Tüm alıştırma soruları

Soru 1Soru →

Bir $ABCD$ konveks dörtgeninde $[AC]$ köşegendir. $|AB| = 3\text{ birim}$ , $|BC| = 5\text{ birim}$ , $|AD| = 5\text{ birim}$ , $m(\widehat{ABC}) = 120^\circ$ ve $m(\widehat{ADC}) = 60^\circ$ olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.

ABC

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında

|AC| = 7\text{ birim}

bulunur.

ADC

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ise

x^2 - 5x - 24 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü

8

olduğundan

|CD|

uzunluğu

8\text{ birim}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak

|AC|

uzunluğu hesaplanır.

|AC| = 7\text{ birim}

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(120^\circ)

formülünde bilinenler yerine yazıldığında

|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49

elde edilir.

2

ADC

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak

|CD| = x

uzunluğu hesaplanır.

x = 8\text{ birim}

|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2|AD||CD|\cos(60^\circ)

formülünde bilinenler yerine yazıldığında

7^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot (1/2) \implies 49 = 25 + x^2 - 5x \implies x^2 - 5x - 24 = 0

elde edilir. Bu denklem

(x-8)(x+3) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Uzunluk negatif olamayacağından

x = 8

bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi'nin ardışık iki üçgende uygulanması ve elde edilen denklemin çözülmesi

Alternatif Yöntem

ADC

üçgeninde

C

köşesinden

[AD]

kenarına dikme indirilerek

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel üçgeni ve Pisagor teoremi yardımıyla da

|CD|

uzunluğu hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 6'dır.

Verilen eşitsizlikte taban

\frac{1}{3} < 1

olduğu için fonksiyon azalandır ve logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirerek

2x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4

olur. Logaritmanın tanım kümesinden gelen

2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}

koşulu ile bu durum birleştirildiğinde çözüm kümesi

\frac{1}{2} < x < 4

olur. Bu aralıktaki tam sayılar

1, 2, 3

olup toplamları

6

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirlemek

x > \frac{1}{2}

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için

2x - 1 > 0

ve

x + 3 > 0

olmalıdır. Bu eşitsizliklerin ortak çözümü

x > \frac{1}{2}

aralığını verir.

2

Eşitsizliği çözmek için tabanın durumunu incelemek

x < 4

Taban

\frac{1}{3} < 1

olduğundan logaritma fonksiyonu azalandır. Bu nedenle logaritmalar kaldırılırken büyüktür işareti küçüktür işaretine dönüşür:

2x - 1 < x + 3 \Rightarrow x < 4

elde edilir.

3

Çözüm aralığındaki tam sayı değerlerini bulup toplamak

1 + 2 + 3 = 6

Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünün kesişimi olan

\frac{1}{2} < x < 4

aralığındaki tam sayılar

1

,

2

ve

3

'tür. Bu sayıların toplamı

6

yapar.

Anahtar Kavram

Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Ayrıca logaritmanın tanım kümesi sınırlamaları her zaman çözüm kümesine dahil edilmelidir.

Soru 3Soru →

Bir $f$ fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre, bir $g$ fonksiyonunun grafiği ise ordinat eksenine ( $y$ -eksenine) göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için

(x^2 + 1) \cdot f(-x) + g(-x) = x^3 + 2x^2 + x - 3

eşitliği sağlandığına göre,

f(2) + g(2)

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.

Verilen fonksiyonların simetri kurallarına göre f tek, g çift fonksiyondur. Denklemde sırasıyla x = 2 ve x = -2 yazılarak elde edilen -5*f(2) + g(2) = 15 ve 5*f(2) + g(2) = -5 denklemlerinin ortak çözümünden g(2) = 5 ve f(2) = -2 bulunur. Bu iki değerin toplamı 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Grafik simetrilerini kullanarak fonksiyonların tek/çift olma durumlarını belirleme

f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri tanımlanır.

Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyon, ordinat eksenine göre simetrik fonksiyonlar ise çift fonksiyondur.

2

Cebirsel eşitlikte x = 2 yazarak ilk denklemi elde etme

-5 * f(2) + g(2) = 15 denklemi bulunur.

İstenen f(2) ve g(2) değerlerine ulaşmak için değişken yerine 2 yazılarak simetri özellikleri uygulanır.

3

Cebirsel eşitlikte x = -2 yazarak ikinci denklemi elde etme

5 * f(2) + g(2) = -5 denklemi bulunur.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak amacıyla x = -2 değeri yerine koyulur.

4

Elde edilen denklem sistemini ortak çözüm yöntemiyle çözme

g(2) = 5 ve f(2) = -2 değerleri bulunur.

Taraf tarafa toplama işlemiyle bilinmeyenlerden biri yok edilerek her iki değer ayrı ayrı hesaplanır.

5

Bulunan fonksiyon değerlerinin toplamını hesaplama

f(2) + g(2) = 3 olarak hesaplanır.

Soruda istenen toplam ifadesinin sonucuna ulaşılması amaçlanmaktadır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların tanımı, grafiksel simetrileri ve cebirsel özellikleri

Soru 4Soru →

(a_n)

dizisinin genel terimi

a_n = \frac{5n - 3}{2n^2 - 11n + k}

ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen

k

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Dizinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen

k

pozitif tam sayılarının toplamı 55'tir.

Dizinin genel teriminde payda sıfır olmamalıdır. Paydayı sıfır yapan

2n^2 - 11n + k = 0

denkleminden

k = 11n - 2n^2

elde edilir.

k

pozitif tam sayısı için

11n - 2n^2 > 0

olmalıdır, bu da

0 < n < 5,5

aralığındaki

n

pozitif tam sayıları (

1, 2, 3, 4, 5

) için geçerlidir. Bu

n

değerleri için

k

değerleri sırasıyla

9, 14, 15, 12, 5

bulunur ve bu değerlerin toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin tanım kümesi özelliğini kullanarak paydayı sıfır yapan denklemi kurmak

2n^2 - 11n + k = 0 \implies k = 11n - 2n^2

Diziler pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu durumlarda ifade tanımsız olacağından, dizinin tanımlı olmasını engelleyen

k

değerleri paydanın sıfır olduğu durumlardan elde edilir.

2

k

pozitif tam sayı şartına göre

n

indisinin alabileceği değer aralığını belirlemek

n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}

k > 0 \implies 11n - 2n^2 > 0 \implies n(11 - 2n) > 0

. Buradan

0 < n < 5,5

elde edilir.

n

ifadesi bir indis olduğundan pozitif tam sayı olmalıdır.

3

Her bir

n

değeri için

k

değerlerini hesaplamak

k \in \{5, 9, 12, 14, 15\}

n = 1 \implies k = 9

,

n = 2 \implies k = 14

,

n = 3 \implies k = 15

,

n = 4 \implies k = 12

,

n = 5 \implies k = 5

olarak bulunur.

4

Elde edilen

k

değerlerini toplamak

5 + 9 + 12 + 14 + 15 = 55

Soruda dizinin belirtilmesini engelleyen

k

pozitif tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her

n \in \mathbb{Z}^+

için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan

n

değerleri dizinin tanımlı olmasını engeller.

Soru 5Soru →

Bir $(a_n)$ dizisinde her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + 2n

bağıntısı sağlanmaktadır.

$a_1 = 3$ olduğuna göre, bu dizinin dördüncü terimi ( $a_4$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Dizinin dördüncü terimi olan

a_4

değeri 15'tir.

Verilen

a_{n+1} = a_n + 2n

bağıntısında

a_1 = 3

başlangıç koşulu kullanılarak sırasıyla

n=1, n=2

ve

n=3

yazılır.

n=1

için

a_2 = a_1 + 2 = 5

olur.

n=2

için

a_3 = a_2 + 4 = 9

olur. Son olarak

n=3

için

a_4 = a_3 + 6 = 15

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

n = 1

için

a_2

terimini hesaplayın.

a_2 = 5

Dizinin ikinci terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında

n = 1

yazılır:

a_2 = a_1 + 2(1) = 3 + 2 = 5

elde edilir.

2

n = 2

için

a_3

terimini hesaplayın.

a_3 = 9

Dizinin üçüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında

n = 2

yazılır ve bir önceki adımda bulunan

a_2

değeri yerine konur:

a_3 = a_2 + 2(2) = 5 + 4 = 9

elde edilir.

3

n = 3

için

a_4

terimini hesaplayın.

a_4 = 15

Dizinin dördüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında

n = 3

yazılır ve bir ��nceki adımda bulunan

a_3

değeri yerine konur:

a_4 = a_3 + 2(3) = 9 + 6 = 15

elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç terimi ve ardı��ık terimler arasındaki bağıntıyı kullanarak sırayla sonraki terimleri hesaplama.

Soru 6Soru →

Bir bakteri türünün başlangıçtaki sayısı

N_0

ve

t

saat sonraki sayısı

N(t)

olmak üzere, bu bakterinin çoğalma modeli

N(t) = N_0 \cdot 2^{0.5t}

formülü ile verilmektedir.
Buna göre, başlangıçta

1000

adet bakteri bulunan bu popülasyondaki bakteri sayısı kaç saat sonra

8000

olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bakteri sayısının

8000

olması için geçmesi gereken süre

6

saattir.

Bakteri büyüme modelinde

N(t) = 8000

ve

N_0 = 1000

yazıldığında

8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t}

eşitliği elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında

8 = 2^{0.5t}

olur.

8

sayısı

2^3

şeklinde yazıldığında tabanlar eşit olduğu için üsler eşitlenir ve

3 = 0.5t

denklemi kurulur. Buradan geçmesi gereken süre

t = 6

saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen başlangıç değeri

N_0 = 1000

ve hedef bakteri sayısı

N(t) = 8000

değerlerini formülde yerine yazmak.

8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t}

denklemi kurulur.

Soruda belirtilen hedefe ulaşmak için model formülündeki bilinen büyüklükler yerleştirilmelidir.

2

Eşitliğin her iki tarafını

1000

ile bölerek sadeleştirme yapmak.

8 = 2^{0.5t}

elde edilir.

Üslü terimi yalnız bırakarak çözümü kolaylaştırmak hedeflenir.

3

8

sayısını

2

tabanında üslü biçimde yazarak üsleri eşitlemek.

2^3 = 2^{0.5t} \implies 3 = 0.5t

elde edilir.

Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üsleri de birbirine eşit olmalıdır.

4

3 = 0.5t

denklemini çözmek.

t = 6

bulunur.

t

değişkenini bulmak için her iki taraf

2

ile çarpılır veya

0.5

ile bölünür.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme modellerinde denklem kurma ve çözme

Soru 7Soru →

x^2 + y^2 = xy + 7

x + y = xy + 1

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $x^2 + y^2$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için

x^2 + y^2

ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.

Verilen denklem sistemi

x+y=S

ve

xy=P

dönüşümleriyle çözüldüğünde, sistemin gerçel sayılardaki çözümlerinden elde edilen

x^2 + y^2

ifadesinin alabileceği değerler sırasıyla 10 ve 5 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken dönüşümü yapılması ve sistemin basitleştirilmesi

x^2 + y^2 = S^2 - 2P

yazarak denklem sistemi şu şekle dönüştürülür:
1)

S^2 - 3P = 7

2)

S - P = 1

Sistemdeki simetrik ifadeleri

S = x+y

ve

P = xy

cinsinden yazarak çözüm derecesini düşürmek.

2

Tek değişkene bağlı ikinci dereceden denklemin oluşturulması ve çözülmesi

P = S - 1

ifadesi birinci denklemde yerine yazıldığında

S^2 - 3(S - 1) = 7 \implies S^2 - 3S - 4 = 0

elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(S-4)(S+1) = 0

olup

S = 4

veya

S = -1

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem biçimine getirip kökleri bulmak.

3

Her bir durum için gerçel çözümlerin varlığının kontrol edilmesi ve istenen toplamın hesaplanması

S = 4

için

P = 3

olur.

t^2 - 4t + 3 = 0

denkleminin kökleri gerçeldir ve

x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 16 - 6 = 10

değerini verir.

S = -1

için

P = -2

olur.

t^2 + t - 2 = 0

denkleminin kökleri gerçeldir ve

x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 1 - 2(-2) = 5

değerini verir.
Farklı değerlerin toplamı

10 + 5 = 15

olarak hesaplanır.

Köklerin gerçel sayı olup olmadığını kontrol etmek ve

x^2 + y^2

ifadesinin alabileceği farklı değerleri toplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme yöntemiyle simetrik toplam ve çarpım değerlerinin bulunması.

Soru 8Soru →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cot x - \tan x = 3

olduğuna göre,

26 \cdot \sin(4x)

ifadesinin de��eri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstenen ifadenin değeri 24 olarak bulunur.

Verilen denklem

\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = 3

şeklinde yarım açı formülüne dönüştürüldüğünde

\tan(2x) = 2/3

elde edilir. İlgili dik üçgenden ve bölge analizinden yararlanılarak

\sin(2x) = 2/\sqrt{13}

ve

\cos(2x) = 3/\sqrt{13}

bulunur. Son olarak

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 12/13

değeri hesaplanır ve bu değer 26 ile çarpılarak 24 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

\cot x - \tan x = 3

eşitliğini yarım açı formülleri yardımıyla

\tan(2x)

ifadesine dönüştürmek.

\tan(2x) = \frac{2}{3}

olarak bulunur.

Verilen ifadeyi yarım açı ilişkisini kullanabileceğimiz daha sade bir trigonometrik fonksiyona indirgemek.

2

2x

açısının bölgesini belirleyerek

\sin(2x)

ve

\cos(2x)

değerlerini hesaplamak.

\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{13}}

ve

\cos(2x) = \frac{3}{\sqrt{13}}

olarak elde edilir.

\sin(4x)

ifadesini açtığımızda karşımıza çıkacak olan

\sin(2x)

ve

\cos(2x)

değerlerini elde etmek.

3

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

yarım açı formülünü uygulamak ve

26 \cdot \sin(4x)

değerini hesaplamak.

26 \cdot \sin(4x) = 24

olarak bulunur.

Soruda sorulan ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerde yarım açı formüllerinin (sinüs ve kosinüs çift kat açı formülleri) uygulanması ve bölge analizine göre işaret tayini.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 9Soru →

\log_x(6x^{\log_5 x} - 5) = 2\log_5 x

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5.2

Cevap

Denklemi sağlayan geçerli

x

gerçel sayılarının toplamı

5,2

(veya

\frac{26}{5}

) olarak bulunur.

Denklemin çözümünden elde edilen geçerli kökler

x = 5

ve

x = 1/5

değerleridir. Bu iki kökün toplamı

5 + 1/5 = 5,2

olur.

x = 1

değeri ise logaritmanın tabanını 1 yaptığı için çözüm kümesinden çıkarılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesi analizi yapmak

x > 0

ve

x \neq 1

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.

2

Denklemi üstel forma dönüştürmek

6x^{\log_5 x} - 5 = x^{2\log_5 x}

\log_b(a) = c \iff a = b^c

temel tanımını uygulamak.

3

Değişken değiştirme ve üstel ifadeleri düzenlemek

y = 5^{t^2}

dönüşümüyle

6y - 5 = y^2

elde edilmesi

\log_5 x = t \implies x = 5^t

yazarak

x^{\log_5 x} = 5^{t^2}

ve

x^{2\log_5 x} = (5^{t^2})^2

ilişkisini kurmak.

4

İkinci dereceden denklemi çözmek

y = 5

veya

y = 1

y^2 - 6y + 5 = 0 \implies (y-5)(y-1) = 0

çarpanlara ayırma yöntemiyle çözüme ulaşmak.

5

Kökleri kontrol etmek ve tanım kümesine uygunluğunu sorgulamak

x = 5

ve

x = 1/5

geçerli köklerdir;

x = 1

elenir.

x=1

kökü logaritmanın tabanını 1 yapacağı için logaritma tanımına aykırıdır.

6

Köklerin toplamını bulmak

5 + 1/5 = 5,2

Soruda istenen gerçel sayı köklerinin toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritma ve Üstel Denklemlerde Değişken Değiştirme ve Taban Tanım Kümesi Kısıtlamaları

Soru 10Soru →

9^{\log_{3} 5} - 2^{\log_{2} 7}

işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İşlemin sonucu 18'dir.

Verilen ifade logaritmanın üslü özellikleri kullanılarak

25 - 7 = 18

şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

9^{\log_{3} 5}

ifadesini basitleştirmek için taban ile logaritmanın argümanını yer değiştirme kuralı olan

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliğini uygulayalım.

9^{\log_{3} 5} = 5^{\log_{3} 9}

elde edilir.

Taban ve argüman yer değiştirilerek ifade bilinen bir tabana indirgenir.

2

\log_{3} 9

ifadesinin değerini bulup yerine yazalım.

5^{\log_{3} 9} = 5^2 = 25

elde edilir.

9 = 3^2

olduğundan

\log_3 9 = 2

olur.

3

2^{\log_{2} 7}

ifadesinde taban ve logaritma tabanı aynı olduğundan

a^{\log_a b} = b

özelliğini uygulayalım.

2^{\log_{2} 7} = 7

elde edilir.

Logaritma tabanı ile üslü ifadenin tabanı aynı olduğunda ifade argümanın kendisine eşit olur.

4

Bulunan değerlerin farkını hesaplayalım.

25 - 7 = 18

bulunur.

Soruda verilen çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinden

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

ve

a^{\log_a b} = b

kuralları

Soru 11Soru →

a

,

b

ve

c

1'den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

\log_a b + \log_b c + \log_c a = 6

\frac{1}{\log_a b} + \frac{1}{\log_b c} + \frac{1}{\log_c a} = \frac{13}{2}

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\log_a^3 b + \log_b^3 c + \log_c^3 a

ifadesinin değeri kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 102

Cevap

İstenen ifadenin değeri 102'dir.

Logaritmik ifadeler

x

,

y

,

z

değişkenleri ile temsil edildiğinde taban değiştirme kuralından ötürü çarpımları 1 olur. Verilen eşitlikler kullanılarak ikişerli çarpımların toplamı

13/2

olarak elde edilir. Üçlü terimlerin küpleri toplamı özdeşliği kullanıldığında doğru sonuç 102 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma değişken dönüşümlerinin belirlenmesi ve çarpımlarının bulunması

x = \log_a b

,

y = \log_b c

,

z = \log_c a

olsun. Taban değiştirme zincir kuralı gereği

x \cdot y \cdot z = 1

olur.

Denklemleri cebirsel değişkenlere indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.

2

İkinci denklem yardımıyla ikişerli çarpımların toplamının bulunması

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{13}{2} \implies xy + yz + zx = \frac{13}{2}

elde edilir.

Cebirsel özdeşliklerde kullanılacak olan ikişerli çarpım toplamını elde etmek.

3

Küpler toplamı özdeşliğinin kurulması

x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz

özdeşliği kurulur.

İstenen ifade olan

x^3 + y^3 + z^3

toplamını bilinen değerler cinsinden ifade etmek.

4

Değerlerin yerine yazılarak sonucun hesaplanması

6^3 - 3 \cdot 6 \cdot \frac{13}{2} + 3 \cdot 1 = 216 - 117 + 3 = 102

bulunur.

Dört işlem hesaplaması ile nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özellikleri ve cebirsel özdeşliklerin ortak kullanımı

Soru 12Soru →

f(x) = \log_{(x-3)^2}(x^2 - 16) + \log_{10-x}\left(\frac{x-2}{x-5}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tüm pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Pozitif tam sayıların toplamı 21'dir.

Logaritma tanım kuralları eksiksiz uygulandığında en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayılar 6, 7 ve 8 olarak belirlenir ve toplamları 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci terimin taban ve arg��man koşullarını belirleme

Taban için

x \notin \{2, 3, 4\}

; argüman için

x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)

Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifade ise pozitif olmalıdır.

2

İkinci terimin taban koşulunu belirleme

x < 10

ve

x \neq 9

Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

3

İkinci terimin rasyonel argüman koşulunu belirleme

x < 2

veya

x > 5

Rasyonel ifadenin işareti incelenerek pozitif olduğu aralıklar bulunur.

4

Koşulların kesişimini alma ve pozitif tam sayıları bulma

Pozitif tam sayılar:

6, 7, 8

Tüm aralıkların kesişim kümesindeki pozitif tam sayılar tespit edilir.

5

Toplamı hesaplama

21

Bulunan tam sayıların toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, logaritma tanım kuralları (taban > 0, taban != 1, argüman > 0) ile rasyonel/eşitsizlik sistemlerinin çözümü bir arada uygulanır.

Soru 13Soru →

Bir

x

gerçel sayısı için,

\frac{(x - 4)^2(x + 1)}{x - 2} \le 0

x^2 - 3x - 10 \le 0

eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

E��itsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.

Eşitsizlik sisteminin her iki bileşeni ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten

[-1, 2) \cup \{4\}

aralığı, ikinci eşitsizlikten ise

[-2, 5]

aralığı elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi

[-1, 2) \cup \{4\}

kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar olan -1, 0, 1 ve 4 değerlerinin toplamı 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosuna göre çözüm aralığını belirleme.

Çözüm aralığı

[-1, 2) \cup \{4\}

olarak elde edilir.

Rasyonel ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeleri saptamak.

2

İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırıp köklerini saptama ve çözüm aralığını bulma.

Çözüm aralığı

[-2, 5]

olarak bulunur.

İkinci ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeyi saptamak.

3

Bulunan iki çözüm kümesinin kesişimini alma.

Ortak çözüm kümesi

[-1, 2) \cup \{4\}

şeklinde belirlenir.

Sistemdeki her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerleri bulmak.

4

Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.

Toplama işlemi:

(-1) + 0 + 1 + 4 = 4

bulunur.

Soru kökünde istenen toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin çift katlı kök analizi, payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.

Soru 14Soru →

Elemanları gerçel sayılar olan en geniş tanım kümesinde $f(-x) + f(x) = 0$ eşitliğini sağlayan bir $f$ fonksiyonunun grafiği; $x$ -ekseni boyunca sağa doğru 3 birim, $y$ -ekseni boyunca yukarı doğru 5 birim ötelenerek $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

$g$ fonksiyonunun grafiği $(k, m)$ noktasına göre simetrik olduğuna göre, $k \cdot m$ çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

g fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi (3, 5) noktası olup, k ve m değerlerinin çarpımı 15'tir.

f fonksiyonunun tek fonksiyon olmasından dolayı grafiği (0, 0) noktasına göre simetriktir. Yapılan ötelemeler simetri merkezini (3, 5) noktasına taşır. Bu durumda k = 3 ve m = 5 olup çarpımları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1

f fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme

f fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu ve simetri merkezinin (0, 0) noktası olduğu tespit edilir.

Her x için f(-x) + f(x) = 0 olması, f(-x) = -f(x) özelliğini sağlar ve tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

2

Öteleme dönüşümü altında simetri merkezinin yeni koordinatlarını bulma

g fonksiyonunun simetri merkezinin (3, 5) noktası olduğu belirlenir.

Grafiğin sağa 3 birim ve yukarı 5 birim ötelenmesi, simetri merkezinin de x bileşeninin 3, y bileşeninin 5 artmasına neden olur.

3

k * m çarpımını hesaplama

k * m = 3 * 5 = 15 olarak bulunur.

Simetri merkezinin koordinatları k = 3 ve m = 5 olarak eşleştirilir ve bu değerler çarpılır.

Anahtar Kavram

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir ve öteleme dönüşümleri simetri merkezini aynı doğrultuda kaydırır.

Soru 15Soru →

$x$ ve $y$ birer dar açı olmak üzere,

3\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2

\sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x - y$ farkı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Verilen denklem sisteminden sinüs fark formülü yardımıyla

\sin(x-y) = \frac{1}{2}

elde edilir.

x

ve

y

dar açılar olduğundan

x-y = 30^\circ

bulunur.

Verilen iki denklem

u = \sin x \cos y

ve

v = \cos x \sin y

değişkenleriyle iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülür:

3u + v = 2

ve

u + 3v = 1

. Bu sistem çözüldüğünde

u = 5/8

ve

v = 1/8

bulunur. Sinüs fark formülü

\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

olduğundan,

\sin(x-y) = u - v = 5/8 - 1/8 = 1/2

olur.

x

ve

y

dar açılar olduğu için

-90^\circ < x-y < 90^\circ

olup bu aralıkta sinüsü

1/2

olan tek açı

30^\circ

derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

u = \sin x \cos y

ve

v = \cos x \sin y

değişken tanımlamaları yapılır.

Sistem

3u + v = 2

ve

u + 3v = 1

biçimini alır.

Trigonometrik ifadeleri daha kolay çözülebilir bir doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.

2

Elde edilen doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

u = \frac{5}{8}

ve

v = \frac{1}{8}

bulunur.

Bilinmeyen trigonometrik çarpımların sayısal değerlerini tespit etmek için.

3

Sinüsün fark formülü olan

\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

ifadesinde bulunan değerler yerine yazılır.

\sin(x-y) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

elde edilir.

İstenen

x-y

açısına ulaşmak için gerekli olan sinüs değerini hesaplamak için.

4

x

ve

y

dar açılar olduğundan

-90^\circ < x-y < 90^\circ

aralığı göz önüne alınarak

x-y

değeri belirlenir.

x-y = 30^\circ

bulunur.

Açı sınırlandırmalarını kullanarak sinüs değeri

\frac{1}{2}

olan uygun açıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki açının farkının sinüs açılımı formülü:

\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

.

Soru 16Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \log_{\frac{x-2}{10-x}}(x^2 - 25)

fonksiyonunu tanımlı kılan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İlgili koşulların kesişimi alındığında fonksiyonu tanımlı yapan tam sayılar 7, 8 ve 9 olup bu sayıların toplamı 24'tür.

Fonksiyonun tanımlı olması için

x^2-25>0

,

\frac{x-2}{10-x}>0

ve

\frac{x-2}{10-x}\neq1

şartlarının kesişimi alınmalıdır. Bu kesişim

(5, 10) \setminus \{6\}

kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar 7, 8 ve 9 olup toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Argümanın pozitiflik şartını belirlemek

x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)

Logaritma tanımı gereği, logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır (

x^2 - 25 > 0

).

2

Tabanın pozitiflik şartını belirlemek

x \in (2, 10)

Logaritma tanımı gereği, logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır (

\frac{x-2}{10-x} > 0

).

3

Tabanın 1'den farklı olma şartını incelemek

x \neq 6

Logaritma tanımı gereği, taban 1 değerine eşit olamaz (

\frac{x-2}{10-x} \neq 1

).

4

Bulunan tüm koşulların kesişimini alıp tam sayı değerlerini toplamak

Tanım kümesi

(5, 10) \setminus \{6\}

ve toplam

7 + 8 + 9 = 24

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm şartların eş zamanlı olarak sağlanması gerekir. Bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, argümanın ise pozitif olması şartları birlikte incelenir.

Soru 17Soru →

\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Denklemi sağlayan tek gerçel kök

7

olduğundan, kökler toplam��

7

dir.

Denklemin tek gerçel kökü olan

7

değeri tanım aralığı olan

x > 3

koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesi kısıtlamalarını belirleme

x > 3

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tüm logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Logaritma toplama özelliğini kullanarak sol tarafı tek logaritma altında birleştirme

\log_3(x^2 - 4x + 3) = \log_3(x + 17)

Aynı tabandaki logaritmik ifadelerin toplamı, argümanların çarpımına eşittir.

3

Tabanlar eşit olduğundan argümanları eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözme

x = 7

veya

x = -2

x^2 - 4x + 3 = x + 17 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \implies (x - 7)(x + 2) = 0

olur.

4

Bulunan köklerin tanım kümesi şartına uygunluğunu denetleme

x = 7

geçerli kök,

x = -2

geçersiz kök

x = -2

değeri

x > 3

tanım kümesi şartını sağlamadığından yalancı köktür.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde elde edilen köklerin mutlaka logaritmanın tanım kümesi kuralları ile kontrol edilmesi gerekir.

Soru 18Soru →

$(a_n)$ bir gerçel sayı dizisi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

a_n = \log_5 \left( \frac{k}{2n^2 - 18n + 47} \right)

biçiminde tanımlanıyor. Bu dizinin en büyük terimi $2$ olduğuna göre, $k$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 175

Cevap

Dizinin en büyük terimi

n = 4

veya

n = 5

için elde edilir ve bu durumda

k

değeri 175 olarak bulunur.

Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan, paydadaki ifadenin en küçük değeri tepe noktasına en yakın tam sayılar olan 4 veya 5 için elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında k/7 = 25 eşitliğinden k = 175 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin genel terimini maksimum yapan koşulları belirlemek

Paydadaki

2n^2 - 18n + 47

ifadesinin minimum değeri alması gerektiği tespit edildi.

Logaritma tabanı 1'den büyük olduğundan, kesirli ifadenin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.

2

Paydadaki ifadenin tepe noktasını bulmak

r = 4,5

2x^2 - 18x + 47

parabolünün tepe noktası

x = -\frac{b}{2a}

formülüyle bulunur.

3

Dizi tanım kümesi sınırını (

n \in \mathbb{Z}^+

) uygulamak

n = 4

veya

n = 5

değerleri seçilir. Paydanın minimum değeri:

2(4)^2 - 18(4) + 47 = 7

Dizinin terim indisi tam sayı olmak zorundadır. Bu yüzden

4,5

değerine en yakın tam sayılar olan

4

ve

5

incelenir.

4

Maksimum terim değerini kullanarak

k

değerini hesaplamak

k = 175

a_4 = \log_5\left(\frac{k}{7}\right) = 2 \implies \frac{k}{7} = 25 \implies k = 175

eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi (

n \in \mathbb{Z}^+

) ve genel terim özellikleri

Soru 19Soru →

Bir

x

gerçel sayısı için,

\frac{x^2 - 4}{x - 3} \le 0

\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 5x} \ge 0

eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Sistemi sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı -5'tir.

Her iki eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulup ortak çözüm kümesi incelendiğinde, ortak aralığın (-\infty, -2] olduğu görülür. Bu aralıktaki en büyük iki negatif tam sayı -2 ve -3 olduğundan toplamları -5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliğin köklerinin bulunması ve işaret incelemesinin yapılması.

Çözüm kümesi: (-\infty, -2] \cup [2, 3)

Sistemin ilk parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek amacıyla kökler bulunup tabloya yerleştirilir.

2

İkinci eşitsizliğin köklerinin bulunması, çift katlı kök ��zelliğine dikkat edilerek işaret incelemesinin yapılması.

Çözüm kümesi: (-\infty, 0) \cup (5, \infty)

Sistemin ikinci parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için payın çift katlı kökü (x = -1) ve paydanın tek katlı kökleri (x = 0, x = 5) incelenir.

3

Elde edilen iki ��özüm kümesinin kesişim kümesinin bulunması.

Ortak çözüm kümesi: (-\infty, -2]

Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.

4

Ortak çözüm kümesindeki en büyük iki negatif tam sayının belirlenip toplanması.

-5

Ortak çözüm kümesindeki negatif tam sayılar -2, -3, -4, ... şeklindedir. En büyük iki tanesi olan -2 ve -3'ün toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Soru 20Soru →

Kenar uzunlukları $|AB| = 7\text{ birim}$ , $|AC| = 8\text{ birim}$ ve $|BC| = 5\text{ birim}$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası belirleniyor.

$|BD| = 2\text{ birim}$ olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AD uzunluğu 7 birimdir.

Doğru cevap 7'dir. İlk olarak büyük

ABC

üçgeninde tüm kenarlar bilindiği için Kosinüs Teoremi ile

C

açısının kosinüsü

\frac{1}{2}

olarak bulunur. Ardından

D

noktası

[BC]

kenarını

2

ve

3

birimlik iki parçaya ayırdığı için,

ACD

üçgeninde kenarlar

8

birim ve

3

birim, aralarındaki açının kosinüsü ise

\frac{1}{2}

olur. Bu üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak

|AD| = 7

birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

C

açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak

\cos(\widehat{C})

değeri hesaplanır.

|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})

7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\widehat{C})

49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\widehat{C})

80 \cdot \cos(\widehat{C}) = 40 \Rightarrow \cos(\widehat{C}) = \frac{1}{2}

(Buradan

m(\widehat{C}) = 60^\circ

bulunur.)

ACD

üçgeninde

|AD|

uzunluğunu hesaplayabilmek için bu iki üçgenin ortak açısı olan

C

açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.

2

ACD

üçgeninde

[AD]

kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

|AD|^2 = |CD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})

Burada

|CD| = |BC| - |BD| = 5 - 2 = 3\text{ birim}

'dir.

|AD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}

|AD|^2 = 9 + 64 - 24 = 49

|AD| = 7\text{ birim}

bulunur.

ACD

üçgeninin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüs değeri bilindiğinden, bilinmeyen üçüncü kenar doğrudan hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla bir üçgende bilinmeyen kenar uzunluğunun hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm