Tüm alıştırma soruları

Soru 81Soru →

Hristiyanlık tarihinin erken döneminde meydana gelen aşağıdaki olayların kronolojik olarak eskiden yeniye doğru sıralanışı nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru kronolojik sıralama; öncelikle Hz. İsa'nın Hristiyanlık inancını tebliğ etmeye başlaması, ardından Milano Fermanı ile dinin serbest bırakılması ve son olarak Hristiyanlığın resmi devlet dini haline gelmesidir.

Kronolojik gelişim incelendiğinde en eski olay Hristiyanlığın doğuşunu sağlayan Hz. İsa'nın tebliğ faaliyetleridir. MS 313 yılında yayımlanan Milano Fermanı ile Hristiyanlık serbest bir din statüsü kazanmış, MS 380 yılında ise Roma İmparatorluğu'nun resmi devlet dini olarak kabul edilmiştir. Dolayısıyla sıralama bu doğrultuda olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Dinin doğuş evresini belirleme

Hz. İsa'nın tebliğ dönemi ilk sıraya yerleştirilir.

Hristiyanlık dininin tebliği, dinin Roma devletindeki yasal statü değişimlerinden tarihsel olarak önce gerçekleşmiştir.

2

Yasal serbestlik kazanılan dönemi belirleme

Milano Fermanı ikinci sıraya yerleştirilir.

Milano Fermanı (MS 313), Hristiyanlığın resmi din olmasından önce din üzerindeki baskıları kaldırıp serbestlik tanımıştır.

3

Resmi devlet dini olma evresini belirleme

Hristiyanlığın resmi din olması son sıraya yerleştirilir.

Hristiyanlık, serbest bırakıldıktan sonraki bir aşamada (MS 380) Roma İmparatorluğu'nun tek resmi dini haline getirilmiştir.

Anahtar Kavram

Hristiyanlık Tarihinin Önemli Dönüm Noktaları

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 82Soru →

İlk Çağ medeniyet havzalarında siyasi gücün örgütlenme biçimleri; feodal/şehir devletlerinden merkezi krallıklara ve ardından geniş coğrafyalara hükmeden imparatorluklara doğru evrilmiştir. Aşağıda bu süreçte ortaya çıkan bazı önemli siyasi, idari ve hukuksal gelişmeler verilmiştir:

I. Pers İmparatorluğu'nun, genişleyen sınırları kontrol altında tutmak amacıyla ülkeyi "satraplık" adı verilen eyaletlere ayırarak merkezi bir yönetim ve posta teşkilatı kurması
II. Sümer şehir devletlerinden Lagaş'ta, rahip-kralların otoritesini sınırlamak ve sosyal adaletsizliği önlemek amacıyla ilk yazılı yasal düzenlemelerin yapılması
III. Makedonyalı Büyük İskender'in Doğu Seferi'yle Asya ve Avrupa medeniyetlerini sentezleyen Helenizm kültürünü ortaya çıkararak çok uluslu evrensel bir imparatorluk yapısı kurması
IV. Babil Devleti'nde Kral Hammurabi'nin, gücünü tanrısal olmaktan ziyade dünyevi bir temele (orduya) dayandırarak ilk mutlak ve merkeziyet��i krallık modelini oluşturması

Bu gelişmelerin kronolojik olarak geçmişten günümüze doğru sıralaması nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sıralama; Sümer şehir devletlerindeki Lagaş yasalarının yapılması (II), Babil Kralı Hammurabi'nin mutlak ve merkezi krallık modelini kurması (IV), Pers İmparatorluğu'nun idari birim olarak satraplık sistemine geçmesi (I) ve Makedonyalı Büyük İskender'in Doğu Seferi ile Helenizm kültürün�� başlatması (III) şeklinde kronolojik olarak geçmişten günümüze doğru olmalıdır.

Verilen gelişmelerin kronolojik sıralaması yapıldığında; Sümer şehir devletlerindeki Lagaş yasaları MÖ 24. yüzyılda, Babil Krallığı'nın Hammurabi idaresinde merkezi yapıya kavuşması MÖ 18. yüzyılda, Pers İmparatorluğu'nun satraplık sistemi MÖ 6. yüzyılın sonlarında ve Makedonyalı Büyük İskender'in Helenizm sentezini kurması MÖ 4. yüzyılın sonlarında gerçekleşmiştir. Bu doğrultuda doğru kronolojik sıralama II - IV - I - III şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayların meydana geldiği dönemleri tespit etmek.

Lagaş Kralı Urkagina'nın yazılı yasaları MÖ 24. yüzyıla, Hammurabi'nin kanunları ve merkeziyetçi krallığı MÖ 18. yüzyıla, Pers satraplık teşkilatı MÖ 6. yüzyılın sonuna, Büyük İskender'in Helenizm kültürünü başlatan seferi ise MÖ 4. yüzyıla aittir.

Kronolojik sıralama yapabilmek için her bir olayın tarihlendiği dönemleri veya yüzyılları belirlemek gerekir.

2

Milattan Önce (MÖ) tarihlerinin büyüklük ilişkisini kurmak.

Milattan Önceki tarihlerde rakamsal değeri büyük olan tarih günümüzden daha uzaktır (geçmiştir). Bu nedenle MÖ 24. yüzyıl > MÖ 18. yüzyıl > MÖ 6. yüzyıl > MÖ 4. yüzyıl kronolojisi kurulur.

Milattan Önceki dönemlerin zaman dizinini doğru yorumlamak kronolojik hata yapmayı önler.

3

Olayları geçmişten günümüze doğru sıralamak.

Sümerlerin sosyal adaleti sağlamaya yönelik ilk yazılı kanunları (II), Babil Kralı Hammurabi'nin mutlakiyetçi kanunları (IV), Perslerin idari taksimatı olan satraplık sistemi (I) ve Büyük İskender'in kültürel sentez kuran imparatorluğu (III) sırasını alır.

Elde edilen kronolojik veriler doğrultusunda en eski olaydan en yeni olaya doğru sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

İlk Çağ medeniyetlerinin siyasi güç merkezleri, idari yapıları ve hukuk sistemlerinin kronolojik gelişim süreçleri.

Soru 83Soru →

Dış dünyadan alınan bir bilginin zihnimizde işlenerek kalıcı hale gelmesi sürecinde gerçekleşen bellek aşamalarını, bilginin ilk girişinden itibaren sırasıyla düzenleyiniz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama duyusal bellek, kısa süreli bellek ve uzun süreli bellek sırasını takip eden duyusal belleğe aktarılma, kısa süreli bellekte tutulma ve uzun süreli belleğe kalıcı olarak aktarılma şeklinde olmalıdır.

Bellek süreçleri duyusal bellek, kısa süreli bellek ve uzun süreli bellek sırasını takip eder. İlk olarak dış dünyadan gelen fiziksel enerjiler duyusal bellekte anlık olarak tutulur. Ardından dikkat ve algı yoluyla seçilen bilgiler kısa süreli belleğe aktarılır. En son aşamada ise anlamlandırma ve kodlama ile uzun süreli bellekte kalıcı depolama gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Dışarıdan gelen fiziksel uyarıcıların duyu organlarınca nasıl karşılandığını analiz edin.

Uyarıcıların duyusal belleğe anlık olarak kaydedildiği belirlenir.

Zihinsel bilgi işleme sürecinin ilk aşaması dış uyarıcıların duyusal organlarca kaydedilmesidir.

2

Dikkat çeken uyarıcıların bir sonraki aşamaya nasıl aktarıldığını inceleyin.

Bilgilerin kısa süreli belleğe geçerek geçici olarak saklandığı tespit edilir.

Duyusal bellekten seçilen bilgiler işlenmek üzere kısa süreli belleğe gönderilir.

3

Kısa süreli bellekten uzun süreli belleğe geçiş sürecini değerlendirin.

Bilginin kodlanıp uzun süreli belleğe kalıcı olarak yerleştirildiği görülür.

Son aşamada bilgiler anlamlandırılarak kalıcı bellek deposuna aktarılır.

Anahtar Kavram

Bilgi İşleme Modelinde Bellek Aşamaları

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 84Soru →

İlk ve Orta Çağlarda Avrupa ve Orta Asya coğrafyalarında faaliyet gösteren Türk devlet ve topluluklarına ait aşağıda verilen gelişmelerin kronolojik olarak geçmişten günümüze doğru sıralanışını belirleyiniz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Kronolojik sıralama sırasıyla Avarların İstanbul'u ku��atması (626), Karlukların Talas Savaşı'nda Abbasileri desteklemesi (751), İtil Bulgar Devleti'nin İslamiyet'i kabul etmesi (922) ve Peçeneklerin Malazgirt Savaşı'nda saf değiştirmesi (1071) şeklinde olmalıdır.

Verilen gelişmelerin kronolojik sıralaması gerçekleşme yıllarına dayanmaktadır. Avarların İstanbul kuşatması 626'da, Karlukların Talas Savaşı'na katılımı 751'de, İtil Bulgarlarının İslamiyet'i resmi din yapması 922'de ve Peçeneklerin Malazgirt Savaşı'nda saf değiştirmesi 1071'de gerçekleştiğinden doğru sıralama sırasıyla Avar kuşatması, Karluk desteği, İtil Bulgar İslamlaşması ve Peçenek saf değişimi şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayların gerçekleştiği dönemlerin tespit edilmesi

Avarların İstanbul kuşatması 626 yılına (VII. yüzyıl), Karlukların Talas Savaşı desteği 751 yılına (VIII. yüzyıl), İtil Bulgarlarının İslamiyet'i kabulü 922 yılına (X. yüzyıl) ve Peçeneklerin Malazgirt Savaş��'ndaki saf değişimi 1071 yılına (XI. yüzyıl) aittir.

Kronolojik sıralama yapabilmek için olayların tarihsel yüzyıl veya yıllarının belirlenmesi gereklidir.

2

Tarihsel verilerin geçmişten günümüze doğru sıralanması

Tarihsel sıralama sırasıyla 626, 751, 922 ve 1071 yılları olarak gerçekleşir.

Kronoloji sorularında olaylar en eski tarihten en yakın tarihe doğru dizilmelidir.

3

Doğru sıralamanın oluşturulması

Sıralama Avar kuşatması, Karluk desteği, İtil Bulgar İslamlaşması ve Peçenek saf değişimi şeklinde tamamlanır.

Belirlenen tarihsel akışa göre doğru sıralama şeması elde edilir.

Anahtar Kavram

Avrupa ve Orta Asya'daki Türk Devlet ve Topluluklarının Kronolojisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 85Soru →

Aşağıda verilen $x$ , $y$ , $z$ ve $w$ trigonometrik değerlerini en kü��ükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin doğru sıralaması en küçükten en büyüğe

y < z < x < w

şeklindedir.

Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup değerleri hesaplandığında

y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707

,

z = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577

,

x = 0.5

ve

w = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577

değerleri elde edilir. Negatif sayıların kendi arasındaki sıralamasından

y < z

, pozitif sayıların kendi arasındaki sıralamasından ise

x < w

elde edilir. Bu durumları birleştiren sıralama doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

x = \cos\left(\frac{31\pi}{3}\right)

ifadesinin değerini bulmak.

\frac{31\pi}{3}

açısının esas ölçüsü,

31

'in

6

'ya (paydanın iki katına) bölümünden kalan

1

olduğundan

\frac{\pi}{3}

radyandır. Dolayısıyla

x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} = 0.5

olur.

Açının

2\pi

'den büyük olan kısmı elenerek esas ölçüsü bulunur.

2

y = \sin\left(-\frac{41\pi}{4}\right)

ifadesinin değerini bulmak.

-\frac{41\pi}{4} = -10\pi - \frac{\pi}{4}

olup esas ölçü için üzerine

12\pi

eklendiğinde

\frac{7\pi}{4}

elde edilir. Dördüncü bölgedeki bu açının sinüsü

y = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707

olur.

Negatif açılarda esas ölçü bulunup dördüncü bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olarak belirlenir.

3

z = \tan\left(\frac{23\pi}{6}\right)

ifadesinin değerini bulmak.

\frac{23\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}

olup esas ölçüsü

\frac{11\pi}{6}

radyandır. Dördüncü bölgedeki bu açının tanjantı

z = \tan\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577

olur.

Dördüncü bölgedeki tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.

4

w = \cot\left(-\frac{17\pi}{3}\right)

ifadesinin değerini bulmak.

-\frac{17\pi}{3} = -6\pi + \frac{\pi}{3}

olup esas ölçüsü

\frac{\pi}{3}

radyandır. Birinci bölgedeki bu açının kotanjantı

w = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577

olur.

Esas ölçü ekleme yoluyla bulunmuş olup birinci bölgedeki kotanjant değeri pozitiftir.

5

Hesaplanan değerleri sayı doğrusunda karşılaştırmak.

Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan daha küçük olduğundan

-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{3}

yani

y < z

olur. Pozitif sayılarda ise

\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}

yani

x < w

olur. Tüm değerler birleştirildiğinde

y < z < x < w

sıralaması elde edilir.

Elde edilen rasyonel ve köklü sayıların yaklaşık değerleri karşılaştırılarak doğru sıralama yapılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenerek değer sıralaması yapılması.

Soru 86Soru →

$a = \sin(140^\circ)$
$b = \cos(290^\circ)$
$c = \tan(220^\circ)$

olduğuna göre, bu trigonometrik değerleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı

b < a < c

şeklindedir.

Verilen açıların hepsi birinci bölgedeki dar açılara indirgendiğinde

a = \sin(40^\circ)

,

b = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

değerleri bulunur. Birinci bölgede sinüs artan bir fonksiyon olduğu için

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ)

yani

b < a

olur. Aynı dar açı için tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğundan

\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ)

yani

c > a

olur. Bu durumda doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek

a = \sin(40^\circ)

,

b = \cos(70^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

olarak bulunur.

Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini kolayca karşılaştırabilmek için tüm değerleri birinci bölgeye taşımalıyız.

2

Kosinüs değerini sinüs değerine dönüştürmek

b = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)

eşitliği elde edilir.

Sinüs ve kosinüs değerlerini birbiriyle kıyaslayabilmek için aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmalıyız.

3

Sinüs değerlerini kendi arasında karşılaştırmak

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ)

olduğundan

b < a

olur.

Birinci bölgede dar açıların ölçüsü büyüdükçe sinüs değerleri de artar.

4

Sinüs ve tanjant değerlerini karşılaştırmak

\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ)

olduğundan

c > a

olur.

Birinci bölgedeki aynı dar açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.

5

Eşitsizlikleri birleştirmek

b < a < c

sıralaması elde edilir.

b < a

ve

a < c

eşitsizlikleri birleştirildiğinde doğru sıralamaya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Birinci Bölgeye İndirgenmesi ve Karşılaştırılması

Soru 87Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı

b < a < c

şeklindedir.

Verilen ifadelerin esas ölçüleri sırasıyla

230^\circ

,

\frac{7\pi}{6}

ve

\frac{5\pi}{4}

olarak bulunur. Her üç açı da koordinat düzleminin üçüncü bölgesindedir. Üçüncü bölgede sinüs ve kosinüs negatif, tanjant ise pozitif değerler alır. Bu durumda pozitif olan tanjant değeri en büyüktür. Negatif değerler karşılaştırıldığında ise

-\sin(50^\circ)

değeri

-\sin(60^\circ)

değerinden büyük olduğundan, sıralama küçükten büyüğe

b < a < c

şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

a = \sin(1670^\circ)

ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.

1670^\circ

açısının

360^\circ

'ye bölümünden kalan

230^\circ

olur. Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan

a = \sin(230^\circ) = \sin(180^\circ + 50^\circ) = -\sin(50^\circ) \approx -0,766

elde edilir.

Büyük dereceli a��ıların trigonometrik oranlarını karşılaştırabilmek için öncelikle esas ölçüleri bulunmalıdır.

2

b = \cos\left(\frac{31\pi}{6}\right)

ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.

\frac{31\pi}{6}

açısının esas ölçüsü

\frac{7\pi}{6}

radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan

b = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866

elde edilir.

Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçüsü payın paydanın iki katına bölünmesiyle elde edilen kalan yardımıyla hesaplanır.

3

c = \tan\left(-\frac{11\pi}{4}\right)

ifadesinin esas ölçüsünü bulunuz ve bölgeye göre indirgeyiniz.

-\frac{11\pi}{4}

açısına

4\pi

eklenerek esas ölçüsü

\frac{5\pi}{4}

radyan olarak bulunur. Üçüncü bölgede tanjant pozitif olduğundan

c = \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1

elde edilir.

Negatif yönlü açıların esas ölçüsü, açı pozitif olana kadar üzerine

2\pi

katları eklenerek bulunur.

4

Elde edilen

a \approx -0,766

,

b \approx -0,866

ve

c = 1

değerlerini karşılaştırarak sıralayınız.

-0,866 < -0,766 < 1

olduğundan sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Bulunan sayısal değerlerin büyüklük sıralaması nihai sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Açıların esas ölçülerini bulma, bölgelere göre indirgeme formülleriyle trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleme ve birinci bölgedeki değerlerine göre sıralama yapma.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 88Soru →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \tan x \\ c &= \sin x - \cot x \end{aligned}

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Verilen

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı için

\sin x

ve

\cos x

negatif,

\tan x

ve

\cot x

ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta

\sin x > \cos x

olduğundan

a = \sin x - \cos x

ifadesi pozitif bir sayıdır.

b

ve

c

ifadelerinde ise negatif değerlerden pozitif değerler çıkarıldığı için sonuçlar negatiftir.

c = \sin x - \cot x

ifadesinde

\cot x > 1

olduğundan sonuç

-1

'den küçüktür.

b = \cos x - \tan x

ise

c

'den daha büyüktür. Bu nedenle sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı 3. bölgededir. Bu aralıkta

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

olur. Ayrıca bu aralıkta

\cos x < \sin x < 0

ve

\cot x > 1 > \tan x > 0

eşitsizlikleri geçerlidir.

3. bölgede birim çember üzerindeki koordinatlar negatiftir ve açının

\pi

ile

\frac{5\pi}{4}

arasında olması,

\cos x

değerinin mutlak değerce

\sin x

değerinden büyük olmasını gerektirir.

2

a = \sin x - \cos x

ifadesinin işaretini belirlemek.

\sin x > \cos x

olduğundan,

a = \sin x - \cos x > 0

olur (pozitiftir).

Daha büyük bir negatif sayıdan daha küçük bir negatif sayı çıkarıldığında sonuç daima pozitif olur.

3

b = \cos x - \tan x

ve

c = \sin x - \cot x

ifadelerinin değer aralıklarını karşılaştırmak.

b

ifadesinde negatif bir değerden pozitif bir değer çıkarıldığı için

b < 0

olur.

c

ifadesinde de negatif bir değerden

1

'den büyük pozitif bir değer çıkarıldığı için

c < -1

olur. Bu iki negatif terim karşılaştırıldığında

b > c

olduğu görülür.

b - c = (\cos x - \tan x) - (\sin x - \cot x) = (\cos x - \sin x) + (\cot x - \tan x)

ifadesinde

\cot x - \tan x

farkı pozitif ve mutlak değerce çok daha baskın olduğundan sonuç pozitif çıkar, bu da

b > c

olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

3. bölgede trigonometrik fonksiyonların işaretleri, değer aralıkları ve sıralama kuralları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 89Soru →

Avrupalı büyük güçlerin Osmanlı Devleti üzerindeki nüfuz mücadeleleri ve toprak paylaşım politikaları çerçevesinde şekillenen Şark Meselesi, diplomasi tarihinde önemli dön��m noktalarına sahne olmuştur.

Bu doğrultuda, Osmanlı Devleti'nin varlığını korumak amacıyla uyguladığı denge stratejisi kapsamında gerçekleşen aşağıdaki diplomatik gelişmelerin en eskiden en yeniye doğru kronolojik sıralanışı nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru kronolojik sıralama: Hünkar İskelesi Antlaşması'nın imzalanması (1833), Tanzimat Fermanı'nın ilanı (1839), Londra Boğazlar Sözleşmesi'nin imzalanması (1841), Paris Antlaşması'nın imzalanması (1856) ve Kıbrıs'ın geçici olarak İngiltere'ye üs olarak bırakılması (1878) şeklindedir.

Verilen gelişmelerin tarihsel sıralaması 1833, 1839, 1841, 1856 ve 1878 yıllarına denk gelmektedir. Dolayısıyla kronolojik sıralama Hünkar İskelesi Antlaşması'nın imzalanması, Tanzimat Fermanı'nın ilanı, Londra Boğazlar Sözleşmesi'nin imzalanması, Paris Antlaşması'nın imzalanması ve Kıbrıs'ın geçici olarak İngiltere'ye bırakılması şeklinde kurulmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Hünkar İskelesi Antlaşması'nın tarihi ve amacı belirlenir.

Hünkar İskelesi Antlaşması (1833), Rusya ile imzalanmış olup Boğazlar Sorunu'nu başlatan ilk gelişmedir ve listenin başına yerleştirilir.

1833 yılındaki Kavalalı isyanı, verilen diğer gelişmelerden kronolojik olarak daha eskidir.

2

Tanzimat Fermanı'nın Şark Meselesi ve Mısır Sorunu ile ilişkisi değerlendirilir.

Tanzimat Fermanı'nın ilanı (1839) ikinci sıraya konulur.

Osmanlı Devleti, Mısır Sorunu'nu çözmek için Avrupalı devletleri yanına çekmek amacıyla bu ıslahatı 1839'da ilan etmiştir.

3

Londra Boğazlar Sözleşmesi'nin kronolojik sırası belirlenir.

Londra Boğazlar Sözleşmesi (1841) üçüncü sıraya yerleştirilir.

1833 Hünkar İskelesi Antlaşması'nın 8 yıllık süresi dolunca, Boğazlar konusu 1841 yılında Londra'da uluslararası bir konferansta karara bağlanmıştır.

4

Paris Antlaşması'nın yeri tespit edilir.

Paris Antlaşması (1856) dördüncü sıraya yerleştirilir.

1853-1856 Kırım Savaşı'nın bitiminde imzalanan bu antlaşma, Londra Boğazlar Sözleşmesi'nden daha sonra gerçekleşmiştir.

5

Kıbrıs'ın İngiltere'ye bırakılması süreci kronolojik olarak konumlandırılır.

Kıbrıs'ın geçici olarak İngiltere'ye askeri üs olarak bırakılması (1878) son sıraya yerleştirilir.

93 Harbi (1877-1878) sonrası Berlin Kongresi'nde destek bulma arayışı kapsamında gerçekleşen bu olay, listedeki en güncel diplomatik gelişmedir.

Anahtar Kavram

Osmanlı Devleti'nin XIX. yüzyıl denge stratejisi, Şark Meselesi diplomatik aşamaları ve kronolojisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 90Soru →

Aşağıdaki Tanzimat Dönemi Türk edebiyatına ait roman ve hikaye türündeki eserleri, yayımlanma (ilk baskı) tarihlerine göre kronolojik olarak eskiden yeniye doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eserlerin kronolojik olarak yayımlanma sırası: Letaif-i Rivayat (1870) - Felatun Bey ile Râkım Efendi (1875) - Sergüzeşt (1888) - Karabibik (1890) şeklindedir.

Verilen eserlerin yayımlanma yılları sırasıyla Letaif-i Rivayat (1870), Felatun Bey ile Râkım Efendi (1875), Sergüzeşt (1888) ve Karabibik (1890) şeklindedir. Dolayısıyla doğru sıralama Letaif-i Rivayat, Felatun Bey ile Râkım Efendi, Sergüzeşt ve Karabibik olarak gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Letaif-i Rivayat eserinin yayımlanma tarihini belirleyiniz.

Letaif-i Rivayat, Ahmet Mithat Efendi tarafından yazılmış olup 1870 yılında yayımlanmıştır.

Eserlerin en eskisini tespit ederek sıralamayı başlatmak gerekir.

2

Felatun Bey ile Râkım Efendi romanının yayımlanma tarihini belirleyiniz.

Felatun Bey ile Râkım Efendi, Ahmet Mithat Efendi'nin 1875 yılında yayımlanmış olan romanıdır.

İlk hikaye kitabından sonra yayımlanan bu roman sıralamada ikinci sırada yer alır.

3

Tanzimat II. Dönem eserleri olan Sergüzeşt ve Karabibik romanlarının tarihlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlayınız.

Samipaşazade Sezai'nin Sergüzeşt romanı 1888 yılında, Nabizade Nazım'ın Karabibik romanı ise 1890 yılında yayımlanmıştır.

Sergüzeşt (1888), Karabibik (1890) romanından daha önce yayımlandığı için sıralamada Karabibik'in önünde yer almalıdır.

Anahtar Kavram

Tanzimat Dönemi roman ve hikaye türünün kronolojik gelişim aşamaları ve önemli eserlerinin yayımlanma tarihleri.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 91Soru →

Aşağıda verilen $x$ , $y$ , $z$ ve $w$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama

w < x < y < z

şeklindedir.

Verilen ifadeler indirgendiğinde

w = -\tan(40^\circ)

,

x = -\sin(10^\circ)

,

y = \sin(20^\circ)

ve

z = \tan(40^\circ)

elde edilir. Negatif değerler kendi arasında kıyaslandığında

w < x

, pozitif değerler kendi arasında kıyaslandığında ise

y < z

olduğu görülür. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların bölgelerini belirleyip işaret tespiti yapınız.

190^\circ

III. bölgededir (sinüs negatif),

220^\circ

III. bölgededir (tanjant pozitif),

290^\circ

IV. bölgededir (kosinüs pozitif),

310^\circ

IV. bölgededir (kotanjant negatif). Bu durumda

w < 0

,

x < 0

ve

y > 0

,

z > 0

olur.

Sıralama yaparken ilk adım sayıların işaretlerini belirleyerek pozitif ve negatif gruplara ayırmaktır.

2

Açıları indirgeme formüllerini kullanarak I. bölgedeki dar açılara dönüştürünüz.

x = -\sin(10^\circ)

,

y = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)

,

z = \tan(40^\circ)

,

w = -\cot(50^\circ) = -\tan(40^\circ)

elde edilir.

Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri kıyaslayabilmek için hepsini I. bölgedeki eşdeğer ifadelerine dönüştürmek gerekir.

3

Eşdeğer ifadeleri büyüklüklerine göre karşılaştırıp nihai sıralamayı oluşturunuz.

10^\circ < 40^\circ

olduğundan

\sin(10^\circ) < \tan(40^\circ)

olur. Buradan negatif değerler için

-\tan(40^\circ) < -\sin(10^\circ)

yani

w < x

elde edilir. Pozitif değerler için ise

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ)

olduğundan

y < z

olur. Sonuç olarak

w < x < y < z

sıralaması bulunur.

Birinci bölgede açılar büyüdükçe sinüs ve tanjant fonksiyonlarının değerleri artar; ayrıca aynı açı için tanjant değeri her zaman sinüs değerinden büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Bölgelere Göre İndirgenmesi ve İşaret Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 92Soru →

$\pi < x < \frac{7\pi}{6}$ olmak üzere, aşağıda verilen $A$ , $B$ ve $C$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama B < C < A şeklindedir.

Verilen x açısı üçüncü bölgede yer almaktadır. İndirgeme bağıntıları uygulandığında A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir. Bu aralıkta A, B ve C değerlerinin tümü pozitif olup sayısal sınırları sırasıyla A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 şeklindedir. C = B/A bağıntısında A < 1 olduğundan C > B elde edilir. Aynı zamanda C < A olduğundan doğru sıralama B < C < A olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A, B ve C ifadelerindeki açıları esas ölçülerini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.

A = -\cos x, B = -\sin x ve C = \tan x elde edilir.

Trigonometrik değerleri karşılaştırabilmek için öncelikle ifadeleri en sade ve bilinen formlarına dönüştürmek gerekir.

2

x açısının yer aldığı (\pi, 7\pi/6) aralığına göre sin x ve cos x değerlerinin sınırlarını belirleyin.

-1 < \cos x < -\sqrt{3}/2 ve -1/2 < \sin x < 0 sınırları elde edilir.

Üçüncü bölgedeki bu özel dar aralıkta trigonometrik fonksiyonların alabileceği değerlerin sınırlarını bilmek büyüklük karşılaştırması yapabilmemizi sağlar.

3

Elde edilen sınır değerleri kullanarak A, B ve C ifadelerinin pozitiflik durumlarını ve sayısal aralıklarını analiz edin.

A > 0.866, B < 0.5 ve C < 0.577 (tüm terimler pozitif) olduğu tespit edilir.

Her bir terimin pozitif olduğunu belirledikten sonra sayısal aralıklarını kıyaslayarak sıralamayı gerçekleştirmek gerekir.

4

A, B ve C arasındaki ilişkileri (özellikle C = B/A bağıntısını) kullanarak sıralamayı kesinleştirin.

B < C < A sıralaması elde edilir.

A < 1 olduğundan C = B/A > B olur. A > 0.866 ve C < 0.577 olduğundan da C < A olur. Bu iki durum birleştirildiğinde B < C < A sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Soru 93Soru →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ olmak üzere,

a = \sin(\pi + x)

b = \cos(\pi - x)

c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

olarak veriliyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c < b < a

Verilen açılar dar açı cinsine indirgendiğinde

a = -\sin x

,

b = -\cos x

ve

c = -\cot x

değerleri elde edilir.

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için

\sin x < \cos x < 1 < \cot x

olduğundan, negatif işaretli halleri sıralandığında

c < b < a

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirmek.

a = -\sin x

,

b = -\cos x

ve

c = -\cot x

\pi + x

açısı 3. bölgede olduğundan sinüs negatiftir.

\pi - x

açısı 2. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir.

\frac{3\pi}{2} + x

açısı 4. bölgede olduğundan tanjant negatiftir ve

\frac{3\pi}{2}

açısı kullanıldığından fonksiyon eş fonksiyonu olan kotanjanta dönüşür.

2

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için

\sin x

,

\cos x

ve

\cot x

fonksiyonlarının değer aralıklarını kıyaslamak.

0 < \sin x < \cos x < 1 < \cot x

0

ile

\frac{\pi}{4}

(

45^\circ

) arasındaki açılar için sinüs değeri kosinüs değerinden küçüktür ve her ikisi de

0

ile

1

arasındadır. Kotanjant ise bu aralıkta

1

'den büyüktür.

3

Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak sıralamayı belirlemek.

c < b < a

0 < \sin x < \cos x < \cot x

eşitsizliği

-1

ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve

-\cot x < -\cos x < -\sin x

olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılı bölgelerde kıyaslanması.

Soru 94Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadelerin değerleri sırasıyla

a = \frac{1}{2}

,

b = -\frac{1}{2}

ve

c = -1

olduğundan, doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Verilen trigonometrik oranlar bölgelerine göre indirgendiğinde elde edilen değerler

a = \frac{1}{2}

,

b = -\frac{1}{2}

ve

c = -1

şeklindedir. Bu sayısal değerler karşılaştırıldığında

-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2}

sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama

c < b < a

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

a = \sin(150^\circ)

ifadesinin değerini bulunuz.

a = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}

150^\circ

açısı 2. bölgededir ve 2. bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.

2

b = \cos(240^\circ)

ifadesinin değerini bulunuz.

b = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}

240^\circ

açısı 3. bölgededir ve 3. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.

3

c = \tan(315^\circ)

ifadesinin değerini bulunuz.

c = \tan(360^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1

315^\circ

açısı 4. bölgededir ve 4. bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatiftir.

4

Bulunan değerleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.

-1 < -\frac{1}{2} < \frac{1}{2}

olduğundan

c < b < a

sıralaması elde edilir.

Sayı doğrusundaki konumlarına göre en soldaki (en küçük) sayı

-1

, ardından

-\frac{1}{2}

ve en sağdaki (en büyük) sayı ise

\frac{1}{2}

'dir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret tayini ve indirgeme kuralları yardımıyla değerlerinin hesaplanması.

Soru 95Soru →

$\alpha \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$ olmak üzere,

a = \sin(7\pi - \alpha)

b = \cos(5\pi - \alpha)

c = \tan \left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)

d = \cot\left(\alpha - \frac{13\pi}{2} \right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.

Verilen açının üçüncü bölgedeki konumu dikkate alınarak tüm ifadeler birinci bölgedeki dar açı cinsinden yazıldığında, negatif olanlar kendi aralarında (tanjantın sinüsten büyük olması nedeniyle -tan < -sin), pozitif olanlar kendi aralarında (kosinüsün 1'den küçük, kotanjantın ise 1'den büyük olması nedeniyle cos < cot) sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1

Açının aralığını belirleme ve kolaylık sağlamak için yardımcı bir dar açı tanımlama.

\alpha = \pi + \theta

tanımlanır, burada

\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığ��nda bir dar açıdır.

Bölgelere göre indirgeme yaparken dar açılar üzerinden kıyaslama yapmak kolaylık sağlar.

2

Verilen dört trigonometrik ifadeyi indirgeme formülleriyle

\theta

cinsinden yazma.

a = -\sin\theta

,

b = \cos\theta

,

c = \cot\theta

,

d = -\tan\theta

elde edilir.

Her ifadenin esas ölçü ve bölge dönüşümlerini yaparak karşılaştırılabilir ortak bir değişken elde etmek için.

3

Elde edilen ifadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etme.

d

ve

a

negatif;

b

ve

c

pozitif değerlerdir.

0 < \sin\theta < \tan\theta < 1

olduğundan

-\tan\theta < -\sin\theta

, yani

d < a

olur. Ayrıca

\cos\theta < 1 < \cot\theta

olduğundan

b < c

olur.

Trigonometrik fonksiyonların birinci bölgedeki büyüklük ilişkilerini kullanarak kesin sıralamayı oluşturmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve dar açı dönüşümleri kullanılarak sıralanması.

Alternatif Yöntem

Aralığa uygun olacak şekilde

\alpha = 210^\circ

değeri seçilebilir. Bu durumda

a = \sin(150^\circ) = 0.5

gibi görünse de esas formüllerden indirgeme yapıldığında değerler doğrudan hesaplanıp kıyaslanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 96Soru →

$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)$ olmak üzere, aşağıda verilen $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı

x < y < z

şeklindedir.

Verilen açı aralığında indirgenmiş ifadelerin değer aralıkları hesaplandığında

x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

,

y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

ve

z \in (1, \infty)

olarak bulunur. Bu aralıkların kesişimi olmadığı için kesin bir şekilde

x < y < z

sıralaması geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1

x

ifadesini indirgeyiniz.

x = -\cos\theta

\frac{3\pi}{2}

açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir.

\frac{3\pi}{2} - \theta

açısı üçüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede sinüsün işareti negatiftir.

2

y

ifadesini indirgeyiniz.

y = \sin\theta

\frac{3\pi}{2}

açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir.

\frac{3\pi}{2} + \theta

açısı dördüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede kosinüsün işareti pozitiftir.

3

z

ifadesini indirgeyiniz.

z = -\tan\theta

\pi

açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirmez.

\pi - \theta

açısı ikinci bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede tanjantın işareti negatiftir.

4

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığına göre elde edilen değerlerin büyüklük sıralamasını yapınız.

x < y < z

Verilen aralıkta

\cos\theta \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

olduğundan

x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olur. Aynı aralıkta

\sin\theta \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

olduğundan

y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

olur.

\tan\theta \in (-\infty, -1)

olduğundan

z \in (1, \infty)

olur. Bu durumda sıralama

x < y < z

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.

Soru 97Soru →

$\pi < x < \frac{5\pi}{4}$ olmak üzere;

a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

b = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)

d = \cot\left(\pi - x\right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralaması d < b < a < c şeklindedir.

İndirgenen değerler sırasıyla incelendiğinde;

d

ifadesi

-1

'den küçük,

b

ifadesi

-1

ile

0

arasında (negatif),

a

ifadesi

0

ile

1

arasında (pozitif) ve

c

ifadesi

1

'den büyüktür. Bu aralıklar birbirini kesmediğinden sıralama kesin olarak en küçükten en büyüğe doğru

d < b < a < c

biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.

a = -\cos(x)

,

b = \sin(x)

,

c = \cot(x)

ve

d = -\cot(x)

olarak bulunur.

Değerlerin karşılaştırılabilmesi için tüm ifadelerin aynı açı (

x

) cinsinden yazılması gerekir.

2

Açının bulunduğu

\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların alabileceği değer sınırlarını belirleyin.

Üçüncü bölgedeki bu aralıkta

\sin(x) \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

,

\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

ve

\cot(x) \in (1, \infty)

olur.

Bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ve birim çember üzerindeki sınır değerleri sıralamanın temelini oluşturur.

3

Elde edilen sınırları indirgenmiş ifadelere uygulayarak

a, b, c, d

değerlerini kıyaslayın.

d < -1

,

-0.707 < b < 0

,

0.707 < a < 1

ve

c > 1

eşitsizlikleri elde edilir. Buradan

d < b < a < c

sıralamasına ulaşılır.

Aralıkların hiçbir ortak elemanı olmadığı için sıralama kesin ve benzersizdir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birim çember üzerinde değer aralıklarının belirlenerek sıralanması

Soru 98Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a < c < b

Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölge analizleri yapıldığında;

b

değeri birinci bölgede pozitif bir sinüs değerine (

b = \sin(20^\circ) > 0

),

a

ve

c

değerleri ise sırasıyla ikinci ve dördüncü bölgelerde negatif değerlere (

a = -\cos(20^\circ) < 0

ve

c = -\tan(20^\circ) < 0

) eşittir. Negatif değerler karşılaştırılırken,

0 < 20^\circ < 45^\circ

aralığında

\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ)

eşitsizliği geçerlidir. Negatif işaretli hallerinde ise eşitsizlik yön değiştirerek

-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ)

yani

a < c

olur. Pozitif olan

b

değeri ise en büyüktür. Bu durumda doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların esas ölçülerini bulma

1240^\circ

açısın��n esas ölçüsü

160^\circ

,

-340^\circ

açısının esas ölçüsü

20^\circ

ve

700^\circ

açısının esas ölçüsü

340^\circ

olarak bulunur.

Bölgelere göre indirgeme ve karşılaştırma yapabilmek için öncelikle açıların

[0, 360^\circ)

aralığındaki esas ölçülerinin bulunması gerekir.

2

Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre işaretlerini belirleme ve dar açı cinsinden yazma

a = \cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ)

(negatif),

b = \sin(20^\circ)

(pozitif) ve

c = \tan(340^\circ) = -\tan(20^\circ)

(negatif) olarak belirlenir.

İfadelerin hangi bölgede yer aldığını saptayarak işaretlerini ve birinci bölgedeki karşılıklarını belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.

3

Bulunan değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırma

b

pozitif olduğu için en büyüktür.

a

ve

c

negatif değerlerdir.

0 < 20^\circ < 45^\circ

aralığında

\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ)

olduğundan, her iki tarafı

-1

ile çarptığımızda

-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ)

yani

a < c

elde edilir. Sonuç olarak

a < c < b

sıralaması bulunur.

Birinci bölgedeki dar açılı trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini kullanarak nihai sıralamaya ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 99Soru →

\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

olmak üzere,

x = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right)

y = \tan\left(\theta - 3\pi\right)

z = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta\right)

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadeler indirgendiğinde ve aralık analizi yapıldığında doğru sıralama z < y < x şeklindedir.

Verilen açılar esas ölçülerine getirilip indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde

x = -\sin\theta

,

y = \tan\theta

ve

z = \cos\theta

elde edilir.

\theta

açısı ikinci bölgede olduğundan bu üç değer de negatiftir.

\theta = \pi - \alpha

dönüşümüyle dar açıya geçildiğinde

x = -\sin\alpha

,

y = -\tan\alpha

ve

z = -\cos\alpha

olur.

0 < \alpha < 30^\circ

aralığında mutlak değerce en büyük olan

\cos\alpha

, en küçük olan ise

\sin\alpha

olduğundan, negatif işaretliler sıralandığında en küçük değer z, en büyük değer ise x olur.

Adım Adım Çözüm

1

x, y ve z ifadelerine indirgeme formüllerini uygulayarak en sade trigonometrik biçimlerini bulalım.

x = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2} + 4\pi\right) = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta

y = \tan\left(\theta - 3\pi\right) = \tan\theta

(tanjant fonksiyonunun periyodu

\pi

olduğundan)

z = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta - 4\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta

Bölgelere göre indirgeme kurallarını ve esas ölçü kavramını uygulamak için.

2

Açı aralığını ve bu aralıktaki işaretleri belirleyelim.

\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgededir (150° ile 180° arası). İkinci bölgede:
-

\sin\theta > 0 \Rightarrow x = -\sin\theta < 0

-

\tan\theta < 0 \Rightarrow y = \tan\theta < 0

-

\cos\theta < 0 \Rightarrow z = \cos\theta < 0

Her üç değer de negatiftir.

Değerlerin hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaret analizi yapmak için.

3

İfadeleri kıyaslamak için dar açı cinsinden yazalım.

\theta = \pi - \alpha

dönüşümü yapalım. Buradan

\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

olur (yani 0° ile 30° arası). Bu durumda:
-

x = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha

-

y = \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha

-

z = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha

Dar açılarda büyüklük kıyaslaması daha kolay yapıldığı için.

4

Dar açı aralığı olan (0, 30°) için fonksiyonların mutlak büyüklüklerini kıyaslayalım.

\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

için:
-

0 < \sin\alpha < \tan\alpha

her zaman doğrudur çünkü bu aralıkta

\cos\alpha < 1

olduğundan

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha

olur.
-

\alpha < 30^\circ

iken

\tan\alpha < \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577

ve

\cos\alpha > \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866

olduğundan

\tan\alpha < \cos\alpha

olur.
- Buradan

0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha

elde edilir.

Fonksiyonların dar açı değer aralıklarını netleştirerek kıyaslamak için.

5

Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak x, y ve z değerlerini sıralayalım.

0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha

eşitsizliği

-1

ile çarpılırsa yön değiştirir:

-\cos\alpha < -\tan\alpha < -\sin\alpha

Bu da bizi doğrudan

z < y < x

sıralamasına götürür.

Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olması kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi ve Sıralanması

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 100Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a = \cos(310^\circ)

b = \sin(200^\circ)

c = \tan(220^\circ)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyü��e doğru sıralanışı

b < a < c

şeklindedir.

Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde

b = -\sin(20^\circ) < 0

en küçük değer olur. Pozitif olan

a = \sin(40^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

değerlerinden ise tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğu için

a < c

sıralaması elde edilir. Böylelikle doğru sıralama

b < a < c

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen açıların hangi bölgede olduğunu belirleyip trigonometrik değerleri dar açı cinsinden yazınız.

a = \cos(310^\circ) = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos(50^\circ) > 0

b = \sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) < 0

c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) > 0

Trigonometrik fonksiyonların büyüklüklerini karşılaştırabilmek için değerleri birinci bölgedeki dar açılara indirgemek ve işaretlerini belirlemek gerekir.

2

Negatif olan değeri en küçük değer olarak belirleyiniz.

b < 0

ve

a, c > 0

olduğundan en küçük değer

b

olarak bulunur.

Negatif reel sayılar daima pozitif reel sayılardan küçüktür.

3

Pozitif olan

a

ve

c

değerlerini karşılaştırınız.

a = \cos(50^\circ) = \sin(40^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

değerleri karşılaştırıldığında, birinci bölgedeki her

\theta \in (0, 90^\circ)

açısı için

\tan\theta > \sin\theta

eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla

\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ)

olduğundan

c > a

olur.

Birinci bölgedeki bir dar açının tanjantı, aynı açının sinüs değerinden büyüktür.

4

Tüm adımlardaki sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayınız.

b < a < c

b

negatif,

a

ve

c

pozitif olup

c

değeri

a

'dan büyük olduğu için küçükten büyüğe sıralama bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Tahmini Süre:1m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm