Stokastik Süreçler

$\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olarak tanımlanmaktadır. Buna göre, bu sürece ait $W(3)$ ve $W(8)$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değeri ($Cov(W(3), W(8))$) aşağıdakilerden hangisidir?

$\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\}$ filtrasyonuna göre bir martingal (martingale) olan $\{X_n, n \geq 0\}$ süreci, adil bir şans oyunundaki toplam kazancı temsil etmektedir. Sürecin 8. adımdaki değeri $X_8 = 150$ birim olarak gözlemlenmiştir. Buna göre, sürecin bir sonraki adımı için mevcut bilgiler altındaki koşullu beklenen değeri olan $E[X_9 | \mathcal{F}_8]$ aşağıdakilerden hangisidir?

Stokastik süreçlerin temel bileşenleri, tanımları ve sınıflandırılmasıyla ilgili aşağıda yer alan ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bir kamu kurumunda kullanılan Elektronik Belge Yönetim Sistemi'nin (EBYS) günlük operasyonel durumu, durum uzayı $S = \{1, 2\}$ olan kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu modelde "1" durumu sistemin 'çevrimiçi' (online), "2" durumu ise 'çevrimdışı' (offline) olduğunu temsil etmektedir. Sistemin tek adımlı geçiş olasılık matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

Pazartesi günü 'çevrimiçi' olduğu bilinen bu sistemin, iki gün sonraki Çarşamba günü 'çevrimdışı' olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir üniversitenin öğrenci işleri bürosunda tek bir memur hizmet vermektedir ($M/M/1$ modeli). Büroya gelen öğrencilerin varışları saatte ortalama $8$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, memurun bir öğrenciye hizmet verme süresi ise ortalama $6$ dakika olacak şekilde üstel dağılıma uygundur. Buna göre, sisteme gelen bir öğrencinin büroda geçireceği ortalama toplam süre (kuyruk + hizmet) kaç dakikadır?

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde kullanılan bir dijital tarayıcının lambasının kullanım ömrü, ortalaması $8$ ay olan bağımsız ve aynı dağılımlı ($i.i.d.$) rastgele değişkenlerdir. Arızalanan lamba bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Temel Yenileme Teoremi'ne göre, uzun dönemde bu lamba için beklenen yıllık yenileme sayısı kaçtır?

Bir Galton-Watson dallanma sürecinde, her bir bireyin bir sonraki nesilde oluşturacağı yavru sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Başlangıçta bir birey ($X_0 = 1$) ile başlayan bu sürecin bir nesil sonrasındaki yavru dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, bu dallanma sürecinin nihai olarak yok olma (soyunun tükenmesi) olasılığı kaçtır?

$\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\}$ filtrasyonuna göre bir martingal (martingale) olduğu bilinen $\{X_n, n \geq 0\}$ stokastik sürecinin başlangıç değeri $X_0 = 5$ olarak verilmiştir. Bu sürecin 10. adımdaki değeri $X_{10} = 12$ olarak gözlemlendiğine göre, sürecin 15. adımdaki koşullu beklenen değeri olan $E[X_{15} | \mathcal{F}_{10}]$ kaçtır?

Bir bitki koruma programında yetiştirilen nadir bir türün çoğalması bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Her bir bireyin bir sonraki nesle bırakacağı tohum (yavru) sayısının olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sürecin bir adet birey ile başladığı ($X_0 = 1$) bilindiğine göre, bu sürecin 3. neslindeki beklenen birey sayısı ($E[X_3]$) kaçtır?

Bir kamu kurumunun yürüttüğü sosyal yardım projesinde, sisteme dahil olan her bir gönüllünün bir sonraki dönemde projeye kazandırdığı yeni gönüllü sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Her bir gönüllünün kazandıracağı yeni kişi sayısına ($X$) ilişkin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Başlangıçta ($n=0$) sisteme dahil olan 1 gönüllü olduğu bilindiğine göre, 2. nesildeki ($n=2$) beklenen gönüllü sayısı kaçtır?

Bir endüstriyel tesiste, bir su pompasının çalışma durumu (çalışıyor: $1$, duruyor: $0$) zaman boyunca kesintisiz olarak izlenmektedir.

Pompanın durumunu temsil eden $\{X(t), t \geq 0\}$ stokastik süreci için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir kamu hastanesinin girişinde bulunan otomatik dezenfektan cihazlarının pompaları, arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bu pompaların kullanım ömürleri, ortalaması $4$ gün olan bağımsız ve aynı dağılımlı ($i.i.d.$) rastgele değişkenlerdir. Temel Yenileme Teoremi'ne göre, uzun dönemde ($t \to \infty$) birim günde beklenen yenileme sayısı kaçtır?

İstatistiksel modellemede rastgele olayların zaman veya mekân içindeki evrimini inceleyen stokastik süreçler, yapısal özelliklerine ve parametre kümelerine göre sınıflandırılırlar.

Buna göre, stokastik süreçlerin temel kavramları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

$\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olsun.

Buna göre, $W(1) = 3$ koşulu altında $W(4) \cdot W(2)$ çarpımının beklenen değeri, yani

ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemi (EBYS) sunucusunun günlük çalışma durumu, $1$ (Normal Yük) ve $2$ (Yüksek Yük) olmak üzere iki durumlu bir kesikli zamanlı Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu sisteme ait bir adımlık geçiş olasılıkları matrisi ($P$) aşağıda verilmiştir:

Bu Markov zincirinin indirgenemez (irreducible) ve aperiyodik olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) $2$ numaralı 'Yüksek Yük' durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir çağrı merkezindeki telefon santrali, kapasitesi en fazla 2 çağrı olacak şekilde tasarlanmıştır. Bu sisteme gelen çağrılar ve tamamlanan görüşmeler, durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olarak modellenmektedir.

Sistemde $n$ adet çağrı varken;
- Yeni bir çağrının gelme (doğum) oranları: $\lambda_0 = 3$ çağrı/saat, $\lambda_1 = 2$ çağrı/saat ve $\lambda_2 = 0$
- Mevcut bir çağrının tamamlanma (ölüm) oranları: $\mu_1 = 1$ çağrı/saat ve $\mu_2 = 1$ çağrı/saat
olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığı kaçtır?

Bir üretim tesisinde kullanılan hassas bir makinenin günlük çalışma durumu, $S = \{1, 2, 3, 4\}$ durum uzayında tanımlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Durumlar sırasıyla; 1: Kurulum, 2: Düşük Kapasite, 3: Tam Kapasite, 4: Bakım olarak belirlenmiştir.

Makinenin günlük durum geçiş olasılık matrisi $P$ aşağıdaki gibi verilmiştir:

Bu Markov zincirinin durumları sınıflandırıldığında ve sistemin uzun dönem davranışı incelendiğinde, makinenin kararlı durumda (sınır olasılıklarında) 'Tam Kapasite' (3 numaralı durum) çalışma olasılığı ($\pi_3$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir sürecin durumlar arası geçişleri, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan homojen (zamanla değişmeyen) kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu zincire ait bir adım geçiş olasılıkları matrisi ($P$) aşağıda verilmiştir:

Sürecin başlangıç anında 1. durumda ($X_0 = 1$) olduğu ve 2. adımda tekrar 1. duruma ($X_2 = 1$) döndüğü bilinmektedir.

Buna göre, sürecin 1. adımda 2. durumda ($X_1 = 2$) bulunmuş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?