Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 61Soru →
f(x)=log⁡x−1(36−x2x+3)f(x) = \log_{x - 1}\left(\frac{36 - x^2}{x + 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 12'dir.
Logaritmanın tanımlı olması için taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2). Argümanın pozitif olması için ise 36−x2x+3>0\frac{36-x^2}{x+3} > 0 eşitsizliği çözüldüğünde x∈(−∞,−6)∪(−3,6)x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 6) elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi olan (1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\} aralığındaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlılık şartlarını belirlemek
x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın pozitiflik şartını yazmak
36−x2x+3>0\frac{36 - x^2}{x + 3} > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı pozitif olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak
Kökler: x=−6x = -6, x=−3x = -3, x=6x = 6; Çözüm aralığı: (−∞,−6)∪(−3,6)(-\infty, -6) \cup (-3, 6)
Rasyonel ifadenin işaretini belirlemek amacıyla pay ve payda kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini elde etmek
(1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\}
Hem taban koşullarının hem de argümanın pozitiflik koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3,4,53, 4, 5 tam sayıları; Toplam: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12
Elde edilen aralıktaki tam sayılar tespit edilir ve toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonu log⁡g(x)f(x)\log_{g(x)}f(x) biçiminde tanımlandığında en geniş tanım kümesi için f(x)>0f(x) > 0, g(x)>0g(x) > 0 ve g(x)≠1g(x) \neq 1 şartlarının tamamı aynı anda sağlanmalıdır.

Alternatif Yöntem

Taban şartından dolayı x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2 olması gerektiği bilindiğinden, en geniş tanım kümesindeki tam sayı adayları 3,4,5,6,7,…3, 4, 5, 6, 7, \dots olarak sıralanabilir. Bu değerler fonksiyonda sırayla yerine yazılarak argümanın pozitif kalıp kalmadığı kontrol edilebilir: x=3x = 3 için 276>0\frac{27}{6} > 0 (sağlar), x=4x = 4 için 207>0\frac{20}{7} > 0 (sağlar), x=5x = 5 için 118>0\frac{11}{8} > 0 (sağlar). x=6x = 6 için pay 0 olur ve tanımsızlık oluşur. x>6x > 6 değerleri için pay negatif, payda ise pozitif olduğundan argüman daima negatif çıkar ve tanımlılık sağlanmaz. Buradan sadece 3,4,53, 4, 5 değerlerinin sağladığı görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 62Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=(a2+2a2+1)xf(x) = \left(\frac{a^2 + 2}{a^2 + 1}\right)^x
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

I. aa parametresinin her gerçel sayı değeri için f(x)f(x) bir üstel fonksiyondur.
II. aa'nın bazı gerçel sayı değerleri için f(x)f(x) azalan bir fonksiyondur.
III. f(x)=2xf(x) = 2^x eşitliğini sağlayan benzersiz bir aa gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
I. ve III. ifadelerin doğru olduğunu gösteren analizler sırasıyla tabanın her zaman pozitif ve 1'den farklı olması ile tabanı 2 yapan tek bir a değerinin (a = 0) bulunmasına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımını ve taban şartlarını hatırlama.
Taban olan bb ifadesinin b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olması gerektiğini belirledik.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için bu iki koşulu aynı anda sağlaması gerekir.
2
Tabanın pozitifliğini ve 1'den farklı olma durumunu analiz etme.
Her aa gerçel sayısı için a2≥0a^2 \ge 0 olduğundan tabanın daima pozitif ve 1'den farklı olduğunu bulduk.
I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek ve tanım kümesini belirlemek için.
3
Tabanın 1'den büyük olma durumunu inceleyerek artanlık/azalanlık analizi yapma.
Tabanın her aa gerçel sayısı için 1'den büyük olduğunu, dolayısıyla fonksiyonun daima artan olduğunu ve hiçbir zaman azalan olamayacağını bulduk.
II. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.
4
f(x)=2xf(x) = 2^x eşitliğini sağlayan aa değerlerini bulma.
Tabanı 2'ye eşitleyip çözdüğümüzde tek bir gerçel sayı kökü (a=0a = 0) elde ettik.
III. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Taban Özellikleri
Soru 63Soru →
f(x)=(a2−∣a∣−1)xf(x) = (a^2 - |a| - 1)^x
ve
g(x)=(9−a2)xg(x) = (9 - a^2)^x
fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde tanımlı birer üstel fonksiyondur.

ff azalan bir fonksiyon, gg ise artan bir fonksiyon olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,−1+52)∪(1+52,2)\left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

Cevap

a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)
Hem f fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 0 < a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğinden gelen (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığı, hem de g fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 9 - a^2 > 1 eşitsizliğinden gelen |a| < 2\sqrt{2} aralığı kesiştirildiğinde, aranan en geniş aralık (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olarak bulunur. Bu eşitsizlik çözüldüğünde iki parçalı birleşim kümesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme.
0 < a^2 - |a| - 1 < 1
Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Ayrıca fonksiyonun azalan olması için taban 0 ile 1 arasında yer almalıdır.
2
a^2 - |a| - 1 > 0 eşitsizliğini çözme.
∣a∣>1+52|a| > \frac{1+\sqrt{5}}{2}
a^2 = |a|^2 yazılıp |a| = t >= 0 dönüşümü yapıldığında t^2 - t - 1 > 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri (1 - \sqrt{5})/2 ve (1 + \sqrt{5})/2'dir. t >= 0 olduğundan pozitif kökten büyük olan kısım yani t > (1 + \sqrt{5})/2 alınir.
3
a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğini çözme.
|a| < 2
|a|^2 - |a| - 2 < 0 ifadesi (|a| - 2)(|a| + 1) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. |a| + 1 her zaman pozitif olduğundan |a| - 2 < 0 yani |a| < 2 olmalıdır. İki eşitsizlik birleştirildiğinde (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 elde edilir.
4
g(x) fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme ve çözme.
∣a∣<22|a| < 2\sqrt{2}
g(x) fonksiyonunun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekir. Buradan 9 - a^2 > 1 => a^2 < 8 => |a| < 2\sqrt{2} bulunur.
5
Elde edilen koşulların kesişimini alarak çözüm kümesini bulma.
a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)
(1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığındaki tüm a değerleri, 2 < 2\sqrt{2} olduğundan |a| < 2\sqrt{2} şartını da sağlar. Dolayısıyla ortak çözüm kümesi (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olur. Bu da mutlak değer tanımından dolayı iki parçalı birleşim kümesi olarak yazılır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özellikleri (tabanın pozitif ve 1'den farklı olması), artanlık (tabanın 1'den büyük olması) ve azalanlık (tabanın 0 ile 1 arasında olması) durumlarının analitik olarak incelenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 64Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff üstel fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayıları için
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x + y) = f(x) \cdot f(y)
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x+3)−f(x+2)−12f(x+1)=0f(x + 3) - f(x + 2) - 12f(x + 1) = 0

olduğuna göre, f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İstenen değer 32 olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun tanımı gereği tabanı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır. Verilen fonksiyon denklemi çözüldüğünde tabanın a=4a = 4 olduğu görülür. Buradan f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonu elde edilir ve f(5/2)=45/2=32f(5/2) = 4^{5/2} = 32 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun genel formunu yazma
f(x)=axf(x) = a^x (a>0a > 0, a≠1a \neq 1)
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y) bağıntısı ve üstel fonksiyon tanımı gereği fonksiyon f(x)=axf(x) = a^x biçimindedir.
2
Denklemde fonksiyonları yerine koyma
ax+3−ax+2−12ax+1=0a^{x+3} - a^{x+2} - 12a^{x+1} = 0
Verilen fonksiyonel denklemde f(x)=axf(x) = a^x kuralını uygulamak için.
3
Denklemi ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
a2−a−12=0a^2 - a - 12 = 0
ax+1⋅(a2−a−12)=0a^{x+1} \cdot (a^2 - a - 12) = 0 ifadesinde ax+1>0a^{x+1} > 0 olduğu için bu terim sadeleştirilebilir.
4
Kökleri bulma ve taban şartını uygulama
a=4a = 4
(a−4)(a+3)=0(a-4)(a+3) = 0 denkleminden a=4a = 4 ve a=−3a = -3 gelir. Üstel fonksiyon tabanı pozitif (a>0a > 0) olmalıdır.
5
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(52)=32f\left(\frac{5}{2}\right) = 32
f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonunda xx yerine 52\frac{5}{2} yazarak sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif ve 1'den farklı olma zorunluluğu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 65Soru →
f(x)=log⁡x−2(64−x2x+1)f(x) = \log_{x - 2}\left(\frac{64 - x^2}{x + 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, argümanının ise pozitif olması koşulları birlikte sağlanmalıdır. Bu koşulların kesişimi (2,8)∖{3}(2, 8) \setminus \{3\} aralığını verir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tabanının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Logaritmanın argümanının (içinin) pozitif olma koşulunu belirlemek.
64−x2x+1>0\frac{64 - x^2}{x + 1} > 0
Logaritmanın tanımlı olması için argümanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulup işaret incelemesi yapmak.
Kökler x=−8x = -8, x=−1x = -1 ve x=8x = 8'dir. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−8)∪(−1,8)(-\infty, -8) \cup (-1, 8) olur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişim kümesini bulmak.
x∈(2,8)∖{3}x \in (2, 8) \setminus \{3\}
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.
Tam sayılar {4,5,6,7}\{4, 5, 6, 7\} ve toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22'dir.
Elde edilen aralıktaki tam sayılar belirlenir ve bunların toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 66Soru →
log⁡2(x+2)+log⁡2(x−4)=4\log_2(x+2) + \log_2(x-4) = 4 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 6'dır.
Logaritmanın tanım kümesi gereği x>4x > 4 olmalıdır. Denklemin çözümünden elde edilen x=6x = 6 ve x=−4x = -4 köklerinden yalnızca 66 bu koşulu sağlar. Bu nedenle denklemi sağlayan xx değerlerinin çarpımı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>4x > 4 olmalıdır.
Logaritmanın tanımı gereği argümanlar pozitif olmalıdır. Buradan x+2>0  ⟹  x>−2x+2 > 0 \implies x > -2 ve x−4>0  ⟹  x>4x-4 > 0 \implies x > 4 elde edilir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü x>4x > 4 aralığıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirmek.
log⁡2((x+2)(x−4))=4\log_2((x+2)(x-4)) = 4
Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir: log⁡a(u)+log⁡a(v)=log⁡a(u⋅v)\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v).
3
Logaritma tanımını uygulayarak logaritmalı ifadeyi üstel ifadeye dönüştürmek ve ikinci dereceden denklemi elde etmek.
x2−2x−24=0x^2 - 2x - 24 = 0
log⁡2(A)=4  ⟹  A=24=16\log_2(A) = 4 \implies A = 2^4 = 16 olur. Buradan (x+2)(x−4)=16  ⟹  x2−2x−8=16  ⟹  x2−2x−24=0(x+2)(x-4) = 16 \implies x^2 - 2x - 8 = 16 \implies x^2 - 2x - 24 = 0 denklemi bulunur.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası kökleri bulmak.
x=6x = 6 veya x=−4x = -4.
x2−2x−24=0  ⟹  (x−6)(x+4)=0x^2 - 2x - 24 = 0 \implies (x-6)(x+4) = 0 olur. Buradan denklemin kökleri x=6x = 6 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
5
Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.
x=6x = 6 (tek geçerli kök).
x>4x > 4 koşulunu yalnızca x=6x = 6 değeri sağlar. x=−4x = -4 değeri logaritmanın içini negatif yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek değer 66'dır ve bu değerlerin çarpımı da 66 olur.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Denklemler ile Logaritmanın Tanım Kümesi
Soru 67Soru →
log⁡3(x2−4)−log⁡3(x−2)=1\log_3(x^2 - 4) - \log_3(x-2) = 1 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∅\emptyset

Cevap

Boş küme
Doğru cevap, denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin boş küme olduğunu ifade eden seçenektir. Çözüm süreci izlendiğinde elde edilen x=1x = 1 değeri, başlangıçtaki denklemde yer alan logaritmik terimlerin içini negatif yaptığından tanımlılık şartlarını ihlal eder ve bir kök olarak kabul edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal denklemdeki logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan en geniş tanım kümesini belirleyin.
x2−4>0x^2 - 4 > 0 ve x−2>0x - 2 > 0 olmalıdır. Buradan x>2x > 2 veya x<−2x < -2 ve x>2x > 2 eşitsizliklerinin kesişimi alınarak x>2x > 2 elde edilir.
Logaritma tanımı gereği taban ve argüman sıf��rdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini kullanarak sol taraftaki ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡3(x2−4x−2)=1\log_3\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right) = 1
log⁡a(b)−log⁡a(c)=log⁡a(bc)\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) kuralı uygulan��r.
3
Logaritmanın içindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
(x−2)(x+2)x−2=x+2  ⟹  log⁡3(x+2)=1\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \implies \log_3(x+2) = 1
x>2x > 2 kabul edildiği için x−2≠0x - 2 \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
4
Logaritma tanımını uygulayarak denklemden xx değerini çekin.
x+2=31  ⟹  x=1x + 2 = 3^1 \implies x = 1
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c tanımı kullanılır.
5
Elde edilen x=1x = 1 aday kökünün, birinci adımda belirlenen tanım kümesi şartını (x>2x > 2) sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=1x = 1 değeri x>2x > 2 şartını sağlamaz (1<21 < 2).
x=1x = 1 değeri orijinal denklemdeki logaritma argümanlarını negatif yaparak tanımsızlığa yol açar.
6
Bulunan aday kök elendiği için denklemin nihai çözüm kümesini yazın.
Çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset).
Denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde, elde edilen köklerin orijinal ifadelerin tanım kümelerini sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

Denklem log⁡3(x2−4)=log⁡3(x−2)+1\log_3(x^2 - 4) = \log_3(x-2) + 1 şeklinde yazılabilir. Eşitliğin sağ tarafındaki 11 sayısı log⁡3(3)\log_3(3) olarak ifade edildiğinde, toplam özelliği kullanılarak log⁡3(x2−4)=log⁡3(3(x−2))\log_3(x^2 - 4) = \log_3(3(x-2)) denkliği elde edilir. Logaritma tabanları eşit olduğundan içler eşitlenir: x2−4=3x−6  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−2)(x−1)=0x^2 - 4 = 3x - 6 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-2)(x-1) = 0 olur. Buradan aday kökler x=1x=1 ve x=2x=2 bulunur. Orijinal denklemde yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı kalabilmesi için x>2x>2 olması gerektiğinden her iki aday kök de elenir ve çözüm kümesinin boş küme olduğu görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 68Soru →
log⁡2(x)+log⁡2(x−2)=3\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {4}\{4\}

Cevap

Denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {4}\{4\} şeklindedir.
Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanıldığında x(x−2)=23=8x(x-2) = 2^3 = 8 eşitliği elde edilir. Buradan x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri 44 ve −2-2 olarak bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği logaritma içi pozitif olmalıdır. x>2x > 2 şartını sağlayan tek kök 44 olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemanı içerir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
x>0x > 0 ve x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma özelliğini uygulayarak denklemi düzenleme
log⁡2(x⋅(x−2))=3\log_2(x \cdot (x-2)) = 3
Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımının logaritmasına eşittir: log⁡b(a)+log⁡b(c)=log⁡b(a⋅c)\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c).
3
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçimde yazma
x(x−2)=23⇒x2−2x=8x(x-2) = 2^3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8
log⁡b(y)=c⇒y=bc\log_b(y) = c \Rightarrow y = b^c özelliğinden yararlanılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözme
x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0⇒x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 4 veya x=−2x = -2
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Kökleri tanım kümesine göre kontrol etme
x=4x = 4 değeri x>2x > 2 şartını sağlar, ancak x=−2x = -2 değeri bu şartı sağlamaz. Bu yüzden çözüm kümesi yalnızca 44 elemanından oluşur.
Başlangıçta belirlenen tanım kümesi şartına uymayan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve bulunan köklerin tanım kümesi şartlarına uygunluğunun denetlenmesi.
Soru 69Soru →
log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡56⋯log⁡n−1n=4\log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{n-1} n = 4

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Eşitliği sağlayan nn değeri 81'dir.
Verilen zincirleme çarpımda taban değiştirme kuralı uygulandığında iç terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca ilk terimin tabanı ile son terimin argümanı kalır. Bu durum log⁡3n=4\log_3 n = 4 eşitliğini verir. Logaritma tanımından n=34=81n = 3^4 = 81 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak çarpımı sadeleştirin.
log⁡3n=4\log_3 n = 4
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c zincir kuralı gereğince ardışık taban ve argümanlar birbirini sadeleştirir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi üstel fonksiyona dönüştürün.
n=34n = 3^4
log⁡ax=y⇔x=ay\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y tanımı gereğince logaritma tabanı karşı tarafa üs tabanı olarak geçer.
3
343^4 üslü ifadesinin değerini hesaplayın.
n=81n = 81
Dört adet 3 sayısının çarpımı (3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) 81 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme özelliği ve zincir kuralı
Soru 70Soru →
3x+1=9x−13^{x+1} = 9^{x-1} denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {3}\{3\} kümesidir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi {3}\{3\} kümesidir.
Denklemin tabanları 33 sayısında eşitlendiğinde üslerin eşitliğinden x=3x = 3 kök değerine ulaşılır ve çözüm kümesi tek elemanlı olarak {3}\{3\} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafında bulunan 9x−19^{x-1} ifadesini 33 tabanında yazın.
9x−1=(32)x−1=32x−29^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2}
��slü denklemi çözebilmek amacıyla her iki tarafın tabanlarını eşitlemek için.
2
3x+1=32x−23^{x+1} = 3^{2x-2} denkleminde tabanlar eşit olduğundan üsleri birbirine eşitleyin.
x+1=2x−2x + 1 = 2x - 2
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin eşitliğinde üslerin de birbirine eşit olması gerektiği için.
3
x+1=2x−2x + 1 = 2x - 2 birinci dereceden denklemini çözün.
x=3x = 3
Bilinmeyen terimi yalnız bırakarak denklemin kökünü elde etmek için.

Anahtar Kavram

Üstel denklemlerde tabanların eşitlenmesi ve üslerin karşılaştırılması.
Soru 71Soru →
f(x)=log⁡8−x(x2−4x−12x−1)f(x) = \log_{8 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı −1-1 olmalıdır.
Logaritma tanım kuralları gereği tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (−2,1)∪(6,8)∖{7}(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −1-1 ve 00 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban Koşulunun Belirlenmesi
x<8x < 8 ve x≠7x \neq 7
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın pozitif ve 11'den farklı olması gerekir. Bu durumda 8−x>0⇒x<88 - x > 0 \Rightarrow x < 8 ve 8−x≠1⇒x≠78 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 7 elde edilir.
2
Logaritma İçinin Pozitiflik Koşulu
x∈(−2,1)∪(6,∞)x \in (-2, 1) \cup (6, \infty)
Logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. x2−4x−12x−1>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 1} > 0 eşitsizliğinde payın kökleri x=6x = 6 ve x=−2x = -2, paydanın kökü ise x=1x = 1'dir. Kökler tabloya yerleştirilip en sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulduğunda çözüm aralığı (−2,1)∪(6,∞)(-2, 1) \cup (6, \infty) bulunur.
3
Tanım Kümelerinin Kesiştirilmesi
(−2,1)∪(6,8)∖{7}(-2, 1) \cup (6, 8) \setminus \{7\}
Taban koşulundan gelen x<8x < 8 ve x≠7x \neq 7 ko��ulları ile logaritma içinin pozitif olduğu (−2,1)∪(6,∞)(-2, 1) \cup (6, \infty) aralığı kesiştirilmelidir.
4
Tam Sayıların Belirlenmesi ve Toplanması
−1-1
Elde edilen tanım kümesindeki tam sayılar sadece −1-1 ve 00'dır (çünkü 66 ile 88 arasındaki tek tam sayı olan 77 kümeden çıkarılmıştır). Bu sayıların toplamı (−1)+0=−1(-1) + 0 = -1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için tabanın pozitif ve 1'den farklı, logaritma içinin ise pozitif olması koşullarını birlikte incelemek gerekir.
Soru 72Soru →
log⁡3(x−2)⋅log⁡x(x2−5)=log⁡3(x−2)\log_3(x-2) \cdot \log_x(x^2 - 5) = \log_3(x-2)

denklemini sağlayan xx gerçel say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7+212\frac{7+\sqrt{21}}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı \frac{7+\sqrt{21}}{2} değeridir.
Denklemin sol tarafındaki ortak terim paranteze alındığında elde edilen iki ayrı denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden logaritma tanım kümesini (tabanın 0'dan büyük ve 1'den farklı, argümanın 0'dan büyük olması) sağlayanlar sırasıyla 33 ve 1+212\frac{1+\sqrt{21}}{2} sayılarıdır. Bu iki sayının toplamı ise istenen sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki tüm terimleri sol tarafta toplayıp ortak çarpan parantezine alalım.
log⁡3(x−2)⋅[log⁡x(x2−5)−1]=0\log_3(x-2) \cdot [\log_x(x^2 - 5) - 1] = 0
Denklemi çarpanlarına ayırarak olası tüm kökleri belirlemek.
2
Eşitliğin sıfır olabilmesi için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyelim.
1. Durum: log⁡3(x−2)=0\log_3(x-2) = 0
2. Durum: log⁡x(x2−5)=1\log_x(x^2 - 5) = 1
Çarpımın sıfır olma özelliğini kullanmak.
3
Birinci durumu çözelim.
x−2=30⇒x−2=1⇒x=3x - 2 = 3^0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3
İlk çarpanı sıfır yapan xx değerini bulmak.
4
İkinci durumu ç��zelim.
x2−5=x1⇒x2−x−5=0x^2 - 5 = x^1 \Rightarrow x^2 - x - 5 = 0
İkinci çarpanı sıfır yapan xx değerini bulmak.
5
Elde edilen ikinci derece denklemi diskriminant yöntemiyle çözelim.
Δ=(−1)2−4(1)(−5)=21\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-5) = 21
x1,2=1±212x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}
İkinci derece denklemin gerçel köklerini bulmak.
6
Logaritma tanım k��mesi kurallarını (taban > 0, taban != 1, argüman > 0) uygulayalım.
Tanım kümesi: x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x2−5>0x^2 - 5 > 0. Dolayısıyla x>5≈2,24x > \sqrt{5} \approx 2,24 olmalıdır.
Bulunan köklerin logaritma fonksiyonunu tanımlı yapıp yapmadığını denetlemek.
7
Kök adaylarını tanım kümesi sınırlarına göre kontrol edelim.
- x=3x = 3 kökü 3>2,243 > 2,24 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
- x=1+212≈2,79x = \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx 2,79 kökü 2,79>2,242,79 > 2,24 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
- x=1−212≈−1,79x = \frac{1-\sqrt{21}}{2} \approx -1,79 kökü koşulu sağlamadığı için elenir.
Sadece geçerli olan gerçel kökleri belirlemek.
8
Geçerli köklerin toplamını bulalım.
3+1+212=7+2123 + \frac{1+\sqrt{21}}{2} = \frac{7+\sqrt{21}}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde ortak çarpan parantezine alma ve logaritmanın tanım kümesi sınırlamalarına göre köklerin kontrol edilmesi.

Alternatif Yöntem

Denklemde log⁡3(x−2)=A\log_3(x-2) = A ve log⁡x(x2−5)=B\log_x(x^2 - 5) = B değişken dönüşümleri yapıldığında denklem A⋅B=AA \cdot B = A şekline dönüşür. Buradan A(B−1)=0A(B-1) = 0 elde edilerek A=0A = 0 veya B=1B = 1 durumları ayrı ayrı incelenebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 73Soru →
f(x)=log⁡x−3(10x−x2−9)f(x) = \log_{x - 3}(10x - x^2 - 9) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Logaritma tanım kümesi kuralları uygulandığında en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 26 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması (10x−x2−9>0  ⟹  1<x<910x - x^2 - 9 > 0 \implies 1 < x < 9), tabanın sıfırdan büyük olması (x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3) ve tabanın 1'den farklı olması (x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4) gerekir. Bu üç koşulun kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (3,9)∖{4}(3, 9) \setminus \{4\} olarak elde edilir. Bu kümede yer alan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 ve 88'dir. Bu sayıların toplamı ise 2626'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanımlı olması için argümanın (iç kısmının) sıfırdan büyük olma koşulu incelenir.
10x−x2−9>0  ⟹  x2−10x+9<0  ⟹  (x−1)(x−9)<0  ⟹  x∈(1,9)10x - x^2 - 9 > 0 \implies x^2 - 10x + 9 < 0 \implies (x-1)(x-9) < 0 \implies x \in (1, 9)
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade daima pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.
2
Logaritmanın tabanının pozitif olması ve 1'e eşit olmaması koşulları incelenir.
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 ve x−3≠1  ⟹  x≠4x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
3
Elde edilen tüm aralıkların kesişimi alınarak en geniş tanım kümesi bulunur.
x∈(1,9)∩(3,∞)∖{4}  ⟹  x∈(3,9)∖{4}x \in (1, 9) \cap (3, \infty) \setminus \{4\} \implies x \in (3, 9) \setminus \{4\}
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm bileşenlerinin aynı anda tanımlılık şartlarını sağlaması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tanım kümesindeki tam sayılar: 5,6,7,85, 6, 7, 8. Toplamları: 5+6+7+8=265 + 6 + 7 + 8 = 26.
Soruda en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken hem tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması hem de argümanın sıfırdan büyük olması şartlarının kesişimi alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik sistemi çözmek yerine, argümanın kökleri bulunarak sınırlandırılan aralıktaki tam sayılar taban kurallarına göre tek tek denenebilir. Argümanı pozitif yapan aralık 1<x<91 < x < 9 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılardan x=2x=2 ve x=3x=3 değerleri tabanı negatif veya sıfır yaptığı için, x=4x=4 ise tabanı 1 yaptığı için elenir. Geriye kalan 5,6,7,85, 6, 7, 8 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 74Soru →
f(x)=log⁡∣x−2∣−1(x2−4x−12x2−9)f(x) = \log_{|x - 2| - 1}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 9}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunmayan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesinde bulunmayan tam sayıların toplamı 16'dır.
Doğru yanıt 16 değeridir. Logaritma tanımı gereği, taban ifadesi sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan rasyonel ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu koşulların ortak kesişim kümesi olan (−∞,−3)∪(−2,0)∪(0,1)∪(6,∞)(-\infty, -3) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (6, \infty) kümesinin dışında kalan tam sayılar -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olup, bu sayıların toplamı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını belirleyelim.
∣x−2∣−1>0|x - 2| - 1 > 0 ve ∣x−2∣−1≠1|x - 2| - 1 \neq 1 olmalıdır.
İlk olarak, ∣x−2∣>1  ⟹  x−2>1|x - 2| > 1 \implies x - 2 > 1 veya x−2<−1  ⟹  x>3x - 2 < -1 \implies x > 3 veya x<1x < 1 bulunur.
İkinci olarak, ∣x−2∣≠2  ⟹  x−2≠2|x - 2| \neq 2 \implies x - 2 \neq 2 ve x−2≠−2  ⟹  x≠4x - 2 \neq -2 \implies x \neq 4 ve x≠0x \neq 0 bulunur.
Böylece taban koşulu: x∈(−∞,1)∪(3,∞)∖{0,4}x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \setminus \{0, 4\} olur.
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmak zorundadır.
2
Logaritması alınan rasyonel ifadenin pozitif olma koşulunu inceleyelim.
x2−4x−12x2−9>0  ⟹  (x−6)(x+2)(x−3)(x+3)>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 9} > 0 \implies \frac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0 eşitsizliğini çözmek için kökleri bulup işaret tablosu yapalım.
Kökler: x=−3,−2,3,6x = -3, -2, 3, 6.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin pozitif olduğu aralıklar: x∈(−∞,−3)∪(−2,3)∪(6,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 3) \cup (6, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
3
İki koşulun kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulalım.
Taban koşulu ile iç kısmın pozitiflik koşulunu kesiştirdiğimizde:
- (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığı taban koşulunu sağlar.
- (−2,3)(-2, 3) aralığı ile ((−∞,1)∪(3,∞))((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) kesişimi (−2,1)(-2, 1) olur, bu aralıktan x=0x = 0 çıkarılmalıdır. Yani (−2,0)∪(0,1)(-2, 0) \cup (0, 1) elde edilir.
- (6,∞)(6, \infty) aralığı taban koşulunu sağlar.
Böylece en geniş tanım kümesi: D=(−∞,−3)∪(−2,0)∪(0,1)∪(6,∞)D = (-\infty, -3) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (6, \infty) olur.
Fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme, her iki şartın da sağlandığı ortak kümedir.
4
Tanım kümesinde bulunmayan tam sayıları tespit edip toplayalım.
Tanım kümesi DD dışında kalan tam sayılar şunlardır:
- x≤−3x \le -3 aralığının sınır değeri olan −3-3,
- −3<x<−2-3 < x < -2 aralığı tanım kümesinde olmadığından sınır değer olan −2-2,
- Çıkarılan 00 değeri,
- Taban tanımından dolayı kümede olmayan 1,21, 2 değerleri,
- İç kısmın negatif olduğu [3,6][3, 6] aralığındaki tam sayılar: 3,5,63, 5, 6,
- Tabanın 1 olmasını engellemek için çıkarılan 44 değeri.
Bu değerler kümesi {−3,−2,0,1,2,3,4,5,6}\{-3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} şeklindedir.
Toplamları: (−3)+(−2)+0+1+2+3+4+5+6=16(-3) + (-2) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 16 bulunur.
Tanım kümesinde yer almayan tam sayıları doğru belirlemek için eşitsizliklerin sınır değerleri ve çıkarılan tekil noktalar dikkatle incelenir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban b>0b > 0, b≠1b \neq 1 ve iç kısım f(x)>0f(x) > 0 koşullarının hepsi birlikte sağlanmalıdır.
Soru 75Soru →
f(x)=log⁡∣x−3∣−1(18−3x−x2)f(x) = \log_{|x - 3| - 1}(18 - 3x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı −15-15 olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için taban ifadesi olan ∣x−3∣−1>0|x - 3| - 1 > 0 ve ∣x−3∣−1≠1|x - 3| - 1 \neq 1 olmalıdır. Buradan x<2x < 2 veya x>4x > 4 ile x≠1x \neq 1, x≠5x \neq 5 elde edilir. Ayrıca argüman ifadesi 18−3x−x2>018 - 3x - x^2 > 0 olmalıdır; bu ise (x+6)(x−3)<0(x + 6)(x - 3) < 0 yani −6<x<3-6 < x < 3 aralığını verir. Bu koşulların kesişiminden en geniş tanım kümesi (−6,2)∖{1}(-6, 2) \setminus \{1\} olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\} olup, toplamları −15-15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını (taban > 0 ve taban != 1) belirlemek.
x<2x < 2 veya x>4x > 4 ve aynı zamanda x≠1x \neq 1, x≠5x \neq 5.
Logaritma tanımı gereği taban daima pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın tanımlı olma koşulunu (argüman > 0) incelemek.
x∈(−6,3)x \in (-6, 3).
Logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.
3
Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulmak.
T=(−6,2)∖{1}T = (-6, 2) \setminus \{1\}.
Fonksiyonun tanımlı olması için her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}; Toplamları: −15-15.
Kümedeki sınır değerleri ve çıkarılan 11 sayısı hariç tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Soru 76Soru →
f(x)=log⁡3(x2−6x−1625−x2)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için argümanı olan rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir. Pay (x2−6x−16x^2 - 6x - 16) ve paydayı (25−x225 - x^2) sıfır yapan kökler bulunarak işaret tablosu oluşturulduğunda, ifadenin pozitif olduğu en geniş aralık (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8) olarak elde edilir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar −4,−3,6,7-4, -3, 6, 7 olup bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım koşulunu belirleme
x2−6x−1625−x2>0\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2} > 0 eşitsizliği çözülmelidir.
Taban pozitif bir sabit (3) olduğundan, sadece argümanın pozitif olması koşulu incelenir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın kökleri: x=−2x = -2 ve x=8x = 8. Paydanın kökleri: x=−5x = -5 ve x=5x = 5.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlama ve çözüm kümesini bulma
Çözüm kümesi: (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8)
Payın baş katsayısı pozitif (+), paydanın baş katsayısı negatif (-) olduğundan tablonun en sağ bölgesi eksi (-) ile başlar. Tek katlı köklerde işaret değiştirilerek pozitif bölgeler seçilir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme
Tam sayılar: {−4,−3,6,7}\{-4, -3, 6, 7\}
Açık aralıklardaki tam sayılar belirlenir. Sınır değerleri aralığa dahil edilmez.
5
Tam sayıların toplamını hesaplama
(−4)+(−3)+6+7=6(-4) + (-3) + 6 + 7 = 6
Soruda istenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif (>0>0) olması gerekir.
Soru 77Soru →
log⁡x(2)−log⁡2(x)=32\log_x(2) - \log_2(x) = \frac{3}{2} denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü denklem log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yapılarak çözüldüğünde elde edilen kökler x=2x = \sqrt{2} ve x=1/4x = 1/4'tür. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi kurallarına uymaktadır ve çarpımları 24\frac{\sqrt{2}}{4} değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gerekli taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereğince taban pozitif ve 11'den farklı olmalıdır, ayrıca log⁡2(x)\log_2(x) ifadesindeki argüman olan xx de pozitif olmalıdır.
2
log⁡x(2)\log_x(2) ifadesini taban değiştirme kuralı kullanarak log⁡2(x)\log_2(x) türünden yazma ve değişken değiştirme uygulama.
log⁡x(2)=1log⁡2(x)\log_x(2) = \frac{1}{\log_2(x)} özelliğinden denklem 1log⁡2(x)−log⁡2(x)=32\frac{1}{\log_2(x)} - \log_2(x) = \frac{3}{2} olur. log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümüyle denklemi 1t−t=32\frac{1}{t} - t = \frac{3}{2} biçimine getirebiliriz.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem olarak ifade etme ve çözme.
Paydaları eşitleyip düzenleyince 2t2+3t−2=02t^2 + 3t - 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (2t−1)(t+2)=0(2t - 1)(t + 2) = 0 olup kökleri t1=12t_1 = \frac{1}{2} ve t2=−2t_2 = -2 bulunur.
Rasyonel denklemi standart ikinci derece denklem formuna dönüştürüp kökleri bulmak.
4
Bulunan tt değerlerini kullanarak orijinal xx değişkeninin değerlerini elde etme ve tanım kümesine uygunluğunu denetleme.
t=12  ⟹  log⁡2(x)=12  ⟹  x1=21/2=2t = \frac{1}{2} \implies \log_2(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = 2^{1/2} = \sqrt{2} ve t=−2  ⟹  log⁡2(x)=−2  ⟹  x2=2−2=14t = -2 \implies \log_2(x) = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} elde edilir. Her iki değer de x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 şartını sağladığı için geçerli köklerdir.
Tanım kümesi dışındaki yabancı kökleri elemek ve gerçek çözüm kümesini oluşturmak.
5
Bulunan köklerin çarpımını hesaplama.
x1⋅x2=2⋅14=24x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} bulunur.
Soruda doğruluğu sorgulanan kökler çarpımı ifadesini kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme kuralı yardımıyla değişken değiştirme yöntemi uygulamak ve elde edilen köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu denetlemek.

Alternatif Yöntem

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanarak log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yerine ln⁡(x)\ln(x) cinsinden yazım da yapılabilir, ancak bu işlem adımlarını uzatacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 78Soru →
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡12−x(x2−8x+12x−4)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{12-x}\left(\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}\right) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 37'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar, her iki logaritmik terimin de eş zamanlı olarak tanımlı olmasını sağlayan değerlerdir. Birinci logaritma teriminden gelen x>2x > 2 sınırlandırması ile ikinci logaritma teriminden gelen x<12x < 12, x≠11x \neq 11 ve x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) koşulları kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesindeki tam sayıların (3,7,8,9,103, 7, 8, 9, 10) toplamı doğru sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin tanım kümesini belirleme
x>2x > 2
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanı ise pozitif olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x-1>0 \implies x>1, x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2 ve x2−4>0  ⟹  x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2-4>0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) elde edilir. Bu üç koşulun kesişimi x>2x > 2 aralığıdır.
2
İkinci logaritma teriminin taban koşullarını belirleme
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Buradan 12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11 elde edilir.
3
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme
x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty)
Argümanın pozitif olması gerekir. x2−8x+12x−4>0  ⟹  (x−2)(x−6)x−4>0\frac{x^2-8x+12}{x-4} > 0 \implies \frac{(x-2)(x-6)}{x-4} > 0 eşitsizliğinin kökleri 2,4,62, 4, 6'dır. İşer işaret tablosunda en sağdan ++ ile başlanarak sırasıyla −,+,−-, +, - şeklinde işaretler yerleştirilir. Buradan pozitif bölgeler (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olarak belirlenir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini oluşturma
x∈(2,4)∪(6,11)∪(11,12)x \in (2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
x>2x > 2 ile x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) aralıklarının kesişimi (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olur. Bu kümenin x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11 koşullarıyla kesişimi ise (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesini verir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini bulup toplama
37
(2,4)(2, 4) aralığındaki tek tam sayı 33'tür. (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. (11,12)(11, 12) aralığında tam sayı yoktur. Tam sayıların toplamı: 3+7+8+9+10=373 + 7 + 8 + 9 + 10 = 37 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (logaritması alınan ifadenin) ise sıfırdan büyük olması gerekir. Birden fazla logaritmik ifadenin toplamından oluşan fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir ifadenin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 79Soru →
1log⁡2120+1log⁡3120+1log⁡4120+1log⁡5120\frac{1}{\log_{2} 120} + \frac{1}{\log_{3} 120} + \frac{1}{\log_{4} 120} + \frac{1}{\log_{5} 120} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

1
Taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanılarak tüm terimler aynı tabana (120120 tabanına) getirilir. Ardından, aynı tabandaki logaritma toplamlarının çarpım özelliğinden faydalanılarak ifadeler tek bir logaritma altında toplanır ve log⁡120(2⋅3⋅4⋅5)=log⁡120120=1\log_{120} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_{120} 120 = 1 sonucu elde edilir. Dolayısıyla doğru yanıt 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın taban değiştirme özelliğini kullanarak her bir terimi düzenleyin.
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uyarınca ifade log⁡1202+log⁡1203+log⁡1204+log⁡1205\log_{120} 2 + \log_{120} 3 + \log_{120} 4 + \log_{120} 5 hâline gelir.
Paydadaki logaritmik ifadeleri paya taşımak ve tabanlarını eşitlemek için taban değiştirme kuralı uygulanır.
2
Tabanları eşit olan logaritmik ifadelerin toplamını, tek bir logaritma altında çarpım olarak yazın.
log⁡bx+log⁡by=log⁡b(x⋅y)\log_{b} x + \log_{b} y = \log_{b} (x \cdot y) kuralı uyarınca ifade log⁡120(2⋅3⋅4⋅5)=log⁡120120\log_{120} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = \log_{120} 120 olur.
Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritmik ifadeye indirgemek için çarpım özelliği kullanılır.
3
Elde edilen logaritma ifadesinin değerini hesaplayın.
log⁡aa=1\log_{a} a = 1 özelliği gereği log⁡120120=1\log_{120} 120 = 1 bulunur.
Tabanı ve içi aynı olan logaritmanın değerinin 1 olduğunu uygulamak için bu özellik kullanılır.

Anahtar Kavram

Logaritma Taban Değiştirme ve Çarpım Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 80Soru →
2log⁡22(x)+xlog⁡2(x)=42^{\log_2^2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı 52\frac{5}{2}'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel kökleri 22 ve 12\frac{1}{2} olup toplamları 52\frac{5}{2}'dir.
Denklemde 2log⁡22(x)2^{\log_2^2(x)} ifadesi xlog⁡2(x)x^{\log_2(x)} olarak yazıldığında, denklem xlog⁡2(x)=2x^{\log_2(x)} = 2 şekline indirgenir. Buradan elde edilen kökler 22 ve 12\frac{1}{2} olur, toplamları ise 52\frac{5}{2}'yi verir.

Adım Adım Çözüm

1
2log⁡22(x)2^{\log_2^2(x)} terimini, üs kuralları ve logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirin.
2log⁡22(x)=2(log⁡2(x)⋅log⁡2(x))=(2log⁡2(x))log⁡2(x)=xlog⁡2(x)2^{\log_2^2(x)} = 2^{(\log_2(x) \cdot \log_2(x))} = \left(2^{\log_2(x)}\right)^{\log_2(x)} = x^{\log_2(x)} elde edilir.
Denklemin tüm terimlerini ortak bir taban ve üs formuna getirerek çözümü basitleştirmek.
2
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine koyarak düzenleyin.
xlog⁡2(x)+xlog⁡2(x)=4  ⟹  2⋅xlog⁡2(x)=4  ⟹  xlog⁡2(x)=2x^{\log_2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4 \implies 2 \cdot x^{\log_2(x)} = 4 \implies x^{\log_2(x)} = 2 elde edilir.
Benzer terimleri birleştirerek denklemi tek bir üslü ifade biçiminde yazmak.
3
xlog⁡2(x)=2x^{\log_2(x)} = 2 denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(xlog⁡2(x))=log⁡2(2)  ⟹  log⁡2(x)⋅log⁡2(x)=1  ⟹  (log⁡2(x))2=1\log_2\left(x^{\log_2(x)}\right) = \log_2(2) \implies \log_2(x) \cdot \log_2(x) = 1 \implies (\log_2(x))^2 = 1 elde edilir.
Üstteki logaritma ifadesini katsayı olarak öne indirerek denklemi çözülebilir bir cebirsel forma sokmak.
4
(log⁡2(x))2=1(\log_2(x))^2 = 1 denklemini çözerek xx değerlerini bulun ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin.
log⁡2(x)=1  ⟹  x=2\log_2(x) = 1 \implies x = 2 ve \log_2(x) = -1 \implies x = \frac{1}{2}bulunur.Herikiko¨kde bulunur. Her iki kök de x > 0 tanımaralıg˘ındaoldug˘undanc\co¨zu¨mku¨mesi tanım aralığında olduğundan çözüm kümesi \{2, \frac{1}{2}\}olur.Buko¨klerintoplamı olur. Bu köklerin toplamı 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ olarak hesaplanır.
Denklemin köklerini bulmak, bu köklerin logaritma tanım kümesini sağladığını doğrulamak ve sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritmalı denklemlerde taban-üs değiştirme kuralları, değişken değiştirme ve tanım kümesi kontrolleri.
ÖncekiSayfa 4 / 12Sonraki
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin