Tek ve Çift Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir okulun A, B ve C sınıf mevcudu sayıları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılarıdır. Bu sınıflardaki öğrenci sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A ve B sınıflarındaki toplam öğrenci sayısı tektir.
* B ve C sınıflarındaki öğrencilerin tamamı ikişerli gruplara ayrıldığında hiç öğrenci artmamaktadır.

Buna göre,

I. $a \cdot (b + c)$
II. $a \cdot b \cdot c$
III. $a^c + b$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur.

I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur.

b + c

toplamının her zaman çift sayı olduğu bilindiğinden, bu toplamın herhangi bir tam sayı olan

a

ile çarpımı da her zaman çift sayıdır. Ayrıca, olası tüm durumlarda

a

,

b

ve

c

sayılarından en az biri çift sayı olduğundan, bu üç sayının çarpımı olan

a \cdot b \cdot c

ifadesi de her zaman çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri matematiksel ifadelere ve teklik-çiftlik durumlarına dönüştürün.

A ve B sınıflarının toplamı tek olduğundan

a + b

toplamı tektir. B ve C sınıflarının mevcudu ikişerli gruplara tam bölündüğünden

b + c

toplamı çifttir.

Sınıf mevcutlarının toplamının teklik ve çiftlik özelliklerini belirlemek için.

2

b

değişkeninin alabileceği durumlara göre

a

ve

c

değişkenlerinin durumlarını inceleyin.

1. Durum:

b

tek ise;

a

çift olmalıdır (çünkü

a + b

tek) ve

c

tek olmalıdır (çünkü

b + c

çift). Bu durumda

(a, b, c) = (Ç, T, T)

olur. 2. Durum:

b

çift ise;

a

tek olmalıdır (çünkü

a + b

tek) ve

c

çift olmalıdır (çünkü

b + c

çift). Bu durumda

(a, b, c) = (T, Ç, Ç)

olur.

Değişkenlerin alabileceği tüm olası durumları eksiksiz analiz etmek için.

3

Elde edilen iki durumu öncüllerde yerine koyarak her zaman çift çıkıp çıkmadıklarını kontrol edin.

I.

a \cdot (b + c)

ifadesinde

b + c

her zaman çift olduğundan, çift sayı ile yapılan çarpım her zaman çift sayıdır. II.

a \cdot b \cdot c

ifadesinde, 1. durumda

a

çift, 2. durumda ise

b

ve

c

çift olduğundan çarpım her zaman çift sayıdır. III.

a^c + b

ifadesinde

c \ge 1

pozitif tam sayı olduğundan

a^c

ifadesinin tekliği/çiftliği

a

ile aynıdır. Dolayısıyla

a^c + b

ifadesi

a + b

ile aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.

a + b

tek sayı olduğundan bu ifade her zaman tektir.

Öncüllerin doğruluğunu kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların temel aritmetik özellikleri ve pozitif tam sayı kuvvetlerinin teklik-çiftlik üzerindeki etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 82Soru →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

b \cdot (a + 1)

ifadesinin bir tek sayı,

c \cdot (a + 1)

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $a^b + c$
II. $a \cdot b + c$
III. $b^c + a$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Doğru cevap, yalnızca ikinci öncülde verilen ifadenin her zaman çift sayı olduğunu belirten seçenektir.

a

çift,

b

tek ve

c

çift tam sayılar olmak üzere,

a \cdot b

çarpımı her zaman çift sayı olur. Çift bir sayıya çift bir sayı olan

c

eklendiğinde elde edilen

a \cdot b + c

toplamı her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen çarpım ifadelerinin teklik ve çiftlik durumlarını analiz edin.

b

tek sayı,

a + 1

tek sayı ve dolayısıyla

a

çift sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

b \cdot (a + 1)

tek olduğundan

b

ve

a+1

tektir.

2

İkinci çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz edin.

c

çift sayıdır.

c \cdot (a + 1)

çift sayıdır. İlk adımdan

a + 1

ifadesinin tek sayı olduğunu bildiğimiz için, çarpımın çift olması ancak

c

sayısının çift olmasıyla mümkündür.

3

Öncüllerdeki ifadeleri elde edilen

a

(çift),

b

(tek) ve

c

(çift) tam sayı değerlerine göre değerlendirin.

Sadece ikinci öncül her zaman çift sayıdır.

Birinci öncülde

b

negatif olabilir ve ifade rasyonel sayıya dönüşebilir. Üçüncü öncülde de

c

negatif olabilir ve ifade rasyonel sayıya dönüşebilir. İkinci öncülde ise iki çift sayının toplamı her zaman çift bir tam sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

Soru 83Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ birer tam sayı olmak üzere,

* $a + 2b$ ve $b + 3c$ sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu,
* $a \cdot c$ sayısının bir çift sayı olduğu

bilinmektedir.

Buna göre;

I. $a + b + c$
II. $a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c$
III. $(a+b) \cdot (a+c) \cdot (b+c)$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III

Verilen koşullar incelendiğinde,

a, b

ve

c

tam sayılarından tam olarak birinin tek, diğer ikisinin ise çift sayı olduğu görülür. Bu durumda, her terimi en az bir çift çarpan barındıran

a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c

toplamı her zaman çift sayıdır. Ayrıca, çarpanlarından en az biri iki çift sayının toplamından oluşan

(a+b) \cdot (a+c) \cdot (b+c)

çarpımı da her zaman çift sayı sonucunu verir. Dolayısıyla doğru yanıt 'II ve III' ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

a + 2b

ve

b + 3c

ifadelerinin teklik-çiftlik yapılarını incelemek.

2b

ifadesi,

b

tam sayı olduğu için her zaman çifttir. Dolayısıyla

a + 2b

ifadesinin teklik-çiftlik durumu doğrudan

a

sayısına bağlıdır. Yani

a

tek ise

a+2b

tek,

a

çift ise

a+2b

çift olur.

Bir tam sayıya çift sayı eklemek o sayının teklik-çiftlik durumunu değiştirmez.

2

İlk durumu (

a + 2b

tek,

b + 3c

çift) analiz etmek.

a + 2b

tek ise

a

tek sayıdır.

a

tek iken

a \cdot c

çarpımının çift olması için

c

çift sayı olmalıdır.

c

çift ise

3c

çift olur. Bu durumda

b + 3c

toplamının çift olması i��in

b

de çift sayı olmalıdır. Buradan

(a, b, c) = (Tek, Çift, Çift)

durumu elde edilir.

Çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması ve toplamın çift olması için her iki terimin aynı pariteye sahip olması gerekir.

3

İkinci durumu (

a + 2b

çift,

b + 3c

tek) analiz etmek.

a + 2b

çift ise

a

çift sayıdır.

a

çift olduğundan

a \cdot c

çarpımı

c

'den bağımsız olarak her zaman çifttir.

b + 3c

toplamının tek olması için iki olasılık vardır:

c

çift ise

3c

çift ve

b

tek olur, yani

(a, b, c) = (Çift, Tek, Çift)

.

c

tek ise

3c

tek ve

b

çift olur, yani

(a, b, c) = (Çift, Çift, Tek)

.

Toplamın tek sayı olması için toplanan terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

4

Tüm durumları birleştirerek öncülleri test etmek.

Belirlenen üç durumun hepsinde de

a, b, c

tam sayılarından tam olarak biri tek, diğer ikisi çift sayıdır. Buna göre: I. öncüldeki

a + b + c

toplamı bir tek ve iki çift sayının toplamı olduğundan tektir. II. öncüldeki

a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c

ifadesinde her terim en az bir çift sayı içerdiğinden toplam çifttir. III. öncüldeki

(a+b)(a+c)(b+c)

çarpımında ise iki çift sayının toplamı olan çarpan çift olacağından çarpım çifttir.

Her zaman çift olan ifadeleri kesin olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri ile durum analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 84Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı birer tam sayı olmak üzere,

* $a \cdot b + c$ ifadesinin bir çift sayı,
* $b + c$ ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a^b + c

b^c + a

(a + c) \cdot b

a \cdot c + b

b^a + c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(a + c) \cdot b$

Cevap

(a + c) \cdot b

ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

(a + c) \cdot b

ifadesinde

a

ve

c

sayılarının her ikisi de çift sayı olduğundan, parantez içindeki

(a + c)

toplamı da her zaman çift bir sayıdır. Çift bir tam sayının herhangi bir tam sayı olan

b

ile çarpımı ise daima çift bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

b + c

ifadesinin tek sayı olması durumunu incelemek.

b

ve

c

tam sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır.

İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

2

b

ve

c

sayılarının olası durumlarını

a \cdot b + c

ifadesinde yerine koyarak test etmek.

b

tek sayı ve

c

çift sayı olmak zorundadır.

b

çift,

c

tek olamaz.

Eğer

b

çift ve

c

tek olsaydı,

a \cdot b

çarpımı çift olacağından

a \cdot b + c

toplamı çift + tek = tek sayı olurdu. Ancak bu ifade çift sayı olarak verilmiştir. Dolayısıyla

b

tek,

c

çift olmalıdır.

3

b

tek ve

c

çift iken

a \cdot b + c

ifadesinin çift sayı olma durumundan

a

'nın teklik-çiftliğini bulmak.

a

çift sayı olmalıdır.

c

çift sayı olduğundan,

a \cdot b + c

toplamının çift olması için

a \cdot b

çarpımı da çift olmalıdır.

b

tek sayı olduğuna göre çarpımın çift olması ancak

a

sayısının çift olmasıyla mümkündür.

4

Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre

(a + c) \cdot b

ifadesini değerlendirmek.

a

ve

c

çift olduğundan

(a + c)

toplamı çifttir. Çift bir sayının herhangi bir

b

tam sayısı ile çarpımı da daima çifttir.

Her iki bileşeni de çift olan bir toplamın sonucu da çifttir ve çift tam sayılar çarpmada yutan eleman gibi davranarak sonucu çift yapar.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki özellikleri ile negatif üs durumunda tam sayı olma şartı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 85Soru →

Sıfırdan farklı

x

,

y

ve

z

tam sayıları için

y \cdot (x + y)

ifadesinin bir tek sayıya,

x \cdot (y + z)

ifadesinin ise bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

x + y + z

x^y + z

x \cdot z

y^z + x

y \cdot z + x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x \cdot z$

Cevap

x \cdot z

ifadesi her zaman çift bir sayıya eşittir.

x

çift bir tam sayı olarak belirlenmiştir. Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacağından,

z

hakkında kesin bir bilgimiz olmasa bile,

x \cdot z

ifadesi her zaman çift bir sayıya eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1

y \cdot (x + y)

ifadesinin tekliği incelenir.

y

tek sayı ve

x + y

tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

x + y

ifadesinin tekliği kullanılarak

x

sayısının tekliği/çiftliği belirlenir.

x

çift sayıdır.

y

tek sayı olduğundan,

x + y

toplamının tek sayı olabilmesi için

x

sayısının çift sayı olması gerekir.

3

x \cdot (y + z)

ifadesinin çiftliği analiz edilir ve

z

hakkında yorum yapılır.

z

tam sayısının tekliği veya çiftliği hakkında kesin bir bilgiye ulaşılamaz.

x

çift sayı olduğundan,

y + z

toplamı ne olursa olsun

x \cdot (y + z)

çarpımı her zaman bir çift sayıya eşit olacaktır.

4

Seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumları test edilir.

x \cdot z

ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.

x

çift bir tam sayı ve

z

de bir tam sayı olduğundan, bu iki sayının çarpımı her zaman çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların çarpım ve toplam özellikleri ile negatif üs durumunda teklik-çiftlik kavramının geçerliliği.

Soru 86Soru →

a, b ve c tam sayıları için

* $3a + 2b$ ifadesinin tek sayı,
* $5b + 3c$ ifadesinin çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. $a + b$
II. $b + c$
III. $a + b \cdot c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II öncülünün belirttiği b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.

Doğru seçenekte belirtilen b + c ifadesi her zaman çift sayıdır. Çünkü 5b + 3c ifadesinin çift sayı olması, b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olmasını gerektirir. Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki sayının toplamı ise her zaman çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

3a + 2b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.

a sayısının tek sayı olduğu sonucuna varılır.

2b ifadesi b tam sayısı ne olursa olsun her zaman çift sayıdır. Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı tek sayı olacağından 3a tek sayıdır. Dolayısıyla a tek sayıdır.

2

5b + 3c ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.

b ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu sonucuna varılır.

5b + 3c toplamının çift sayı olabilmesi için 5b ve 3c ifadelerinin ikisi de tek ya da ikisi de çift olmalıdır. Buradan b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumlarının (ikisi de tek veya ikisi de çift) aynı olduğu görülür.

3

Öncülleri teklik-çiftlik durumlarına göre değerlendirmek.

Yalnız II. öncülün her zaman çift sayı olduğu görülür.

b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumları aynı olduğundan b + c toplamı (Tek + Tek ya da Çift + Çift) her zaman çift sayıdır. Diğer öncüllerdeki ifadeler ise b ve c'nin çift, a'nın tek olduğu durumlarda tek sayı vermektedir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Toplama ve Çarpma İşlemleri

Soru 87Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayılar kümesinin elemanlarıdır.

* $a \cdot b + a$ ifadesinin değeri bir çift sayıya,
* $b^2 + b \cdot c$ ifadesinin değeri ise bir tek sayıya

eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir tek sayıdır?

a + b + c

a \cdot b + c

a^c + b

b^a + c

a \cdot c + b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot c + b$

Cevap

a \cdot c + b

ifadesinin değeri her zaman bir tek sayıdır.

c

sayısı çift bir tam sayı olduğu için,

a

sayısının teklik-çiftlik durumuna bakılmaksızın

a \cdot c

çarpımı her zaman çifttir. Bu çift sayıya tek sayı olan

b

eklendiğinde elde edilen

a \cdot c + b

toplamı her zaman tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak düzenlemek.

a \cdot b + a = a(b + 1)

ifadesi çift ve

b^2 + b \cdot c = b(b + c)

ifadesi tektir.

Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik durumunu analiz etmeyi kolaylaştırmak için.

2

Elde edilen denklemlerden değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek.

b(b + c)

tek sayı olduğundan, hem

b

hem de

b + c

tek sayı olmalıdır.

b

tek ise

c

çift olmalıdır.

a(b + 1)

ifadesinde ise

b

tek olduğundan

b + 1

çift sayıdır; bu yüzden

a

sayısı tek veya çift olabilir (kesin bir bilgi yoktur).

İki tam sayının çarpımının tek olması için ikisinin de tek olması, çift olması için ise en az birinin çift olması kurallarını uygulamak için.

3

Bulunan sonuçları seçeneklerdeki ifadelerde test etmek.

a \cdot c + b

ifadesinde,

c

çift olduğundan

a \cdot c

her zaman çifttir.

b

tek olduğundan çift + tek = tek elde edilir. Diğer ifadeler ise her zaman tek sayı belirtmez.

Her zaman tek sayı olan ifadeyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve üs alma işlemleri

Soru 88Soru →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı,

a + b

ifadesinin de bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $a \cdot c$
II. $b^a + c$
III. $a + c$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Yalnız II

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I

Verilen bilgiler doğrultusunda b sayısının tek, a sayısının çift ve c sayısının tek sayı olduğu belirlenir. Bu durumda, a çift ve c tek sayı olduğundan, çarpımları olan a * c her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

a \cdot b + b \cdot c

ifadesini ortak çarpan parantezine alalım.

b \cdot (a + c)

bir tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için çarpanların her birinin ayrı ayrı tek sayı olması gerekir.

2

b

ve

a+c

ifadelerinin teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.

b

tek say�� ve

a + c

tek sayıdır.

Çarpımın sonucunun tek sayı olması kuralından yola çıkılmıştır.

3

a + b

ifadesinin tek sayı olduğu bilgisini kullanarak

a

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.

a

çift sayıdır.

b

tek sayı olduğuna göre, toplamın tek sayı olması için

a

sayısı çift sayı olmalıdır.

4

a + c

ifadesinin tek sayı olduğunu kullanarak

c

sayısının teklik-çiftlik durumunu bulalım.

c

tek sayıdır.

a

çift sayı olduğuna göre, toplamın tek sayı olabilmesi için

c

sayısı tek sayı olmalıdır.

5

Elde edilen

a

(çift),

b

(tek) ve

c

(tek) değerlerine göre öncülleri inceleyelim.

I.

a \cdot c

: Çift

\cdot

Tek = Çift (Her zaman çift sayıdır).
II.

b^a + c

:

a

negatif bir çift sayı (örneğin

-2

) olabileceğinden,

b^a

ifadesi rasyonel sayı belirtip tam sayı olmayabilir (örn.

3^{-2} + 1 = \frac{10}{9}

). Dolayısıyla her zaman çift sayı değildir.
III.

a + c

: Çift + Tek = Tek (Her zaman tek sayıdır).

Yalnızca birinci öncülün her zaman çift sayı olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile üslü ifadelerde üssün negatif olma durumu

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 89Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için

* $a + b$ bir çift sayıdır.
* $b \cdot c$ bir tek sayıdır.

bilgileri veriliyor. Buna göre,

I. $a \cdot c + b$
II. $a^b + c$
III. $b^c + a$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Yalnız I

I ve II

I ve III

I, II ve III

Yalnız II

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I

Verilen bilgilerden a, b ve c sayılarının tamamının tek sayı olduğu bulunur. I. öncüldeki ifade tam sayılarda her zaman çift sayı sonucunu verir. II. ve III. öncüllerde ise üslerin negatif tam sayı olma ihtimali sonucu rasyonel sayı yapabileceğinden bu ifadeler her zaman çift sayı belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1

b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

b ve c tek sayılardır.

Çarpımları tek sayı olan iki tam sayının her biri tek sayı olmak zorundadır.

2

a sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

a tek sayıdır.

a + b toplamı çift sayı ve b tek sayı olduğuna göre, toplamın çift olabilmesi için a sayısının da tek sayı olması gerekir.

3

Öncülleri teker teker incelemek.

I. öncül her zaman çifttir. II. ve III. öncüller her zaman çift tam sayı belirtmez.

a, b ve c tek tam sayılardır. I. öncüldeki a.c çarpımı tek, b tek olduğundan toplam çift olur. II. ve III. öncüllerde üsler negatif tam sayı olabileceğinden (örneğin b = -1 veya c = -1 için) ifadeler rasyonel sayı oluşturur ve teklik-çiftlik kavramı rasyonel sayılarda tanımlı değildir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemlerinde teklik-çiftlik kuralları ile negatif üs durumu.

Soru 90Soru →

Bir laboratuvardaki üç farklı bölmenin sıcaklık değerleri sırasıyla $a$ °C, $b$ °C ve $c$ °C olan birer tam sayıdır.

* $a \cdot b + 3c$ ifadesinin değerinin bir tek sayıya,
* $b \cdot (a + c)$ ifadesinin değerinin bir tek sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

b^a + c

a + b + c

a^c + b

a \cdot b + c

b \cdot c + a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b + c$

Cevap

a + b + c

a + b + c

ifadesinde

b \cdot (a + c)

çarpımı tek sayı olduğundan hem

b

hem de

a + c

tek sayıdır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olacağı için

(a + c) + b

yani

a + b + c

toplamı her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

b \cdot (a + c)

ifadesinin teklik durumunu analiz etmek.

b

tek sayı ve

a + c

tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımı tek sayı ise bu sayıların her ikisi de tek sayı olmak zorundadır.

2

a \cdot b + 3c

ifadesini kullanarak

a

ve

c

tam sayılarının durumunu belirlemek.

a

çift ise

c

tek sayı;

a

tek ise

c

çift sayıdır. Dolayısıyla

a

ile

c

zıt teklik-çiftlik durumlarına sahiptir.

b

tek sayı olduğundan,

a \cdot b + 3c

toplamının tek sayı olabilmesi için

a

ve

c

değişkenlerinden birinin çift, diğerinin tek olması gerekir.

3

Elde edilen sonuçlara göre

a + b + c

ifadesinin paritesini incelemek.

(a + c) + b = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olur.

a+c

toplamının tek sayı olduğu 1. adımda bulunmuştu. Tek bir sayı ile tek bir sayı olan

b

'nin toplamı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çarpma işlemleri ve tam sayıların negatif kuvveti durumunda teklik-çiftliğin korunamaması.

Soru 91Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için
* $a + b$ toplamı bir tek sayıdır.
* $b \cdot c$ çarpımı bir çift sayıdır.
* $a \cdot c$ çarpımı bir tek sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

a \cdot c + b

b^a + c

a^c + b

a + b + c

c^b + a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b + c$

Cevap

Değişkenlerin toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır.

Değişkenlerin toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır. Çünkü tek, çift ve tek sayıların toplamı her zaman çift bir tam sayı verir. Değişkenler tam sayı olduğundan toplamları da kesinlikle bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

İki sayının çarpımının tek sayı olmasından yola çıkarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu inceleme

a

ve

c

sayılarının her ikisi de tek sayıdır.

İki tam sayının çarp��mının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.

2

Toplam bilgisini kullanarak diğer değişkenin teklik-çiftlik durumunu belirleme

b

sayısı çift sayıdır.

a

tek sayı olduğuna göre, toplamın tek sayı çıkabilmesi için

b

sayısının çift sayı olması gerekir.

3

Bulunan teklik-çiftlik durumlarını çarpım ifadesi üzerinde test ederek doğrulama

b \cdot c

çarpımı çift sayıdır, bu durum verilen bilgiyle uyumludur.

Çift sayı ile tek sayının çarpımı çift sayıdır.

4

Seçenekleri analiz etme

Değişkenlerin toplamını veren ifade (

a + b + c

) her zaman çift sayıdır. Üslü ifadeler ise üslerin negatif olma ihtimali nedeniyle her zaman tam sayı belirtmeyebilir.

a

tek,

b

çift ve

c

tek sayı olduğundan,

a + b + c

toplamı tek + çift + tek = çift olur. Değişkenler pozitif olmak zorunda olmadığından üslerin negatif olduğu durumlarda rasyonel sayılar elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri ve Tam Sayı Tanımı

Soru 92Soru →

Bir çiçekçideki vazolar ve bu vazolara konulan çiçeklerin sayılar�� olan $a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* $b$ tane kırmızı vazonun her birinde $a$ tane gül ve $c$ tane karanfil bulunmaktadır. Bu vazolardaki toplam çiçek sayısı çift sayıdır.
* $c$ tane mavi vazonun her birinde $a$ tane gül ve $b$ tane karanfil bulunmaktadır. Bu vazolardaki toplam çiçek sayısı tek sayıdır.

Buna göre,
I. $a + b + c$
II. $a^b + c$
III. $b^c + a$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

Verilen koşullardan

c

ve

a

sayılarının tek,

b

sayısının ise çift olduğu kesin olarak bulunur. Bu durumda birinci öncüldeki toplamın sonucu ve ikinci öncüldeki üslü toplamın sonucu çift sayı çıkarken, üçüncü öncüldeki üslü toplam tek sayı çıkmaktadır. Dolayısıyla her zaman çift sayı olanlar birinci ve ikinci öncüllerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Kırmızı vazolardaki toplam çiçek sayısını cebirsel olarak ifade etme

b(a+c)

ifadesinin çift sayı olduğu belirlenir.

Her bir kırmızı vazoda

a

gül ve

c

karanfil olmak üzere

a+c

çiçek vardır. Toplam

b

vazo olduğundan toplam çiçek sayısı

b(a+c)

olur.

2

Mavi vazolardaki toplam çiçek sayısını cebirsel olarak ifade etme

c(a+b)

ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.

Her bir mavi vazoda

a

gül ve

b

karanfil olmak üzere

a+b

çiçek vardır. Toplam

c

vazo olduğundan toplam çiçek sayısı

c(a+b)

olur.

3

Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etme

c

tek,

a

tek ve

b

çift sayı olarak bulunur.

c(a+b)

tek sayı olduğundan her iki çarpan da tek olmalıdır. Buradan

c

tek ve

a+b

tek bulunur.

a+b

tek ise biri tek diğeri çifttir. Eğer

b

tek olsaydı

a

çift olurdu, bu durumda

a+c

tek olup

b(a+c)

tek çıkardı. Ancak bu durum

b(a+c)

'nin çift olmasıyla çelişir. Dolayısıyla

b

çift ve

a

tek olmalıdır.

4

Öncülleri teklik-çiftlik durumlarına göre değerlendirme

I ve II numaralı ifadelerin çift, III numaralı ifadenin ise tek sayı olduğu görülür.

I.

a+b+c = \text{tek}+\text{çift}+\text{tek} = \text{çift}

. II.

b

pozitif tam sayı olduğundan

a^b

tektir,

a^b+c = \text{tek}+\text{tek} = \text{çift}

. III.

c

pozitif tam sayı olduğundan

b^c

çifttir,

b^c+a = \text{çift}+\text{tek} = \text{tek}

.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda çarpma, toplama ve üs alma işlemlerinin özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 93Soru →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a - b \cdot c

ve

b - a \cdot c

ifadelerinin her ikisinin de birer tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

a^b + c

a \cdot b + c^a

a \cdot (b + c)

a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c

a \cdot b \cdot c + 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c$

Cevap

a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c

ifadesi

Verilen iki ifadenin de tek sayı olması,

a, b, c

sayılarından tam olarak ikisinin tek, birinin ise çift sayı olmasını gerektirir. Bu durumda, ikişerli çarpımların toplamı olan

a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c

ifadesinde bir tane iki tek sayının çarpımı (tek) ve iki tane çift sayı içeren çarpım (çift) bulunur. Bir tek ve iki çift sayının toplamı ise her zaman tek sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadelerin teklik-çiftlik koşullarını denk değerler cinsinden belirleme.

a - b \cdot c \equiv 1 \pmod 2

ve

b - a \cdot c \equiv 1 \pmod 2

denkliği elde edilir.

Her iki ifadenin de tek sayı olduğu belirtilmiştir.

2

Değişkenlerin alabileceği olası durumları mod 2'ye göre analiz etme.

a, b, c

tam sayılarının teklik-çiftlik durumları için

(a, b, c) \pmod 2

olarak sadece

(0, 1, 1)

,

(1, 0, 1)

ve

(1, 1, 0)

durumları sağlanır. Yani sayılardan tam olarak ikisi tek, biri çifttir.

Eğer

c

çift (

0

) ise ilk ifadeden

a

tek (

1

), ikinci ifadeden

b

tek (

1

) olur. Eğer

c

tek (

1

) ise

a

ve

b

sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır.

3

a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c

ifadesinin bu durumlardaki değerini hesaplama.

Belirlenen tüm durumlarda iki tek sayının çarpımı tek (

T \cdot T = T

), çift sayı ile yapılan diğer iki çarpım ise çift (

T \cdot Ç = Ç

ve

T \cdot Ç = Ç

) olur. Bunların toplamı

T + Ç + Ç = T

(tek) bulunur.

Her zaman tek sayı olan ifadeyi doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

Tek ve Çift Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar