All practice questions

Question 2301Question →

Bir torbada $1$ 'den $9$ 'a kadar numaralandırılmış $9$ kart bulunmaktadır. Kaan, Leyla ve Murat bu torbadan sırasıyla üçer kart çekmiştir. Kartların üzerindeki sayılarla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Leyla'nın çektiği kartlardaki sayıların hepsi ardışık çift say��lardır.
* Murat'ın çektiği kartlardaki sayıların çarpımı bir tek sayıdır.
* Kaan'ın çektiği kartlardaki sayıların toplamı bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Kaan

8

numaralı kartı çekmiştir.

Murat

5

numaralı kartı çekmiştir.

Leyla

6

numaralı kartı çekmiştir.

Kaan'ın çektiği kartların ikisi çift, biri tek sayıdır.

Leyla

2

numaralı kartı çekmiştir.

Show answer & explanation

Answer: Leyla $6$ numaralı kartı çekmiştir.

Answer

Leyla'nın 6 numaralı kartı çekmiş olması

Leyla'nın çektiği kartlar ardışık çift sayılardır. Torbadaki çift sayılar

\{2, 4, 6, 8\}

olduğundan, seçilebilecek ardışık üçlü gruplar yalnızca

\{2, 4, 6\}

ve

\{4, 6, 8\}

olabilir. Her iki grupta da

6

sayısı ortak olarak yer aldığından, Leyla'nın

6

numaralı kartı çekmiş olduğu kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Torbadaki kartları tek ve çift olma durumlarına göre ayıralım.

1

'den

9

'a kadar olan sayılardan

\{1, 3, 5, 7, 9\}

kümesindeki

5

sayı tek,

\{2, 4, 6, 8\}

kümesindeki

4

sayı ise çifttir.

Kartların teklik ve çiftlik özelliklerini belirleyerek oyuncuların çekebileceği olası kart gruplarını analiz etmek.

2

Murat'ın çektiği kartların türünü belirleyelim.

Murat'ın çektiği

3

kartın çarpımı tek sayı olduğuna göre, bu kartların tamamı tek sayı olmalıdır. Yani Murat

3

adet tek sayı kartı almıştır.

Çarpımın sonucunun tek sayı olması için tüm çarpanların tek sayı olması zorunludur.

3

Leyla'nın çektiği kartları inceleyelim.

Leyla'nın çektiği kartların tamamı ardışık çift sayılardır. Çift sayılar

\{2, 4, 6, 8\}

olduğundan, ardışık

3

çift sayı içeren gruplar yalnızca

\{2, 4, 6\}

veya

\{4, 6, 8\}

olabilir. Her iki durumda da

6

numaralı kart Leyla'nın grubunda yer alır.

Mevcut çift sayılarla yazılabilecek ardışık üçlü grupların her ikisinde de ortak olan tek sayı

6

'dır.

4

Kaan'ın kartlarını ve toplamını analiz ederek doğruluğunu teyit edelim.

Toplam

4

çift sayıdan

3

'ünü Leyla,

5

tek sayıdan

3

'ünü ise Murat almıştır. Geriye kalan

1

çift ve

2

tek sayı kartı Kaan'a kalır. Kaan'ın kartlarının toplamı (Çift + Tek + Tek = Çift) olacağından verilen kuralla tutarlıdır. Leyla'nın seçimine göre Kaan'ın elindeki çift sayı

2

veya

8

olabilir.

Tüm kartların dağıtıldığını teyit etmek ve Kaan'ın elindeki kartların toplamının çift sayı kuralını sağladığını doğrulamak.

Key Concept

Mantıksal Akıl Yürütme ve Tek-Çift Sayı Özellikleri

Estimated Time:1m 30s

Question 2302Question →

Terimleri 3'er 3'er artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin terim sayısı çifttir. Bu dizinin ilk yarısındaki terimlerin toplamı $A$ , ikinci yarısındaki terimlerin toplamı $B$ 'dir.

B - A = 108

Bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamı $119$ olduğuna göre, dizinin en küçük terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 43

Answer

Dizinin en küçük terimi 43'tür.

Dizinin ilk yarısındaki terimler ile ikinci yarısındaki karşılık gelen terimlerin birebir farklarının toplamı

3n^2

formülünü verir. Buradan

3n^2 = 108 \implies n = 6

bulunur ve toplam terim sayısı

12

'dir. En küçük terim

a_1

, en büyük terim ise

a_{12} = a_1 + 33

olup, toplamları

2a_1 + 33 = 119 \implies a_1 = 43

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin terim sayısını

2n

olarak tanımlayıp iki yarıya ayırmak.

İlk yarı

a_1, a_2, \dots, a_n

ve ikinci yarı

a_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n}

şeklinde

n

elemanlı iki gruba ayrılır.

Terim sayısının çift olduğu belirtildiği için iki eşit gruba ayırarak toplam farkını analiz etmek gerekir.

2

Terimler arasındaki fark ilişkisinden yararlanarak grup toplamları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.

Her

i

için

a_{n+i} - a_i = 3n

olup, toplam farkı

B - A = 3n^2

olarak elde edilir.

Ardışık terimlerin artış miktarı 3 olduğundan, ikinci yarıdaki her terim ilk yarıdaki simetriğinden tam olarak

n

terim sonrasıdır ve aradaki fark

3n

'dir.

3

3n^2 = 108

denklemini çözerek terim sayısını bulmak.

n = 6, toplam terim sayısı

2n = 12

olarak bulunur.

Dizinin en büyük terimine ulaşmak için toplam terim sayısının bulunması şarttır.

4

En büyük terimi en küçük terim cinsinden ifade etmek.

a_{12} = a_1 + 33

olur.

12 terimli ve artış miktarı 3 olan bir dizide son terim ile ilk terim arasında 11 adet artış adımı (

11 \times 3 = 33

) vardır.

5

Verilen toplam değerini kullanarak en küçük terimi hesaplamak.

a_1 + (a_1 + 33) = 119 \implies 2a_1 = 86 \implies a_1 = 43

bulunur.

En büyük ve en küçük terimlerin toplamı 119 olarak verilmiştir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.

Question 2303Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^2 - x + 1

g(x) = 2x + m

fonksiyonları veriliyor.

(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)

eşitliğini sağlayan yalnızca bir tane

x

gerçel sayısı olduğuna göre,

m

kaçtır?

-3

-2

-1

0

1

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

m değeri -1 olmalıdır.

Verilen f ve g fonksiyonları bileşke işlemine tabi tutulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denkleminin yalnızca bir kökünün olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek gerçel sayı m = -1 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

(f o g)(x) fonksiyonunu bulmak için f(x) ifadesinde x yerine g(x) yazılır.

(f o g)(x) = (2x + m)^2 - (2x + m) + 1 = 4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1

Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.

2

(g o f)(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) ifadesinde x yerine f(x) yazılır.

(g o f)(x) = 2(x^2 - x + 1) + m = 2x^2 - 2x + 2 + m

İkinci bileşke fonksiyonu elde etmek.

3

Eşitliği kullanarak ikinci dereceden tek değişkenli bir denklem oluşturulur.

4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1 = 2x^2 - 2x + 2 + m => 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0

x değerlerini bulabilmek için denklemi standart forma getirmek.

4

Denklemin yalnızca bir tane gerçel kökü olması için diskriminantı (Delta) sıfıra eşitlenir.

Delta = (4m)^2 - 4 * 2 * (m^2 - 2m - 1) = 0 => 16m^2 - 8(m^2 - 2m - 1) = 0 => 8m^2 + 16m + 8 = 0 => m^2 + 2m + 1 = 0 => (m + 1)^2 = 0 => m = -1

İkinci dereceden denklemlerde tek kök bulunması (çakışık kök) şartını uygulamak.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların hesabı ve ikinci dereceden denklemlerde tek kök olma (diskriminantın sıfır olması) şartının bir arada kullanılması.

Alternative Method

Eşitlik düzenlendikten sonra elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle de çözülebilir. İfade 2(x + m)^2 - m^2 - 2m - 1 = 0 haline getirilir. Buradan (x + m)^2 = (m^2 + 2m + 1)/2 elde edilir. Tek bir x çözümünün olması için sağ taraf sıfır olmalıdır. Buradan m^2 + 2m + 1 = 0 ve m = -1 bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 2304Question →

$x$ ve $y$ aralarında asal pozitif tam sayılardır.

\text{EBOB}(x, y) = 1

olduğu bilindiğine göre, ardışık iki tek sayı olan

x

ve

y

için

3x + 2y = 69

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu sayıların en küçük ortak katı olan $\text{EKOK}(x, y)$ değeri kaçtır?

1

65

143

195

390

Show answer & explanation

Answer: 195

Answer

195

Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen ardışık tek sayılar 13 ve 15'tir. Bu sayılar ortak bir asal bölene sahip olmadıkları için aralarında asaldır ve en büyük ortak bölenleri (EBOB) 1'dir. Aralarında asal olan iki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların çarpımına eşit olduğundan, aranan değer 13 ile 15'in çarpımı olan 195 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ardışık iki tek sayı olan

x

ve

y

arasındaki ilişkiyi yazma

y = x + 2

veya

x = y + 2

Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.

2

y = x + 2

durumunu verilen denklemde yerine yazıp çözme

3x + 2(x + 2) = 69 \implies 5x + 4 = 69 \implies 5x = 65 \implies x = 13

. Buradan

y = 15

bulunur.

x

ve

y

pozitif tam sayı değerlerini bulmak için denklem çözülür.

3

x = y + 2

durumunu kontrol etme

3(y + 2) + 2y = 69 \implies 5y + 6 = 69 \implies 5y = 63

. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.

Olası diğer ardışıklık durumunun geçerliliği test edilir.

4

Bulunan

x = 13

ve

y = 15

sayılarının aralarında asal olup olmadığını denetleme

13 ve 15 sayılarının 1 dışında ortak böleni yoktur, yani

\text{EBOB}(13, 15) = 1

şartı sağlanır.

Soruda verilen aralarında asal olma ve EBOB koşullarının doğrulanması gerekir.

5

Sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama

\text{EKOK}(13, 15) = 13 \times 15 = 195

Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.

Key Concept

Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni 1'e, en küçük ortak katı ise bu sayıların çarpımına eşittir. Kendileri asal olmayan sayılar da aralarında asal olabilir.

Question 2305Question →

Bir gruptaki kişilerden $18$ 'i futbol, $14$ 'ü basketbol oynamaktadır. Bu grupta her iki sporu da oynayan $5$ kişi olduğuna göre, futbol veya basketbol sporlarından en az birini oynayan toplam kaç kişi vardır?

22

27

32

37

13

Show answer & explanation

Answer: $27$

Answer

Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı

27

'dir.

Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı, bu iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir. Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü

s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B)

şeklindedir. Verilen değerler formülde yerine yazıldığında

18 + 14 - 5 = 27

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Futbol oynayanların kümesini

F

, basketbol oynayanların kümesini

B

olarak belirleyip eleman sayılarını yazalım.

s(F) = 18

,

s(B) = 14

ve her iki sporu oynayanlar

s(F \cap B) = 5

olur.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel küme sembolleriyle ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

En az bir sporu oynayanların sayısını bulmak için birleşim kümesi formülünü uygulayalım:

s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B)

s(F \cup B) = 18 + 14 - 5 = 27

olarak bulunur.

Her iki sporu da oynayan kişilerin toplam hesaplamada iki kez sayılmasını önlemek için kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmamız gerekir.

Key Concept

İki kümenin birleşiminin eleman sayısının hesaplanması

Question 2306Question →

Bir restoranda;
- $3$ farklı çorba,
- $4$ farklı ana yemek,
- $3$ farklı tatlı
seçeneği bulunmaktadır.

Bir müşteri bu menüden en az bir, en fazla iki farklı kategoriden birer ürün seçerek bir sipariş oluşturmak istemektedir. Ancak, ana yemek seçtiği her durumda mutlaka çorba da seçmek zorundadır.

Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

19

27

36

39

43

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Müşteri siparişini 27 farklı şekilde oluşturabilir.

Müşterinin seçebileceği durumlar kategorilere göre ayrılır: Yalnızca bir kategori seçildiğinde sadece çorba (

3

durum) veya sadece tatlı (

3

durum) seçilebilir (toplam

6

durum). Tam iki kategori seçildiğinde ise çorba ve ana yemek (

3 \times 4 = 12

durum) veya çorba ve tatlı (

3 \times 3 = 9

durum) seçilebilir (toplam

21

durum). Diğer durumlar koşullarla çelişmektedir. Toplamda

6 + 21 = 27

farklı sipariş verilebilir.

Step-by-Step Solution

1

Tek kategori seçilen durumları hesaplayın.

Sadece çorba seçilirse

3

durum, sadece tatlı seçilirse

3

durum vardır. Sadece ana yemek seçilemez çünkü ana yemek seçildiğinde çorba da seçilmelidir. Toplam:

3 + 3 = 6

durum.

Müşteri en az bir kategori seçmek zorundadır ve ana yemek tek başına seçildiğinde çorba kuralını ihlal eder.

2

İki kategori seçilen durumları hesaplayın.

Çorba ve ana yemek seçilirse

3 \times 4 = 12

durum; çorba ve tatlı seçilirse

3 \times 3 = 9

durum vardır. Ana yemek ve tatlı seçilirse çorba da seçilmesi gerekeceğinden kategori sayısı üçe çıkar ve kural ihlal edilir. Toplam:

12 + 9 = 21

durum.

Müşteri en fazla iki kategori seçebilir ve ana yemek seçimi her zaman çorbayı gerektirir.

3

Elde edilen tüm durumları toplayın.

6 + 21 = 27

durum.

Farklı kategori seçim adetleri ayrık durumlar oluşturduğu için toplama ilkesi uygulanır.

Key Concept

Saymanın toplama ve çarpma kurallarının koşullu durumlara uygulanması.

Question 2307Question →

$x$ ve $y$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

\frac{x!}{3^y}

ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, $y$ nin alabileceği en büyük değer $14$ ise $x$ in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

61

84

93

122

126

Show answer & explanation

Answer: 93

Answer

Koşulu sağlayan x değerlerinin toplamı 93'tür.

Verilen ifadenin tam sayı olması ve y'nin en büyük değerinin 14 olması, x! içindeki 3 asal çarpanı sayısının tam olarak 14 olmasını gerektirir. Legendre formülü yardımıyla bu şartı sağlayan en küçük x değeri 30 olarak bulunur. Faktöriyelli ifadede 3 çarpanı sayısı ancak 33 sayısına ulaşıldığında artacağı için x değerleri 30, 31 ve 32 olabilir. Bu değerlerin toplamı da 93 yapar.

Step-by-Step Solution

1

İfadenin çift tam sayı olma koşulunun analiz edilmesi.

y \le v_3(x!)

ve

x \ge 2

olmalıdır.

\frac{x!}{3^y}

ifadesinin tam sayı olması için payın paydadaki 3 çarpanlarını sadeleştirebilmesi gerekir.

x!

içindeki 3 çarpanı sayısı

v_3(x!)

ile gösterilirse,

y \le v_3(x!)

olmalıdır.

y

nin alabileceği en büyük değer 14 olduğundan

v_3(x!) = 14

olmalıdır. Sonucun çift olması için de

x \ge 2

olması yeterlidir.

2

Legendre formülü kullanılarak

v_3(x!) = 14

denkleminin çözülmesi.

x = 30

için

v_3(30!) = 14

bulunur.

v_3(x!) = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + \lfloor \frac{x}{9} \rfloor + \lfloor \frac{x}{27} \rfloor + \dots

formülü uygulanarak sınır değer tespit edilir.

x = 30

için bu değer

\lfloor 30/3 \rfloor + \lfloor 30/9 \rfloor + \lfloor 30/27 \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14

olur.

3

Koşulu sağlayan tüm

x

değerlerinin belirlenmesi.

x \in \{30, 31, 32\}

olarak bulunur.

x = 29

için çarpan sayısı 13'tür ve yetersizdir.

x = 33

için çarpan sayısı 15 olur ve koşulu aşar. Dolayısıyla

x

değerleri 30, 31 ve 32 olabilir.

4

Değerlerin toplamının hesaplanması.

30 + 31 + 32 = 93

x

in alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulduğu için bu değerler toplanır.

Key Concept

Faktöriyel kavramı ve Legendre formülü yardımıyla bir faktöriyelli ifadedeki asal çarpan üssünün bulunması.

Hints

1

Bir ifadenin çift tam sayı olması için öncelikle tam sayı olması gerekir. Paydanın payı tam bölmesi şartını düşünün.

2

x!

sayısının içindeki 3 asal çarpanı sayısını bulmak için Legendre formülünü kullanabilirsiniz.

3

v_3(x!) = 14

koşulunu sağlayan en küçük

x

değerini bulduktan sonra, bu değerin ardışığı olan ve 3'ün yeni bir katı olmayan diğer sayıları da kontrol edin.

Practice More

Benzer mantıkla,

x!

sayısının sonundan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 asal çarpanı sayısının Legendre formülüyle nasıl hesaplandığı sorusunu çözebilirsiniz.

Alternative Method

Legendre formülünü doğrudan kullanmak yerine, 14 adet 3 çarpanının hangi faktöriyel değerlerinde biriktiğini tek tek çarpanları analiz ederek de bulabilirsiniz (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sayılarının her birinin içindeki 3 çarpanlarını toplayarak).

Estimated Time:2m 0s

Question 2308Question →

Dik koordinat düzleminde, II. bölgede bulunan bir $A(a, b)$ noktası ile IV. bölgede bulunan bir $B(c, d)$ noktası veriliyor. $A$ ve $B$ noktalarının orta noktası $y$ -ekseninin pozitif kısmında olup orijine olan uzaklığı $2$ birimdir. $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık $10$ birim ve bu noktaların tüm koordinatları birer tam sayı olduğuna göre, $A$ noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

1

2

4

6

8

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

A noktasının koordinatları toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.

Doğru seçenekte belirtilen değer, A noktasının koordinatları toplamının alabileceği olası değerler olan 3 ve 1 sayılarının toplamıdır. Analitik düzlemdeki bölge koşulları ve uzaklık denklemi tam sayılar kümesinde çözüldüğünde yalnızca bu iki durumun geçerli olduğu görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Orta noktanın koordinatlarını belirleme

Orta nokta

M(0, 2)

olarak bulunur.

Orta nokta

y

-ekseninin pozitif kısmında ve orijine

2

birim uzaklıkta olduğundan apsisi

0

, ordinatı ise

2

olmalıdır.

2

A(a, b)

ve

B(c, d)

koordinatları arasındaki ilişkileri yazma

c = -a

ve

d = 4-b

bağıntıları elde edilir.

Orta nokta formülünden,

\frac{a+c}{2} = 0 \implies c = -a

ve

\frac{b+d}{2} = 2 \implies d = 4-b

eşitlikleri yazılır.

3

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulama

a^2 + (b-2)^2 = 25

denklemi elde edilir.

A

ve

B

noktaları arasındaki uzaklık

10

birim olduğundan

AB = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} = 10 \implies (c-a)^2 + (d-b)^2 = 100

olur.

c = -a

ve

d = 4-b

değerleri yerine yazıldığında

(-2a)^2 + (4-2b)^2 = 100 \implies 4a^2 + 4(2-b)^2 = 100 \implies a^2 + (b-2)^2 = 25

elde edilir.

4

Bölge sınırlandırmalarını ve tam sayı çözümlerini analiz etme

A(-3, 6)

ve

A(-4, 5)

noktaları bulunur.

A(a, b)

II. bölgede olduğundan

a < 0

ve

b > 0

olmalıdır.

B(c, d)

IV. bölgede olduğundan

c > 0

ve

d < 0

olmalıdır.

c = -a

olduğundan

a < 0

ise

c > 0

şartı kendiliğinden sağlanır.

d = 4-b < 0

olması için

b > 4

şart�� sağlanmalıdır.

a^2 + (b-2)^2 = 25

denkleminde

a < 0

ve

b > 4

olan tam sayı çözümleri incelendiğinde:
-

a = -3

için

(b-2)^2 = 16 \implies b-2 = 4 \implies b = 6

(

A(-3, 6)

ve

B(3, -2)

noktaları oluşur, koşullara uygundur).
-

a = -4

için

(b-2)^2 = 9 \implies b-2 = 3 \implies b = 5

(

A(-4, 5)

ve

B(4, -1)

noktaları oluşur, koşullara uygundur).
-

a = -5

için

(b-2)^2 = 0 \implies b = 2

olur fakat

b > 4

şartı sağlanmaz.

5

A

noktasının koordinatları toplamını hesaplama

Koordinat toplamlarının alabileceği farklı değerlerin toplamı

3 + 1 = 4

olarak hesaplanır.

A(-3, 6)

noktası için koordinatlar toplamı

-3 + 6 = 3

olur.

A(-4, 5)

noktası için koordinatlar toplamı

-4 + 5 = 1

olur. Bu iki değerin toplamı

3 + 1 = 4

'tür.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve bölgelere göre koordinat işaretlerinin belirlenmesi.

Question 2309Question →

$A$ , $B$ ve $C$ sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere, aşağıdaki ç��karma işlemi verilmiştir:

\begin{array}{rcc} & A & B & 7 \\ - & 2 & C & A \\ \hline & B & 5 & B \end{array}

Buna göre, $A + B + C$ toplamı kaçtır?

10

12

14

15

16

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Doğru cevap 14 değerine eşit olan seçenektir.

Çıkarma işleminde birler basamağından başlandığında

7 - A = B

eşitliği kurulur. Onlar basamağında küçük bir rakamdan büyük bir rakam çıkarıldığı için yüzler basamağından 1 borç alınır. Bu durumda yüzler basamağında kalan değer

A - 1

olur ve

(A-1) - 2 = B \Rightarrow A - B = 3

eşitliği elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde

A = 5

ve

B = 2

bulunur. Onlar basamağında ise komşudan alınan borçla birlikte

10 + B - C = 5 \Rightarrow 12 - C = 5 \Rightarrow C = 7

bulunur. Bulunan

A = 5

,

B = 2

ve

C = 7

değerleri sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır. Buradan toplam

5 + 2 + 7 = 14

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birler basamağındaki çıkarma işlemini analiz etmek.

7 - A = B

veya komşu basamaktan borç alınmışsa

17 - A = B

eşitliği elde edilir.

Çıkarma işlemine her zaman en sağdaki birler basamağından başlanır.

2

Yüzler basamağındaki çıkarma işlemini inceleyerek ödünç alma durumunu belirlemek.

Yüzler basamağındaki çıkarma işlemi

A - 2 = B

şeklindedir. Ancak onlar basamağındaki işlemde (

B - C = 5

) sonucun elde edilebilmesi için yüzler basamağından 1 borç alınmış olması gerekir. Dolayısıyla yüzler basamağında kalan değer

A - 1

olur ve

(A - 1) - 2 = B \Rightarrow A - B = 3

denklemi kurulur.

Onlar basamağındaki çıkarma işleminin ger��ekleştirilebilmesi için solundaki yüzler basamağından borç alınması zorunludur.

3

Bulunan denklemleri ortak çözerek

A

ve

B

rakamların�� bulmak.

A - B = 3

ve birler basamağından borç alınmadığı varsayımıyla kurulan

A + B = 7

denklemleri taraf tarafa toplanırsa

2A = 10 \Rightarrow A = 5

ve

B = 2

bulunur.

Elde edilen iki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin çözümü basamak değerlerini verir.

4

Onlar basamağındaki i��lem yardımıyla

C

rakamını hesaplamak.

Onlar basamağında yüzler basamağından 1 borç alınmıştı, dolayısıyla buradaki değer

10 + B = 12

olur.

12 - C = 5

eşitliğinden

C = 7

olarak bulunur. Tüm bulunan değerler (

A = 5, B = 2, C = 7

) sıfırdan ve birbirinden farklı olma koşulunu sağlar.

Çıkarma işleminin onlar basamağındaki adımını tamamlayarak eksik kalan rakamı bulmak gerekir.

5

İstenen toplamı hesaplamak.

A + B + C = 5 + 2 + 7 = 14

elde edilir.

Bulunan tüm rakamların toplamını bularak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Harf-Rakam Aritmetiği ve Basamaklar Arası Ödünç Alma İlişkileri

Hints

1

Çıkarma işleminde birler basamağından başlayarak

7 - A = B

eşitliğini yazın. Yüzler basamağındaki çıkarma işleminin sonucunun

B

olabilmesi için onlar basamağında bir borç alışverişi olup olmadığını düşünün.

2

Onlar basamağındaki

B - C

işleminin sonucu 5 olduğuna göre,

B

değerinden

C

çıkarılırken yüzler basamağından 1 borç alınmalıdır. Bu durumda yüzler basamağında

A - 1

kalır. Buradan

A - 1 - 2 = B \Rightarrow A - B = 3

denklemini elde edersiniz.

3

Elde ettiğiniz

A - B = 3

ve

A + B = 7

denklemlerini ortak çözerek

A = 5

ve

B = 2

değerlerine ulaşın. Onlar basamağında ise komşudan alınan borçla birlikte

12 - C = 5

işlemini yaparak

C

rakamını bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla çalışan üç basamaklı toplama işleminde verilmeyen harfleri bulma sorularını çözerek basamaklar arası elde taşıma pratiklerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Çıkarma işlemini çözümleme yöntemiyle toplama işlemine dönüştürerek de çözebilirsiniz.

2CA + B5B = AB7

eşitliğini yazarak basamak çözümlemesi yapalım:

(200 + 10C + A) + (100B + 50 + B) = 100A + 10B + 7

250 + 10C + A + 101B = 100A + 10B + 7

243 + 10C + 91B = 99A

Bu eşitlikte birler basamağını incelediğimizde sol tarafın birler basamağının

3 + B

(çünkü

10C

sıfırla biter) olduğunu görürüz. Sağ tarafın birler basamağı ise

9A

ile belirlenir. Rakamları yerine koyarak deneme yaptığımızda

A = 5, B = 2

ve

C = 7

değerleri eşitliği sağlar (

243 + 70 + 182 = 495

ve

99 \times 5 = 495

).

Estimated Time:1m 30s

Question 2310Question →

Birbirinden farklı

a

,

b

ve

c

negatif tam sayıları için

a + b \cdot c = 24

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $a + b + c$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

-11

-15

-17

-19

-25

Show answer & explanation

Answer: -19

Answer

Toplamın alabileceği en büyük değer -19'dur.

Doğru cevaba ulaşmak için

b \cdot c = 24 - a

eşitliğinde

a, b, c

negatif tam sayıları seçilirken toplamı en büyük yapmak amacıyla mutlak değerce en küçük sayılar seçilmelidir.

a = -6

seçildiğinde

b \cdot c = 30

olur ve buradan birbirinden farklı negatif tam sayılar olarak

b = -3

,

c = -10

elde edilir. Bu durumda

a + b + c = -6 + (-3) + (-10) = -19

bulunur ve bu koşulları sağlayan en büyük toplam değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliği düzenleyerek çarpım durumundaki ifadeleri yalnız bırakın.

b \cdot c = 24 - a

elde edilir.

Değişkenlerin alabileceği değerleri analiz etmeyi kolaylaştırmak amacıyla

b \cdot c

ifadesi yalnız bırakılır.

2

a, b

ve

c

negatif tam sayılar olduğu için

b \cdot c

çarpımının işaretini belirleyin.

b < 0

ve

c < 0

olduğundan

b \cdot c > 0

olmalıdır. Buradan

24 - a > 0

ve dolayısıyla

24 + |a| > 24

elde edilir.

Negatif iki sayının çarpımı pozitif olduğu için

b \cdot c

çarpımı 24'ten büyük bir sayı olmalıdır.

3

a + b + c

toplamının en büyük (yani mutlak değerce en küçük) değerini bulmak için uygun tam sayı değerlerini deneyin.

a = -6

seçildiğinde

b \cdot c = 30

olur. Çarpımları 30 olan ve birbirinden farklı negatif tam sayılar

b = -3

ve

c = -10

olarak seçilebilir. Bu durumda toplam

a + b + c = -6 + (-3) + (-10) = -19

olur. Daha küçük mutlak değerli diğer seçenekler (örneğin

a = -2

için

b \cdot c = 26 \implies b=-1, c=-26 \implies

toplam

-29

veya

a = -4

i��in

b \cdot c = 28 \implies b=-2, c=-14 \implies

toplam

-20

) incelendiğinde en büyük değerin

-19

olduğu görülür.

Tanım kümesindeki 'birbirinden farklı negatif tam sayılar' koşulunu sağlayan en büyük toplamı bulmak için.

Key Concept

Negatif tam sayılarda dört işlem kuralları ve değer verme yöntemleri

Hints

1

Negatif iki sayının çarpımının pozitif bir sayı olacağını unutmayın.

2

b \cdot c = 24 - a

eşitliğini elde ettikten sonra,

a

negatif olduğu için

b \cdot c > 24

olmalıdır.

3

b \cdot c

çarpımı 24'ten büyük bir sayı olmalıdır. Toplamı en büyük yapmak için

a, b, c

sayılarını mutlak değerce olabildiğince küçük seçmeye çalışın.

Practice More

Benzer şekilde, pozitif tam sayılar için çarpımın en küçük değerini veya rasyonel sayı kümelerini içeren dört işlem sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Eşitliği sağlayan değerleri denerken,

b \cdot c

çarpımının 24'ten büyük değerlerini (25, 26, 27, 28, 29, 30...) sırayla çarpanlarına ayırarak

a, b, c

tam sayılarının birbirinden farklı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2311Question →

Analitik düzlemde $A(-3, 2)$ ve $B(5, -6)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasını dıştan $\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{3}{5}$ oranında bölen $C$ noktası ile $[AB]$ doğru parçasını içten $\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3}$ oranında bölen $D$ noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

8\sqrt{2}

12\sqrt{2}

14\sqrt{2}

18\sqrt{2}

\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $14\sqrt{2}$

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık

14\sqrt{2}

birimdir.

Doğru cevap olan

14\sqrt{2}

ifadesi, dıştan bölen

C

noktasının koordinatlarının

C(-15, 14)

ve içten bölen

D

noktasının koordinatlarının

D(-1, 0)

olarak doğru bir şekilde tespit edilip, iki nokta arasındaki uzaklık formülü olan

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

bağıntısının hatasız uygulanması sonucu elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

C noktasının konumunu ve koordinat değişim oranını belirlemek.

|CA| / |CB| = 3/5 < 1

olduğundan

C

noktası

[AB]

doğru parçasının dışındadır ve

A

noktasına daha yakındır. Bu durumda noktalar doğrusal olarak

C

-

A

-

B

sırasında yer alır.

|CA| = 3k

ve

|CB| = 5k

dersek,

|AB| = 5k - 3k = 2k

olur.

Dıştan bölme oranını kullanarak doğru üzerindeki parçaların birbirine olan oranını belirlemek.

2

C noktasının koordinatlarını hesaplamak.

A(-3, 2)

ve

B(5, -6)

noktaları arasındaki değişim:

x

koordinatı için

5 - (-3) = 8

artış (

2k = 8 \implies k = 4

),

y

koordinatı için

-6 - 2 = -8

azalış (

2k = -8 \implies k = -4

) olmaktadır.

C

noktası,

A

'dan

3k

kadar geride olduğundan koordinatları;

x_C = -3 - 3(4) = -15

ve

y_C = 2 - 3(-4) = 14

olarak bulunur. Yani

C(-15, 14)

noktası elde edilir.

Artış ve azalış oranlarını kullanarak bilinmeyen dış noktanın koordinatlarına ulaşmak.

3

D noktasının koordinatlarını hesaplamak.

D

noktası

[AB]

doğru parçasını içten

\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3}

oranında böldüğü için

D

noktası

A

ile

B

arasındadır.

|DA| = m

ve

|DB| = 3m

dersek,

|AB| = 4m

olur.

x

koordinatındaki

8

birimlik artış

4m

'ye karşılık gelirse

m = 2

olur.

y

koordinatındaki

-8

birimlik azalış

4m

'ye karşılık gelirse

m = -2

olur.

A

noktasından

D

noktasına giderken

x

koordinatı

2

artar,

y

koordinatı

2

azalır:

D(-3 + 2, 2 - 2) = D(-1, 0)

bulunur.

İçten bölen noktanın koordinatlarını oran yöntemiyle hesaplamak.

4

C ve D noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamak.

|CD| = \sqrt{(-1 - (-15))^2 + (0 - 14)^2} = \sqrt{14^2 + (-14)^2} = \sqrt{196 + 196} = 14\sqrt{2}

birim olarak hesaplanır.

Koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının doğrusal artış/azalış miktarları ile bulunması.

Question 2312Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x + 2) = x \cdot f(x) + 3

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 5$ olduğuna göre, $f(6)$ değeri kaçtır?

55

81

76

25

43

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Fonksiyonun verilen kuralları adım adım uygulandığında

f(6)

değeri 55 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon tanımında adım adım değerler yerine koyularak

f(4) = 13

ve buradan da

f(6) = 55

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk adımda, verilen

f(2)

değerini kullanarak

f(4)

değerine ulaşmak amacıyla

f(x+2) = x \cdot f(x) + 3

denkleminde

x

yerine

2

yazılır.

f(4) = 2 \cdot f(2) + 3

denklemi elde edilir.

f(2)

değeri bilindiği için fonksiyonda bir sonraki adım olan

f(4)

değerini bulmak gerekir.

2

Elde edilen denklemde

f(2) = 5

değeri yerine yazılarak hesaplama yapılır.

f(4) = 2 \cdot 5 + 3 = 13

bulunur.

f(4)

değerini sayısal olarak elde etmek.

3

Bulunan

f(4)

değerini kullanarak hedeflenen

f(6)

değerine ulaşmak amacıyla ana denklemde

x

yerine

4

yazılır.

f(6) = 4 \cdot f(4) + 3

denklemi elde edilir.

Fonksiyonun kuralına göre

f(6)

değerini

f(4)

cinsinden ifade etmek.

4

Elde edilen denklemde

f(4) = 13

değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

f(6) = 4 \cdot 13 + 3 = 52 + 3 = 55

bulunur.

f(6)

değerini nihai olarak hesaplamak.

Key Concept

Bir fonksiyonun kuralı verildiğinde, girdi değerlerinin uygun şekilde seçilerek adım adım istenen çıktı değerlerinin elde edilmesi.

Question 2313Question →

Ortak bir $O$ başlangıç noktasına sahip $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ ve $OE$ ışınları saat yönünde sırasıyla sıralanarak komşu $\widehat{AOB}$ , $\widehat{BOC}$ , $\widehat{COD}$ , $\widehat{DOE}$ ve $\widehat{EOA}$ açılarını oluşturmaktadır. Bu açılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $\widehat{AOB}$ ve $\widehat{BOC}$ komşu tümler açılardır.
* $\widehat{COD}$ ve $\widehat{DOE}$ komşu bütünler açılardır.
* $\widehat{COD}$ bir geniş açıdır.
* $\widehat{AOB}$ aç��sının açıortayı ile $\widehat{COD}$ açısının açıortayı arasında kalan dar açının ölçüsü $155^\circ$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $\widehat{DOE}$ açısının derece cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

40

45

50

80

90

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Doğru yanıt 50 değerini içeren seçenektir.

Doğru cevap olan

50

seçeneği,

\widehat{DOE}

açısının alabileceği sınırların

0^\circ < m(\widehat{DOE}) < 50^\circ

olarak tespit edilmesinden sonra en küçük tam sayı değeri olan

1^\circ

ve en büyük tam sayı değeri olan

49^\circ

değerlerinin toplanmasıyla (

1 + 49 = 50

) elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Açı ölçülerini harflendirip temel bağıntıları yazalım.

m(\widehat{AOB}) = x_1

,

m(\widehat{BOC}) = x_2

,

m(\widehat{COD}) = x_3

,

m(\widehat{DOE}) = x_4

ve

m(\widehat{EOA}) = x_5

olsun.

\widehat{AOB}

ile

\widehat{BOC}

komşu tümler açılar olduğundan

x_1 + x_2 = 90^\circ

olur. Bu durumda

OC

ışını

OA

ışını ile

90^\circ

'lik açı yapar.

Komşu tümler açıların toplamı

90^\circ

'dir.

2

Açıortayların konumlarını belirleyip aralarındaki açıyı veren denklemi kuralım.

\widehat{AOB}

açısının açıortayı

x_1 / 2

konumundadır.

\widehat{COD}

açısının açıortayı ise

90^\circ

çizgisinin üzerine

x_3 / 2

eklenerek bulunur, yani

90^\circ + x_3 / 2

konumundadır. İki açıortay arasındaki açı:

(90^\circ + x_3 / 2) - x_1 / 2 = 90^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ

olarak verilir.

Başlangıç ışınına göre açıortayların açısal konumlarını bulmak aralarındaki farkı hesaplamamızı sağlar.

3

Kurulan denklemi çözerek

x_3

ile

x_1

arasındaki ilişkiyi bulalım.

90^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ \implies \frac{x_3 - x_1}{2} = 65^\circ \implies x_3 - x_1 = 130^\circ \implies x_3 = 130^\circ + x_1

elde edilir.

x_3

ile

x_1

açıları arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak sınır değerlerini belirlemede yardımcı olur.

4

Geniş açı tanımını ve geometrik sınırlılıkları kullanarak aralıkları bulalım.

\widehat{COD}

(

x_3

) bir geniş açı olduğundan

90^\circ < x_3 < 180^\circ

olmalıdır.

x_3 = 130^\circ + x_1

yazarsak:

90^\circ < 130^\circ + x_1 < 180^\circ \implies -40^\circ < x_1 < 50^\circ

olur. Geometrik bir açı ölçüsü pozitif olmak zorunda olduğundan

0^\circ < x_1 < 50^\circ

aralığı elde edilir.

Geniş açıların ölçüsü

90^\circ

ile

180^\circ

arasında olmak zorundadır ve geometrik açılar sıfırdan büyüktür.

5

\widehat{DOE}

(

x_4

) açısının sınırlarını belirleyip en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.

x_3

ve

x_4

komşu bütünler açılar olduğundan

x_3 + x_4 = 180^\circ

'dir. Buradan

x_4 = 180^\circ - x_3 = 180^\circ - (130^\circ + x_1) = 50^\circ - x_1

bulunur.

0^\circ < x_1 < 50^\circ

olduğundan

0^\circ < 50^\circ - x_1 < 50^\circ \implies 0^\circ < x_4 < 50^\circ

elde edilir. Bu aralıkta

x_4

açısının alabileceği en küçük tam sayı değeri

1^\circ

, en büyük tam sayı değeri ise

49^\circ

olur. Toplamları:

1 + 49 = 50

olarak bulunur.

Açının değer aralığındaki en uç tam sayı sınırlarını bularak soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Key Concept

Tümler ve bütünler açı kavramları ile açıortay bağıntılarının eşitsizlikler yardımıyla analiz edilmesi.

Question 2314Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$C = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

kümeleri veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (A \times C)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

9

8

20

30

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sorulan kümenin eleman sayısı 20'dir.

Dağılma özelliği kullanılarak

(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)

sadeleştirmesi yapılır.

A = \{1, 2, 3, 4, 5\}

kümesinin eleman sayısı

s(A) = 5

ve

B

ile

C

kümelerinin kesişimi olan

B \cap C = \{4, 5, 6, 7\}

kümesinin eleman sayısı

s(B \cap C) = 4

olarak bulunur. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre

s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A

,

B

ve

C

kümelerinin eleman sayılarını ve kesişim kümelerini belirleyin.

s(A) = 5

,

s(B) = 6

,

s(C) = 6

ve

B \cap C = \{4, 5, 6, 7\}

olduğundan

s(B \cap C) = 4

olur.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç vardır.

2

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak sorulan ifadeyi sadeleştirin.

(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)

eşitliği elde edilir.

Dağılma özelliği sayesinde iki ayrı kartezyen çarpım yerine tek bir kartezyen çarpım üzerinden hesaplama kolayca yapılabilir.

3

Elde edilen yeni kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.

s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20

bulunur.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü.

Estimated Time:1m 30s

Question 2315Question →

Bir teknoloji mağazasında satılan $5$ farklı marka akıllı telefon ve $3$ farklı marka akıllı saat bulunmaktadır. Bir müşteri, bu mağazadan bir akıllı telefon ve bir akıllı saat seçmek istemektedir. Buna göre, bu müşteri kaç farklı telefon ve saat ikilisi seçebilir?

8

9

15

25

60

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Müşteri, telefon ve saat ikilisini 15 farklı şekilde seçebilir.

Seçilmesi istenen telefon ve saat ikilisi için sırasıyla 5 ve 3 farklı seçenek bulunmaktadır. Saymanın çarpma kuralı gereğince, bu iki seçim birlikte yapılacağından toplam farklı seçim sayısı bu seçeneklerin çarpımı olan 15'tir.

Step-by-Step Solution

1

Telefon seçimi için olası durum sayısını belirleme.

5 farklı telefon markası olduğundan telefon seçimi için 5 farklı durum vardır.

Soruda 5 farklı marka akıllı telefon olduğu belirtilmiştir.

2

Saat seçimi için olası durum sayısını belirleme.

3 farklı saat markası olduğundan saat seçimi için 3 farklı durum vardır.

Soruda 3 farklı marka akıllı saat olduğu belirtilmiştir.

3

Çarpma kuralını uygulayarak toplam seçim sayısını hesaplama.

5 \times 3 = 15

farklı seçim yapılabilir.

Birbirinden bağımsız iki seçimin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı, her bir seçimin durum sayılarının çarpımı ile bulunur (Saymanın Çarpma Kuralı).

Key Concept

Saymanın Çarpma Kuralı

Question 2316Question →

Aşağıdaki matriste satırlardaki sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir:

I. Sütun	II. Sütun	III. Sütun
3	5	16
4	7	33
5	9	$x$

Buna göre, matristeki örüntü takip edildiğinde $x$ yerine hangi sayı gelmelidir?

28

41

42

49

56

Show answer & explanation

Answer: $56$

Answer

56

sayısı doğru cevaptır.

Doğru seçenekteki

56

değeri, her satırda ilk iki sütundaki sayıların toplamının, ilk sütundaki sayının bir eksiğiyle çarpılması sonucu elde edilir. Üçüncü satırda ilk iki sütundaki sayıların toplamı

5 + 9 = 14

'tür. Bu toplam, ilk sütundaki

5

sayısının bir eksiği olan

4

ile çarpıldığında

14 \times 4 = 56

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Matrisin ilk satırındaki sayılar arasındaki ilişkiyi incelemek.

3

ve

5

sayılarından

16

elde edilmiştir. Bu ilişki

(3 + 5) \times 2 = 16

veya genel haliyle

(\text{I. Sütun} + \text{II. Sütun}) \times (\text{I. Sütun} - 1) = \text{III. Sütun}

olarak kurulabilir.

Örüntünün temel kuralını bulmak için ilk satırı analiz etmek gerekir.

2

Bulunan kuralı ikinci satırda test etmek.

4

ve

7

sayılarından

33

elde edilmiştir. Kural uygulandığında:

(4 + 7) \times (4 - 1) = 11 \times 3 = 33

olur ve kural doğrulanır.

Bulunan kuralın tüm satırlar için geçerli olup olmadığını teyit etmek gerekir. Bu adımda çarpanın ilk sütundaki sayının

1

eksiği olduğu kesinleşir.

3

Aynı kuralı üçüncü satıra uygulayarak

x

değerini hesaplamak.

5

ve

9

sayılarından

x

elde edilecektir. Kurala göre:

x = (5 + 9) \times (5 - 1) = 14 \times 4 = 56

bulunur.

Örüntü kuralını son satıra uygulayarak bilinmeyen

x

değerine ulaşmak.

Key Concept

Matris Örüntülerinde Satır ve Sütun İlişkileri

Question 2317Question →

Analitik düzlemde $A(-3, 5)$ ve $B(5, -3)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}$ oranında içten bölen nokta $C$ , $AB$ doğrusunu $\frac{|AD|}{|BD|} = 3$ oranında d��ştan bölen nokta $D$ olduğuna göre, $C$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3\sqrt{2}

7\sqrt{2}

8\sqrt{2}

9\sqrt{2}

\sqrt{106}

Show answer & explanation

Answer: $9\sqrt{2}$

Answer

C ve D noktaları arasındaki uzaklık

9\sqrt{2}

birimdir.

Doğru olan

9\sqrt{2}

seçeneği, içten bölme kurallarına göre doğru tespit edilen

C(0, 2)

noktası ile dıştan bölme kurallarına göre doğru tespit edilen

D(9, -7)

noktası arasındaki geometrik mesafeyi vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

C noktasının koordinatlarını bulmak için içten bölme oranını uygulayalım.

C(0, 2)

C

noktası

[AB]

üzerinde olup oranı

\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}

'tir.

A

ile

B

arasındaki mesafe

8k

parça kabul edilirse;

x

koordinatındaki toplam değişim

5 - (-3) = 8

birim artış yönündedir (

8k = 8 \implies k = 1

).

C

noktası

A

'dan

3k

uzaklıkta olduğundan

x_C = -3 + 3(1) = 0

olur.

y

koordinatındaki toplam değişim

-3 - 5 = -8

birim azalış yönündedir (

8k = -8 \implies k = -1

).

C

noktası

A

'dan

3k

uzaklıkta olduğundan

y_C = 5 + 3(-1) = 2

olur.

2

D noktasının koordinatlarını bulmak için dıştan bölme oranını uygulayalım.

D(9, -7)

D

noktası

AB

doğrusu üzerinde ve dışında olup oranı

\frac{|AD|}{|BD|} = 3

'tür.

|AD| = 3|BD|

olduğundan

D

noktası

B

tarafına daha yakındır (

A - B - D

sırası).

|BD| = p

dersek,

|AD| = 3p

ve

|AB| = 2p

olur.

2p

uzunluktaki

[AB]

üzerinde

x

koordinatı

5 - (-3) = 8

artmıştır (

2p = 8 \implies p = 4

artış).

B

'den

D

'ye

p

kadar gidildiğinde

x_D = 5 + 4 = 9

olur.

2p

üzerinde

y

koordinatı

-3 - 5 = -8

azalmıştır (

2p = -8 \implies p = -4

azalış).

B

'den

D

'ye gidildiğinde

y_D = -3 - 4 = -7

olur.

3

Bulunan C ve D noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülüyle hesaplayalım.

|CD| = 9\sqrt{2}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

|CD| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}

şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak:

|CD| = \sqrt{(9 - 0)^2 + (-7 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}

birim olarak hesaplanır.

Key Concept

Analitik düzlemde bir doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının hesaplanması.

Hints

1

C noktasının koordinatlarını bulmak için x ve y koordinatlarındaki değişim miktarlarını [AB] üzerindeki 3:5 oranına göre paylaştırın.

2

D noktası dıştan bölen bir nokta olduğu için A-B-D sıralamasını kullanarak, [AB] üzerindeki değişim hızını B ile D arasına taşıyın.

Practice More

Benzer şekilde koordinatları bilinen bir üçgende köşe koordinatları ve kenarortay oranlarını kullanarak ağırlık merkezi bulma sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Vektörel yöntemle veya koordinat artış/azalış miktarlarını doğrudan doğrusal oran kurarak (örneğin x koordinatı için: 8 birimlik mesafede 8 artış varsa, 3 birimde 3 artış olur mantığıyla) formülsüz şekilde çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 2318Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu, her

x

ve

y

gerçel sayısı için

f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(1) = 2$ olduğuna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

9

12

15

24

-3

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Doğru cevap 15'tir.

Fonksiyon kuralında

x = 1, y = 1

yazıldığında

f(2) = 7

bulunur. Ardından

x = 2, y = 1

yazılarak

f(3) = f(2) + f(1) + 6

bağıntısından

7 + 2 + 6 = 15

sonucuna doğru şekilde ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyon kuralında

x = 1

ve

y = 1

yazılır.

f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1)

denklemi elde edilir.

f(3)

değerini bulmak için geçiş basamağı olan

f(2)

değerinin hesaplanması gerekir.

2

Verilen

f(1) = 2

değeri denklemde yerine yazılır.

f(2) = 2 + 2 + 3 = 7

olarak bulunur.

Hesaplanan bu ara değer bir sonraki adımda kullanılacaktır.

3

Fonksiyon kuralında

x = 2

ve

y = 1

yazılır.

f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1)

denklemi elde edilir.

f(3)

değerine doğrudan ulaşmak için uygun değerler seçilmiştir.

4

f(2) = 7

ve

f(1) = 2

değerleri yerine konularak işlem tamamlanır.

f(3) = 7 + 2 + 6 = 15

bulunur.

Dört işlem kuralları doğru uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri çözme

Hints

1

İstenen

f(3)

değerine doğrudan ulaşmak yerine öncelikle geçiş basamağı olarak

f(2)

değerini hesaplamayı deneyin.

2

f(2)

değerini elde etmek için fonksiyon eşitliğinde

x

ve

y

değişkenlerinin her ikisine de

1

değerini verin.

3

f(2) = 7

bulduktan sonra,

f(3)

değerine ulaşmak için eşitlikte

x = 2

ve

y = 1

yazarak çözüme gidin.

Practice More

Benzer bir yöntemle

f(x \cdot y) = f(x) + f(y)

şeklindeki logaritmik özellik gösteren fonksiyonlarda değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Fonksiyonun genel kuralı

f(x) = ax^2 + bx

formundadır.

f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = ax^2 + bx + ay^2 + by + 2axy

olduğundan,

2a = 3 \implies a = 3/2

olur.

f(1) = a + b = 2 \implies 3/2 + b = 2 \implies b = 1/2

bulunur. Buradan genel kural

f(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x

olarak elde edilir.

x=3

için

f(3) = \frac{27}{2} + \frac{3}{2} = 15

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2319Question →

Bir spor kulübündeki basketbol ve voleybol branşlarındaki sporcuların lisans durumlarına göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Branş	Lisanslı Sporcu Sayısı	Lisanssız Sporcu Sayısı
Basketbol	$3$	$2$
Voleybol	$4$	$1$

Bu kulüpten rastgele seçilen iki sporcunun aynı branştan olduğu bilindiğine göre, ikisinin de lisanslı sporcu olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{3}{7}

\frac{9}{20}

\frac{7}{15}

\frac{7}{10}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{20}$

Answer

dokuz bölü yirmi

Doğru cevap dokuz bölü yirmi ifadesidir. Koşul olarak iki sporcunun aynı branştan olduğu belirtilmiştir. Bu durum, her iki sporcunun basketbolcu olması (10 durum) veya her iki sporcunun voleybolcu olması (10 durum) ile gerçekleşebilir ve toplamda örnek uzayımızı 20 duruma sınırlar. İstenen durum ise bu sporcuların hem aynı branştan hem de lisanslı olmasıdır. Bu durum ise 3 lisanslı basketbolcudan 2'sinin seçilmesi (3 durum) ya da 4 lisanslı voleybolcudan 2'sinin seçilmesi (6 durum) ile mümkündür ve toplamda 9 durum oluşturur. Buradan koşullu olasılık dokuz bölü yirmi olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koşul durumuna göre örnek uzayın eleman sayısını belirlemek

Basketbol branşından 2 sporcu seçimi

\binom{5}{2} = 10

farklı şekilde, voleybol branşından 2 sporcu seçimi

\binom{5}{2} = 10

farklı şekilde yapılabilir. Toplam koşul durum sayısı

10 + 10 = 20

olur.

İki sporcunun aynı branştan olduğu bilindiği için örnek uzay sadece aynı branştan seçilebilecek ikili grupları kapsar.

2

İstenen olayın (ikisinin de lisanslı ve aynı branştan olması) eleman sayısını hesaplamak

Lisanslı basketbolcular arasından 2 kişi seçimi

\binom{3}{2} = 3

farklı şekilde, lisanslı voleybolcular arasından 2 kişi se��imi

\binom{4}{2} = 6

farklı şekilde yapılabilir. Toplam istenen durum sayısı

3 + 6 = 9

olur.

Koşullu olasılık tanımına göre istenen olay, hem koşulu (aynı branş) hem de ana isteği (lisanslı olma) aynı anda sağlayan durumları kapsamalıdır.

3

Koşullu olasılık değerini hesaplamak

Olasılık değeri

P = \frac{9}{20}

olarak hesaplanır.

Koşullu olasılık formülü gereği istenen durumların sayısı örnek uzay durumlarının sayısına bölünür.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Estimated Time:2m 0s

Question 2320Question →

A = \{ x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3 \}

B = \{ y \in \mathbb{Z} : |y + 1| \leq 2 \}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, $A \times B$ kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan $(x, y)$ sıralı ikililerinden kaç tanesi $x + y > 2$ koşulunu sağlar?

8

10

11

15

20

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Doğru seçenekte belirtilen değer, A ve B kümelerinin elemanları listelenip

x + y > 2

koşulunu sağlayan

(x, y)

sıralı ikilileri tek tek gruplandırıldığında elde edilen 10 değeridir.

y = 1

için

x \in \{2, 3, 4, 5\}

(4 adet),

y = 0

için

x \in \{3, 4, 5\}

(3 adet),

y = -1

için

x \in \{4, 5\}

(2 adet),

y = -2

için

x \in \{5\}

(1 adet) ve

y = -3

için koşulu sağlayan eleman bulunmamaktadır. Toplamda

4+3+2+1=10

adet sıralı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirlemek için

|x - 2| \leq 3

eşitsizliğini çözün.

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

Mutlak değer özelliğinden

-3 \leq x - 2 \leq 3

yazılır. Her tarafa 2 eklendiğinde

-1 \leq x \leq 5

elde edilir.

2

B kümesinin elemanlarını belirlemek için

|y + 1| \leq 2

eşitsizliğini çözün.

B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}

Mutlak değer özelliğinden

-2 \leq y + 1 \leq 2

yazılır. Her taraftan 1 çıkarıldığında

-3 \leq y \leq 1

elde edilir.

3

B kümesindeki her bir

y

değeri için

x + y > 2 \implies x > 2 - y

koşulunu sağlayan

x \in A

de��erlerini bulun.

y = 1 için 4, y = 0 için 3, y = -1 için 2, y = -2 için 1, y = -3 için 0 değer bulunur.

y = 1 ise x > 1 olmalıdır. A kümesinden {2, 3, 4, 5} olmak üzere 4 eleman vardır. y = 0 ise x > 2 olmalıdır. A kümesinden {3, 4, 5} olmak üzere 3 eleman vardır. y = -1 ise x > 3 olmalıdır. A kümesinden {4, 5} olmak üzere 2 eleman vardır. y = -2 ise x > 4 olmalıdır. A kümesinden {5} olmak üzere 1 eleman vardır. y = -3 ise x > 5 olmalıdır. A kümesinden bu koşulu sağlayan eleman yoktur.

4

Her durum için bulunan eleman sayılarını toplayın.

4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10

Toplam sağlayan durumların sayısı aranan sıralı ikililerin sayısını verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların belirli bir koşula göre sayılması

Hints

1

Öncelikle A ve B kümelerinin elemanları olan tam sayıları mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek ayrı ayrı listeleyin.

2

Kartezyen çarpımın elemanları

(x, y)

şeklindedir, burada

x \in A

ve

y \in B

'dir. Koşulumuz olan

x + y > 2

ifadesini

x > 2 - y

şeklinde yazarak inceleyebilirsiniz.

3

B kümesindeki her bir

y

elemanı için (yani

1, 0, -1, -2, -3

için)

x > 2 - y

eşitsizliğini sağlayan kaç tane

x \in A

elemanı olduğunu tek tek belirleyip toplayın.

Practice More

Benzer şekilde,

x \cdot y < 0

koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumların sayısından (yani

s(A \times B) = 7 \times 5 = 35

),

x + y \leq 2

koşulunu sağlayan durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints