Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 41Soru →
log⁡12(x−3)>−1\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) > -1 eşitsizli��inin en geniş çözüm kümesi (3,5)(3, 5) açık aralığıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (3, 5) açık aralığıdır.
Verilen eşitsizlik çözülürken tabanın 0 ile 1 arasında olması nedeniyle yön değiştirme kuralı doğru uygulanmış ve logaritmanın tanım kümesi kısıtlamasıyla kesiştirilerek doğru aralık elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tanım kümesi koşulunu belirleme
x−3>0⇒x>3x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Eşitsizliği logaritma özelliğine göre çözme
x−3<(12)−1⇒x−3<2⇒x<5x - 3 < (\frac{1}{2})^{-1} \Rightarrow x - 3 < 2 \Rightarrow x < 5
Eşitsizlikte logaritmanın tabanı 1'den küçük olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Koşulları kesiştirerek en geniş çözüm kümesini oluşturma
3<x<53 < x < 5 yani (3,5)(3, 5) açık aralığı
Çözüm kümesi hem tanımlılık koşulunu hem de eşitsizlik çözümünü aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Logaritma tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerin çözümü ve tanım kümesi sınırlaması.
Soru 42Soru →
log⁡x(3x2−4)=3\log_x(3x^2 - 4) = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan tek geçerli xx gerçel sayısı 2'dir.
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen x=2x = 2 değeri, logaritmanın taban (x>0x > 0, x≠1x \neq 1) ve argüman (3x2−4>03x^2 - 4 > 0) kurallarını eksiksiz olarak sağladığı için denklemin tek gerçel köküdür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tanım kümesi koşullarını belirleme
x>0x > 0, x≠1x \neq 1 ve 3x2−4>03x^2 - 4 > 0 olmalıdır.
Logaritmik ifadelerde taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise daima pozitif olmak zorundadır.
2
Logaritmik denklemi polinom denklemine dönüştürme
x3=3x2−4x^3 = 3x^2 - 4
log⁡a(b)=c  ⟺  ac=b\log_a(b) = c \iff a^c = b kuralı uygulanır.
3
Üçüncü dereceden polinom denklemini çarpanlarına ayırma
(x+1)(x−2)2=0(x+1)(x-2)^2 = 0
x3−3x2+4=0x^3 - 3x^2 + 4 = 0 denkleminde x=−1x = -1 için eşitlik sağlandığından denklem x+1x+1 ile tam bölünür. Bölme işlemi yapıldığında (x+1)(x2−4x+4)=0(x+1)(x^2 - 4x + 4) = 0 elde edilir.
4
Bulunan kökleri tanım kümesi koşullarına göre test etme
x=2x = 2 geçerli çözümdür, x=−1x = -1 elenir.
x=−1x = -1 değeri x>0x > 0 taban koşulunu ihlal eder. x=2x = 2 ise tüm koşulları sağlar (2>02 > 0, 2≠12 \neq 1 ve 3(2)2−4=8>03(2)^2 - 4 = 8 > 0).

Anahtar Kavram

Logaritmik ve üstel denklemlerin çözümü ve logaritma fonksiyonunun tanım kümesi sınırları.
Soru 43Soru →
f:R→R+olmak u¨zeref: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \quad \text{olmak üzere}
f(x)=(a−37−a)xf(x) = \left(\frac{a - 3}{7 - a}\right)^x
fonksiyonu tanımlanıyor.

Bu fonksiyonun bir üstel fonksiyon olduğu bilindiğine göre, aa parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Üstel fonksiyon tanımına göre taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. (a - 3)/(7 - a) ifadesini pozitif yapan a tam sayıları 4, 5 ve 6'dır. Ancak a = 5 değeri için taban 1 olduğundan, bu değer alınamaz. Dolayısıyla a'nın alabileceği tam sayı değerleri 4 ve 6 olup, toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımına göre taban koşullarını belirleme.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için taban b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır. Bu soruda taban ifadesi b=a−37−ab = \frac{a - 3}{7 - a} şeklindedir.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif bir gerçek sayı ve 1'den farklı olması zorunludur.
2
Tabanın pozitif olması (b>0b > 0) koşulunu inceleme.
a−37−a>0\frac{a - 3}{7 - a} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=3a = 3 ve a=7a = 7 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, bu eşitsizliği sağlayan aralık (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Taban değerinin pozitif olması gereken aralığı tespit etmek amacıyla eşitsizlik çözülmüştür.
3
Tabanın 1'den farklı olması (b≠1b \neq 1) koşulunu inceleme.
a−37−a≠1  ⟹  a−3≠7−a  ⟹  2a≠10  ⟹  a≠5\frac{a - 3}{7 - a} \neq 1 \implies a - 3 \neq 7 - a \implies 2a \neq 10 \implies a \neq 5 elde edilir.
Tabanın 1 olması durumunda fonksiyonun üstel fonksiyon olma özelliğini yitirmesini engellemek için.
4
Koşulları sağlayan aa tam sayılarını belirleyip toplama.
(3,7)(3, 7) açık aralığındaki tam sayılar 4,5,64, 5, 6 sayılarıdır. a≠5a \neq 5 olması gerektiğinden aa değeri 44 veya 66 olabilir. Bu değerlerin toplamı: 4+6=104 + 6 = 10 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
Soru 44Soru →
f(x)=(2a−5)xf(x) = (2a - 5)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir üstel fonksiyon belirttiğine göre, aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (52,∞)∖{3}(\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\}

Cevap

(52,∞)∖{3}(\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\} aralığıdır.
Üstel fonksiyonların tanımı gereği, taban her zaman pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Verilen fonksiyonun tabanı olan 2a−52a-5 ifadesi için bu koşullar yazıldığında a>5/2a > 5/2 ve a≠3a \neq 3 elde edilir. Bu durum (52,∞)∖{3}(\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\} kümesiyle gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımını uygulamak.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için tabanın b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olması gerekir.
Gerçel sayılarda tanımlı üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmak zorundadır.
2
Tabanın pozitif olma şartını çözmek.
2a−5>0  ⟹  2a>5  ⟹  a>522a - 5 > 0 \implies 2a > 5 \implies a > \frac{5}{2}
Taban ifadesinin pozitif olmasını garantilemek için 2a−5>02a - 5 > 0 eşitsizliği çözülür.
3
Tabanın 1'e eşit olmama şartını çözmek.
2a−5≠1  ⟹  2a≠6  ⟹  a≠32a - 5 \neq 1 \implies 2a \neq 6 \implies a \neq 3
Taban 1 olduğunda fonksiyon sabit fonksiyon belirteceğinden üstel fonksiyon tanımına uymaz, bu yüzden 2a−5≠12a - 5 \neq 1 olmalıdır.
4
Bulunan koşulları birleştirmek.
a∈(52,∞)∖{3}a \in (\frac{5}{2}, \infty) \setminus \{3\}
Elde edilen iki koşulun kesişimi alınarak parametrenin en geniş değer aralığı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
Tahmini Süre:45s
Soru 45Soru →
f(x)=(a−3)xf(x) = (a - 3)^x fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir üstel fonksiyon belirtmesi için aa gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değerinin 44 olduğu belirtilmiştir. Bu ifade doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır, çünkü üstel fonksiyonun tabanı 1 olamaz. Dolayısıyla a parametresi 4 değerini alamaz ve alabileceği en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmak zorundadır. Bu nedenle a−3≠1  ⟹  a≠4a-3 \neq 1 \implies a \neq 4 olmalıdır. a>3a > 3 şartını sağlayan en küçük tam sayı olan 4 elendiğinde geriye kalan en küçük tam sayı 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanım koşullarını belirleme
f(x)=(a−3)xf(x) = (a-3)^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için tabanın pozitif ve 11'den farklı olması gerekir: a−3>0a-3 > 0 ve a−3≠1a-3 \neq 1.
Üstel fonksiyonların genel tanımı gereği, taban bb için b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 koşulu sağlanmalıdır.
2
Eşitsizlikleri çözme
a>3a > 3 ve a≠4a \neq 4
Birinci eşitsizlikten a>3a > 3 elde edilir, tabanın 11 olamayacağı koşulundan ise a−3≠1  ⟹  a≠4a-3 \neq 1 \implies a \neq 4 bulunur.
3
En küçük tam sayı değerini bulma
aa'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 55'tir.
a>3a > 3 koşulunu sağlayan ve 44 dışındaki en küçük tam sayı 55 olmaktadır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımı ve taban özellikleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 46Soru →
f(x)=log⁡3(6x−x2−5)f(x) = \log_{3}(6x - x^2 - 5)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 9'dur.
Logaritma tanımı gereğince 6x−x2−5>06x - x^2 - 5 > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (1,5)(1, 5) açık aralığıdır. Taban olan 3 değeri sabit ve tanım şartına uygun olduğundan tanım kümesi (1,5)(1, 5) aralığı olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı da 2+3+4=92+3+4=9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritması alınan ifadenin pozitif olma koşulunun çözülmesi
x∈(1,5)x \in (1, 5)
Logaritma tanımına göre log⁡a(b)\log_a(b) ifadesinde b>0b > 0 olmalıdır.
2
Taban kontrolü
Taban 3'tür, pozitif ve 1'den farklıdır.
Taban a>0a > 0 ve a≠1a \neq 1 şartlarını sağlamalıdır.
3
Tanım kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
2, 3, 4 tam sayılarının toplamı 9'dur.
(1,5)(1, 5) aralığında bulunan tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, logaritması alınan ifadenin pozitif olma koşulu ile tabanın pozitif ve 1'den farklı olma koşulu birlikte değerlendirilir.
Soru 47Soru →

Her xx gerçel sayısı için tanımlı f(x)=(∣m∣−2)xf(x) = (|m| - 2)^x fonksiyonunun üstel bir fonksiyon belirtmesini sağlayan mm gerçel sayılarının kümesi (−∞,−2)∪(2,∞)(-\infty, -2) \cup (2, \infty) aralığıdır. Bu ifade doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Doğru küme ((−∞,−2)∪(2,∞))∖{−3,3}((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \setminus \{-3, 3\} olmalıdır.
Verilen ifade yanlıştır, çünkü üstel fonksiyon tanımında tabanın 1'den farklı olması koşulu (∣m∣−2≠1|m| - 2 \neq 1) atlanmıştır. Doğru kümeden 33 ve −3-3 değerleri çıkarılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun tanım kümesi ve taban özelliklerini hatırlama
f(x)=axf(x) = a^x biçimindeki bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtmesi için tabanın a>0a > 0 ve a≠1a \neq 1 olması gerekir.
Üstel fonksiyon tanımının temel kuralları bu iki koşula dayan��r.
2
Tabanın pozitif olma koşulunu uygulama
∣m∣−2>0  ⟹  ∣m∣>2  ⟹  m∈(−∞,−2)∪(2,∞)|m| - 2 > 0 \implies |m| > 2 \implies m \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)
Tabanın pozitif gerçek sayı olması gerektiği için mutlak değerli eşitsizlik çözülür.
3
Tabanın 1'den farklı olma koşulunu uygulama
∣m∣−2≠1  ⟹  ∣m∣≠3  ⟹  m≠±3|m| - 2 \neq 1 \implies |m| \neq 3 \implies m \neq \pm 3
Taban 1 olduğunda fonksiyon sabit fonksiyona dönüştüğü için üstel fonksiyon kabul edilmez.
4
Bulunan koşulları birleştirme ve ifadeyi değerlendirme
En geniş küme ((−∞,−2)∪(2,∞))∖{−3,3}((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \setminus \{-3, 3\} olarak bulunur. Soruda verilen kümede ±3\pm 3 değerleri çıkarılmadığı için ifade yanlıştır.
Elde edilen iki kümenin kesişimi alınarak en geniş tanım kümesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçek sayı ve 1'den farklı olması gerekir.
Soru 48Soru →
f(x)=(a−4)xf(x) = (a - 4)^x
g(x)=(8−a)xg(x) = (8 - a)^x

ifadeleri birer üstel fonksiyon belirttiğine göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

a parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 6'dır.
Üstel fonksiyonların tanımlı olabilmesi için tabanlarının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir. Bu kurallardan hareketle a sayısının 4 ile 8 açık aralığında olması, ancak 5 ve 7 değerlerini alamaması gerektiği bulunur. Bu aralıktaki tek uygun tam sayı değeri 6 olduğundan, alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı da 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=(a−4)xf(x) = (a - 4)^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtme şartlarını incelemek.
a−4>0⇒a>4a - 4 > 0 \Rightarrow a > 4 ve a−4≠1⇒a≠5a - 4 \neq 1 \Rightarrow a \neq 5 elde edilir.
Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
g(x)=(8−a)xg(x) = (8 - a)^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtme şartlarını incelemek.
8−a>0⇒a<88 - a > 0 \Rightarrow a < 8 ve 8−a≠1⇒a≠78 - a \neq 1 \Rightarrow a \neq 7 elde edilir.
Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
3
Elde edilen şartların ortak çözümünü bulmak ve uygun tam sayı değerlerini belirlemek.
a∈(4,8)∖{5,7}a \in (4, 8) \setminus \{5, 7\} olur. Bu aralıktaki tek tam sayı a=6a = 6 değeridir. Bu değerin toplamı da 6 yapar.
Her iki fonksiyonun da aynı anda üstel fonksiyon belirtmesi için koşulların kesişimi alınır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların taban özellikleri ve tanım kümesi sınırlamaları
Soru 49Soru →
f(x)=(∣a−3∣−25)xf(x) = \left(\frac{|a-3| - 2}{5}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Üstel fonksiyonun azalan olması için taban değerinin 0 ile 1 aralığında bulunması zorunludur. Buradan hareketle elde edilen 2<∣a−3∣<72 < |a-3| < 7 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi (−4,1)∪(5,10)(-4, 1) \cup (5, 10) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,6,7,8,9}\{-3, -2, -1, 0, 6, 7, 8, 9\} olmak üzere 8 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun azalan olma koşulunu belirleme
0<∣a−3∣−25<10 < \frac{|a-3| - 2}{5} < 1 eşitsizliği elde edilir.
g(x)=bxg(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir arasında (0<b<10 < b < 1) olması gerekir.
2
Eşitsizliği sadeleştirme
0<∣a−3∣−2<5⇒2<∣a−3∣<70 < |a-3| - 2 < 5 \Rightarrow 2 < |a-3| < 7 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliğin her tarafı pozitif bir sayı olan 5 ile çarpılır ve ardından her tarafa 2 eklenir.
3
Mutlak değerli eşitsizliği çözme
a∈(−4,1)∪(5,10)a \in (-4, 1) \cup (5, 10) aralığı elde edilir.
2<∣a−3∣<72 < |a-3| < 7 ifadesi iki durumda incelenir:
1) 2<a−3<7⇒5<a<102 < a-3 < 7 \Rightarrow 5 < a < 10
2) −7<a−3<−2⇒−4<a<1-7 < a-3 < -2 \Rightarrow -4 < a < 1
4
Tam sayı değerlerini bulup sayma
Toplam 8 tane tam sayı değeri vardır.
(−4,1)(-4, 1) aralığındaki tam sayılar {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} (4 adet) ve (5,10)(5, 10) aralığındaki tam sayılar {6,7,8,9}\{6, 7, 8, 9\} (4 adet) olmak üzere toplam 4+4=84 + 4 = 8 değer bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üstel fonksiyonun azalan olabilmesi için tabanının sıfır ile bir açık aralığında bulunması gerekir.
Soru 50Soru →
f(x)=(12a2−4a+7)xf(x) = \left(\frac{12}{a^2 - 4a + 7}\right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı artan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10'dur. Artan bir üstel fonksiyon elde etmek için taban ifadesi 1'den büyük olmalıdır. Buradan elde edilen −1<a<5-1 < a < 5 aralığındaki tam sayıların toplamı 10 yapar.
Verilen fonksiyonun artan bir üstel fonksiyon olması için tabanının 1'den büyük olması şarttır. Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen −1<a<5-1 < a < 5 aralığındaki tam sayı değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun artan olma koşulunu yazmak.
b=12a2−4a+7>1b = \frac{12}{a^2 - 4a + 7} > 1 koşulu sağlanmalıdır.
f(x)=bxf(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekmektedir.
2
Eşitsizliği çözmek.
−1<a<5-1 < a < 5
a2−4a+7=(a−2)2+3a^2 - 4a + 7 = (a-2)^2 + 3 ifadesi her aa gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu nedenle eşitsizliğin her iki tarafı payda ile çarpılabilir: 12>a2−4a+7⇒a2−4a−5<0⇒(a−5)(a+1)<012 > a^2 - 4a + 7 \Rightarrow a^2 - 4a - 5 < 0 \Rightarrow (a-5)(a+1) < 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,5)(-1, 5) aralığıdır.
3
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirlemek ve toplamak.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
−1<a<5-1 < a < 5 açık aralığındaki aa tam sayıları 0,1,2,30, 1, 2, 3 ve 44 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; artanlık için ise taban 1'den büyük olmalıdır.
Soru 51Soru →
f(x)=log⁡7(5x−x2)f(x) = \log_{7}(5x - x^2) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 10'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içi kesinlikle pozitif olmalıdır. 5x−x2>05x - x^2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi şartını uygulamak
5x−x2>05x - x^2 > 0 olmalıdır.
log⁡a(g(x))\log_a(g(x)) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için g(x)>0g(x) > 0 olmalıdır. Taban olan 7 sayısı zaten pozitif ve 1'den farklı olduğu için sadece bu koşulu incelemek yeterlidir.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup en geniş tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır.
5x−x2=0  ⟹  x(5−x)=05x - x^2 = 0 \implies x(5 - x) = 0 eşitliğinden kökler x=0x = 0 ve x=5x = 5 bulunur. x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için işaret tablosuna sağdan eksi ile başlanır ve kökler arasında artı değer elde edilir. Bu nedenle pozitif bölge olan (0,5)(0, 5) aralığı seçilir.
3
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
(0,5)(0, 5) açık aralığında bulunan tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 52Soru →
f(x)=log⁡x−3(8−x)f(x) = \log_{x - 3}(8 - x) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 18'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gereği, taban ifadesi sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalı, üstteki ifade (argüman) ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu kurallardan hareketle x>3x > 3, x≠4x \neq 4 ve x<8x < 8 elde edilir. Bu koşullara uyan tam sayılar 5, 6 ve 7 olup toplamları 18 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının tan��mlılık şartlarını belirlemek.
x−3>0  ⟹  x>3x-3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x-3 \neq 1 \implies x \neq 4 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın argümanının (içinin) tanımlılık şartını belirlemek.
8−x>0  ⟹  x<88-x > 0 \implies x < 8 olarak bulunur.
Logaritması alınan ifade her zaman sıfırdan büyük (pozitif) olmalıdır.
3
Elde edilen şartları birleştirerek en geniş tanım kümesini oluşturmak.
3<x<83 < x < 8 ve x≠4x \neq 4 aralığı elde edilir. Bu aralık (3,8)∖{4}(3, 8) \setminus \{4\} şeklinde gösterilir.
Fonksiyonun tanımlı olması için tüm şartların aynı anda sağlanması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamını hesaplamak.
Tanım kümesindeki tam sayılar 5, 6 ve 7'dir. Toplamları ise 5+6+7=185 + 6 + 7 = 18 olarak hesaplanır.
İstenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olma koşulları birlikte uygulanır.
Soru 53Soru →
f(x)=log⁡6(12−x−x2)f(x) = \log_{6}(12 - x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesinde 6 farklı tam sayı değeri vardır.
Logaritma tanımı gereği 12−x−x2>012 - x - x^2 > 0 eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesinin (−4,3)(-4, 3) açık aralığı olduğu görülür. Bu aralıktaki tam sayılar −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2 olmak üzere 6 farklı değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritması alınan ifadenin pozitif olması koşulunu belirleme
12−x−x2>012 - x - x^2 > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması şarttır.
2
Eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma
(x+4)(3−x)>0  ⟹  x1=−4,x2=3(x + 4)(3 - x) > 0 \implies x_1 = -4, x_2 = 3
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulabilmek için sınır noktalarını belirleyen kökler hesaplanır.
3
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme
−4<x<3-4 < x < 3
x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için ifade kökler arasında pozitif değerler alır.
4
Belirlenen aralıktaki tam sayıları listeleme ve adetlerini bulma
6 farklı tam sayı değeri
−4-4 ile 33 açık aralığındaki tam sayılar sırasıyla −3,−2,−1,0,1,2-3, -2, -1, 0, 1, 2 olup toplamda 6 tanedir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 54Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=(a2−3a+3)xf(x) = (a^2 - 3a + 3)^x fonksiyonu, tanımlı olduğu her aa gerçel sayısı için daima artan bir üstel fonksiyondur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Üstel fonksiyonun artan olması için taban değerinin 11'den büyük olması şarttır. Verilen fonksiyonun tabanı olan a2−3a+3a^2 - 3a + 3 ifadesi, 1<a<21 < a < 2 aralığındaki aa değerleri için 11'den küçük olup 00 ile 11 arasında değerler aldığından fonksiyon bu aralıkta azalan özellik gösterir. Bu nedenle ifadenin daima artan olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun tanımını ve artanlık şartını belirlemek.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır. Bu fonksiyonun artan olması için ise tabanın b>1b > 1 şartını sağlaması gerekir.
Üstel fonksiyonlarda taban 11'den büyük olduğunda fonksiyon artan, 00 ile 11 arasında olduğunda ise azalan olur.
2
Verilen fonksiyonun taban ifadesini artanlık şartına göre incelemek.
a2−3a+3>1a^2 - 3a + 3 > 1 eşitsizliği düzenlendiğinde a2−3a+2>0a^2 - 3a + 2 > 0 elde edilir. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında (a−1)(a−2)>0(a - 1)(a - 2) > 0 olur.
Tabanın hangi aa değerleri için 11'den büyük (artan) olduğunu tespit etmek amacıyla eşitsizlik çözülür.
3
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak ve ifadeyi değerlendirmek.
Tabanın 11'den büyük olduğu aralık a<1a < 1 veya a>2a > 2 aralığıdır. Ancak 1<a<21 < a < 2 aralığındaki aa değerleri için taban 00 ile 11 arasında kalır (örneğin a=1.5a = 1.5 için taban 0.750.75 olur). Bu durumda fonksiyon azalan bir üstel fonksiyondur.
Tanımlı her aa değeri için fonksiyonun artan olmadığını göstererek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özelliklerine göre artanlık/azalanlık durumlarının belirlenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 55Soru →
f(x)=log⁡x(16−x2)f(x) = \log_{x}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı 5'tir.
Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban koşulu olan x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 ile logaritma içi koşulu olan 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınmalıdır. 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden −4<x<4-4 < x < 4 aralığı elde edilir. Bu aralık ile taban koşulları kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (0,4)∖{1}(0, 4) \setminus \{1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar 2 ve 3'tür. Bu sayıların toplamı ise 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını belirleme
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
2
Logaritmanın içinin tanımlı olma koşulunu belirleme
16−x2>016 - x^2 > 0 olmalıdır.
Logaritması alınan ifadenin daima sıfırdan büyük (pozitif) olması gerekir.
3
Eşitsizliği çözerek aralık bulma
x2<16⇒−4<x<4x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
Logaritmanın içinin pozitif olduğu x değer aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
4
Koşulları kesiştirerek tanım kümesini bulma ve tam sayıları toplama
x∈(0,4)∖{1}x \in (0, 4) \setminus \{1\} aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. Toplamları ise 2+3=52 + 3 = 5 bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş kümeyi belirlemek için taban ve iç koşullarının ortak kesişimi alınır ve bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Soru 56Soru →
f(x)=log⁡x−1(49−x2)+log⁡2(x2−9)f(x) = \log_{x - 1}(49 - x^2) + \log_{2}(x^2 - 9)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 15'tir.
Verilen fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması için x>1x > 1, x≠2x \neq 2, −7<x<7-7 < x < 7 ve x2>9x^2 > 9 koşullarının hepsi sağlanmalıdır. Bu koşulların ortak kesişimi (3,7)(3, 7) açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 4, 5 ve 6 olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve −7<x<7-7 < x < 7 koşullarından x∈(1,7)∖{2}x \in (1, 7) \setminus \{2\} elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır.
2
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme.
x>3x > 3 veya x<−3x < -3 elde edilir.
Logaritma argümanı sıfırdan büyük olmalıdır (taban olan 2 zaten pozitif ve 1'den farklıdır).
3
Elde edilen tanım aralıklarının kesişimini bulma.
En geniş tanım kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmik ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
4+5+6=154 + 5 + 6 = 15 bulunur.
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar 44, 55 ve 66'dır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır. Birden fazla logaritma içeren fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir terimin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 57Soru →
f(x)=(−a2+6a−4)xf(x) = (-a^2 + 6a - 4)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir üstel fonksiyondur.

Buna göre,

I. aa parametresinin alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.
II. f(x)f(x) azalan bir fonksiyon ise aa parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir.
III. aa bir tam sayı olmak üzere, f(x)f(x) fonksiyonu daima artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Üstel fonksiyon tanımına göre taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Bu koşullardan a∈(3−5,3+5)∖{1,5}a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) \setminus \{1, 5\} elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamda 3 tanedir, bu yüzden birinci ifade doğrudur. Fonksiyonun azalan olması için tabanın 0 ile 1 arasında olması gerekir, bu durumda aa parametresi (3−5,1)∪(5,3+5)(3 - \sqrt{5}, 1) \cup (5, 3 + \sqrt{5}) aralığında olmalıdır. Bu aralıkta hiçbir tam sayı bulunmaz ve a=5a=5 değeri tabanı 1 yaptığından üstel fonksiyon tanımına aykırıdır, bu yüzden ikinci ifade yanlıştır. aa parametresinin alabileceği tam sayı değerleri olan 2, 3 ve 4 için taban değerleri sırasıyla 4, 5 ve 4 olup hepsi 1'den büyük olduğundan fonksiyon her durumda artandır, bu yüzden üçüncü ifade de doğrudur. Dolayısıyla birinci ve üçüncü ifadelerin doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun taban şartlarını belirleme
Taban b(a)=−a2+6a−4b(a) = -a^2 + 6a - 4 olmak üzere, b(a)>0b(a) > 0 ve b(a)≠1b(a) \neq 1 olmalıdır.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
2
Tabanın pozitif olması şartını (b(a)>0b(a) > 0) çözme
a2−6a+4<0  ⟹  a∈(3−5,3+5)a^2 - 6a + 4 < 0 \implies a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) aralığı elde edilir.
a2−6a+4=0a^2 - 6a + 4 = 0 denkleminin kökleri 3±53 \pm \sqrt{5}'tir. Eşitsizlik tablosu yapıldığında bu köklerin arası negatif bölgeyi verir.
3
Tabanın 1'den farklı olması şartını (b(a)≠1b(a) \neq 1) çözme
a2−6a+5≠0  ⟹  (a−1)(a−5)≠0  ⟹  a≠1a^2 - 6a + 5 \neq 0 \implies (a-1)(a-5) \neq 0 \implies a \neq 1 ve a≠5a \neq 5 olmalıdır.
Taban 1 olduğunda fonksiyon üstel fonksiyon belirtmez, sabit fonksiyon belirtir.
4
Tanım kümesini birleştirme ve tam sayı değerlerini bulma (I. öncül kontrolü)
a∈(3−5,3+5)∖{1,5}a \in (3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5}) \setminus \{1, 5\}. 5≈2.24\sqrt{5} \approx 2.24 olduğundan aralık yaklaşık (0.76,5.24)∖{1,5}(0.76, 5.24) \setminus \{1, 5\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar {2,3,4}\{2, 3, 4\}'tür (toplam 3 adet).
Elde edilen iki şartın kesişimi alınarak aa parametresinin tanım kümesi bulunur ve bu kümedeki tam sayılar sayılır. Birinci öncül doğrudur.
5
Azalanlık şartını inceleme (II. öncül kontrolü)
Azalan olması için 0<b(a)<10 < b(a) < 1 olmalıdır. Buradan a∈(3−5,1)∪(5,3+5)a \in (3 - \sqrt{5}, 1) \cup (5, 3 + \sqrt{5}) aralığı elde edilir. Bu aralıkta hiçbir tam sayı değeri yoktur. a=5a=5 değeri tabanı 1 yaptığından tanım kümesinde değildir.
Azalan üstel fonksiyonlarda taban 0 ile 1 arasında olmalıdır. Elde edilen aralıktaki tam sayı varlığı kontrol edilir. İkinci öncül yanlıştır.
6
Tam sayı parametreleri için artanlığı inceleme (III. öncül kontrolü)
a∈{2,3,4}a \in \{2, 3, 4\} için sırasıyla tabanlar b(2)=4>1b(2)=4 > 1, b(3)=5>1b(3)=5 > 1 ve b(4)=4>1b(4)=4 > 1 olur. Tabanlar daima 1'den büyük olduğundan fonksiyon daima artandır.
Tabanın 1'den büyük olması fonksiyonun artan olmasını sağlar. Tam sayı değerlerinin tamamı için bu durum sağlandığından üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Bir üstel fonksiyonun tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır. Taban 1'den büyükse fonksiyon artan, 0 ile 1 arasında ise azalandır.
Soru 58Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−2x−8x−1)f(x) = \log_{6 - x}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -1'dir.
Fonksiyonun tanımlı olması için taban şartlarından x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. İç kısmın pozitif olma şartından ise (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı bulunur. Bu iki küme kesiştirildiğinde elde edilen en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(4,5)∪(5,6)(-2, 1) \cup (4, 5) \cup (5, 6) olur. Bu kümedeki tam sayıların toplamı ise -1 ve 0'ın toplamından -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının tanımlı olma şartları belirlenir.
6−x>0  ⟹  x<66-x > 0 \implies x < 6 ve 6−x≠1  ⟹  x≠56-x \neq 1 \implies x \neq 5 olur.
Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
2
Logaritmanın içinin pozitif olma şartı incelenir ve çarpanlarına ayrılır.
x2−2x−8x−1>0  ⟹  (x−4)(x+2)x−1>0\frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1} > 0 \implies \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 1} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritması alınan ifade daima pozitif olmak zorundadır.
3
Eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulur.
Pay ve paydanın kökleri x=−2x = -2, x=1x = 1 ve x=4x = 4'tür. Eşitsizlik tablosu hazırlandığında pozitif olan bölgeler (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı olarak belirlenir.
Rasyonel ifadenin işaret değişim noktalarını görerek pozitif olduğu bölgeleri saptamak için kökler bulunur.
4
Tüm şartları sağlayan en geniş aralık (kesişim kümesi) oluşturulur.
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 koşulları ile (−2,1)∪(4,∞)(-2, 1) \cup (4, \infty) aralığı kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(4,5)∪(5,6)(-2, 1) \cup (4, 5) \cup (5, 6) olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için hem taban hem de iç koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Bu kümedeki tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.
Kümedeki tam sayılar sadece −1-1 ve 00'dır. Toplamları ise −1+0=−1-1 + 0 = -1 olarak hesaplanır.
Bizden fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemleri çözülürken paydanın kökleri asla çözüm kümesine dahil edilmez.
Soru 59Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=(a2−2a)xf(x) = (a^2 - 2a)^x fonksiyonunun bir üstel fonksiyon belirtmesi için aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (2,∞)∖{1+2}(2, \infty) \setminus \{1 + \sqrt{2}\} kümesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı ((−∞,0)∪(2,∞))∖{1−2,1+2}((-\infty, 0) \cup (2, \infty)) \setminus \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\} kümesidir.
Üstel fonksiyonun tabanı olan a2−2aa^2 - 2a ifadesinin pozitif ve 1'den farklı olması şartı çözüldüğünde aa için hem pozitif hem de negatif bölgelerde uygun değerler bulunur. Verilen önerme negatif bölgeyi (a<0a < 0) tamamen dışarıda bıraktığı için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tabanının pozitif olma şartının incelenmesi
a(a−2)>0  ⟹  a∈(−∞,0)∪(2,∞)a(a - 2) > 0 \implies a \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)
Bir fonksiyonun bxb^x biçiminde üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif (b>0b > 0) olması gerekir.
2
Tabanın 1'den farklı olma şartının incelenmesi
a2−2a≠1  ⟹  a2−2a−1≠0  ⟹  a≠1±2a^2 - 2a \neq 1 \implies a^2 - 2a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1 \pm \sqrt{2}
Üstel fonksiyon tanımı gereği taban 1'e eşit olamaz (b≠1b \neq 1).
3
Elde edilen şartların birleştirilerek en geniş aralığın bulunması
a∈((−∞,0)∪(2,∞))∖{1−2,1+2}a \in ((-\infty, 0) \cup (2, \infty)) \setminus \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\}
Hem pozitiflik hem de 1'den farklı olma koşullarını sağlayan tüm gerçel sayılar kümesi belirlenir.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif (b>0b > 0) ve 1'den farklı (b≠1b \neq 1) olması kuralı ve bu kuralın değişken parametreler üzerindeki eşitsizlik analizlerine uygulanması.
Soru 60Soru →
f:R→R+f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ olmak üzere, f(x)=(a2−4a−5a2−9)xf(x) = \left(\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9}\right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyondur. Buna göre, bu koşulu sağlayan en küçük iki farklı aa tam sayısının toplamının 6 olduğu ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, çünkü azalan üstel fonksiyon şartlarını sağlayan en küçük iki farklı aa tam sayısı 0 ve 6'dır ve toplamları 6'dır.
Üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir aralığında bulunması gerekir. Eşitsizlik sisteminin çözümünden elde edilen ortak aralıkta yer alan en küçük iki tam sayının toplamı doğrudan ifadeyle eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun tanım k��mesi ve azalan olma koşullarını belirleyin.
Bir g(x)=bxg(x) = b^x fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının 0<b<10 < b < 1 koşulunu sağlaması gerekir. Buradan, 0<a2−4a−5a2−9<10 < \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} < 1 eşitsizlik sistemi elde edilir.
Üstel fonksiyonların tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; azalan olması için ise taban 1'den küçük olmalıdır.
2
Tabanın sıfırdan büyük olması koşulunu (H(a)>0H(a) > 0) çözün.
a2−4a−5a2−9>0  ⟹  (a−5)(a+1)(a−3)(a+3)>0\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} > 0 \implies \frac{(a-5)(a+1)}{(a-3)(a+3)} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=−3,−1,3,5a = -3, -1, 3, 5 olup işaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−∞,−3)∪(−1,3)∪(5,∞)(-\infty, -3) \cup (-1, 3) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Üstel fonksiyon tanımı gereği taban daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Tabanın 1'den küçük olması koşulunu (H(a)<1H(a) < 1) çözün.
a2−4a−5a2−9<1  ⟹  a2−4a−5−(a2−9)a2−9<0  ⟹  4(1−a)(a−3)(a+3)<0\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} < 1 \implies \frac{a^2 - 4a - 5 - (a^2 - 9)}{a^2 - 9} < 0 \implies \frac{4(1-a)}{(a-3)(a+3)} < 0 eşitsizliğinin kökleri a=−3,1,3a = -3, 1, 3 olup işaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−3,1)∪(3,∞)(-3, 1) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun azalan karakterde olması için taban değerinin 1'den küçük olması gerekir.
4
Elde edilen iki çözüm kümesinin kesişimini bulun ve bu aralıktaki en küçük iki farklı tam sayıyı belirleyin.
Kesişim kümesi I=((−∞,−3)∪(−1,3)∪(5,∞))∩((−3,1)∪(3,∞))=(−1,1)∪(5,∞)I = \Big( (-\infty, -3) \cup (-1, 3) \cup (5, \infty) \Big) \cap \Big( (-3, 1) \cup (3, \infty) \Big) = (-1, 1) \cup (5, \infty) olur. Bu aralıktaki en küçük iki farklı tam sayı a=0a = 0 ve a=6a = 6'dır. Toplamları ise 0+6=60 + 6 = 6 bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.
Her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerektiğinden ortak çözüm kümesi alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonun tanım kümesi sınırları (b>0b > 0, b≠1b \neq 1) ile azalanlık koşulunun (0<b<10 < b < 1) eşitsizlik sistemleri yardımıyla incelenmesi.
ÖncekiSayfa 3 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin