Examkin

Tüm alıştırma soruları

25 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1Soru →
x>0x > 0 olmak üzere,
tan⁡(arctan⁡(2x)+arctan⁡(x))=−3\tan(\arctan(2x) + \arctan(x)) = -3
denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1; x = 1

Cevap

1
Verilen denklemde arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b dönüşümleri yapıldığında, tanjant toplam formülü kullanılarak rasyonel bir ifadeye ulaşılır. Bu ifade düzenlendiğinde 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 denklemi elde edilir. Çözüm kümesinden elde edilen x=1x = 1 değeri, x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek köktür.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlemek için arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b olarak adlandırın.
tan⁡(a)=2x\tan(a) = 2x ve tan⁡(b)=x\tan(b) = x eşitlikleri elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u ilişkisi kullanılır.
2
Soru kökündeki denklemde dönüşümleri yerine yazarak tanjant toplam formülünü uygulayın.
tan⁡(a+b)=−3  ⟹  tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)=−3\tan(a+b) = -3 \implies \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} = -3 olur. Değerleri yerine koyduğumuzda 2x+x1−(2x)(x)=−3\frac{2x + x}{1 - (2x)(x)} = -3 elde edilir.
Tanjant fonksiyonunun toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} ifadesinden yararlanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3x1−2x2=−3  ⟹  3x=−3(1−2x2)  ⟹  3x=−3+6x2  ⟹  6x2−3x−3=0\frac{3x}{1 - 2x^2} = -3 \implies 3x = -3(1 - 2x^2) \implies 3x = -3 + 6x^2 \implies 6x^2 - 3x - 3 = 0 olur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki ifade karşı tarafa çarpım olarak geçirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Denklemin her iki tarafı da 33 ile bölünürse 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 elde edilir. Bu ifade (2x+1)(x−1)=0(2x + 1)(x - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=−12x = -\frac{1}{2} ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
x>0x > 0 koşulunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan nihai değeri belirleyin.
x=1x = 1 olarak bulunur.
Soruda başlangıçta xx değerinin pozitif olduğu (x>0x > 0) belirtilmiştir, bu nedenle negatif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerde tanjant toplam formülünün uygulanması.
Soru 2Soru →

Tanımlı olduğu her xx gerçek sayısı için,

sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)cos⁡(x−π6)−sin⁡(x−π3) \frac{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); \tan(x); tan x; \tan x; tanx; \tanx

Cevap

İfadenin en sade eşiti tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadedeki tüm terimler toplam ve fark formülleri kullanılarak açılıp toplandığında pay kısmı 3sin⁡x\sqrt{3}\sin x, payda kısmı ise 3cos⁡x\sqrt{3}\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı ise tan⁡x\tan x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x−π/6)=sin⁡xcos⁡(π/6)−cos⁡xsin⁡(π/6)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - \pi/6) = \sin x \cos(\pi/6) - \cos x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−π/3)=cos⁡xcos⁡(π/3)+sin⁡xsin⁡(π/3)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - \pi/3) = \cos x \cos(\pi/3) + \sin x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x elde edilir.
Payı basitle��tirmek için sin⁡(a−b)\sin(a-b) ve cos⁡(a−b)\cos(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
Pay kısmındaki bu iki açılımı toplayarak payı sadeleştirin.
(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
−12cos⁡x-\frac{1}{2}\cos x ve 12cos⁡x\frac{1}{2}\cos x terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Payda kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
cos⁡(x−π/6)=cos⁡xcos⁡(π/6)+sin⁡xsin⁡(π/6)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - \pi/6) = \cos x \cos(\pi/6) + \sin x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−π/3)=sin⁡xcos⁡(π/3)−cos⁡xsin⁡(π/3)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - \pi/3) = \sin x \cos(\pi/3) - \cos x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x elde edilir.
Paydayı basitleştirmek için cos⁡(a−b)\cos(a-b) ve sin⁡(a−b)\sin(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek paydayı sadeleştirin.
(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemi dağıtıldığında 12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x terimleri birbirini götürür ve kosinüslü terimler toplanır.
5
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda değerlerini oranlayın.
3sin⁡x3cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{3}\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x elde edilir.
Katsayılar sadeleşir ve temel trigonometrik özdeşliklerden sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x bağıntısı kullanılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡(3x)cos⁡(π2−x)+sin⁡(3x)sin⁡(π2−x)cos⁡(5x)cos⁡(π−x)−sin⁡(5x)cos⁡(π2−x)\frac{\cos(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(3x)\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\cos(5x)\cos(\pi - x) - \sin(5x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -tan(4x); -\tan(4x); -tan4x; -\tan4x; tan(-4x); \tan(-4x); -tan(4*x); -\tan(4*x)

Cevap

İfadenin en sade şekli −tan⁡(4x)-\tan(4x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı kosinüs fark formülünden sin⁡(4x)\sin(4x) değerine, paydası ise indirgemeler yapıldıktan sonra −cos⁡(4x)-\cos(4x) değerine eşittir. Bu iki ifade oranlandığında −tan⁡(4x)-\tan(4x) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi toplam-fark formüllerini kullanarak sadeleştirin.
Pay kısmı: cos⁡(3x−(π2−x))=cos⁡(4x−π2)=sin⁡(4x)\cos\left(3x - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(4x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(4x) olur.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) formülü uygulanmıştır. Ardından cos⁡(θ−π2)=sin⁡(θ)\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta) dönüşümü yapılmıştır.
2
Payda kısmındaki terimleri indirgeme formüllerini kullanarak dönüştürün.
cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x) ve cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) değerleri yerlerine yazıldığında payda: −cos⁡(5x)cos⁡(x)−sin⁡(5x)sin⁡(x)-\cos(5x)\cos(x) - \sin(5x)\sin(x) olur.
Paydadaki açıları xx cinsinden ifade etmek için trigonometrik indirgeme kuralları uygulanmıştır.
3
Dönüştürülen payda ifadesini kosinüs fark formülünü kullanarak sadeleştirin.
Payda kısmı: −[cos⁡(5x)cos⁡(x)+sin⁡(5x)sin⁡(x)]=−cos⁡(5x−x)=−cos⁡(4x)-[\cos(5x)\cos(x) + \sin(5x)\sin(x)] = -\cos(5x - x) = -\cos(4x) olur.
Paydadaki eksi parantezine alınan ifade kosinüsün fark formülü olan cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B yapısına uygundur.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçimi bulun.
sin⁡(4x)−cos⁡(4x)=−tan⁡(4x)\frac{\sin(4x)}{-\cos(4x)} = -\tan(4x) elde edilir.
tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} tanımı kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam ve fark formülleri ile temel trigonometrik indirgeme kuralları.
Soru 4Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
2(sin⁡(3x)cos⁡3x+cos⁡(3x)sin⁡3x)3(cos⁡4x−sin⁡4x)\frac{2\left(\sin(3x)\cos^3 x + \cos(3x)\sin^3 x\right)}{3\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin(2x); \sin(2x); sin2x; \sin2x; sin(2*x); \sin(2*x)

Cevap

sin⁡(2x)\sin(2x)
Verilen ifade toplam-fark ve iki kat açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde pay kısmı 3sin⁡(2x)cos⁡(2x)3\sin(2x)\cos(2x) değerine, payda kısmı ise iki kare farkı açılımından 3cos⁡(2x)3\cos(2x) değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡(2x)\sin(2x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi düzenlemek için cos⁡3x=cos⁡x⋅cos⁡2x\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x ve sin⁡3x=sin⁡x⋅sin⁡2x\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x özdeşliklerini yazalım.
Pay: 2(sin⁡(3x)cos⁡x⋅cos⁡2x+cos⁡(3x)sin⁡x⋅sin⁡2x)2\left(\sin(3x)\cos x \cdot \cos^2 x + \cos(3x)\sin x \cdot \sin^2 x\right)
İfadeyi toplam-fark ve yarım açı formüllerini uygulayabileceğimiz bir formata dönüştürmek.
2
cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} ve sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} yarım açı formüllerini paydaki ifadede yerine yazalım.
Pay: 2(sin⁡(3x)cos⁡x(1+cos⁡(2x)2)+cos⁡(3x)sin⁡x(1−cos⁡(2x)2))2\left(\sin(3x)\cos x \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) + \cos(3x)\sin x \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)\right)
Dereceleri düşürerek toplam-fark formüllerini uygulayacak terimler elde etmek.
3
Dışarıdaki 22 katsayısını dağıtarak paydadaki 22 değerlerini sadeleştirelim ve ifadeyi açalım.
Pay: (sin⁡(3x)cos⁡x+cos⁡(3x)sin⁡x)+cos⁡(2x)(sin⁡(3x)cos⁡x−cos⁡(3x)sin⁡x)\left(\sin(3x)\cos x + \cos(3x)\sin x\right) + \cos(2x)\left(\sin(3x)\cos x - \cos(3x)\sin x\right)
İfadeyi gruplandırarak toplam ve fark formüllerine uygun hale getirmek.
4
Sinüs toplam ve fark formüllerini (sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b) uygulayalım.
Pay: sin⁡(3x+x)+cos⁡(2x)sin⁡(3x−x)=sin⁡(4x)+sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(3x+x) + \cos(2x)\sin(3x-x) = \sin(4x) + \sin(2x)\cos(2x)
Trigonometrik toplam ve fark formüllerini kullanarak açıları sadeleştirmek.
5
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine iki kat açı formülünü (sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)) uygulayalım ve payı toplayalım.
Pay: 2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x) + \sin(2x)\cos(2x) = 3\sin(2x)\cos(2x)
Pay kısmını tek bir çarpım ifadesi halinde yazmak.
6
Paydadaki 3(cos⁡4x−sin⁡4x)3(\cos^4 x - \sin^4 x) ifadesini iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.
Payda: 3(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)3(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)
Paydadaki yüksek dereceli terimleri sadeleştirmek.
7
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ve cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) iki kat açı özdeşliklerini paydada yerine yazalım.
Payda: 3cos⁡(2x)3\cos(2x)
Paydayı en sade biçimine getirmek.
8
Bulduğumuz pay ifadesini payda ifadesine oranlayarak sadeleştirmeyi tamamlayalım.
Oran: 3sin⁡(2x)cos⁡(2x)3cos⁡(2x)=sin⁡(2x)\frac{3\sin(2x)\cos(2x)}{3\cos(2x)} = \sin(2x)
En sade sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Toplam-fark formülleri, iki kat açı formülleri ve çarpanlara ayırma özdeşliklerinin bir arada kullanılarak karmaşık trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, pay kısmında yer alan sin⁡(3x)\sin(3x) ve cos⁡(3x)\cos(3x) ifadeleri için sırasıyla sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x ve cos⁡(3x)=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x üç kat açı açılımları doğrudan yerine yazılabilir. Bu durumda pay:
2((3sin⁡x−4sin⁡3x)cos⁡3x+(4cos⁡3x−3cos⁡x)sin⁡3x)2\left((3\sin x - 4\sin^3 x)\cos^3 x + (4\cos^3 x - 3\cos x)\sin^3 x\right)
=2(3sin⁡xcos⁡3x−4sin⁡3xcos⁡3x+4cos⁡3xsin⁡3x−3sin⁡3xcos⁡x)= 2\left(3\sin x\cos^3 x - 4\sin^3 x\cos^3 x + 4\cos^3 x\sin^3 x - 3\sin^3 x\cos x\right)
=6sin⁡xcos⁡3x−6sin⁡3xcos⁡x= 6\sin x\cos^3 x - 6\sin^3 x\cos x
=6sin⁡xcos⁡x(cos⁡2x−sin⁡2x)= 6\sin x\cos x(\cos^2 x - \sin^2 x)
=3sin⁡(2x)cos⁡(2x)= 3\sin(2x)\cos(2x)
olarak çok daha hızlı bir şekilde sadeleşir. Payda ise 3cos⁡(2x)3\cos(2x) olduğundan oran doğrudan sin⁡(2x)\sin(2x) bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 5Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
cos⁡(3x)⋅cos⁡(2x)+sin⁡(3x)⋅sin⁡(2x)sin⁡(3x)⋅cos⁡(2x)−cos⁡(3x)⋅sin⁡(2x)\frac{\cos(3x) \cdot \cos(2x) + \sin(3x) \cdot \sin(2x)}{\sin(3x) \cdot \cos(2x) - \cos(3x) \cdot \sin(2x)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x); cot(x); cot x; \cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı cos⁡(3x)cos⁡(2x)+sin⁡(3x)sin⁡(2x)\cos(3x)\cos(2x) + \sin(3x)\sin(2x) kosinüsün fark formülü açılımıdır ve cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x-2x) = \cos(x) değerine eşittir. Paydası ise sin⁡(3x)cos⁡(2x)−cos⁡(3x)sin⁡(2x)\sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) sinüsün fark formülü açılımıdır ve sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x-2x) = \sin(x) değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} olup kotanjant tanımı gereği cot⁡(x)\cot(x) ifadesini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeye kosinüs fark formülünü uygulayınız.
cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x - 2x) = \cos(x) elde edilir.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) toplam-fark özdeşliği kullanılır.
2
Payda kısmındaki ifadeye sinüs fark formülünü uygulayınız.
sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x - 2x) = \sin(x) elde edilir.
sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)=sin⁡(A−B)\sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) = \sin(A-B) toplam-fark özdeşliği kullan��lır.
3
Elde edilen pay ve payda ifadelerini birbirine oranlayarak sadeleştiriniz.
cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.
Kosinüs fonksiyonunun sinüs fonksiyonuna oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri
Soru 6Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\cos(x+y) + \cos(x-y)}
ifadesinin en sade biçimi nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x; tanx

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan⁡x\tan x şeklindedir.
İfadeyi basitleştirmek için pay ve paydadaki toplam ve fark formülleri açılır. Pay kısmında sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x\cos y elde edilir. Payda kısmında ise cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x\cos y elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında, 22 ve cos⁡y\cos y terimleri sadeleşir ve geriye sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan ifadeleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
Pay kısmındaki terimleri sadeleştirmek amacıyla toplam ve fark açılımlarını kullanmamız gerekir.
2
Paydaki ifadeleri toplayarak sadeleştirin.
sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x \cos y
Toplama işlemi yapıldığında cos⁡xsin⁡y\cos x \sin y ve −cos⁡xsin⁡y-\cos x \sin y terimleri birbirini götürür.
3
Paydada yer alan ifadeleri toplam ve fark formülleriyle açın ve toplayın.
cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y
Kosinüs toplam ve fark açılımları yazılıp toplandığında, sinüslü terimler birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen pay ve payda sonuçlarını birbirine oranlayarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡y2cos⁡xcos⁡y=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \cos y} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
22 ve cos⁡y\cos y ortak çarpanları sadeleşir, geriye kalan sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} oranı ise tan⁡x\tan x ifadesine eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 7Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(x−30∘)−sin⁡(x−60∘)sin⁡(x−30∘)+cos⁡(x−60∘)=2−3\frac{\cos(x - 30^\circ) - \sin(x - 60^\circ)}{\sin(x - 30^\circ) + \cos(x - 60^\circ)} = 2 - \sqrt{3}

eşitliğini sağlayan xx açısının derece cinsinden ölçüsü kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75; 75°; 75 derece

Cevap

Eşitliği sağlayan x açısının derece cinsinden ölçüsü 75'tir.
Verilen karmaşık kesirli ifade, pay ve paydada bulunan terimlerin toplam ve fark formülleriyle açılıp sadeleştirilmesi sonucunda cot⁡x\cot x ifadesine eşit olmaktadır. cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan x∈(0,90∘)x \in (0, 90^\circ) dar açısı ise x=75∘x = 75^\circ olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında bulunan cos⁡(x−30∘)\cos(x - 30^\circ) ve sin⁡(x−60∘)\sin(x - 60^\circ) ifadelerini fark formülleri kullanarak açalım.
cos⁡(x−30∘)=cos⁡xcos⁡30∘+sin⁡xsin⁡30∘\cos(x - 30^\circ) = \cos x \cos 30^\circ + \sin x \sin 30^\circ ve sin⁡(x−60∘)=sin⁡xcos⁡60∘−cos⁡xsin⁡60∘\sin(x - 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ - \cos x \sin 60^\circ elde edilir.
Trigonometrik ifadeleri daha sade biçimde yazabilmek için toplam ve fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
30∘30^\circ ve 60∘60^\circ açılarının bilinen trigonometrik değerlerini yerlerine yerleştirelim.
cos⁡(x−30∘)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−60∘)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x olur.
Sayısal değerleri yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapabilmek için.
3
Paydaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek pay ifadesinin en sade halini bulalım.
Pay =(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemiyle benzer terimleri sadeleştirmek için.
4
Payda kısmında yer alan sin⁡(x−30∘)\sin(x - 30^\circ) ve cos⁡(x−60∘)\cos(x - 60^\circ) ifadelerini fark ve toplam formülleriyle açıp bilinen değerleri yerine yazalım.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x olur.
Paydadaki ifadeleri sadeleştirmek üzere fark ve toplam formüllerini uygulamak için.
5
Paydadaki toplama işlemini gerçekleştirerek payda ifadesinin en sade halini bulalım.
Payda =(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
Toplama işlemiyle zıt işaretli terimleri sadeleştirmek için.
6
Elde ettiğimiz pay ve payda sadeleşmiş hallerini oranlayarak ana denklemi yazalım.
3cos⁡x3sin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sqrt{3}\sin x} = \cot x elde edilir. Buradan denklemin yeni hali cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} olur.
Karmaşık kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için.
7
cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan xx dar açısını bulalım.
cot⁡x=2−3  ⟹  tan⁡x=12−3=2+3\cot x = 2 - \sqrt{3} \implies \tan x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} olur. tan⁡(45∘+30∘)=tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘=2+3\tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = 2 + \sqrt{3} olduğunu bildiğimizden x=75∘x = 75^\circ olarak bulunur.
Elde edilen basit trigonometrik denklemi çözerek açı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve trigonometrik denklemlerin çözümü.
Soru 8Soru →
xx tanımlı olduğu değerler için
tan⁡(2x)−tan⁡(x)1+tan⁡(2x)⋅tan⁡(x)\frac{\tan(2x) - \tan(x)}{1 + \tan(2x) \cdot \tan(x)}
ifadesinin en sade biçimi nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan(x) şeklindedir.
Verilen ifade, iki açının farkının tanjant formülü olan tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} ifadesinin a=2xa=2x ve b=xb=x için yazılmış halidir. Bu formül uygulandığında ifade doğrudan tan⁡(2x−x)=tan⁡(x)\tan(2x - x) = \tan(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin pay ve paydasındaki terimleri inceleyerek toplam-fark formüllerinden hangisine benzediğini belirleyin.
İfade, iki açının farkının tanjantı formülü olan tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡(a)⋅tan⁡(b)\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)} yapısındadır.
Formülün yapısı ile verilen ifadenin yapısı birebir aynıdır.
2
Formüldeki aa ve bb açıları yerine ifadedeki karşılıkları olan 2x2x ve xx değerlerini yazın.
a=2xa = 2x ve b=xb = x olarak belirlenir.
Pay kısmında tan⁡(2x)−tan⁡(x)\tan(2x) - \tan(x) ve paydada 1+tan⁡(2x)⋅tan⁡(x)1 + \tan(2x)\cdot\tan(x) terimleri yer almaktadır.
3
Tanjant fark formülünü uygulayarak ifadeyi sadeleştirin.
tan⁡(2x−x)=tan⁡(x)\tan(2x - x) = \tan(x) elde edilir.
2x2x açısından xx açısı çıkarıldığında xx açısı kalır.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü
Tahmini Süre:45s
Soru 9Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
sin⁡(x−y)sin⁡(y)−cos⁡(x−y)cos⁡(y)cos⁡(x+y)sin⁡(y)−sin⁡(x+y)cos⁡(y)\frac{\sin(x - y)\sin(y) - \cos(x - y)\cos(y)}{\cos(x + y)\sin(y) - \sin(x + y)\cos(y)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot(x); cotx; cot x; \cot(x); \cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli kotanjant fonksiyonu cinsinden cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Pay kısmındaki ifade eksi parantezine alındığında kosinüs toplam formülüyle −cos⁡(x)-\cos(x) değerine, payda kısmı ise sinüs fark formülüyle sin⁡(y−(x+y))=sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(y - (x+y)) = \sin(-x) = -\sin(x) değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise cot⁡(x)\cot(x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi kosinüs toplam formülüne benzetmek için eksi parantezine almak.
−(cos⁡(x−y)cos⁡(y)−sin⁡(x−y)sin⁡(y))-(\cos(x - y)\cos(y) - \sin(x - y)\sin(y))
Kosinüsün toplam formülü olan cos⁡(A+B)=cos⁡(A)cos⁡(B)−sin⁡(A)sin⁡(B)\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) yapısını elde etmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Pay kısmına kosinüs toplam formülünü uygulamak.
−cos⁡((x−y)+y)=−cos⁡(x)-\cos((x - y) + y) = -\cos(x)
Açıları topladığımızda x−y+y=xx - y + y = x elde edilir, böylece pay kısmı −cos⁡(x)-\cos(x) olur.
3
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs fark formülüne göre düzenlemek.
sin⁡(y)cos⁡(x+y)−cos⁡(y)sin⁡(x+y)=sin⁡(y−(x+y))\sin(y)\cos(x + y) - \cos(y)\sin(x + y) = \sin(y - (x + y))
Sinüsün fark formülü sin⁡(A−B)=sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) şeklindedir. Burada A=yA = y ve B=x+yB = x + y olarak seçilirse bu kalıp elde edilir.
4
Payda kısmındaki açıyı sadeleştirmek ve tek fonksiyon cinsinden yazmak.
sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x)
Sinüs tek fonksiyon olduğu için sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x) eşitliği geçerlidir.
5
Pay ve paydanın oranını bularak en sade hali elde etmek.
−cos⁡(x)−sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu verir ve eksiler birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve işaret takibi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için
cos⁡(x−45∘)−sin⁡(x−45∘)cos⁡(x−45∘)+sin⁡(x−45∘)\frac{\cos(x - 45^\circ) - \sin(x - 45^\circ)}{\cos(x - 45^\circ) + \sin(x - 45^\circ)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x); cot(x); \cot x; cot x; cotx

Cevap

İfadenin en sade eşiti cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Toplam ve fark formülleri yardımıyla pay kısmındaki ifade 2cos⁡(x)\sqrt{2}\cos(x) ve payda kısmındaki ifade 2sin⁡(x)\sqrt{2}\sin(x) şeklinde sadeleşir. Bu iki değer birbirine oranlandığında cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b ve sinüsün fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ifadelerini kullanarak pay ve paydadaki terimleri açalım.
cos⁡(x−45∘)=cos⁡xcos⁡45∘+sin⁡xsin⁡45∘\cos(x - 45^\circ) = \cos x \cos 45^\circ + \sin x \sin 45^\circ ve sin⁡(x−45∘)=sin⁡xcos⁡45∘−cos⁡xsin⁡45∘\sin(x - 45^\circ) = \sin x \cos 45^\circ - \cos x \sin 45^\circ elde edilir.
Toplam ve fark formüllerini uygulamak için.
2
cos⁡45∘=sin⁡45∘=22\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini yerlerine yazarak ifadeleri düzenleyelim.
cos⁡(x−45∘)=22(cos⁡x+sin⁡x)\cos(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) ve sin⁡(x−45∘)=22(sin⁡x−cos⁡x)\sin(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) olur.
45∘45^\circ açısının bilinen trigonometrik değerlerini kullanmak için.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri ana kesirde yerlerine koyup sadeleştirelim.
Pay: 22[(cos⁡x+sin⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)]=2cos⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) - (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\cos x
Payda: 22[(cos⁡x+sin⁡x)+(sin⁡x−cos⁡x)]=2sin⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\sin x bulunur.
Kesirli ifadenin pay ve paydasını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmek için.
4
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşalım.
2cos⁡x2sin⁡x=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{2}\cos x}{\sqrt{2}\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs fark formüllerini kullanarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

İfadeyi daha hızlı çözmek için x−45∘=θx - 45^\circ = \theta dönüşümü yapılabilir. Bu durumda kesir cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} halini alır. Pay ve payda cos⁡θ\cos\theta ile bölünürse, 1−tan⁡θ1+tan⁡θ\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} elde edilir. tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 olduğundan bu ifade tan⁡45∘−tan⁡θ1+tan⁡45∘tan⁡θ=tan⁡(45∘−θ)\frac{\tan 45^\circ - \tan\theta}{1 + \tan 45^\circ \tan\theta} = \tan(45^\circ - \theta) fark formülüne eşittir. θ=x−45∘\theta = x - 45^\circ yerine yazıldığında tan⁡(45∘−(x−45∘))=tan⁡(90∘−x)=cot⁡x\tan(45^\circ - (x - 45^\circ)) = \tan(90^\circ - x) = \cot x elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
cos⁡(x−y)−cos⁡x⋅cos⁡ysin⁡x⋅cos⁡y\frac{\cos(x-y) - \cos x \cdot \cos y}{\sin x \cdot \cos y}
ifadesinin en sade hali nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \tan(y); \tan y; tan(y); tan y

Cevap

tan⁡y\tan y
Kosinüs fark formülü kullanılarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesi cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y şeklinde açılır. Bu açılım pay kısmındaki −cos⁡x⋅cos⁡y-\cos x \cdot \cos y terimi ile işleme sokulduğunda payda sadece sin⁡x⋅sin⁡y\sin x \cdot \sin y terimi kalır. Elde edilen bu pay değeri, paydadaki sin⁡x⋅cos⁡y\sin x \cdot \cos y terimine bölündüğünde sin⁡x\sin x çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi ise tan⁡y\tan y fonksiyonuna eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs fark formülünü kullanarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesini açın.
cos⁡(x−y)=cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x-y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y
Pay kısmındaki fark terimini sadeleştirebilmek amacıyla kosinüs fark özdeşliği uygulanır.
2
Açılımı pay ifadesinde yerine koyarak sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
Pay = (cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y)−cos⁡x⋅cos⁡y=sin⁡x⋅sin⁡y(\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y) - \cos x \cdot \cos y = \sin x \cdot \sin y
cos⁡x⋅cos⁡y\cos x \cdot \cos y terimleri zıt işaretli oldukları için birbirini götürür.
3
Bulunan pay değerini paydaya bölerek nihai trigonometrik oranı bulun.
sin⁡x⋅sin⁡ysin⁡x⋅cos⁡y=sin⁡ycos⁡y=tan⁡y\frac{\sin x \cdot \sin y}{\sin x \cdot \cos y} = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y
Pay ve paydadaki ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi tanjant tanımından tan⁡y\tan y değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam-fark formüllerinin uygulanması ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Soru 12Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
cos⁡(x+y)+sin⁡xsin⁡ysin⁡(x+y)−sin⁡xcos⁡y\frac{\cos(x + y) + \sin x \sin y}{\sin(x + y) - \sin x \cos y}
ifadesinin en sade hali nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot y; cot(y); \cot y; \cot(y)

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali kotanjant y olarak bulunur.
Verilen ifadenin payındaki kosinüs toplam açılımı ile paydasındaki sinüs toplam açılımı yazılıp gerekli terimler birbirini götürdüğünde, geriye kalan cos⁡xcos⁡ycos⁡xsin⁡y\frac{\cos x \cos y}{\cos x \sin y} ifadesinde cos⁡x\cos x terimleri sadeleşir. Sonuç olarak kalan cos⁡ysin⁡y\frac{\cos y}{\sin y} oranı kotanjant tanımı gereği cot⁡y\cot y ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan cos⁡(x+y)\cos(x+y) ifadesini toplam formülü yardımıyla açın.
cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y elde edilir.
Kosinüs fonksiyonunun toplam formülünü uygulamak için.
2
Payda kısmında yer alan sin⁡(x+y)\sin(x+y) ifadesini toplam formülü yardımıyla açın.
sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y elde edilir.
Sinüs fonksiyonunun toplam formülünü uygulamak için.
3
Elde edilen açılımları ana kesirli ifadede yerlerine yazarak sadeleştirmeleri yapın.
Pay kısmı: (cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y)+sin⁡xsin⁡y=cos⁡xcos⁡y(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + \sin x \sin y = \cos x \cos y olur. Payda kısmı: (sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)−sin⁡xcos⁡y=cos⁡xsin⁡y(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - \sin x \cos y = \cos x \sin y olur.
Ters işaretli olan benzer terimleri sadeleştirerek ifadeyi basitleştirmek için.
4
Sadeleşmiş payı paydaya oranlayarak nihai sonuca ulaşın.
cos⁡xcos⁡ycos⁡xsin⁡y=cos⁡ysin⁡y=cot⁡y\frac{\cos x \cos y}{\cos x \sin y} = \frac{\cos y}{\sin y} = \cot y elde edilir.
Pay ve paydadaki ortak cos⁡x\cos x terimlerini sadeleştirmek ve kotanjant tanımını kullanmak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs toplam formüllerinin cebirsel sadeleştirmelerde uygulanması.
Soru 13Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
sin⁡(x−y)⋅cos⁡y+cos⁡(x−y)⋅sin⁡ycos⁡(x+y)⋅cos⁡y+sin⁡(x+y)⋅sin⁡y\frac{\sin(x - y) \cdot \cos y + \cos(x - y) \cdot \sin y}{\cos(x + y) \cdot \cos y + \sin(x + y) \cdot \sin y}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Cevap

tan⁡x\tan x
Verilen rasyonel ifadenin payı sinüs toplam formülüyle sin⁡(x−y+y)=sin⁡x\sin(x-y+y) = \sin x olarak, paydası ise kosinüs fark formülüyle cos⁡(x+y−y)=cos⁡x\cos(x+y-y) = \cos x olarak sadeleşir. Bu iki değerin birbirine oranı olan sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} ifadesi tan⁡x\tan x değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü kullanarak sadeleştirmek.
sin⁡(x−y+y)=sin⁡x\sin(x - y + y) = \sin x
sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B toplam formülünde A=x−yA = x - y ve B=yB = y alındığında paydaki ifade elde edilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi kosinüs fark formülü kullanarak sadeleştirmek.
cos⁡(x+y−y)=cos⁡x\cos(x + y - y) = \cos x
cos⁡(C−D)=cos⁡Ccos⁡D+sin⁡Csin⁡D\cos(C - D) = \cos C \cos D + \sin C \sin D fark formülünde C=x+yC = x + y ve D=yD = y alındığında paydadaki ifade elde edilir.
3
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade hali bulmak.
sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} temel trigonometrik özdeşliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam ve kosinüs fark formülleri kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Soru 14Soru →
tan⁡x+tan⁡y=3\tan x + \tan y = 3
cot⁡x+cot⁡y=32\cot x + \cot y = \frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3; - 3

Cevap

tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri −3-3 olarak bulunur.
Kotanjant toplamı ifadesi ortak paydada yazıldığında tan⁡x+tan⁡ytan⁡x⋅tan⁡y=32\frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2} elde edilir. tan⁡x+tan⁡y=3\tan x + \tan y = 3 eşitliği kullanılarak tan⁡x⋅tan⁡y=2\tan x \cdot \tan y = 2 olarak bulunur. Tanjant toplam formülü uygulandığında ise 31−2=−3\frac{3}{1 - 2} = -3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant fonksiyonlarının tanjant fonksiyonu cinsinden eşitini yazarak paydaları eşitleyelim.
1tan⁡x+1tan⁡y=tan⁡x+tan⁡ytan⁡x⋅tan⁡y=32\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y} = \frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2}
Kotanjant ve tanjant arasındaki cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} ilişkisini kullanarak tüm terimleri tanjant cinsinden ifade etmek için.
2
Elde edilen denklemde pay kısmındaki tan⁡x+tan⁡y\tan x + \tan y toplamı yerine 33 yazarak tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımını bulalım.
3tan⁡x⋅tan⁡y=32  ⟹  tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{3}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2} \implies \tan x \cdot \tan y = 2
Tanjant toplam formülünün paydasında yer alan çarpım terimini hesaplamak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplayalım.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y=31−2=−3\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{1 - 2} = -3
Tanjant toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} eşitliğini kullanmak için.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve temel trigonometrik özdeşlikler
Soru 15Soru →
a−b=π3a - b = \frac{\pi}{3} olmak üzere,
(cos⁡a+cos⁡b)2+(sin⁡a+sin⁡b)2(\cos a + \cos b)^2 + (\sin a + \sin b)^2

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3; 3.0

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Parantez kareler açılıp toplandığında sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliği ve kosinüs fark formülü olan cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b kullanılarak ifade 2+2cos⁡(a−b)2 + 2\cos(a-b) şeklinde sadeleşir. a−b=π/3a-b = \pi/3 için cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 olduğundan sonuç 2+2(1/2)=32 + 2(1/2) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez kareleri a��ılır.
(cos⁡a+cos⁡b)2=cos⁡2a+2cos⁡acos⁡b+cos⁡2b(\cos a + \cos b)^2 = \cos^2 a + 2\cos a\cos b + \cos^2 b ve (sin⁡a+sin⁡b)2=sin⁡2a+2sin⁡asin⁡b+sin⁡2b(\sin a + \sin b)^2 = \sin^2 a + 2\sin a\sin b + \sin^2 b ifadeleri elde edilir.
İfadeleri sadeleştirebilmek için öncelikle parantez açılımını yapmalıyız.
2
Elde edilen ifadeler taraf tarafa toplanır ve aynı açıya sahip terimler gruplandırılır.
(cos⁡2a+sin⁡2a)+(cos⁡2b+sin⁡2b)+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)(\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) ifadesi elde edilir.
Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve toplam-fark formüllerini kullanabilmek için.
3
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği uygulanır.
1+1+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=2+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)1 + 1 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) = 2 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) elde edilir.
Aynı açıya sahip sinüs ve kosinüs karelerinin toplamını sadeleştirmek için.
4
Kosinüs fark formülü uygulanır.
cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a-b) olduğundan, ifade 2+2cos⁡(a−b)2 + 2\cos(a-b) haline gelir.
Toplam ve fark formüllerini kullanarak iki değişkenli ifadeyi tek bir açı cinsinden yazmak için.
5
Verilen a−b=π3a-b = \frac{\pi}{3} değeri yerine yazılır.
2+2cos⁡(π3)=2+2⋅12=32 + 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 bulunur.
Sonuca ulaşmak için bilinen açı değerini yerine yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Kosinüs Fark Formülü

Alternatif Yöntem

İfadeyi karmaşık sayılar veya vektörlerin skaler çarpımı yardımıyla da modellemek mümkündür; ancak parantez kare açılımı ve fark formülü en doğrudan çözümdür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →
x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} olmak üzere, tan⁡x=3\tan x = 3 olduğuna göre, cot⁡y\cot y değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen cot y değeri 2'dir.
Verilen x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} eşitliğinden yararlanarak tan⁡(x−y)=1\tan(x - y) = 1 olduğu bulunur. Tanjant fark formülü açılıp tan⁡x=3\tan x = 3 değeri yerine yazıldığında tan⁡y=12\tan y = \frac{1}{2} elde edilir. Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersi olduğundan cot⁡y=2\cot y = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} eşitliğinin her iki tarafının tanjantını alarak tanjant fark formülünü uygulayınız.
tan⁡(x−y)=tan⁡(π4)=1\tan(x - y) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 elde edilir.
xx ve yy açıları arasındaki ilişkiyi tanjant değerlerine aktarabilmek için.
2
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} ifadesinde bilinen değerleri yerine yazınız.
1=3−tan⁡y1+3tan⁡y1 = \frac{3 - \tan y}{1 + 3\tan y} denklemi elde edilir.
Verilen tan⁡x=3\tan x = 3 değerini kullanarak tan⁡y\tan y değerini bulmak için.
3
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡y\tan y için çözünüz.
1+3tan⁡y=3−tan⁡y  ⟹  4tan⁡y=2  ⟹  tan⁡y=121 + 3\tan y = 3 - \tan y \implies 4\tan y = 2 \implies \tan y = \frac{1}{2} bulunur.
tan⁡y\tan y değerini belirlemek için.
4
cot⁡y=1tan⁡y\cot y = \frac{1}{\tan y} özdeşliğini kullanarak cot⁡y\cot y değerini hesaplayınız.
cot⁡y=11/2=2\cot y = \frac{1}{1/2} = 2 bulunur.
Soruda istenen kotanjant değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü ve tanjant ile kotanjant arasındaki çarpmaya göre terslik ilişkisi.
Soru 17Soru →

Analitik düzlemde, y=x2y = x^2 parabolü üzerinde bulunan ve A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktasına en yakın olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktanın koordinatları toplamı 6'dır.
Parabol üzerindeki genel bir P(x,x2)P(x, x^2) noktasının A(8,5/2)A(8, 5/2) noktasına olan uzaklığının karesi f(x)=(x−8)2+(x2−5/2)2f(x) = (x-8)^2 + (x^2-5/2)^2 fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevi olan f′(x)=4x3−8x−16f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 ifadesini sıfır yapan tek gerçel sayı x=2x=2 değeridir. Bu apsis değeri parabol denkleminde yerine yazıldığında en yakın nokta P(2,4)P(2, 4) olarak elde edilir. Koordinatları toplamı ise 2+4=62+4=6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir noktayı temsil eden koordinatları belirleyin.
P(x,x2)P(x, x^2) noktası parabol üzerindeki herhangi bir noktayı temsil eder.
y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki tüm noktaların ordinatı, apsisinin karesine eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak P(x,x2)P(x, x^2) ile A(8,52)A\left(8, \frac{5}{2}\right) noktaları arasındaki uzaklığın karesini veren fonksiyonu yazın.
f(x)=(x−8)2+(x2−52)2f(x) = (x - 8)^2 + \left(x^2 - \frac{5}{2}\right)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifade açılıp düzenlendiğinde f(x)=x4−4x2−16x+2814f(x) = x^4 - 4x^2 - 16x + \frac{281}{4} halini alır.
Uzaklığı minimum yapan xx değeri ile uzaklığın karesini minimum yapan xx değeri aynıdır. Kareköklü ifadeyle uğraşmamak için uzaklığın karesi fonksiyon olarak seçilmiştir.
3
Elde edilen fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirlemek üzere sıfıra eşitleyin.
f′(x)=4x3−8x−16=0f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem ortak çarpan parantezine alınarak 4(x3−2x−4)=04(x^3 - 2x - 4) = 0 şeklinde yazılabilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
4
x3−2x−4=0x^3 - 2x - 4 = 0 denkleminin gerçel köklerini bulun.
x=2x = 2 değeri denklemi sağlar (23−2(2)−4=8−4−4=02^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0). Polinom b��lmesi yapıldığında denklem (x−2)(x2+2x+2)=0(x - 2)(x^2 + 2x + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 çarpanının diskriminantı Δ=22−4(1)(2)=−4<0\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0 olduğundan buradan gerçel kök gelmez. Dolayısıyla tek kritik nokta x=2x = 2'dir.
Türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktalar incelenerek en yakın noktanın apsisi belirlenir.
5
Bulunan apsis değerini parabol denkleminde yerine yazıp koordinatları ve koordinatların toplamını bulun.
x=2x = 2 için parabol üzerindeki en yakın nokta P(2,22)=P(2,4)P(2, 2^2) = P(2, 4) olur. Bu noktanın koordinatları toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olarak bulunur.
Soru kökünde en yakın noktanın koordinatlarının toplamı sorulmaktad��r.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın P(x,x2)P(x, x^2) noktasından parabole çizilen teğet doğrusu, PAPA doğru parçasına dik olmak zorundadır. P(x,x2)P(x, x^2) noktasındaki teğetin eğimi türev yardımıyla mt=2xm_t = 2x bulunur. Bu noktadaki normalin eğimi ise mn=−12xm_n = -\frac{1}{2x} olur. PP ve A(8,2.5)A(8, 2.5) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise x2−2.5x−8\frac{x^2 - 2.5}{x - 8}'dir. İki doğrunun diklik şartından: x2−2.5x−8=−12x⇒2x3−5x=−x+8⇒2x3−4x−8=0⇒x3−2x−4=0\frac{x^2 - 2.5}{x - 8} = -\frac{1}{2x} \Rightarrow 2x^3 - 5x = -x + 8 \Rightarrow 2x^3 - 4x - 8 = 0 \Rightarrow x^3 - 2x - 4 = 0 denklemi elde edilir. Buradan tek gerçel kök x=2x=2 olarak bulunur. Dolayısıyla aranan nokta P(2,4)P(2, 4) olup koordinatları toplamı 6'dır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 18Soru →

Bir dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1/4; -0,25; -0.25

Cevap

Parabol üzerindeki koordinatların toplamının en küçük değeri −1/4-1/4 olur.
Parabol üzerindeki noktalar P(x,x2)P(x, x^2) biçimindedir. Bu noktanın koordinatları toplamı f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunu tanımlar. Bu fonksiyonun türevi f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 olup, türevin sıfır olduğu x=−1/2x = -1/2 değerinde fonksiyon en küçük değerine ulaşır. En küçük değer ise f(−1/2)=−1/4f(-1/2) = -1/4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir noktayı değişken cinsinden ifade edin.
y=x2y = x^2 olduğundan, parabol üzerindeki bir nokta P(x,x2)P(x, x^2) şeklinde yazılır.
Nokta parabol üzerinde bulunduğundan ordinat değeri apsisin karesine eşittir.
2
Koordinatlar toplamını veren fonksiyonu tanımlayın.
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
P(x,x2)P(x, x^2) noktasının koordinatları toplamı x+y=x+x2x + y = x + x^2 ifadesine karşılık gelir.
3
Tanımlanan fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek en küçük değeri veren xx değerini bulun.
f′(x)=2x+1=0  ⟹  x=−12f'(x) = 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
Bir fonksiyonun yerel ekstremum değerleri, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda oluşur.
4
Bulunan xx değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük değeri hesaplayın.
f(−12)=(−12)2+(−12)=14−12=−14f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}
Kritik noktadaki fonksiyon değeri, koordinatlar toplamının alabileceği en küçük değeri verir.

Anahtar Kavram

Bir parabol üzerindeki değişken bir noktanın koordinat ilişkisi kurulduktan sonra toplamı veren fonksiyonun türevi yardımıyla minimum değeri hesaplanır.
Soru 19Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=12−2xy = \sqrt{12 - 2x} eğrisi üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktası; orijin O(0,0)O(0,0) ve pozitif xx-ekseni üzerindeki bir B(b,0)B(b, 0) noktası ile birleştirilerek tepe açısı PP olan bir OPBOPB dik üçgeni oluşturuluyor.

Pozitif aa ve bb tam sayıları için [OB][OB] hipotenüsünün uzunluğunun alabileceği en küçük değer a3−ba\sqrt{3} - b birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı

Cevap

En küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim olup buradan a=4a = 4 ve b=2b = 2 bulunur. Dolayısıyla a+b=6a + b = 6'dır.
Dik üçgenin diklik şartından yola çıkarak hipotenüs uzunluğunu veren b(x)=x−2+12xb(x) = x - 2 + \frac{12}{x} fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde minimumu veren değer x=23x = 2\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer fonksiyona yazıldığında en küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim elde edilir. Buradan katsayılar a=4a = 4 ve b=2b = 2 olarak bulunup toplamları 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin köşe koordinatlarını belirleyip diklik şartını yazmak.
Orijin O(0,0)O(0,0), P(x,y)P(x, y) ve B(b,0)B(b,0) noktaları için OP⊥PBOP \perp PB olmalıd��r. Buradan eğimler çarpımı mOP⋅mPB=−1  ⟹  yx⋅−yb−x=−1  ⟹  y2=x(b−x)m_{OP} \cdot m_{PB} = -1 \implies \frac{y}{x} \cdot \frac{-y}{b-x} = -1 \implies y^2 = x(b-x) elde edilir.
OPBOPB üçgeninin tepe açısı PP olan bir dik üçgen olduğu belirtilmiştir.
2
Hipotenüs uzunluğu olan bb değişkenini xx cinsinden ifade etmek.
b−x=y2x  ⟹  b(x)=x+y2xb - x = \frac{y^2}{x} \implies b(x) = x + \frac{y^2}{x} bulunur. P(x,y)P(x,y) noktası y=12−2xy = \sqrt{12-2x} eğrisi üzerinde olduğundan y2=12−2xy^2 = 12-2x eşitliği yerine yazılır: b(x)=x+12−2xx=x−2+12xb(x) = x + \frac{12-2x}{x} = x - 2 + \frac{12}{x} elde edilir.
Elde edilen geometrik bağıntıyı tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon haline getirmek gerekir.
3
Türev yardımıyla fonksiyonu minimize etmek.
b′(x)=1−12x2b'(x) = 1 - \frac{12}{x^2} olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 1−12x2=0  ⟹  x2=12  ⟹  x=231 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = 2\sqrt{3} (birinci bölgede olduğundan x>0x > 0 alınır) kritik noktası elde edilir. Bu nokta yerel minimum noktasıdır.
Bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevinin işaret değiştirdiği kritik noktalar incelenir.
4
En küçük hipotenüs uzunluğunu hesaplamak ve istenen toplamı bulmak.
x=23x = 2\sqrt{3} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük uzunluk b(23)=23−2+1223=43−2b(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2 + \frac{12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 2 birim olarak bulunur. a3−ba\sqrt{3} - b biçimiyle karşılaştırıldığında a=4a = 4 ve b=2b = 2 olup a+b=6a + b = 6 elde edilir.
Kritik değer fonksiyona yazılarak minimum uzunluk hesaplanır ve soru kökündeki katsayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması, geometrik optimizasyon.
Soru 20Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2+1y = x^2 + 1 parabolü üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklığı en küçük değerini almaktadır. Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En yakın noktanın koordinatları toplamı 3'tür.
Uzaklık fonksiyonunun karesi olan f(x)=x4+x2−6x+9f(x) = x^4 + x^2 - 6x + 9 ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin tek gerçel kökü olan x=1x=1 değeri, parabol üzerindeki en yakın noktanın apsisidir. Bu değer parabol denkleminde yerine yazıldığında ordinat y=2y=2 bulunur ve bu koordinatların toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir PP noktasını temsil eden koordinatları belirleme ve bu noktanın A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklık fonksiyonunu kurma.
P(x,x2+1)P(x, x^2 + 1) noktası için uzaklığın karesini veren fonksiyon: f(x)=(x−3)2+(x2+1−1)2=x4+x2−6x+9f(x) = (x - 3)^2 + (x^2 + 1 - 1)^2 = x^4 + x^2 - 6x + 9
Uzaklığı minimize etmek için öncelikle uzaklık (veya kolaylık olması açısından uzaklığın karesi) fonksiyonunun tek değişkene bağlı ifadesini elde etmeliyiz.
2
Uzaklık fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.
f′(x)=4x3+2x−6=0  ⟹  2x3+x−3=0f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 0 \implies 2x^3 + x - 3 = 0
Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) değerlerini bulmak için birinci türevinin sıfır olduğu noktaları belirlemeliyiz.
3
2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin kökünü bulma ve tekliğini inceleme.
x=1x = 1 denklemin köküdür. g(x)=2x3+x−3g(x) = 2x^3 + x - 3 fonksiyonunun türevi g′(x)=6x2+1>0g'(x) = 6x^2 + 1 > 0 olduğundan fonksiyon daima artandır ve başka gerçel kökü yoktur.
Türevin sıfır olduğu tek gerçel noktanın x=1x = 1 olduğunu doğrulamak için.
4
En yakın noktanın koordinatlarını bulma ve koordinatlar toplamını hesaplama.
x=1x = 1 için y=12+1=2y = 1^2 + 1 = 2 olur. Nokta P(1,2)P(1, 2)'dir. Koordinatlar toplamı 1+2=31 + 2 = 3 bulunur.
Soruda bizden istenen en yakın noktanın koordinatları toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve geometrik optimizasyon.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın PP noktasından çizilen normal doğrusu (teğete dik olan doğru) A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmek zorundadır. P(x0,x02+1)P(x_0, x_0^2 + 1) noktasındaki teğetin eğimi mt=2x0m_t = 2x_0 olduğundan, normalin eğimi mn=−12x0m_n = -\frac{1}{2x_0} olur. Normal doğrusunun denklemi y−(x02+1)=−12x0(x−x0)y - (x_0^2 + 1) = -\frac{1}{2x_0}(x - x_0) şeklindedir. Bu doğrunun A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmesi gerektiğinden 1−x02−1=−12x0(3−x0)1 - x_0^2 - 1 = -\frac{1}{2x_0}(3 - x_0) yazılır ve düzenlendiğinde 2x03+x0−3=02x_0^3 + x_0 - 3 = 0 elde edilir. Buradan en yakın noktanın apsisi yine x0=1x_0 = 1 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin