Çoklu Karşılaştırma (Post-Hoc) Testleri

Bir endüstri mühendisi, yeni geliştirilen $k=4$ farklı üretim yönteminin (muamele) standart üretim yöntemine (kontrol grubu) kıyasla hata oranlarını azaltıp azaltmadığını incelemektedir.

Varyans analizinin (ANOVA) temel varsayımlarının sağlandığı bu deneyde, araştırmacı yalnızca her bir yeni yöntemi standart yöntemle karşılaştırmak istemekte ve Tip I hata oranını (FWER) $\alpha = 0,05$ seviyesinde kontrol altında tutmak için Dunnett testini kullanmayı planlamaktadır.

Deney tasarımı aşamasında, kaynakların kısıtlı olması nedeniyle toplam gözlem sayısı ($N$) sabit tutulmuş ve testin istatistiksel gücünü (power) en üst düzeye çıkarmak hedeflenmiştir.

Buna göre, her bir yeni üretim yöntemi için $n$ adet gözlem ayrılması planlanıyorsa, kontrol grubu için ayrılması gereken optimal gözlem sayısı ($n_0$) ve bu bağlamda Dunnett testinin tercih edilmesinin en temel istatistiksel gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Bir kalite kontrol uzmanı, $5$ farklı makine türünün (A, B, C, D ve E) ürettiği parçaların hata oranlarını karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarıma uygun bir deney yürütmüştür. Deneyde her bir makine türü için $4$ bağımsız gözlem alınmıştır.

Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda Hata Kareler Ortalaması ($HKO$) $18$ olarak bulunmuş ve genel F-testi sonucunda makinelerin hata oranları ortalamaları arasındaki farkın sıfır olduğunu savunan hipotez ($H_0$) reddedilmiştir. Bu durum, "Korumalı (Protected) LSD" testinin temel varsayımını sağlamaktadır.

Uzman, bu aşamadan sonra makine türlerini tüm olası ikili kombinasyonlarla karşılaştırmak istemektedir.

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde ($\alpha = 0,05$) LSD (En Küçük Anlamlı Fark) testi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
(Not: Gerekli t-tablo değerleri: $t_{0,025; 15} = 2,131$, $t_{0,05; 15} = 1,753$, $t_{0,025; 19} = 2,093$, $t_{0,05; 19} = 1,729$)

Bir endüstri mühendisliği çalışmasında, dört farklı tedarikçiden sağlanan mikroçiplerin maksimum ısıl dayanım süreleri test edilmektedir. Ön analizlerde dayanım sürelerinin normal dağıldığı görülmüş, ancak tedarikçilerden alınan rastgele örneklem büyüklüklerinin birbirinden oldukça farklı olduğu ($n_1=55$, $n_2=18$, $n_3=120$, $n_4=25$) ve grup varyanslarının homojenlik varsayımını sağlamadığı (Levene testi $p = 0.003$) belirlenmiştir. Araştırmacı, tedarikçilerin ortalama dayanım sürelerini tüm olası çiftler halinde karşılaştırmak için Games-Howell testini tercih etmiştir.

Buna göre, araştırmacının bu testi seçmesinin istatistiksel gerekçesi ve Games-Howell testinin bu veri yapısındaki çalışma prensibi aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

Bir halk sağlığı araştırmacısı, dört farklı fizyoterapi yönteminin hastaların iyileşme süreleri üzerindeki etkisini karşılaştırmak istemektedir. Çalışmaya dâhil edilen hasta sayıları gruplara göre sırasıyla 16, 20, 14 ve 18'dir. Elde edilen veriler üzerinde yapılan ön koşul testlerinde, verilerin normal dağılım varsayımını sağladığı ancak Levene testine göre grup varyanslarının homojen olmadığı ($p = 0,021$) tespit edilmiştir. İyileşme süreleri açısından yöntemler arasında genel bir farklılık olup olmadığını sınamak için Welch ANOVA kullanılmış ve yöntemler arasında anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılmıştır ($p < 0,05$).

Bu araştırmacının, hangi spesifik fizyoterapi yöntemleri arasında anlamlı bir fark olduğunu tespit edebilmesi için aşağıdaki çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinden hangisini kullanması istatistiksel açıdan en uygundur?

Bir fizyoterapist, $4$ farklı fizik tedavi yönteminin eklem hareket açıklığı üzerindeki etkilerini karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarım planlamıştır. Her bir yöntem, rastgele seçilmiş $16$ hastaya uygulanmıştır.

Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda elde edilen hesaplanan $F$ istatistiği, kritik tablo değerinden büyük çıkmıştır. Verilerin analizi öncesinde grup varyanslarının eşit olduğu tespit edilmiştir. Araştırmacı, hangi tedavi yöntemlerinin birbirinden farklı olduğunu belirlemek için Tukey HSD testini uygulamaya karar vermiştir.

ANOVA tablosuna ait bazı değerler aşağıda verilmiştir:
- İşlemler Kareler Ortalaması: $256$
- Hata Kareler Ortalaması: $36$ (Hatalı veri girişi, düzeltiyorum)
*(Düzeltilmiş kurgu:)*
- İşlemler Kareler Ortalaması: $256$
- Hata Kareler Ortalaması: $64$

Öğrencileştirilmiş aralık istatistiği tablo değeri $q_{(0.05; 4; 60)} = 3.74$ olduğuna göre, araştırmacının bu analizde Tukey HSD testini tercih etmesinin teorik gerekçesi ve hesaplaması gereken Tukey HSD kritik değeri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla ve doğru verilmiştir?

Bir endüstri psikoloğu, $4$ farklı motivasyon programının çalışan performansı üzerindeki etkisini incelemek için tamamen rastgele tasarım planlamış ve her programa rastgele $4$ çalışan atamıştır.

Elde edilen verilerle yapılan varyans analizinde (ANOVA) Genel Kareler Toplamı ($SST$) $300$, Programlar Arası (Gruplar Arası) Kareler Toplamı ($SSTr$) ise $108$ olarak hesaplanmıştır. Grup varyanslarının homojenliğini sınayan Levene testinin $p$-değeri $0.48$ olarak bulunmuştur.

Araştırmacı, $\alpha=0.05$ anlamlılık düzeyinde gruplar arası farklılıkların kaynağını bulmak amacıyla Tukey HSD testini uygulamak istemektedir.

*(Kritik Tablo Değerleri: $F_{0.05}(3, 12) = 3.49$ ; $F_{0.05}(4, 16) = 3.01$ ; $q_{0.05}(4, 12) = 4.20$ ; $q_{0.05}(3, 12) = 3.77$ ; $q_{0.05}(4, 16) = 4.05$)*

Buna göre, Tukey HSD testinin uygulanabilirliği ve (eğer uygulanabilirse) hesaplanacak kritik fark ($CD$) değeri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak en doğrudur?

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım planlama biriminde görevli bir veri analisti, $4$ farklı kavşak sinyalizasyon algoritmasının trafik bekleme süreleri üzerindeki etkilerini incelemektedir. Gerçekleştirilen tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, algoritmalar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık bulunmuştur. Analist, aile bazında Tip I hata oranını (FWER) $\alpha = 0,05$ seviyesinde tutarak algoritmalar arasındaki tüm olası ikili karşılaştırmaları yapmak istemekte ve bu amaçla Bonferroni ile Sidak düzeltme yöntemlerini değerlendirmektedir.

Buna göre, Bonferroni ve Sidak düzeltme yöntemleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde, $4$ farklı sulama yönteminin (A, B, C ve D) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla tamamen rastgele tasarıma uygun bir deney yürütülmüştür. Her bir sulama yöntemi, rastgele seçilen $5$ farklı deneme parseline uygulanmıştır (toplam $20$ parsel).

Deney verileriyle yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda, hata kareler ortalaması ($HKO$) $90$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca genel $F$-testi sonucunda gruplar arası farklılıkların istatistiksel olarak anlamlı olduğu belirlenmiş ve yokluk hipotezi ($H_0$) reddedilmiştir ($\alpha = 0,05$). Araştırmacı, gruplar arasındaki ikili farkları incelemek için Fisher'ın LSD (En Küçük Anlamlı Fark) testini uygulamaya karar vermiştir.

Bazı $t$ tablo değerleri şöyledir:
- $t_{(0,025; 3)} = 3,18$
- $t_{(0,025; 4)} = 2,78$
- $t_{(0,025; 16)} = 2,12$
- $t_{(0,025; 19)} = 2,09$

Buna göre, Fisher'ın LSD testinin bu deneydeki kuramsal uygulanabilirliği ve hesaplanması gereken LSD kritik değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Bir kamu kurumu, aday memurların hizmet içi eğitimlerinde kullanılmak üzere üç farklı dijital öğrenme modülü (A, B ve C) geliştirmiştir. Bu yeni modüllerin eğitim başarı puanları üzerindeki etkisi, halihazırda uygulanmakta olan "Geleneksel Sınıf Eğitimi" (kontrol grubu) ile karşılaştırılmak istenmektedir. Eğitim dairesi, yalnızca yeni geliştirilen her bir dijital modülün geleneksel eğitime kıyasla istatistiksel olarak anlamlı bir fark yaratıp yaratmadığını test etmekle ilgilenmekte; yeni modüllerin kendi aralarındaki performans farklarını (Örn: A ile B arasındaki farkı) analiz etmeye gerek duymamaktadır.

Verilerin normal dağıldığı, varyansların homojen olduğu ve tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunduğu saptanmıştır.

Bu araştırmanın amacına en uygun olan ve aile-başına hata oranını (I. Tip hata) kontrol altında tutarak en yüksek istatistiksel gücü sağlayan çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir ziraat mühendisi, 4 farklı sulama yönteminin (A, B, C ve D) pamuk verimi üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla tamamen rastgele tasarım kurgulamış ve tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde yöntemler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulmuştur. Mühendis, araştırmanın başlangıcında planlamadığı halde (post-hoc), veri toplama sürecinden sonra A ve B yöntemlerinin ortalama verimini, C ve D yöntemlerinin ortalama verimiyle karşılaştıran karmaşık bir doğrusal kontrast oluşturmaya karar vermiştir.

Bu durumda araştırmacının, tüm olası karşılaştırmalar için I. Tip hata oranını (family-wise error rate) koruyarak bu karmaşık karşılaştırmayı yapabilmesi adına seçmesi gereken en uygun test, bu testin ayırt edici özelliği ve hesaplanacak F sınır değerinde $F_{tablo}$ istatistiğinin ($F_{\alpha; k-1, N-k}$) çarpılacağı katsayı aşağıdakilerden hangisinde doğru sırayla verilmiştir?

Bir malzeme mühendisi, otomotiv sektöründe kullanılmak üzere geliştirilen 3 farklı yeni alüminyum alaşım formülünün (A, B ve C) çekme mukavemetini, halihazırda sektörde standart olarak kullanılan geleneksel alaşım (kontrol grubu) ile karşılaştırmak üzere tamamen rastgele tasarıma dayalı bir deney kurgulamıştır.

Deney sonucunda elde edilen verilerle yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda test istatistiği anlamlı bulunmuş ($p < 0,05$) ve varyansların homojenliği varsayımının sağlandığı tespit edilmiştir.

Mühendisin amacı, grupların kendi aralarındaki tüm ikili karşılaştırmaları (örneğin A alaşımı ile B alaşımı arasındaki farkları) incelemek yerine, SADECE yeni geliştirilen her bir alaşım formülünü standart alaşım ile karşılaştırmak ve bu sırada deney bazında I. tip hata oranını (family-wise error rate) belirlenen $\alpha$ düzeyinde tutmaktır.

Buna göre, mühendisin bu spesifik amaca ulaşmak için kullanması gereken en uygun ve istatistiksel açıdan en güçlü çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu istihdam projesinde, 4 farklı mesleki eğitim programının (A, B, C ve D) katılımcıların aylık gelir artışları üzerindeki etkisi incelenmektedir. Her grupta 6 katılımcı yer almaktadır ($n=6$). Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, programlar arasında anlamlı bir fark olduğu tespit edilerek sıfır hipotezi ($H_0$) reddedilmiştir. Analiz sonucunda Hata Kareler Ortalaması ($HKO$) $150$ olarak hesaplanmıştır.

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde, grup ortalamaları arasındaki farkların anlamlılığını test etmek amacıyla kullanılacak Fisher'ın LSD (En Küçük Anlamlı Fark) kritik değeri aşağıdakilerden hangisidir?

($t_{0,025; 20} = 2,086$; $t_{0,025; 23} = 2,069$; $\sqrt{50} \approx 7,071$; $\sqrt{25} = 5$)

Bir ziraat mühendisi, $3$ farklı gübre tipinin (Gübre A, Gübre B ve Gübre C) mısır verimi üzerindeki etkilerini karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele bir deneme planı çerçevesinde her bir gübre grubu için $5$'er saksı kullanarak bir deney yürütmüştür. Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, gübre tiplerinin verim ortalamaları arasındaki farklar $\%5$ anlamlılık düzeyinde istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş ve sıfır hipotezi ($H_0$) reddedilmiştir. Deney sonucunda hata kareler ortalaması ($MSE$) $20$ olarak hesaplanmıştır.

İlgili tablo değerleri: $t_{0,025; 12} = 2,179$; $t_{0,025; 14} = 2,145$; $t_{0,05; 12} = 1,782$.

Buna göre, grup ortalamaları arasındaki farkların ikili karşılaştırmalarında kullanılacak Fisher'ın En Küçük Anlamlı Fark (LSD) kritik değeri kaçtır?

Bir çevre mühendisi, atık su arıtma tesisinde sudaki ağır metal oranını düşürmek amacıyla geliştirdiği 3 farklı yeni arıtma formülünün etkinliğini, hâlihazırda kullanılmakta olan standart arıtma formülü (kontrol grubu) ile karşılaştırmak üzere tamamen rastgele tasarıma dayalı bir deney yürütmüştür. Tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, %5 anlamlılık düzeyinde formüller arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık bulunmuştur.

Mühendis, yeni formüllerin kendi aralarındaki farklarıyla ilgilenmemekte; sadece her bir yeni formülün standart formüle (kontrol grubuna) kıyasla anlamlı bir fark yaratıp yaratmadığını test etmek istemektedir. Ayrıca bu çoklu karşılaştırma sürecinde deney genelindeki I. tip hata oranını (family-wise error rate) istenen düzeyde tutmayı ve bu spesifik duruma uygun en yüksek istatistiksel gücü elde etmeyi amaçlamaktadır.

Buna göre, çevre mühendisinin bu araştırmadaki amacına en uygun çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu, personeline yönelik uyguladığı $5$ farklı eğitim yönteminin etkinliğini karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yürütmüştür. Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda yöntemler arasında anlamlı bir fark bulunmuştur ($p < 0,05$). Araştırmacı, hangi yöntemlerin birbirinden farklı olduğunu belirlemek amacıyla tüm mümkün ikili karşılaştırmaları yapmaya karar vermiştir. Deney bazlı hata oranını (family-wise error rate) $\alpha = 0,05$ düzeyinde kontrol altında tutmak için Bonferroni düzeltmesi kullanılacağına göre, her bir karşılaştırma için dikkate alınacak düzeltilmiş anlamlılık düzeyi kaçtır?

Bir gıda mühendisi, ambalajlı taze meyvelerin raf ömrünü (gün) uzatmak amacıyla bir deney tasarlamıştır. Deneyde, sektörde standart olarak kullanılan mevcut kimyasal koruyucu (kontrol grubu) ile yeni geliştirilen $k=4$ farklı doğal bitki özütü formülasyonunun (muamele grupları) etkileri karşılaştırılmaktadır. Toplanan veriler üzerinden yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, grupların ortalama raf ömürleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık tespit edilmiştir ($p < 0,05$). Verilerin normal dağıldığı ve grup varyanslarının homojen olduğu varsayımlarının sağlandığı belirlenmiştir.

Araştırmacının amacı, tüm grupları birbirleriyle ikişerli olarak karşılaştırmak yerine; sadece her bir yeni doğal formülasyonun ortalama raf ömrünü, standart kimyasal koruyucunun ortalama raf ömrü ile ayrı ayrı karşılaştırmaktır.

Buna göre, araştırmacının belirtilen amaca ulaşmak için Tip I hata oranını (aile-bazlı hata oranı) kontrol altında tutarak kullanması gereken en uygun çoklu karşılaştırma (post-hoc) testi aşağıdakilerden hangisidir?

Beş farklı eğitim materyalinin öğrenci başarısı üzerindeki etkisinin araştırıldığı bir çalışmada, tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda grup ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunmuştur ($p < 0,05$). Ortalamalar arasındaki farkların hangi gruplardan kaynaklandığını belirlemek üzere Student-Newman-Keuls (SNK) testi tercih edilmiştir.

Buna göre Student-Newman-Keuls (SNK) testinin uygulama yöntemi ve mantığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir eğitim uzmanı, 5 farklı öğretim yönteminin (A, B, C, D ve E) öğrenci başarısı üzerindeki etkisini incelemiş ve yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda yöntemler arasında anlamlı bir fark saptamıştır ($H_0$ reddedilmiştir). Uzman, bu aşamadan sonra "A ve B yöntemlerinin ortalaması ile C, D ve E yöntemlerinin ortalaması" arasındaki farkın anlamlılığını Scheffe testi ile test etmek istemektedir.

Deneyde toplam $N=50$ öğrenci yer almakta olup $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde ilgili tablo değeri $F_{0,05; 4, 45} = 2,58$ olarak verilmiştir.

Buna göre, Scheffe yöntemiyle bu karmaşık karşılaştırmanın anlamlılığını değerlendirmek için kullanılacak kritik değer katsayısı ($S^2 = (k-1)F_{\alpha; k-1, N-k}$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir spor hekimliği araştırmacısı, $3$ farklı toparlanma (recovery) protokolünün (Soğuk Su, Aktif Dinlenme ve Masaj) sporcuların kan laktat seviyelerinin normale dönme süresi üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla tamamen rastgele tasarıma dayalı bir deney yürütmüştür. Her bir protokole rastgele $8$ sporcu atanmıştır ($n=8$). Varyans analizi (ANOVA) sonucunda, protokollerin ortalama toparlanma süreleri arasındaki fark istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş (genel $F$-testi için $p < 0,05$) ve Hata Kareler Ortalaması ($MSE$) $36$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, tüm gruplar arası olası ikili karşılaştırmaları yapmak istemektedir.

Buna göre, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde çoklu karşılaştırma süreci ve Fisher'ın En Küçük Anlamlı Fark (LSD) testi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

(Tablo değerleri: $t_{(0,025; 21)} = 2,080$, $t_{(0,025; 23)} = 2,069$, $t_{(0,05; 21)} = 1,721$. Hesaplamalarda $\sqrt{4,5} \approx 2,12$ ve $\sqrt{9} = 3$ alınız.)

Tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda grup ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunduğu ($p < 0,05$) saptanmıştır. Araştırmacı, bu farkın hangi spesifik gruplardan kaynaklandığını belirlemek amacıyla Student-Newman-Keuls (SNK) testini uygulamaya karar vermiştir.

Buna göre, SNK testinin uygulama süreci ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?