Hipotez Testleri

Türk Standartları Enstitüsü (TSE) tarafından üretilen hassas bir ölçüm cihazının hata payları ($X$), ortalaması $\mu = 0$ ve varyansı $\theta > 0$ olan bir Normal dağılıma ($X \sim N(0, \theta)$) uymaktadır. Bu kitleden alınan $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gösterildiğinde; $\theta$ parametresi için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliği dikkate alındığında, olabilirlik oranının ($\theta_1 < \theta_2$ için $L(x; \theta_2) / L(x; \theta_1)$) hangi ifade cinsinden monoton artan bir fonksiyon olduğu söylenebilir?

İstatistiksel hipotez testlerinde, tek parametreli bir dağılım ailesinden alınan örneklemler için $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezi kurulmuştur. Bu test yapısı için düzgün en güçlü (UMP) bir testin varlığını garanti eden temel matematiksel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, elindeki veri setini kullanarak basit bir yokluk hipotezi ($H_0: \theta = \theta_0$) ile basit bir alternatif hipotezi ($H_1: \theta = \theta_1$) karşılaştırmak için en güçlü (most powerful) testi kurmak istemektedir. Bu amaçla Neyman-Pearson Lemması'nı kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, yokluk hipotezi altındaki olabilirlik fonksiyonu $L(\theta_0)$ ve alternatif hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonu $L(\theta_1)$ ile gösterilmek üzere; bu test için tanımlanacak en güçlü red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir istatistiksel hipotez testinde, bir $X$ kesikli rassal değişkeninin $H_0$ ve $H_1$ hipotezleri altındaki olasılık kütle fonksiyonları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bu test için red bölgesi $K = \{2, 3\}$ olarak belirlendiğine göre, testin anlamlılık düzeyi ($\alpha$) kaçtır?

Bir kamu bankası, işlem merkezlerindeki bekleme sürelerini azaltmak amacıyla yeni bir randevu sistemi geliştirmiştir. Sistemin etkinliğini test etmek için yapılan analizde anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ olarak belirlenmiş ve test sonucunda p-değeri ($p-value$) $0,03$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bankanın randevu sisteminin etkisine dair vereceği istatistiksel karar ve testin anlamlılığı hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir istatistiksel hipotez testinde, örneklem hacmi ($n$) sabit tutulmak üzere, I. tip hata olasılığının ($\alpha$) azaltılması durumunda; II. tip hata olasılığı ($\beta$) ve testin gücü ($1-\beta$) nasıl etkilenir?

Bir kamu kurumu, uygulanan yeni bir istihdam teşvik paketinin işsizlik oranları üzerindeki etkisini incelemek için bir istatistiksel çalışma yürütmektedir. Bu hipotez testi sürecinde kullanılan temel kavramlar ve hata türleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir kamu kurumunun kalite kontrol biriminde, satın alınan yeni nesil cihazların teknik şartnameye uygunluğu test edilmektedir. Bu süreçte kurulan hipotezlerden yokluk hipotezi ($H_0$): "Cihazlar şartnameye uygundur", alternatif hipotez ($H_1$) ise: "Cihazlar şartnameye uygun değildir" şeklindedir. Yapılan istatistiksel analiz sonucunda, gerçekte teknik şartnameye tamamen uygun olan bir cihaz grubunun, test sonucunda hatalı bir şekilde "şartnameye uygun değil" olarak değerlendirilip reddedilmesi durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kalite kontrol sürecinde, üretilen parçaların hatalı olup olmadığını belirlemek amacıyla bir hipotez testi kurgulanmıştır. Parçaların aslında hatalı olduğu (alternatif hipotezin doğru olduğu) bir durumda, test sonucunda 'parçalar hatasızdır' kararına varılarak yokluk hipotezinin reddedilememe olasılığı (II. Tip hata olasılığı) $\beta = 0,12$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu hipotez testinin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

Bir üretim sürecindeki hata payı $\theta$ parametresi ile izlenmektedir. Sürecin kontrol altında olduğu $H_0: \theta = 0,2$ hipotezine karşı, hata payının arttığı $H_1: \theta = 0,6$ alternatif hipotezi, rastgele seçilen bir birimin incelenmesiyle test edilmektedir. Seçilen birimin hatalı olması ($x=1$) durumunda $H_0$ hipotezi reddedilmektedir. Gözlemin Bernoulli dağılımına uygun olduğu bilindiğine göre, bu testin II. Tip hata olasılığı ($\beta$) kaçtır?

Başarı olasılığı $p$ olan bir Bernoulli sürecinde, ilk başarının gözlemlendiği deneme sayısını gösteren $X$ rastgele değişkeni $P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x=1, 2, \dots$ olasılık fonksiyonuna sahiptir. Bu kitleye ait tek bir $X$ gözlemi ile $H_0: p = 0,5$ yokluk hipotezine karşı $H_1: p = 0,2$ alternatif hipotezi test edilmektedir. Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu hipotez testi için en güçlü (MP) testin red bölgesinin biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Tek parametreli bir olasılık dağılım ailesinde, $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezini test etmek için Düzgün En Güçlü (UMP) bir testin mevcut olduğunu garanti eden temel matematiksel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

Bir gıda müfettişi, bir enerji içeceğindeki kafein miktarının üst sınır olan $150$ mg değerini aşıp aşmadığını kontrol etmektedir. Müfettiş, yokluk hipotezini $H_0: \mu \leq 150$ ve alternatif hipotezi $H_1: \mu > 150$ olarak belirlemiştir. Gerçekte içecekteki kafein miktarı $150$ mg'ın altında olmasına rağmen, yapılan analiz sonucunda müfettişin $H_0$ hipotezini reddederek içeceğin standartlara uygun olmadığına karar verdiği bilinmektedir. Buna göre müfettişin yaptığı istatistiksel hata aşağıdakilerden hangisidir?

Bir $X$ rastgele değişkeninin $H_0$ ve $H_1$ basit hipotezleri altındaki olasılık fonksiyonları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, anlamlılık düzeyi $\alpha = 0{}05$ olan en güçlü (MP) testin reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

$X_1, X_2, \dots, X_n$, beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma sahip bir kitleden alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem olsun. Kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$H_0: \theta = \theta_0$ basit yokluk hipotezinin, $H_1: \theta = \theta_1$ ($\theta_1 < \theta_0$) basit alternatif hipotezine karşı test edilmesi istenmektedir.

Buna göre, Neyman-Pearson Lemması kullanılarak elde edilecek en güçlü (MP) testin ret bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisi biçimindedir? (Burada $c$, belirlenen anlamlılık düzeyine bağlı olarak hesaplanan bir sabittir.)

Bir fabrikada üretilen ürünlerin kusurlu olma olasılığı $p$ ile gösterilmektedir. Bu olasılığa ilişkin kurulan;

hipotezlerini test etmek için üretim hattından rastgele $n = 2$ ürün seçiliyor. Karar kuralı (red bölgesi) "Eğer örneklemdeki kusurlu ürün sayısı ($X$) 1 veya daha fazla ise $H_0$ hipotezi reddedilir" şeklinde belirlenmiştir.

Buna göre, bu testin I. tip hata olasılığı ($\alpha$) ve II. tip hata olasılığı ($\beta$) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Bir üretim sürecinde üretilen parçaların hatalı olma oranının ($\theta$) %10'dan farklı olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla $n$ hacimli bir rastgele örneklem alınarak bir hipotez testi tasarlanmıştır. Belirlenen $\alpha$ anlamlılık düzeyinde yapılan analiz sonucunda test istatistiği hesaplanmış ve bu istatistiğe karşılık gelen p-değeri (p-value) $0.03$ olarak bulunmuştur.

Bu hipotez testi süreci ve kavramları ile ilgili aşağıdaki öncüller verilmiştir:

I. İddia edilen durumun analizi için hipotezler, $H_0: \theta = 0.10$ ve $H_1: \theta \neq 0.10$ şeklinde kurulmalıdır.
II. Elde edilen $p = 0.03$ değeri, yokluk hipotezinin ($H_0$) gerçekte doğru olma olasılığının %3 olduğunu ifade eder.
III. Eğer araştırmacı anlamlılık düzeyini $\alpha = 0.01$ olarak belirleseydi, $p > \alpha$ olacağından $H_0$ reddedilemezdi ve bu karara bağlı olarak araştırmacının II. Tip hata yapma olasılığı $\beta = 1 - 0.03 = 0.97$ olarak hesaplanırdı.
IV. Örneklem hacmi ($n$) sabit tutularak daha küçük bir I. Tip hata riski ($\alpha$) göze alınsaydı, II. Tip hata olasılığı ($\beta$) artacak ve buna bağlı olarak testin gücü ($1-\beta$) düşecekti.

Buna göre, verilen ifadelerden hangileri istatistiksel açıdan kesinlikle doğrudur?