All practice questions

Question 2321Question →

Aşağıdaki bölme işleminde $ABC$ üç basamaklı bir doğal sayı; $BC$ , $1A$ ve $1B$ ise iki basamaklı birer doğal sayıdır. $A$ , $B$ ve $C$ sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamı temsil etmektedir.

\begin{array}{r|l} ABC & BC \\ \cline{2-2} & 1A \\ \end{array}

Bu bölme işleminde kalan $1B$ olduğuna göre, $A + B + C$ toplamı kaçt��r?

7

8

9

10

11

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9 olan seçenek doğrudur.

Bölme eşitliği yazılıp çözümlendiğinde

100A - 10 = (10A + 91)B + (A + 9)C

elde edilir. Bu denklemi sağlayan ve sıfırdan farklı, birbirlerinden farklı rakamlar yalnızca

A = 3

,

B = 2

,

C = 4

değerleridir. Bu durumda kalan

12

, bölen ise

24

olup kalan koşulu da sağlanmaktadır. Toplamları

3 + 2 + 4 = 9

yapar. Bu nedenle 9 olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Bölme işlemini matematiksel eşitlik olarak ifade etme

ABC = BC \times 1A + 1B

ve kalan ilişkisinden dolayı

1B < BC

olmalıdır.

Bölme algoritmasının temel kuralı olan Bölünen = (Bölen x Bölüm) + Kalan eşitliğini kurmak.

2

Sayılar�� basamak değerlerine göre çözümleme

100A + 10B + C = (10B + C)(10 + A) + 10 + B

Çok basamaklı sayıları çözümleyerek bilinmeyenler arasındaki cebirsel ilişkiyi sadeleştirmek.

3

Cebirsel ifadeyi sadeleştirme ve düzenleme

100A + 10B + C = 100B + 10AB + 10C + AC + 10 + B \implies 100A - 10 = (10A + 91)B + (A + 9)C

Değişkenleri gruplandırarak rakam deneme adımına hazırlamak.

4

Rakamları belirlemek için değer verme ve deneme

A = 3

için denklem

290 = 121B + 12C

halini alır. Buradan

B = 2

ve

C = 4

bulunur. Bu değerler sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır. Kalan koşulu olan

12 < 24

de sağlanır.

Sınırlı sayıdaki rakam kombinasyonlarından kurallara uyan tek çözümü bulmak.

5

İstenen toplamı hesaplama

A + B + C = 3 + 2 + 4 = 9

olarak bulunur.

Soru kökünde sorulan nihai toplama ulaşmak.

Key Concept

Bölme algoritması ve basamak analizi kurallarını kullanarak harf-rakam aritmetiği problemlerini çözme.

Question 2322Question →

Dik koordinat düzleminde, üçüncü bölgede bulunan bir $A(a, -3)$ noktası ile birinci bölgede bulunan bir $B(8, b)$ noktası veriliyor.

$A$ ve $B$ noktalarının orta noktası $y$ -ekseni üzerinde olup bu iki nokta arasındaki uzaklık $20$ birimdir.

Buna göre, $a \cdot b$ çarpımının değeri kaçtır?

-120

-8

-72

72

120

Show answer & explanation

Answer: -72

Answer

İki noktanın koordinat değerleri belirlendikten sonra yapılan çarpım işleminin sonucu olan -72 sayısı doğru cevaptır.

Orta noktanın y-ekseni üzerinde olması apsisinin 0 olmasını gerektirir, buradan a = -8 bulunur. A ve B noktaları arasındaki uzaklık formülüyle (20 birim) kurulan denklem çözüldüğünde ve B noktasının birinci bölgede olmasından kaynaklı b > 0 şartı uygulandığında b = 9 bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise -72 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Orta noktanın y-ekseni üzerinde olma özelliğini kullanarak a değerini bulma

a = -8

elde edilir.

Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsisinin sıfır olması gerekir.

A(a, -3)

ve

B(8, b)

noktalarının orta noktasının apsisi

\frac{a + 8}{2}

formülüyle hesaplanır. Bu değerin sıfır olması gerektiğinden

a + 8 = 0 \implies a = -8

bulunur. Bulunan bu değer,

A

noktasının üçüncü bölgede yer alması (

a < 0

) şartıyla da uyumludur.

2

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak b değerini bulma

b = 9

elde edilir.

A(-8, -3)

ve

B(8, b)

noktaları arasındaki uzaklık

20

birim olarak verilmiştir. Uzaklık formülü uygulandığında:

\sqrt{(8 - (-8))^2 + (b - (-3))^2} = 20 \implies 16^2 + (b + 3)^2 = 20^2 \implies 256 + (b + 3)^2 = 400 \implies (b + 3)^2 = 144

elde edilir. Buradan

b + 3 = 12

veya

b + 3 = -12

olur.

B(8, b)

noktası birinci bölgede yer aldığından ordinatı pozitif olmalıdır (

b > 0

). Dolayısıyla

b + 3 = 12 \implies b = 9

olarak seçilir.

3

Bulunan a ve b değerlerinin çarpımını hesaplama

a \cdot b = -72

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen

a \cdot b

çarpımıdır.

a = -8

ve

b = 9

değerleri çarpıldığında

-8 \cdot 9 = -72

sonucu elde edilir.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü

Question 2323Question →

Dik koordinat düzleminde, koordinatları tam sayılardan oluşan ve orijine uzaklığı $5$ birim olan tüm noktaların oluşturduğu küme $K$ olarak tanımlanıyor.

$K$ kümesinden seçilen farklı $A$ ve $B$ noktalarının orta noktasının koordinatları da tam sayılardan oluşmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $\{A, B\}$ noktalar çifti seçilebilir?

15

24

30

36

66

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

30

Orijine uzaklığı 5 birim olan tam sayı koordinatlı noktalar koordinatlarının teklik-çiftlik durumuna göre (çift, tek) ve (tek, çift) olmak üzere altışar elemanlı iki gruba ayrılır. İki noktanın orta noktasının koordinatlarının tam sayı olabilmesi için her iki noktanın da aynı gruptan seçilmesi gerekir. Bu seçimlerin kombinasyonları hesaplandığında toplamda 30 farklı çift elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Orijine uzaklığı

5

birim olan tam sayı koordinatlı noktaları belirlemek.

x^2 + y^2 = 25

denklemini sağlayan tam sayı ikilileri bulunur. Eksenler üzerindeki

(5, 0)

,

(-5, 0)

,

(0, 5)

,

(0, -5)

noktaları ile bölgelerde yer alan

(\pm 3, \pm 4)

ve

(\pm 4, \pm 3)

noktaları olmak üzere toplam

12

nokta tespit edilir.

K

kümesinin tüm elemanlar��nı belirlemek.

2

İki noktanın orta noktasının tam sayı koordinatlı olma koşulunu analiz etmek.

A(x_1, y_1)

ve

B(x_2, y_2)

noktalarının orta noktası olan

M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)

noktasının koordinatlarının tam sayı olması için

x_1+x_2

ve

y_1+y_2

toplamlarının çift sayı olması gerekir. Bu durum,

x_1

ile

x_2

koordinatlarının aynı teklik-çiftlik karakterine,

y_1

ile

y_2

koordinatlarının da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olmasını gerektirir.

Orta nokta formülünü kullanarak koordinatların paritesini (teklik-çiftlik durumunu) belirlemek.

3

Belirlenen

12

noktayı teklik-çiftlik durumlarına göre sınıflandırmak.

x^2 + y^2 = 25

denkleminde her iki değişkenin karesinin toplamı tek sayı (

25

) olduğundan, değişkenlerden biri çift diğeri tek olmalıdır. Dolayısıyla noktalar iki gruba ayrılır:
1. Grup (Apsisi çift, ordinatı tek olanlar):

(0, 5)

,

(0, -5)

,

(4, 3)

,

(4, -3)

,

(-4, 3)

,

(-4, -3)

olmak üzere

6

nokta vardır.
2. Grup (Apsisi tek, ordinatı çift olanlar):

(5, 0)

,

(-5, 0)

,

(3, 4)

,

(3, -4)

,

(-3, 4)

,

(-3, -4)

olmak üzere

6

nokta vardır.

Orta nokta koşuluna uygun seçim gruplarını oluşturmak.

4

Gruplardan ikili seçimler yaparak toplam geçerli çift sayısını bulmak.

Orta noktanın tam sayı olması için seçilen iki noktanın da aynı gruptan olması gerekir. Bu nedenle:
1. Gruptan

2

nokta seçimi:

\binom{6}{2} = 15

farklı şekilde yapılır.
2. Gruptan

2

nokta seçimi:

\binom{6}{2} = 15

farklı şekilde yapılır.
Toplam durum sayısı:

15 + 15 = 30

olur.

Geçerli tüm nokta çiftlerinin sayısını hesaplamak.

Key Concept

Noktanın Analitik İncelenmesi, İki Noktanın Orta Noktası, İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Estimated Time:3m 0s

Question 2324Question →

Yarıçapı $3r$ olan $K$ çarkı ile yarıçapı $2r$ olan $L$ çarkı birbirine temas edecek şekilde yerleştirilmiştir. Bu çarklarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $K$ çarkının üzerinde eşit aralıklarla $1$ 'den $12$ 'ye kadar sayılar saat yönünde ardışık olarak yazılmıştır.
* $L$ çarkının üzerinde ise eşit aralıklarla $1$ 'den $8$ 'e kadar sayılar saat yönünün tersi yönde ardışık olarak yazılmıştır.
* Her iki çarkın da en üst noktasında sabit birer gösterge (ibre) bulunmaktadır ve başlangıçta her iki gösterge de kendi çarkındaki $1$ sayısını göstermektedir.

Buna göre, $K$ çarkı saat yönünde $2,5$ tur döndürüldüğünde, $L$ çarkının göstergesi hangi sayıyı gösterir?

1

3

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

L çarkının göstergesi 3 sayısını gösterir.

K çarkı saat yönünde

2,5

tur döndüğünde, temas eden L çarkı saat yönünün tersine döner. L çarkının yarıçapı

2r

olduğundan, tur sayısı

2,5 \times (3/2) = 3,75

tur olur. L çarkı 8 bölmeli olduğundan, toplamda

3,75 \times 8 = 30

bölme ilerler.

30 \equiv 6 \pmod 8

olduğundan, göstergenin altından geçen sayılar başlangıçtaki 1 değerinden itibaren saat yönünün tersi dönme hareketiyle azalan sırada (

1 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3

) ilerler ve 6. adımda 3 sayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çarkların birbirine temas ettiği durumlarda dönme yönlerini belirleme.

K çarkı saat yönünde döndürüldüğünde, onunla temas halinde olan L çarkı saat yönünün tersi yönde dönecektir.

Temas halindeki dişli çarklar birbirini zıt yönde döndürür.

2

Çarkların yarıçapları ile tur sayıları arasındaki ters orantıyı kullanarak L çarkının kaç tur döneceğini hesaplama.

N_K \times r_K = N_L \times r_L

ilişkisinden,

2,5 \times 3r = N_L \times 2r \implies N_L = 3,75

tur elde edilir.

Çarkların yarıçapları (veya diş sayıları) ile dönme tur sayıları ters orantılıdır.

3

L çarkının üzerindeki bölmelerin hareket miktarını bulma.

L çarkı 8 bölmeye ayrılmıştır. 3,75 tur döndüğünde toplam

3,75 \times 8 = 30

bölme ilerlemiş olur. (Alternatif olarak: K çarkında

2,5 \times 12 = 30

bölme ilerlendiği için, temas noktasından aynı sayıda bölme geçeceğinden L çarkında da 30 bölme ilerlenir).

Çarklar üzerindeki bölmelerin (dişlerin) eşit uzunlukta olduğu varsayımıyla, temas noktasından geçen bölme sayısı iki çark için de eşittir.

4

30 bölme ilerleme sonrasında göstergenin işaret edeceği sayıyı modüler aritmetik kullanarak bulma.

30 \equiv 6 \pmod 8

olur. L çarkının üzerindeki sayılar saat yönünün tersine dizilmiştir (1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). Çark saat yönünün tersine döndüğünde, sabit göstergenin altından sırasıyla

1 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \dots

sayıları geçecektir. Başlangıçta 1'de olan ibre 6 adım ilerlediğinde 3 sayısını gösterir.

L çarkı saat yönünün tersine döndüğünde sayılar saat yönünde ilerliyormuş gibi göstergenin altından geçer ve her 8 bölmede bir başlangıç durumuna dönülür.

Key Concept

Temas halindeki dairesel çarklarda yarıçap-tur sayısı ilişkisi ve dönme yönüne bağlı olarak çevresel bölmelerin modüler hareketi.

Question 2325Question →

Tanımlı olduğu aralıkta

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) = 2x + 3

g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}

eşitliklerini sağlamaktadır.

(f \circ g)(a) = 5

olduğuna göre,

a

gerçel sayısı kaçtır?

-3

-5

1

0

\frac{2}{3}

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

Aranan

a

değeri

1

olarak bulunur.

Bileşke fonksiyon tanımına göre

(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 5

yazılır.

f(x) = 2x + 3

olduğundan

f(g(a)) = 2g(a) + 3 = 5

olur. Buradan

2g(a) = 2

ve dolayısıyla

g(a) = 1

elde edilir.

g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}

olduğundan

g(a) = \frac{3a - 1}{a + 1} = 1

eşitliği kurulur. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

3a - 1 = a + 1

denklemi elde edilir. Buradan

2a = 2

ve sonuç olarak

a = 1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak

(f \circ g)(a) = 5

eşitliğini

f(g(a)) = 5

şeklinde yazmak.

f(g(a)) = 5

Bileşke fonksiyon işleminde dıştaki fonksiyonun içine içteki fonksiyon yazılır.

2

f(x) = 2x + 3

fonksiyonunda

x

yerine

g(a)

yazarak

2g(a) + 3 = 5

denklemini elde etmek ve buradan

g(a)

değerini bulmak.

2g(a) = 2 \implies g(a) = 1

f(g(a))

ifadesini elde etmek ve

g(a)

değerini yalnız bırakmak için.

3

g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}

fonksiyonunda

x

yerine

a

yazıp sonucu

1

'e eşitleyerek

a

değerini bulmak.

\frac{3a - 1}{a + 1} = 1 \implies 3a - 1 = a + 1 \implies 2a = 2 \implies a = 1

g(a) = 1

eşitliğini sağlayan

a

değerini belirlemek için.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası ve fonksiyon değerlerinin hesaplanması

Question 2326Question →

\frac{(n+2)! + (n+1)!}{n! + (n-1)!} = 28

eşitliğini sağlayan

n

pozitif tam sayısı kaçtır?

2

3

4

5

7

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4

Verilen rasyonel ifadede pay

(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!

şeklinde, payda ise

(n+1) \cdot (n-1)!

şeklinde düzenlenip ortak terimler sadeleştirildiğinde geriye

n \cdot (n+3) = 28

eşitliği kalır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayı 4 olduğundan doğru yanıt bu değere karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için en küçük faktöriyelli terimler cinsinden açalım.

Pay kısmında

(n+1)!

parantezine alırsak:

(n+2)! + (n+1)! = (n+2) \cdot (n+1)! + (n+1)! = (n+1)! \cdot (n+2+1) = (n+3) \cdot (n+1)!

Payda kısmında

(n-1)!

parantezine alırsak:

n! + (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1)

elde edilir.

Toplama halindeki faktöriyelli ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.

2

Bulduğumuz parantezli ifadeleri kesirli denklemde yerine yazıp ortak terimleri sadeleştirelim.

\frac{(n+3) \cdot (n+1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay kısmındaki

(n+1)!

ifadesini

(n-1)!

terimine kadar açarak yazalım:

\frac{(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay ve paydadaki ortak

(n+1)

ve

(n-1)!

terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan ifade:

n \cdot (n+3) = 28

olur.

Kesirli ifadelerde pay ve paydadaki çarpım durumundaki ortak terimler sadeleştirilerek işlem kolayla��tırılır.

3

Elde edilen

n \cdot (n+3) = 28

denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini belirleyelim.

n^2 + 3n - 28 = 0 \implies (n+7) \cdot (n-4) = 0

Buradan

n = -7

veya

n = 4

bulunur. Faktöriyel tanımı gereği

n-1 \geq 0 \implies n \geq 1

olmalıdır, bu yüzden

n

pozitif bir tam sayı olmak zorundadır. Dolayısıyla

n = 4

olarak seçilir.

İkinci derece denklemin köklerinden faktöriyel tanım kümesine uygun olan pozitif tam sayı kökü alınmalıdır.

Key Concept

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde en küçük terime göre açarak ortak paranteze alma ve sadeleştirme yöntemlerinin uygulanması.

Hints

1

Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için öncelikle terimleri daha küçük faktöriyelli ifadeler cinsinden açmayı deneyin.

2

Pay kısmını

(n+1)!

, payda kısmını ise

(n-1)!

parantezine alarak sadeleştirmeleri gerçekleştirin.

3

Sadeleştirmelerden sonra elinizde

n(n+3) = 28

denklemi kalacaktır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayıyı bulun.

Practice More

Faktöriyel parantezine alma mantığını pekiştirmek için ardışık üç faktöriyel teriminin toplamının/farkının sadeleştirildiği benzer rasyonel denklem sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Zaman kısıtı olan sınavlarda, seçeneklerdeki küçük tam sayı değerlerini doğrudan denklemde yerine koyarak deneme yöntemiyle de hızlıca doğru cevaba ulaşabilirsiniz. Örneğin

n=4

için sol taraf

\frac{6! + 5!}{4! + 3!} = \frac{720 + 120}{24 + 6} = \frac{840}{30} = 28

eşitliğini doğrudan sağlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 2327Question →

Bir iş yerindeki $60$ çalışanın her biri çay veya kahve içeceklerinden en az birini tüketmektedir. Bu çalışanlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Çay tüketen kadın çalışanların sayısı, kahve tüketen erkek çalışanların sayısının $2$ katıdır.
* Sadece çay tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece kahve tüketen kadın ��alışanların sayısına eşittir.
* Hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece çay tüketen kadın çalışanların sayısının yarısıdır.
* Hem çay hem kahve tüketen kadın çal��şanların sayısı $6$ 'dır.
* Kadın çalışanların toplam sayısı, erkek çalışanların toplam sayısından $10$ fazladır.

Buna göre, bu iş yerinde çay tüketen erkek çalışan sayısı kaçtır?

15

18

22

25

28

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Çay tüketen erkek çalışan sayısı 22'dir.

Çay tüketen erkek çalışan sayısı, sadece çay tüketen erkek çalışanlar (15 kişi) ile hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların (7 kişi) toplamına eşittir. Bu iki değerin toplanmasıyla 22 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sorudaki verileri küme sembolleriyle ifade edip bilinen değerleri yerine yazarak ilk bilinmeyeni bulalım.

Sadece kahve tüketen erkek çalışan sayısı (

E_{Ka}

)

3

olarak bulunur.

Çay tüketen kadınların sayısı (

K_{Ç} + K_{Ç\cap Ka}

), kahve tüketen erkeklerin sayısının (

E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}

) iki katıdır.

K_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka}

ve

K_{Ç\cap Ka} = 6

değerleri yerine yazıldığında,

2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2(E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) \Rightarrow 2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2 E_{Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka}

olur. Buradan

2 E_{Ka} = 6 \Rightarrow E_{Ka} = 3

elde edilir.

2

Toplam çalışan sayısından yola çıkarak birinci denklemi oluşturalım.

2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51

denklemi elde edilir.

Toplam 60 çalışan olduğundan

E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka} + K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka} = 60

yazılır.

E_{Ka} = 3

,

K_{Ç\cap Ka} = 6

,

K_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka}

ve

K_{Ka} = E_{Ç}

değerleri yerine yazıldığında:

E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} + 9 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51

olur.

3

Kadın ve erkek çalışan sayıları farkını kullanarak ikinci bir denklem elde edip bilinmeyenleri çözelim.

Hem çay hem kahve tüketen erkek sayısı (

E_{Ç\cap Ka}

)

7

olarak bulunur.

Kadın sayısı ile erkek sayısı farkı 10'dur:

|K| - |E| = 10 \Rightarrow (K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka}) - (E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) = 10

. Değerler yazıldığında:

(2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6) - (E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka}) = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} + 3 = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} = 7

elde edilir.

4

Elde edilen değerlerle çay tüketen erkek çalışan sayısını hesaplayalım.

Çay tüketen erkek çalışan sayısı

22

olarak bulunur.

2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51

denkleminde

E_{Ç\cap Ka} = 7

yazılırsa,

2 E_{Ç} + 21 = 51 \Rightarrow 2 E_{Ç} = 30 \Rightarrow E_{Ç} = 15

bulunur. Çay tüketen erkeklerin sayısı ise sadece çay tüketenler ile her ikisini tüketenlerin toplamıdır:

E_{Ç} + E_{Ç\cap Ka} = 15 + 7 = 22

'dir.

Key Concept

Kümeler yardımıyla denklem kurma ve problem çözme

Hints

1

Çalışanları cinsiyetlerine (Erkek/Kadın) ve tükettikleri içeceklere (Sadece Çay, Sadece Kahve, Her İkisi) göre gruplandırarak bir tablo oluşturun.

2

Çay tüketen kadınların sayısı ile kahve tüketen erkeklerin sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak sadece kahve içen erkek çalışan sayısını doğrudan bulabilirsiniz.

3

Toplam çalışan sayısından elde ettiğiniz denklem ile kadın ve erkeklerin sayıları arasındaki farktan elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklemi ortak çözerek kesişim bölgesini bulun.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, üç kümenin (örneğin dil kursuna gidenler) cinsiyete göre ayrıldığı daha karmaşık küme problemlerini çözebilirsiniz.

Alternative Method

Tablo yöntemi yerine Venn şeması üzerinde Erkek ve Kadın bölgelerini iki ayrı katman olarak çizip elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu sayede görsel olarak hangi bölgelerin birbirine eşit olduğunu daha rahat görebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 2328Question →

Boş kümeden farklı $A, B$ ve $C$ sonlu kümeleri için, $A \times B$ ve $B \times C$ kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 20 ve 30'dur.

B \subseteq (A \cap C)

olduğuna göre, $A \cup C$ kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?

5

6

15

25

30

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Kümenin eleman sayısı en az 15 olabilir.

Kümelerin eleman sayıları arasındaki çarpım ilişkisinden

s(B)

değeri 1 veya 2 olmak zorundadır.

s(B) = 2

seçildiğinde

s(A) = 10

ve

s(C) = 15

elde edilir.

B

kümesi

A

ve

C

'nin kesişiminin alt kümesi olduğundan, kesişim kümesinin eleman sayısı en fazla

s(A) = 10

olabilir. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı en az

10 + 15 - 10 = 15

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri belirleyin.

s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 20

ve

s(B \times C) = s(B) \times s(C) = 30

denklem sistemini elde ederiz. Buradan

s(B)

değeri hem 20'nin hem de 30'un ortak bir pozitif tam sayı böleni olmalıdır.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

2

Alt küme ilişkisinden yararlanarak

s(B)

için sınırlandırmaları tespit edin.

B \subseteq (A \cap C)

olduğuna göre

B

kümesi hem

A

kümesinin hem de

C

kümesinin bir alt kümesidir. Dolayısıyla

s(B) \leq s(A)

ve

s(B) \leq s(C)

olmalıdır. 20 ve 30'un ortak bölenleri

\{1, 2, 5, 10\}

kümesidir. Eğer

s(B) = 5

olursa

s(A) = 4

olur ki bu durum

s(B) \leq s(A)

şartıyla çelişir (

5 \leq 4

yanlıştır). Benzer şekilde

s(B) = 10

olursa

s(A) = 2

olur ve yine çelişki oluşur. Bu durumda

s(B)

değeri yalnızca 1 veya 2 olabilir.

Bir küme diğerinin alt kümesi ise eleman sayısı onun eleman sayısından büyük olamaz.

3

Olası

s(B)

değerleri için birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapacak durumu bulun.

s(A \cup C) = s(A) + s(C) - s(A \cap C)

formülünü kullanırız.

s(A \cup C)

'yi en az yapmak için kesişim kümesinin eleman sayısı olan

s(A \cap C)

'yi en büyük seçmeliyiz.

B \subseteq (A \cap C)

olduğundan

s(A \cap C)

en az

s(B)

olmalıdır. Kesişim kümesinin maksimum eleman sayısı ise

\min(s(A), s(C))

kadardır.

s(B) = 2

için

s(A) = 10

ve

s(C) = 15

olur. Bu durumda kesişim kümesi en fazla

\min(10, 15) = 10

elemanlı seçilebilir ve birleşim kümesinin eleman sayısı en az

10 + 15 - 10 = 15

olur.

s(B) = 1

için ise

s(A) = 20

ve

s(C) = 30

olur, birleşim en az

20 + 30 - 20 = 30

olur. Dolayısıyla minimum değer 15'tir.

Birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapmak için kesişim kümesini en büyük değerinde seçmek gerekir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve kümelerde alt küme ilişkisi ile birleşim-kesişim işlemleri arasındaki eşitsizlikler.

Question 2329Question →

Bir sınıftaki öğrencilerin $\%60$ 'ı kızdır. Bu sınıftaki kız öğrencilerin $\%30$ 'u, erkek öğrencilerin ise $\%40$ 'ı gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

\frac{9}{17}

\frac{9}{50}

\frac{3}{10}

\frac{8}{17}

\frac{9}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{17}$

Answer

Gözlüklü olduğu bilinen bir öğrencinin kız olma olasılığı

\frac{9}{17}

'dir.

Seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre örnek uzayımız yalnızca gözlüklü öğrencilerden oluşur. Toplam gözlüklü öğrenci sayısı

18x + 16x = 34x

'tir. Bu öğrencilerden kız olanların sayısı ise

18x

'tir. Dolayısıyla istenen olasılık

\frac{18x}{34x} = \frac{9}{17}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Sınıftaki toplam öğrenci sayısını belirleyip cinsiyete göre dağılımı yapmak

Sınıftaki toplam öğrenci sayısı

100x

olsun. Bu durumda kız öğrencilerin sayısı

60x

, erkek öğrencilerin sayısı ise

40x

olur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için toplam öğrenci sayısını 100x olarak belirlemek adım kolaylığı sağlar.

2

Kız ve erkek öğrenciler arasındaki gözlüklü öğrenci sayılarını hesaplamak

Gözlüklü kız öğrenciler:

60x \times \frac{30}{100} = 18x

olur. Gözlüklü erkek öğrenciler:

40x \times \frac{40}{100} = 16x

olur.

Koşullu olasılık hesabında pay ve paydadaki durumları belirlemek için gözlüklü ö��renci sayılarına ihtiyaç duyulur.

3

Koşullu olasılık formülünü uygulamak ve sadeleştirme yapmak

Seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiği için örnek uzay (payda) toplam gözlüklü öğrenci sayısı olan

18x + 16x = 34x

olur. İstenen durum (pay) ise gözlüklü kız öğrenci sayısı olan

18x

'tir. Olasılık:

\frac{18x}{34x} = \frac{9}{17}

olarak hesaplanır.

Koşullu olasılıkta bilinen durum örnek uzayı daraltır; bu nedenle payda toplam gözlüklü sayısı, pay ise hem kız hem gözlüklü olanların sayısı olmalıdır.

Key Concept

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır.

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülü ile hesaplanır.

Hints

1

Soruda seçilen kişinin 'gözlüklü' olduğu verilmiştir. Bu bilgi örnek uzayınızı (tüm olası durumları) sınırlandırır.

2

Sınıf mevcudunu 100 kişi kabul ederek gözlüklü kız ve gözlüklü erkek öğrenci sayılarını ayrı ayrı hesaplayın.

3

İstenen olasılık = (Gözlüklü Kız Öğrenci Sayısı) / (Toplam Gözlüklü Öğrenci Sayısı) formülü ile bulunur.

Practice More

Benzer şekilde, gözlüksüz olduğu bilinen bir öğrencinin erkek olma olasılığını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Formül yerine doğrudan Venn şeması veya tablo yöntemi kullanılabilir. Bir tablo oluşturup satırları 'Kız/Erkek', sütunları 'Gözlüklü/Gözlüksüz' olarak belirleyerek hücreleri doldurabilirsiniz. Gözlüklü sütunundaki toplam değer paydayı, bu sütundaki kız satırındaki değer ise payı oluşturur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2330Question →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı ile her iki olayın da birlikte gerçekleşme olasılığı arasındaki fark $\frac{1}{2}$ 'dir.

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

olduğuna göre, $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{3}{8}

\frac{5}{8}

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{8}$

Answer

A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

'dir.

Tümleyenlerin olasılık kurallarından

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir. Birleşim olasılığı formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

ifadesi, soruda verilen

P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}

eşitliğinde yerine konulursa

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

elde edilir. Burada bulunan toplam yerine yazıldığında

\frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

denklemi çözülerek her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tümleyen özelliklerini kullanarak olayların kendi olasılıkları toplamını bulun.

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

P(A') = 1 - P(A)

ve

P(B') = 1 - P(B)

eşitlikleri

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

denkleminde yerine yazıldığında,

2 - (P(A) + P(B)) = \frac{5}{4} \implies P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir.

2

Birleşim olasılığı formülünü kullanarak soruda verilen fark ifadesini düzenleyin.

P(A \cup B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

olduğu bilindiğinden, bu ifadeden

P(A \cap B)

çıkarıldığında elde edilen eşitlik kullanılır.

3

Bulunan değerleri ve denklemleri birleştirerek kesişim olasılığ��nı hesaplayın.

P(A \cap B) = \frac{1}{8}

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies \frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies 2P(A \cap B) = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{8}

elde edilir.

Key Concept

Olasılık fonksiyonunun özellikleri, tümleyen olayın olasılığı ve iki olayın birleşiminin olasılığı.

Question 2331Question →

Bir kenar uzunluğu $4\text{ cm}$ olan $ABCD$ karesinin içine, $D$ köşesi merkez kabul edilerek $4\text{ cm}$ yarıçaplı bir çeyrek daire çizilmiştir. Buna göre, karenin içinde olup çeyrek dairenin dışında kalan taralı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16 - 16\pi

16 - 8\pi

16 - 4\pi

16 - 2\pi

8 - 4\pi

Show answer & explanation

Answer: $16 - 4\pi$

Answer

Karenin alanından çeyrek dairenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen

16 - 4\pi

ifadesidir.

Taralı alan, bir kenarı

4\text{ cm}

olan karenin alanından (

16\text{ cm}^2

), merkez açısı

90^\circ

(çeyrek daire) ve yarıçapı

4\text{ cm}

olan daire diliminin alanının (

4\pi\text{ cm}^2

) çıkarılmasıyla bulunur. Bu işlem sonucunda

16 - 4\pi

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Karenin alanını hesaplayın.

S_{\text{kare}} = 4 \times 4 = 16\text{ cm}^2

Taralı bölgenin sınırlandığı dış şekil bir kenarı

4\text{ cm}

olan bir karedir.

2

Yarıçapı

4\text{ cm}

olan çeyrek dairenin alanını hesaplayın.

S_{\text{çeyrek daire}} = \frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 4^2 = 4\pi\text{ cm}^2

Çeyrek daire, tüm daire alanının dörtte birine eşittir.

3

Taralı bölgenin alanını bulmak için çeyrek dairenin alanını karenin alanından çıkarın.

S_{\text{taralı}} = S_{\text{kare}} - S_{\text{çeyrek daire}} = 16 - 4\pi\text{ cm}^2

İstenen alan, karenin alanından kesilen çeyrek dairelik kısmın çıkarılmasıyla geriye kalan bölgedir.

Key Concept

Bir geometrik şeklin alanından diğerinin alanını çıkararak taralı bölgenin alanını bulma uygulaması.

Hints

1

Taralı bölgenin alanını doğrudan formülle bulmak yerine, tüm karenin alanından beyaz renkli çeyrek dairenin alanını çıkarmayı düşünün.

2

Karenin kenarı

4\text{ cm}

olduğuna göre alanı

4^2 = 16\text{ cm}^2

'dir. Beyaz bölge ise yarıçapı

4\text{ cm}

olan bir çeyrek dairedir.

Estimated Time:45s

Question 2332Question →

İki basamaklı $KL$ sayısı ile 3 sayısı çarpıldığında üç basamaklı $MKL$ sayısı elde edilmektedir.

\begin{array}{r} KL \\ \times \quad 3 \\ \hline MKL \end{array}

Buna göre, $K + L + M$ toplamı kaçtır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Rakamların toplamı 6'dır.

Çarpma işlemi çözümlendiğinde

3 \times (KL) = 100 \times M + (KL)

eşitliğinden

2 \times (KL) = 100 \times M

yani

KL = 50 \times M

sonucuna ulaşılır.

KL

iki basamaklı bir sayı olduğundan ve yüzler basamağındaki

M

sıfır olamayacağından,

M

yalnızca 1 değerini alabilir. Bu durumda

KL = 50

olur, yani

K=5

,

L=0

ve

M=1

bulunur. Bu rakamların toplamı ise

5 + 0 + 1 = 6

değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen çarpma işlemini basamak çözümlemesi kullanarak denklem haline getirin.

3 \times (KL) = MKL

eşitliğinde,

MKL

sayısı

100 \times M + (KL)

şeklinde çözümlenir. Buradan

3 \times (KL) = 100 \times M + (KL)

denklemi elde edilir.

Çarpma işleminin basamak değerleri arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak için.

2

Elde edilen denklemi sadeleştirerek bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi bulun.

2 \times (KL) = 100 \times M \implies (KL) = 50 \times M

eşitliği bulunur.

Değişkenleri sadeleştirip çözümü kolaylaştırmak için.

3

KL

sayısının iki basamaklı bir sayı ve

M

'nin sıfırdan farklı bir rakam olması kuralını uygulayın.

KL

iki basamaklı olduğundan

50 \times M

ifadesi de iki basamaklı olmak zorundadır.

M

sıfırdan farklı bir rakam olduğuna göre bu koşulu sağlayan tek değer

M = 1

'dir. Buradan

KL = 50

bulunur. Bu durumda

K = 5

ve

L = 0

olur.

Basamak kuralları ve basamak sayısı sınırlarını değerlendirmek için.

4

Bulunan

K

,

L

ve

M

değerlerini toplayın.

K + L + M = 5 + 0 + 1 = 6

olarak hesaplanır.

Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çarpma İşlemi Aritmetiği

Estimated Time:1m 0s

Question 2333Question →

Ardışık tek pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisinin terim sayısı, bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamının yarısından $12$ eksiktir. Bu dizideki terimlerin toplamı $220$ olduğuna göre, bu dizinin en büyük terimi kaçtır?

27

21

31

32

25

Show answer & explanation

Answer: 31

Answer

En büyük terim

31

'dir.

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile bu terimlerin ortalamasının çarpımına eşittir. Verilen

N = A - 12

ilişkisi toplam formülünde yerine konulduğunda terim sayısı

10

ve ortalama

22

olarak hesaplanır. Ardışık tek sayılarda en büyük terim

\text{Ortalama} + \text{Terim Sayısı} - 1

formülünden

22 + 10 - 1 = 31

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Terimlerin en büyüğü ile en küçüğünün toplamının yarısının, bu ardışık sayı dizisinin ortalaması (

A

) olduğunu belirleme.

A = \frac{\text{En Büyük} + \text{En Küçük}}{2}

Ardışık sayı dizilerinde ilk ve son terimin toplamının yarısı dizinin aritmetik ortalamasını verir.

2

Terim sayısı (

N

) ile ortalama (

A

) arasındaki ilişkiyi yazma ve toplam formülünü oluşturma.

N = A - 12 \implies A = N + 12

ve Toplam

= A \times N = 220

Soruda terim sayısının ortalamadan

12

eksik olduğu verilmiştir. Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortalamanın çarpımına eşittir.

3

Denklemi çözerek terim sayısını (

N

) bulma.

(N + 12) \times N = 220 \implies N^2 + 12N - 220 = 0 \implies (N+22)(N-10)=0 \implies N=10

Terim sayısı pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök (

N = -22

) elenir ve

N = 10

bulunur.

4

Bulunan terim sayısı değerini kullanarak ortalamayı (

A

) bulma.

A = 10 + 12 = 22

A = N + 12

bağıntısında

N = 10

yazılır.

5

Ortalama ve terim sayısını kullanarak en büyük terimi (

x_N

) hesaplama.

x_N = A + N - 1 = 22 + 10 - 1 = 31

Ardışık tek sayılar

2

'şer

2

'şer arttığı için en büyük terim ortalamanın terim sayısının

1

eksiği kadar fazlasına eşittir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ve ortalama ilişkisi

Hints

1

Herhangi bir ardışık sayı dizisinde en büyük terim ile en küçük terimin toplamının yarısı, dizinin aritmetik ortalamasını verir.

2

Dizinin toplamı, terim sayısı ile bu ortalamanın çarpımına eşittir. Terim sayısına

N

ve ortalamaya

A

dersek,

N = A - 12

ve

N \times A = 220

denklemlerini elde ederiz.

3

N \times (N + 12) = 220

denklemini sağlayan pozitif

N

tam sayısını bulduktan sonra, en büyük terimi bulmak için ortalamadan itibaren ardışık tek sayıların nasıl dağıldığını (en büyük terim

A + N - 1

formülüyle bulunur) düşünün.

Practice More

Benzer mantıkla, terim sayısı ile ortalaması arasında farklı bir ilişki tanımlanmış olan ardışık çift sayı dizilerinde en küçük terimi bulma soruları çözülebilir.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine

220

sayısının çarpanlarını inceleyebiliriz. Aralarındaki fark

12

olan iki sayının çarpımı

220

olmalıdır. Bu sayılar

10

ve

22

dir. Terim sayısı ortalamadan küçük olduğundan terim sayısı

10

, ortalama ise

22

olur. Ardışık tek sayıları ortalama olan

22

'nin etrafına simetrik olarak yerleştirirsek, ortadaki iki terim

21

ve

23

olur. Toplam

10

terim olduğu için

23

'ten sonra

4

terim daha ekleyerek en büyük terimi

23 + 4 \times 2 = 31

olarak bulabiliriz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2334Question →

Bir düzgün $n$ -genin içine yazılan bir $x$ tam sayısı için $[x]_n$ sembolüyle gösterilen bir işlem tanımlanıyor. Bu işlem,
- $x$ bir çift sayı ise: $[x]_n = n \cdot x - (n-1)$
- $x$ bir tek sayı ise: $[x]_n = (n-1) \cdot x + n$
olarak belirlenmiştir.

Örnekler:
- Üçgenin içindeki $4$ sayısı: $[4]_3 = 3 \cdot 4 - (3-1) = 10$
- Karenin içindeki $5$ sayısı: $[5]_4 = (4-1) \cdot 5 + 4 = 19$

Buna göre, bir üçgenin içinde bir kare ve bu karenin içinde $A$ sayısı bulunacak şekilde iç içe yerleştirilmiş şeklin değeri ile bir düzgün beşgenin içine yazılmış $A$ sayısının değerinin toplamı $46$ olduğuna göre, $A$ pozitif tam sayısı kaçtır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Değeri 3 olan seçenektir.

Doğru cevap olan 3 tek sayısı için işlemler sırasıyla uygulandığında: Karenin içindeki 3 sayısı için

[3]_4 = (4-1) \cdot 3 + 4 = 13

elde edilir. 13 tek sayı olduğu için üçgenin içindeki 13 sayısı için

[13]_3 = (3-1) \cdot 13 + 3 = 29

bulunur. Beşgenin içindeki 3 sayısı için ise

[3]_5 = (5-1) \cdot 3 + 5 = 17

elde edilir. Bu iki değer toplandığında

29 + 17 = 46

eşitliği sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

A'nın teklik-çiftlik durumuna göre karenin içindeki işlem olan

[A]_4

ifadesinin alabileceği değerleri belirleme.

Eğer

A

çift ise

[A]_4 = 4A - 3

olur. Eğer

A

tek ise

[A]_4 = 3A + 4

olur.

Karenin kenar sayısı

n=4

olduğundan, tanımlanan kurallara göre

A

'nın paritesine uygun formül seçilir.

2

[A]_4

ifadesinin sonucunun teklik-çiftlik durumunu analiz etme.

A

çift olduğunda

4A - 3

tektir.

A

tek olduğunda

3A + 4

tektir. Dolayısıyla her iki durumda da

[A]_4

kesinlikle bir tek sayıdır.

Bir sonraki adımda dıştaki üçgen (

n=3

) işlemini uygulayabilmek için içerideki değerin tek mi çift mi olduğunu bilmemiz gerekir.

3

[ [A]_4 ]_3

ifadesini tek sayı kuralına göre açma.

[ [A]_4 ]_3 = (3-1) \cdot [A]_4 + 3 = 2 \cdot [A]_4 + 3

olur.

[A]_4

sonucu her durumda tek sayı çıktığı için, üçgen (

n=3

) sembolünün kuralındaki tek sayı formülü uygulanır.

4

Denklemi

A

'nın teklik-çiftlik durumlarına göre iki ayrı vaka olarak inceleme ve çözme.

Durum 1:

A

çift olsun.

[A]_4 = 4A-3 \implies [ [A]_4 ]_3 = 2(4A-3)+3 = 8A-3

olur. Beşgen (

n=5

) için çift sayı kuralıyla

[A]_5 = 5A-4

olur. Toplam:

(8A-3) + (5A-4) = 13A - 7 = 46 \implies 13A = 53

(tam sayı çözümü yoktur). Durum 2:

A

tek olsun.

[A]_4 = 3A+4 \implies [ [A]_4 ]_3 = 2(3A+4)+3 = 6A+11

olur. Beşgen (

n=5

) için tek sayı kuralıyla

[A]_5 = 4A+5

olur. Toplam:

(6A+11) + (4A+5) = 10A + 16 = 46 \implies 10A = 30 \implies A = 3

olur.

3

tek sayı olduğundan bu çözüm geçerlidir.

Her iki durumu da analiz ederek matematiksel olarak tutarlı ve tam sayı olan tek çözüme ulaşmak gerekir.

Key Concept

Şekil ile Tanımlanmış Operatörler ve Parite Koşullu İşlemler

Hints

1

İç içe geçmiş geometrik şekillerde işlemleri yapmaya en içteki şekilden (kareden) başlayın.

2

A

sayısının tek mi çift mi olduğunu bilmediğiniz için her iki olasılığı da ayrı ayrı değerlendirmeniz gerekir. Ancak en içteki işlemin sonucu (

[A]_4

) her iki durumda da tek sayı çıkacaktır.

3

A

sayısının tek olduğunu varsayarak kare (

n=4

) kuralını uygulayın. Çıkan tek sayı sonucuna üçgen (

n=3

) kuralını ve beşgen (

n=5

) için tek olan

A

'ya tek kuralını uygulayıp denklemi

10A + 16 = 46

olarak kurun.

Practice More

Benzer şekilde üç nested şekilden oluşan ve parite yerine 3 ile bölümünden kalan kurallarına dayanan operatör sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi teorik olarak çözmek yerine seçeneklerdeki değerleri (2, 3, 4, 5, 6) doğrudan denklemde yerine koyup parite kurallarına dikkat ederek test edebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 2335Question →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x > 0

için

f(2x) = x \cdot f(x) + 1

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(1) = 3$ olduğuna göre, $f(4)$ değeri kaçtır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Fonksiyonun verilen kuralı adım adım uygulanarak f(4) değeri 9 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon kuralında önce x = 1 yazılarak f(2) = 4 elde edilir. Ardından x = 2 yazılarak f(4) = 2 * f(2) + 1 = 9 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen f(2x) = x * f(x) + 1 eşitliğinde x yerine 1 yazarak f(2) değerini bulun.

f(2) = 1 * f(1) + 1 = 1 * 3 + 1 = 4

f(4) değerine ulaşmak için öncelikle f(2) değerini bulmamız gerekir.

2

Bulunan f(2) = 4 değerini kullanarak eşitlikte x yerine 2 yazın ve f(4) değerini hesaplayın.

f(4) = 2 * f(2) + 1 = 2 * 4 + 1 = 9

İstenen f(4) değerini elde etmek için kuralı ikinci kez uygularız.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve ardışık yerine koyma yöntemi.

Hints

1

İstenen f(4) değerine doğrudan ulaşmak yerine, verilen f(1) değerini kullanarak adım adım ilerlemeyi deneyin.

2

Verilen f(2x) = x * f(x) + 1 eşitliğinde x yerine sırasıyla hangi değerleri yazmanız gerektiğini belirleyin. İlk olarak x = 1 yazarak f(2) değerini bulabilirsiniz.

3

x = 1 için f(2) = 4 bulduktan sonra, f(4) değerine ulaşmak için aynı denklemde x yerine 2 yazmanız gerekir.

Practice More

Benzer şekilde tanımlanan f(3x) = x^2 * f(x) - 2 tarzı fonksiyonlarda değer bulma sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, fonksiyonun genel terimi araştırılabilir ancak bu tarz sorularda doğrudan ardışık yerine koyma yöntemi en hızlı ve güvenli yoldur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2336Question →

Analitik düzlemde $3x - 4y + 7 = 0$ ve $3x - 4y - 8 = 0$ paralel doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3

15

\frac{3}{5}

1

5

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Paralel doğrular arasındaki uzaklık 3 birimdir.

Verilen iki doğrunun katsayıları eşit olduğundan (

A=3

,

B=-4

), doğrular arasındaki uzaklık formülü olan

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

doğrudan uygulanır. Formülde değerler yerine yazıldığında

d = \frac{|7 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3

birim bulunur. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.

Step-by-Step Solution

1

Paralel doğruların denklemlerindeki katsayıları belirleme.

A = 3

,

B = -4

,

C_1 = 7

ve

C_2 = -8

Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için katsayıların doğru tespit edilmesi gerekir.

2

Paralel doğrular arası uzaklık formülünü yazma.

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Paralel iki doğrunun birbirine olan dik uzaklığını veren genel formül budur.

3

Belirlenen katsayıları formülde yerine yazarak hesaplama yapma.

d = \frac{|7 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3

Formülün sonucunda elde edilen değer iki doğru arasındaki en kısa (dik) uzaklığı verir.

Key Concept

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, doğruların sabit terimlerinin farkının mutlak değerinin, değişkenlerin katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.

Hints

1

Paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun

x

ve

y

katsayılarının eşit olduğundan emin olun.

2

Denklemlerde

A=3

ve

B=-4

'tür. Sabit terimler ise

C_1 = 7

ve

C_2 = -8

'dir. Uzaklık formülü

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

şeklindedir.

Estimated Time:45s

Question 2337Question →

Analitik düzlemde, köşelerinin koordinatları $A(2, 9)$ , $B(-1, 5)$ ve $C(-6, 3)$ olan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir.

Buna göre, bu üçgenin $A$ köşesinden geçen iç açıortay doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x - y + 11 = 0

x + y - 11 = 0

x - y + 7 = 0

4x - 3y + 19 = 0

16x - 19y + 139 = 0

Show answer & explanation

Answer: $x - y + 7 = 0$

Answer

A köşesinden geçen iç açıortay doğrusunun denklemi

x - y + 7 = 0

şeklindedir.

İç açıortay teoremi kullanılarak

BC

kenarı üzerindeki kesim noktası olan

D

noktasının koordinatları

D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)

olarak bulunur.

A(2,9)

ve

D

noktalarından geçen doğrunun eğimi

m=1

olarak hesaplanır. Bu eğim ve

A

noktası kullanılarak yazılan doğru denklemi

x - y + 7 = 0

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin

AB

ve

AC

kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.

AB = 5

birim ve

AC = 10

birim olarak bulunur.

İç açıortay teoremi gereği, açıortayın karşı kenarı böldüğü oran, komşu kenarların uzunlukları oranına eşittir.

2

Açıortayın

BC

kenarını kestiği

D(x_D, y_D)

noktasının koordinatlarını içten bölen nokta formülüyle bulun.

D

noktasının koordinatları

D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)

olarak elde edilir.

AB/AC = 5/10 = 1/2

olduğundan,

D

noktası

BC

segmentini

BD/DC = 1/2

oranında böler.

3

A(2, 9)

ve

D\left(-\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)

noktalarından geçen doğrunun eğimini (

m

) hesaplayın.

Doğrunun eğimi

m = 1

olarak hesaplanır.

Doğru denklemini yazmak için öncelikle doğrunun eğimini belirlemek gerekir.

4

Eğimi

m = 1

olan ve

A(2, 9)

noktasından geçen doğrunun denklemini

y - y_1 = m(x - x_1)

formülüyle yazın.

y - 9 = 1(x - 2) \implies x - y + 7 = 0

denklemi elde edilir.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart formül uygulanır.

Key Concept

İç açıortay teoremi yardımıyla oran tespiti, doğru parçasını belirli oranda bölen nokta koordinatları ve eğimi ile bir noktası bilinen doğru denkleminin oluşturulması.

Hints

1

Öncelikle üçgenin

AB

ve

AC

kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla hesaplayın.

2

İç açıortay teoremini kullanarak açıortayın

BC

kenarını kestiği

D

noktasının bu kenarı hangi oranda (

BD/DC

) böldüğünü bulun ve

D

noktasının koordinatlarını belirleyin.

3

A(2,9)

ve bulduğunuz

D

noktasının koordinatlarını kullanarak iki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplayın ve ardından doğru denklemi formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer analitik yöntemleri kullanarak bir üçgenin dış açıortay doğrusunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın üçgenin

AB

ve

AC

kenarlarını taşıyan doğrulara olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.

AB

ve

AC

doğrularının denklemleri yazılıp, noktaların doğrulara olan uzaklık formülleri eşitlenerek de açıortay denklemi elde edilebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 2338Question →

$AB$ , $BC$ ve $CA$ iki basamaklı doğal sayılardır.

AB + BC + CA = 132

olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı üç basamaklı $ABC$ doğal sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

693

783

792

801

808

Show answer & explanation

Answer: 792

Answer

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 792 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 792 değeri, denklem çözümlemesinden elde edilen

A+B+C=12

eşitliğinden yola çıkılarak, basamak kısıtları dahilinde oluşturulabilecek en büyük üç basamaklı sayı olan 921 ile en küçük üç basamaklı sayı olan 129'un farkıdır.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı sayıların çözümlemesini yapın.

10A + B + 10B + C + 10C + A = 132

ifadesinden

11(A + B + C) = 132

ve buradan

A + B + C = 12

elde edilir.

Rakamların toplamını belirlemek amacıyla basamak çözümlemesi yapılır.

2

AB

,

BC

ve

CA

sayılarının iki basamaklı olma şartını ve rakam kısıtlarını belirleyin.

A, B, C

rakamları iki basamaklı sayıların onlar basamağında yer aldığından sıfır olamaz (

A \neq 0

,

B \neq 0

,

C \neq 0

). Ayrıca

ABC

sayısının rakamları birbirinden farklı olmalıdır.

Tanım kümesine uygun basamak koşullarını ve rakamların benzersizliği şartını uygulamak.

3

Koşullara uygun en büyük

ABC

sayısını oluşturun.

En büyük değer için yüzler basamağı

A = 9

seçilir. Buradan

B + C = 3

kalır. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olması gerektiği için

B = 2

ve

C = 1

seçilir. En büyük sayı

921

olur.

Yüzler basamağını en yüksek tutarak sayının değerini maksimize etmek.

4

Koşullara uygun en küçük

ABC

sayısını oluşturun.

En küçük değer için yüzler basamağı

A = 1

seçilir. Buradan

B + C = 11

kalır. Onlar basamağındaki

B

değerini en küçük yapmak için birler basamağındaki

C

rakamı maksimum (

C = 9

) seçilir. Böylece

B = 2

olur. En küçük sayı

129

olur.

Yüzler basamağını en düşük tutarak ve basamak kısıtlarına uyarak sayının değerini minimize etmek.

5

Bulunan en büyük ve en küçük değerlerin farkını hesaplayın.

921 - 129 = 792

elde edilir.

Soruda talep edilen fark değerine ulaşmak.

Key Concept

Sayı basamakları çözümlemesi ve basamak kısıtları (onlar basamağının sıfır olamaması kuralı)

Question 2339Question →

Bir dil kursundaki öğrencilerin İngilizce ve Almanca dillerini bilme durumlarına göre dağılımı aşağıdaki gibidir:

- Öğrencilerin $12$ 'si yalnız İngilizce,
- $8$ 'i yalnız Almanca,
- $6$ 'sı her iki dili de bilmektedir.
- $4$ 'ü ise bu iki dili de bilmemektedir.

Buna göre, bu kurstan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce bildiği bilindiğine göre, Almanca da bilme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{3}{7}

\frac{3}{10}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{3}$

Answer

İngilizce bildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da bilme olasılığı 1/3'tür.

Seçilen öğrencinin İngilizce bildiği bilindiğine göre örnek uzayımız sadece İngilizce bilen öğrencilerden oluşur. İngilizce bilen öğrenci sayısı 12 + 6 = 18'dir. Bu 18 öğrenciden Almanca da bilenler (yani her iki dili bilenler) 6 kişidir. İstenen olasılık 6/18 yani sadeleştirildiğinde 1/3 olur.

Step-by-Step Solution

1

Koşullu olasılık için yeni örnek uzayın (paydanın) belirlenmesi

İngilizce bilen öğrenci sayısı = 18

Seçilen öğrencinin İngilizce bildiği verildiği için örnek uzay sadece İngilizce bilen öğrencilerden oluşur. Bu sayı, yalnız İngilizce bilenler (12) ile her iki dili de bilenlerin (6) toplamıdır.

2

İstenen durumun (payın) belirlenmesi

Hem İngilizce hem Almanca bilen öğrenci sayısı = 6

İngilizce bilen bu öğrencinin Almanca da bilmesi istendiği için, her iki dili de bilen ortak gruptaki öğrencilerin sayısı aranır.

3

Olasılık değerinin hesaplanması

6 / 18 = 1/3

İstenen durum sayısının, koşulun sınırladığı örnek uzaydaki eleman sayısına bölünmesiyle olasılık değeri elde edilir.

Key Concept

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula bağlı olarak daralır ve olasılık hesabı bu yeni kısıtlanmış örnek uzay üzerinden yapılır.

Estimated Time:1m 0s

Question 2340Question →

Bir grafik tasarım programında, koordinatları $A(2, -1)$ ve $B(14, 8)$ olan iki nokta bir doğru parçasıyla birleştirilmiştir. Bu doğru parçası üzerinde, $A$ noktasına olan uzaklığı $B$ noktasına olan uzaklığının yarısı olacak şekilde bir $C$ noktası belirleniyor. Buna göre, $C$ noktasının koordinatları toplamı kaçt��r?

8

15

-6

11

-20

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

C noktasının koordinatları toplamı 8'dir.

Koordinatları belirlenen C noktası, A ve B noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde olup A'ya olan uzaklığı k ise B'ye olan uzaklığı 2k'dir. Toplam 3k mesafede x bileşeni 12 birim arttığından k kadar mesafede 4 birim artarak 6 olur; y bileşeni 9 birim arttığından k kadar mesafede 3 birim artarak 2 olur. Koordinatları (6, 2) olan C noktasının koordinatları toplamı 8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Doğru parçası üzerindeki oran ilişkisini belirleme

C

noktası

[AB]

üzerinde olduğundan içten bölen bir noktadır.

|AC| = k

ve

|BC| = 2k

alınırsa

|AB| = 3k

olur.

Soruda

C

'nin

A

'ya uzaklığının

B

'ye uzaklığının yarısı olduğu belirtilmiştir.

2

x-koordinatındaki artış miktarını hesaplama

x

koordinatı

A(2)

'den

B(14)

'e

3k

mesafede

12

birim artmıştır. Buradan

k

mesafedeki artış

12 / 3 = 4

birim olarak bulunur.

C

'nin x-koordinatı:

x_C = 2 + 4 = 6

olur.

Doğru parçası üzerindeki koordinat değişimi doğrusal ve mesafe ile orantılıdır.

3

y-koordinatındaki artış miktarını hesaplama

y

koordinatı

A(-1)

'den

B(8)

'e

3k

mesafede

9

birim artmıştır. Buradan

k

mesafedeki artış

9 / 3 = 3

birim olarak bulunur.

C

'nin y-koordinatı:

y_C = -1 + 3 = 2

olur.

y-koordinatı da benzer şekilde doğrusal ve orantılı olarak değişir.

4

C noktasının koordinatları toplamını bulma

C(6, 2)

noktasının koordinatları toplamı

6 + 2 = 8

olur.

Soruda bizden istenen değer

C

noktasının koordinatları toplamıdır.

Key Concept

Analitik düzlemde bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarının bulunması.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method