Examkin

Pozitif ve Negatif Sayılar

72 soru

Tüm türler72Çoktan seçmeli37Doğru / Yanlış16Sayısal19
Soru 41Soru →

a=−3a = -3 ve b=0b = 0 olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri pozitif bir sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−a)3(-a)^3

Cevap

(−a)3(-a)^3 ifadesi pozitif bir sayıdır.
(−a)3(-a)^3 ifadesinde aa yerine −3-3 yazıldığında, parantez içi −(−3)=3-(-3) = 3 olur. 33 sayısının küpü alındığında ise sonuç 33=273^3 = 27 olarak pozitif bir sayı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değişkenlerin işaretlerini ve değerlerini belirleyin.
a=−3a = -3 (negatif bir sayı) ve b=0b = 0 (işaretsiz, nötr bir sayı) olarak verilmiştir.
İfadelerin sayısal değerlerini hesaplamak için bu değerleri yerlerine yazmamız gerekir.
2
(−a)3(-a)^3 ifadesini a=−3a = -3 değeri için hesaplayın.
(−(−3))3=33=27(-(-3))^3 = 3^3 = 27 elde edilir.
Parantez içindeki negatif işaretlerin çarpımı pozitif olur ve pozitif bir sayının tek/çift tüm kuvvetleri pozitiftir.
3
Diğer seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini hesaplayarak pozitif olmadıklarını teyit edin.
−a2=−9-a^2 = -9, a3=−27a^3 = -27, a2⋅b=0a^2 \cdot b = 0 (nötr) ve a−b=−3a - b = -3 değerleri elde edilir.
Sıfırın işaretsiz (nötr) olduğunu ve parantezsiz negatif kuvvetlerin işaret kurallarını doğru uygulamak çeldiricileri elememizi sağlar.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların parantezli kuvvetleri ve sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 42Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0
b−a<0b - a < 0
eşitsizlik ve eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b−acb - a^c

Cevap

b - a^c
Seçeneklerdeki 'b - a^c' ifadesinde, c = 0 ve a sıfırdan farklı bir negatif sayı olduğu için a^c = a^0 = 1 olur. İfade b - 1 şekline dönüşür. b negatif bir tam sayı olduğundan, negatif bir sayıdan 1 çıkarıldığında sonuç daima negatif bir sayı (en fazla -2) olacaktır. Bu nedenle bu ifade daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu bulunur.
b2b^2 ifadesi sıfırdan farklı her tam sayı için daima pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için a3<0a^3 < 0 yani a<0a < 0 olmalıdır.
2
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0 eşitliğini analiz etmek.
c=0c = 0 (nötr) olduğu bulunur.
aa sayısı negatif (yani sıfırdan farklı) olduğundan, çarpımın sıfır olması ancak c2=0c^2 = 0 yani c=0c = 0 olması ile mümkündür.
3
b−a<0b - a < 0 eşitsizliğini kullanarak bb'nin işaretini belirlemek.
b<a<0b < a < 0 olduğundan b<0b < 0 (negatif) olduğu bulunur.
b<ab < a eşitsizliğinde aa negatif olduğundan, aa'dan daha küçük olan bb sayısı da negatif olmak zorundadır.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini incelemek.
b−acb - a^c ifadesinin daima negatif olduğu görülür.
c=0c = 0 ve a≠0a \neq 0 olduğundan ac=a0=1a^c = a^0 = 1 olur. Buradan b−ac=b−1b - a^c = b - 1 elde edilir. bb negatif bir tam sayı olduğundan b−1b - 1 daima negatiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 43Soru →

a,ba, b ve cc gerçel sayıları için,

a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0
a+b<0a + b < 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0

koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: +, -, nötr

Cevap

a pozitif (+), b negatif (-), c nötr (0) olmalıdır.
a^3 * b^2 > 0 ifadesinde b^2 pozitif olduğundan a^3 de pozitif olmalı, yani a pozitif (+) olmalıdır. a * c^2 = 0 ifadesinde a pozitif (sıfır değil) olduğundan c sıfır (nötr) olmalıdır. a + b < 0 eşitsizliğinde a pozitif olduğundan b negatif (-) olmalıdır. Bu durumda sırasıyla +, -, nötr işaretleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a^3 * b^2 > 0 eşitsizliğini incelemek.
a > 0
Sıfırdan farklı bir gerçel sayının çift kuvveti (b^2) daima pozitiftir. Çarpımın sonucunun pozitif olabilmesi için a^3 ifadesinin de pozitif olması gerekir. Buradan a sayısının pozitif (+) olduğu sonucuna varılır.
2
a * c^2 = 0 eşitliğini incelemek.
c = 0 (nötr)
İlk adımda a sayısının pozitif olduğunu bulmuştuk, yani a sıfır olamaz. Çarpımın sıfır çıkabilmesi için c^2 = 0 olmalıdır. Buradan c = 0 elde edilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
3
a + b < 0 eşitsizliğini incelemek.
b < 0
a pozitif bir sayı olduğuna göre, pozitif bir sayıyla toplamı negatif olan b sayısı kesinlikle negatif (-) olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaret analizi ile sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 44Soru →

Birer tam sayı olan aa, bb ve cc sayılarından biri pozitif, biri negatif, diğeri ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Bu sayılar için,
- cb⋅a>0c^b \cdot a > 0
- ca<0c^a < 0
- a−c=5a - c = 5
- a⋅c+b=−6a \cdot c + b = -6

eşitlik ve eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen ifadenin değeri 16 olarak bulunur.
Verilen koşullardan b=0b = 0, a=3a = 3 ve c=−2c = -2 tam sayıları elde edilir. Bu değerler a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinde yerine yazıldığında 32+23−1=163^2 + 2^3 - 1 = 16 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr tam sayının belirlenmesi
b=0b = 0
Tam sayılarda işareti olmayan (nötr) tek sayı 00 olduğundan ve aa ile cc sıfır olamayacağından (sıfır olsalardı eşitsizlikler sağlanmazdı) b=0b = 0 olmalıdır.
2
aa ve cc sayılarının işaretlerinin belirlenmesi
a>0a > 0 ve c<0c < 0
cb⋅a>0c^b \cdot a > 0 eşitsizliğinde b=0b = 0 yazıldığında c0⋅a>0  ⟹  a>0c^0 \cdot a > 0 \implies a > 0 elde edilir. Sayılardan biri pozitif, biri negatif, biri nötr olduğundan aa pozitif ve cc negatif olmalıdır.
3
aa ve cc değerlerinin bulunması
a=3a = 3 ve c=−2c = -2
a⋅c=−6a \cdot c = -6 ve a−c=5a - c = 5 denklem sisteminin negatif/pozitif tam sayı çözümleri (3,−2)(3, -2) ve (2,−3)(2, -3)'tür. ca<0c^a < 0 eşitsizliğinde taban negatif olduğundan üssün tek sayı olması gerekir. Bu durumda a=3a = 3 (tek) ve c=−2c = -2 çözümü sağlanır.
4
İstenen ifadenin değerinin hesaplanması
16
a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinde değerler yerine yazıldığında 32+23−1=163^2 + 2^3 - 1 = 16 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Üs, İşaret ve Nötr Eleman Kuralları
Soru 45Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, x3⋅(x−2)2≥0x^3 \cdot (x - 2)^2 \ge 0 eşitsizliğini sağlayan her xx sayısı pozitif bir sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (False).
Doğru cevap önermenin yanlış olduğudur. Çünkü eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan x=0x = 0 değeri pozitif değil, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki (x−2)2(x-2)^2 ifadesinin işaret durumunu incelemek.
Bir gerçel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, her xx gerçel sayısı için (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0 olur. İfade sadece x=2x = 2 için sıfıra eşittir, diğer tüm durumlarda pozitiftir.
Çift kuvvetli gerçel sayı ifadelerinin negatif olamayacağı kuralını uygulamak.
2
x3⋅(x−2)2≥0x^3 \cdot (x-2)^2 \ge 0 eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini belirlemek.
Çarpımın sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması için ya (x−2)2=0(x-2)^2 = 0 (yani x=2x = 2) ya da x3≥0x^3 \ge 0 (yani x≥0x \ge 0) olmalıdır. Bu koşulların birleşimi bize x≥0x \ge 0 çözüm kümesini verir.
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşitlik ve pozitiflik durumlarını analiz ederek genel çözüm kümesini oluşturmak.
3
Bulunan çözüm kümesindeki elemanların pozitiflik özelliklerini incelemek.
x≥0x \ge 0 çözüm kümesinde x=0x = 0 elemanı yer alır. 00 sayısı pozitif veya negatif olmayan, işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Dolayısıyla kümedeki tüm elemanlar pozitif değildir.
Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma tanımını kullanarak önermenin doğruluk değerini kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve çift kuvvetli ifadelerin negatif olmama özelliği
Soru 46Soru →

Bir şehrin üç günlük hava sıcaklıkları Pazartesi günü aa °C, Salı günü bb °C ve Çarşamba günü cc °C olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerleri arasında,

a4⋅b<0a^4 \cdot b < 0
b⋅c>0b \cdot c > 0
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0

bağıntıları olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? (Sıfır sayısı "İşaretsiz" olarak kabul edilecektir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İşaretsiz, -, -

Cevap

Sırasıyla işaretsiz, negatif ve negatif olmalıdır.
Doğru cevap olan sıralamada ilk terim işaretsiz (yani sıfır), diğer iki terim ise negatiftir. a4⋅b<0a^4 \cdot b < 0 ifadesinde a4a^4 pozitif olduğundan bb negatif olmak zorundadır. b⋅c>0b \cdot c > 0 ifadesinde bb negatif olduğu için cc de negatif olmalıdır. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde bb ve cc sıfır olamayacağına göre aa mutlaka sıfır (işaretsiz) olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini incelemek.
aa, bb veya cc sayılarından en az biri sıfıra eşit olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Çarpımın sonucunun sıfır çıkması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
a4⋅b<0a^4 \cdot b < 0 eşitsizliğinde bb sayısının işaretini belirlemek.
a≠0a \neq 0 olmalıdır, aksi takdirde bu çarpım sıfır olurdu. Sıfır dışındaki tüm gerçel sayıların çift kuvvetleri (a4a^4) pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için bb negatif (b<0b < 0) olmalıdır.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatif bir sayı verir.
3
b⋅c>0b \cdot c > 0 eşitsizliğinde cc sayısının işaretini belirlemek.
bb negatif bir sayı olduğuna göre, çarpımlarının pozitif (>0>0) olabilmesi için cc sayısının da negatif (c<0c < 0) olması gerekir.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif sonuç verir.
4
Sıfır olan değişkeni tespit etmek.
bb ve cc negatif (sıfırdan farklı) olduğuna göre, a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğini sağlayan tek değişken a=0a = 0 (işaretsiz) olmalıdır.
Çarpımın sıfır olmasını sağlayan tek aday sıfırdan farklı olmayan aa değişkenidir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinin işaretleri ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 47Soru →

aa, bb ve cc gerçel sayıları sayı doğrusu üzerinde soldan sağa sırasıyla a<b<ca < b < c eşitsizliğini sağlamaktadır.

Bu sayılarla ilgili,
* a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
* a2⋅b>−a2⋅ca^2 \cdot b > -a^2 \cdot c

bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −a3⋅c2-a^3 \cdot c^2

Cevap

−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2
−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesinde; a<0a < 0 olduğundan a3a^3 negatif bir sayıdır ve önündeki eksi işaretiyle birlikte −a3-a^3 pozitif olur. c>0c > 0 olduğundan c2c^2 de pozitif bir sayıdır. İki pozitif sayının çarpımı kesinlikle pozitif olduğundan bu ifade her zaman pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 ve a2⋅b>−a2⋅ca^2 \cdot b > -a^2 \cdot c bağıntılarını kullanarak değişkenlerin sıfır olma durumunu belirleme.
a≠0a \neq 0 ve b=0b = 0 elde edilir.
a2⋅b>−a2⋅c  ⟹  a2(b+c)>0a^2 \cdot b > -a^2 \cdot c \implies a^2(b+c) > 0 eşitsizliğinde, bir sayının karesi negatif olamayacağından ve sonuç sıfırdan büyük olduğundan a≠0a \neq 0 ve a2>0a^2 > 0 olmalıdır. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif olan a2a^2 ile bölündüğünde b+c>0b + c > 0 bulunur. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 olduğundan ve a≠0a \neq 0 olduğundan, bb veya cc sayılarından en az biri sıfır olmalıdır. Eğer c=0c = 0 olsaydı, a<b<ca < b < c sıralamasından dolayı b<0b < 0 olurdu. Bu durumda b+c<0b + c < 0 çelişkisi doğardı. Dolayısıyla c≠0c \neq 0 olup b=0b = 0 olmalıdır.
2
b=0b = 0 bilgisini kullanarak aa ve cc sayılarının işaretlerini belirleme.
a<0a < 0 ve c>0c > 0 elde edilir.
a<b<ca < b < c sıralamasında b=0b = 0 yazıldığında a<0<ca < 0 < c elde edilir. Bu durumda aa negatif, cc ise pozitif bir gerçel sayıdır. Ayrıca b+c>0  ⟹  0+c>0  ⟹  c>0b + c > 0 \implies 0 + c > 0 \implies c > 0 durumu da bunu doğrular.
3
Elde edilen işaretleri seçeneklerdeki ifadelerde yerine yazarak kesinlikle pozitif olan ifadeyi bulma.
−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesinin değeri kesinlikle pozitiftir.
a<0a < 0 olduğundan a3<0a^3 < 0 olur. Önündeki eksi işaretiyle birlikte −a3>0-a^3 > 0 (pozitif) elde edilir. c>0c > 0 olduğundan c2>0c^2 > 0 (pozitif) olur. İki pozitif ifadenin çarpımı olan −a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesi kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret belirleme, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik özellikleri.
Soru 48Soru →

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; aa, bb ve cc birer tam sayıdır.

* aa sayısı negatif bir tam sayıdır ve a>−4a > -4 koşulunu sağlamaktadır.
* bb sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
* cc sayısı pozitif bir tam sayıdır ve c<3c < 3 koşulunu sağlamaktadır.

Buna göre, a⋅b+aca \cdot b + a^c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer -3'tür.
Sıfır sayısı işaretsiz olduğundan b=0b = 0 olur ve a⋅ba \cdot b ifadesi sıfıra eşitlenir. Geriye kalan aca^c ifadesinde en küçük değeri bulmak için negatif bir tabanın tek kuvveti tercih edilmelidir. aa negatif tam sayısı −3-3, cc pozitif tam sayısı 11 seçildiğinde ifadenin alabileceği en küçük değer −3-3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) sayının belirlenmesi ve ifadenin sadeleştirilmesi
b=0b = 0 ve a⋅b=0a \cdot b = 0
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) tek sayıdır. Bu nedenle b=0b = 0 olur ve ifadedeki çarpım terimi sıfıra eşitlenir.
2
Değişkenlerin alabileceği değerlerin belirlenmesi
a∈{−3,−2,−1}a \in \{-3, -2, -1\} ve c∈{1,2}c \in \{1, 2\}
Verilen negatif/pozitif tam sayı tanımları ve eşitsizlik sınırları kullanılarak değişkenlerin kümesi oluşturulur.
3
Kuvvet alma kurallarına göre en küçük değerin hesaplanması
ac=(−3)1=−3a^c = (-3)^1 = -3
Negatif bir sayının tek kuvveti negatif sonuç verir. En küçük negatif değere ulaşmak için taban −3-3 ve üs 11 olarak seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Sıfırın işaretsiz olması ve negatif sayıların tek/çift kuvvetlerinin işareti
Soru 49Soru →

Her xx ve yy gerçel sayısı için x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 ise yy negatif bir sayıdır veya xx işaretsizdir (nötrdür).

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=1x=1 ve y=0y=0 için eşitsizlik sağlanmasına rağmen yy negatif değildir ve xx işaretsiz değildir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü y=0y = 0 ve x=1x = 1 değerleri için x2⋅y=0≤0x^2 \cdot y = 0 \le 0 eşitsizliği sağlanmasına rağmen, ne yy negatif bir sayıdır ne de xx işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği incelemek için x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 koşulunu sağlayan durumları sınıflandırın.
Bu eşitsizliğin sağlanması için ya x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 ya da x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 olmalıdır.
Eşitsizlik ≤\le (küçük veya eşit) sembolü içerdiğinden eşitlik ve küçüklük durumları ayrı ayrı değerlendirilmelidir.
2
x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 durumunu analiz edin.
Bu durumda x=0x = 0 veya y=0y = 0 olmalıdır. Eğer x=0x = 0 ise xx işaretsizdir (nötr). Ancak y=0y = 0 ve x≠0x \ne 0 (örneğin x=1x = 1) ise x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 sağlanır.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
x=1x = 1 ve y=0y = 0 karşıt örneğini önermede yerine koyarak test edin.
x2⋅y=12⋅0=0≤0x^2 \cdot y = 1^2 \cdot 0 = 0 \le 0 eşitsizliği sağlanır. Bu durumda y=0y = 0 (negatif değil, nötr) ve x=1x = 1 (işaretsiz değil, pozitif) elde edilir. Her iki koşul da ('yy negatif bir sayıdır' veya 'xx işaretsizdir') sağlanmamış olur.
Önermenin her xx ve yy gerçel sayısı için doğru olmadığını gösteren en az bir karşıt örnek bulmak önermenin yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve eşitsizliklerde eşitlik durumunun (00) göz ardı edilmemesi.
Soru 50Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda sabah, öğle ve akşam saatlerinde ölçülen hava sıcaklık değerleri sırasıyla aa, bb ve cc santigrat derecedir. Bu değerler arasında,
* a⋅b<0a \cdot b < 0
* b−c>0b - c > 0
bağıntıları bulunmaktadır.

Bu üç ölçümden en az birinde hava s��caklığı tam olarak 00 santigrat derece olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −, +, 0-,\ +,\ 0

Cevap

Sabah sıcaklığı negatif, öğle sıcaklığı pozitif, akşam sıcaklığı sıfır derece olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekte sabah sıcaklığı negatif, öğle sıcaklığı pozitif ve akşam sıcaklığı sıfır derece olarak verilmiştir. a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ne sabah ne de öğle sıcaklığı sıfır olamaz. Bu nedenle akşam sıcaklığı olan c=0c = 0 olmak zorundadır. b−c>0b - c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazılırsa b>0b > 0 bulunur. bb pozitif iken a⋅b<0a \cdot b < 0 olması için a<0a < 0 olmalıdır. Bu durum tüm koşulları sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım durumundaki değişkenleri inceleme
a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olmalıdır.
İki gerçel sayının çarpımı sıfırdan küçük (a⋅b<0a \cdot b < 0) olduğundan, bu sayılardan herhangi biri sıfıra eşit olamaz. Sıfır olsaydı çarpım sonucu sıfır olurdu.
2
Sıfır olan değişkeni belirleme
c=0c = 0 olmalıdır.
Soruda en az bir sıcaklık değerinin sıfır derece olduğu belirtilmiştir. aa ve bb sıfır olamayacağına göre, sıfır olan tek aday cc sayısıdır.
3
Eşitsizlik yardımıyla ikinci değişkenin işaretini bulma
b>0b > 0 (pozitif) olur.
b−c>0b - c > 0 eşitsizliğinde cc yerine 00 yazıldığında b−0>0  ⟹  b>0b - 0 > 0 \implies b > 0 elde edilir.
4
Çarpım yardımıyla son değişkenin işaretini bulma
a<0a < 0 (negatif) olur.
a⋅b<0a \cdot b < 0 eşitsizliğinde bb pozitif olduğuna göre, çarpımın negatif çıkması için aa negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın Nötrlük Özelliği
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 51Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
−a4⋅b3>0-a^4 \cdot b^3 > 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0
b−c<0b - c < 0
eşitlik ve eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2⋅b−ca^2 \cdot b - c

Cevap

a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesi kesinlikle negatiftir.
a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesinde, sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan a2>0a^2 > 0'dır. Negatif bir sayı olan bb ile pozitif olan a2a^2 çarpıldığında sonuç negatif (a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0) olur. Bu ifadeden sıfıra eşit olan cc çıkarıldığında değer değişmez ve sonuç kesinlikle negatif kalır.

Adım Adım Çözüm

1
−a4⋅b3>0-a^4 \cdot b^3 > 0 eşitsizliğini analiz etmek.
a≠0a \neq 0 ve b<0b < 0 olarak bulunur.
aa gerçel say�� olduğundan a4≥0a^4 \ge 0'dır. Eşitsizlik katı (>>) olduğundan a≠0a \neq 0 ve dolayısıyla a4>0a^4 > 0'dır. Bu durumda −a4<0-a^4 < 0 olur. Çarpımın pozitif olması için b3<0b^3 < 0 olmal��dır, bu da b<0b < 0 demektir.
2
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0 eşitliğini analiz etmek.
c=0c = 0 olarak bulunur.
İlk adımdan a≠0a \neq 0 olduğunu bulmuştuk. Çarpımın sıfır olabilmesi için c2=0c^2 = 0 olmalıdır, buradan c=0c = 0 elde edilir.
3
b−c<0b - c < 0 eşitsizliğini kontrol etmek.
b<0b < 0 ve c=0c = 0 olduğundan b−0<0  ⟹  b<0b - 0 < 0 \implies b < 0 elde edilir.
Bulunan değerlerin sistemin tüm koşullarını sağladığını doğrulamak.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini incelemek.
a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesinin kesinlikle negatif olduğu belirlenir.
a≠0  ⟹  a2>0a \neq 0 \implies a^2 > 0 ve b<0b < 0 olduğundan a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 olur. c=0c = 0 olduğundan a2⋅b−c=a2⋅b<0a^2 \cdot b - c = a^2 \cdot b < 0 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir. Örneğin; a=1a = 1, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 seçilirse ifadelerin değerleri incelenerek kesin olarak negatif olan ifade tespit edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 52Soru →

Her xx gerçel sayısı için, −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinden en az biri negatif bir say��ya eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü x=0x=0 için −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinin her ikisi de sıfıra eşit olur ve sıfır negatif bir sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
xx gerçel sayısının sıfırdan farklı olduğu durumları incelemek.
x≠0x \neq 0 iken, −x2-x^2 daima negatif bir sayı, (−x)2(-x)^2 ise daima pozitif bir sayıdır. Bu durumda ifadelerden en az biri (yani −x2-x^2 olanı) negatiftir.
Sıfır dışındaki sayıların karelerinin pozitif olmasından yola çıkarak ifadelerin işaretlerini belirlemek.
2
xx gerçel sayısının sıfır olduğu durumu incelemek.
x=0x = 0 için −02=0-0^2 = 0 ve (−0)2=0(-0)^2 = 0 olur.
Önermenin 'her xx gerçel sayısı' için geçerli olup olmadığını test etmek amacıyla kritik değer olan sıfırı denemek.
3
Sıfırın işaretini belirlemek ve sonucu değerlendirmek.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğundan negatif değildir. x=0x=0 için iki ifade de negatif olmadığından önerme yanlıştır.
Sıfırın pozitif veya negatif olmadığını (nötr olduğunu) kullanarak önermenin yanlışlığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Sıfırın nötr olması ve negatif sayıların parantezli kuvvetlerinin işaret üzerindeki etkisi
Soru 53Soru →

aa, bb ve xx birer gerçel sayı olmak üzere,

I. −a2-a^2 sayısı, her aa gerçel sayısı için negatif bir sayıdır.
II. (−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 eşitliği her bb gerçel sayısı için sağlanır.
III. xx negatif bir gerçel sayı olmak üzere, (−x)4(-x)^4 ve −x4-x^4 ifadeleri zıt işaretlidir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Her zaman doğru olan öncüller II ve III'tür. İkinci öncülde tek kuvvet parantez dışına eksi işaretini aynen taşıyacağından (−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 eşitliği tüm gerçel sayılar için sağlanır. Üçüncü öncülde xx negatif olduğundan −x-x pozitif olur ve pozitif sayının çift kuvveti olan (−x)4(-x)^4 ifadesi pozitif bir değer alır; diğer taraftan −x4-x^4 ifadesinde eksi işareti parantez dışında olduğundan ve x4x^4 pozitif olduğundan bu ifade negatif bir değer alır, dolayısıyla zıt işaretli olurlar. Birinci öncülde ise a=0a = 0 için −a2=0-a^2 = 0 olur ve sıfır nötr bir sayı olduğundan negatif değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü incelemek için sıfır (00) sayısının özelliğini dikkate alalım.
a=0a = 0 gerçel sayısı için −a2=−(0)2=0-a^2 = -(0)^2 = 0 olur.
Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayı olduğundan negatif bir sayı değildir. Bu nedenle birinci öncül her zaman doğru değildir.
2
İkinci öncüldeki (−b)3(-b)^3 ifadesini üslü sayı özelliklerine göre açalım.
(−b)3=(−1⋅b)3=(−1)3⋅b3=−b3(-b)^3 = (-1 \cdot b)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 = -b^3 eşitliği elde edilir.
Negatif bir sayının veya bir ifadenin tek kuvveti alınırken eksi işareti parantez dışına aynen çıkar. Bu eşitlik tüm bb gerçel sayıları için her zaman sağlanır.
3
Üçüncü öncüldeki (−x)4(-x)^4 ve −x4-x^4 ifadelerinin işaretlerini x<0x < 0 koşuluna göre ayrı ayrı inceleyelim.
x<0x < 0 ise −x>0-x > 0 olur, dolayısıyla (−x)4>0(-x)^4 > 0 (pozitif) elde edilir. Diğer yandan x4>0x^4 > 0 olduğundan −x4<0-x^4 < 0 (negatif) olur.
Pozitif bir sayının çift kuvveti pozitiftir, fakat −x4-x^4 ifadesinde eksi işareti parantez dışında kaldığından sonuç negatiftir. Biri pozitif diğeri negatif olduğundan bu ifadeler zıt işaretlidir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinde tabanın negatifliği, parantez kullanımı ve sıfırın işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 54Soru →

xx, yy ve zz gerçel sayıları için,

* x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0
* y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0
* x+y+z=0x + y + z = 0

koşulları sağlanmaktadır. Buna göre; xx, yy ve zz gerçel sayılarından pozitif olanların sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Pozitif olan sayıların sayısı 1'dir.
Doğru cevap 1'dir. y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0 ifadesinden yy ve zz sayılarının işaretlerinin aynı olduğu anlaşılır. Eğer her ikisi de pozitif olsaydı, x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0 eşitsizliğinden x=0x = 0 gelirdi. Bu durumda x+y+z=0x+y+z=0 eşitliği y+z=0y+z=0 olmasını gerektirirdi ki iki pozitif sayının toplamı sıfır olamaz. Dolayısıyla yy ve zz negatif olmalıdır. Buradan x=−(y+z)x = -(y+z) pozitif olur. Yani tek pozitif sayı xx'tir.

Adım Adım Çözüm

1
y⋅z3>0y \cdot z^3 > 0 eşitsizliğini analiz etmek.
yy ve zz aynı işaretli ve sıfırdan farklıdır.
Çarpımın pozitif olması için her iki çarpanın işaretinin aynı olması gerekir. Tek kuvvetler tabanın işaretini etkilemediğinden z3z^3 ile zz aynı işaretlidir.
2
yy ve zz sayılarının pozitif olması durumunu incelemek.
Çelişki elde edilir, bu durum imkansızdır.
y>0y > 0 ise x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0 eşitsizliği x4≤0x^4 \le 0 olmasını gerektirir. Bir gerçel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından x=0x = 0 olur. Bu durumda x+y+z=0⇒y+z=0x + y + z = 0 \Rightarrow y + z = 0 olur ancak iki pozitif sayının toplamı sıfır olamaz.
3
yy ve zz sayılarının negatif olması durumunu incelemek.
x>0x > 0, y<0y < 0 ve z<0z < 0 bulunur.
y<0y < 0 ise y5<0y^5 < 0 olur ve x4⋅y5≤0x^4 \cdot y^5 \le 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için daima sağlanır. x+y+z=0x + y + z = 0 denkleminden x=−(y+z)x = -(y + z) elde edilir. İki negatif sayının toplamı negatif olduğundan, önüne gelen eksi işaretiyle xx pozitif bir değer alır.
4
Pozitif sayıların toplam sayısını bulmak.
Pozitif olan sayıların sayısı 1'dir.
xx pozitif, yy ve zz negatif olduğundan yalnızca 1 adet pozitif sayı vardır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların özellikleri, çift kuvvetlerin negatif olmama özelliği ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumu.
Soru 55Soru →

Aşağıda aa, bb ve cc gerçel sayıları arasındaki bazı eşitsizlik ilişkileri verilmiştir:

* a2⋅b≤0a^2 \cdot b \le 0
* b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0
* a⋅c<0a \cdot c < 0

Buna göre, bu ilişkileri sağlayan her aa, bb ve cc değeri için aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2−ba^2 - b

Cevap

a2−ba^2 - b ifadesi her zaman pozitiftir.
a2−ba^2 - b ifadesi her zaman pozitiftir. Çünkü a⋅c<0a \cdot c < 0 olduğundan aa sıfıra eşit olamaz ve karesi (a2a^2) her zaman pozitiftir. a2⋅b≤0a^2 \cdot b \le 0 eşitsizliğinde a2>0a^2 > 0 olduğu için b≤0b \le 0 olmalıdır. Buradan −b≥0-b \ge 0 elde edilir. Pozitif bir sayı (a2a^2) ile negatif olmayan bir sayının (−b-b) toplamı her koşulda pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅c<0a \cdot c < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
aa ve cc zıt işaretlidir. Dolayısıyla a≠0a \neq 0 ve c≠0c \neq 0 olur.
Çarpımları negatif olan iki sayı sıfırdan farklı ve zıt işaretli olmalıdır.
2
a≠0a \neq 0 bilgisini a2⋅b≤0a^2 \cdot b \le 0 eşitsizliğinde kullanmak.
a2>0a^2 > 0 olduğundan b≤0b \le 0 bulunur.
Sıfır dışındaki tüm gerçel sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. Pozitif bir sayı ile çarpımı sıfırdan küçük veya eşit olan bir değişkenin kendisi sıfıra eşit ya da negatif olmalıdır.
3
bb sayısının durumlarına göre b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0 eşitsizliğini incelemek.
b=0b = 0 ise cc her iki işareti de alabilir (ancak aa ile zıt işaretli kalır). b<0b < 0 ise b3<0b^3 < 0 olacağından c<0c < 0 (dolayısıyla a>0a > 0) olur.
Sıfırın işaretsiz (nötr) olma özelliği göz önüne alındığında, bb değerinin 00 veya negatif olma durumları ayrı ayrı değerlendirilmelidir.
4
a2−ba^2 - b ifadesinin işaretini elde edilen durumlar için doğrulamak.
a2>0a^2 > 0 ve −b≥0-b \ge 0 olduğu için a2−b>0a^2 - b > 0 eşitsizliği daima sağlanır.
Pozitif bir sayı ile negatif olmayan (sıfır veya pozitif) bir sayının toplamı her zaman pozitif bir sonuç verir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret incelemesi, sıfırın nötr olma özelliği ve çift kuvvetlerin daima pozitif olması.
Soru 56Soru →

Her aa ve bb gerçel sayısı için, a2⋅b≥0a^2 \cdot b \geq 0 olduğunda bb sayısı her zaman pozitif veya sıfırdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.
Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) bir sayı olması nedeniyle, a=0a = 0 durumunda bb sayısı herhangi bir negatif değer alsa dahi eşitsizlik sağlanır. Bu yüzden önerme her zaman doğru değildir, yani yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
a2a^2 ifadesinin alabileceği değer aralığını belirleyin.
Her aa gerçel sayısı için a2≥0a^2 \geq 0 elde edilir.
Bir gerçel sayının çift kuvveti negatif olamaz.
2
a=0a = 0 özel durumunu inceleyin.
Eğer a=0a = 0 ise a2⋅b=0⋅b=0≥0a^2 \cdot b = 0 \cdot b = 0 \geq 0 eşitsizliği bb sayısının tüm değerleri için sağlanır.
Sıfır sayısı nötrdür ve sıfır ile herhangi bir sayının çarpımı sıfıra eşittir.
3
Karşıt bir örnek ile ifadenin genel doğruluğunu test edin.
a=0a = 0 ve b=−1b = -1 için eşitsizlik sağlanır fakat bb negatif bir sayıdır.
Bu durum, bb sayısının pozitif veya sıfır olma zorunluluğunu ortadan kaldırır.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve çift kuvvetlerin eşitsizliklerdeki etkisi.
Soru 57Soru →

xx, yy ve zz birer gerçel sayı olmak üzere,

x−y2>0x - y^2 > 0
y⋅z3=0y \cdot z^3 = 0
x3⋅z5<0x^3 \cdot z^5 < 0

eşitsizlik ve eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman pozitiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−z3x - z^3

Cevap

x−z3x - z^3 ifadesi her zaman pozitiftir.
Bulunan x>0x > 0, y=0y = 0 ve z<0z < 0 değerlerine göre, z3z^3 ifadesi negatif bir sayının tek kuvveti olduğu için negatiftir. Dolayısıyla −z3-z^3 ifadesi pozitif bir değer alır. Pozitif bir sayı olan xx ile pozitif olan −z3-z^3 ifadesinin toplamı (x−z3x - z^3) her zaman pozitif bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği inceleyerek sıfır olan değişkeni belirleme
y=0y = 0 olduğu bulunur.
y⋅z3=0y \cdot z^3 = 0 eşitliğine göre y=0y = 0 veya z=0z = 0 olmalıdır. Ancak x3⋅z5<0x^3 \cdot z^5 < 0 eşitsizliği xx ve zz değerlerinin sıfırdan farklı olduğunu gösterir (z≠0z \neq 0). Bu durumda y=0y = 0 olmak zorundadır. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
2
xx sayısının işaretini belirleme
x>0x > 0 olduğu bulunur.
x−y2>0x - y^2 > 0 eşitsizliğinde y=0y = 0 değeri yerine yazıldığında x−02>0  ⟹  x>0x - 0^2 > 0 \implies x > 0 elde edilir.
3
zz sayısının işaretini belirleme
z<0z < 0 olduğu bulunur.
x3⋅z5<0x^3 \cdot z^5 < 0 eşitsizliğinde x>0x > 0 olduğundan x3>0x^3 > 0 olur. Çarpımın negatif olabilmesi için z5<0z^5 < 0 olmalıdır. Tek kuvveti negatif olan gerçel sayıların kendisi de negatif olduğundan z<0z < 0 bulunur.
4
Seçenekleri analiz ederek her zaman pozitif olan ifadeyi bulma
x−z3>0x - z^3 > 0 olduğu doğrulanır.
x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğundan, negatif bir sayının tek kuvveti negatif olacağı için z3<0z^3 < 0 olur. Buradan −z3>0-z^3 > 0 elde edilir. Dolayısıyla, pozitif bir sayı olan xx ile pozitif bir sayı olan −z3-z^3 toplandığında sonuç her zaman pozitif olur (x−z3>0x - z^3 > 0).

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (sıfır) gerçel sayıların kuvvetleri ve temel aritmetik işlemleri altındaki işaret değişimleri.

Alternatif Yöntem

Değişkenlere uygun değerler verilerek seçenekler elenebilir. Örneğin; y=0y = 0, x=1x = 1 ve z=−1z = -1 seçilirse verilen eşitlik ve eşitsizlikler sağlanır. Bu değerler seçeneklerde yerine yazıldığında sırasıyla ilk seçenek −1-1, ikinci seçenek −1-1, üçüncü seçenek (doğru cevap) 22, dördüncü seçenek −2-2 ve beşinci seçenek −1-1 değerini alır. Bu pratik yöntemle de doğru seçeneğe hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a≤0<b<ca \le 0 < b < c
olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a2⋅(c−b)a^2 \cdot (c - b)
II. b−ab - a
III. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
IV. c2−a3c^2 - a^3
V. (a−b)2⋅c(a - b)^2 \cdot c

ifadelerinden kaç tanesi her zaman pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen koşullar altında II, IV ve V olmak üzere toplam 3 ifade her zaman pozitif bir gerçel sayıya eşittir.
Verilen a≤0<b<ca \le 0 < b < c eşitsizliğine göre; II, IV ve V numaralı ifadeler aa'nın sıfır veya negatif olduğu her iki durumda da her zaman pozitif değerler alır. I ve III numaralı ifadeler ise a=0a = 0 durumunda sıfıra eşit olabildiklerinden ve sıfır sayısı pozitif olmadığından (nötr olduğundan) her zaman pozitif değillerdir. Dolayısıyla her zaman pozitif olan ifade sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaret durumlarını ve aralarındaki ilişkileri belirlemek
a≤0a \le 0, b>0b > 0, c>0c > 0 ve c−b>0c - b > 0 ilişkileri elde edilir.
İfadelerin işaret analizini yapabilmek için temel bileşenlerin işaretlerini netleştirmek gerekir.
2
I, II ve III numaralı ifadeleri teker teker incelemek
I. ifade a=0a = 0 durumunda sıfıra eşit olur ve pozitiflik şartını sağlamaz. II. ifade daima pozitiftir. III. ifade sıfır veya negatif değerler alır.
İlk üç ifadenin her zaman pozitif olup olmadığını kontrol etmek için.
3
IV ve V numaralı ifadeleri incelemek ve sonucu bulmak
IV. ifade c2+(−a3)c^2 + (-a^3) toplamından daima pozitiftir. V. ifade iki pozitif çarpanın çarpımı olduğundan daima pozitiftir. Her zaman pozitif olan ifadelerin sayısı 3 olarak bulunur.
Kalan ifadeleri analiz edip nihai sayısal cevaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 59Soru →

Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için a<ba < b ise a2<b2a^2 < b^2 veya 1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b} ifadelerinden en az biri her zaman doğrudur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Zıt işaretli sayılarda her iki eşitsizliğin de yanlışlandığı karşıt örnekler bulunmaktadır.
Negatif bir sayının mutlak değeri pozitif bir sayının mutlak değerinden büyük olduğunda (∣a∣>∣b∣|a| > |b|), negatif sayının karesi pozitif sayının karesinden daha büyük olur ve çarpmaya göre tersi alındığında negatif işaret korunacağı için pozitif sayıdan küçük kalmaya devam eder. Bu durum önermenin yanlış olduğunu doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği sağlayan zıt işaretli gerçel sayı değerleri seçilir.
a=−3a = -3 ve b=2b = 2 seçilsin. Bu durumda −3<2-3 < 2 eşitsizliği sağlandığı için a<ba < b koşulu geçerlidir.
Önermenin her zaman doğru olup olmadığını test etmek amacıyla, eşitsizlik kurallarını bozabilecek zıt işaretli ve mutlak değerce farklı büyüklükte sayılarla bir karşıt örnek aranır.
2
Birinci bileşen olan a2<b2a^2 < b^2 eşitsizliğinin doğruluk değeri incelenir.
a2=(−3)2=9a^2 = (-3)^2 = 9 ve b2=22=4b^2 = 2^2 = 4 olur. 9<49 < 4 ifadesi yanlış bir eşitsizliktir.
Negatif bir sayının karesi pozitif olacağından, mutlak değerce daha büyük olan negatif sayının karesi de daha büyük olacaktır.
3
İkinci bileşen olan 1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b} eşitsizliğinin doğruluk değeri incelenir.
1a=−13\frac{1}{a} = -\frac{1}{3} ve 1b=12\frac{1}{b} = \frac{1}{2} olur. Negatif bir sayı pozitif bir sayıdan büyük olamayacağı için −13>12-\frac{1}{3} > \frac{1}{2} ifadesi de yanlıştır.
Zıt işaretli iki sayının çarpmaya göre tersleri alındığında işaretleri değişmez, dolayısıyla negatif olan değer yine negatif, pozitif olan değer yine pozitif kalır.
4
Elde edilen sonuçlar veya bağlacı altında birleştirilerek önermenin genel doğruluk değeri belirlenir.
Her iki eşitsizlik de yanlış çıktığından, 'en az biri doğrudur' ifadesi yanlışlanmış olur.
Veya bağlacıyla bağlanmış iki ifadenin ikisi de yanlış olduğunda bileşik önermenin sonucu yanlış olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların kareleri ile çarpmaya göre terslerinin eşitsizlik özelliklerinin zıt işaretli olma durumuna göre incelenmesi
Soru 60Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
* a⋅c=0a \cdot c = 0
* b5⋅(c−a)>0b^5 \cdot (c - a) > 0

bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−a)2⋅b−c(-a)^2 \cdot b - c

Cevap

(−a)2⋅b−c(-a)^2 \cdot b - c ifadesi her zaman pozitif bir sayı belirtir.
(−a)2⋅b−c(-a)^2 \cdot b - c ifadesinde, a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. Pozitif bir sayının karesi de pozitiftir, yani (−a)2>0(-a)^2 > 0 elde edilir. b>0b > 0 olduğu için bu iki pozitif sayının çarpımı (−a)2⋅b>0(-a)^2 \cdot b > 0 olur. c=0c = 0 olduğundan bu ifadeden cc çıkarıldığında değer değişmez ve sonuç pozitif kalır.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini analiz edin.
a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0
Bir sayının karesi (b2b^2) sıfır değilse her zaman pozitiftir. Çarpımın negatif olabilmesi için a3<0a^3 < 0 olmalıdır, bu da aa'nın negatif bir sayı (a<0a < 0) olduğunu gösterir.
2
a⋅c=0a \cdot c = 0 eşitliğini analiz edin.
c=0c = 0
a<0a < 0 olduğu için a≠0a \neq 0'dır. İki sayının çarpımı sıfır ise ve çarpanlardan biri sıfırdan farklıysa, diğer çarpan sıfır olmalıdır. Dolayısıyla c=0c = 0 olmak zorundadır.
3
b5⋅(c−a)>0b^5 \cdot (c - a) > 0 eşitsizliğini kullanarak bb'nin işaretini bulun.
b>0b > 0
c=0c = 0 ve a<0a < 0 olduğundan c−a=0−a=−ac - a = 0 - a = -a olur. aa negatif olduğundan −a-a pozitif bir sayıdır. Çarpımın pozitif kalabilmesi için b5>0b^5 > 0 olmalıdır, bu da bb'nin pozitif bir sayı (b>0b > 0) olduğunu gösterir.
4
Elde edilen a<0a < 0, b>0b > 0 ve c=0c = 0 değerlerini seçeneklerde yerine koyarak inceleyin.
(−a)2⋅b−c>0(-a)^2 \cdot b - c > 0
a<0a < 0 ise −a>0-a > 0 olur ve karesi (−a)2>0(-a)^2 > 0 pozitif bir değer alır. b>0b > 0 ile çarpımı pozitif kalır. c=0c = 0 çıkarılması sonucu değiştirmez. Dolayısıyla bu ifade her zaman pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (sıfır) sayıların çarpım, toplam ve kuvvet işlemlerindeki işaret kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Pozitif ve Negatif Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin