Rutin Olmayan Problemler

Bir sayı doğrusu oyunu oynayan Arda, Berk ve Cenk'in başlangıçtaki konumları sıfır noktasıdır. Her biri birer kez zar atarak zarda gelen sayıya göre sağa doğru ilerlemektedir.
- Arda'nın attığı zar $a$ olup ilerlediği mesafe $a^2$ birimdir.
- Berk'in attığı zar $b$ olup ilerlediği mesafe $3b + 5$ birimdir.
- Cenk'in attığı zar $c$ olup ilerlediği mesafe $c^3 - c$ birimdir.

Oyuncuların zarda attıkları $a$, $b$ ve $c$ sayıları ardışık pozitif tam sayılardır.
Oyuncuların sayı doğrusu üzerindeki son konumları sırasıyla $A$, $B$ ve $C$'dir.
Bu konumlar hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:
- Cenk'in konumu en geride, Arda'nın konumu ise ortadadır.
- Berk'in attığı zar sayısı, Arda'nın attığı zar sayısından büyüktür.

Buna göre; $a$, $b$ ve $c$ sayılarının küçükten b��yüğe doğru sıralanışı nasıldır?

Pozitif tek sayılar, 1'den başlayarak sırasıyla aşağıdaki kurallara göre satırlardan oluşan bir sayı piramidine yazılıyor:

* Her $n$. satırda $n$ tane sayı bulunmaktadır.
* Tek numaralı satırlardaki sayılar soldan sağa doğru artan sırada yazılmaktadır.
* Çift numaralı satırlardaki sayılar soldan sağa doğru azalan sırada yazılmaktadır.

Buna göre, $2119$ sayısı bu piramidin kaçıncı satırında ve soldan kaçıncı sıradadır?

Bir dairesel oyun pistinde, üzerinde saat yönünde ardışık olarak 1'den 8'e kadar sayıların yazılı olduğu 8 bölme bulunmaktadır. 1. bölmede bulunan bir oyun taş, her adımda saat yönünde 3 bölme ilerlemektedir. Örneğin; taş 1. bölmeden harekete başlayıp 1 adım attığında 4. bölmeye ulaşmaktadır. Buna göre, 1. bölmeden harekete başlayan bu taş 5 adım attığında kaçıncı bölmeye ulaşır?

Bir panoda yan yana yerleştirilmiş $5$ lamba ve her lambanın altında birer buton bulunmaktadır. Herhangi bir butona basıldığında; o butonun üstündeki lamba ile bu lambanın hemen sağındaki ve solundaki komşu lambalar (varsa) durum değiştirmektedir. Yani yanan bir lamba sönmekte, sönük bir lamba ise yanmaktadır. Ba��langıçta $1.$, $3.$ ve $5.$ lambalar yanmakta, diğer lambalar ise sönük durumdadır. Buna göre, tüm lambaların sönük duruma gelmesi için en az kaç butona basılmalıdır?

Aşağıdaki $X$, $Y$ ve $Z$ kaplarında başlangıçta sırasıyla $x$, $y$ ve $z$ litre su bulunmaktadır. Bu kaplardaki sulara sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanıyor:

* $X$ kabındaki suyun $\frac{1}{3}$'ü $Y$ kabına boşaltılıyor.
* Sonra $Y$ kabındaki suyun $\frac{1}{5}$'i $Z$ kabına boşaltılıyor.
* Son olarak $Z$ kab��ndaki suyun yarısı $X$ kabına boşaltılıyor.

Bu işlemler sonucunda $X$, $Y$ ve $Z$ kaplarında sırasıyla 35, 24 ve 23 litre su bulunduğu tespit ediliyor.

Buna göre; kapların başlangıçtaki su miktarları olan $x$, $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Bir $A$ doğal sayısının basamaklarındaki rakamların toplamı, bu sayının basamak sayısına tam bölünüyor ise bu sayıya "Dengeli Sayı" denir.

Örneğin; 24 sayısı iki basamaklıdır ve rakamları toplamı $2+4=6$ olup 2'ye tam bölündüğü için dengeli bir sayıdır.

Buna göre, 30'dan küçük iki basamaklı kaç farklı dengeli sayı vardır?

Bir bilgisayar oyununda ekrandaki sayıya sırasıyla dört işlem uygulanarak yeni sayılar elde edilmektedir. Bu oyunda seçilebilecek işlemler şu şekildedir:

* Sayının $2$ fazlasını almak ($A$ işlemi)
* Sayının $2$ katını almak ($B$ işlemi)
* Sayının $1$ eksiğini almak ($C$ işlemi)

Oyundaki kural gereği, arka arkaya yapılan iki hamlede aynı işlem türü seçilememektedir.

Buna göre, ekrandaki sayı başlangıçta $3$ olduğuna göre, dört hamle sonunda elde edilebilecek en büyük sayı kaçtır?

Bir öğretmen tahtaya $3 \times 3$ boyutlarında bir tablo çizmiş ve başlangıçta tüm hücrelerine 0 yazmıştır. Daha sonra her adımda aşağıdaki iki işlemden birini uygulamıştır:

* Tablodaki $2 \times 2$ boyutundaki dört alt tablodan birini seçip bu alt tablonun tüm hücrelerindeki sayıları 1 artırmak.
* Tablonun iki köşegeninden birini seçip bu köşegen üzerindeki tüm hücrelerdeki sayıları 1 artırmak.

Öğretmen bu işlemlerden birkaç kez uyguladıktan sonra tablodaki bazı sayıları silmiş ve geriye aşağıdaki görünüm kalmıştır:

Buna göre, tablonun merkezindeki hücrede yazan $K$ sayısı kaçtır?

Bir kutuda üzerinde $1$'den $10$'a kadar sayıların yazılı olduğu $10$ adet kart bulunmaktadır. İki oyuncu sırasıyla bu kutudan geri bırakmamak şartıyla birer kart çekmektedir. Kutudan çekilen tüm kartlar arasından herhangi ikisinin üzerindeki sayıların toplamı $11$ olduğunda oyun bitmektedir. İlk çekilen kart $4$ olduğuna göre, oyun en fazla kaçıncı kart çekildiğinde kesinlikle bitmiş olur?

Bir koordinat düzleminin ba��langıç noktasında $(0,0)$ bulunan bir robot, her adımında ya $(+2, +1)$ ya da $(+1, +2)$ yönünde hareket etmektedir. Bu robot, ardışık iki adımında aynı tür hareketi yapmamaktadır (yani bir adımda $(+2, +1)$ gitmişse bir sonraki adımda mutlaka $(+1, +2)$ gitmektedir).

Buna göre, bu robot başlangıç noktasından harekete başlayarak aşağıdaki noktalardan hangisine ulaşabilir?

Bir torbada üzerlerinde $1$'den $7$'ye kadar olan ardışık tam sayıların yazılı olduğu $7$ adet top bulunmaktadır. Bu torbadaki toplara sırasıyla şu işlem uygulanıyor:
Torbadan üzerindeki sayı en büyük ve en küçük olan iki top çekiliyor. Bu topların üzerindeki sayıların toplamı hesaplanıp bu toplam değeri yeni bir topun üzerine yazılarak torbaya geri atılıyor.

Bu işlem torbada yalnızca tek bir top kalana kadar tekrarlanıyor.

Buna göre, torbada kalan son topun üzerindeki sayı kaçtır?

Bir su deposu $V_1$, $V_2$ ve $V_3$ litre hacimli üç farklı bölmeden oluşmaktadır. Bu bölmelerin hacimleri arasında aşağıdaki ilişkiler bulunmaktadır:

* $V_1$ ve $V_2$ hacimli bölmelerin toplam hacmi, $V_3$ hacimli bölmenin hacminden küçüktür.
* $V_2$ ve $V_3$ hacimli bölmelerin toplam hacmi, $V_1$ hacimli bölmenin hacminin $3$ katına eşittir.

Buna göre; $V_1$, $V_2$ ve $V_3$ hacimlerini temsil eden aşağıdaki bölmeleri en küçük hacimliden en büyük hacimliye doğru sıralayınız.

Üç basamaklı bir doğal sayının, yan yana bulunan her iki basamağındaki rakamların farkının mutlak değerleri toplamına bu sayının dalgalanma değeri denir.

Örneğin; $372$ sayısının dalgalanma değeri $|3-7| + |7-2| = 4 + 5 = 9$ dur.

Rakamları birbirinden farklı olan bir $ABC$ üç basamaklı doğal sayısı ile bu sayının tersten yazılışı olan $CBA$ sayısının dalgalanma değerlerinin toplamı $16$ dır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $ABC$ doğal sayısı yazılabilir?

Bir masa üzerinde üç kart bulunmakta ve bu kartların üzerinde sırasıyla $3$, $5$ ve $7$ sayıları yazmaktadır. Bir oyuncu her adımda masadan herhangi iki kartı seçip alıyor, bu kartlar üzerindeki sayıları çarpıyor ve elde ettiği çarpımın sayı değerleri toplamını yeni bir karta yazarak masaya bırakıyor. Masada tek bir kart kalana kadar bu işleme devam ediliyor.

Buna göre, bu işlemin sonunda masada kalan son kartın üzerinde yazan sayı kaçtır?

Bir dairesel pist üzerinde eşit aralıklarla yerleştirilmiş $12$ adet hedef tahtası saat yönünde $1$'den $12$'ye kadar numaralandırılmıştır. Bir okçu, ilk atışını $1$ numaralı hedefe yaptıktan sonra her seferinde saat yönünde $4$ hedef atlayarak sıradaki hedefe atış yapmaktadır. Örneğin; okçu $1$ numaralı hedefe atı�� yaptıktan sonra ikinci atışını $6$ numaralı hedefe yapmaktadır.

Okçu bu şekilde toplam $45$ atış yaptığına göre, bu atışların kaç tanesini çift numaralı hedeflere yapmıştır?

Bir dairesel pist etrafında saat yönünde $1$'den $12$'ye kadar ardı��ık sayılarla numaralandırılmış $12$ adet durak bulunmaktadır. Bu pistte bulunan bir robot, her adımda üzerinde bulunduğu durağın numarasının kendisi hariç en büyük pozitif böleni kadar durak saat yönünde ilerlemektedir. $1$ numaralı durağın kendisi hariç pozitif böleni olmadığından, robot bu durakta iken $1$ durak ilerlemektedir.

Bu robot ilk hareketine $A$ numaralı duraktan başlayıp $100$ adım attığında $9$ numaralı durakta durmaktadır.

Buna göre, $A$ yerine yazılabilecek farklı durak numaralarının toplamı kaçtır?

Aşağıdaki $3 \times 3$ boyutlarındaki boş tabloya $1$'den $9$'a kadar olan rakamlar, her kareye farklı bir rakam gelecek biçimde yazılacaktır.