Rutin Olmayan Problemler

Bir sayı oyununda, iki basamaklı bir doğal sayıya uygulanan her adımda şu kural işletilmektedir:

* Sayının rakamlarının çarpımına $2$ eklenerek yeni bir sayı elde edilir.

Başlangıçta seçilen iki basamaklı bir doğal sayıya bu kural ardışık olarak iki kez uygulandığında elde edilen sayı $4$ olmaktadır.

Buna göre, ba��langıçta seçilen sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Bir $A$ pozitif tam sayısının kendisi hariç en büyük üç pozitif tam sayı böleninin toplamına bu sayının 'bölensel derinliği' denir. Kendisi hariç en fazla iki pozitif tam sayı böleni olan sayıların bölensel derinliği 0 kabul edilir. Örnek: 12 sayısının kendisi hariç bölenleri 1, 2, 3, 4 ve 6'dır. Bunlardan en büyük üç tanesinin toplamı $6 + 4 + 3 = 13$ olduğundan 12 sayısının bölensel derinliği 13'tür. Buna göre, bölensel derinliği 42 olan iki basamaklı bir doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?

Kütleleri birbirinden farklı olan $K$, $L$, $M$ ve $N$ kutuları eşit kollu bir teraziyle tartıldığında aşağıdaki durumlar elde edilmiştir:

- Terazinin bir kefesine $K$, diğer kefesine $L$ kutusu konulduğunda $L$ kutusunun bulunduğu kefe daha ağır gelmiştir.
- Terazinin bir kefesine $K$ ve $L$, diğer kefesine $M$ ve $N$ kutuları birlikte konulduğunda terazi dengeye gelmiştir.
- Terazinin bir kefesine $K$ ve $N$, diğer kefesine $L$ ve $M$ kutuları birlikte konulduğunda $K$ ve $N$ kutularının bulunduğu kefe daha ağır gelmiştir.

Buna göre; $K$, $L$, $M$ ve $N$ kutularının kütlelerini en hafif olandan en ağır olana doğru sıralayınız.

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Aslı bu torbadan rastgele 4 top, Berk ise torbada kalan toplardan rastgele 3 top çekmiştir.

Aslı'nın çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı, Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamının 2 katına eşittir.

Buna göre, Berk'in çektiği topların üzerindeki sayıların toplamı en fazla kaçtır?

Yan yana duran $5$ kutunun her birine başlangıçta soldan sağa sırasıyla $0$, $0$, $5$, $0$ ve $0$ adet bilye konuluyor. Bu kutulara uygulanan her bir adımda; içinde en az $2$ bilye bulunan herhangi bir kutudan $2$ bilye alınıp, bu bilyelerden biri bu kutunun hemen solundaki kutuya, diğeri ise hemen sağındaki kutuya atılıyor. Solunda veya sağında komşu kutu olmayan en soldaki ($1.$) ve en sağdaki ($5.$) kutulardan bu şekilde bilye alınamamaktadır.

Buna göre, hiçbir kutuda bu işlemin uygulanamayacağı duruma gelene kadar bu işlem toplam kaç kez uygulanır?

Bir tahtada başlangıçta $1$, $2$, $3$ ve $4$ sayıları yazılıdır. Bu tahtadaki sayılara sırasıyla şu işlem uygulanıyor:

* Tahtadan herhangi iki sayı siliniyor.
* Silinen bu iki sayının çarpımı ile toplamı toplanarak elde edilen yeni sayı tahtaya yazılıyor.

Bu işlem tahtada tek bir sayı kalana kadar tekrarlandığına göre, tahtada kalan son sayı kaçtır?

Bir kargo firması; ağırlıkları $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ve $9$ kg olan 9 adet paketi üç farklı araca aşağıdaki kurallara göre dağıtacaktır:

* Her bir araçta eşit sayıda paket bulunacaktır.
* Her bir araçtaki paketlerin ağırlıkları toplamı birbirine eşit olacaktır.
* Ağırlığı $9$ kg olan paket 1. araçta, $8$ kg olan paket 2. araçta, $7$ kg olan paket ise 3. araçta yer alacaktır.
* 1. araçtaki en hafif paket $2$ kg'dır.

Buna göre, ağırlığı $5$ kg olan paket ile aynı araçta bulunan en hafif paketin ağırl��ğı kaç kg'dır?

Üzerinde $1$'den $7$'ye kadar olan ardışık tam sayıların yazılı olduğu $7$ kartın bulunduğu bir torbadan Ahmet, Berk ve Can sırasıyla ikişer kart çekmiş ve torbada $1$ kart kalmıştır. Bu kişilerin çektikleri kartlar ve torbada kalan kartla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Can'ın çektiği kartlardaki sayıların çarpımı bir tek sayıdır.
* Ahmet'in çektiği kartlardaki sayıların toplamı, Berk'in çektiği kartlardaki sayıların toplamının $2$ kat��dır.
* Ahmet'in çektiği kartlardaki sayıların çarpımı bir çift sayıdır.
* Torbada kalan son kartın üzerindeki sayı bir çift sayıdır.

Buna göre; Ahmet, Berk ve Can'ın çektikleri kartlardaki sayıların toplamını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Bir $3 \times 3$'lük kareli tablonun dokuz hücresinin her birine $1$'den $9$'a kadar olan rakamlar, her hücrede farklı bir rakam olacak biçimde yerleştiriliyor. Yerleştirme yapıldıktan sonra; satırlardaki sayıların soldan sağa toplamları sırasıyla $S_1$, $S_2$ ve $S_3$, sütunlardaki sayıların yukarıdan aşağıya toplamları sırasıyla $K_1$, $K_2$ ve $K_3$ olarak hesaplanıyor. Bu yerleştirmede $S_1 < S_2 < S_3$ ve $K_1 < K_2 < K_3$ koşullarının sağlandığı biliniyor. Buna göre, tablonun tam ortasındaki (2. satır, 2. sütundaki) hücreye yazılabilecek en büyük rakam ka��tır?

Dairesel bir pist etrafında 1'den 12'ye kadar numaralandırılmış 12 adet kutu saat yönünde sıralanmıştır. Bir robot, 1 numaralı kutudan başlayarak her adımda bulunduğu kutunun numarasının asal bölenlerinin toplamı kadar kutu saat yönünde ilerlemektedir. Kutunun numarası 1 olduğunda, 1'in asal böleni olmadığından robot 1 kutu ilerlemektedir. Robot dairesel hareket yaptığı için 12 numaralı kutudan sonra tekrar 1 numaralı kutuya geçmektedir. Buna göre, 1 numaralı kutudan harekete başlayan bu robot 20. adımın sonunda kaç numaralı kutuda bulunur?

Dairesel bir masa etrafında yerleştirilmiş olan 6 adet boş kutunun her birine birer pozitif tam sayı yazılacaktır. Bu kutulara yazılacak olan sayılarla ilgili aşağıdaki kural bilinmektedir:

* Yan yana bulunan herhangi iki kutudaki sayıların çarpımı her zaman 12'den büyük ve 20'den küçük olmalıdır.

Buna göre, kutulara yazılan tüm sayıların toplamı en az kaçtır?

Analitik düzlemde bulunan $A$, $B$ ve $C$ karıncaları başlangıçta sırasıyla $A(1, 3)$, $B(2, 2)$ ve $C(3, 1)$ noktalarındadır. Bu karıncalar sadece eksenlere paralel olarak sağa veya yukarı doğru hareket edebilmektedir.

- $A$ karıncası toplam 4 birim yol alarak $A'$ noktasına,
- $B$ karıncası toplam 5 birim yol alarak $B'$ noktasına,
- $C$ karıncası toplam 6 birim yol alarak $C'$ noktasına

ulaşıyor. Her karınca ulaştığı noktanın koordinatları çarpımını ($x \cdot y$) en büyük yapacak şekilde hareket etmektedir.

Buna göre, karıncaların ulaştıkları noktaların koordinatları çarpımının alabileceği en büyük değerlerin ($P_A$, $P_B$ ve $P_C$) en küçükten en büyüğe doğru sıralanışını belirleyiniz.

Bir bilgisayar programı, girilen bir pozitif tam sayıya aşağıdaki adımları uygulamaktadır:

* Sayı çift ise sayıyı $2$'ye böl.
* Sayı tek ise sayıya $1$ ekle.

Program, elde edilen her yeni sayıya da aynı adımları uygulayarak $1$ sayısına ulaştığında durmaktadır. Örneğin; programa $6$ sayısı girilirse sırasıyla $3$, $4$, $2$, $1$ sayıları elde edilir ve $4$ adımda $1$'e ulaşılır.

Programa girilen iki basamaklı bir $n$ doğal sayısı için program tam olarak $7$ adımda $1$ sayısına ulaştığına göre, $n$ sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

Defne, evinin bahçesindeki 9 basamaklı bir merdiveni oyun oynayarak çıkmak istemektedir. Defne, bu merdiveni her adımında ya 1 basamak ya da 2 basamak yukarı doğru adım atarak tırmanacaktır. Ancak oyunun kuralı gereği, Defne merdiveni tırmanırken ardışık iki adımının her ikisinde de 2 basamak birden çıkmamaktadır. Buna göre, Defne bu merdivenin en üst basamağına kaç farklı şekilde tırmanabilir?

Bir dijital saat, gün içindeki zamanı saat (2 hane) ve dakika (2 hane) olmak üzere 24 saatlik gösterimle (00:00 - 23:59 arası) dört haneli olarak göstermektedir. Bu saatte gösterilen bir zaman diliminin dört hanesindeki rakamlar birbirinden farklıdır. Buna göre, bu koşulu sağlayan bir zaman diliminde hanelerdeki rakamların çarpımı en fazla kaç olabilir?

Bir fabrikada üretilen $X$, $Y$ ve $Z$ ürünlerinin üretim süreleri, paketleme süreleri ve teslim edilmeleri gereken son günlerin bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bu fabrikada ürünlerin paketlenmesiyle ilgili kurallar şöyledir:
- Ürünler üretildikleri anda paketleme sırasına girmektedir. ($0$. günde $Z$ ürünü hazırdır.)
- Paketleme ünitesi aynı anda yalnızca bir ürünü paketleyebilmekte ve başlanan bir paketleme işlemi bölünmeden tamamlanmaktadır.
- Paketleme ünitesi boş kaldığında, sırada bekleyen ürünler arasından teslim süresi en yakın olan ürünü paketlemeye başlar.

Buna göre; $X$, $Y$ ve $Z$ ürünlerinin paketleme işlemlerinin tamamlandığı günleri ilk tamamlanandan son tamamlanana doğru sıralayınız.

Bir çember üzerinde sırasıyla yerleştirilmiş, $1$'den $5$'e kadar numaralandırılmış $5$ adet kutu bulunmaktadır. Başlangıçta her kutunun içinde, o kutunun numarası kadar bilye vardır.

Her bir adımda, yan yana olan herhangi iki kutu seçilmekte ve bu kutuların birinden diğerine $1$ adet bilye aktarılmaktadır.

Buna göre, tüm kutulardaki bilye sayılarını eşitlemek için en az kaç adım uygulanmalıdır?

Bir düzgün altıgenin köşelerine 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamları, her köşede farklı bir rakam olacak şekilde yerleştirilecektir. Daha sonra bu altıgenin her bir kenarının üzerine, o kenarın uçlarında bulunan kö��elerdeki sayıların çarpımı yazılacaktır. Buna göre, kenarların üzerine yazılan bu 6 sayının toplamı en az kaçtır?