Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 21Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x2−3x)+2log⁡2(x−1)−2≤0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2}{\log_2(x-1) - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 10'dur.
Eşitsizliğin tanım kümesi x>3x > 3 olup, payın kökü x=4x = 4 ve paydanın tanımsızlık noktası x=5x = 5'tir. Bu sınırlar doğrultusunda yapılan işaret tablosunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu en geniş küme (3,4]∪(5,∞)(3, 4] \cup (5, \infty) şeklinde elde edilir. Bu kümede yer alan en küçük iki pozitif tam sayı 4 ve 6'dır. Toplamları ise 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım Kümesinin Belirlenmesi
x2−3x>0⇒x<0x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x < 0 veya x>3x > 3
x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

Her iki şartın kesişimi olan en geniş tanım kümesi: x>3x > 3 aralığıdır.
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Payın Köklerinin Bulunması
log⁡12(x2−3x)+2=0⇒log⁡12(x2−3x)=−2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) + 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) = -2
x2−3x=(12)−2=4x^2 - 3x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4
x2−3x−4=0⇒(x−4)(x+1)=0x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) = 0
Buradan kökler x=4x = 4 ve x=−1x = -1 olarak bulunur. Tanım kümemiz x>3x > 3 olduğundan yalnızca x=4x = 4 geçerli bir köktür.
Payın sıfır olduğu noktalar, eşitsizlik ifadesinin işaret değiştirebileceği ve eşitlik durumunda çözüm kümesine dahil edilebilecek kritik noktalardır.
3
Paydanın Köklerinin Bulunması
log⁡2(x−1)−2=0⇒log⁡2(x−1)=2\log_2(x-1) - 2 = 0 \Rightarrow \log_2(x-1) = 2
x−1=22=4⇒x=5x-1 = 2^2 = 4 \Rightarrow x = 5
x=5x = 5 değeri paydayı sıfır yaptığı için ifadeyi tanımsız kılar ve çözüm kümesine dahil edilemez.
Paydanın sıfır olduğu noktalar tanımsızlık noktalarıdır ve işaret tablosunda çift çizgi ile gösterilip çözüm kümesine asla dahil edilmezler.
4
İşaret Tablosunun Oluşturulması ve Çözüm Kümesinin Belirlenmesi
x>3x > 3 tanım aralığında kritik noktalarımız x=4x = 4 ve x=5x = 5'tir.

- 3<x<43 < x < 4 için: Pay pozitif, payda negatif olduğundan bölüm negatiftir (−-).
- x=4x = 4 için: Pay sıfır, payda negatif olduğundan bölüm sıfırdır (00).
- 4<x<54 < x < 5 için: Pay negatif, payda negatif olduğundan bölüm pozitiftir (++).
- x=5x = 5 için: Payda sıfır olduğundan ifade tanımsızdır.
- x>5x > 5 için: Pay negatif, payda pozitif olduğundan bölüm negatiftir (−-).

Bizden ifadenin ≤0\leq 0 olması istendiği için en geniş çözüm kümesi: (3,4]∪(5,∞)(3, 4] \cup (5, \infty) olarak bulunur.
İşaret tablosu yardımıyla rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaretleri analiz edilerek eşitsizliğin sağlandığı bölgeler tespit edilir.
5
En Küçük İki Pozitif Tam Sayının Bulunması ve Toplanması
(3,4](3, 4] aralığındaki tek tam sayı çözümümüz x=4x = 4'tür.
(5,∞)(5, \infty) aralığındaki en küçük tam sayı çözümümüz ise x=6x = 6'dır (x=5x = 5 tanımsızlık nedeniyle dahil değildir).

En küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı: 4+6=104 + 6 = 10 bulunur.
Bulunan en geniş çözüm kümesi üzerindeki en küçük iki pozitif tam sayı tespit edilerek soruda istenen toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡4x=log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡4x+log⁡4x⋅log⁡2x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_4 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_2 x denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır, çünkü denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {1,24}\{1, 24\} olmak üzere iki elemanlıdır.
Verilen ifade yanlıştır. Çünkü denklemin x=1x = 1 ve x=24x = 24 olmak üzere iki farklı gerçel kökü vardır; dolayısıyla çözüm kümesi tek elemanlı değil, iki elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanım kümesini belirlemek için logaritma fonksiyonlarının argümanlarını kontrol edin.
x>0x > 0 olmalıdır. Bu durumda x=1x = 1 ve x=24x = 24 gibi pozitif değerler tanım kümesine dahildir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Denklemdeki logaritma terimlerini ortak bir tabana (örneğin doğal logaritma tabanı olan ee'ye) dönüştürün.
ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3⋅ln⁡xln⁡4=ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3+ln⁡xln⁡3⋅ln⁡xln⁡4+ln⁡xln⁡4⋅ln⁡xln⁡2\frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} = \frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} + \frac{\ln x}{\ln 3} \cdot \frac{\ln x}{\ln 4} + \frac{\ln x}{\ln 4} \cdot \frac{\ln x}{\ln 2}
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek.
3
Eşitliğin her iki tarafını (ln⁡x)2(\ln x)^2 ortak parantezine alarak kökleri inceleyin.
(ln⁡x)2⋅[ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4−(1ln⁡2⋅ln⁡3+1ln⁡3⋅ln⁡4+1ln⁡4⋅ln⁡2)]=0(\ln x)^2 \cdot \left[ \frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} - \left( \frac{1}{\ln 2 \cdot \ln 3} + \frac{1}{\ln 3 \cdot \ln 4} + \frac{1}{\ln 4 \cdot \ln 2} \right) \right] = 0
Ortak çarpan parantezine alarak denklemi sıfıra eşitleyen kökleri belirlemek.
4
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
İlk çarpan için: (ln⁡x)2=0  ⟹  ln⁡x=0  ⟹  x1=1(\ln x)^2 = 0 \implies \ln x = 0 \implies x_1 = 1. İkinci çarpan için parantez içi sıfıra eşitlendiğinde: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4=ln⁡4+ln⁡2+ln⁡3ln⁡2⋅ln⁡3⋅ln⁡4  ⟹  ln⁡x=ln⁡(4⋅2⋅3)=ln⁡24  ⟹  x2=24\frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} = \frac{\ln 4 + \ln 2 + \ln 3}{\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4} \implies \ln x = \ln(4 \cdot 2 \cdot 3) = \ln 24 \implies x_2 = 24
Çarpımın sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yapılırken kök kaybını önlemek için tanım kümesi kontrolü.
Soru 23Soru →
Bir çözeltinin asitlik derecesini belirten pH değeri ile çözeltideki hidrojen iyonu derişimi [H+][H^+] (mol/litre) arasındaki ilişki
pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]
formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, pH değeri 33 olan portakal suyunun hidrojen iyonu derişimi, pH değeri 55 olan sade kahvenin hidrojen iyonu derişiminin kaç katıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Portakal suyunun hidrojen iyonu derişimi, sade kahvenin hidrojen iyonu derişiminin 100 katıdır.
Portakal suyunun pH değeri 3 olduğundan hidrojen iyonu derişimi 10−310^{-3} mol/litre olur. Sade kahvenin pH değeri 5 olduğundan hidrojen iyonu derişimi 10−510^{-5} mol/litre olur. Bu değerler oranlandığında portakal suyunun hidrojen iyonu derişiminin sade kahveninkinin 100 katı olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
pH formülü kullanılarak portakal suyu ve sade kahvenin hidrojen iyonu derişimleri [H+][H^+] hesaplanır.
Portakal suyu için 3=−log⁡[H+]P⇒[H+]P=10−33 = -\log[H^+]_P \Rightarrow [H^+]_P = 10^{-3} mol/litre. Sade kahve için 5=−log⁡[H+]K⇒[H+]K=10−55 = -\log[H^+]_K \Rightarrow [H^+]_K = 10^{-5} mol/litre.
Derişimler arası karşılaştırma yapabilmek için öncelikle her iki maddenin derişim değerleri bulunmalıdır.
2
Bulunan derişim değerleri birbirine oranlanır.
10−310−5=10−3−(−5)=102=100\frac{10^{-3}}{10^{-5}} = 10^{-3 - (-5)} = 10^2 = 100 bulunur.
Portakal suyunun derişiminin sade kahvenin derişiminin kaç katı olduğunu bulmak için oranlama yapılır.

Anahtar Kavram

Logaritmik pH formülü üzerinden çözeltilerin hidrojen iyonu derişimlerinin hesaplanması ve karşılaştırılması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 24Soru →
log⁡13(x2−2x)+1log⁡2(x−1)−2≤0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) + 1}{\log_2(x - 1) - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı 16'dır.
Eşitsizliğin tanım kümesi D=(2,∞)D = (2, \infty) olup, payın kökü 33 (dahil) ve paydanın kökü 55 (hariç) noktalarıdır. İşaret tablosu yapıldığında negatif bölgeler (2,3](2, 3] ve (5,∞)(5, \infty) aralıklarıdır. Bu aralıklardaki en küçük üç pozitif tam sayı 3,6,73, 6, 7 olup toplamları 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
Tanım kümesi D=(2,∞)D = (2, \infty) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması gerekir. x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 koşullarının kesişimi alınır.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın tanımlı kökü x=3x = 3, paydanın kökü ise x=5x = 5 olarak elde edilir.
Payın sıfıra eşitlenmesiyle log⁡1/3(x2−2x)=−1  ⟹  x2−2x=3  ⟹  x=3\log_{1/3}(x^2 - 2x) = -1 \implies x^2 - 2x = 3 \implies x = 3 (diğer kök −1-1 tanım kümesi dışındadır). Paydanın sıfıra eşitlenmesiyle log⁡2(x−1)=2  ⟹  x−1=4  ⟹  x=5\log_2(x - 1) = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x = 5 elde edilir.
3
İşaret tablosu oluşturma
İşaretler sırasıyla (2,3](2, 3] aralığında negatif, (3,5)(3, 5) aralığında pozitif, (5,∞)(5, \infty) aralığında negatif olur.
Tanım kümesi olan (2,∞)(2, \infty) üzerinde kökler 33 ve 55 noktalarına göre işaret inceleir. Eşitsizliğin ≤0\leq 0 olması istendiğinden çözüm kümesi S=(2,3]∪(5,∞)S = (2, 3] \cup (5, \infty) olarak belirlenir.
4
Koşulu sağlayan tam sayıları belirleme ve toplama
Toplam 3+6+7=163 + 6 + 7 = 16 bulunur.
Çözüm kümesindeki en küçük üç pozitif tam sayı 33 (dahil), 66 (açık aralıktan sonraki ilk tam sayı) ve 77 sayılarıdır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi sınırlamaları ve işaret tablosu yöntemi
Soru 25Soru →
log⁡2(x−3)+log⁡2(x−1)=log⁡2(x2−9)−1\log_2(x - 3) + \log_2(x - 1) = \log_2(x^2 - 9) - 1

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{5\}

Cevap

Sadece 5 elemanını barındıran çözüm kümesidir.
Verilen logaritmik denklemin tanım aralığı x>3x > 3 gerçel sayılarıdır. Logaritma özellikleri kullanılarak sadeleştirilen denklemden x2−8x+15=0x^2 - 8x + 15 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri 33 ve 55 olup, logaritmayı tanımlı kılan tek değer 55 olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemandan oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanım kümesini belirlemek amacıyla logaritma fonksiyonlarının içindeki ifadelerin pozitif olması koşulunu yazarız.
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3, x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve x2−9>0  ⟹  x>3x^2 - 9 > 0 \implies x > 3 veya x<−3x < -3 bulunur. Bu koşulların kesişimi alındığında denklemin geçerli olduğu tanım kümesi x>3x > 3 olarak belirlenir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak denklemin sol ve sağ tarafını tek bir logaritma altında düzenleriz.
log⁡2((x−3)(x−1))=log⁡2(x2−9)−log⁡22  ⟹  log⁡2((x−3)(x−1))=log⁡2(x2−92)\log_2((x - 3)(x - 1)) = \log_2(x^2 - 9) - \log_2 2 \implies \log_2((x - 3)(x - 1)) = \log_2\left(\frac{x^2 - 9}{2}\right) elde edilir.
Logaritma tabanları aynı olduğunda toplama işlemi argümanların çarpımına, çıkarma işlemi ise argümanların bölümüne eşittir.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki logaritma ifadelerini kaldırarak argümanları birbirine eşitleriz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözeriz.
(x−3)(x−1)=x2−92  ⟹  2(x2−4x+3)=x2−9  ⟹  2x2−8x+6=x2−9  ⟹  x2−8x+15=0(x - 3)(x - 1) = \frac{x^2 - 9}{2} \implies 2(x^2 - 4x + 3) = x^2 - 9 \implies 2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 9 \implies x^2 - 8x + 15 = 0 elde edilir. Bu denklem (x−3)(x−5)=0(x - 3)(x - 5) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kök adayları x=3x = 3 veya x=5x = 5 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun bire bir olmasından dolayı, tabanları eşit olan logaritmik ifadelerin iç kısımları da birbirine eşit olmalıdır.
4
Bulunan aday köklerin başta elde edilen tanım kümesi (x>3x > 3) koşuluna uygunluğunu denetleriz.
x=3x = 3 değeri logaritma argümanlarını sıfır yaptığı için tanımsızlık oluşturur ve elenir. x=5x = 5 değeri ise 5>35 > 3 koşulunu sağladığı için geçerli köktür. Bu durumda denklemin çözüm kümesi {5}\{5\} olur.
Bir denklemin kökünün çözüm kümesine alınabilmesi için orijinal denklemdeki tüm fonksiyonları tanımlı kılması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemler ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−3x−10x−1)f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x-1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

−1-1
Doğru cevap −1-1'dir. Taban koşullarından x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Argümanın pozitiflik şartından ise (−2,1)∪(5,∞)(-2, 1) \cup (5, \infty) aralıkları elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi (−2,1)∪(5,6)(-2, 1) \cup (5, 6) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar yalnızca −1-1 ve 00'dır. Bu sayıların toplamı da −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban şartını belirlemek.
6−x>0  ⟹  x<66-x > 0 \implies x < 6 ve 6−x≠1  ⟹  x≠56-x \neq 1 \implies x \neq 5 elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmak zorundadır.
2
Argüman şartını belirlemek ve çarpanlara ayırmak.
x2−3x−10x−1>0  ⟹  (x−5)(x+2)x−1>0\frac{x^2 - 3x - 10}{x-1} > 0 \implies \frac{(x-5)(x+2)}{x-1} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır. İşaret tablosu yapmak için ifade çarpanlarına ayrılır.
3
Eşitsizlik köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak.
Kökler x=−2x = -2, x=1x = 1 ve x=5x = 5'tir. İşaret tablosunda en sağ bölge pozitif (+)(+) ile başlar ve köklerde işaret değiştirilerek aralıklar (−2,1)∪(5,∞)(-2, 1) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeleri saptamak için k��kler bulunup işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman şartlarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirlemek.
x∈(−2,1)∪(5,6)x \in (-2, 1) \cup (5, 6) elde edilir.
Fonksiyonun her iki şartı da aynı anda sağlaması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplamak.
Tanım kümesindeki tam sayılar −1-1 ve 00'dır. Toplamları: (−1)+0=−1(-1) + 0 = -1.
Belirlenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Bu şartlar rasyonel eşitsizlik çözümüyle kesiştirilir.
Soru 27Soru →
1'den farklı xx, yy ve zz pozitif gerçel sayıları için
log⁡x(y2z)=3\log_x(y^2 z) = 3
log⁡y(xz2)=4\log_y(x z^2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve doğrusal sistemin çözülmesiyle elde edilen değer 3'tür.
Verilen eşitlikler taban değiştirme kuralı ile çözüldüğünde değişkenlerin logaritmaları arasında a=87ba = \frac{8}{7}b ve c=107bc = \frac{10}{7}b ilişkisi bulunur. İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesinde bu oranlar yerine yazıldığında sonuç 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritmik ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla yazalım.
log⁡x(y2z)=2log⁡y+log⁡zlog⁡x=3\log_x(y^2 z) = \frac{2\log y + \log z}{\log x} = 3
log⁡y(xz2)=log⁡x+2log⁡zlog⁡y=4\log_y(x z^2) = \frac{\log x + 2\log z}{\log y} = 4
Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve çarpım özellikleri kullanılarak ifadeler ortak bir tabana aktarılır.
2
Kolaylık sağlaması amacıyla log⁡x=a\log x = a, log⁡y=b\log y = b ve log⁡z=c\log z = c değişken değiştirmelerini yapalım ve denklemleri düzenleyelim.
2b+c=3a  ⟹  3a−2b−c=02b + c = 3a \implies 3a - 2b - c = 0
a+2c=4b  ⟹  a−4b+2c=0a + 2c = 4b \implies a - 4b + 2c = 0
Logaritmik ifadeleri doğrusal denklem sistemine dönüştürerek çözümü kolaylaştırmak.
3
Birinci denklemden cc değişkenini aa ve bb cinsinden çekip ikinci denklemde yerine yazalım.
c=3a−2bc = 3a - 2b
a+2(3a−2b)=4b  ⟹  7a=8b  ⟹  a=87ba + 2(3a - 2b) = 4b \implies 7a = 8b \implies a = \frac{8}{7}b
Değişkenleri birbirleri cinsinden ifade ederek tek bir değişkene indirgemek.
4
Bulduğumuz a=87ba = \frac{8}{7}b değerini c=3a−2bc = 3a - 2b eşitliğinde yerine yazarak cc değerini de bb cinsinden bulalım.
c=3(87b)−2b=107bc = 3\left(\frac{8}{7}b\right) - 2b = \frac{10}{7}b
Tüm değişkenleri tek bir parametreye (bb) bağlı hale getirmek.
5
İstenen log⁡z(x2y2)\log_z(x^2 y^2) ifadesini taban değiştirme kuralı ile a,b,ca, b, c cinsinden yazıp bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
log⁡z(x2y2)=2log⁡x+2log⁡ylog⁡z=2a+2bc\log_z(x^2 y^2) = \frac{2\log x + 2\log y}{\log z} = \frac{2a + 2b}{c}
2(87b)+2b107b=307b107b=3\frac{2\left(\frac{8}{7}b\right) + 2b}{\frac{10}{7}b} = \frac{\frac{30}{7}b}{\frac{10}{7}b} = 3
İstenen ifadeyi ortak tabandaki değişkenler cinsinden hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Verilen eşitlikler üstel fonksiyona dönüştürülerek de çözülebilir: log⁡x(y2z)=3  ⟹  y2z=x3\log_x(y^2 z) = 3 \implies y^2 z = x^3 ve log⁡y(xz2)=4  ⟹  xz2=y4\log_y(x z^2) = 4 \implies x z^2 = y^4 olur. İlk eşitlikten z=x3y2z = \frac{x^3}{y^2} çekilip ikinci eşitlikte yerine yazılırsa x⋅(x3y2)2=y4  ⟹  x7=y8  ⟹  x=y8/7x \cdot \left(\frac{x^3}{y^2}\right)^2 = y^4 \implies x^7 = y^8 \implies x = y^{8/7} elde edilir. Buradan z=y10/7z = y^{10/7} bulunur. İstenen ifade log⁡z(x2y2)=log⁡y10/7(y16/7⋅y2)=log⁡y10/7(y30/7)=30/710/7=3\log_z(x^2 y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{16/7} \cdot y^2) = \log_{y^{10/7}}(y^{30/7}) = \frac{30/7}{10/7} = 3 şeklinde hesaplanır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 28Soru →
3⋅9x−10⋅3x+3=03 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 denkleminin gerçel köklerinin çarpımı −1-1'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, denklemin gerçel köklerinin çarpımı -1'dir.
Verilen ifade doğrudur çünkü denklemin gerçel kökleri x=1x = 1 ve x=−1x = -1 olup çarpımları −1-1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemde uygun bir değişken dönüşümü yaparak denklemi ikinci dereceden denklem formuna getirin.
3x=t3^x = t (t>0t > 0) dönüşümü uygulanırsa 9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 olur. Denklem 3t2−10t+3=03t^2 - 10t + 3 = 0 halini alır.
Üstel denklemi çözülebilir ikinci dereceden bir cebirsel denkleme dönüştürmek amacıyla.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.
3t2−10t+3=0  ⟹  (3t−1)(t−3)=03t^2 - 10t + 3 = 0 \implies (3t - 1)(t - 3) = 0 eşitliğinden t1=3t_1 = 3 ve t2=13t_2 = \frac{1}{3} elde edilir.
tt değişkenine bağlı denklemin köklerini belirlemek amacıyla.
3
Bulunan tt değerlerini kullanarak asıl değişken olan xx değerlerini (köklerini) hesaplayın.
3x=3  ⟹  x1=13^x = 3 \implies x_1 = 1 ve 3x=13  ⟹  x2=−13^x = \frac{1}{3} \implies x_2 = -1 gerçel kökleri elde edilir.
3x=t3^x = t dönüşümünü geri alarak asıl denklemin çözüm kümesine ulaşmak için.
4
Elde edilen gerçel köklerin çarpımını hesaplayarak ifadenin doğruluğunu kontrol edin.
x1⋅x2=1⋅(−1)=−1x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1 bulunur.
Denklemin kökler çarpımı iddiasının doğruluğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemiyle üstel denklemlerin çözümü ve kök özelliklerinin incelenmesi
Soru 29Soru →
f(x)=log⁡∣x−5∣(35+2x−x2)f(x) = \log_{|x-5|}(35 + 2x - x^2)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı −4-4 olur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabandaki ∣x−5∣|x-5| ifadesinin sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir. Bu durumda xx değeri 44, 55 ve 66 olamaz. Aynı zamanda argümandaki 35+2x−x235 + 2x - x^2 ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde −5<x<7-5 < x < 7 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılardan 4,5,64, 5, 6 değerleri hariç tutulup geri kalan −4,−3,−2,−1,0,1,2,3-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 sayıları toplandığında elde edilen sonuç −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitif ve 1'den farklı olma şartını inceleme
x≠4x \neq 4, x≠5x \neq 5 ve x≠6x \neq 6
Logaritma tanımı gereği taban ∣x−5∣>0|x-5| > 0 ve ∣x−5∣≠1|x-5| \neq 1 olmalıdır.
2
Logaritması alınan ifadenin pozitif olma şartını inceleme
x∈(−5,7)x \in (-5, 7)
Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır, yani 35+2x−x2>035 + 2x - x^2 > 0 eşitsizliği sağlanmalıdır.
3
Elde edilen koşulları kesiştirip tam sayı değerlerini toplama
Toplam = −4-4
(−5,7)(-5, 7) aralığındaki tam sayılardan 4,54, 5 ve 66 değerleri hariç tutularak kalan tam sayıların toplamı alınır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.
Soru 30Soru →
log⁡3(x+5)⋅log⁡12(x2−4x+4)−23−33−x≥0\log_3(x + 5) \cdot \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) - 2}{3 - 3^{3-x}} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı −9-9'dur.
Logaritmik tanım kümeleri ve payda sınırları dikkate alındığında eşitsizliğin çözüm kümesi [−4,1.5]∪(2,2.5][-4, 1.5] \cup (2, 2.5] olur. Bu kümedeki tam sayılar sadece [−4,1.5][-4, 1.5] aralığından gelen −4,−3,−2,−1,0,1-4, -3, -2, -1, 0, 1 sayılarıdır ve toplamları −9-9 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi D=(−5,∞)∖{2}D = (-5, \infty) \setminus \{2\} olarak bulunur.
log⁡3(x+5)\log_3(x+5) ifadesinin tanımlı olması için x+5>0  ⟹  x>−5x + 5 > 0 \implies x > -5 olmalıdır. log⁡12(x2−4x+4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) ifadesinin tanımlı olması için x2−4x+4>0  ⟹  (x−2)2>0  ⟹  x≠2x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x-2)^2 > 0 \implies x \neq 2 olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfır olmaması gerektiğinden 3−33−x≠0  ⟹  3−x≠1  ⟹  x≠23 - 3^{3-x} \neq 0 \implies 3-x \neq 1 \implies x \neq 2 olmalıdır.
2
Çarpanların köklerini ve işaretlerini analiz etmek
Kritik noktalar ve işaret durumları belirlendi.
1) log⁡3(x+5)=0  ⟹  x=−4\log_3(x+5) = 0 \implies x = -4. İfade x>−4x > -4 için pozitif, −5<x<−4-5 < x < -4 için negatiftir.
2) log⁡12(x2−4x+4)−2=0  ⟹  (x−2)2=1/4  ⟹  x=1.5\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) - 2 = 0 \implies (x-2)^2 = 1/4 \implies x = 1.5 veya x=2.5x = 2.5. Logaritma tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan, 1.5<x<2.51.5 < x < 2.5 (ve x≠2x \neq 2) aralığında bu çarpan pozitif, x<1.5x < 1.5 veya x>2.5x > 2.5 durumlarında negatiftir.
3) 3−33−x=0  ⟹  x=23 - 3^{3-x} = 0 \implies x = 2. Payda ifadesi x>2x > 2 için pozitif, x<2x < 2 için negatiftir.
3
İşaret tablosu oluşturmak
En geniş çözüm kümesi [−4,1.5]∪(2,2.5][-4, 1.5] \cup (2, 2.5] olarak elde edilir.
Belirlenen kökler tablolandığında:
- (−5,−4)(-5, -4) aralığında: (−)⋅(−)/(−)=(−)(-) \cdot (-) / (-) = (-)
- [−4,1.5][-4, 1.5] aralığında: (+)⋅(−)/(−)=(+)(+) \cdot (-) / (-) = (+)
- (1.5,2)(1.5, 2) aralığında: (+)⋅(+)/(−)=(−)(+) \cdot (+) / (-) = (-)
- (2,2.5](2, 2.5] aralığında: (+)⋅(+)/(+)=(+)(+) \cdot (+) / (+) = (+)
- (2.5,∞)(2.5, \infty) aralığında: (+)⋅(−)/(+)=(−)(+) \cdot (-) / (+) = (-)
Eşitsizlik sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirdiğinden pozitif aralıklar seçilir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları toplamak
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı −9-9 olarak bulunur.
[−4,1.5][-4, 1.5] aralığındaki tam sayılar −4,−3,−2,−1,0,1-4, -3, -2, -1, 0, 1 şeklindedir. (2,2.5](2, 2.5] aralığında hiçbir tam sayı bulunmaz. Bu tam sayıların toplamı ise (−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1=−9(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma tabanının 00 ile 11 arasında olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi, logaritma tanım kümesi şartları ve rasyonel eşitsizliklerde payda kökünün dışlanması.
Soru 31Soru →
f(x)=(2a−6a+2)xf(x) = \left( \frac{2a - 6}{a + 2} \right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir üstel fonksiyon belirttiğine göre, aa parametresinin [3,9][3, 9] kapalı aralığında alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

İstenen tam sayı değerlerinin toplamı 31'dir.
Üstel fonksiyon tanımına göre, taban ifadesinin sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir. Bu iki şart analiz edildiğinde a>3a > 3 ve a≠8a \neq 8 koşullarına ulaşılır. [3,9][3, 9] kapalı aralığındaki tam sayılardan bu koşulları sağlayanlar 4,5,6,74, 5, 6, 7 ve 99 değerleridir. Bu sayıların toplamı 31'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanım koşullarını belirleme
Taban b=2a−6a+2b = \frac{2a - 6}{a + 2} olmak üzere, üstel fonksiyon tanımı gereği b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır.
Bir fonksiyonun gerçel sayılarda tanımlı üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olması zorunludur.
2
Tabanın pozitif olma koşulunu (b>0b > 0) çözme
2a−6a+2>0\frac{2a - 6}{a + 2} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=3a = 3 ve a=−2a = -2'dir. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin pozitif olduğu aralık a∈(−∞,−2)∪(3,∞)a \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olduğu aralıkları bulmak için pay ve paydanın köklerine göre işaret tablosu oluşturulur.
3
Tabanın 1'den farklı olma koşulunu (b≠1b \neq 1) çözme
2a−6a+2≠1  ⟹  2a−6≠a+2  ⟹  a≠8\frac{2a - 6}{a + 2} \neq 1 \implies 2a - 6 \neq a + 2 \implies a \neq 8 elde edilir.
Taban 1 olduğunda fonksiyon üstel fonksiyon özelliğini kaybedip sabit fonksiyona dönüşür.
4
Koşulları birleştirme ve aralıktaki değerleri filtreleme
aa parametresi (−∞,−2)∪(3,∞)∖{8}(-\infty, -2) \cup (3, \infty) \setminus \{8\} kümesinde olmalıdır. Bu kümenin [3,9][3, 9] kapalı aralığındaki tam sayı elemanları sırasıyla 4,5,6,74, 5, 6, 7 ve 99 sayılarıdır.
33 değeri tabanı 00 yaptı��ından, 88 değeri ise tabanı 11 yaptığından çözüm kümesinden çıkarılır.
5
Farklı tam sayı değerlerini toplama
4+5+6+7+9=314 + 5 + 6 + 7 + 9 = 31
Koşulları sağlayan tüm uygun tam sayı değerlerinin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların tanım kümesi kuralları ve taban özellikleri
Soru 32Soru →
log⁡x(x2−2)=log⁡x2−2(x)\log_x(x^2 - 2) = \log_{x^2 - 2}(x)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1+51 + \sqrt{5}

Cevap

Denklemi sağlayan geçerli gerçel köklerin çarpımı 1+51 + \sqrt{5} değerine eşittir.
Denklemin tanım aralığı incelendiğinde x>2x > \sqrt{2} ve x≠3x \neq \sqrt{3} koşulları elde edilir. log⁡x(x2−2)=t\log_x(x^2 - 2) = t dönüşümüyle elde edilen t=1t = 1 ve t=−1t = -1 durumları çözüldüğünde, tanım aralığına uygun olan köklerin sadece 22 ve 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} olduğu görülür. Bu iki kökün çarpımı ise 1+51 + \sqrt{5} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek için taban ve argüman kurallarını uygulayın.
x>2x > \sqrt{2} ve x≠3x \neq \sqrt{3} olmalıdır.
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritma içi (argümanı) ise pozitif olmalıdır. Buradan x>0x > 0, x≠1x \neq 1, x2−2>0  ⟹  x>2x^2 - 2 > 0 \implies x > \sqrt{2} ve x2−2≠1  ⟹  x≠3x^2 - 2 \neq 1 \implies x \neq \sqrt{3} koşulları birleştirilir.
2
log⁡x(x2−2)=t\log_x(x^2 - 2) = t değişken dönüşümünü yaparak denklemi düzenleyin.
t=1t  ⟹  t2=1  ⟹  t=1t = \frac{1}{t} \implies t^2 = 1 \implies t = 1 veya t=−1t = -1 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı gereği log⁡a(b)=1log⁡b(a)\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)} özelliğinden yararlanılır.
3
t=1t = 1 durumu için denklemi çözün ve tanım kümesine uygunluğunu inceleyin.
x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=2x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2 veya x=−1x = -1. Tanım kümesine göre sadece x=2x = 2 geçerlidir.
x=−1x = -1 değeri x>2x > \sqrt{2} koşulunu sağlamadığından elenir.
4
t=−1t = -1 durumu için denklemi çözün ve tanım kümesine uygunluğunu inceleyin.
x2−2=x−1  ⟹  x3−2x−1=0  ⟹  (x+1)(x2−x−1)=0x^2 - 2 = x^{-1} \implies x^3 - 2x - 1 = 0 \implies (x+1)(x^2 - x - 1) = 0 denkleminden x=1+52x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} kökü elde edilir.
x=−1x = -1 ve x=1−52x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} kökleri negatif olduğundan elenir. Pozitif olan x=1+52≈1.618x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 değeri 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414 ile 3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732 arasında kaldığı için tanım kümesine uygundur.
5
Bulunan geçerli köklerin çarpımını hesaplayın.
2⋅1+52=1+52 \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5} bulunur.
Denklemin çözüm kümesi {2,1+52}\{2, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\} elemanlarından oluşur.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemiyle logaritmik denklemlerin çözümü ve tanım kümesi kontrolü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →
log⁡x−3(x−1)+log⁡x−1(x−3)=52\log_{x-3}(x-1) + \log_{x-1}(x-3) = \frac{5}{2} denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{5\}

Cevap

Sadece 5 elemanını içeren küme
Çözüm kümesinde yalnızca 5 elemanının bulunması doğrudur. Denklemin çözümünden elde edilen 2 ve 5 aday köklerinden 2 değeri logaritmanın tabanını negatif yaptığından elenir, geriye yalnızca 5 değeri kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümesi koşullarını belirlemek.
x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4 olmalıdır.
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise pozitif olmalıdır.
2
Taban değiştirme özelliğini kullanarak denklemi aynı tabanda yazmak ve değişken dönüştürmek.
log⁡x−3(x−1)=t\log_{x-3}(x-1) = t denilirse, log⁡x−1(x−3)=1t\log_{x-1}(x-3) = \frac{1}{t} olur. Buradan t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} denklemi elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} denklemini payda eşitleyerek ikinci dereceden denklem formuna getirmek ve çözmek.
2t2−5t+2=0  ⟹  (2t−1)(t−2)=02t^2 - 5t + 2 = 0 \implies (2t - 1)(t - 2) = 0 elde edilir. Buradan t=2t = 2 veya t=12t = \frac{1}{2} bulunur.
Rasyonel denklemi standart ikinci dereceden denkleme dönüştürüp köklerini bulmak.
4
Bulunan tt değerlerini kullanarak xx değişkenini elde etmek.
t=2t = 2 için (x−3)2=x−1  ⟹  x2−7x+10=0  ⟹  x=2(x-3)^2 = x-1 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \implies x=2 veya x=5x=5 bulunur. t=12t = \frac{1}{2} için (x−1)2=x−3  ⟹  x2−3x+4=0(x-1)^2 = x-3 \implies x^2 - 3x + 4 = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur (Δ<0\Delta < 0).
Değişken dönüşümünü geri alarak xx aday köklerini bulmak.
5
Aday köklerin 1. adımda belirlenen tanım kümesi şartını (x>3x > 3 ve x≠4x \neq 4) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
x=2x = 2 değeri x>3x > 3 şartını sağlamadığı için elenir. x=5x = 5 değeri ise tüm şartları sağlar. Çözüm kümesi {5}\{5\} olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kurallarına uymayan kökleri elemek.

Anahtar Kavram

Logaritma denklemlerinde taban değiştirme özelliği ve tanım kümesi sınırlamaları
Soru 34Soru →
log⁡3(x2−8x+16)−log⁡x−4(1729)=8\log_3(x^2 - 8x + 16) - \log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = 8 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı 38'dir.
Verilen denklemde öncelikle logaritmaların tanımlı olma şartları incelenir. İkinci terimin tabanı olan x−4x-4 ifadesi pozitif ve 11 den farklı olmalıdır. Buradan x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Bu aralıkta x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ilk terim 2log⁡3(x−4)2\log_3(x-4) şeklinde yazılabilir. İkinci terim ise taban değiştirme kuralı kullanılarak 6log⁡3(x−4)\frac{6}{\log_3(x-4)} haline getirilir. Denklemde u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 olur ve kökleri u=1u=1 ile u=3u=3 olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında log⁡3(x−4)=1  ⟹  x=7\log_3(x-4)=1 \implies x=7 ve log⁡3(x−4)=3  ⟹  x=31\log_3(x-4)=3 \implies x=31 elde edilir. Her iki değer de tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin kökleridir ve bu köklerin toplamı 3838 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5
Logaritmanın tanımı gereği, taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, argüman ise pozitif olmalıdır. x−4>0x-4 > 0, x−4≠1x-4 \neq 1 ve x2−8x+16>0x^2-8x+16 > 0 koşullarından bu aralık elde edilir.
2
Logaritma ifadelerini sadeleştirme
log⁡3(x2−8x+16)=2log⁡3(x−4)\log_3(x^2 - 8x + 16) = 2\log_3(x-4) ve −log⁡x−4(1729)=6log⁡3(x−4)-\log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = \frac{6}{\log_3(x-4)}
x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ve x−4>0x-4>0 aralığında çalıştığımızdan kuvvet başa çarpım olarak alınabilir. Taban değiştirme kuralı yardımıyla ikinci logaritma 3 tabanına çevrilir.
3
Değişken değiştirme ve denklem çözümü
u=1u = 1 ve u=3u = 3
u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında elde edilen 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi düzenlenerek u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 ikinci dereceden denklemine dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
xx değerlerini bulma ve tanım kümesi kontrolü
x1=7x_1 = 7 ve x2=31x_2 = 31
u=1  ⟹  log⁡3(x−4)=1  ⟹  x−4=3  ⟹  x=7u = 1 \implies \log_3(x-4) = 1 \implies x-4 = 3 \implies x = 7 olur. u=3  ⟹  log⁡3(x−4)=3  ⟹  x−4=27  ⟹  x=31u = 3 \implies \log_3(x-4) = 3 \implies x-4 = 27 \implies x = 31 olur. Her iki değer de x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 şartını sa��ladığından denklemin kökleridir.
5
Kökler toplamını hesaplama
7+31=387 + 31 = 38
Bulunan geçerli köklerin toplamı alınarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemlerinin tanım kümesi sınırları göz önünde bulundurularak uygulanması.
Soru 35Soru →
log⁡35=a\log_{3} 5 = a olduğuna göre, log⁡1575\log_{15} 75 ifadesinin aa türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1}

Cevap

İfadenin aa türünden eşiti 2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1} olarak bulunur.
Verilen logaritma ifadesi 3 tabanında taban değiştirme kuralı uygulanarak yazıldığında pay kısmı log⁡375\log_3 75, payda kısmı ise log⁡315\log_3 15 olur. 7575 sayısı 52⋅35^2 \cdot 3s\ceklindeyazılıplogaritmakurallarıileac\cıldıg˘ında şeklinde yazılıp logaritma kuralları ile açıldığında 2log⁡35+12\log_3 5 + 1deg˘erinialır.Paydakısmıise değerini alır. Payda kısmı ise 5⋅35 \cdot 3c\carpanlarındandolayı çarpanlarından dolayı log⁡35+1\log_3 5 + 1olur. olur. log⁡35=a\log_3 5 = adeg˘eriyerles\ctirildig˘indedog˘ruoran değeri yerleştirildiğinde doğru oran 2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1}$ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen log⁡1575\log_{15} 75 ifadesine 3 tabanında taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡1575=log⁡375log⁡315\log_{15} 75 = \frac{\log_3 75}{\log_3 15}
Soruda log⁡35\log_3 5 değeri verildiği için ifadeyi 3 tabanına dönüştürmek işlemlerimizi kolaylaştırır.
2
Logaritması alınan 7575 ve 1515 sayıları asal çarpanlarına ayrılır.
75=52⋅375 = 5^2 \cdot 3 ve 15=5⋅315 = 5 \cdot 3
Çarpımın logaritması özelliğini uygulayabilmek için sayılar taban ve bilinen değerler cinsinden çarpanlara ayrılmalıdır.
3
Çarpım ve üs kuralları kullanılarak logaritma ifadeleri açılır.
log⁡375=2log⁡35+log⁡33\log_3 75 = 2\log_3 5 + \log_3 3 ve log⁡315=log⁡35+log⁡33\log_3 15 = \log_3 5 + \log_3 3
log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡by\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y ve log⁡b(xn)=nlog⁡bx\log_b (x^n) = n\log_b x kuralları uygulanmıştır.
4
log⁡35=a\log_3 5 = a ve log⁡33=1\log_3 3 = 1 değerleri elde edilen ifadelerde yerine yazılır.
log⁡375=2a+1\log_3 75 = 2a + 1 ve log⁡315=a+1\log_3 15 = a + 1
Soruda verilen değişken değeri ile temel logaritma özelliği yerleştirilir.
5
Elde edilen değerler oranlanarak sonuca ulaşılır.
2a+1a+1\frac{2a+1}{a+1}
Taban değiştirme kuralı gereği bölme işlemi tamamlanmış olur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Özelliklerin Uygulanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →
log⁡12(x−3)≥−2\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq -2 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 22'dir.
Logaritma tanım kümesi gereği x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Taban 0<1/2<10 < 1/2 < 1 olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir ve x−3≤4  ⟹  x≤7x - 3 \le 4 \implies x \le 7 elde edilir. Bu iki eşitsizlik kesiştirildiğinde 3<x≤73 < x \le 7 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar olan 4, 5, 6 ve 7'nin toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi sınırını belirleme
x>3x > 3
Logaritmanın tanımlı olması için logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Eşitsizliği çözme ve yön değiştirme kuralını uygulama
x≤7x \leq 7
Logaritma tabanı 0 ile 1 arasında (1/2) olduğu için eşitsizlik yön değiştirir.
3
Çözüm aralıklarını birleştirme ve tam sayıları bulma
x∈{4,5,6,7}x \in \{4, 5, 6, 7\}
Tanım kümesi (x>3x > 3) ile eşitsizlik çözümü (x≤7x \leq 7) kesiştirilir.
4
Tam sayıların toplamını hesaplama
22
Bulunan 4, 5, 6 ve 7 tam sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 37Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir xx sayısı için,
xlog⁡23+3log⁡2x−1=12x^{\log_2 3} + 3^{\log_2 x - 1} = 12
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin çözümü sonucunda elde edilen xx değeri 4'tür.
Denklemde yer alan xlog⁡23x^{\log_2 3} terimi, logaritmanın alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} taban-argüman yer değiştirme özelliği kullanılarak 3log⁡2x3^{\log_2 x} şeklinde yazılmıştır. Bu dönüşüm sayesinde denklem 3log⁡2x+3log⁡2x−1=123^{\log_2 x} + 3^{\log_2 x - 1} = 12 haline gelir ve 3log⁡2x⋅(1+1/3)=123^{\log_2 x} \cdot (1 + 1/3) = 12 ortak paranteziyle çözülerek 3log⁡2x=93^{\log_2 x} = 9 bulunur. Buradan log⁡2x=2\log_2 x = 2 ve nihayetinde x=4x = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini denklemdeki ilk terime uygulamak.
xlog⁡23=3log⁡2xx^{\log_2 3} = 3^{\log_2 x} eşitliği elde edilir.
Denklemdeki terimlerin tabanlarını aynı yaparak ortak paranteze alma işlemi uygulayabilmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp ortak çarpan parantezine almak.
3log⁡2x+3log⁡2x3=12⇒3log⁡2x(1+13)=12⇒3log⁡2x⋅43=123^{\log_2 x} + \frac{3^{\log_2 x}}{3} = 12 \Rightarrow 3^{\log_2 x} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 12 \Rightarrow 3^{\log_2 x} \cdot \frac{4}{3} = 12 elde edilir.
Denklemi tek bir üslü ifade cinsinden çözmek için terimler birleştirilir.
3
3log⁡2x=93^{\log_2 x} = 9 denklemini çözerek xx değerini bulmak.
log⁡2x=2⇒x=22=4\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4 elde edilir.
Üslü denklemin tabanları eşitlenerek logaritmalı ifade yalnız bırakılır ve ardından logaritma tanımı uygulanarak xx değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 38Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡x(x⋅y)+log⁡y(xy)=3\log_x(x \cdot y) + \log_y\left(\frac{x}{y}\right) = 3
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,
log⁡x2y+log⁡y2x\log_x^2 y + \log_y^2 x
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

İfadenin değeri 7'dir.
Verilen denklemde logaritmanın çarpım ve bölüm özellikleri kullanıldığında 11 ve −1-1 terimleri birbirini yok eder ve log⁡xy+log⁡yx=3\log_x y + \log_y x = 3 eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında ve taban değiştirme kuralı gereği log⁡xy⋅log⁡yx=1\log_x y \cdot \log_y x = 1 olduğu göz önüne alındığında, aranan kareler toplamının değeri 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri açın.
log⁡x(x⋅y)=log⁡xx+log⁡xy=1+log⁡xy\log_x(x \cdot y) = \log_x x + \log_x y = 1 + \log_x y
ve
log⁡y(xy)=log⁡yx−log⁡yy=log⁡yx−1\log_y\left(\frac{x}{y}\right) = \log_y x - \log_y y = \log_y x - 1
Çarpım durumundaki ifadeleri toplama, bölüm durumundaki ifadeleri ise farka dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeleri verilen ana denklemde yerine yazarak sadeleştirin.
(1+log⁡xy)+(log⁡yx−1)=3⇒log⁡xy+log⁡yx=3(1 + \log_x y) + (\log_y x - 1) = 3 \Rightarrow \log_x y + \log_y x = 3
11 ve −1-1 terimleri birbirini sadeleştirerek toplam ifadesini yalnız bırakır.
3
Karesel toplamı elde etmek amacıyla her iki tarafın karesini alın.
(log⁡xy+log⁡yx)2=32(\log_x y + \log_y x)^2 = 3^2
log⁡x2y+2log⁡xy⋅log⁡yx+log⁡y2x=9\log_x^2 y + 2\log_x y \cdot \log_y x + \log_y^2 x = 9
İstenen kareler toplamına ulaşabilmek için tam kare açılımı yapılması gerekir.
4
Taban değiştirme kuralı yardımıyla çarpım teriminin değerini belirleyip sonucu hesaplayın.
log⁡xy⋅log⁡yx=1\log_x y \cdot \log_y x = 1
olduğundan,
log⁡x2y+2(1)+log⁡y2x=9⇒log⁡x2y+log⁡y2x=7\log_x^2 y + 2(1) + \log_y^2 x = 9 \Rightarrow \log_x^2 y + \log_y^2 x = 7
log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1 özelliği gereğince çarpım teriminin değeri 11'dir.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinin uygulanması ve taban değiştirme kuralı
Soru 39Soru →
1'den farklı bir xx pozitif gerçel sayısı için,
log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x=log⁡2(x2)⋅log⁡3(x3)+log⁡3(x3)⋅log⁡5(x5)+log⁡5(x5)⋅log⁡2(x2)\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2(x^2) \cdot \log_3(x^3) + \log_3(x^3) \cdot \log_5(x^5) + \log_5(x^5) \cdot \log_2(x^2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx tam sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bu eşitliği sağlayan xx tam sayısı 215⋅310⋅562^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 olup, bu sayının sondan 6 basamağı sıfırdır.
Logaritma kuralları (üs başa çarpım olarak geçer, 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a ve tabanlar aynı olduğunda toplam durumundaki logaritmaların içleri çarpılır) doğru bir şekilde uygulandığında x=215⋅310⋅56x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 olarak bulunur. Bu sayının sondan sıfır sayısı ise çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına yani 6'ya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın üs özelliğini (log⁡a(xk)=klog⁡ax\log_a(x^k) = k \log_a x) kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek
log⁡2(x2)=2log⁡2x\log_2(x^2) = 2\log_2 x, log⁡3(x3)=3log⁡3x\log_3(x^3) = 3\log_3 x ve log⁡5(x5)=5log⁡5x\log_5(x^5) = 5\log_5 x olarak bulunur.
Denklemdeki karmaşık ifadeleri sadeleştirmek ve ortak çarpanlar elde etmek için.
2
u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡3xv = \log_3 x ve w=log⁡5xw = \log_5 x değişken değiştirmelerini yapmak ve denklemde yerine yazmak
u⋅v⋅w=(2u)⋅(3v)+(3v)⋅(5w)+(5w)⋅(2u)u \cdot v \cdot w = (2u) \cdot (3v) + (3v) \cdot (5w) + (5w) \cdot (2u) yani uvw=6uv+15vw+10wuuvw = 6uv + 15vw + 10wu denklemi elde edilir.
Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi daha kolay görebilmek için.
3
x≠1x \neq 1 olduğundan u,v,w≠0u, v, w \neq 0 olduğunu belirtip denklemin her iki tarafını uvwuvw ifadesine bölmek
1=15u+10v+6w1 = \frac{15}{u} + \frac{10}{v} + \frac{6}{w} denklemi elde edilir.
Değişkenleri rasyonel terimler halinde yazarak taban değiştirme kuralını uygulayabilmek için.
4
Taban değiştirme özelliğini (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanarak terimleri xx tabanında yazmak
1=15log⁡x2+10log⁡x3+6log⁡x51 = 15\log_x 2 + 10\log_x 3 + 6\log_x 5 denklemi elde edilir.
Logaritmaları aynı tabanda birleştirerek tek bir logaritma ifadesi elde etmek için.
5
Logaritmanın toplama ve üs özelliklerini (log⁡ay+log⁡az=log⁡a(yz)\log_a y + \log_a z = \log_a (yz) ve klog⁡ay=log⁡aykk\log_a y = \log_a y^k) kullanarak denklemi çözmek
1=log⁡x(215⋅310⋅56)  ⟹  x=215⋅310⋅561 = \log_x(2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6) \implies x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 bulunur.
xx değerini açık biçimde elde etmek için.
6
x=215⋅310⋅56x = 2^{15} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak
Sondan sıfır sayısı, sayının çarpanlarındaki 2 ve 5 sayılarından üssü küçük olanına eşittir. min⁡(15,6)=6\min(15, 6) = 6 basamağı sıfırdır.
Sondan sıfır sayısını bulmak için 10 çarpanının adedini belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve üs özellikleri ile sayılar teorisinde asal çarpanlara ayırma prensiplerinin birlikte kullanımı.
Soru 40Soru →
log⁡12(x−1)log⁡3(x−2)−1≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)}{\log_3(x-2) - 1} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 99 dur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 7 olduğundan verilen önerme yanlıştır.
Logaritmanın tanımlı olması için x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır, bu yüzden x=2x=2 paydayı tanımsız yapar. Çözüm kümesindeki tam sayılar yalnızca 33 ve 44 olup toplamları 77'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x>2x > 2 ve x≠5x \neq 5
Logaritmalı ifadelerin tanımlı olması için log⁡12(x−1)\log_{\frac{1}{2}}(x-1) ifadesinden x−1>0⇒x>1x-1 > 0 \Rightarrow x > 1, log⁡3(x−2)\log_3(x-2) ifadesinden x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfırdan farklı olması için log⁡3(x−2)−1≠0⇒x−2≠3⇒x≠5\log_3(x-2) - 1 \neq 0 \Rightarrow x-2 \neq 3 \Rightarrow x \neq 5 olmalıdır.
2
Payın işaretinin incelenmesi
Tanım kümesindeki her xx için pay negatiftir.
Paydaki ifadenin tabanı 12\frac{1}{2} olup 00 ile 11 arasındadır. x>2x > 2 için x−1>1x - 1 > 1 olur. Taban 0<12<10 < \frac{1}{2} < 1 olduğundan log⁡12(x−1)<log⁡12(1)=0\log_{\frac{1}{2}}(x-1) < \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0 elde edilir.
3
Paydanın işaretinin incelenmesi
2<x<52 < x < 5 için payda negatif, x>5x > 5 için payda pozitiftir.
Paydayı sıfır yapan kök log⁡3(x−2)−1=0⇒x=5\log_3(x-2) - 1 = 0 \Rightarrow x = 5'tir. Taban 3>13 > 1 (artan) olduğundan x>5x > 5 için log⁡3(x−2)−1>0\log_3(x-2) - 1 > 0 ve 2<x<52 < x < 5 için log⁡3(x−2)−1<0\log_3(x-2) - 1 < 0 olur.
4
Eşitsizlik çözümünün birleştirilmesi
Çözüm kümesi: (2,5)(2, 5)
Bölümün ≥0\geq 0 olması istenmektedir. Pay daima negatif olduğundan, ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için paydanın negatif (<0< 0) olması gerekir. Bu durumda 2<x<52 < x < 5 elde edilir.
5
Tam sayıların belirlenmesi ve toplamı
Toplam 77 olur.
(2,5)(2, 5) aralığındaki tam sayılar 33 ve 44'tür. Toplamları 3+4=73 + 4 = 7 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi ve tabana göre eşitsizlik yönü tayini.

Alternatif Yöntem

İşaret tablosu yapmadan, payın negatif olduğunu (x>2x > 2 için) görerek, bölümün pozitif olması için paydanın kesinlikle negatif olması gerektiği (x−2<3⇒x<5x-2 < 3 \Rightarrow x < 5) analitik olarak da çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin