Examkin

Sayı Problemleri

278 soru

Soru 181Soru →

Bir elektrikli ara�� şarj istasyonunda hızlı şarj ünitesi sayısı, standart şarj ünitesi sayısının 22 katıdır. Gün boyunca 1212 saatlik aktif hizmet süresince bu istasyondaki tüm üniteler kesintisiz olarak dolu kalmıştır.

İstasyondaki ünitelerin araç şarj etme süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ünite TipiBir Aracın Şarj Süresi
Standart Ünite33 saat
Hızlı Ünite4545 dakika

Bu 1212 saatlik sürede istasyondaki tüm ünitelerde toplam 7272 araç tamamen şarj edildiğine göre, istasyondaki toplam şarj ünitesi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Standart şarj ünitesi sayısına ss dersek hızlı şarj ünitesi sayısı 2s2s olur. 12 saatlik sürede bir standart ünite 123=4\frac{12}{3} = 4 araç şarj ederken, bir hızlı ünite 720 dakika45 dakika=16\frac{720 \text{ dakika}}{45 \text{ dakika}} = 16 araç şarj eder. Toplam şarj edilen araç sayısı 4⋅s+16⋅(2s)=724 \cdot s + 16 \cdot (2s) = 72 denkleminden 36s=72  ⟹  s=236s = 72 \implies s = 2 bulunur. Toplam şarj ünitesi sayısı ise s+2s=3s=3⋅2=6s + 2s = 3s = 3 \cdot 2 = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart ve hızlı şarj ünitelerinin sayılarını değişkenlerle ifade edelim.
Standart şarj ünitesi sayısı ss ise hızlı şarj ünitesi sayısı 2s2s olur. Toplam şarj ünitesi sayısı s+2s=3ss + 2s = 3s olur.
Hızlı şarj ünitesi sayısının, standart şarj ünitesi sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.
2
12 saatlik sürede tek bir standart ve tek bir hızlı ünitenin şarj edebileceği araç sayılarını hesaplayalım.
Bir standart ünite 12 saatte 12/3=412 / 3 = 4 araç şarj eder. Bir hızlı ünite ise 12 saatte (yani 720720 dakikada) 720/45=16720 / 45 = 16 araç şarj eder.
Ünitelerin 12 saat boyunca kesintisiz çalıştığı belirtildiğinden, toplam süreyi bir aracın şarj süresine bölerek ünite başına düşen araç sayısını buluruz.
3
Tüm ünitelerin 12 saatte şarj ettiği toplam araç sayısını veren denklemi kurup çözelim.
s⋅4+2s⋅16=72  ⟹  4s+32s=72  ⟹  36s=72  ⟹  s=2s \cdot 4 + 2s \cdot 16 = 72 \implies 4s + 32s = 72 \implies 36s = 72 \implies s = 2 bulunur. Toplam şarj ünitesi sayısı 3s=3⋅2=63s = 3 \cdot 2 = 6 olarak elde edilir.
Toplam şarj edilen araç sayısı 72 olarak verildiği için bu değeri denklemimize eşitleyerek standart ünite sayısını ve ardından toplam ünite sayısını buluruz.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 182Soru →

Bir çiçekçide satılan lale ve güllerden oluşan 18 adet çiçeğin bulunduğu bir buket hazırlanmıştır. Bu buketteki bir adet gülün fiyatı 20 TL, bir adet lalenin fiyatı ise 15 TL'dir. Buketteki tüm çiçeklerin toplam tutarı 310 TL olduğuna göre, bu buketteki gül sayısı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Buketteki gül sayısı 8'dir.
Gül sayısı xx olarak belirlendiğinde lale sayısı 18−x18 - x olur. Buketteki çiçeklerin toplam tutarı 20x+15(18−x)=31020x + 15(18 - x) = 310 denklemi ile modellenir. Parantez dağıtıldığında 20x+270−15x=31020x + 270 - 15x = 310 ve buradan 5x=405x = 40 elde edilir. Her iki taraf 5'e bölündüğünde gül sayısı olan xx değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve toplam tutarı veren denklemi kurma
Gül sayısı xx ise lale sayısı 18−x18 - x olur. Toplam tutar: 20x+15(18−x)=31020x + 15(18 - x) = 310 TL olarak yazılır.
Toplam çiçek sayısı ve birim fiyatlar kullanılarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilmek istenir.
2
Parantezi dağıtma ve denklemi sadeleştirme
20x+270−15x=310  ⟹  5x+270=31020x + 270 - 15x = 310 \implies 5x + 270 = 310 elde edilir.
Benzer terimler bir araya getirilerek denklem çözüme hazır hale getirilir.
3
Bilinmeyeni yalnız bırakarak denklemi çözme
5x=40  ⟹  x=85x = 40 \implies x = 8 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki tarafı sadeleştirilerek gül sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğrusal denklem kurarak sayı problemlerini modelleme ve çözme

Alternatif Yöntem

Tüm çiçeklerin lale olduğu varsayılırsa, toplam tutar 18×15=27018 \times 15 = 270 TL olurdu. Gerçek tutar olan 310 TL ile bu değer arasındaki fark 310−270=40310 - 270 = 40 TL'dir. Bir gülün fiyatı bir lalenin fiyatından 20−15=520 - 15 = 5 TL daha fazla olduğuna göre, bu 40 TL'lik farkı oluşturmak için bukette 40/5=840 / 5 = 8 adet gül bulunmalıdır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 183Soru →

Bir müzede ziyaretçiler için AA, BB ve CC olmak üzere üç farklı giriş kartı seçeneği sunulmaktadır. Bu kartların özellikleri aşağıda verilmiştir:
* AA kartı ile 33 kez,
* BB kartı ile 55 kez,
* CC kartı ile 88 kez giriş hakkı kazanılmaktadır.

Bu müzeden toplam 3030 adet kart satın alan bir grup öğrenci, satın aldıkları kartların tüm giriş haklarını kullanarak toplam 188188 kez giriş yapmıştır.

Gruptaki öğrencilerin satın aldığı AA kartı sayısı, BB kartı sayısının 22 katı olduğuna göre, satın alınan CC kartı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Satın alınan C kartı sayısı 18'dir.
Doğru yanıt 18'dir. Denklem sistemi kurulup çözüldüğünde A kartından 8 adet, B kartından 4 adet ve C kartından 18 adet satın alındığı bulunur. Bu durum toplam kart sayısının 30, toplam giriş sayısının ise 188 olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve kart adetleri arasındaki ilişkinin kurulması.
BB kartı sayısı xx olsun. AA kartı sayısı BB kartı sayısının 22 katı olduğundan, A=2xA = 2x olur. Toplam 3030 kart olduğu için CC kartı sayısı 30−(2x+x)=30−3x30 - (2x + x) = 30 - 3x olarak ifade edilir.
Soru metnindeki kart adetleri arasındaki ilişkileri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
2
Toplam giriş sayısına göre denklemin kurulması.
Giriş sayıları toplamı: 3⋅(2x)+5⋅x+8⋅(30−3x)=1883 \cdot (2x) + 5 \cdot x + 8 \cdot (30 - 3x) = 188 denklemi elde edilir.
Kartların sağladığı toplam giriş hakkı sayısını kullanarak xx değişkenini bulmak için.
3
Denklemin çözülmesi ve xx de��erinin bulunması.
6x+5x+240−24x=188  ⟹  11x−24x+240=188  ⟹  −13x=−52  ⟹  x=46x + 5x + 240 - 24x = 188 \implies 11x - 24x + 240 = 188 \implies -13x = -52 \implies x = 4 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini (B kartı sayısını) elde etmek için.
4
CC kartı sayısının hesaplanması.
C=30−3xC = 30 - 3x ifadesinde x=4x = 4 yazılırsa, C=30−3(4)=30−12=18C = 30 - 3(4) = 30 - 12 = 18 bulunur.
Soruda bizden istenen C kartı sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemler yardımıyla sayı problemlerini çözme.

Alternatif Yöntem

Değişken sayısını azaltmak için değer verme yöntemi veya seçeneklerden giderek deneme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, C kartı sayısı için seçenekler elendiğinde, kalan kartlar A ve B arasında 2:1 oranında paylaştırılıp toplam giriş sayısının 188 olup olmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 184Soru →

Bir kargo firmasında çalışan Ahmet ve Barış'ın gün sonunda teslim ettikleri paket sayıları ve bu paketler karşılığında alacakları net prim ödemeleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ahmet ve Barış'ın her birine gün başında dağıtmak üzere eşit sayıda paket verilmiştir.
* Ahmet, zamanında teslim ettiği her paket için 1515 TL prim alırken; zamanında teslim edemediği her paket için 1010 TL ceza ödemekte (bu tutar priminden düşülmekte)dir.
* Barış, zamanında teslim ettiği her paket için 2020 TL prim alırken; zamanında teslim edemediği her paket için 1212 TL ceza ödemektedir.
* Gün sonunda her ikisi de kendilerine verilen tüm paketleri teslim etmiştir.
* İkisinin zamanında teslim ettiği toplam paket sayısı, zamanında teslim edemediği toplam paket sayısının 33 katıdır.
* Ahmet'in gün sonunda elde ettiği net prim, Barış'ın elde ettiği net primden 9090 TL fazladır.

Buna göre, Ahmet'in gün başında dağıtmak üzere aldığı toplam paket sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Ahmet'in gün başında dağıtmak üzere aldığı toplam paket sayısı 60'tır.
Zamanında teslim edilen toplam paket sayısı ile zamanında teslim edilemeyen toplam paket sayısı arasındaki orandan toplam paket sayısı olan NN ile zamanında teslim edilen paket sayıları xx ve yy arasında N=23(x+y)N = \frac{2}{3}(x+y) bağıntısı kurulur. Net prim farkı denklemi oluşturulup bu bağıntı yerine yazıldığında 79x−92y=27079x - 92y = 270 Diofant denklemi elde edilir. Pozitif tam sayı sınır koşullarında bu denklemi sağlayan en küçük değerler x=50x = 50 ve y=40y = 40 olup toplam paket sayısı N=60N = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet ve Barış'ın her birine verilen paket sayısını NN, Ahmet'in zamanında teslim ettiği paket sayısını xx, Barış'ın zamanında teslim ettiği paket sayısını ise yy olarak değişkenlerle ifade edelim.
Ahmet'in zamanında teslim edemediği paket sayısı N−xN - x, Barış'ın ise N−yN - y olur.
Problemdeki verileri matematiksel denklemlere dökebilmek için değişkenleri tanımlamamız gerekir.
2
İki kuryenin zamanında teslim ettiği toplam paket sayısı (x+yx + y) ile zamanında teslim edemediği toplam paket sayısının [(N−x)+(N−y)=2N−(x+y)(N - x) + (N - y) = 2N - (x + y)] oranını kullanarak bir denklem kuralım.
x+y=3⋅[2N−(x+y)]  ⟹  4(x+y)=6N  ⟹  N=23(x+y)x + y = 3 \cdot [2N - (x + y)] \implies 4(x + y) = 6N \implies N = \frac{2}{3}(x + y) elde edilir.
Zamanında teslim edilen paketlerin, teslim edilemeyenlerin 3 katı olduğu bilgisini denklemleştirmek için.
3
Ahmet ve Barış'ın aldıkları net prim miktarlarını veren denklemleri yazıp net prim farkını (9090 TL) eşitleyelim.
Ahmet'in net primi: 15x−10(N−x)=25x−10N15x - 10(N - x) = 25x - 10N ve Barış'ın net primi: 20y−12(N−y)=32y−12N20y - 12(N - y) = 32y - 12N olup, prim farkı: (25x−10N)−(32y−12N)=90  ⟹  25x−32y+2N=90(25x - 10N) - (32y - 12N) = 90 \implies 25x - 32y + 2N = 90 olur.
Prim kazançları ve aralarındaki fark bilgisini kullanarak ikinci ana denklemi oluşturmak için.
4
N=23(x+y)N = \frac{2}{3}(x + y) ifadesini prim farkı denkleminde yerine yazarak xx ve yy cinsinden bir Diofant denklemi elde edelim ve en küçük pozitif tam sayı çözümünü bulalım.
25x−32y+2⋅23(x+y)=90  ⟹  79x−92y=27025x - 32y + 2 \cdot \frac{2}{3}(x + y) = 90 \implies 79x - 92y = 270 denklemini sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü x=50x = 50 ve y=40y = 40 olarak bulunur. Buradan toplam paket sayısı N=23(50+40)=60N = \frac{2}{3}(50 + 40) = 60 elde edilir.
Bilinmeyenleri sınır koşullarına göre çözüp Ahmet'in aldığı toplam paket sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 185Soru →

Bir kargo firması gönderilen paketleri 'küçük boy' ve 'büyük boy' olarak iki kategoriye ayırmaktadır. Bu firmada kargo gönderim ücretleri şu şekildedir:
- Küçük boy paket: 1515 TL
- Büyük boy paket: 2525 TL

Zeynep, bu firmayla bir kısmı küçük boy, kalanı büyük boy olan toplam 1212 adet paket göndermiş ve kargo ücreti olarak toplam 220220 TL ödemiştir.

Buna göre, Zeynep'in gönderdiği paketlerden kaç tanesi küçük boy pakettir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Küçük boy paket sayısı xx olarak seçilirse büyük boy paketlerin sayısı 12−x12-x olur. Birim fiyatlarla çarpılarak elde edilen toplam ücret denklemi 15x+25(12−x)=22015x + 25(12-x) = 220 şeklindedir. Parantez dağıtılıp denklem çözüldüğünde −10x=−80-10x = -80 elde edilir ve buradan x=8x = 8 bulunur. Bu nedenle küçük boy paket sayısı sekizdir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenlerin tanımlanması ve denklemin kurulması
Küçük boy paket sayısı xx olsun. Toplam paket sayısı 1212 olduğundan büyük boy paket sayısı 12−x12 - x olur. Toplam ücret 15x+25(12−x)=22015x + 25(12 - x) = 220 denklemi ile gösterilir.
Problemdeki sözel verileri tek bir bilinmeyene bağlı matematiksel bir modele dönüştürmek için.
2
Denklemin çözülmesi
15x+300−25x=220  ⟹  −10x+300=220  ⟹  10x=80  ⟹  x=815x + 300 - 25x = 220 \implies -10x + 300 = 220 \implies 10x = 80 \implies x = 8 olarak bulunur.
Bilinmeyen küçük boy paket sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde, iki farklı grubun toplam sayısı biliniyorsa, grupların eleman sayıları tek bir değişken (x ve Toplam - x) cinsinden yazılarak denklem çözülür.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. Küçük boy paket sayısı sekiz olarak seçilirse büyük boy paket sayısı dört olur. Toplam maliyet 8×15+4×25=120+100=2208 \times 15 + 4 \times 25 = 120 + 100 = 220 TL olarak hesaplanır ve bu durum soruda verilen bilgileri doğrudan sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 186Soru →

Bir öğrencinin çözdüğü ve kalan soru sayılarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Çözülen soru sayısı, kalan soru sayısının 22 katından 1212 eksiktir.
* Bu testteki toplam soru sayısı, çözülen soru sayısının en az 22 katıdır.

Buna göre, bu testteki toplam soru sayısını gösteren kaç farklı iki basamaklı doğal sayı vard��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Toplam soru sayısı ile çözülen ve kalan soru sayıları arasındaki ilişkilerden hareketle kalan soru sayısı kk için 8≤k≤128 \leq k \leq 12 aralığı elde edilir. Bu aralıkta alabileceği 5 farklı tam sayı değeri vardır ve her biri için farklı bir iki basamaklı toplam soru sayısı oluşur. Dolayısıyla toplamda 5 farklı iki basamaklı doğal sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çözülen soru sayısını cc ve kalan soru sayısını kk olarak değişkenlere atayıp aralarındaki denklemi kurmak.
c=2k−12c = 2k - 12 denklemi elde edilir. ��özülen soru sayısı negatif olamayacağından c≥0  ⟹  2k−12≥0  ⟹  k≥6c \geq 0 \implies 2k - 12 \geq 0 \implies k \geq 6 elde edilir.
Soruda verilen çözülen soru sayısı ile kalan soru sayıs�� arasındaki doğrusal ilişkiyi matematiksel olarak modellemek ve değişken sınırını belirlemek için bu adım uygulanır.
2
Toplam soru sayısını (TT) bu değişkenler cinsinden yazıp iki basamaklı sayı olma kısıtını uygulamak.
T=c+k=(2k−12)+k=3k−12T = c + k = (2k - 12) + k = 3k - 12 olarak bulunur. TT iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan 10≤3k−12≤99  ⟹  22≤3k≤111  ⟹  7.33≤k≤3710 \leq 3k - 12 \leq 99 \implies 22 \leq 3k \leq 111 \implies 7.33 \leq k \leq 37 aralığı elde edilir. kk bir tam sayı olduğundan alt sınır k≥8k \geq 8 olur. Dolayısıyla 8≤k≤378 \leq k \leq 37 aralığı elde edilir.
Toplam soru sayısının iki basamaklı bir sayı olması koşulunu kullanarak kalan soru sayısı kk için bir tanım aralığı belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.
3
İkinci koşul olan 'toplam soru sayısı, çözülen soru sayısının en az 22 katıdır' kısıtını eşitsizlik olarak kurup çözmek.
T≥2c  ⟹  3k−12≥2(2k−12)  ⟹  3k−12≥4k−24  ⟹  −k≥−12  ⟹  k≤12T \geq 2c \implies 3k - 12 \geq 2(2k - 12) \implies 3k - 12 \geq 4k - 24 \implies -k \geq -12 \implies k \leq 12 elde edilir.
Toplam soru sayısı ile çözülen soru sayısı arasındaki eşitsizlik ilişkisinden kk için bir üst sınır belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.
4
Elde edilen 8≤k≤378 \leq k \leq 37 ve k≤12k \leq 12 eşitsizliklerini birleştirerek kk tam sayısının alabileceği farklı değerleri bulmak.
Ortak aralık 8≤k≤128 \leq k \leq 12 olarak bulunur. kk bir tam sayı olduğundan alabileceği değerler {8,9,10,11,12}\{8, 9, 10, 11, 12\} olup toplamda 5 adettir. Bu değerler için toplam soru sayıları sırasıyla 12,15,18,21,2412, 15, 18, 21, 24 olur ve hepsi iki basamaklı sayılardır.
Her iki koşulu ve iki basamaklı sayı tanımını sağlayan tüm olası durumları belirlemek amacıyla bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Birinci Dereceden Eşitsizlikler
Soru 187Soru →

Bir dijital yayın platformunda Standart ve Premium olmak üzere iki farklı üyelik seçeneği sunulmaktadır. Bu üyelik paketlerinin aylık sabit ücretleri ve kiralanan film başına ödenen ek ücretler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üyelik PaketiAyl��k Sabit Ücret (TL)Film Başına Ek Ücret (TL)
Standart8015
Premium14010

Bu platforma aynı ayda üye olan Can ve Demir'den Can Standart paketi, Demir ise Premium paketi seçmiştir. Bu ayda Can ve Demir'in kiraladıkları toplam film sayısı 22'dir.

Ay sonunda Can'ın ödediği toplam tutar, Demir'in ödediği toplam tutardan en az 20 TL fazla olduğuna göre, Can bu ayda en az kaç film kiralamıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Can'ın kiraladığı en az film sayısı 12'dir.
Can'ın kiraladığı film sayısı xx olarak kabul edildiğinde, Demir'in kiraladığı film sayısı 22−x22-x olur. Can'ın Standart paket kapsamında ödediği toplam ücret 80+15x80 + 15x TL iken, Demir'in Premium paket kapsamında ödediği toplam ücret 140+10(22−x)140 + 10(22-x) TL'dir. Can'ın ödediği ücretin Demir'in ödediği ücretten en az 20 TL fazla olduğunu gösteren eşitsizlik (80+15x)−(140+10(22−x))≥20(80 + 15x) - (140 + 10(22-x)) \ge 20 şeklinde kurulur. Bu eşitsizlik düzenlendiğinde 25x−280≥20  ⟹  25x≥300  ⟹  x≥1225x - 280 \ge 20 \implies 25x \ge 300 \implies x \ge 12 elde edilir. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı değeri 12 olduğundan doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve film sayılarının harflendirilmesi.
Can'ın kiraladığı film sayısı xx olsun. Toplam film sayısı 22 olduğundan, Demir'in kiraladığı film sayısı 22−x22-x olur.
Değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.
2
Kişilerin ödediği toplam ücretlerin cebirsel olarak ifade edilmesi.
Can'ın ödediği toplam tutar: 80+15x80 + 15x TL. Demir'in ödediği toplam tutar: 140+10(22−x)=140+220−10x=360−10x140 + 10(22-x) = 140 + 220 - 10x = 360 - 10x TL.
Toplam ücret, aylık sabit ücret ile kiralanan film sayısının birim film ücretiyle çarpımının toplamına eşittir.
3
Verilen koşula uygun eşitsizliğin kurulması ve çözülmesi.
(80+15x)−(360−10x)≥20  ⟹  25x−280≥20  ⟹  25x≥300  ⟹  x≥12(80 + 15x) - (360 - 10x) \ge 20 \implies 25x - 280 \ge 20 \implies 25x \ge 300 \implies x \ge 12 bulunur. Dolayısıyla xx değerinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 12'dir.
Can'ın ödediği tutarın Demir'in ödediği tutardan en az 20 TL fazla olduğu belirtildiği için bu fark 20'den büyük veya eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren sayı problemleri

Alternatif Yöntem

Seçeneklerdeki değerler Can'ın film sayısı olarak tek tek denenip Demir'in film sayısı 22−x22-x olarak bulunarak ödenen tutarlar hesaplanabilir. Örneğin 12 değeri denendiğinde Can 80+15×12=26080 + 15 \times 12 = 260 TL öder. Demir ise 140+10×10=240140 + 10 \times 10 = 240 TL öder. Aradaki fark 260−240=20260 - 240 = 20 TL olur ve en az 20 TL fazlalık koşulunu sağlar. Daha küçük değerler denendiğinde farkın 20 TL'nin altına düştüğü görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 188Soru →

Bir kargo teslim noktasındaki akıllı dolapta, AA ve BB tipi olmak üzere iki farklı boyutta toplam 6060 adet bölme bulunmaktadır. Bu bölmelerin paket kabul kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir AA tipi bölmeye en fazla 11 adet küçük paket yerleştirilebilmektedir.
* Her bir BB tipi bölmeye ise ya 11 adet büyük paket ya da en fazla 33 adet küçük paket yerle��tirilebilmektedir.

Gün sonunda bu dolaptaki bölmelerin doluluk durumuyla ilgili şunlar gözlemlenmiştir:

* AA tipi bölmelerin üçte biri, BB tipi bölmelerin ise dörtte biri tamamen boştur.
* Dolapta boş kalan toplam bölme sayısı 1616'dır.
* Dolu olan BB tipi bölmelerin bir kısmına sadece birer adet büyük paket konulmuş, kalan BB tipi bölmeler ise üçer adet küçük paketle tamamen doldurulmuştur.
* Dolu olan AA tipi bölmelerin her birinde ise birer adet küçük paket bulunmaktadır.
* Dolaba yerleştirilen toplam küçük paket sayısı, toplam büyük paket sayısına eşittir.

Buna göre, dolu olan BB tipi bölmelerin kaç tanesinde küçük paket bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Dolu olan B tipi bölmelerin 7 tanesinde küçük paket bulunmaktadır.
Dolu olan B tipi bölmelerin 7 tanesine üçer adet küçük paket yerleştirildiğinde, dolaptaki toplam küçük paket sayısı ile büyük paket sayısı eşitlenmektedir. Bu durum, kurulan denklem sisteminin tek ve tutarlı çözümüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Dolaptaki A ve B tipi bölme sayılarını belirlemek amacıyla denklem sistemi kuralım.
A+B=60A + B = 60 ve A3+B4=16\frac{A}{3} + \frac{B}{4} = 16 denklemleri elde edilir.
Toplam bölme sayısının 6060, boş bölme sayısının ise 1616 olduğu verilmiştir.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek bölme sayılarını hesaplayalım.
A=12A = 12 ve B=48B = 48 bulunur.
İkinci denklem 1212 ile genişletildiğinde 4A+3B=1924A + 3B = 192 elde edilir. Birinci denklemin 33 katı olan 3A+3B=1803A + 3B = 180 ifadesi bundan çıkarıldığında A=12A = 12 kalır.
3
Dolu olan A ve B tipi bölme sayılarını bulalım.
Dolu A tipi bölme sayısı: 12−4=812 - 4 = 8. Dolu B tipi bölme sayısı: 48−12=3648 - 12 = 36 olur.
A tipi bölmelerin üçte biri (44 tanesi), B tipi bölmelerin ise dörtte biri (1212 tanesi) boştur.
4
B tipi dolu bölmelere yerleştirilen paket sayılarını değişken kullanarak eşitleyelim.
8+3x=36−x8 + 3x = 36 - x denklemi kurulur ve buradan x=7x = 7 elde edilir.
B tipi dolu bölmelerin xx tanesine üçer küçük paket, 36−x36 - x tanesine birer büyük paket yerleştirilirse toplam küçük paket sayısı 8+3x8 + 3x, büyük paket sayısı 36−x36 - x olur. Bu iki değer birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 189Soru →

Bir gruptaki kişilerin şimdiki yaşları toplamı iki basamaklı abab sayısıdır. Bu gruptaki kişi sayısı ise bu sayının rakamları toplamı olan a+ba+b değerine eşittir.

Gruptaki herkesin 3 yıl sonraki yaşları toplamı, şimdiki yaşları toplamından 15 fazla ve şimdiki yaşları toplamı gruptaki kişi sayısının 6 katından 2 fazla olduğuna göre, bu grubun şimdiki yaşları toplamı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Şimdiki yaşları toplamını gösteren değer 32'dir.
Yaşlar toplamındaki 15 artış, gruptaki kişi sayısı ile geçen 3 yılın çarpımına eşittir. Buradan kişi sayısı 15÷3=515 \div 3 = 5 bulunur. Gruptaki kişi sayısı rakamlar toplamı olan a+ba+b değerine eşit olduğundan a+b=5a+b=5 elde edilir. Şimdiki yaşlar toplamı (abab), kişi sayısının 6 katından 2 fazla olduğuna göre ab=6×5+2=32ab = 6 \times 5 + 2 = 32 olur. 3232 sayısının rakamları toplamı da 3+2=53+2=5 koşulunu sağladığı için şimdiki yaşlar toplamı 32'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Gruptaki kişi sayısını belirlemek amacıyla yaş artışı bilgisinden faydalanılır.
Kişi sayısı = 15÷3=515 \div 3 = 5 olarak bulunur.
Gruptaki her bir kişinin yaşı 3 yıl sonra 3 artacaktır. Yaşlar toplamındaki 15 artış, kişi sayısı ile 3'ün çarpımına eşittir.
2
Kişi sayısı bilgisiyle iki basamaklı abab sayısının rakamları toplamı denklemi kurulur.
a+b=5a + b = 5 olur.
Gruptaki kişi sayısının, şimdiki yaşlar toplamı olan abab sayısının rakamları toplamına (a+ba+b) eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Şimdiki yaşlar toplamı olan abab sayısının değeri hesaplanır.
ab=6×5+2=32ab = 6 \times 5 + 2 = 32 olarak elde edilir.
Şimdiki yaşlar toplamının, kişi sayısının 6 katından 2 fazla olduğu ifade edilmiştir. Bulunan kişi sayısı (5) yerine yazıldığında sonuç 32 çıkar. 3232 sayısının rakamları toplamı da 3+2=53+2=5 koşulunu doğrulamaktadır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler yardımıyla cebirsel denklemlere dökme ve iki basamaklı sayı basamak analizi mantığını uygulama.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 190Soru →

Bir tur şirketi; kapasiteleri sırasıyla 15, 20 ve 25 kişilik olan A, B ve C tipi otobüslerden oluşan toplam 18 adet araçla bir gezi düzenleyecektir. Geziye katılacak toplam kişi sayısı 320'dir.

Bu otobüslerin kullanımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* A tipi otobüs sayısı, C tipi otobüs sayısının 2 katından fazladır.
* B tipi otobüslerden en az bir adet kullanılacaktır.
* Tüm otobüsler tam kapasiteyle doldurulacaktır.

Buna göre, bu gezi için kullanılan C tipi otobüs sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En fazla 4 adet C tipi otobüs kullanılabilir.
A, B ve C tipi otobüs sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirlendiğinde, toplam araç sayısı a+b+c=18a + b + c = 18 ve toplam kapasite 15a+20b+25c=32015a + 20b + 25c = 320 denklemleri kurulur. İkinci denklem sadeleştirilip birinci denklem yerine yazıldığında a=c+8a = c + 8 elde edilir. a>2ca > 2c koşulundan c<8c < 8 bulunur. Ayrıca en az bir B tipi otobüs kullanılması gerektiğinden, b=10−2c≥1  ⟹  c≤4,5b = 10 - 2c \geq 1 \implies c \leq 4,5 elde edilir. Bu iki koşulu birden sağlayan en büyük cc tam sayısı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Otobüs sayılarını değişkenlerle ifade edip toplam araç sayısı ve toplam yolcu kapasitesi denklemlerini kuralım.
A tipi otobüs sayısı aa, B tipi bb ve C tipi cc olsun. Bu durumda a+b+c=18a + b + c = 18 ve 15a+20b+25c=32015a + 20b + 25c = 320 elde edilir.
Sayı problemlerindeki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Yolcu kapasitesi denklemini sadeleştirip bb değişkenini yok edelim.
3a+4b+5c=643a + 4b + 5c = 64 olur. İlk denklemden b=18−a−cb = 18 - a - c ifadesi yerine yazılırsa: 3a+4(18−a−c)+5c=64  ⟹  a=c+83a + 4(18 - a - c) + 5c = 64 \implies a = c + 8 ilişkisi bulunur.
Değişken sayısını azaltarak iki değişken arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
A tipi otobüs sayısı ile C tipi otobüs sayısı arasındaki eşitsizliği kullanalım.
a>2ca > 2c olduğu verilmiştir. a=c+8a = c + 8 ifadesini yerine yazarsak c+8>2c  ⟹  c<8c + 8 > 2c \implies c < 8 elde edilir.
Eşitsizlik sınırlarından birini belirlemek için.
4
B tipi otobüs sayısının en az 1 olması koşulunu kullanalım.
b=18−a−c=18−(c+8)−c=10−2cb = 18 - a - c = 18 - (c + 8) - c = 10 - 2c olur. b≥1  ⟹  10−2c≥1  ⟹  2c≤9  ⟹  c≤4,5b \geq 1 \implies 10 - 2c \geq 1 \implies 2c \leq 9 \implies c \leq 4,5 bulunur.
Diğer sınır koşulunu belirleyip olası değer aralığını daraltmak için.
5
Elde edilen sınırları birleştirerek cc için en büyük tam sayı değerini bulalım.
c<8c < 8 ve c≤4,5c \leq 4,5 koşullarını sağlayan en büyük cc tam sayısı 4'tür. Bu durumda a=12a = 12 ve b=2b = 2 olup tüm koşullar sağlanır.
Soruda istenen en büyük değeri tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Eşitsizlik Sınır Koşulları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 191Soru →

Bir geri dönüşüm merkezindeki otomat; içerisine atılan her bir plastik şişe için 15 puan, her bir cam şişe için ise 25 puan vermektedir. Bu otomatta biriktirilen her 100 puan karşılığında 5 TL değerinde bir alışveriş kuponu kazanılmaktadır.

Otomata belirli sayıda plastik ve cam şişe atan bir kişinin kazandığı toplam puan ile alabileceği maksimum tutarda alışveriş kuponu alınmış ve bu işlemden sonra otomatın ekranında geriye hiç puan kalmadığı görülmüştür.

Alınan alışveriş kuponlarının toplam değeri 45 TL'dir.

Bu kişinin otomata attığı cam şişe sayısı, plastik şişe sayısının 2 katından 3 eksik olduğuna göre, otomata atılan toplam şişe sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Toplam şişe sayısı 42'dir.
Toplam kupon değeri 45 TL olup her 5 TL kupon için 100 puan toplandığından, otomat ekranında biriken toplam puan 9 * 100 = 900 puandır. Plastik şişe sayısı x olarak seçilirse, cam şişe sayısı 2x - 3 olur. Plastik şişelerden 15x puan, cam şişelerden ise 25(2x - 3) puan kazanılır. Toplam puan denklemi 15x + 25(2x - 3) = 900 şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 65x - 75 = 900 ve buradan x = 15 bulunur. Plastik şişe sayısı 15, cam şişe sayısı 2 * 15 - 3 = 27'dir. Toplam şişe sayısı ise 15 + 27 = 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kupon değerinden yararlanarak otomatta biriken toplam puanı hesaplayınız.
900 puan
Her 100 puan karşılığında 5 TL değerinde kupon verilmektedir. Toplamda 45 TL değerinde kupon alındığına göre, alınan kupon sayısı 45 / 5 = 9 adettir. Her kupon için 100 puan gerektiğinden ve geriye hiç puan kalmadığından toplam puan 9 * 100 = 900 olmalıdır.
2
Plastik ve cam şişe sayılarını değişkenler cinsinden ifade ederek toplam puan denklemini kurunuz.
15x + 25(2x - 3) = 900
Plastik şişe sayısı x olsun. Cam şişe sayısı, plastik şişe sayısının 2 katından 3 eksik olduğuna göre 2x - 3 olur. Plastik şişelerden 15x puan, cam şişelerden 25(2x - 3) puan kazanılır. Bu iki değerin toplamı 900 puana eşitlenir.
3
Kurulan denklemi çözerek plastik ve cam şişe sayılarını, ardından da toplam şişe sayısını hesaplayınız.
Plastik şişe sayısı = 15, Cam şişe sayısı = 27, Toplam şişe sayısı = 42
15x + 50x - 75 = 900 denklemi düzenlenirse 65x = 975 bulunur. Buradan x = 15 (plastik şişe sayısı) elde edilir. Cam şişe sayısı ise 2 * 15 - 3 = 27 olur. Toplam şişe sayısı 15 + 27 = 42 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Değişken atama, oran kurma ve birinci dereceden doğrusal denklem sistemlerini modelleyerek sayı problemlerini çözme.
Soru 192Soru →

Bir A4 kağıdı ambalajının üzerinde yazan iki basamaklı abab sayısı, paketin içindeki toplam kağıt sayısını göstermektedir. Bu paketten 1818 adet kağıt alındığında, alınan kağıt sayısı başlangıçtaki kağıt sayısı ile rakamları toplamı arasındaki farktan fazla olmaktadır.

Buna göre, bu pakette başlangıçta en fazla kaç kağıt olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Başlangıçtaki kağıt sayısı en fazla 19 olabilir.
Başlangıçtaki kağıt sayısı 10a+b10a + b ve rakamları toplamı a+ba+b olduğundan fark 9a9a'dır. Soruda 18>9a18 > 9a olduğu verilmiştir. Buradan a<2a < 2 bulunur. abab iki basamaklı sayı olduğundan onlar basamağındaki rakam sıfır olamaz, bu yüzden a=1a = 1 olmalıdır. Sayının en büyük değeri için birler basamağına en büyük rakam olan 99 seçildiğinde başlangıçtaki kağıt sayısının en fazla 19 olabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kağıt sayısını basamak analizi kullanarak yazalım ve soruda verilen farkı ifade edelim.
İki basamaklı abab sayısı 10a+b10a + b şeklinde yazılır. Rakamları toplamı a+ba + b olduğundan, başlangıçtaki kağıt sayısı ile rakamları toplamı arasındaki fark: (10a+b)−(a+b)=9a(10a + b) - (a + b) = 9a olur.
Sözel problemi matematiksel modele dönüştürmek için basamak çözümlemesi yapılır.
2
Alınan kağıt sayısının bu farktan fazla olduğunu belirten eşitsizliği kuralım ve sadeleştirelim.
18>9a18 > 9a eşitsizliğinin her iki tarafı 99'a bölündüğünde a<2a < 2 elde edilir.
Soruda alınan 18 adet kağıdın, elde edilen farktan daha fazla olduğu belirtilmiştir.
3
a<2a < 2 eşitsizliğini sağlayan en büyük aa rakamını belirleyip, iki basamaklı abab sayısını en büyük yapacak bb rakamını seçelim.
abab iki basamaklı bir sayı olduğundan onlar basamağındaki aa sıfır olamaz. Dolayısıyla a<2a < 2 koşulunu sağlayan tek rakam a=1a = 1'dir. Sayının en büyük olması istendiğinden, birler basamağındaki bb rakamı en büyük değer olan 99 seçilir. Buradan ab=19ab = 19 bulunur.
İki basamaklı sayının değerini en büyük yapmak için onlar basamağı sabitken birler basamağına alabileceği en büyük rakam değeri verilir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde basamak analizi ve eşitsizliklerin birlikte kullanımı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 193Soru →

Bir metro hattındaki A ve B istasyonlarında bulunan bilet yükleme otomatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A istasyonundaki otomat sadece 10 TL10\text{ TL}'lik ve 20 TL20\text{ TL}'lik banknotları kabul etmektedir.
* B istasyonundaki otomat sadece 20 TL20\text{ TL}'lik ve 50 TL50\text{ TL}'lik banknotları kabul etmektedir.
* Bir gün içinde A istasyonundaki otomata yüklenen toplam banknot sayısı, B istasyonundaki otomata yüklenen toplam banknot sayısının 22 katıdır.
* A istasyonundaki otomata yüklenen toplam para miktarı 800 TL800\text{ TL}, B istasyonundaki otomata yüklenen toplam para miktarı ise 1100 TL1100\text{ TL}'dir.

A istasyonundaki otomata atılan 10 TL10\text{ TL}'lik banknot sayısı, B istasyonundaki otomata atılan 50 TL50\text{ TL}'lik banknot sayısına eşit olduğuna göre, bu iki otomata atılan toplam 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Her iki otomata atılan toplam 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı 3535 adettir.
A ve B istasyonlarındaki banknot adetleri sırasıyla x,yx, y ve z,wz, w olarak tanımlandığında elde edilen x+2y=80x + 2y = 80, 2z+5w=1102z + 5w = 110, x=wx = w ve y=2z+xy = 2z + x denklem sisteminin ortak çözümünden y=30y = 30 ve z=5z = 5 bulunur. Toplam 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı 30+5=3530 + 5 = 35 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A istasyonundaki banknot adetleri için değişkenler tanımlanır ve toplam para miktarı denklemine dönüştürülür.
A istasyonundaki 10 TL10\text{ TL}'lik banknot sayısı xx, 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı yy olsun. Toplam para denklemi: 10x+20y=800  ⟹  x+2y=8010x + 20y = 800 \implies x + 2y = 80 elde edilir.
Verilen toplam para miktarını cebirsel olarak ifade etmek için.
2
B istasyonundaki banknot adetleri için değişkenler tanımlanır ve toplam para miktarı denklemine dönüştürülür.
B istasyonundaki 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı zz, 50 TL50\text{ TL}'lik banknot sayısı ww olsun. Toplam para denklemi: 20z+50w=1100  ⟹  2z+5w=11020z + 50w = 1100 \implies 2z + 5w = 110 elde edilir.
B istasyonundaki toplam para miktarını cebirsel olarak ifade etmek için.
3
Banknot sayıları arasındaki ilişkiler kullanılarak denklem sistemi çözülür.
A istasyonundaki 10 TL10\text{ TL}'lik banknot sayısı ile B istasyonundaki 50 TL50\text{ TL}'lik banknot sayısı eşit olduğundan x=wx = w yazılır. A istasyonundaki toplam banknot sayısı, B istasyonundakinin 2 katı olduğundan x+y=2(z+w)  ⟹  x+y=2z+2wx + y = 2(z + w) \implies x + y = 2z + 2w olur. ww yerine xx yazılırsa x+y=2z+2x  ⟹  y=2z+xx + y = 2z + 2x \implies y = 2z + x elde edilir. Birinci adımdaki denklemden y=40−0.5xy = 40 - 0.5x, ikinci adımdaki denklemden z=55−2.5xz = 55 - 2.5x değerleri bu eşitlikte yerine yazılırsa: 40−0.5x=2(55−2.5x)+x  ⟹  40−0.5x=110−4x  ⟹  3.5x=70  ⟹  x=2040 - 0.5x = 2(55 - 2.5x) + x \implies 40 - 0.5x = 110 - 4x \implies 3.5x = 70 \implies x = 20 bulunur. Buradan y=30y = 30 ve z=5z = 5 elde edilir.
Bilinmeyen banknot adetlerini bulmak için.
4
Toplam 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı hesaplanır.
Toplam 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısı y+z=30+5=35y + z = 30 + 5 = 35 olarak bulunur.
Soruda istenen toplam 20 TL20\text{ TL}'lik banknot sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 194Soru →

Bir kahve dükkanı, kendi termosunu getiren müşterilerine her kahve alışverişinde 5 TL indirim uygulamaktadır. Bu kahve dükkanından termos getirmeden kahve alan bir müşteri, bir adet kahve için 45 TL ödemektedir.

Bir arkadaş grubu bu dükkandan toplam 12 adet kahve siparişi vermiş ve gruptan bazı kişiler kendi termosunu getirdiği için toplam 520 TL ödenmiştir.

Her termos en fazla bir kahve için kullanılabildiğine göre, indirimli fiyat üzerinden alınan kahve sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İndirimli fiyat üzerinden alınan kahve sayısı 4'tür.
Toplam 12 kahvenin tamamı indirimsiz alınsaydı 12×45=54012 \times 45 = 540 TL ödenmesi gerekirdi. Ancak toplam ödeme 520 TL olmuştur. Aradaki 20 TL'lik fark, termos indirimi sayesindedir. Her bir termos için 5 TL indirim uygulandığına göre, indirimli kahve sayısı 20/5=420 / 5 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Normal kahve fiyatı 45 TL'dir. Termos getirenlere uygulanan indirim 5 TL olduğuna göre, indirimli kahve fiyatı hesaplanır: 45−5=4045 - 5 = 40 TL.
Normal fiyat: 45 TL, İndirimli fiyat: 40 TL.
Her bir kahve türünün birim fiyatını bilmek denklem kurmak için gereklidir.
2
İndirimli kahve sayısına xx dersek, normal fiyat üzerinden alınan kahve sayısı 12−x12 - x olur. Toplam ödenen miktar 520 TL olduğuna göre denklem kurulur: 40x+45(12−x)=52040x + 45(12 - x) = 520.
40x+540−45x=520  ⟹  540−5x=52040x + 540 - 45x = 520 \implies 540 - 5x = 520.
Sayı problemi durumunu matematiksel bir denklemle ifade etmek gerekir.
3
Elde edilen denklem çözülerek bilinmeyen xx değeri bulunur: 540−520=5x  ⟹  5x=20  ⟹  x=4540 - 520 = 5x \implies 5x = 20 \implies x = 4.
x=4x = 4.
İndirimli kahve sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklem kurma ve çözme yardımıyla sayı problemlerini çözme.

Alternatif Yöntem

Tüm kahvelerin indirimsiz (normal) fiyatla alındığı varsayılırsa ödenecek toplam tutar 12×45=54012 \times 45 = 540 TL olurdu. Ödenen gerçek tutar 520 TL olduğuna göre, yapılan toplam indirim 540−520=20540 - 520 = 20 TL'dir. Kahve başına 5 TL indirim yapıldığından, indirimli kahve sayısı 20/5=420 / 5 = 4 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 195Soru →

Bir mobil kelime oyununda oyuncular, bildikleri her doğru kelime için 1212 puan kazanmakta, yazamadıkları her yanlış kelime için ise 55 puan kaybetmektedir. Oyuncuların puanı sıfırın altına düşmemektedir (örneğin; puanı 33 olan bir oyuncu yanlış bir kelime yazdığında puanı 00 olmaktadır).

Oyuna 00 puanla başlayan bir yarışmacı, toplam 4040 kelime yazmış ve oyunun sonunda 220220 puan elde etmiştir.

Buna göre, bu yarışmacının yanlış yazdığı kelime sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Bu yarışmacının yanlış yazdığı kelime sayısı en fazla 20 olabilir.
Yarışmacının puanının sıfırın altına düşmemesi kuralı nedeniyle, oyunun en başında yapılan yanlışlar puanı azaltmaz. Yarışmacı oyuna 16 yanlış ile başlayıp puanını 0'da tutabilir. Ardından gelen 20 doğru (+240 puan) ve sonrasında yapılan 4 yanlış (-20 puan) ile toplamda 20 doğru ve 20 yanlış kelime yazarak 220 puana ulaşabilir. Bu durum, toplam kelime sayısı olan 40'ı sağlar ve yanlış sayısını maksimum 20 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kelime sayısını doğru (xx) ve yanlış (yy) olarak iki gruba ayıralım ve temel denklemi kuralım.
x+y=40x + y = 40 olur.
Yarışmacının yazdığı toplam kelime sayısı 40 olarak verilmiştir.
2
Yarışmacının puanının sıfırın altına düşmediği (sıfırda sabitlendiği) son anı belirleyelim. Bu andan sonra puan hiç sıfıra düşmeden 220'ye ulaşmıştır. Bu andan sonraki doğru kelime sayısını x′x', yanlış kelime sayısını y′y' olarak tanımlayalım.
12x′−5y′=22012x' - 5y' = 220 denklemi elde edilir.
Son sıfır puan olunan andan sonra puan hiç sıfırlanmadığı için standart puan hesabı geçerlidir.
3
12x′−5y′=22012x' - 5y' = 220 denkleminde x′x' ve y′y' değerlerini tam sayı kısıtlarına göre bulalım.
12x′=220+5y′12x' = 220 + 5y' ifadesinde sağ taraf 5'in katı olduğundan 12x′12x' de 5'in katı olmalıdır, yani x′x' değeri 5'in katı olmalıdır. Puanın sıfıra düşmemesi için 12x′≥22012x' \ge 220 olmalıdır, buradan x′≥19x' \ge 19 bulunur. En küçük 5'in katı olan x′=20x' = 20 olur. Bu durumda 5y′=12(20)−220=20⇒y′=45y' = 12(20) - 220 = 20 \Rightarrow y' = 4 elde edilir.
Son sıfırdan sonraki doğru ve yanlış sayılarının alabileceği en küçük değerleri tespit etmek için.
4
Toplam yanlış sayısını (yy) en fazla yapmak için toplam doğru sayısını (xx) en az yapmalıyız.
Toplam doğru sayısı x≥x′=20x \ge x' = 20 olmalıdır. Dolayısıyla x=20x = 20 için maksimum yanlış sayısı y=40−20=20y = 40 - 20 = 20 olur. Bu durumda oyunun başında yapılan 16 yanlış puanı sıfırda tutmuş, ardından gelen 20 doğru ve 4 yanlış ile oyun 220 puanla tamamlanmıştır.
Toplam kelime sayısı sabit olduğundan, doğru sayısını minimum tutmak yanlış sayısını maksimum yapar.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Sınır Durum Analizi)
Soru 196Soru →

Bir çikolata fabrikasında üretilen çikolatalar; A, B ve C kutularına her kutu tam dolacak şekilde yerleştirilecektir. Bu kutularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bir A kutusuna 1212 adet, bir B kutusuna 1818 adet, bir C kutusuna ise 3030 adet çikolata konulabilmektedir.
* Paketlemede kullanılan A ve B kutularının toplam sayısı, C kutularının toplam sayısının 33 katıdır.
* Paketlenen toplam çikolata sayısı 720720'dir.
* A kutularına yerleştirilen toplam çikolata sayısı, B kutularına yerleştirilen toplam çikolata sayısından fazladır.
* Her kutu tipinden en az 11 adet kullanılmıştır.

Buna göre, bu paketlemede kullanılan toplam kutu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4040

Cevap

40
Toplam çikolata sayısı denklemi kurulup sadeleştirildiğinde 11a+14b=36011a + 14b = 360 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümlerinden yalnızca A=20, B=10 ve C=10 değerleri A kutularındaki çikolataların B kutularındakilerden fazla olması koşulunu (12a>18b12a > 18b) sağlar. Bu durumda toplam kutu sayısı 40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve kutu sayıları arasındaki ilişkiyi yazma
a+b=3ca + b = 3c
A, B ve C kutularının sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olsun. Soruda A ve B kutularının toplam sayısının, C kutularının sayısının 3 katı olduğu belirtilmiştir.
2
Toplam çikolata sayısı denklemini kurma ve birinci denklemi yerine yazma
11a+14b=36011a + 14b = 360
Kutulardaki toplam çikolata sayısı: 12a+18b+30c=72012a + 18b + 30c = 720 olarak verilir. İlk denklemden 3c=a+b3c = a + b yazarak 30c=10(a+b)30c = 10(a + b) elde edilir. Bu ifadeyi yerine yazarsak: 12a+18b+10(a+b)=720⇒22a+28b=72012a + 18b + 10(a + b) = 720 \Rightarrow 22a + 28b = 720 elde edilir. Her iki tarafı da 2 ile sadeleştirdiğimizde denklem 11a+14b=36011a + 14b = 360 halini alır.
3
Pozitif tam sayı çözüm kümelerini bulma
(a,b)=(20,10)(a, b) = (20, 10) veya (a,b)=(6,21)(a, b) = (6, 21)
11a+14b=36011a + 14b = 360 Diophantine denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümlerini bulmak için mod 11 aritmetiği kullanılabilir: 14b≡360(mod11)⇒3b≡8(mod11)⇒b≡10(mod11)14b \equiv 360 \pmod{11} \Rightarrow 3b \equiv 8 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10 \pmod{11} elde edilir. Buradan b=10b = 10 için a=20a = 20, b=21b = 21 için a=6a = 6 bulunur. Daha büyük bb değerleri için aa negatif olacağından başka pozitif tam sayı çözüm yoktur.
4
Eşitsizlik koşulunu uygulama ve toplam kutu sayısını hesaplama
a+b+c=40a + b + c = 40
A kutularındaki çikolata sayısı (12a12a), B kutularındaki çikolata sayısından (18b18b) fazla olmalıdır: 12a>18b⇒2a>3b12a > 18b \Rightarrow 2a > 3b. Çözümler test edildiğinde; (20,10)(20, 10) için 2(20)>3(10)⇒40>302(20) > 3(10) \Rightarrow 40 > 30 (Sağlar). (6,21)(6, 21) için 2(6)>3(21)⇒12>632(6) > 3(21) \Rightarrow 12 > 63 (Sağlamaz). Dolayısıyla a=20a = 20, b=10b = 10 ve c=(a+b)/3=10c = (a+b)/3 = 10 bulunur. Toplam kutu sayısı 20+10+10=4020 + 10 + 10 = 40 olur.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve tam sayı kısıtlı doğrusal denklem sistemlerini çözme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 197Soru →

Bir kahve dükkanında satılan küçük, orta ve büyük boy kahvelerin adet fiyatları sırasıyla 3030 TL, 4545 TL ve 6060 TL'dir. Bu dükkandan bir günde toplam 1515 adet kahve satın alan bir arkadaş grubunun siparişleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En çok tercih edilen kahve boyu orta boydur.
* En az tercih edilen kahve boyu küçük boydur.
* Satın alınan küçük ve büyük boy kahveler için ödenen toplam tutar, orta boy kahveler için ödenen toplam tutara eşittir.

Buna göre, bu grup kaç adet büyük boy kahve satın almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Büyük boy kahve sayısı 5'tir.
Büyük boy kahve sayısı olan 5 değeri, gruptaki kahve adetlerinin toplamı 15'e eşitlendiğinde ve ödenen ücretlerin eşitliği (30x+60z=45y30x + 60z = 45y) sadeleştirilerek yerine koyma yöntemi uygulandığında elde edilen 5x+7z=455x + 7z = 45 denklemini ve x<z<yx < z < y sıralama şartını sağlayan tek tam sayı çözümüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Kahve adetlerini değişkenlerle tanımlayıp toplam kahve adedi denklemini kuralım.
Küçük boy kahve sayısı xx, orta boy kahve sayısı yy, büyük boy kahve sayısı zz olsun. Toplam kahve sayısı: x+y+z=15x + y + z = 15 olur. Buradan y=15−x−zy = 15 - x - z elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak ve ortak bir denklem kurabilmek için.
2
Ödenen ücretler arasındaki eşitlikten faydalanarak ikinci bir denklem oluşturalım.
Küçük ve büyük boy kahvelere ödenen toplam tutar: 30x+60z30x + 60z TL'dir. Orta boy kahvelere ödenen toplam tutar: 45y45y TL'dir. Bu tutarlar eşit oldu��undan 30x+60z=45y30x + 60z = 45y olur. Her iki tarafı da 15 ile sadeleştirirsek 2x+4z=3y2x + 4z = 3y elde edilir.
Soruda verilen fiyat ve harcama ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek için.
3
Birinci adımdaki yy ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım.
2x+4z=3(15−x−z)  ⟹  2x+4z=45−3x−3z  ⟹  5x+7z=452x + 4z = 3(15 - x - z) \implies 2x + 4z = 45 - 3x - 3z \implies 5x + 7z = 45 denklemi elde edilir.
İki bilinmeyenli tek bir denklem elde ederek tam sayı çözümlerini bulmak için.
4
Kahve adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğini ve verilen sıralama koşulunu kullanarak değerleri belirleyelim.
5x+7z=455x + 7z = 45 denkleminde xx ve zz pozitif tam sayılar olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi z=5z = 5 ve x=2x = 2 değerleridir. Bu durumda y=15−2−5=8y = 15 - 2 - 5 = 8 bulunur. Sıralama koşulu incelendiğinde en az tercih edilen küçük boy (x=2x = 2), en çok tercih edilen orta boy (y=8y = 8) ve büyük boy (z=5z = 5) olduğundan 2<5<82 < 5 < 8 sıralaması doğrulanır.
Soruda belirtilen tercih miktarı sıralamasına (x<z<yx < z < y) uygunluğu kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve tam sayı çözümlerini analiz etme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 198Soru →

Bir metro istasyonunda bulunan akıllı emanet dolabı ünitesinde küçük ve büyük boy olmak üzere iki farklı boyutta toplam 8080 adet dolap vardır. Bu dolaplar ve kiralama durumları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Küçük boy dolabın günlük kiralama ücreti 4040 TL, büyük boy dolabın günlük kiralama ücreti ise 7070 TL'dir.
* Gün sonunda küçük boy dolapların 35\frac{3}{5}'inin, büyük boy dolapların ise yarısının kiralandığı ve diğer dolapların boş kaldığı görülmüştür.
* Kiralanan dolaplardan o gün elde edilen toplam gelir 22502250 TL'dir.

Buna göre, bu ünitede kiralanmayan (boş kalan) k��çük boy dolap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Boş kalan küçük boy dolap sayısı 20'dir.
Küçük boy dolap sayısı xx ve büyük boy dolap sayısı yy olarak belirlendiğinde, toplam sayıdan y=80−xy = 80 - x yazılır. Gelir denklemi 24x+35y=225024x + 35y = 2250 olarak düzenlenip yerine koyma metodu uygulandığında x=50x = 50 elde edilir. Küçük boy dolapların 35\frac{3}{5}'i kiralandığına göre boş kalan kısım 25\frac{2}{5} olup bu değer de 50⋅25=2050 \cdot \frac{2}{5} = 20 adettir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve toplam dolap sayısı denklemini kurma
Küçük boy dolap sayısı xx, büyük boy dolap sayısı yy olsun. x+y=80  ⟹  y=80−xx + y = 80 \implies y = 80 - x elde edilir.
İki bilinmeyenli denklemi tek bir değişkene indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.
2
Kiralanan dolap sayılarını ve elde edilen geliri ifade etme
Kiralanan küçük boy dolap sayısı 35x\frac{3}{5}x, kiralanan büyük boy dolap sayısı ise 12y\frac{1}{2}y olur. Toplam gelir denklemi: 40⋅(35x)+70⋅(12y)=2250  ⟹  24x+35y=225040 \cdot \left(\frac{3}{5}x\right) + 70 \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) = 2250 \implies 24x + 35y = 2250 olarak yazılır.
Kiralama ücretleri ile kiralanan dolap adetlerini çarparak toplam gelir bağıntısını kurmak.
3
Denklem sistemini çözerek küçük boy dolap sayısını bulma
24x+35(80−x)=2250  ⟹  24x+2800−35x=2250  ⟹  11x=550  ⟹  x=5024x + 35(80 - x) = 2250 \implies 24x + 2800 - 35x = 2250 \implies 11x = 550 \implies x = 50 (toplam küçük boy dolap sayısı).
Gelir denkleminde yy yerine 80−x80 - x yazarak bilinmeyen xx değerine ulaşmak.
4
Boş kalan küçük boy dolap sayısını hesaplama
Boş kalan küçük boy dolap oranı 1−35=251 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}'tir. Buradan boş dolap sayısı 50⋅25=2050 \cdot \frac{2}{5} = 20 bulunur.
Küçük boy dolapların kiralanmayan kısmının adet bazındaki karşılığını bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden denklemlere dönüştürme ve ortak çözüm yapma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 199Soru →

Bir kafede iki farklı kahve demleme ünitesi bulunmaktadır. 1. ünitede hazırlanan her bir bardak filtre kahve için 1515 gram kahve çekirdeği, 2. ünitede hazırlanan her bir bardak filtre kahve için ise 2525 gram kahve çekirde��i kullanılmaktadır.

Bu kafede belirli bir günde:
* Her iki ünitede de eşit sayıda bardak filtre kahve hazırlanmıştır.
* Günün sonunda 1. ünitede kahve demleme işlemi bittikten sonra kullanılan toplam kahve çekirdeği miktarının, 2. ünitede kalan kahve çekirdeği miktarına eşit olduğu görülmüştür.
* Başlangıçta 2. ünitede bulunan kahve çekirdeği miktarı, 1. ünitede bulunan kahve çekirdeği miktarının 22 katıdır.

Buna göre, gün sonunda her iki ünitede kalan toplam kahve çekirdeği miktarının başlangıçtaki toplam kahve çekirdeği miktarına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

Gün sonunda her iki ünitede kalan toplam kahve çekirdeği miktarının başlangıçtaki toplam kahve çekirdeği miktarına oranı \frac{1}{3} olmalıdır.
Her iki ünitede hazırlanan kahve bardağı sayısı xx olarak belirlendikten sonra, başlangıçtaki kahve miktarları sırasıyla 20x20x ve 40x40x olarak hesaplanır. Gün sonunda 1. ünitede 5x5x gram, 2. ünitede 15x15x gram olmak üzere toplam 20x20x gram kahve kalır. Başlangıçtaki toplam kahve miktarı olan 60x60x grama oranlandığında 20x60x=13\frac{20x}{60x} = \frac{1}{3} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri ve değişkenleri tanımlayalım.
Her iki ünitede hazırlanan bardak kahve sayısı xx olsun. 1. ünitede kullanılan kahve çekirdeği miktarı 15x15x gram, 2. ünitede kullanılan kahve çekirdeği miktarı ise 25x25x gram olur. 1. ünitedeki başlangıç kahve miktarına I1I_1, 2. ünitedeki başlangıç kahve miktarına I2I_2 diyelim. Verilen bilgiye göre I2=2I1I_2 = 2I_1 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için ortak bir değişken (xx) ve başlangıç değerleri tanımlanmalıdır.
2
Gün sonunda kalan kahve miktarlarını ifade edelim ve verilen eşitliği kullanarak başlangıç miktarlarını xx cinsinden bulalım.
2. ünitede kalan kahve miktarı: I2−25xI_2 - 25x gramdır. Bu miktar, 1. ünitede kullanılan miktar olan 15x15x grama eşittir. Buradan I2−25x=15x⇒I2=40xI_2 - 25x = 15x \Rightarrow I_2 = 40x bulunur. I2=2I1I_2 = 2I_1 olduğundan, 2I1=40x⇒I1=20x2I_1 = 40x \Rightarrow I_1 = 20x elde edilir.
1. ünitede kullanılan miktar ile 2. ünitede kalan miktar arasındaki eşitliği kullanarak başlangıç miktarlarını kahve bardak sayısı cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Kalan toplam kahve miktarını ve başlangıçtaki toplam kahve miktarını hesaplayıp birbirine oranlayalım.
Başlangıçtaki toplam kahve miktarı: I1+I2=20x+40x=60xI_1 + I_2 = 20x + 40x = 60x gramdır.
1. ünitede kalan kahve miktarı: I1−15x=20x−15x=5xI_1 - 15x = 20x - 15x = 5x gramdır.
2. ünitede kalan kahve miktarı: I2−25x=40x−25x=15xI_2 - 25x = 40x - 25x = 15x gramdır.
Kalan toplam kahve miktarı: 5x+15x=20x5x + 15x = 20x gramdır.
İstenen oran: 20x60x=13\frac{20x}{60x} = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Soruda istenen kalan toplam miktarın başlangıçtaki toplam miktara oranını bulmak için elde edilen tüm değerler sadeleştirilmelidir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler yardımıyla doğrusal denklemlere dönüştürme ve oran-orantı prensiplerini uygulama.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine x=1x = 1 alınarak da işlem yapılabilir. Her iki ünitede de 1'er bardak kahve yapıldığı varsayılırsa, 1. ünitede kullanılan miktar 15 gram, 2. ünitede kullanılan miktar 25 gram olur. 2. ünitede kalan miktar 1. ünitede kullanılana eşit olacağından 2. ünitede kalan miktar da 15 gram olur. Buradan 2. ünitenin başlangıç miktarı 15+25=4015 + 25 = 40 gram olarak bulunur. 2. ünitenin başlangıç miktarı 1. ünitenin 2 katı olduğundan 1. ünitenin başlangıç miktarı 20 gramdır. Böylece başlangıçtaki toplam miktar 20+40=6020 + 40 = 60 gram olur. Gün sonunda 1. ünitede kalan miktar 20−15=520 - 15 = 5 gram, 2. ünitede kalan miktar 15 gram olmak üzere toplam kalan miktar 5+15=205 + 15 = 20 gram olur. İstenen oran buradan 2060=13\frac{20}{60} = \frac{1}{3} olarak hızlıca hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 200Soru →

Bir otoparktaki özdeş araçlar, düz bir otopark sırasına yan yana iki farklı düzende park edilebilmektedir.

* 1. Düzen: Yan yana park eden her iki araç arasında 1,51,5 metre boşluk bırakılmakta ve baştaki ile sondaki araçların otoparkın sınır duvarlarına olan uzaklıkları da 1,51,5 metre olmaktadır.
* 2. Düzen: Yan yana park eden her iki araç arasında 11 metre boşluk bırakılmakta ve baştaki ile sondaki araçların otoparkın sınır duvarlarına olan uzaklıkları da 11 metre olmaktadır.

Bu otopark sırasına 1. düzende park edilebilen maksimum araç sayısı, 2. düzende park edilebilen maksimum araç sayısından 44 eksiktir.

Park eden tüm araçlar özdeş olup genişlikleri 2,52,5 metre olduğuna göre, bu otopark sırasının uzunluğu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 109,5

Cevap

109,5
Otopark sırasının toplam uzunluğu her iki yerleşim düzeninde de değişmez. 1. düzendeki araç sayısı NN kabul edildiğinde, araçların başında, arasında ve sonunda boşluk bulunduğu için toplam N+1N+1 adet boşluk oluşur. Bu düzenin uzunluğu 2,5N+1,5(N+1)=4N+1,52,5N + 1,5(N+1) = 4N + 1,5 metredir. 2. düzende araç sayısı N+4N+4 olduğundan boşluk sayısı N+5N+5 olur ve bu düzenin uzunluğu 2,5(N+4)+1(N+5)=3,5N+152,5(N+4) + 1(N+5) = 3,5N + 15 metredir. Bu iki cebirsel ifadenin eşitliğinden 4N+1,5=3,5N+15  ⟹  N=274N + 1,5 = 3,5N + 15 \implies N = 27 bulunur. Buradan toplam sıra uzunluğu 4⋅27+1,5=109,54 \cdot 27 + 1,5 = 109,5 metre olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
1. düzendeki maksimum araç sayısına NN diyelim. Bu durumda 2. düzendeki araç sayısı N+4N + 4 olur.
Araç sayıları sırasıyla NN ve N+4N + 4 olarak belirlendi.
İki düzen arasındaki araç sayısı farkını kullanarak tek bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmak.
2
Araçların genişliği 2,52,5 metredir. 1. düzende NN araç için N+1N + 1 boşluk vardır ve her biri 1,51,5 metredir. Otopark sırasının uzunluğu L1=2,5⋅N+1,5⋅(N+1)=4N+1,5L_1 = 2,5 \cdot N + 1,5 \cdot (N + 1) = 4N + 1,5 olur. 2. düzende N+4N + 4 araç için N+5N + 5 boşluk vardır ve her biri 11 metredir. Otopark sırasının uzunluğu L2=2,5⋅(N+4)+1⋅(N+5)=3,5N+15L_2 = 2,5 \cdot (N + 4) + 1 \cdot (N + 5) = 3,5N + 15 olur.
Sıra uzunluğunu veren iki farklı cebirsel ifade elde edildi: L1=4N+1,5L_1 = 4N + 1,5 ve L2=3,5N+15L_2 = 3,5N + 15.
Farklı düzenlerin toplam uzunluklarını matematiksel olarak ifade etmek.
3
Otopark sırasının uzunluğu her iki düzende de aynı olduğundan 4N+1,5=3,5N+154N + 1,5 = 3,5N + 15 denklemini çözelim.
0,5N=13,5  ⟹  N=270,5N = 13,5 \implies N = 27 olarak bulunur.
Ortak uzunluk üzerinden araç sayısını elde etmek.
4
Bulunan N=27N = 27 değerini herhangi bir uzunluk denkleminde yerine yazalım: L=4⋅27+1,5L = 4 \cdot 27 + 1,5.
L=108+1,5=109,5L = 108 + 1,5 = 109,5 metre olarak hesaplanır.
Otopark sırasının toplam uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel olarak ifade edilen nesne ve boşluk ilişkilerini değişkenler kullanarak cebirsel denklemlere dönüştürme ve bu denklemleri çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 10 / 14Sonraki
Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 10 | Examkin