Examkin

Pozitif ve Negatif Sayılar

72 soru

Tüm türler72Çoktan seçmeli37Doğru / Yanlış16Sayısal19
Soru 61Soru →
xx, yy ve zz gerçel sayıları için,
x−y>0x - y > 0
y2⋅z≤0y^2 \cdot z \le 0
(x⋅y)3⋅z>0(x \cdot y)^3 \cdot z > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ++, −-, −-

Cevap

İşaretler sırasıyla pozitif (++), negatif (−-) ve negatif (−-) olmalıdır.
İkinci eşitsizlikte y2≥0y^2 \ge 0 olduğundan ve üçüncü eşitsizliğin sıfırdan büyük olması gerektiğinden hiçbir değişken sıfır olamaz. Bu nedenle y2>0y^2 > 0 olup z<0z < 0 bulunur. Üçüncü eşitsizlikte z<0z < 0 olduğundan, sonucun pozitif çıkması için (x⋅y)3<0(x \cdot y)^3 < 0, dolayısıyla x⋅y<0x \cdot y < 0 olmalıdır. Buradan xx ile yy'nin zıt işaretli olduğu anlaşılır. Birinci eşitsizlikten x>yx > y olduğuna göre xx pozitif (++) ve yy negatif (−-) olmalıdır. Sırasıyla işaretler ++, −-, −- olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci eşitsizlik olan y2⋅z≤0y^2 \cdot z \le 0 ifadesini inceleyelim.
Bir gerçel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir (y2≥0y^2 \ge 0). Ancak üçüncü eşitsizlikte (x⋅y)3⋅z>0(x \cdot y)^3 \cdot z > 0 ifadesinin sıfırdan büyük olması gerektiğinden, xx, yy ve zz sayılarından hiçbirinin sıfır olamayacağını anlarız. Sıfır nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve eğer değişkenlerden biri sıfır olsaydı üçüncü eşitsizlikteki çarpım sıfır olurdu. Bu durumda y2>0y^2 > 0 ve z≠0z \neq 0 olduğundan, y2⋅z≤0y^2 \cdot z \le 0 olabilmesi için z<0z < 0 olmalıdır.
Değişkenlerin sıfır olamayacağını saptamak ve zz'nin işaretini belirlemek için.
2
Üçüncü eşitsizlik olan (x⋅y)3⋅z>0(x \cdot y)^3 \cdot z > 0 ifadesini inceleyelim.
z<0z < 0 olduğunu bulmuştuk. Çarpımın sonucunun pozitif (>0>0) olabilmesi için (x⋅y)3(x \cdot y)^3 ifadesinin negatif (<0<0) olması gerekir. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif olduğundan, buradan x⋅y<0x \cdot y < 0 sonucu çıkar. Yani xx ve yy zıt işaretlidir.
xx ve yy'nin işaret ilişkisini bulmak için.
3
Birinci eşitsizlik olan x−y>0x - y > 0 ifadesi ile x⋅y<0x \cdot y < 0 bilgisini birleştirelim.
x−y>0⇒x>yx - y > 0 \Rightarrow x > y olur. xx ve yy zıt işaretli olduğundan, büyük olan sayı pozitif, küçük olan sayı ise negatif olmalıdır. Dolayısıyla x>0x > 0 ve y<0y < 0 bulunur. Sonuç olarak işaretler sırasıyla ++, −-, −- şeklindedir.
xx ve yy'nin işaretlerini kesin olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve Sıfır Sayısının Nötrlüğü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 62Soru →

aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* a<b<ca < b < c
* a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
* a+b+c<0a + b + c < 0

olduğu biliniyor.

Buna göre, a��ağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(c−b)a \cdot (c - b)

Cevap

a⋅(c−b)a \cdot (c - b) ifadesi
Verilen koşullara göre, aa sayısı daima negatif bir gerçel sayıdır. b<cb < c sıralamasından dolayı c−bc - b ifadesi her zaman pozitif bir değer alır. Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı daima negatif olacağından, a⋅(c−b)a \cdot (c - b) ifadesi kesinlikle negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini ve a<b<ca < b < c sıralamasını analiz etmek.
aa, bb veya cc sayılarından en az birinin sıfır (0) olması gerektiği belirlenir. a<b<ca < b < c olduğundan, bu sayılardan en fazla biri sıfır olabilir.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Sıralama kesin (büyük/küçük) olduğundan birden fazla sıfır olamaz.
2
Hangi sayının sıfır olabileceğini belirlemek için a+b+c<0a + b + c < 0 eşitsizliğini kullanmak.
Eğer a=0a = 0 olursa, 0<b<c0 < b < c olur. Buradan b>0b > 0 ve c>0c > 0 elde edilir. Bu durumda a+b+c=0+b+c>0a + b + c = 0 + b + c > 0 olur ki bu a+b+c<0a + b + c < 0 bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla a≠0a \neq 0 olmalıdır. Bu durumda ya b=0b = 0 (ve a<0<ca < 0 < c ile a+c<0a + c < 0) ya da c=0c = 0 (ve a<b<0a < b < 0) olmalıdır. Her iki olası durumda da aa sayısının kesinlikle negatif (a<0a < 0) olduğu belirlenir.
Verilen toplamın negatif olma koşulunu sağlayan durumları ayırt etmek.
3
Elde edilen iki durumu (b=0b = 0 ve c=0c = 0 durumları) seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini incelemek için uygulamak.
a⋅(c−b)a \cdot (c - b) ifadesi incelenir: b<cb < c olduğundan c−b>0c - b > 0 (pozitif) olur. a<0a < 0 (negatif) olduğundan, negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı kesinlikle negatiftir. Diğer seçenekler, b=0b = 0 veya c=0c = 0 durumlarında sıfır değerini alabilir.
Kesinlikle negatif olan ifadeyi bulmak ve sıfırın nötr olma özelliğini uygulamak.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve Sıfırın Nötrlüğü
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 63Soru →
K={−2,0,3}K = \{-2, 0, 3\} olmak üzere; aa, bb ve cc sayıları KK kümesinin birbirinden farklı elemanlarıdır. Bu sayılardan biri pozitif, biri negatif, diğeri ise nötr (işaretsiz) bir gerçel sayıdır.

Bu sayılar arasında
* a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0
* b⋅c≥0b \cdot c \ge 0
* a+b−c>0a + b - c > 0

bağıntıları olduğuna göre, 2a+3b−c2a + 3b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Verilen a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinden b2>0b^2 > 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olduğu anlaşılır. Kümedeki tek nötr eleman 00 olduğundan ve aa negatif (a<0a < 0) olup sıfıra eşit olamayacağından, sıfır değeri cc değişkenine ait olmalıdır (c=0c = 0). Bu durumda geriye kalan tek negatif sayı a=−2a = -2 ve tek pozitif sayı b=3b = 3 olur. Bu değerler a+b−c>0a + b - c > 0 eşitsizliğini de sağladığı için doğrudur. İstenen 2a+3b−c2a + 3b - c ifadesinin değeri ise 2(−2)+3(3)−0=52(-2) + 3(3) - 0 = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr elemanın tespiti
K={−2,0,3}K = \{-2, 0, 3\} kümesinde nötr (işaretsiz) olan tek eleman 00'dır.
Gerçel sayılar kümesinde sıfır sayısı ne pozitif ne de negatif olduğundan nötrdür.
2
aa ve bb değişkenlerinin sıfır olamayacağının belirlenmesi
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinden b2>0b^2 > 0 ve a<0a < 0 elde edilir. Bu durum a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 anlamına gelir.
Çarpımın sonucunun negatif çıkabilmesi için çarpanlardan birinin negatif olması gerekir. Karesel ifade negatif olamayacağından aa negatif olmalıdır. Ayrıca b2b^2 sıfıra eşit olamaz.
3
aa, bb ve cc değerlerinin eşleştirilmesi
c=0c = 0, a=−2a = -2 ve b=3b = 3 olarak belirlenir.
aa ve bb sıfır olamadığı için c=0c = 0 olur. Kümedeki tek negatif sayı olan −2-2 değeri aa'ya, pozitif olan 33 değeri ise bb'ye kalır.
4
Bulunan değerlerin doğrulanması
3⋅0≥03 \cdot 0 \ge 0 ve −2+3−0>0-2 + 3 - 0 > 0 eşitsizliklerinin her ikisi de sağlanır.
Bulunan değerlerin soruda verilen tüm öncülleri sağladığı teyit edilmelidir.
5
İfadenin değerinin hesaplanması
2a+3b−c=2(−2)+3(3)−0=52a + 3b - c = 2(-2) + 3(3) - 0 = 5 bulunur.
Bulunan a,ba, b ve cc değerleri sorulan cebirsel ifadede yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizliklerde negatif sayıların kuvvetlerinin yorumlanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 64Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0
a3⋅c4≥0a^3 \cdot c^4 \ge 0
b−c>0b - c > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: − , + , 0-\,,\ +\,,\ 0

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif ve sıfır (nötr) işaretlerini içeren seçenek doğrudur.
Sırasıyla negatif, pozitif ve sıfır (nötr) işaretlerini içeren seçenek doğrudur. a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinde b2>0b^2 > 0 olduğundan a<0a < 0 bulunur. a<0a < 0 iken a3<0a^3 < 0 olur. a3⋅c4≥0a^3 \cdot c^4 \ge 0 olması için c4≤0c^4 \le 0 olmalıdır, bu da yalnızca c=0c = 0 (nötr) durumuyla mümkündür. Son olarak b−c>0  ⟹  b−0>0  ⟹  b>0b - c > 0 \implies b - 0 > 0 \implies b > 0 (pozitif) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliği incelenir.
a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olarak bulunur.
Bir gerçel sayının karesi (b2b^2) daima pozitif veya sıfırdır. Çarpım sıfırdan küçük (negatif) olduğuna göre, b2>0b^2 > 0 ve a<0a < 0 olmalıdır.
2
a3⋅c4≥0a^3 \cdot c^4 \ge 0 eşitsizliği incelenir.
c=0c = 0 olarak bulunur.
a<0a < 0 olduğundan, negatif bir sayının tek kuvveti olan a3a^3 de negatiftir. Negatif bir sayı ile c4c^4 çarpımının pozitif veya sıfır olması için c4≤0c^4 \le 0 olmalıdır. Bir gerçel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, bu durum yalnızca c4=0c^4 = 0, yani c=0c = 0 iken mümkündür.
3
b−c>0b - c > 0 eşitsizliği incelenir.
b>0b > 0 (pozitif) olarak bulunur.
c=0c = 0 değeri eşitsizlikte yerine yazıldığında b−0>0  ⟹  b>0b - 0 > 0 \implies b > 0 elde edilir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinin işaretleri ve sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 65Soru →

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; aa, bb ve cc birer tam sayıdır.

* a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0
* b3⋅c≤0b^3 \cdot c \le 0
* a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
* a+b+c=−7a + b + c = -7
* a2−b2=21a^2 - b^2 = 21

olduğuna göre, a2−b3+ca^2 - b^3 + c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

İfadenin doğru değeri 33'tür.
Verilen öncüllerden a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 ifadesi a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olmasını gerektirir. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde aa ve bb sıfırdan farklı olduğundan nötr (işaretsiz) sayı olan c=0c = 0 olmalıdır. Buradan a+b=−7a+b=-7 ve a2−b2=21  ⟹  a−b=−3a^2-b^2=21 \implies a-b=-3 elde edilir. Denklem sistemi çözüldüğünde a=−5a=-5 ve b=−2b=-2 bulunur. İstenen a2−b3+ca^2 - b^3 + c ifadesi ise (−5)2−(−2)3+0=25−(−8)=33(-5)^2 - (-2)^3 + 0 = 25 - (-8) = 33 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini incelemek.
a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu bulunur.
Bir tam sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın negatif olabilmesi için b2>0b^2 > 0 ve a<0a < 0 olmalıdır.
2
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini ve sıfırın nötr olma özelliğini kullanmak.
c=0c = 0 olduğu belirlenir.
a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olduğundan, çarpımın sıfır olmasını sağlayan tek sayı olan cc değeri nötr (işaretsiz) sıfır sayısı olmalıdır.
3
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \le 0 koşulunu kontrol etmek.
Koşulun sağlandığı görülür.
c=0c = 0 için b3⋅0=0≤0b^3 \cdot 0 = 0 \le 0 ifadesi her zaman doğrudur.
4
a+b+c=−7a + b + c = -7 ve a2−b2=21a^2 - b^2 = 21 denklemlerini çözmek.
a=−5a = -5 ve b=−2b = -2 bulunur.
c=0c = 0 olduğundan a+b=−7a + b = -7 olur. İki kare farkı özdeşliğinden (a−b)(a+b)=21  ⟹  (a−b)(−7)=21  ⟹  a−b=−3(a-b)(a+b) = 21 \implies (a-b)(-7) = 21 \implies a-b = -3 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=−5a = -5 ve b=−2b = -2 bulunur. a<0a < 0 koşulu da sağlanmaktadır.
5
a2−b3+ca^2 - b^3 + c ifadesinin değerini hesaplamak.
33 bulunur.
(−5)2−(−2)3+0=25−(−8)=33(-5)^2 - (-2)^3 + 0 = 25 - (-8) = 33 işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret incelemesi, sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve iki kare farkı özdeşliği ile ilişkilendirilmesi.
Soru 66Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0
x−y>0x - y > 0
olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. yy negatif bir sayıdır.
II. x2−y>0x^2 - y > 0 dır.
III. x⋅y<0x \cdot y < 0 dır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesinin yer aldığı seçenek doğrudur.
Yalnız II ifadesi doğrudur. x=0x = 0 iken y<0y < 0 olduğundan x2−y=−y>0x^2 - y = -y > 0 elde edilir. x≠0x \ne 0 iken x2>0x^2 > 0 ve y≤0  ⟹  −y≥0y \le 0 \implies -y \ge 0 olduğundan x2−y=x2+(−y)>0x^2 - y = x^2 + (-y) > 0 toplamı her zaman pozitif olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliği analiz etme
x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 eşitsizliğinde x2≥0x^2 \ge 0 olduğundan, ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olması için ya x=0x = 0 olmalı ya da y≤0y \le 0 olmalıdır.
Her gerçel sayının karesi en az sıfır olduğu için çarpımın işaretini di��er çarpan belirler veya çarpanlardan biri sıfırdır.
2
x=0x = 0 durumunu inceleme
x=0x = 0 ise ikinci eşitsizlikte yerine yazıldığında 0−y>0  ⟹  y<00 - y > 0 \implies y < 0 bulunur. Bu durumda xx nötr (sıfır) iken yy negatif bir sayıdır.
x−y>0x - y > 0 eşitsizliğinde xx yerine 00 yazarak yy'nin sınırını bulmak.
3
x≠0x \ne 0 durumunu inceleme
x≠0x \ne 0 ise x2>0x^2 > 0 olur. Buradan y≤0y \le 0 elde edilir. İkinci eşitsizlikten x>yx > y bulunur. Eğer y=0y = 0 ise x>0x > 0 (pozitif) olur. Eğer y<0y < 0 ise xx pozitif veya sıfır veya yy'den büyük bir negatif sayı olabilir.
x2x^2'nin kesinlikle pozitif olduğu durumda yy'nin alabileceği değer aralığını ve xx ile ilişkisini belirlemek.
4
Öncülleri tek tek değerlendirme
I. yy her zaman negatif değildir; örneğin x=1,y=0x=1, y=0 durumunda yy nötrdür. II. x=0x = 0 ise x2−y=−y>0x^2 - y = -y > 0 (çünkü y<0y < 0). x≠0x \ne 0 ise x2>0x^2 > 0 ve −y≥0-y \ge 0 olduğundan x2−y>0x^2 - y > 0 her zaman doğrudur. III. x=−1,y=−2x = -1, y = -2 için x⋅y=2>0x \cdot y = 2 > 0 olabildiğinden çarpım her zaman negatif değildir.
Elde edilen tüm olası değer çiftlerini öncüllere uygulayarak doğruluklarını kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işlemler, sıfırın nötrlüğü ve çift kuvvetlerin işareti
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 67Soru →
xx, yy ve zz gerçel sayıları
x⋅y4⋅z3=0x \cdot y^4 \cdot z^3 = 0
x+y<0x + y < 0
y⋅z>0y \cdot z > 0
koşullarını sağlamaktadır.

Buna göre,
I. y3⋅z2y^3 \cdot z^2
II. x⋅y−zx \cdot y - z
III. x2⋅(y+z)x^2 \cdot (y + z)
IV. y+z−xy + z - x
V. x−y⋅zx - y \cdot z

ifadelerinden ka�� tanesi kesinlikle negatif bir gerçel sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen ifadelerden 3 tanesi kesinlikle negatif bir gerçel sayıya eşittir.
Yapılan analizler sonucunda x=0x=0, y<0y<0 ve z<0z<0 olarak bulunur. Bu değerlere göre I. öncül negatif, II. öncül pozitif, III. öncül sıfır (nötr), IV. öncül negatif ve V. öncül negatif çıkmaktadır. Dolayısıyla negatif çıkan öncüllerin toplam sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin değerini belirlemek
x=0x = 0
x⋅y4⋅z3=0x \cdot y^4 \cdot z^3 = 0 eşitliğinde y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliği nedeniyle y≠0y \neq 0 ve z≠0z \neq 0 olmak zorundadır. Bu durumda çarpımı sıfır yapan tek etken x=0x = 0 olmasıdır.
2
yy ve zz değişkenlerinin işaretlerini belirlemek
y<0y < 0 ve z<0z < 0
x=0x = 0 değeri x+y<0x + y < 0 eşitsizliğinde yerine yazıldığında y<0y < 0 elde edilir. y⋅z>0y \cdot z > 0 çarpımında yy negatif olduğundan, sonucun pozitif çıkması için zz sayısının da negatif olması gerekir.
3
Öncülleri tek tek analiz etmek
I. Negatif, II. Pozitif, III. Nötr (Sıfır), IV. Negatif, V. Negatif
I. Negatifin tek kuvveti ile negatifin çift kuvvetinin çarpımı negatiftir. II. 0−z=−z0 - z = -z olup, z<0z < 0 olduğundan pozitiftir. III. Sıfır ile çarpım sıfırı verir, sıfır ise nötrdür. IV. İki negatif sayının toplamı negatiftir. V. Sıfırdan pozitif bir çarpımın çıkarılması negatiftir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve negatif sayıların çift/tek kuvvetleri ile temel aritmetik işlemler altındaki işaret kuralları.
Soru 68Soru →
Her aa ve bb gerçel sayısı için,
a2⋅b≥0a^2 \cdot b \geq 0
a⋅b2≤0a \cdot b^2 \leq 0
olduğu bilindiğine göre, aa pozitif olmayan ve bb negatif olmayan birer sayıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade her zaman doğru değildir (Yanlış).
Sıfırın nötr olma durumu göz önüne alındığında, a=2,b=0a=2, b=0 veya a=0,b=−3a=0, b=-3 gibi değerler eşitsizlik sistemini sağlamasına rağmen önermede iddia edilen işaret koşullarını ihlal eder.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliklerde sıf��rın etkisini ve çift kuvvetlerin özelliğini analiz edin.
a2≥0a^2 \geq 0 ve b2≥0b^2 \geq 0 olduğunu belirleyin.
Her gerçel sayının karesi en az sıfırdır.
2
Sıfırdan farklı durumlar için işaret analizi yapın.
a≠0a \neq 0 ise b≥0b \geq 0 olur. b≠0b \neq 0 ise a≤0a \leq 0 olur.
Pozitif bir sayı ile çarpıldığında sonucun işaretinin değişmemesi veya sıfır olması için diğer çarpanın işareti belirlenir.
3
Sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumunu test etmek için karşıt örnek verin.
a=2a = 2 ve b=0b = 0 seçildiğinde her iki eşitsizlik de sağlanır (4⋅0=0≥04 \cdot 0 = 0 \geq 0 ve 2⋅0=0≤02 \cdot 0 = 0 \leq 0). Ancak a=2a = 2 sayısı pozitif olup, pozitif olmayan bir sayı değildir.
Sıfırın nötr olması, genel olarak doğru görünen önermeleri bozabilecek sınır durumlar (aksine örnekler) oluşturur.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve gerçel sayıların çift kuvvetlerinin negatif olmama durumu.
Soru 69Soru →

Her aa gerçel sayısı için, −a2-a^2 ve (−a)2(-a)^2 ifadelerinden en az birinin değeri pozitif bir gerçel sayıdır önermesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü a=0a = 0 için hem −a2-a^2 hem de (−a)2(-a)^2 ifadeleri sıfıra eşit olur ve sıfır sayısı pozitif değildir. Bu durum önermenin tüm gerçel sayılar için doğruluğunu bozar.

Adım Adım Çözüm

1
Önermenin tüm gerçel sayılar için geçerliliğini test etmek amacıyla sıfır (00) değerini ele alalım.
a=0a = 0 için −a2=−02=0-a^2 = -0^2 = 0 ve (−a)2=(−0)2=0(-a)^2 = (-0)^2 = 0 olur.
Sıfır sayısı gerçel sayılar kümesinin kritik bir elemanıdır ve i��areti yoktur.
2
Bulunan sonuçların işaretini inceleyelim.
Elde edilen 00 değeri pozitif veya negatif değildir, nötrdür.
Pozitif sayılar sıfırdan büyük olan sayılardır ve sıfır kendisinden büyük olamaz.
3
Bulunan karşıt örneğe göre önermenin doğruluk değerini belirleyelim.
a=0a = 0 için her iki ifadenin de değeri pozitif olmadığından önerme yanlıştır.
Bir önermenin 'her gerçel sayı için' doğru olabilmesi için hiçbir aksine örnek bulunmaması gerekir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayılarda sıfırın işaretsizliği ve üslü ifadelerde parantez kullanımı.
Soru 70Soru →

xx, yy ve zz gerçel sayıları için,

* x⋅z2=0x \cdot z^2 = 0
* y⋅z>0y \cdot z > 0
* x+y<0x + y < 0

koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? (Sıfır sayısı işaretsizdir ve işaretsiz (nötr) sayıları göstermek için 00 sembolü kullanılacaktır.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,−,−0, -, -

Cevap

Sırasıyla nötr (sıfır), negatif ve negatif işaretlerini içeren seçenektir.
Verilen koşullara göre y⋅z>0y \cdot z > 0 ifadesi zz sayısının sıfır olamayacağını gösterir. Bu durumda x⋅z2=0x \cdot z^2 = 0 eşitliğinin sağlanması ancak xx sayısının 00 (nötr) olmasıyla mümkündür. x=0x = 0 değeri x+y<0x + y < 0 eşitsizliğinde yerine yazıldığında y<0y < 0 (negatif) elde edilir. y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğinde yy negatif olduğundan, çarpımın pozitif kalabilmesi için zz sayısının da negatif olması gerekir. Dolayısıyla işaretler sırasıyla 00, −-, −- şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğinden yola çıkarak değişkenlerin sıfır olma durumunu incelemek.
y≠0y \neq 0 ve z≠0z \neq 0 olduğu belirlenir.
İki sayının çarp��mı sıfırdan büyükse, bu sayıların hiçbiri sıfır olamaz.
2
x⋅z2=0x \cdot z^2 = 0 eşitliğini analiz ederek xx değerini bulmak.
x=0x = 0 (nötr) olduğu bulunur.
z≠0z \neq 0 olduğu için z2≠0z^2 \neq 0 olur. Çarpımın sıfır olması ancak x=0x = 0 olmasıyla mümkündür. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
3
x=0x = 0 değerini x+y<0x + y < 0 eşitsizliğinde yerine yazarak yy sayısının işaretini belirlemek.
y<0y < 0 (negatif) olduğu bulunur.
0+y<0  ⟹  y<00 + y < 0 \implies y < 0 elde edilir.
4
y<0y < 0 bilgisini y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğinde kullanarak zz sayısının işaretini belirlemek.
z<0z < 0 (negatif) olduğu bulunur.
Çarpımın pozitif olması için işaretlerin aynı olması gerekir. yy negatif olduğuna göre zz de negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (sıfır) sayıların çarpma ve toplama işlemlerindeki işaret kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 71Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* a⋅b<0a \cdot b < 0
* a2⋅c>0a^2 \cdot c > 0
* a−b−c=0a - b - c = 0
koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre;
I.a⋅c<0I. \quad a \cdot c < 0
II.b3⋅c<0II. \quad b^3 \cdot c < 0
III.ab+cb<0III. \quad \frac{a}{b} + \frac{c}{b} < 0

ifadelerinden kaç tanesi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen ifadelerden her zaman doğru olanların sayısı 2'dir.
Bulunan işaretler (a pozitif, b negatif, c pozitif) doğrultusunda II. ve III. ifadelerin her zaman negatif (yani sıfırdan küçük) olduğu ve dolayısıyla her zaman doğru olduğu görülür. I. ifade ise pozitif olduğundan yanlıştır. Bu nedenle her zaman doğru olan ifade sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
a^2 * c > 0 eşitsizliğini incelemek
c sayısının işaretinin pozitif (+) olduğu bulunur.
a sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan karesi her zaman pozitiftir. Çarpımın pozitif çıkması için c de pozitif olmalıdır.
2
a - b - c = 0 eşitliğini incelemek
a > b olduğu bulunur.
Eşitlik a - b = c şeklinde düzenlenebilir. c > 0 olduğundan a - b > 0 ve dolayısıyla a > b elde edilir.
3
a * b < 0 eşitsizliğini kullanarak a ve b'nin işaretlerini belirlemek
a sayısının işaretinin pozitif (+), b sayısının işaretinin negatif (-) olduğu bulunur.
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir. a > b olduğuna göre büyük olan a pozitif, küçük olan b negatif olmalıdır.
4
İşaretleri öncüllerde yerine yazarak doğruluğu kontrol etmek
II. ve III. öncüllerin her zaman doğru, I. öncülün ise yanlış olduğu bulunur.
I. öncülde iki pozitif sayının çarpımı pozitif olmalıdır, dolayısıyla yanlıştır. II. öncülde negatif sayının tek kuvveti ile pozitif sayının çarpımı negatiftir, doğrudur. III. öncülde pay kısmındaki iki pozitif sayının toplamı pozitif, paydadaki b ise negatif olduğundan oran negatiftir, doğrudur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların kuvvetleri ile temel dört işlem kuralları
Soru 72Soru →

xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere, x2⋅y3≤0x^2 \cdot y^3 \le 0 ise yy sayısı her zaman negatif veya sıfırdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. x=0x = 0 durumu için yy sayısı herhangi bir pozitif gerçel sayı değeri alabilir.
İfade yanlıştır çünkü x=0x=0 seçildiğinde yy yerine yazılabilecek herhangi bir pozitif gerçel sayı (örneğin y=2y=2) için x2⋅y3≤0x^2 \cdot y^3 \le 0 eşitsizliği sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
x2⋅y3≤0x^2 \cdot y^3 \le 0 ifadesini sıfıra eşitlik ve sıfırdan küçük olma durumlarına göre iki ayrı duruma ayıralım.
x2⋅y3=0x^2 \cdot y^3 = 0 veya x2⋅y3<0x^2 \cdot y^3 < 0 elde edilir.
Çarpımın sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olmasının sınır koşullarını belirlemek için.
2
x2⋅y3=0x^2 \cdot y^3 = 0 durumunu inceleyelim.
x=0x = 0 veya y=0y = 0 olmalıdır.
Çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
x=0x = 0 seçildiğinde yy sayısının alabileceği değerleri kontrol edelim.
x=0x = 0 iken y=5y = 5 gibi pozitif bir değer seçildiğinde 02⋅53=0≤00^2 \cdot 5^3 = 0 \le 0 eşitsizliği doğru olur.
Sıfır sayısının çarpma işlemindeki yutan eleman ve işaretsizlik (nötrlük) özelliğinin, diğer değişken üzerindeki kısıtlamaları kaldırıp kaldırmadığını test etmek.

Anahtar Kavram

Sıfır (0) sayısının işaretsiz (nötr) ve yutan eleman olma özelliği ile çift kuvvetli ifadelerin daima non-negatif (sıfır veya pozitif) olması kuralı.
ÖncekiSayfa 4 / 4
Pozitif ve Negatif Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin