyon (kompozit indeks) tanımlamıştır.

Temel bileşenlerin kuramsal özelliklerine göre, $a$ katsayısının değeri ve $Z$ indeksinin varyansı ($Var(Z)$) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir tıbbi araştırmada, hastaların kan değerlerinden oluşan 3 değişkenli bir $(X_1, X_2, X_3)$ veri seti için hesaplanan örneklem kovaryans matrisi ($S$) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Kovaryans matrisinin izi (trace) $Tr(S) = 100$ olarak verilmiştir.

Buna göre, birinci orijinal değişken ($X_1$) ile birinci temel bileşen ($Y_1$) arasındaki kovaryans ($Cov(X_1, Y_1)$) değeri kaçtır?

Bir meteoroloji istasyonunda günlük ortalama sıcaklık ($X_1$), bağıl nem ($X_2$) ve rüzgâr hızı ($X_3$) ölçümleri yapılmaktadır. Bu üç değişkene ait ölçümlerin bölgesel ortalama vektörü $\bar{X} = [18, 60, 15]^T$ olarak hesaplanmıştır.

Kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizi sonucunda, en büyük özdeğer $\lambda_1 = 4$ ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşen özvektörü $e_1 = [1/3, 2/3, -2/3]^T$ olarak elde edilmiştir.

Belirli bir günde bu istasyonda yapılan ölçüm vektörü $X = [27, 63, 9]^T$ olduğuna göre, bu istasyonun ilgili güne ait birinci temel bileşen skoru kaçtır?

$p$-boyutlu uzayda $\mathcal{N}_p(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ dağılımına sahip bir veri seti üzerinden elde edilen örneklem kovaryans matrisi $\mathbf{S}$, spektral ayrışım (spectral decomposition) teoremi gereğince $\mathbf{S} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^T$ şeklinde yazılabilmektedir. Burada $\mathbf{P}$, normalize edilmiş özvektörlerden oluşan matrisi; $\mathbf{\Lambda}$ ise özdeğerlerin ($\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_p \geq 0$) bulunduğu köşegen matrisi ifade etmektedir.

Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) geometrik yorumu ve dönüşüm matrisi $\mathbf{P}$'nin diklik (ortogonallik) özellikleri bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Temel Bileşenler Analizi (TBA) boyut indirgeme sürecinde, analizin başlangıcında veri matrisinin yapısına bağlı olarak örneklem kovaryans ($\mathbf{S}$) veya örneklem korelasyon ($\mathbf{R}$) matrisinin seçilmesi, elde edilecek bileşenlerin geometrik ve istatistiksel özelliklerini doğrudan etkiler.

Buna göre, TBA'da kovaryans ve korelasyon matrislerinin kuramsal özellikleri ve kullanımı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

İki değişkenli bir veri setinde $(X_1, X_2)$ değişkenlerine ait örneklem varyans-kovaryans matrisi aşağıda verilmiştir:

Bu veri setine uygulanan Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda birinci temel bileşen ($Y_1$), değişkenlerin $Y_1 = a_{11}X_1 + a_{12}X_2$ biçimindeki bir doğrusal kombinasyonu olarak elde edilmektedir. $a_{11} = a_{12}$ olduğu ve katsayılar vektörünün birim uzunlukta ($a'a = 1$) olduğu bilindiğine göre, birinci temel bileşenin varyansı kaçtır?

Çok değişkenli bir veri setine uygulanan Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA), değişkenler arasındaki varyans-kovaryans yapısı geometrik olarak bir hiper-elipsoid ile temsil edilebilir. Bu elipsoidin geometrik özellikleri ve bileşenlerin diklik (ortogonallik) şartı göz önüne alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamasında, $p$ adet birbiriyle ilişkili değişkenden elde edilen yeni bileşenlerin geometrik temsili ve bu süreçteki diklik (ortogonallik) şartı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kamu kurumu, sunduğu hizmetlerin kalitesini ölçmek amacıyla $3$ farklı değişken üzerinden veri toplamıştır. Bu değişkenlere ait $3 \times 3$ boyutlu varyans-kovaryans matrisinin ($S$) izi (trace) $18$ olarak hesaplanmıştır. Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda elde edilen ilk iki özdeğer $\lambda_1 = 10$ ve $\lambda_2 = 5$ olduğuna göre, bu analize ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bir kalkınma ajansı, bölgedeki illerin sosyo-ekonomik yapılarını analiz etmek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamayı planlamaktadır. Veri setinde yer alan bazı değişkenler ve ölçü birimleri şu şekildedir:

Değişkenlerin ölçü birimleri ve varyans değerlerinin birbirinden oldukça farklı olduğu bu çalışma kapsamında, analiz yöntemi ve sonuçların yorumlanmasıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, aynı ölçüm birimine sahip $p=5$ değişkenden oluşan bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Değişkenlerin orijinal varyanslarındaki büyüklük farklılıklarını analize yansıtmak amacıyla, işlem korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisi üzerinden gerçekleştirilmiştir.

Elde edilen özdeğerler ($\lambda_i$) büyükten küçüğe sırasıyla şöyledir:
$\lambda_1 = 25,0$
$\lambda_2 = 15,0$
$\lambda_3 = 8,5$
$\lambda_4 = 0,9$
$\lambda_5 = 0,6$

Araştırmacı, elde tutulacak bileşen sayısını belirlemek için Kaiser-Guttman (Özdeğer) kuralını kullanmıştır. Ayrıca çizilen Yamaç Grafiğinde (Scree Plot) ilk belirgin kırılma (dirsek) noktasının 3. bileşende olduğu görülmüştür.

Buna göre, araştırmacının belirlemesi gereken optimum bileşen sayısı ve bu bileşenlerin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, $\mathbf{X}$ rastgele vektörünün varyans-kovaryans matrisinin spektral ayrışımı yardımıyla $\mathbf{Y} = \mathbf{E}'(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})$ doğrusal dönüşümü tanımlanmıştır. Bir araştırmacı, orijinal uzaydaki rastgele iki gözlem vektörü $\mathbf{x}_i$ ve $\mathbf{x}_j$ ile bunların dönüşüm sonrası yeni koordinatları $\mathbf{y}_i$ ve $\mathbf{y}_j$ üzerinde yaptığı matematiksel incelemede, $(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)'(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j) = (\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_j)'(\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_j)$ eşitliğinin istisnasız her gözlem çifti için sağlandığını ispatlamıştır.

Söz konusu Öklid uzaklıklarının dönüşüm altında tamamen korunması (değişmezliği) durumunun teorik dayanağı ve varyans elipsoidi üzerindeki geometrik yansıması aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

Üç adet standartlaştırılmış değişken ($Z_1, Z_2, Z_3$) için korelasyon matrisi ($\mathbf{R}$) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirilmiştir. Analiz sonucunda matrisin en büyük özdeğeri $\lambda_1 = 1.44$ ve bu özdeğere karşılık gelen normalize edilmiş özvektör (eigenvector) $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.8 \\ 0 \end{bmatrix}$ olarak elde edilmiştir.

Temel bileşen yüklerinin (loadings) hesaplanması ve yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?