Examkin

All practice questions

2563 questions

All types2,563Multiple choice2,490Numeric63Ordering10
Question 2341Question →

Bir okulda düzenlenecek olan bilim şenliğinde sergilenmek üzere projeler seçilecektir. Şenlik için:

* Fizik alanından 33 farklı proje,
* Kimya alanından 44 farklı proje,
* Biyoloji alanından 22 farklı proje

hazırlanmıştır. Şenlik komitesi, bu projeler arasından her bir alandan en fazla birer proje seçerek sergilenecek projeleri belirleyecektir.

Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi zorunlu olduğuna göre, sergilenecek projeler kaç farklı şekilde seçilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 5959

Answer

Sergilenecek projeler 5959 farklı şekilde seçilebilir.
Her alandan en fazla bir proje seçilebileceği için her alandaki seçenek sayısı, o alandaki proje sayısının 1 fazlasıdır (hiç seçmeme durumu dahil). Bu durumlar çarpıldığında toplam 6060 olası seçim elde edilir. Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi gerektiğinden, hiçbir projenin seçilmediği tek bir durum bu toplamdan çıkarılır ve doğru cevap 5959 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fizik alanı için olası seçim durumlarını belirleme
Fizik alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya 33 projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı: 3+1=43 + 1 = 4 olur.
Soruda her alandan 'en fazla bir' proje seçilebileceği belirtilmiştir.
2
Kimya alanı için olası seçim durumlarını belirleme
Kimya alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya 44 projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı: 4+1=54 + 1 = 5 olur.
Her alan bağımsız olarak değerlendirilir.
3
Biyoloji alanı için olası seçim durumlarını belirleme
Biyoloji alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya 22 projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı: 2+1=32 + 1 = 3 olur.
Her alan bağımsız olarak değerlendirilir.
4
Çarpma kuralını uygulayarak toplam olası durum sayısını bulma
Tüm alanlardaki seçimlerin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı: 4×5×3=604 \times 5 \times 3 = 60 olur.
Bağımsız olayların ardışık olarak gerçekleşme durumları çarpma kuralı ile hesaplanır.
5
Hiçbir projenin seçilmediği durumu çıkartma
Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi zorunlu olduğundan, hiçbir projenin seçilmediği tek bir durum (11 durum) toplamdan çıkarılır: 60−1=5960 - 1 = 59 bulunur.
'En az bir proje' koşulunun sağlanması için tüm projelerin seçilmeme durumu elenmelidir.

Key Concept

Saymanın çarpma kuralı ve tüm durumlardan istenmeyen durumun (boş küme) çıkarılması prensibi.
Question 2342Question →

Dik koordinat düzleminde, koordinatları tam sayılardan oluşan AA ve BB noktaları için [AB][AB] doğru parçasının orta noktası C(0,3)C(0, 3)'tür. AA noktası koordinat düzleminin ikinci bölgesinde yer almaktadır. AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, AA noktasının orijine olan uzaklığının alabileceği en büyük değer kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 58\sqrt{58}

Answer

A noktasının orijine olan uzaklığının alabileceği en büyük değer 58\sqrt{58} birimdir.
Verilen sınırlamalara uygun olarak elde edilen en büyük uzaklık değeri, koordinatları A(−3,7)A(-3, 7) olan nokta için geçerlidir ve orijine uzaklığı (−3)2+72=58\sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} birimdir.

Step-by-Step Solution

1
Orta nokta formülünü kullanarak AA ve BB noktalarının koordinatları arasındaki bağıntıyı kurun.
A(xA,yA)A(x_A, y_A) ve B(xB,yB)B(x_B, y_B) noktalarının orta noktası C(0,3)C(0, 3) olduğundan, xA+xB=0  ⟹  xB=−xAx_A + x_B = 0 \implies x_B = -x_A ve yA+yB=6  ⟹  yB=6−yAy_A + y_B = 6 \implies y_B = 6 - y_A elde edilir.
Orta noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak denklemi sadeleştirin.
∣AB∣=10  ⟹  (xB−xA)2+(yB−yA)2=100|AB| = 10 \implies (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 100 denkleminde birinci adımdaki eşitlikler yerine yazılırsa: (−2xA)2+(6−2yA)2=100  ⟹  4xA2+4(3−yA)2=100  ⟹  xA2+(3−yA)2=25(-2x_A)^2 + (6 - 2y_A)^2 = 100 \implies 4x_A^2 + 4(3 - y_A)^2 = 100 \implies x_A^2 + (3 - y_A)^2 = 25 elde edilir.
Uzaklık formülünü sadeleştirip tek bir bağıntı elde etmek çözümü kolaylaştırır.
3
AA noktasının ikinci bölgede bulunması ve tam sayı koordinatlara sahip olması koşullarını uygulayarak olası noktaları belirleyin.
A(xA,yA)A(x_A, y_A) ikinci bölgede olduğundan xA<0x_A < 0 ve yA>0y_A > 0 olmalıdır. xA2+(3−yA)2=25x_A^2 + (3 - y_A)^2 = 25 denkleminde xAx_A ve yAy_A birer tam sayı olacağına göre:
1) xA=−3x_A = -3 için (3−yA)2=16  ⟹  3−yA=−4  ⟹  yA=7(3 - y_A)^2 = 16 \implies 3 - y_A = -4 \implies y_A = 7 (nokta A(−3,7)A(-3, 7)),
2) xA=−4x_A = -4 için (3−yA)2=9  ⟹  3−yA=−3  ⟹  yA=6(3 - y_A)^2 = 9 \implies 3 - y_A = -3 \implies y_A = 6 (nokta A(−4,6)A(-4, 6)),
3) xA=−5x_A = -5 için (3−yA)2=0  ⟹  yA=3(3 - y_A)^2 = 0 \implies y_A = 3 (nokta A(−5,3)A(-5, 3)).
Bölge sınırlamaları ve tam sayı olma koşulu olası çözüm kümesini sonlu sayıda noktaya indirger.
4
Bulunan olası AA noktalarının orijine olan uzaklıklarını hesaplayıp karşılaştırın.
Orijin O(0,0)O(0, 0) noktası olmak üzere:
- A(−3,7)A(-3, 7) için uzaklık: (−3)2+72=58\sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} birim,
- A(−4,6)A(-4, 6) için uzaklık: (−4)2+62=52=213\sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} birim,
- A(−5,3)A(-5, 3) için uzaklık: (−5)2+32=34\sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34} birimdir. En büyük değer 58\sqrt{58} olarak bulunur.
Olası noktalar içinden en büyük uzaklığı veren noktayı seçmek sorunun nihai hedefidir.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta formülü ve analitik düzlemde bölgeler

Alternative Method

Geometrik olarak, AA noktasının C(0,3)C(0,3) merkezli ve 55 birim yarıçaplı bir çember üzerinde yer alması gerektiği görülür. Çemberin II. bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktaları doğrudan koordinat düzleminde çizerek veya x2+(y−3)2=25x^2 + (y-3)^2 = 25 çember denkleminden yararlanarak hızlıca bulabilir ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Question 2343Question →

Bir torbada kırmızı, mavi ve yeşil renkli bilyeler bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yeşil renkli olma olasılığı 27\frac{2}{7}'dir. Buna göre, bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yeşil renkli olmama olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 57\frac{5}{7}

Answer

Yeşil renkli olmama olasılığı 57\frac{5}{7}'dir.
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, 1'den o olayın gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur. Yeşil renkli olma olasılığı 27\frac{2}{7} olduğuna göre, yeşil renkli olmama olasılığı 1−27=571 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tümleyen olasılık formülünü belirleme
P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.
2
Verilen olasılık değerini formülde yerine yazarak hesaplama yapma
P(Yes¸il deg˘il)=1−27=57P(\text{Yeşil değil}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}
Yeşil renkli olma olasılığı 27\frac{2}{7} olarak verildiği için, yeşil olmama olasılığını bulmak için bu değer 1'den çıkarılır.

Key Concept

Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir (P(A)+P(A′)=1P(A) + P(A') = 1).
Question 2344Question →

Analitik düzlemde, eğimi 22 olan ve A(−2,3)A(-2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 2x−y+7=02x - y + 7 = 0

Answer

Doğrunun denklemi 2x−y+7=02x - y + 7 = 0 olarak bulunur.
Eğimi m=2m=2 olan ve A(−2,3)A(-2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi y−3=2(x−(−2))y - 3 = 2(x - (-2)) formülüyle kurulur. Buradan y−3=2x+4y - 3 = 2x + 4 ve düzenlendiğinde 2x−y+7=02x - y + 7 = 0 denklemi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Doğru denklemini oluşturmak için genel formülü yazalım.
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini veren temel bağıntı budur.
2
Verilen eğim (m=2m = 2) ve nokta koordinatlarını (x1=−2x_1 = -2, y1=3y_1 = 3) formülde yerine yazalım.
y−3=2(x−(−2))y - 3 = 2(x - (-2))
Doğru üzerindeki noktayı ve doğrunun eğimini denklemde tanımlamak için.
3
Parantezi açıp denklemi düzenleyelim.
y−3=2(x+2)  ⟹  y−3=2x+4  ⟹  2x−y+7=0y - 3 = 2(x + 2) \implies y - 3 = 2x + 4 \implies 2x - y + 7 = 0
Denklemi standart ax+by+c=0ax + by + c = 0 biçimine getirmek için.

Key Concept

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denkleminin yazılması

Hints

1
Eğimi mm olan ve (x1,y1)(x_1, y_1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle bulunur.

Practice More

Farklı koordinat bölgelerinde verilen noktalar ve negatif/pozitif eğim değerleri ile doğru denklemi yazma pratikleri yapabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 2345Question →

Bir düzlemde bulunan 99 doğrudan 33 tanesi birbirine paralel, bunlardan farklı diğer 33 tanesi de kendi aralarında birbirine paraleldir. Geriye kalan 33 doğru ise sabit bir AA noktasında kesişmektedir.

AA noktası paralel doğruların hiçbirinin üzerinde olmadığına ve bu 99 doğrudan herhangi üçü AA noktası dışında ortak bir noktada kesişmediğine göre, bu doğruların kesişimiyle elde edilebilecek üçgen sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4545

Answer

Düzlemdeki doğruların kesişimiyle elde edilebilecek toplam üçgen sayısı 4545'tir.
Düzlemde seçilen 3 doğrunun üçgen oluşturabilmesi için hiçbir ikisinin paralel olmaması ve üçünün aynı noktada kesişmemesi gerekir. Bu doğrultuda yapılan analizde, 3 paralel doğrudan oluşan G1 grubundan en fazla 1 doğru, diğer 3 paralel doğrudan oluşan G2 grubundan en fazla 1 doğru ve A noktasında kesişen 3 doğrudan oluşan G3 grubundan en fazla 2 doğru seçilebilir. Bu koşulları sağlayan seçimler: G1'den 1, G2'den 1, G3'ten 1 doğru (27 adet); G1'den 1, G3'ten 2 doğru (9 adet); G2'den 1, G3'ten 2 doğru (9 adet) şeklindedir. Toplamda 45 farklı üçgen elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların gruplandırılması ve toplam seçim sayısının hesaplanması
G1 grubu: 3 paralel doğru, G2 grubu: 3 paralel doğru, G3 grubu: A noktasında kesişen 3 doğru. Toplam 9 doğru arasından oluşturulabilecek tüm 3'lü seçimlerin sayısı: (93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 adettir.
Üçgen oluşturmak için düzlemde 3 doğruya ihtiyaç duyulduğundan öncelikle tüm olası 3'lü doğru kombinasyonları hesaplanır.
2
Doğruların üçgen oluşturabilme şartlarının belirlenmesi
Bir 3'lü doğru grubunun üçgen oluşturabilmesi için: 1) Doğrulardan herhangi ikisi birbirine paralel olmamalıdır. 2) Üç doğru aynı noktada kesişmemelidir (noktadaş olmamalıdır).
Hangi durumların üçgen oluşturup hangilerinin oluşturamayacağını belirlemek için geometrik kurallar uygulanır.
3
Üçgen oluşturabilecek durumların gruplara göre analiz edilmesi
Üçgen oluşumu için G1 ve G2 gruplarından en fazla 1'er doğru seçilebilir (çünkü kendi içlerinde paraleldirler). G3 grubundan ise en fazla 2 doğru seçilebilir (3 doğru seçilirse A noktasında kesişirler). Bu kurallara uyan durumlar: Case 1: G1'den 1, G2'den 1, G3'ten 1 doğru. Case 2: G1'den 1, G2'den 0, G3'ten 2 doğru. Case 3: G1'den 0, G2'den 1, G3'ten 2 doğru.
Koşullara uygun doğrudan üçgen oluşturacak durumları belirlemek için gruplar bazında ayrıntılı analiz yapılır.
4
Belirlenen durumların kombinasyon sayılarının hesaplanması ve toplanması
Case 1: (31)×(31)×(31)=3×3×3=27\binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 3 \times 3 \times 3 = 27. Case 2: (31)×(30)×(32)=3×1×3=9\binom{3}{1} \times \binom{3}{0} \times \binom{3}{2} = 3 \times 1 \times 3 = 9. Case 3: (30)×(31)×(32)=1×3×3=9\binom{3}{0} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 1 \times 3 \times 3 = 9. Toplam: 27+9+9=4527 + 9 + 9 = 45 adet üçgen oluşur.
Her bir bağımsız durumun olasılığı kombinasyon formülüyle hesaplanıp toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişiminden oluşan üçgen sayısının geometrik yorumu.

Alternative Method

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumların çıkarılması (tümleme yöntemi) alternatif bir yol olarak kullanılabilir. Toplam durum (93)=84\binom{9}{3} = 84'tür. Üçgen oluşturmayan durumlar: Tümü paralel olanlar 22 adet, sadece ikisi paralel olanlar 2×(32)×6=362 \times \binom{3}{2} \times 6 = 36 adet ve üçü tek noktada kesişenler (33)=1\binom{3}{3} = 1 adettir. Buradan 84−(2+36+1)=4584 - (2 + 36 + 1) = 45 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 2346Question →
n≥2n \geq 2 olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!n!−(n−1)!\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{n! - (n-1)!}

ifadesini tam sayı yapan nn tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadeyi tam sayı yapan değerlerin toplamı 6 sayısıdır.
Doğru seçenekte belirtilen 6 sayısı, ifadenin pay ve paydasındaki faktöriyel terimlerinin doğru bir şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilir. Sadeleştirme sonucunda ulaşılan n2+3n+3+3n−1n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1} ifadesinin tam sayı olması için n−1n-1 ifadesi 3'ün pozitif bölenleri olan 1 ve 3 değerlerini almalıdır. Buradan nn değerleri 2 ve 4 olarak bulunur ve toplamları 6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak olan n!n! parantezine alarak düzenlemek.
(n+2)!−(n+1)!−n!=n!⋅(n2+2n)(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot (n^2 + 2n)
İfadeyi sadeleştirmek amacıyla en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazmamız gerekir.
2
Payda kısmındaki ifadeleri ortak olan (n−1)!(n-1)! parantezine alarak düzenlemek.
n!−(n−1)!=(n−1)!⋅(n−1)n! - (n-1)! = (n-1)! \cdot (n-1)
Pay ve payda arasındaki ortak faktöriyel terimlerini sadeleştirebilmek için tabanları eşitlemeliyiz.
3
Bulunan ifadeleri yerlerine yazıp sadeleştirme işlemini yapmak.
n!⋅(n2+2n)(n−1)!⋅(n−1)=n⋅(n−1)!⋅n(n+2)(n−1)!⋅(n−1)=n2(n+2)n−1\frac{n! \cdot (n^2 + 2n)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n \cdot (n-1)! \cdot n(n+2)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n^2(n+2)}{n-1}
n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! özelliğini kullanarak paydadaki (n−1)!(n-1)! terimini sadeleştirmek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yöntemiyle tam ve kesirli kısımlarına ayırmak.
n3+2n2n−1=n2+3n+3+3n−1\frac{n^3 + 2n^2}{n-1} = n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1}
nn değerlerinin hangi koşulda tam sayı üreteceğini daha net görebilmek için kesri parçalamalıyız.
5
3n−1\frac{3}{n-1} ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için n−1n-1 değerinin 3'ün pozitif bölenleri olmasını sağlamak.
n−1=1  ⟹  n=2n-1 = 1 \implies n = 2 ve n−1=3  ⟹  n=4n-1 = 3 \implies n = 4 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.
n≥2n \geq 2 koşulunu sağlayan ve ifadeyi tam sayı yapan tüm nn tam sayılarını bulup toplamak.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alma ve rasyonel ifadelerin tam sayı yapılması

Alternative Method

İfadeyi sadeleştirmek yerine n≥2n \geq 2 koşuluna uyan tam sayılar (2, 3, 4, ...) sırasıyla formülde yerine yazılarak doğrudan test edilebilir. Örneğin n=2n=2 için ifade 24−6−22−1=16\frac{24-6-2}{2-1} = 16 (tam sayı), n=3n=3 için ifade 120−24−66−2=22.5\frac{120-24-6}{6-2} = 22.5 (tam sayı değil), n=4n=4 için ifade 720−120−2424−6=32\frac{720-120-24}{24-6} = 32 (tam sayı) değerlerini üretir. Bu şekilde n=2n=2 ve n=4n=4 değerleri tespit edilebilir, fakat bu yöntem zaman alıcıdır ve daha büyük değerler için kesin bir sınır çizmek zordur.
Estimated Time:2m 30s
Question 2347Question →

Bir turizm acentesindeki 8080 rehberin her biri İngilizce, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilmektedir. Bu rehberlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En az iki dil bilen rehber sayısı 1818, üç dili de bilen rehber sayısı ise 44'tür.
* Sadece iki dil bilen rehberlerden İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı; Almanca ve Rusça bilenlerin sayısının 22 katı, İngilizce ve Rusça bilenlerin sayısının ise yarısıdır.
* İngilizce bilen rehberlerin sayısı, sadece Rusça bilen rehberlerin sayısının 33 katıdır.
* Almanca bilen rehberlerin sayısı, sadece İngilizce bilen rehberlerin sayısın��n 22 katıdır.

Buna göre, bu acentedeki rehberlerden sadece Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Sadece Almanca bilen rehberlerin sayısı 30'dur.
Sorudaki tüm kısıtlar ve oranlar küme bölgelerine yerleştirilip cebirsel denklem çözüldüğünde, sadece Almanca bilen rehber sayısı net olarak 30 olarak hesaplanmaktadır. Bu değer tüm koşulları (toplam rehber sayısı, en az iki dil bilenler ve dil bilenlerin oranları) mükemmel şekilde sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Kümeleri ve bölgeleri harflerle sembolize edelim.
Sadece İngilizce bilenler: aa, sadece Almanca bilenler: bb, sadece Rusça bilenler: cc. Sadece iki dil bilenler: ��ngilizce ve Almanca için xx, Almanca ve Rusça için yy, İngilizce ve Rusça için zz. Üç dili de bilenler: w=4w = 4.
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.
2
İki dil bilenlerin sayıları arasındaki ilişkileri bulalım.
En az iki dil bilenler x+y+z+w=18  ⟹  x+y+z=14x+y+z+w = 18 \implies x+y+z = 14 olur. Verilen oranlara göre x=2yx = 2y ve x=z/2  ⟹  z=4yx = z/2 \implies z = 4y yazılır. Buradan 2y+y+4y=14  ⟹  7y=14  ⟹  y=22y + y + 4y = 14 \implies 7y = 14 \implies y = 2 bulunur. Dolayısıyla x=4x = 4 ve z=8z = 8 elde edilir.
Sadece iki dil bilen rehberlerin sayılarını kesin olarak tespit etmek, diğer denklem sistemlerini basitleştirecektir.
3
Tüm dilleri bilenler ve sadece iki dil bilenleri kullanarak genel toplam denklemini yazalım.
Toplam rehber sayısı 8080 olduğundan: a+b+c+x+y+z+w=80  ⟹  a+b+c+14+4=80  ⟹  a+b+c=62a+b+c + x+y+z+w = 80 \implies a+b+c + 14 + 4 = 80 \implies a+b+c = 62 olur.
Sadece bir dil bilenlerin toplam sayısına ulaşarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
4
Dil bilenlerin sayılarını veren diğer koşulları denklemlere dökelim.
İngilizce bilenler: a+x+z+w=a+4+8+4=a+16a+x+z+w = a+4+8+4 = a+16 kişidir. Sadece Rusça bilenler cc olduğuna göre; a+16=3c  ⟹  a−3c=−16a+16 = 3c \implies a - 3c = -16 olur. Almanca bilenler: b+x+y+w=b+4+2+4=b+10b+x+y+w = b+4+2+4 = b+10 kişidir. Sadece İngilizce bilenler aa olduğuna göre; b+10=2a  ⟹  b=2a−10b+10 = 2a \implies b = 2a-10 olur.
Verilen sözel oranları tekil değişkenler cinsinden denklem sistemine dönüştürmek için.
5
Elde edilen denklem sistemini çözelim.
a+b+c=62a+b+c=62 denkleminde b=2a−10b = 2a-10 yazılırsa: a+2a−10+c=62  ⟹  3a+c=72  ⟹  c=72−3aa + 2a - 10 + c = 62 \implies 3a + c = 72 \implies c = 72 - 3a elde edilir. Bu değeri a−3c=−16a - 3c = -16 denkleminde yerine koyalım: a−3(72−3a)=−16  ⟹  a−216+9a=−16  ⟹  10a=200  ⟹  a=20a - 3(72-3a) = -16 \implies a - 216 + 9a = -16 \implies 10a = 200 \implies a = 20 bulunur. Buradan b=2(20)−10=30b = 2(20) - 10 = 30 ve c=72−3(20)=12c = 72 - 3(20) = 12 elde edilir.
Tüm bilinmeyenlerin sayısal değerlerini bulmak için.

Key Concept

Üçlü Venn diyagramı üzerinde bölgelerin harflendirilerek denklem sistemleri yardımıyla çözülmesi.
Question 2348Question →

Bir torbada 11'den 1010'a kadar (11 ve 1010 dahil) numaralandırılmış 1010 kart bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki kart çekiliyor. Çekilen kartların üzerindeki sayıların toplamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu kartların her ikisinin de asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 320\frac{3}{20}

Answer

Çekilen kartların toplamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, her ikisinin de asal sayı olma olasılığı 320\frac{3}{20}'dir.
Toplamı çift olan iki kart seçme durumu (örnek uzay), ya iki tek kartın ya da iki çift kartın seçilmesiyle oluşur ve toplam durum sayısı (52)+(52)=20\binom{5}{2} + \binom{5}{2} = 20'dir. Bu durumlar arasından her iki kartın da asal sayı olması ve toplamlarının çift olması için ikisinin de tek asal sayı (yani 3,5,73, 5, 7 arasından) seçilmesi gerekir. Bu da (32)=3\binom{3}{2} = 3 farklı şekilde gerçekleşebilir. O halde koşullu olasılık 320\frac{3}{20} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu olasılık için kısıtlanmış örnek uzayı belirleyin.
Torbada 55 tek (1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9) ve 55 çift (2,4,6,8,102, 4, 6, 8, 10) sayı bulunmaktadır. İki sayının toplamının çift olması için sayıların ya ikisinin de tek ya da ikisinin de çift olması gerekir. İki tek sayı seçme sayısı (52)=10\binom{5}{2} = 10, iki çift sayı seçme sayısı (52)=10\binom{5}{2} = 10'dur. Dolayısıyla koşullu örnek uzayın eleman sayısı 10+10=2010 + 10 = 20 olur.
Soruda verilen 'toplamın çift sayı olduğu bilindiğine göre' koşuluna uygun tüm durumların sayısını bulmak.
2
İstenen durum sayısını (toplamları çift olan asal sayı çiftlerini) belirleyin.
11'den 1010'a kadar olan asal sayılar {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}'dir. Bu asal sayılardan seçilecek iki sayının toplamının çift olması için ikisinin de tek sayı olması gerekir. Çünkü 22 dışındaki tüm asallar tektir ve çift olan 22 sayısı ile bir tek asalın toplamı her zaman tek sayıdır. Tek asallar {3,5,7}\{3, 5, 7\} kümesinden seçilecek iki kartın sayısı (32)=3\binom{3}{2} = 3 olur (Bu kartlar {3,5}\{3, 5\}, {3,7}\{3, 7\} ve {5,7}\{5, 7\}'dir).
Koşula uyan durumlar içinde, her iki kartın da asal sayı olduğu durum sayısını bulmak.
3
Koşullu olasılık oranını hesaplayın.
Koşullu Olasılık = I˙stenen Durum SayısıKos¸ullu O¨rnek Uzay Sayısı=320\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Koşullu Örnek Uzay Sayısı}} = \frac{3}{20} elde edilir.
İstenen olayın gerçekleşme olasılığını bulmak.

Key Concept

Koşullu Olasılık
Question 2349Question →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. [BC][BC] kenarının CC köşesi yönündeki uzantısı üzerinde bir DD noktası alınıyor.

∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| ve m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olduğuna göre, m(CAD^)m(\widehat{CAD}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

25 derecedir.
Doğru cevap olan 25 değerine ulaşmak için öncelikle ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ikizkenarlığından ABCABC üçgeninin taban açısı olan m(ACB^)=50∘m(\widehat{ACB}) = 50^\circ bulunur. Ardından B,C,DB, C, D doğrusallığından △ACD\triangle ACD'nin tepe açısı m(ACD^)=180∘−50∘=130∘m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ olarak hesaplanır. ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| ikizkenarlığı kullanılarak taban açıları olan m(CAD^)=m(CDA^)=(180∘−130∘)/2=25∘m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = (180^\circ - 130^\circ)/2 = 25^\circ bulunur. Alternatif olarak, iki iç açının toplamının komşu olmayan bir dış açıya eşit olması kuralından, ACDACD üçgeninin dış açısı olan m(ACB^)=50∘m(\widehat{ACB}) = 50^\circ açısı, m(CAD^)+m(CDA^)=2⋅m(CAD^)m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA}) = 2 \cdot m(\widehat{CAD}) toplamına eşittir. Buradan da doğrudan m(CAD^)=25∘m(\widehat{CAD}) = 25^\circ bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC ü��geninin taban açılarını bulun.
m(ABC^)=m(ACB^)=50∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 50^\circ
ABCABC üçgeni ikizkenar olduğundan (∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|), taban açılarının ölçüleri eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olduğundan, taban açısı 180∘−80∘2=50∘\frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ olarak bulunur.
2
ACDACD üçgeninin tepe açısını (m(ACD^)m(\widehat{ACD})) hesaplayın.
m(ACD^)=130∘m(\widehat{ACD}) = 130^\circ
B,C,DB, C, D noktaları doğrusal olduğundan, ACB^\widehat{ACB} ve ACD^\widehat{ACD} komşu bütünler açılardır. Dolayısıyla m(ACD^)=180∘−50∘=130∘m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ olur.
3
ACDACD ikizkenar üçgeninde istenen CAD^\widehat{CAD} açısını bulun.
m(CAD^)=25∘m(\widehat{CAD}) = 25^\circ
ACDACD üçgeninde ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğundan bu üçgen de ikizkenardır ve taban açılarının ölçüleri eşittir (m(CAD^)=m(CDA^)m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA})). Üçgenin iç açıları toplamından, 2⋅m(CAD^)+130∘=180∘  ⟹  2⋅m(CAD^)=50∘  ⟹  m(CAD^)=25∘2 \cdot m(\widehat{CAD}) + 130^\circ = 180^\circ \implies 2 \cdot m(\widehat{CAD}) = 50^\circ \implies m(\widehat{CAD}) = 25^\circ elde edilir.

Key Concept

İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir ve bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

Hints

1
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. İlk olarak ABCABC üçgeninin taban açılarını bulmayı deneyin.
2
B,C,DB, C, D noktaları bir doğru üzerindedir. Dolayısıyla ACB^\widehat{ACB} açısı ile ACD^\widehat{ACD} açısı birbirini 180∘180^\circ'ye tamamlar.
3
ACDACD üçgeninde ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| verildiğine göre, bu üçgenin taban açısı CAD^\widehat{CAD}'dir. ACB^\widehat{ACB} açısı bu üçgenin bir dış açısı olduğundan, kendisine komşu olmayan iki iç açının (m(CAD^)+m(CDA^)m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA})) toplamına eşittir.

Practice More

Farklı ikizkenar üçgenlerin bir arada verildiği ve dış açı özelliklerinin kullanıldığı diğer açı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir kuralı kullanılabilir. ACDACD üçgeninde ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğundan m(CAD^)=m(CDA^)=xm(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = x olsun. Bu durumda ACDACD üçgeninin dış açısı olan m(ACB^)=x+x=2xm(\widehat{ACB}) = x + x = 2x olur. ABCABC üçgeni ikizkenar olduğundan m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x yazılır. ABCABC üçgeninin iç açılar toplamından: 80∘+2x+2x=180∘  ⟹  4x=100∘  ⟹  x=25∘80^\circ + 2x + 2x = 180^\circ \implies 4x = 100^\circ \implies x = 25^\circ bulunur.
Estimated Time:45s
Question 2350Question →

A, B, C ve D birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, iki basamaklı AB ve CA sayıları ile üç basamaklı DBC sayısının toplama işlemi aşağıda verilmiştir:

AB+CADBC\begin{array}{rcc} & A & B \\ + & C & A \\ \hline D & B & C \end{array}

Buna göre, AA harfi hangi rakamı temsil etmektedir?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

A harfinin temsil ettiği rakam 5'tir.
İki basamaklı iki sayının toplamı en fazla 198 olabileceğinden, üç basamaklı DBC sayısının yüzler basamağındaki D rakamı kesinlikle 1 olmalıdır. Birler basamağındaki B + A = C işleminde eğer elde oluşmadığı varsayılırsa, B + A = C olur. Onlar basamağındaki A + C işleminin toplamı, yüzler basamağına 1 eldesi vererek 10 + B sonucunu oluşturmalıdır. Buradan A + C = 10 + B eşitliği elde edilir. C yerine B + A yazıldığında, A + B + A = 10 + B elde edilir ve buradan 2A = 10 yani A = 5 bulunur. Birler basamağında elde oluştuğu varsayımı ise 2A = 19 gibi tam sayı olmayan bir sonuca yol açar. Bu durumda A rakamının değeri kesinlikle 5 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Yüzler basamağındaki D rakamının değerini belirlemek.
D = 1
İki basamaklı iki sayının toplamı en fazla 99 + 99 = 198 olabileceğinden, elde edilen üç basamaklı DBC sayısının yüzler basamağındaki D rakamı 1 olmak zorundadır.
2
Birler basamağındaki işlemi elde durumuna göre analiz etmek.
Birler basamağında elde olmadığı (B + A = C) durumu geçerlidir.
Eğer elde olsaydı B + A = 10 + C olurdu. Bu durum onlar basamağındaki A + C + 1 = 10 + B denklemiyle birleştirildiğinde 2A = 19 sonucunu verir ki bu da A'nın bir rakam olması kuralıyla çelişir.
3
Elde olmayan durumu onlar basamağı denklemiyle çözmek.
A = 5
Elde olmadığı durumda onlar basamağındaki işlem A + C = 10 + B şeklindedir. C = B + A eşitliği bu denklemde yerine yazıldığında A + (B + A) = 10 + B elde edilir. Buradan 2A = 10 ve A = 5 bulunur.

Key Concept

İki basamaklı sayıların toplamında basamak analizi ve elde kavramının matematiksel denklemlere dökülmesi.
Estimated Time:1m 30s
Question 2351Question →
Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için
P(A)=35P(A) = \frac{3}{5}
P(B)=34P(B) = \frac{3}{4}
olduğu bilinmektedir.
Buna göre, P(A′∩B)P(A' \cap B) ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 14\frac{1}{4}

Answer

14\frac{1}{4}
Verilen olasılık aksiyomları ve kümeler arası ilişkiler doğrultusunda, birleşim olayının olasılığının en fazla 1 olması kuralından hareketle kesişim kümesinin en küçük olasılık değeri 720\frac{7}{20} olarak bulunur. Kesişim kümesi AA kümesinin alt kümesi olduğundan en büyük olasılık değeri P(A)=1220P(A) = \frac{12}{20} olur. Bu sınırlar P(A′∩B)=P(B)−P(A∩B)P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) formülünde yerine konulduğunda ifadenin alabileceği en büyük değer 820\frac{8}{20}, en küçük değer ise 320\frac{3}{20} olarak elde edilir. İki sınır değerin farkı alındığında sonuç 14\frac{1}{4} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen olasılık ifadesini kesişim cinsinden yazma
P(A′∩B)=P(B)−P(A∩B)P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)
Bir olayın tümleyeninin başka bir olayla kesişimi, o olayın fark kümesinin olasılığına eşittir.
2
Kesişim olasılığının alt sınırını bulma
P(A∩B)≥P(A)+P(B)−1  ⟹  P(A∩B)≥35+34−1=720P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1 \implies P(A \cap B) \geq \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{7}{20}
Birleşim olayının olasılığı en fazla 1 olabilir (P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1).
3
Kesişim olasılığının üst sınırını bulma
P(A∩B)≤min⁡(P(A),P(B))  ⟹  P(A∩B)≤35=1220P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B)) \implies P(A \cap B) \leq \frac{3}{5} = \frac{12}{20}
Kesişim kümesinin olasılığı, kesişen kümelerin kendi olasılıklarından büyük olamaz.
4
P(A′∩B)P(A' \cap B) ifadesinin sınır değerlerini hesaplama
En büyük değer: 1520−720=820\frac{15}{20} - \frac{7}{20} = \frac{8}{20}, En küçük değer: 1520−1220=320\frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{3}{20}
P(A′∩B)=P(B)−P(A∩B)P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) ifadesinde kesişim olasılığının en küçük değeri en büyük sonucu, en büyük değeri ise en küçük sonucu verir.
5
En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı bulma
820−320=520=14\frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
Soruda istenen farkı bulmak için iki sınır değer birbirinden çıkarılır.

Key Concept

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Kesişim/Birleşim Sınırları

Hints

1
P(A′∩B)P(A' \cap B) ifadesini Venn şemasında göstererek P(B)−P(A∩B)P(B) - P(A \cap B) biçiminde yazmayı deneyin.
2
Birleşim olayının olasılığının maksimum 1 olabileceğini (P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1) kullanarak kesişim olasılığının alabileceği en küçük değeri bulun.
3
P(A∩B)≤P(A)P(A \cap B) \leq P(A) olduğunu dikkate alarak kesişim olasılığının alabileceği en büyük değeri belirleyin ve bunları P(B)−P(A∩B)P(B) - P(A \cap B) ifadesinde yerine koyun.

Practice More

Benzer sınır değer mantığıyla, P(A∪B)P(A \cup B) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin çarpımını bulmaya çalışın.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebiliriz. A∖B=xA \setminus B = x, A∩B=yA \cap B = y, B∖A=zB \setminus A = z ve dış bölge ww olsun. x+y=3/5x + y = 3/5, y+z=3/4y + z = 3/4 ve x+y+z+w=1x + y + z + w = 1 eşitlikleri yazılır. Buradan z=P(A′∩B)z = P(A' \cap B) ifadesinin sınırlarını doğrudan bu denklem sisteminden ww'ya bağlı olarak inceleyebiliriz.
Estimated Time:3m 0s
Question 2352Question →

Bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 33 katıdır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 1260∘1260^\circ

Answer

İç açılarının ölçüleri toplamı 1260∘1260^\circ olan seçenektir.
Çokgenin kenar sayısı nn olmak üzere, köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülüyle hesaplanır. Soruda verilen köşegen sayısının kenar sayısının 33 katı olması durumu n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n denklemiyle ifade edilir. Buradan n−3=6n-3 = 6 ve n=9n = 9 bulunur. Dokuz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülünden (9−2)×180∘=7×180∘=1260∘(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Köşegen sayısı ve kenar sayısı arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurun.
Kenar sayısı nn olan bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülüyle bulunur. Köşegen sayısı kenar sayısının 33 katı olduğuna göre denklem: n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n şeklindedir.
Çokgenin kenar sayısını bulmak için soruda verilen sözel ilişkiyi matematiksel bir eşitliğe dönüştürmemiz gerekir.
2
Denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.
n(n−3)2=3n⇒n(n−3)=6n\frac{n(n-3)}{2} = 3n \Rightarrow n(n-3) = 6n elde edilir. Çokgenin kenar sayısı sıfırdan büyük olacağından (n>0n > 0), eşitliğin her iki tarafını nn ile bölebiliriz. Buradan n−3=6⇒n=9n-3 = 6 \Rightarrow n = 9 (dokuzgen) bulunur.
İç açılar toplamını hesaplayabilmek için çokgenin kaç kenarlı olduğunu bilmemiz gerekir.
3
Bulunan kenar sayısını kullanarak iç açılar toplamını hesaplayın.
nn kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülüyle hesaplanır. n=9n=9 için bu değer: (9−2)×180∘=7×180∘=1260∘(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ olur.
Bizden istenen çokgenin iç açılarının toplam derecesini bulmaktır.

Key Concept

Dışbükey çokgenlerde köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ve iç açıların ölçüleri toplamı formülü (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ arasındaki ilişkidir.
Question 2353Question →

AA, BB ve CC sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere, aşağıdaki bölme işleminde ABAB iki basamaklı bir doğal sayıdır.

ABB\cline2−2CA\begin{array}{r|l} AB & B \\ \cline{2-2} & C \\ \hline A & \end{array}

A+B+C=8A + B + C = 8 olduğuna göre, CC rakamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4
Bölme bağıntısı olan AB = B * C + A ifadesi 10A + B = B * C + A şeklinde çözümlendiğinde 9A = B(C - 1) eşitliği elde edilir. Kalanın bölenden küçük olması kuralı gereğince A < B olmalıdır. Rakamların sıfırdan farklı olması ve A + B + C = 8 toplamı göz önüne alındığında, bu koşulları sağlayan tek değerler kümesi A = 1, B = 3 ve C = 4'tür. Buradan C = 4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bölme işleminin temel kuralı yazılır.
AB = B * C + A
Bölünen = Bölen * Bölüm + Kalan ilişkisini kurmak için.
2
İki basamaklı AB sayısı çözümlenerek denklem düzenlenir.
10A + B = B * C + A => 9A = B * (C - 1)
Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi basitleştirmek için.
3
Kalanın bölenden küçük olması kuralı ve rakamların sıfırdan farklı olması kuralı belirlenir.
A < B ve A, B, C sıfırdan farklı rakamlardır.
Matematiksel olarak geçerli bir bölme işlemi tanımlamak için.
4
A + B + C = 8 kısıtı kullanılarak deneme yapılır.
A = 1 için 9 = B * (C - 1) olur. Buradan B = 3 seçildiğinde C - 1 = 3 => C = 4 bulunur. A = 1 < B = 3 şartı sağlanır.
Verilen kısıtları ve denklemi sağlayan tek haneli rakam çiftlerini bulmak için.

Key Concept

Bölme işleminde kalan ilişkisi, basamak çözümleme ve harf-rakam aritmetiği kuralları.
Question 2354Question →

Komşu bütünler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 3 katından 20∘20^{\circ} fazladır. Buna göre, küçük açının tümlerinin ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Küçük açının tümlerinin ölçüsü 50 derecedir.
Komşu bütünler iki açının toplamı 180 derecedir. Küçük açıya xx dersek, büyük açı 3x+20∘3x + 20^{\circ} olur. Bu iki açının toplamı x+3x+20∘=180∘x + 3x + 20^{\circ} = 180^{\circ} denklemini verir. Denklemi çözdüğümüzde 4x=160∘4x = 160^{\circ} ve x=40∘x = 40^{\circ} bulunur. Soruda küçük açının tümleri istendiğinden, bu açıyı 90 dereceye tamamlayan değer 90∘−40∘=50∘90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Komşu bütünler açıların toplamının 180 derece olduğunu belirleme.
Küçük açıya xx dersek, büyük açı 3x+20∘3x + 20^{\circ} olur ve toplamları x+(3x+20∘)=180∘x + (3x + 20^{\circ}) = 180^{\circ} eşitliğini sağlar.
Bütünler açılar birbirini 180 dereceye tamamlar.
2
Denklemi çözerek küçük açının ölçüsünü hesaplama.
4x+20∘=180∘  ⟹  4x=160∘  ⟹  x=40∘4x + 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4x = 160^{\circ} \implies x = 40^{\circ}.
Küçük açının değerini bulmak için doğrusal denklemi çözüyoruz.
3
Küçük açının tümlerini bulma.
90∘−40∘=50∘90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}.
Tümler açılar birbirini 90 dereceye tamamlar.

Key Concept

Bütünler ve tümler açı tanımları ile doğrusal denklem çözümü.

Hints

1
Komşu bütünler iki açının ölçüleri toplamının 180∘180^{\circ} olduğunu hatırlayın.
2
Küçük açıya xx diyerek büyük açıyı xx cinsinden ifade edin ve denklemi çözerek küçük açıyı bulun.

Practice More

Bütünlerinin ölçüsü tümlerinin ölçüsünün 3 katı olan açının ölçüsünü hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Oranlama mantığıyla; açıların farkı denklemle ifade edilip toplamları 180 dereceye eşitlendiğinde küçük açının 40∘40^{\circ}, büyük açının 140∘140^{\circ} olduğu bulunur. Buradan da tümler açı doğrudan hesaplanır.
Estimated Time:45s
Question 2355Question →

Analitik düzlemde, A(−4,3)A(-4, 3) noktasından çıkan bir ışık ışını, y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu biçimindeki bir aynadan orijinde (O(0,0)O(0,0) noktasında) yansıyarak B(5,12)B(5, 12) noktasından geçmektedir.

Işığın yansıma kuralına göre; gelen ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açı, yansıyan ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açıya eşittir.

Buna göre, aynayı temsil eden doğrunun e��imi olan mm değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 311\frac{3}{11}

Answer

Aynayı temsil eden doğrunun eğimi 311\frac{3}{11}'dir.
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultuları ile ayna doğrusu arasındaki açıların eşitliği kullanılarak kurulan tanjant eşitliğinden elde edilen ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 311\frac{3}{11} değeridir. Bu değer yansıma kurallarına tam olarak uymaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultularını temsil eden doğruların eğimlerini hesaplayın.
Gelen ışının doğrusu olan AOAO doğrusunun eğimi m1=3−0−4−0=−34m_1 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4} ve yansıyan ışının doğrusu olan OBOB doğrusunun eğimi m2=12−05−0=125m_2 = \frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5} olarak bulunur.
Yansıma açılarının eşitliğini kurabilmek için öncelikle bu iki doğrunun eğim değerlerinin belirlenmesi gerekir.
2
Yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki açıların eşitliğini tanjant formülü ile yazın.
Ayna doğrusunun eğimi mm olmak üzere, ∣m−m11+m⋅m1∣=∣m2−m1+m⋅m2∣\left|\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}\right| = \left|\frac{m_2 - m}{1 + m \cdot m_2}\right| formülünden ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| eşitliği elde edilir.
Yansıma kuralı gereği, gelen ve yansıyan ışınların ayna doğrusuyla yaptığı dar açılar birbirine eşittir.
3
Elde edilen mutlak değerli denklemi düzenleyin ve çözün.
Denklem düzenlendiğinde ∣4m+34−3m∣=∣12−5m5+12m∣\left|\frac{4m + 3}{4 - 3m}\right| = \left|\frac{12 - 5m}{5 + 12m}\right| haline gelir. İki tarafın aynı işaretli olduğu durum için (4m+3)(5+12m)=(12−5m)(4−3m)(4m + 3)(5 + 12m) = (12 - 5m)(4 - 3m) çarpımı yapılır. Buradan 33m2+112m−33=033m^2 + 112m - 33 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (3m+11)(11m−3)=0(3m + 11)(11m - 3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Aynanın eğimini veren olası mm değerlerini bulmak için ikinci dereceden denklemin kökleri hesaplanır.
4
Koşullara uygun olan eğim değerini belirleyin.
m>0m > 0 koşulunu sağlayan kök m=311m = \frac{3}{11} olarak bulunur. Diğer kök olan m=−113m = -\frac{11}{3} ise ayna doğrusuna dik olan normal doğrusunun eğimidir.
Fiziksel yansımayı gerçekleştiren ve soruda pozitif olduğu belirtilen tek ayna eğimi değeri budur.

Key Concept

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve yansıma kuralının analitik geometriye uygulanması

Hints

1
Işığın yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki dar açılar birbirine eşittir.
2
İki doğrunun eğimleri mam_a ve mbm_b ise, aralarındaki açının tanjantı tan⁡θ=∣ma−mb1+ma⋅mb∣\tan \theta = \left|\frac{m_a - m_b}{1 + m_a \cdot m_b}\right| formülü ile hesaplanır. Aynanın eğimi mm olmak üzere bu formülü her iki ışın için uygulayıp birbirine eşitleyin.
3
AOAO doğrusunun eğimini m1=−34m_1 = -\frac{3}{4} ve OBOB doğrusunun eğimini m2=125m_2 = \frac{12}{5} olarak bulduktan sonra, ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| denklemini m>0m > 0 için çözün.

Practice More

Benzer bir yansıma sorusunu ayna doğrusunun eksenleri kestiği noktalar bilindiğinde ayna denklemini oluşturarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Vektörel yöntem veya yansıma simetrisi kullanılabilir. A(−4,3)A(-4, 3) noktasının y=mxy = mx doğrusuna göre simetriği olan A′(x′,y′)A'(x', y') noktası, OBOB doğrusu üzerinde ve orijine göre BB ile zıt yönde (3. bölgede) olmalıdır. A′A' noktasının koordinatları mm cinsinden yazılıp OBOB doğrusunun denklemi olan 12x−5y=012x - 5y = 0 yerine konularak da mm değeri bulunabilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 2356Question →

Analitik düzlemde, başlangıç noktası (orijin) ile A(3,−2)A(3, -2) noktasından geçen doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: −23-\frac{2}{3}

Answer

Doğrunun eğimi −23-\frac{2}{3}'tür.
Doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın ordinatları farkının apsisleri farkına oranıyla bulunur. Başlangıç noktası (0,0)(0,0) ve verilen nokta A(3,−2)A(3, -2) olduğundan eğim, ordinat olan −2-2'nin apsis olan 33'e bölünmesiyle −23-\frac{2}{3} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıç noktasının (orijin) koordinatları belirlenir.
O(0,0)O(0,0)
Eğimi hesaplamak için doğrunun geçtiği iki noktadan ilki tanımlanır.
2
Verilen A(3,−2)A(3, -2) noktası ile orijin O(0,0)O(0,0) noktaları kullanılarak iki noktası bilinen doğrunun eğim formülü yazılır.
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Doğrunun eğimini hesaplamak için genel formülün uygulanması gerekir.
3
Koordinat değerleri formülde yerine konularak eğim hesaplanır.
m=−2−03−0=−23m = \frac{-2 - 0}{3 - 0} = -\frac{2}{3}
Apsis ve ordinat farklarının oranlanmasıyla eğim değeri elde edilir.

Key Concept

İki noktası bilinen doğrunun eğimi
Estimated Time:1m 0s
Question 2357Question →
f(x)=x2−4x−5∣x−2∣−3f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4x - 5}{|x-2| - 3}}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\}

Answer

R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\} kümesi
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması gerekir. Paydayı sıfır yapan değerler x=−1x = -1 ve x=5x = 5 sayılarıdır. Bu iki değer dışındaki tüm gerçel sayılar için, hem pay hem de paydanın işaretleri her aralıkta aynı olduğundan (her ikisi de ya pozitif ya da negatif), bölümlerinin sonucu daima pozitiftir. Bu nedenle fonksiyon −1-1 ve 55 dışındaki tüm gerçel sayılar için tanımlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Kökün içindeki ifadenin tanımlılık şartlarını belirleme
Fonksiyonun gerçel sayılarda tanımlı olması için karekökün içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, x2−4x−5∣x−2∣−3≥0\frac{x^2 - 4x - 5}{|x-2| - 3} \geq 0 ve ∣x−2∣−3≠0|x-2| - 3 \neq 0 olmalıdır.
Gerçel sayılar kümesinde çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.
2
Paydayı sıfır yapan kritik noktaları bulma
∣x−2∣−3=0⇒∣x−2∣=3|x-2| - 3 = 0 \Rightarrow |x-2| = 3 olur. Buradan x−2=3⇒x=5x-2 = 3 \Rightarrow x = 5 ve x−2=−3⇒x=−1x-2 = -3 \Rightarrow x = -1 elde edilir. Dolayısıyla, x≠5x \neq 5 ve x≠−1x \neq -1 olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılar.
3
Pay ve paydayı oluşturan ifadeleri çarpanlarına ayırma ve mutlak değer aralıklarına göre inceleme
Pay kısmı: x2−4x−5=(x−5)(x+1)x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1) olarak çarpanlarına ayrılır. Mutlak değerli paydayı incelemek için iki durum ele alınır: 1) x>2x > 2 için: Payda x−2−3=x−5x-2-3 = x-5 olur. Bu durumda rasyonel ifade (x−5)(x+1)x−5=x+1\frac{(x-5)(x+1)}{x-5} = x+1 haline gelir. x>2x > 2 ve x≠5x \neq 5 için x+1>3>0x+1 > 3 > 0 olduğundan ifade daima pozitiftir. 2) x≤2x \leq 2 için: Payda 2−x−3=−(x+1)2-x-3 = -(x+1) olur. Bu durumda rasyonel ifade (x−5)(x+1)−(x+1)=−(x−5)=5−x\frac{(x-5)(x+1)}{-(x+1)} = -(x-5) = 5-x haline gelir. x≤2x \leq 2 ve x≠−1x \neq -1 için 5−x≥3>05-x \geq 3 > 0 olduğundan ifade yine daima pozitiftir.
Mutlak değerli ifadelerin işareti, içlerinin pozitif veya negatif olmasına göre değiştiği için parça parça inceleme yapılması gerekir.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek en geniş tanım kümesini oluşturma
x≠−1x \neq -1 ve x≠5x \neq 5 koşullarını sağlayan tüm gerçel sayılar için rasyonel ifade daima pozitif çıkmaktadır. Bu durumda fonksiyonun en geniş tanım kümesi R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\} olarak bulunur.
Tüm gerçel sayılardan sadece paydayı sıfır yapan (tanımsızlık yaratan) noktaların çıkarılmasıyla en geniş tanım aralığı elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerlerin dışlanması ve çift dereceli köklü ifadelerin içinin sıfırdan büyük veya eşit olmasının sağlanması.

Hints

1
Köklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içinin negatif olmaması, rasyonel bir ifadenin tanımlı olması için ise paydanın sıfır olmaması gerekir.
2
Payı çarpanlarına ayırıp paydayı sıfır yapan mutlak değerli denklemin köklerini bulun. Ardından x>2x > 2 ve x≤2x \leq 2 durumları için paydayı mutlak değer dışına çıkararak rasyonel ifadeyi sadeleştirin.
3
Rasyonel ifadenin payı (x−5)(x+1)(x-5)(x+1) şeklindedir. Payda ise x>2x > 2 için x−5x-5, x≤2x \leq 2 için −(x+1)-(x+1) olur. Bu sadeleştirmeleri yaparak her iki aralıkta da ifadenin işaretinin pozitif olduğunu görün.

Practice More

Benzer şekilde içinde mutlak değer ve rasyonel ifadeler barındıran farklı köklü fonksiyonların tanım kümelerini bularak bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Rasyonel ifadenin işaret tablosu yapılabilir. Payın kökleri −1-1 ve 55'tir. Paydanın kökleri de ∣x−2∣=3⇒x=5|x-2|=3 \Rightarrow x=5 ve x=−1x=-1'dir. Hem payın hem de paydanın kökleri aynı olduğundan, bu noktalar çift katlı kök gibi davranır (sadeleşme nedeniyle) ve işaret tablosunda −1-1 ve 55 noktalarından geçerken işaret değişmez. Her iki kök de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden çıkarılır.
Estimated Time:3m 0s
Question 2358Question →

KELEBEKKELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız 77 harfli kelimelerin kaç tanesinde EE harfinin hemen ard��ndan LL harfi gelmez?

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği kelime sayısı 240'tır.
Tüm olası 7 harfli kelime dizilimlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile 420 olarak bulunur. E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği durumları bulmak için 'EL' harfleri tek bir grup olarak bağlanır; bu durumda dizilebilecek nesneler 2 adet K, 2 adet E, 1 adet B ve 1 adet 'EL' grubu olmak üzere 6 tanedir ve dizilim sayısı 180'dir. Tüm durumlardan (420) bu istenmeyen durum (180) çıkarıldığında geriye kalan 240 dizilimde E harfinden hemen sonra L harfi gelmez. Bu nedenle 240 sayısı doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
KELEBEKKELEBEK kelimesindeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyerek oluşturulabilecek tüm 7 harfli kelimelerin sayısını hesaplamak.
Kelime 7 harflidir. Harflerin dağılımı: K harfi 2 adet, E harfi 3 adet, L harfi 1 adet, B harfi 1 adettir. Tüm durumların sayısı: 7!2!×3!=50402×6=420\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{5040}{2 \times 6} = 420 olur.
Harflerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin toplam sayısını tekrarl�� permütasyon formülüyle bulmamız gerekir.
2
E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği (yani 'EL' yan yana olan) durumların say��sını hesaplamak.
'EL' harflerini tek bir paket (blok) olarak kabul ederiz. Geriye kalan harfler: K, K, E, E, B ve (EL) bloğudur. Toplam nesne sayısı 6 olur. Bu nesnelerden K harfi 2 kez, E harfi 2 kez tekrarlamaktadır. Bu durumdaki dizilim sayısı: 6!2!×2!=7204=180\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{4} = 180 olur.
İstenmeyen durumları (E'den hemen sonra L gelen kelimeleri) tek bir eleman gibi düşünerek tüm durumların içindeki payını hesaplarız.
3
Tüm olası kelime sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkarmak.
420−180=240420 - 180 = 240 bulunur.
Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarıldığında geriye yalnızca E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği dizilimler kalır.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi
Estimated Time:2m 0s
Question 2359Question →
x,yx, y ve zz pozitif tam sayıları için
(x+y)⋅(y+z)(x + y) \cdot (y + z)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. x⋅zx \cdot z
II. xy+zx^y + z
III. x+y+zx + y + z

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

Yalnız II ifadesi her zaman çift sayıdır.
Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan x + y ve y + z ifadelerinin tek olduğu anlaşılır. y tek ise x ve z çift; y çift ise x ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z aynı teklik-çiftlik durumundadır. y pozitif tam sayı olduğu için x^y ile x aynı teklik-çiftlik karakterindedir. Aynı karaktere sahip iki sayının toplamı her zaman çift olacağından x^y + z toplamı daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
(x + y) * (y + z) çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpanların teklik-çiftlik durumları belirlenir.
x + y tek sayıdır ve y + z tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
y sayısının tek veya çift olma durumlarına göre x ve z sayılarının teklik-çiftlik durumları analiz edilir.
Durum 1: y tek ise x çift ve z çift olur. Durum 2: y çift ise x tek ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z sayıları aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek ise diğeri çift olmak zorundadır.
3
Öncüller elde edilen durumlara göre tek tek değerlendirilir.
I. öncülde x * z çarpımı x ve z tek olduğunda tek olur. II. öncülde y pozitif tam sayı olduğundan x^y ile x aynı karakterdedir ve x ile z her zaman aynı karakterde olduğundan x^y + z toplamı daima çifttir. III. öncülde x + y + z toplamı y tek olduğunda çift + tek + çift = tek olur.
Teklik ve çiftlik kuralları öncüllere uygulanarak her zaman çift sayı veren ifade belirlenir.

Key Concept

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki özellikleri.
Question 2360Question →

I. Grup'taki kelimelerin her biri birer sayı ile şifrelenerek II. Grup'taki sayılar elde edilmiştir.

I. Grup:
* KEMAL
* KELAM
* KALEM
* LAMEK
* MELEK

II. Grup:
* 2575325753
* 3528735287
* 3578235782
* 3875238752
* 7825378253

Buna göre, MAKALE kelimesinin şifresi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 283875

Answer

283875
Doğru şifre 283875283875 sayısıdır. İlk harf ve ilk rakam analizinden K=3K=3, L=7L=7 ve M=2M=2 elde edilir. Tek L ile başlayan kelime olan LAMEK'in şifresi 7825378253 olduğundan A=8A=8 ve E=5E=5 değerleri de belirlenir. Bu değerler MAKALE kelimesinde sırasıyla uygulandığında şifre 283875283875 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kelimelerin ilk harfleri ve şifrelerin ilk rakamları karşılaştırılır.
K=3K = 3, L=7L = 7 ve M=2M = 2 olarak bulunur.
I. Grup'taki beş kelimeden üçü K, biri L, biri M harfiyle başlar. II. Grup'taki şifrelerden üçü 33, biri 77, biri 22 ile başladığı için bu harfler doğrudan eşleşir.
2
L harfiyle başlayan LAMEK kelimesi ve 77 ile başlayan şifre eşleştirilir.
LAMEK=78253LAMEK = 78253 eşleşmesinden L=7L=7, A=8A=8, M=2M=2, E=5E=5 ve K=3K=3 değerleri elde edilir.
Grupta L harfiyle başlayan tek kelime LAMEK ve 77 ile başlayan tek şifre 7825378253'tür.
3
Bulunan harf değerleri M ile başlayan MELEK kelimesiyle doğrulanır.
MELEK=25753MELEK = 25753 eşleşmesiyle harf değerleri doğrulanır.
M harfiyle başlayan tek kelime MELEK ve 22 ile başlayan tek şifre 2575325753'tür. M=2,E=5,L=7,E=5,K=3M=2, E=5, L=7, E=5, K=3 değerleri bu şifreyi tam olarak sağlar.
4
Elde edilen harf değerleri sırasıyla MAKALE kelimesine uygulanır.
MAKALE kelimesinin şifresi 283875283875 olarak elde edilir.
M=2M=2, A=8A=8, K=3K=3, L=7L=7, E=5E=5 değerleri yan yana yazıldığında M(2)A(8)K(3)A(8)L(7)E(5)M(2)A(8)K(3)A(8)L(7)E(5) şeklinde şifrelenir.

Key Concept

Sözcük Şifreleme

Alternative Method

MELEK kelimesinin şifresi olan 2575325753 sayısı incelendiğinde, 22 ve 55 rakamlarının M ve E harflerine, 77 rakamının ise L harfine karşılık geldiği doğrudan görülebilir. LAMEK = 7825378253 eşleşmesinden A harfinin 88 olduğu kolayca çekilebilir. Buradan tüm harfler bulunarak MAKALE kelimesi hızlıca şifrelenir.
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 118 / 129Next
All practice questions — ALES | Examkin