Examkin

Tek ve Çift Sayılar

93 soru

Soru 61Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅(b+c)(a + b) \cdot (b + c)
ifadesinin bir çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅ca \cdot c
II. c⋅(a+b)c \cdot (a + b)
III. ac+ba^c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen bilgilere göre, (a+b)(b+c)(a+b)(b+c) çift ve (b+c)(b+c) tek olduğundan, (a+b)(a+b) toplamı kesinlikle çifttir. Buradan aa ve bb tam sayılarının aynı işaretli pariteye sahip olduğu (ikisi de tek veya ikisi de çift) sonucu çıkar. Diğer taraftan, (b+c)(b+c) tek sayı olduğu için bb ve cc farklı paritelere sahiptir. Bu ilişkilerden yola çıkarak aa ve cc sayılarının da farklı paritelere sahip olduğu bulunur; yani biri tek iken diğeri çift olmak zorundadır. Bu bilgiler ışığında: I. öncüldeki a⋅ca \cdot c ifadesinde çarpanlardan biri çift olduğundan sonuç daima çift tam sayıdır. II. öncüldeki c⋅(a+b)c \cdot (a+b) ifadesinde (a+b)(a+b) bir çift tam sayı olduğundan ve çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı daima çift olduğundan sonuç her zaman çifttir. Dolayısıyla, I ve II öncüllerini barındıran seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin çarpım ve toplam özelliklerini kullanarak (a + b) toplamının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
(a+b)(a + b) ifadesi çift tam sayıdır.
(a+b)⋅(b+c)(a + b) \cdot (b + c) çarpımı bir çift sayıdır ve çarpanlardan biri olan (b+c)(b + c) tek sayıdır. Çarpımın çift sayı olabilmesi için diğer çarpan olan (a+b)(a + b) ifadesinin kesinlikle çift sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin kendi aralarındaki teklik-çiftlik (parite) ilişkilerini incelemek.
aa ile bb aynı paritede, bb ile cc farklı paritede, dolayısıyla aa ile cc farklı paritededir.
(a+b)(a + b) çift olduğundan aa ve bb ya ikisi de tek ya da ikisi de çifttir. (b+c)(b + c) tek olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu iki durum birleştirildiğinde, aa ve cc sayılarından birinin tek, diğerinin ise kesinlikle çift olduğu anlaşılır.
3
Elde edilen bilgilere göre öncülleri tek tek değerlendirmek.
I. öncül (a⋅ca \cdot c) daima çift, II. öncül (c⋅(a+b)c \cdot (a + b)) daima çift, III. öncül (ac+ba^c + b) her zaman çift değildir.
I. aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları olan a⋅ca \cdot c her zaman çifttir. II. (a+b)(a + b) çift bir tam sayı ve cc de bir tam sayı olduğundan, c⋅(a+b)c \cdot (a + b) çarpımı her zaman çifttir. III. cc negatif bir tam sayı olabileceğinden (örneğin c=−1c = -1, a=2a = 2, b=3b = 3 için 2−1+3=3.52^{-1} + 3 = 3.5 rasyonel sayısı elde edilir), teklik veya çiftlikten bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda işlemler ve negatif üs durumunda teklik-çiftlik kavramının incelenmesi.
Soru 62Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

3a+4b3a + 4b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+5a + 5

Cevap

a + 5 ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
a sayısının tek bir tam sayı olduğu belirlendikten sonra, tek bir sayı ile tek bir sayı olan 5 sayısının toplamı her zaman çift bir sayıya eşit olacaktır. Dolayısıyla a + 5 ifadesi her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin bileşenlerini incelemek
4b ifadesi, b bir tam sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır.
Bir tam sayının çift bir sayı olan 4 ile çarpımı her zaman çifttir.
2
a sayısının tekliğini/çiftliğini belirlemek
3a + 4b ifadesinin tek sayı olabilmesi için 3a ifadesinin tek sayı, dolayısıyla a sayısının tek sayı olması gerekir.
Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı tek sayı sonucunu verir.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift olup olmadığını test etmek
a tek sayı olduğundan, a + 5 (tek + tek) toplamı her zaman çift tam sayıdır. Diğer seçenekler b'nin değerine veya işaretine bağlı olarak her zaman çift sayı belirtmez.
Her zaman doğru olan seçeneği belirlemek ve diğer seçeneklere karşıt örnekler sunmak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 63Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+ca \cdot b + c
ve
a+b⋅ca + b \cdot c
sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. ba+cb^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen bilgilere göre bb sayısının çift sayı olduğu ve aa ile cc sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu sonucuna ulaşılır. Buradan hareketle a⋅ca \cdot c çarpımı çift olur ve a⋅c+ba \cdot c + b toplamı da çift sayı olur. Benzer şekilde, bb çift sayı olduğundan b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çarpımı da her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
bb sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
bb sayısı kesinlikle çift sayıdır.
Eğer bb tek sayı olsaydı, hem a⋅b+ca \cdot b + c hem de a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi a+ca + c toplamına eşit olurdu. Bu durumda iki ifadenin de teklik-çiftlik karakteri aynı olurdu (ikisi de aynı anda tek veya çift olurdu). Ancak soruda birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bb tek sayı olamaz, çift sayı olmak zorundadır.
2
aa ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
bb çift sayı olduğuna göre, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin teklik-çiftlik durumu cc sayısının durumuna; a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin durumu ise aa sayısının durumuna bağlıdır. İki ifadenin teklik-çiftlik durumu farklı olduğuna göre, aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır. Bu durumda a⋅ca \cdot c çarpımı her zaman çift sayı olur.
3
Öncülleri tek tek değerlendirmek.
I. öncül (a⋅c+ba \cdot c + b) çift sayıdır; II. öncül (b⋅(a+c)b \cdot (a + c)) çift sayıdır; III. öncül (ba+cb^a + c) her zaman çift sayı değildir.
I. öncülde a⋅ca \cdot c çift, bb de çift olduğundan toplamları çift sayıdır. II. öncülde bb çift sayı olduğundan, bir çift sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir. III. öncülde aa negatif bir tek sayı (örneğin −1-1) ve b=2b = 2, c=4c = 4 seçilirse ba+c=2−1+4=4.5b^a + c = 2^{-1} + 4 = 4.5 olur ki bu bir tam sayı bile değildir. Dolayısıyla her zaman çift sayı olamaz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulu.
Soru 64Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
(x−y)⋅(y−z) (x - y) \cdot (y - z)
çarpımının bir tek sayıya eşit olduğu biliniyor.
Buna göre;
I. x⋅z+yx \cdot z + y
II. xy+zx^y + z
III. x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z
ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıya eşittir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Doğru cevap olan 'Yalnız I' seçeneği, y değişkeninin tek veya çift olduğu her iki durumda da tek sayı verir. y çift iken x ve z tek olup çarpımları tek, çift olan y ile toplamları yine tek olur. y tek iken x ve z çift olup çarpımları çift, tek olan y ile toplamları yine tek olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpanların karakterini belirlemek.
(x−y)(x - y) ve (y−z)(y - z) ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Farkların tek sayı olmasından yola çıkarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını sınıflandırmak.
1. Durum: yy çift ise xx tek ve zz tek olmalıdır. 2. Durum: yy tek ise xx çift ve zz çift olmalıdır. Her iki durumda da xx ve zz değişkenleri aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
İki tam sayının farkının tek olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
3
Elde edilen iki durumu öncüllerde yerine koyarak her zaman tek sayı veren ifadeyi bulmak.
I. öncül (x⋅z+yx \cdot z + y) her iki durumda da (tek ⋅\cdot tek + çift = tek veya çift ⋅\cdot çift + tek = tek) tek sayı verir. II. öncülde yy negatif (örneğin -1) alınırsa ifade rasyonel sayı olur ve teklik-çiftlik aranmaz; y=0y = 0 alınırsa ve zz tek iken sonuç çift olur. III. öncül her zaman çift sayı olur.
Değişkenlerin tam sayı olduğu belirtildiğinden negatif veya sıfır olma durumları da dahil tüm ihtimaller test edilmelidir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri
Soru 65Soru →

Bir kafede bulunan aa tane masanın her birinde bb adet sandalye vard��r. Bu kafedeki toplam sandalye sayısı çift bir sayıdır. Kafeye sonradan, her birinde cc adet sandalye bulunan 3 masa daha yerleştirildiğinde kafedeki toplam sandalye sayısı tek bir sayı olmaktadır.

Buna göre; aa, bb ve cc pozitif tam sayıları için aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ca+cbc^a + c^b

Cevap

Tabanları tek sayı olan ve pozitif tam sayı kuvvetleri alınan iki ifadenin toplamını belirten ifade her zaman çift sayıdır.
cc sayısı tek bir sayıdır. aa ve bb sayıları pozitif tam sayılar olduğu için, tek bir sayının tüm pozitif tam sayı kuvvetleri yine tek sayı olacaktır. Dolayısıyla cac^a ve cbc^b ifadeleri birer tek sayıdır. İki tek sayının toplamı olan ca+cbc^a + c^b ifadesi ise her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki sandalye sayısı ile son durumdaki sandalye sayısı arasındaki ilişkiyi yazma.
Kafedeki başlangıçtaki toplam sandalye sayısı a⋅ba \cdot b çift sayıdır. Eklenen sandalye sayısı 3c3c olup, son durumdaki toplam sandalye sayısı a⋅b+3ca \cdot b + 3c tek sayıdır.
Soru metnindeki sözel bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
2
cc sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme.
a⋅ba \cdot b çift sayı olduğundan, a⋅b+3ca \cdot b + 3c toplamının tek sayı olabilmesi için 3c3c ifadesinin tek sayı olması gerekir. Buradan cc sayısının kesinlikle tek sayı olduğu sonucuna varılır.
Toplama işleminde çift sayı ile tek sayının toplamının tek sayı olduğunu kullanmak için.
3
aa ve bb sayılarının teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.
a⋅ba \cdot b çarpımı çift sayı olduğundan, aa ve bb sayılarından en az biri çift sayıdır. Yani; biri tek biri çift veya her ikisi de çift olabilir.
Seçenekleri değerlendirirken aa ve bb için tüm olası durumları göz önünde bulundurmak için.
4
ca+cbc^a + c^b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu inceleme.
cc tek sayı olduğundan ve aa ile bb pozitif tam sayılar olduğundan, tek bir sayının pozitif tam sayı kuvvetleri de daima tektir. Dolayısıyla cac^a tektir ve cbc^b tektir. İki tek sayının toplamı (ca+cbc^a + c^b) her zaman çift sayıdır.
Doğru seçeneğin her durumda çift sayı olduğunu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ve pozitif tam sayı kuvvetlerinin paritesi
Soru 66Soru →

aa, bb ve cc tam sayıları için
* a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin bir tek sayıya,
* a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin bir tek sayıya
eşit olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

Verilen koşulları sağlayan durumlarda aa, bb ve cc tam sayılarından tam olarak biri çift sayı, diğer ikisi ise tek sayıdır. Bu nedenle bu üç sayının toplamı olan a+b+ca + b + c ifadesi her zaman çift bir sayıdır.
Verilen iki ifadenin tek sayı olması durumları incelendiğinde, aa, bb ve cc sayılarından tam olarak birinin çift ve diğer ikisinin tek olduğu görülür. Bir çift sayı ile iki tek sayının toplamı olan üçlü toplam ifadesi her zaman çift bir sayı sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
a+b⋅ca + b \cdot c ve a⋅b+ca \cdot b + c ifadelerinin tek sayı olması durumlarını incelemek için aa sayısının çift olduğu durumu ele alalım.
aa çift say�� ise, a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin tek sayı olması için b⋅cb \cdot c çarpımı tek sayı olmalıdır. Buradan bb ve cc sayılarının her ikisi de tek sayıdır. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi de (çift ⋅\cdot tek) + tek = çift + tek = tek sayı olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.
aa sayısının çift olması durumunda diğer değişkenlerin alması gereken değerleri belirlemek.
2
aa sayısının tek sayı olduğu durumları ele alalım.
aa tek sayı ise, a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin tek sayı olması için b⋅cb \cdot c çarpımı çift sayı olmalıdır. Bu da bb veya cc sayılarından en az birinin çift sayı olmasını gerektirir. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı olması için de a⋅ba \cdot b ile cc ifadelerinden biri çift diğeri tek olmalıdır. Buradan ya bb çift cc tek, ya da bb tek cc çift olur.
aa sayısının tek olması durumunda diğer değişkenlerin alması gereken değerleri belirlemek.
3
Elde edilen tüm durumları teklik-çiftlik tablosu yardımıyla inceleyip seçenekleri değerlendirelim.
Belirlenen üç olası durumda da (aa çift, bb tek, cc tek veya aa tek, bb çift, cc tek veya aa tek, bb tek, cc çift) sayılardan tam olarak bir tanesi çift sayı, diğer iki tanesi ise tek sayıdır. Bu durumların hepsinde a+b+ca + b + c toplamı iki tek ve bir çift sayının toplamı olacağından sonuç daima çift sayıdır.
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift sayı olup olmadığını teyit etmek.

Anahtar Kavram

Tam sayıların teklik ve çiftlik özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.
Soru 67Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. a+b+ca + b + c
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c ifadesi bb ortak parantezine alındığında b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) elde edilir. Bu çarpım tek sayı olduğundan, hem bb hem de a2+ca^2 + c tek sayı olmak zorundadır. a2a^2 ifadesinin teklik-çiftlik durumu aa ile aynı olduğundan, a+ca + c toplamı da tek sayıdır. Bir toplamın tek sayı olması, terimlerden birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Yani aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu bilgiler doğrultusunda öncüller incelendiğinde; I. öncüldeki a+b+ca + b + c ifadesi (a+c)+b(a + c) + b şeklinde düşünülebilir. Tek sayı olan a+ca + c ile tek sayı olan bb toplandığında sonuç çift sayı olur (Her zaman doğru). II. öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde, aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan a⋅ca \cdot c çarpımı çifttir. Çift bir sayıya tek olan bb eklendiğinde sonuç tek sayı olur (Her zaman yanlış). III. öncüldeki a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesinde, çarpanlardan biri (aa veya cc) çift olduğundan çarpım her zaman çift sayıdır (Her zaman doğru). Bu nedenle doğru öncüller I ve III'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine almak
b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) ifadesi elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik analizini daha kolay yapabilmek için.
2
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
bb tek sayıdır ve a2+ca^2 + c tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek
bb tek sayıdır. a2a^2 ile aa aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olduğundan, a2+ca^2 + c ifadesinin tek olması a+ca + c ifadesinin de tek olmasını gerektirir. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri tek sayı iken diğeri çift sayıdır.
Toplamları tek olan iki tam sayıdan birinin çift, diğerinin tek olması gerektiği kuralından dolayı.
4
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. ifadede (a+c)(a + c) tek ve bb tek olduğundan toplamları çifttir. II. ifadede a⋅ca \cdot c çift (biri çift olduğundan) ve bb tek olduğundan toplamları tektir. III. ifadede aa veya cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları çifttir.
Her bir öncülün her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri, ortak paranteze alma ve toplama/çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik üzerindeki etkileri.
Soru 68Soru →

Bir tiyatro salonunda aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk olmak üzere toplam a⋅ba \cdot b adet koltuk vardır. Bu koltukların tamamı doludur ve koltuklarda oturan seyircilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki kadın seyirci sayısı cc adettir.
* Salondaki erkek seyirci sayısı, kadın seyirci sayısının 3 katından 5 fazladır.

Buna göre;

I. ab+baa^b + b^a
II. ac+ba^c + b
III. ca+bc^a + b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Toplam koltuk sayısı olan a⋅ba \cdot b, kadın ve erkek seyircilerin toplamı olan 4c+54c + 5 ifadesine eşittir. 4c+54c + 5 ifadesi her zaman tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tektir. Bu durum aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olmasını gerektirir. Birinci öncülde tabanlar tek, üsler pozitif tam sayı olduğundan üslü ifadeler tek sayılardır; toplamları çift olur. İkinci öncülde aa tek olduğundan cc doğal sayısı için aca^c her zaman tektir; tek olan bb ile toplamı çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam seyirci sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Kadın seyirci sayısı cc ise erkek seyirci sayısı 3c+53c + 5 olur. Toplam seyirci sayısı c+(3c+5)=4c+5c + (3c + 5) = 4c + 5 olarak bulunur.
Toplam koltuk sayısının seyirci sayısına eşitliğini kullanarak değişkenler arasında bir bağıntı elde etmek için.
2
Elde edilen bağıntı yardımıyla a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde, cc bir doğal sayı olduğundan 4c4c çift sayıdır. Çift bir sayı ile tek sayı olan 5'in toplamı tek olacağından a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu sonucu çıkar.
Üslü ifadeleri değerlendirebilmek amacıyla tabanların teklik veya çiftlik durumlarını saptamak için.
3
c sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde cc değeri tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin, a=3,b=3a=3, b=3 için 9=4c+5  ⟹  c=19 = 4c+5 \implies c=1 (tek) iken a=3,b=7a=3, b=7 için 21=4c+5  ⟹  c=421 = 4c+5 \implies c=4 (çift) olur. Dolayısıyla cc sayısı hakkında kesin bir şey söylenemez.
Tabanı veya üssü c olan öncüllerin genel geçerliliğini test etmek için.
4
Verilen öncülleri teker teker analiz edelim.
I. ab+baa^b + b^a ifadesinde aa ve bb pozitif tam sayılardır (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1). Tek sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağından aba^b ve bab^a tek sayılardır. İki tek sayının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. II. ac+ba^c + b ifadesinde aa tek sayıdır. cc doğal sayı olduğundan c=0c=0 için a0=1a^0 = 1 (tek) ve c≥1c \ge 1 için aca^c tektir. Dolayısıyla aca^c her koşulda tektir. Tek olan aca^c ile tek olan bb sayısının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. III. ca+bc^a + b ifadesinde cc çift sayı ise cac^a çift sayı (çünkü a≥1a \ge 1), toplam C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek olur. Bu durumda her zaman çift sayı olmaz.
Her bir öncülün teklik-çiftlik durumunun kesinliğini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel ifadelerde ve üslü sayılarda teklik-çiftlik kuralları, taban ve üs ilişkileri.
Soru 69Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı aa, bb ve cc tam sayıları ile ilgili öğrencilerine şu bilgileri vermiştir:

* a+5ba + 5b toplamı bir çift sayıdır.
* b⋅cb \cdot c çarpımı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ca \cdot b + c

Cevap

a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.
Tek sayıların çarpımı tek, toplamı ise çifttir. aa ve bb tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b tek sayıdır. Bu tek sayıya tek olan cc sayısı eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
b⋅cb \cdot c çarpımının tek sayı olma durumunu inceleyin.
bb ve cc sayılarının her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
a+5ba + 5b toplamının çift say�� olma durumunu inceleyin.
aa sayısı tek sayıdır.
bb tek sayı olduğundan 5b5b de tek sayıdır. Toplamın çift sayı olması için aa sayısının da tek sayı olması gerekir.
3
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
a⋅b+ca \cdot b + c her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. Tek sayı olan a⋅ba \cdot b ile tek sayı olan cc toplandığında sonuç çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların temel toplama ve çarpma özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 70Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
a⋅(b+c)a \cdot (b + c)
ve
b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu biliniyor.

Buna göre;
I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
III. ca+cbc^a + c^b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. a⋅(b+c)a \cdot (b+c) ve b⋅(a+c)b \cdot (a+c) ifadelerinden biri tek, diğeri çift ise, durum analizi yapıldığında cc sayısının tek sayı olduğu, aa ve bb sayılarından birinin tek, diğerinin ise çift sayı olduğu görülür. Bu durumda, bir tek ve bir çift sayının toplamı tek olacağından a+ba+b tektir; tek olan cc sayısı eklendiğinde a+b+ca+b+c toplamı her zaman çift olur. Ayrıca aa ve bb sayılarından biri çift olduğundan a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı da her zaman çifttir. Üçüncü ifade olan ca+cbc^a + c^b ifadesinde ise üsler negatif tam sayı olabileceğinden her zaman çift sayı olmaz.

Adım Adım Çözüm

1
İfadelerin teklik-çiftlik durumlarının analiz edilmesi
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ve b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadelerinin pariteleri incelenir. İfadelerden biri tek, diğeri çift olmalıdır. Eğer bir çarpım tek ise çarpanların her ikisi de tek olmalıdır.
Çarpımın teklik-çiftlik kurallarını uygulamak için.
2
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarının belirlenmesi
Eğer a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek ise aa tek ve b+cb + c tektir. b+cb + c tek ise bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. bb çift ve cc tek olduğunda b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çift olur ve koşul sağlanır. Tüm durumlar tarandığında cc kesinlikle tek sayı, aa ve bb sayılarından biri tek diğeri çift sayı olmalıdır.
Soruda verilen koşulu sağlayan durumları tespit etmek için.
3
Öncüllerin her zaman çift olup olmadığının kontrol edilmesi
I. a+b+c=Tek+C¸ift+Tek=C¸ifta + b + c = \text{Tek} + \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Çift} (Her zaman çift).
II. a⋅b⋅c=Tek⋅C¸ift⋅Tek=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{Tek} \cdot \text{Çift} \cdot \text{Tek} = \text{Çift} (Her zaman çift).
III. ca+cbc^a + c^b ifadesinde aa ve bb negatif olabileceğinden (örneğin a=−2,b=1,c=3a = -2, b = 1, c = 3 için 3−2+31=28/93^{-2} + 3^1 = 28/9 rasyonel sayıdır) teklik-çiftlikten bahsedilemez (Her zaman çift değildir).
Doğru öncülleri belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem ve Üs Alma Kuralları
Soru 71Soru →

Bir sinema salonundaki A, B ve C sıralarında sırasıyla aa, bb ve cc adet koltuk bulunmaktadır. Bu sıralardaki koltuk sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A sırasındaki koltuk sayısı ile B ve C sıralarındaki koltuk sayılarının toplamının çarpımı bir çift sayıdır.
* A sırasındaki koltuk sayısı ile B ve C sıralarındaki koltuk sayıların��n çarpımının toplamı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b+cb + c

Cevap

b + c ifadesi her iki durumda da çift sayıya eşittir.
İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir. Yapılan analiz sonucunda hem a'nın çift olduğu durumda (b ve c'nin her ikisi de tek) hem de a'nın tek olduğu durumda (b ve c'nin her ikisi de çift) b ve c değişkenlerinin aynı sınıfta olduğu görülür. Dolayısıyla bu iki değişkenin toplamı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak modellemek.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin çift sayı ve a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.
Soruda verilen ilişkileri matematiksel denklemler halinde analiz edebilmek için cebirsel gösterim gereklidir.
2
Elde edilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
İki olası durum ortaya çıkar:
1. Durum: aa çift ise, ikinci ifadenin tek olması için b⋅cb \cdot c tek olmalıdır. Buradan bb tek ve cc tek bulunur.
2. Durum: aa tek ise, birinci ifadenin çift olması için b+cb + c çift olmalıdır. Bu durumda ikinci ifadenin tek olması için b⋅cb \cdot c çift olmalıdır. Hem toplamları hem çarpımları çift olan sayılar ancak ikisinin de çift olması durumunda (bb çift, cc çift) sağlanır.
Çarpma ve toplama işlemlerinin temel teklik-çiftlik kurallarını uygulayarak değişkenlerin alabileceği değerleri sınırlandırmak gerekir.
3
Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre seçenekleri test etmek.
Her iki durumda da bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik karakteri aynıdır (ya ikisi de tek ya da ikisi de çifttir). Dolayısıyla b+cb + c toplamı her iki durumda da çift sayı sonucunu verir.
Seçeneklerin her iki geçerli durum altında da her zaman çift sayı üretip üretmediğini kontrol etmek sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri ile durum analizi yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 72Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a⋅b+b2+ca \cdot b + b^2 + c

toplamının bir tek sayıya,

b⋅c+c2+ab \cdot c + c^2 + a

toplamının ise bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. ab+ca^b + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen iki denklemin analizi yapıldığında a ve c sayılarının daima aynı paritede (ya her ikisinin de tek ya da her ikisinin de çift) olduğu, b sayısının ise onlardan farklı paritede olduğu sonucuna varılır. Aynı paritedeki iki tam sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından a + c toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak analiz edelim.
Birinci ifade b(a+b)+cb(a + b) + c şeklinde, ikinci ifade ise c(b+c)+ac(b + c) + a şeklinde yazılır.
Ortak çarpan parantezine almak, teklik-çiftlik incelemelerini kolaylaştırır.
2
b tam sayısının tek veya çift olma durumlarına göre a ve c sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleyelim.
Eğer b çift ise; b(a+b) çift olur ve c tek olmalıdır. Bu durumda ikinci ifadede c(b+c)+a = tek*(çift+tek)+a = tek+a olur. Bunun çift olması için a tek olmalıdır. Yani (a, b, c) = (Tek, Çift, Tek) olur. Eğer b tek ise; b(a+b)+c ifadesinin tek olması için a çift ve c çift olmalıdır. Bu durumda c(b+c)+a = çift*(tek+çift)+çift = çift olur ve ikinci denklemi sağlar. Yani (a, b, c) = (Çift, Tek, Çift) olur.
b tam sayısının tüm parite durumlarını inceleyerek sistemin tüm çözümlerini bulmak gerekir.
3
Ende edilen (a, b, c) parite durumlarını öncüllerde yerine koyarak değerlendirelim.
Her iki durumda da a ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır (ikisi de tek veya ikisi de çift). Bu yüzden I. öncüldeki a + c ifadesi daima çift sayıdır. II. öncüldeki a*c + b ifadesi daima tek sayıdır. III. öncüldeki a^b + c ifadesinde b negatif bir tam sayı (örneğin -2) olabileceğinden a^b tam sayı olmayabilir ve teklik-çiftlikten bahsedilemez.
Bulunan genel özellikleri her bir öncülün doğruluğunu test etmek için uygularız.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri, tam sayı kuvvetlerinde teklik-çiftlik incelemesi ve üssün negatif olma durumu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 73Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
x+3yx + 3y
ve
y⋅zy \cdot z
ifadelerinin birer tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. x+y+zx + y + z
II. yx+zy^x + z
III. x⋅y+zx \cdot y + z

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır. Çünkü çift bir sayı ile iki tek sayının toplamı her zaman çift bir tam sayı verir. Değişkenlerin tamamı tam sayı olduğu için bu toplam daima tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.
y⋅zy \cdot z ifadesi tek sayı olduğundan hem yy hem de zz tek sayı olmak zorundadır. x+3yx + 3y ifadesi tek sayı olup 3y3y tek sayı olduğundan xx çift sayı olmalıdır.
Çarpımın tek sayı olması için tüm çarpanların tek sayı olması gerekir. Toplamın tek sayı olması için ise çift sayı ile tek sayının toplanması gerekir.
2
Birinci öncülü (x+y+zx + y + z) inceleme.
xx (çift), yy (tek) ve zz (tek) tam sayıları için x+y+zx + y + z toplamı: C¸ift+Tek+Tek=C¸ift\text{Çift} + \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift} olur.
Tam sayıların toplamı yine bir tam sayı belirtir ve çift ile iki tek sayının toplamı her zaman çifttir.
3
İkinci öncülü (yx+zy^x + z) inceleme.
xx çift bir tam sayı olduğundan negatif değerler de alabilir (örneğin x=−2x = -2). Bu durumda yxy^x ifadesi rasyonel bir sayı olur ve teklik-çiftlik kavramı tanımlanamaz.
Taban tam sayı olsa bile üssün negatif olması durumunda ifade tam sayı belirtmeyebilir.
4
Üçüncü öncülü (x⋅y+zx \cdot y + z) inceleme.
xx (çift) ve yy (tek) olduğundan x⋅yx \cdot y çarpımı çifttir. zz (tek) olduğundan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi: C¸ift+Tek=Tek\text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} olur.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çift, çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı ise tektir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ve üslü ifadelerde negatif üs durumu
Soru 74Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
3a+b3a + b
ve
a⋅(b+c)a \cdot (b + c)
ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ca \cdot c

Cevap

a⋅ca \cdot c ifadesi her zaman çift sayıdır.
İncelenen tüm olası durumlarda ya aa ya da cc sayılarından en az birinin çift sayı olduğu görülür. İki tam sayının çarpımında çarpanlardan en az biri çift olduğunda sonuç daima çift sayı olacağından, a⋅ca \cdot c ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin teklik-çiftlik durumlarına göre olası durum senaryoları kurulur.
3a+b3a + b ve a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadelerinden biri tek iken diğeri çift olmalıdır.
Soruda bu iki ifadeden yalnız birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir.
2
3a+b3a + b ifadesinin tek, a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin çift olduğu birinci senaryo incelenir.
aa tek ise bb çift ve cc çift olmalıdır. aa çift ise bb tek olmalıdır ve cc her iki değeri de alabilir.
3a+b3a+b tek ise aa ile bb farklı teklik-çiftlik durumuna sahiptir. aa tek iken a(b+c)a(b+c) ifadesinin çift olması için b+cb+c çift, dolayısıyla cc ��ift olmalıdır. aa çift ise a(b+c)a(b+c) her durumda çifttir.
3
3a+b3a + b ifadesinin çift, a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin tek olduğu ikinci senaryo incelenir.
aa tek, bb tek ve cc çift olmalıdır.
a(b+c)a(b+c) tek ise hem aa hem de b+cb+c tek olmalıdır. aa tek iken 3a+b3a+b çift olması için bb tek, b+cb+c tek iken cc çift olmalıdır.
4
Elde edilen tüm durumlar özetlenerek seçenekler analiz edilir.
Tüm olası durumlarda ya aa çift ya da cc çift olmaktadır.
Olası durumlar: 1) aa Tek, cc Çift; 2) aa Çift, cc Tek; 3) aa Çift, cc Çift; 4) aa Tek, cc Çift. Görüldüğü gibi her durumda çarpanlardan en az biri çift olduğundan çarpımları her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Temel İşlemler ve Durum Analizi
Soru 75Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
a3⋅(b−5)a^3 \cdot (b - 5)
ifadesinin bir tek sayı,
b⋅cb \cdot c
ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2+b⋅ca^2 + b \cdot c

Cevap

a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesi her zaman bir tek sayıdır.
aa tek sayı olduğu için a2a^2 tektir. bb çift sayı olduğu için cc tam sayısının değeri ne olursa olsun b⋅cb \cdot c çarpımı her zaman bir çift tam sayıdır. Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının toplamı her zaman tek sayı olacağından a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesi her zaman tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen ifadeden aa ve bb değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını analiz etme.
aa tek sayı, bb çift sayıdır.
a3⋅(b−5)a^3 \cdot (b - 5) çarpımı tek sayı ise çarpanların her ikisi de tek sayı olmalıdır. a3a^3 tek ise aa tek sayıdır. b−5b - 5 tek ise bb çift sayıdır.
2
İkinci ifadeden cc değişkeninin teklik-çiftlik durumunu analiz etme.
cc hakkında kesin bir teklik-çiftlik çıkarımı yapılamaz.
b⋅cb \cdot c çarpımı çift sayıdır. bb çift sayı olduğu için cc tam sayısının değerinden bağımsız olarak çarpım her durumda çift olacaktır. Bu nedenle cc tek de olabilir çift de.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman tek tam sayı olup olmadığını test etme.
a2+b⋅ca^2 + b \cdot c her zaman tek sayıdır. Üslü ifadelerde üssün negatif olma durumu teklik-çiftliği bozar.
aa tek olduğundan a2a^2 tek bir tam sayıdır. bb çift ve cc tam sayı olduğundan b⋅cb \cdot c çift bir tam sayıdır. Tek tam sayı ile çift tam sayının toplamı her zaman tek tam sayıdır. Diğer seçeneklerdeki üslerin (cc ve aa) negatif tam sayı olma durumu göz önüne alındığında ifadeler tam sayı belirtmeyebilir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ve kuvvet alma kuralları
Soru 76Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
a⋅b−ca \cdot b - c
ifadesinin bir çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a+ba + b
II. b⋅cb \cdot c
III. a−ca - c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Verilen ifadeler analiz edildiğinde, bb ve cc sayılarının zıt pariteye sahip olması gerektiği bulunur. a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin çift olması koşulundan yola çıkılarak bb çift ve cc tek olduğunda çelişki oluştuğu görülür. Bu nedenle bb tek, cc çift ve aa çift olmalıdır. Bu değerler yerine konulduğunda II. ve III. ifadelerin her zaman çift sayı olduğu anlaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
b+cb + c toplamının tek sayı olma durumlarını belirlemek.
bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır. Buradan iki durum elde edilir:
1. Durum: bb tek ve cc çift
2. Durum: bb çift ve cc tek
İki tam sayının toplamının tek sayı olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin çift sayı olma koşulunu kullanarak durumları analiz etmek.
2. Durum incelenirse (bb çift, cc tek); a⋅b−ca \cdot b - c ifadesi, a⋅c¸ift−tek=c¸ift−tek=teka \cdot \text{çift} - \text{tek} = \text{çift} - \text{tek} = \text{tek} olur. Bu durum, ifadenin çift olması koşuluyla çelişir. Dolayısıyla 2. Durum elenir.

1. Durum geçerlidir (bb tek, cc çift); bu durumda a⋅b−ca \cdot b - c ifadesi, a⋅tek−c¸ift=c¸ifta \cdot \text{tek} - \text{çift} = \text{çift} olmalıdır. Buradan a⋅tek=c¸ifta \cdot \text{tek} = \text{çift} elde edilir. Bir çarpımın çift olabilmesi için çarpanlardan en az birinin çift olması gerektiğinden, aa sayısı çift olmalıdır.
Her iki koşulu da sağlayan tek bir durum olduğunu göstermek ve aa, bb, cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek.
3
Elde edilen aa çift, bb tek ve cc çift sonuçlarına göre öncülleri değerlendirmek.
I. a+b=c¸ift+tek=teka + b = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} (Her zaman tektir).
II. b⋅c=tek⋅c¸ift=c¸iftb \cdot c = \text{tek} \cdot \text{çift} = \text{çift} (Her zaman çifttir).
III. a−c=c¸ift−c¸ift=c¸ifta - c = \text{çift} - \text{çift} = \text{çift} (Her zaman çifttir).
Öncüllerin teklik-çiftlik durumlarını kesin olarak belirleyip doğru seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik ve çiftlik özellikleri.
Soru 77Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
x2+y⋅zx^2 + y \cdot z
toplamı bir tek sayı,
y+zy + z
toplamı ise bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+y+1x + y + 1

Cevap

x+y+1x + y + 1 ifadesi
Doğru cevap olan x+y+1x + y + 1 ifadesi, yy ve zz tam sayılarının her ikisinin de çift olduğu durumda xx tek sayı olacağından tek+c¸ift+tek=c¸ift\text{tek} + \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} sonucunu verir; her ikisinin de tek sayı olduğu durumda ise xx çift sayı olacağından c¸ift+tek+tek=c¸ift\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} sonucunu verir. Her iki durumda da sonuç daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
y+zy + z toplamının çift sayı olmasından yola çıkarak yy ve zz değişkenlerinin durumlarını belirleme.
yy ve zz tam sayılarının ikisi de çift ya da ikisi de tek olmalıdır.
İki tam sayının toplamının çift sayı olabilmesi için bu sayıların paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
x2+y⋅zx^2 + y \cdot z ifadesinin tek sayı olma koşulunu kullanarak xx değişkeninin durumunu inceleme.
1. Durum: yy ve zz çift ise y⋅zy \cdot z çifttir. x2+c¸ift=tekx^2 + \text{çift} = \text{tek} olacağından x2x^2 ve dolayısıyla xx tek sayıdır.
2. Durum: yy ve zz tek ise y⋅zy \cdot z tektir. x2+tek=tekx^2 + \text{tek} = \text{tek} olacağından x2x^2 ve dolayısıyla xx çift sayıdır.
Tek ve çift sayılardaki çarpma ve toplama işlemlerinin özellikleri kullanılarak diğer değişkenin karakteri belirlenir.
3
Elde edilen iki durumu da seçeneklerdeki ifadelerde yerine yazarak her zaman çift sayı sonucunu veren ifadeyi saptama.
1. Durum için (xx tek, yy çift): x+y+1=tek+c¸ift+1=c¸iftx + y + 1 = \text{tek} + \text{çift} + 1 = \text{çift} olur.
2. Durum için (xx çift, yy tek): x+y+1=c¸ift+tek+1=c¸iftx + y + 1 = \text{çift} + \text{tek} + 1 = \text{çift} olur.
Her iki durumda da x+y+1x + y + 1 ifadesi daima bir çift tam sayıya eşittir.
Genel geçerliliği olan ifadenin bulunması için her iki olası senaryonun da çift sayı çıktısı üretmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem Özellikleri ve Değişken Çözümlemesi
Soru 78Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ca \cdot c

Cevap

Farklı teklik ve çiftlik durumlarına sahip iki tam sayının çarpımı olan ifade her zaman bir çift sayıdır.
Ortak paranteze alma işlemiyle elde edilen b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin tek sayı olması, bb ve a+ca+c ifadelerinin her ikisinin de tek olduğunu gösterir. a+ca + c toplamı tek olduğuna göre, aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır. Bu sebeple, biri tek diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak paranteze alarak basitleştirme.
a⋅b+b⋅c=b⋅(a+c)a \cdot b + b \cdot c = b \cdot (a + c) şeklinde yazılır.
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik ve çiftlik analizini yapmak daha kolaydır.
2
Çarpanların teklik ve çiftlik durumlarını analiz etme.
bb tek sayı ve a+ca + c tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
aa ve cc sayılarının durumlarını belirleme.
aa ve cc sayılarından biri tek sayı, diğeri çift sayıdır.
İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması şarttır.
4
Seçenekleri bu koşullara göre değerlendirme.
a⋅ca \cdot c çarpımı, çarpanlarından en az biri çift sayı olduğu için her zaman çift sayıdır.
Herhangi bir tam sayının bir çift sayı ile çarpımı daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda dört işlem özellikleri ve üslü sayılarda kuvvetin tam sayı/pozitiflik koşullarının teklik-çiftliğe etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 79Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
* a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin bir tek sayıya,
* a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin bir çift sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. a⋅b2+c\frac{a \cdot b}{2} + c
III. (b+c)a+c(b + c)^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır.
Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır. Çünkü a çift, b çift ve c tek sayı olduğundan a.c + b ifadesi daima bir çift tam sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen koşullardan a, b ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek
a çift, b çift ve c tek sayı olarak bulunur.
Tek ve çift sayıların toplam ve çarpım kurallarına göre bu durumu sağlayan tek olasılık budur.
2
Birinci öncülü (a.c + b) analiz etmek
İfadenin daima çift sayı olduğu bulunur.
Çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı çift, iki çift sayının toplamı ise yine çifttir.
3
İkinci öncülü (ab/2 + c) analiz etmek
İfadenin daima tek sayı olduğu bulunur.
a ve b çift sayılar olduğundan çarpımlarının yarısı çift tam sayıdır. Çift sayı ile tek sayının (c) toplamı ise tektir.
4
Üçüncü öncülü ((b+c)^a + c) analiz etmek
İfadenin daima çift sayı olmadığı (bazı durumlarda tam sayı bile olmadığı) bulunur.
a tam sayısı negatif bir değer aldığında, üslü ifade rasyonel sayıya dönüşür ve teklik-çiftlik özelliği kaybolur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 80Soru →

Deniz seviyesine göre konumları metre cinsinden sırasıyla aa, bb ve cc tam sayıları olan üç denizaltı bulunmaktadır. Bu konum değerleri ile ilgili olarak,

* a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin bir tek sayı olduğu,
* b+cb + c ifadesinin bir çift sayı olduğu

bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

a+b+ca + b + c ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
aa çift, bb tek ve cc tek tam sayıları için a+b+ca + b + c ifadesinin değeri c¸ift+tek+tek=c¸ift\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olacağından ve bu sayıların toplamı her zaman bir tam sayı belirteceğinden, ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
b+cb + c ifadesinin çift sayı olma durumunu analiz edelim.
bb ve cc tam sayılarının her ikisi birden tek ya da her ikisi birden çift olmalıdır.
İki tam sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir.
2
bb ve cc sayılarının her ikisinin de çift olması durumunu inceleyelim.
Eğer bb ve cc çift olsaydı, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi (çift ile çarpım çift olacağından ve çift ile çiftin toplamı çift olacağından) çift sayı olurdu. Ancak soruda bu ifadenin tek sayı olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bu durum imkansızdır ve bb ile cc kesinlikle tek sayılardır.
Verilen a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı olması koşuluyla çelişkiyi test etmek için.
3
bb ve cc tek sayı iken a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı olma durumunu inceleyelim.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde cc tek sayı olduğundan, ifadenin tek sayı çıkması için a⋅ba \cdot b çarpımı çift sayı olmalıdır. bb tek sayı olduğundan, aa çift sayı olmalıdır.
Tek sayıya çift sayı eklendiğinde sonuç tek sayı olacağı için a⋅ba \cdot b ifadesinin çift olması gerekir.
4
Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını (aa çift, bb tek, cc tek) seçeneklerde test edelim.
a+b+ca + b + c ifadesi c¸ift+tek+tek=c¸ift\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olur. a,b,ca, b, c tam sayılar olduğu için toplamları da her zaman bir tam sayıdır. Üslü ifadeler içeren diğer seçeneklerde (ac+ba^c + b, ba+cb^a + c, cb+ac^b + a) üsler negatif tam sayı olabileceğinden (örneğin deniz seviyesinin altındaki konumlar için) bu ifadeler her zaman bir tam sayı belirtmez.
Her zaman çift sayı olan ifadeyi bulmak ve üslü ifadelerin negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyeceğini göstermek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayı işlemleri ile negatif üs durumunun sayı kümesine etkisi
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 4 / 5Sonraki
Tek ve Çift Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin