Examkin

All practice questions

2563 questions

All types2,563Multiple choice2,490Numeric63Ordering10
Question 2361Question →

AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=s(B∖A)−2s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2
s(A∪B)=18s(A \cup B) = 18

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

A kümesinin eleman sayısı 13'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, birleşim formülü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanılarak oluşturulan denklem çözüldüğünde elde edilen x=5x = 5 değerinin s(A)=2x+(x−2)=3x−2s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2 ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 13 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin birleşim formülünü ayrık alt kümeler cinsinden yazın ve değişken tanımlayın.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülü yazılır. s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denilirse, s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2 olur.
Verilen oranları tek bir bilinmeyen (xx) cinsinden ifade ederek denklem kurmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
Bilinmeyen xx değerini bulmak için birleşim eleman sayısı denklemini çözün.
2x+x+(x−2)=18  ⟹  4x−2=18  ⟹  4x=20  ⟹  x=52x + x + (x - 2) = 18 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısının 18 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen değişkenin sayısal değeri hesaplanır.
3
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğundan, s(A)=2x+(x−2)=3x−2s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2 formülünde x=5x = 5 yazılırsa s(A)=3⋅5−2=13s(A) = 3 \cdot 5 - 2 = 13 elde edilir.
AA kümesi, A∖BA \setminus B fark kümesi ile A∩BA \cap B kesişim kümesinin birleşiminden oluştuğu için bu iki bölgenin eleman sayıları toplanır.

Key Concept

Birleşim kümesinin eleman sayısı, iki kümenin farkları ve kesişiminin eleman sayılarının toplamına eşittir.

Hints

1
Birleşim kümesini oluşturan ayrık bölgeleri (yalnız A'da olanlar, yalnız B'de olanlar ve her ikisinde de olanlar) Venn şeması çizerek göstermeyi deneyin.
2
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x diyerek diğer bölgelerin eleman sayılarını xx cinsinden ifade edin: s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2.
3
Tüm bölgelerin toplamını 1818 elemana eşitleyerek xx değerini bulun. Sonrasında AA kümesinin eleman sayısının s(A∖B)+s(A∩B)s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğunu unutmayın.

Practice More

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A, B ve C) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek her bir bölgeye harfler verilebilir. A∖BA \setminus B bölgesine aa, A∩BA \cap B bölgesine bb, B∖AB \setminus A bölgesine cc dersek; verilenler a=2ca = 2c, b=c−2b = c - 2 ve a+b+c=18a + b + c = 18 olur. Buradan 2c+c−2+c=18  ⟹  4c=20  ⟹  c=52c + c - 2 + c = 18 \implies 4c = 20 \implies c = 5 bulunur. Bizden istenen a+b=2c+c−2=3c−2=13a + b = 2c + c - 2 = 3c - 2 = 13 olarak doğrudan hesaplanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 2362Question →

Bir kutuda bulunan kalemlerin renklerine ve türlerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Renk / TürTükenmezDiğerToplam
Mavi4812
Kırmızı538
Toplam91120

Kutudan rastgele seçilen bir kalemin tükenmez kalem olduğu bilindiğine göre, bu kalemin kırmızı renkli olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 59\frac{5}{9}

Answer

Doğru cevap 59\frac{5}{9}'dur.
Tükenmez kalem olduğu bilinen bir kalemin kırmızı olma olasılığını bulmak için koşullu olasılık uygulanır. Tabloya göre toplam tükenmez kalem sayısı 44 (mavi) +5+ 5 (kırmızı) =9= 9'dur. Bu tükenmez kalemlerden kırmızı olanların sayısı 55 olduğuna göre, aranan olasılık 59\frac{5}{9} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tükenmez kalemlerin toplam sayısını belirlemek.
Mavi tükenmez kalem sayısı 44 ve kırmızı tükenmez kalem sayısı 55 olduğundan, toplam tükenmez kalem sayısı 4+5=94 + 5 = 9 olur.
Koşullu olasılıkta verilen koşul (seçilen kalemin tükenmez olması), yeni örnek uzayımızı oluşturur.
2
İstenen durumun (kırmızı ve tükenmez kalemlerin) eleman sayısını belirlemek.
Kırmızı renkli ve tükenmez olan kalem sayısı tabloda 55 olarak verilmiştir.
Koşul altında istenen durumun olasılığını hesaplamak için bu sayı yeni örnek uzayının eleman sayısına bölünecektir.
3
Koşullu olasılık değerini hesaplamak.
Olasılık =59= \frac{5}{9} olarak bulunur.
Koşullu olasılık formülü gereği, istenen durum sayısının koşul durum sayısına oranı alınır.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Alternative Method

Formül üzerinden: P(Kırmızı | Tükenmez) = P(Kırmızı ∩ Tükenmez) / P(Tükenmez) = (5/20) / (9/20) = 5/9 şeklinde de hesaplanabilir.
Estimated Time:45s
Question 2363Question →

Bir tiyatro oyunu için bir oyuncuya şapka, gömlek ve pantolondan oluşan bir kombinasyon seçilecektir. Oyuncunun gardırobunda;
* 33 farklı şapka (mavi, kırmızı, yeşil),
* 44 farklı gömlek (mavi, kırmızı, yeşil, beyaz),
* 33 farklı pantolon (mavi, siyah, gri)
bulunmaktadır.

Kıyafet seçiminde şu kurallara uyulacaktır:
- Seçilen şapka ve gömlek aynı renkte olmamalıdır.
- Seçilen gömlek ve pantolon aynı renkte olmamalıdır.

Buna göre, bu oyuncu için şapka, gömlek ve pantolondan oluşan 33 parçalık bir kıyafet kombinasyonu kaç farklı şekilde seçilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

25
Gömlek rengine göre durumlar ayrıştırılıp incelendiğinde; beyaz gömlek için 9, mavi gömlek için 4, kırmızı gömlek için 6 ve yeşil gömlek için 6 farklı durum oluşur. Bu ayrık durumların toplamı olan 25 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Gömlek rengine göre durum analizi yapılır. İlk olarak gömlek renginin beyaz olması durumu incelenir.
Eğer gömlek beyaz seçilirse (11 durum), şapka için mavi, kırmızı, yeşil (33 durum) ve pantolon için mavi, siyah, gri (33 durum) seçilebilir. Buradan 1×3×3=91 \times 3 \times 3 = 9 farklı kombinasyon elde edilir.
Beyaz rengi şapka ve pantolon renk listelerinde bulunmadığından herhangi bir kısıtlamaya yol açmaz.
2
Gömlek renginin mavi olması durumu incelenir.
Eğer gömlek mavi seçilirse (11 durum), şapka mavi olamayacağından kırmızı veya yeşil (22 durum); pantolon da mavi olamayacağından siyah veya gri (22 durum) seçilebilir. Buradan 1×2×2=41 \times 2 \times 2 = 4 farklı kombinasyon elde edilir.
Gömlek mavi olduğunda, şapka ve pantolon mavi seçilemez.
3
Gömlek renginin kırmızı veya yeşil olması durumları incelenir.
Gömlek kırmızı seçilirse (11 durum), şapka kırmızı olamayacağından mavi veya yeşil (22 durum) seçilebilir. Pantolon renkleri arasında kırmızı olmadığından pantolon için mavi, siyah, gri (33 durum) seçilebilir. Buradan 1×2×3=61 \times 2 \times 3 = 6 kombinasyon elde edilir. Benzer şekilde, gömlek yeşil seçildiğinde de şapka için yeşil hariç 22 durum, pantolon için 33 durum olmak üzere 1×2×3=61 \times 2 \times 3 = 6 kombinasyon elde edilir.
Kırmızı ve yeşil renkleri pantolon seçeneklerinde bulunmadığı için pantolon seçimini kısıtlamaz ancak şapka seçimini kısıtlar.
4
Elde edilen tüm ayrık durumların kombinasyon sayıları toplanır.
9+4+6+6=259 + 4 + 6 + 6 = 25 farklı kombinasyon bulunur.
Ayrık durumların toplam seçenek sayısını bulmak için toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Saymanın çarpma ve toplama kurallarının kısıtlı durumlarda ayrı ayrı incelenerek uygulanması.
Question 2364Question →

Bir evrensel kümenin iki alt kümesi olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=22s(A \cup B) = 22
* s(A∖B)=s(B∖A)+3s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3
* s(A∩B)=s(A∖B)−5s(A \cap B) = s(A \setminus B) - 5

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15
Doğru cevap 15'tir. Çünkü fark bölgesi eleman sayısı xx cinsinden yazılıp birleşim kümesi denklemine yerleştirildiğinde bilinmeyen değer 7 olarak bulunur. Bu değer yerine yazıldığında ilk kümenin fark bölgesi 10, kesişim bölgesi 5 olur. Bu iki bölgenin toplamı olan 15 değeri doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin bölgelerine değişken atayarak eleman sayılarını belirleme
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda s(A∖B)=x+3s(A \setminus B) = x + 3 ve s(A∩B)=(x+3)−5=x−2s(A \cap B) = (x + 3) - 5 = x - 2 olur.
Tüm bölgeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek birleşim kümesi formülünü uygulamak.
2
Birleşim formülü ile bilinmeyen değişkeni çözme
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünden, 22=(x+3)+x+(x−2)  ⟹  22=3x+1  ⟹  3x=21  ⟹  x=722 = (x + 3) + x + (x - 2) \implies 22 = 3x + 1 \implies 3x = 21 \implies x = 7 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısı, kesişmeyen üç alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.
3
İstenen kümenin eleman sayısını hesaplama
s(A∖B)=7+3=10s(A \setminus B) = 7 + 3 = 10 ve s(A∩B)=7−2=5s(A \cap B) = 7 - 2 = 5 olur. Buradan s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=10+5=15s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 10 + 5 = 15 elde edilir.
İlk kümenin toplam eleman sayısı, o kümenin fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler

Hints

1
Kümelerin birleşimini oluşturan üç temel ayrık bölgeyi (fark bölgeleri ve kesişim) belirleyin.
2
Bir bölgenin eleman sayısına değişken atayarak diğer bölgeleri bu değişken cinsinden yazın ve toplamlarını birleşim eleman sayısına eşitleyin.

Practice More

Benzer şekilde üç kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini içeren sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilerek deneme yapılabilir. Örneğin ilk kümenin eleman sayısı 15 olarak alındığında kesişim 5 ve fark bölgesi 10 olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Question 2365Question →

Bir süsleme için kullanılacak özdeş 33 sarı ve özdeş 22 kırmızı balon, düz bir ipe yan yana asılacaktır.

Buna göre, bu balonlar ip üzerinde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Balonlar ip üzerinde yan yana 10 farklı şekilde sıralanabilir.
Doğru cevap 10'dur. Toplam 5 balonun (3 sarı ve 2 kırmızı) yan yana sıralanma sayısı, özdeş balonların kendi aralarındaki yer değiştirmeleri durumu değiştirmeyeceğinden tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplanır. Formül 5!3!⋅2!\frac{5!}{3! \cdot 2!} şeklindedir. Buradan hesaplama yapıldığında 1206⋅2=10\frac{120}{6 \cdot 2} = 10 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Toplam nesne (balon) sayısını belirleme
Toplam 3+2=53 + 2 = 5 balon vardır.
Sıralanacak tüm elemanların toplam sayısını bulmamız gerekir.
2
Özdeş (tekrar eden) nesne sayılarını belirleme
Sarı balonlar 33 kez, kırmızı balonlar ise 22 kez tekrar etmektedir.
Aynı renkteki balonlar özdeş olduğu için kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir sıralama oluşturmaz.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayarak farklı sıralama sayısını hesaplama
5!3!×2!=1206×2=12012=10\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10
Toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden eleman sayılarının faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon, bazı elemanları özdeş olan bir kümenin elemanlarının farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için kullanılır. Toplam nn elemandan n1,n2,…,nrn_1, n_2, \dots, n_r tanesi kendi aralarında özdeş ise sıralama sayısı n!n1!⋅n2!…nr!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!} formülüyle bulunur.
Question 2366Question →

Bir toplulukta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini konuşan 3030 kişi bulunmaktadır. Bu toplulukta Almanca konuşanların sayısı 1818, her iki dili de konuşanların sayısı ise 55'tir. Buna göre, bu toplulukta sadece Fransızca konuşan kaç kişi vardır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Sadece Fransızca konuşan kişi sayısı 12'dir.
Topluluktaki toplam kişi sayısı (Almanca veya Fransızca konuşanlar), Almanca konuşanlar ile sadece Fransızca konuşanların toplamına eşittir. Bu durumda sadece Fransızca konuşanların sayısı 30−18=1230 - 18 = 12 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel bilgileri küme sembolleriyle ifade etmek.
Almanca konuşanlar kümesi AA, Fransızca konuşanlar kümesi FF olsun. Verilenler: s(A∪F)=30s(A \cup F) = 30, s(A)=18s(A) = 18 ve s(A∩F)=5s(A \cap F) = 5'tir.
Problemdeki verileri matematiksel olarak modellemek.
2
Sadece Fransızca konuşanların sayısını bulmak için birleşim kümesinden Almanca konuşanların tamamını çıkarmak.
s(F∖A)=s(A∪F)−s(A)=30−18=12s(F \setminus A) = s(A \cup F) - s(A) = 30 - 18 = 12 olarak hesaplanır.
Almanca veya Fransızca konuşanlar kümesi, Almanca konuşanlar ile sadece Fransızca konuşanların birleşiminden oluşur. Bu iki küme ayrık olduğu için eleman sayıları farkı doğrudan sonucu verir.

Key Concept

İki kümenin birleşimi ve farkı yardımıyla küme problemlerinin çözümü
Question 2367Question →

Bir spor salonundaki üyelerin beslenme ve egzersiz alışkanlıklarıyla ilgili yapılan bir araştırmada şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Üyelerin %65\%65’i düzenli kardiyo yapmaktadır.
* Üyelerin %50\%50’si düzenli olarak protein ağırlıklı beslenmektedir.
* Düzenli kardiyo yapıp protein ağırlıklı beslenmeyen üyelerin sayısı, bu iki alışkanlıktan hiçbirine sahip olmayan üyelerin sayısının 33 katıdır.
* Hem düzenli kardiyo yapan hem de protein ağırlıklı beslenen üye sayısı 2222’dir.

Buna göre, araştırmaya katılan toplam üye sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Araştırmaya katılan toplam üye sayısı 80'dir.
Toplam üye sayısına 80 denildiğinde; kardiyo yapanlar 80×0,65=5280 \times 0,65 = 52, protein beslenenler 80×0,50=4080 \times 0,50 = 40 kişidir. Hem kardiyo yapan hem protein beslenen 22 kişi olduğundan, sadece kardiyo yapanlar 52−22=3052 - 22 = 30 kişi olur. İki alışkanlıktan en az birine sahip olanlar 30+22+18=7030 + 22 + 18 = 70 kişidir. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayanlar ise 80−70=1080 - 70 = 10 kişidir. Sadece kardiyo yapanların sayısı (30), hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların sayısının (10) tam olarak 3 katıdır. Bu durum tüm koşulları sağladığı için 80 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam üye sayısını değişken cinsinden tanımlama
Toplam üye sayısı TT olsun. Bu durumda düzenli kardiyo yapan üye sayısı 0,65T0,65T, protein ağırlıklı beslenen üye sayısı ise 0,50T0,50T olur.
Yüzde problemlerini çözmeyi kolaylaştırmak için toplam miktar değişken cinsinden ifade edilir.
2
Kümelerin kesişimini kullanarak sadece tek bir alışkanlığa sahip olan bölgeleri bulma
Hem kardiyo yapan hem protein beslenen üye sayısı 2222 olduğundan; sadece düzenli kardiyo yapanlar 0,65T−220,65T - 22, sadece protein ağırlıklı beslenenler ise 0,50T−220,50T - 22 olur.
Venn şemasındaki her bir ayrık bölgenin eleman sayısını toplam cinsinden ifade etmek gerekir.
3
İki alışkanlığa da sahip olmayanların (dış bölge) eleman sayısını bulma
En az bir alışkanlığa sahip olanların toplamı (birleşim kümesi): (0,65T−22)+22+(0,50T−22)=1,15T−22(0,65T - 22) + 22 + (0,50T - 22) = 1,15T - 22 olur. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayan üye sayısı ise: T−(1,15T−22)=22−0,15TT - (1,15T - 22) = 22 - 0,15T olarak bulunur.
Evrensel kümeden birleşim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak iki kümenin de dışında kalan eleman sayısı belirlenir.
4
Verilen oran ilişkisiyle denklem kurma ve çözme
Sadece kardiyo yapanlar, hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların 33 katı olduğuna göre:
0,65T−22=3×(22−0,15T)0,65T - 22 = 3 \times (22 - 0,15T)
0,65T−22=66−0,45T0,65T - 22 = 66 - 0,45T
0,65T+0,45T=66+220,65T + 0,45T = 66 + 22
1,1T=881,1T = 88
T=80T = 80 bulunur.
Sözel olarak verilen kat ilişkisi matematiksel eşitliğe dönüştürülerek toplam üye sayısı elde edilir.

Key Concept

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma
Question 2368Question →

Analitik düzlemde, A(−1,4)A(-1, 4) noktasından geçen ve 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaların orta noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0

Answer

6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 denklemi doğru cevaptır.
Verilen doğrunun eksenleri kestiği (3,0)(3, 0) ve (0,2)(0, 2) noktalarının orta noktası (32,1)\left(\frac{3}{2}, 1\right) olarak hesaplanır. Bu nokta ile A(−1,4)A(-1, 4) noktasından geçen doğrunun eğimi −65-\frac{6}{5} olup, y−4=−65(x+1)y - 4 = -\frac{6}{5}(x + 1) bağıntısından aradığımız doğru denklemi 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
Doğru, y=0y = 0 için x=3x = 3 noktasında yani (3,0)(3, 0) noktasında x-eksenini keser. x=0x = 0 için y=2y = 2 noktasında yani (0,2)(0, 2) noktasında y-eksenini keser.
Aranan doğrunun geçtiği orta noktayı hesaplamak için öncelikle eksen kesişim noktalarını belirlememiz gerekir.
2
Eksenleri kesen (3,0)(3, 0) ve (0,2)(0, 2) noktalarının orta noktasını hesaplayınız.
Orta nokta formülünden, orta nokta koordinatları M(3+02,0+22)=(32,1)M\left(\frac{3+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) olarak bulunur.
Soruda istenen ikinci noktanın koordinatlarını tespit etmek amacıyla orta nokta hesaplanır.
3
A(−1,4)A(-1, 4) ve M(32,1)M\left(\frac{3}{2}, 1\right) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
Eğim formülünden m=y2−y1x2−x1=1−432−(−1)=−352=−65m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 4}{\frac{3}{2} - (-1)} = \frac{-3}{\frac{5}{2}} = -\frac{6}{5} elde edilir.
Doğru denklemini yazmak için gereken eğim değerini elde etmek.
4
Eğimi ve geçtiği noktası bilinen doğrunun denklemini oluşturunuz.
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülünden y−4=−65(x+1)y - 4 = -\frac{6}{5}(x + 1) yazılır. Buradan 5y−20=−6x−65y - 20 = -6x - 6 ve düzenlendiğinde 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 denklemi bulunur.
Elde edilen verileri kullanarak aranan doğrunun genel denklemini oluşturmak.

Key Concept

İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulma ve doğru denklemi yazma

Alternative Method

Seçeneklerdeki doğru denklemlerinde A(−1,4)A(-1, 4) noktası yerine yazılarak test edilebilir. Doğru seçenekte −1-1 ve 44 yazıldığında 6(−1)+5(4)−14=−6+20−14=06(-1) + 5(4) - 14 = -6 + 20 - 14 = 0 eşitliği sağlanır, diğer seçeneklerde bu eşitlik sağlanmaz.
Estimated Time:1m 30s
Question 2369Question →

Dik koordinat düzleminde, A(2,5)A(2, 5) ve B(6,−1)B(6, -1) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan ve y=3x−2y = 3x - 2 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: y=3x−10y = 3x - 10

Answer

Eğimi 3 olan ve orta nokta koordinatları (4,2)(4, 2) olan noktadan geçen y=3x−10y = 3x - 10 doğrusudur.
Doğru cevap olan ifade, verilen iki noktanın orta noktası olan koordinatları (4,2)(4, 2) olan noktadan geçen ve eğimi 33 olan y=3x−10y = 3x - 10 doğrusudur. Bu doğru üzerindeki her noktanın verilen iki noktaya olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Orta noktanın belirlenmesi
C(4,2)C(4, 2)
İki noktaya eşit uzaklıkta bulunan bir doğru, bu noktaları birleştiren doğru parçasına paralel değilse, bu doğru parçasının orta noktasından geçmelidir.
2
Eğimin belirlenmesi
m=3m = 3
Paralel doğruların eğimleri eşittir. İstenen doğru y=3x−2y = 3x - 2 doğrusuna paralel olduğu için eğimi 3 olmalıdır.
3
Doğru denkleminin yazılması
y=3x−10y = 3x - 10
Eğimi 3 olan ve C(4,2)C(4, 2) noktasından geçen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle y−2=3(x−4)y - 2 = 3(x - 4) olarak kurulur ve düzenlenir.

Key Concept

Analitik düzlemde paralel doğruların eğimleri ve orta nokta özellikleri
Estimated Time:1m 30s
Question 2370Question →

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce, Almanca veya Fransızca dillerinden yalnız birini konuşabilmektedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuşma olasılığı 13\frac{1}{3}, Almanca konuşma olasılığı ise 25\frac{2}{5}'tir.

Buna göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Fransızca konuşma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 415\frac{4}{15}

Answer

Fransızca konuşma olasıl��ğı olan 415\frac{4}{15}
İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerini konuşan öğrencilerin grupları ayrık olaylar oluşturur ve sınıfın tamamını kapsar. Bu nedenle bu üç grubun olasılıkları toplamı 11'e eşit olmalıdır. İngilizce konuşma olasılığı olan 13\frac{1}{3} ile Almanca konuşma olasılığı olan 25\frac{2}{5} değerleri toplandığında, payda eşitleme işlemiyle 1115\frac{11}{15} elde edilir. Fransızca konuşma olasılığı ise tümleyen kuralı gereği bu toplamın 11'den çıkarılmasıyla hesaplanır: 1−1115=4151 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 415\frac{4}{15} olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Sınıftaki öğrencilerin konuşabildiği tüm dillerin olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyin.
P(I˙ngilizce)+P(Almanca)+P(Fransızca)=1P(\text{İngilizce}) + P(\text{Almanca}) + P(\text{Fransızca}) = 1 olur.
Sınıftaki herkes bu dillerden yalnızca birini konuştuğu için bu dillerin olasılıkları ayrık olaylar oluşturur ve toplamları kesin olaya (11) eşittir.
2
İngilizce ve Almanca konuşan öğrencilerin olasılıklarını toplayın.
13+25=515+615=1115\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15} olur.
Fransızca dışındaki dilleri konuşan öğrencilerin toplam olasılığını belirlemek için paydalar eşitlenerek toplama yapılır.
3
Fransızca konuşma olasılığını bulmak için elde edilen toplamı 11'den çıkarın.
P(Fransızca)=1−1115=415P(\text{Fransızca}) = 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} bulunur.
Tümleyen kuralı uygulanarak geriye kalan grubun olasılığı hesaplanır.

Key Concept

Tümleyen Olasılık Kuralı ve Ayrık Olaylar
Estimated Time:1m 0s
Question 2371Question →

Üç adet hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 58\frac{5}{8}

Answer

Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı 58\frac{5}{8}'dir.
Çarpımın 4'ün katı olması olasılığı, tüm durumların olasılığı olan 1'den, çarpımın 4'ün katı olmama olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanır. Çarpımın 4'ün katı olmaması için ya tüm zarlar tek sayı gelmeli (2727 durum) ya da zarlardan yalnız biri 2 veya 6 gelip diğerleri tek sayı gelmelidir (5454 durum). Bu durumda tümleyen durum sayısı 8181 olup olasılığı 81216=38\frac{81}{216} = \frac{3}{8}'dir. İstenen olasılık ise 1−38=581 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} olur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm durumların (örnek uzayın) sayısını belirleme.
Üç zar atıldığında toplam olası durum sayısı 6×6×6=2166 \times 6 \times 6 = 216 olur.
Her bir zarın 6 farklı yüzü olduğundan çarpım kuralı uygulanır.
2
Tümleyen olay olan 'çarpımın 4'ün katı olmama' durumunun koşullarını belirleme.
Çarpımın 4'ün katı olmaması için iki durum vardır: 1) Üç zarın da tek sayı gelmesi, 2) Zarlardan sadece birinin çift sayı gelmesi ve bu çift sayının 4 olmaması (yani 2 veya 6 olması), diğer iki zarın ise tek sayı gelmesi.
Çarpımın 4 ile bölünememesi için içerisinde en fazla bir tane 2 çarpanı bulunabilir, 4 çarpanı ise hiç bulunamaz.
3
Tümleyen olaya ait durum sayılarını hesaplama.
Birinci durum (üçü de tek): {1,3,5}\{1, 3, 5\} kümesinden 3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 durum. İkinci durum (bir çift 2 veya 6, iki tek): Çift sayının geleceği zar 3 farklı şekilde seçilir. Bu zar için 2 veya 6 olmak üzere 2 seçenek vardır. Diğer iki tek zar için 3×3=93 \times 3 = 9 seçenek vardır. Buradan 3×2×9=543 \times 2 \times 9 = 54 durum elde edilir. Toplam tümleyen durum sayısı 27+54=8127 + 54 = 81 olur.
Her iki durum ayrık olaylar olduğundan durum sayıları toplanır.
4
Tümleyen olayın olasılığını ve ardından istenen olayın olasılığını tümleyen kuralıyla hesaplama.
Çarpımın 4'ün katı olmama olasılığı 81216=38\frac{81}{216} = \frac{3}{8}'dir. İstenen durumun (çarpımın 4'ün katı olma) olasılığı ise 1−38=581 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} olarak bulunur.
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı 1'e eşittir (P(A)+P(A′)=1P(A) + P(A') = 1).

Key Concept

Bir olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) o olayın gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanabilir: P(A)=1−P(A′)P(A) = 1 - P(A').

Alternative Method

Çözüm doğrudan sayılarak da yapılabilir. Çarpımın 4'ün katı olması için zarların en az birinin 4 gelmesi veya en az iki zarda çift sayı (2 veya 6) gelmesi gerekir. Bu durumlar tek tek toplanarak da 135 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:3m 0s
Question 2372Question →

Fındık ve bademden oluşan bir kuruyemiş karışımındaki fındık oranı ağırlıkça %40\%40'tır. Bu karışıma 120120 gram badem ve bir miktar fındık eklendiğinde, yeni karışımın a��ırlığı başlangıçtaki karışımın ağırlığının 22 katı olmakta ve karışımdaki fındık oranı %45\%45'e çıkmaktadır.

Buna göre, karışıma sonradan eklenen fındık miktarı kaç gramdır?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Karışıma sonradan eklenen fındık miktarı 120 gramdır.
Doğru seçenekteki 120 gram fındık miktarı, karışımın başlangıç ağırlığı olan 240 gram ile eklenen badem ve fındık miktarlarının toplam ağırlık üzerindeki iki kat artış ilişkisini ve yüzde 45 olan son fındık oranını tam olarak sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki karışımın toplam ağırlığına xx gram diyerek fındık ve badem miktarlarını belirlemek.
Başlangıçtaki fındık miktarı 04x0{}4x gram, badem miktarı ise 06x0{}6x gram olur.
Karışımdaki bileşenlerin başlangıç ağırlıklarını bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.
2
Karışıma eklenen badem (120120 gram) ve fındık (yy gram) miktarlarını kullanarak toplam ağırlık ilişkisini kurmak.
x+120+y=2x  ⟹  x=y+120x + 120 + y = 2x \implies x = y + 120 denklemi elde edilir.
Yeni karışımın ağırlığının başlangıçtaki ağırlığın 2 katı olduğu bilgisini matematiksel olarak ifade etmek için.
3
Yeni karışımdaki fındık oranını %45\%45 yapan denklemi kurmak.
04x+y2x=045  ⟹  04x+y=09x  ⟹  y=05x\frac{0{}4x + y}{2x} = 0{}45 \implies 0{}4x + y = 0{}9x \implies y = 0{}5x elde edilir.
Eklemelerden sonraki fındık miktarının yeni toplam ağırlığa oranını kullanmak için.
4
Elde edilen x=y+120x = y + 120 ve y=05xy = 0{}5x denklemlerini ortak çözerek yy değerini bulmak.
x=2y  ⟹  2y=y+120  ⟹  y=120x = 2y \implies 2y = y + 120 \implies y = 120 bulunur.
Eklenen fındık miktarını (yy) hesaplamak için.

Key Concept

Karışım Problemleri ve Denklem Kurma
Question 2373Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3
g(x)=2x+2x−1g(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}
fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1313

Answer

İfadenin doğru değeri 1313 olmalıdır.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) şeklindedir. İlk olarak içteki g(3)g(3) değeri hesaplanır: g(3)=2(3)+23−1=4g(3) = \frac{2(3)+2}{3-1} = 4. Ardından bu değer dıştaki ff fonksiyonunda yerine yazılır: f(4)=42−3=13f(4) = 4^2 - 3 = 13. Bu nedenle doğru değer 1313 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=2x+2x−1g(x) = \frac{2x+2}{x-1} fonksiyonunda xx yerine 33 yazarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=2(3)+23−1=82=4g(3) = \frac{2(3)+2}{3-1} = \frac{8}{2} = 4
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesi f(g(3))f(g(3)) değerine eşittir. Bu nedenle önce içteki fonksiyonun değeri hesaplanmalıdır.
2
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 fonksiyonunda xx yerine g(3)g(3)'ün değeri olan 44 yazarak f(4)f(4) değerini hesaplayın.
f(4)=42−3=16−3=13f(4) = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13
İlk adımda elde edilen g(3)=4g(3) = 4 değeri, dıştaki f(x)f(x) fonksiyonuna girdi olarak yazılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyon işlemlerinde, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği kullanılarak işlemler her zaman en içteki fonksiyondan dışa doğru sırayla yapılır.
Question 2374Question →

Bir şifreleme sisteminde, dört harfli sözcüklerin harfleri sıfırdan farklı birer rakamla eşleştirilmektedir. Sözcüklerin şifreleri oluşturulurken harflerin sırası korunmamış, her harfe karşılık gelen rakamlar karıştırılarak yazılmıştır.

Aşağıda bazı sözcükler ve bu sözcüklerin şifreleri karışık sırayla verilmiştir:

Sözcükler:
* MERT
* TREN
* METE
* KREM

Şifreler:
* 25722572
* 28352835
* 35273527
* 72137213

Buna göre, KEMENT sözcüğünün şifresi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 721285

Answer

721285 sayısı (K=1, E=2, M=7, E=2, N=8, T=5 rakamlarının karışımıdır)
Doğru şifre olan 721285 sayısı, KEMENT sözcüğündeki harflerin sayısal karşılıkları olan {1, 2, 2, 5, 7, 8} kümesindeki tüm rakamları eksiksiz ve doğru adetlerde içermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Harf tekrarı olan sözcük ile şifreyi eşleştirmek
Sözcükler arasında iki aynı harfe (E) sahip tek sözcük METE'dir. Şifreler arasında da aynı rakamı iki kez içeren tek sayı 2572'dir. Buradan E = 2 olduğu sonucuna varılır.
Tekrarlanan harf ve rakamlar arasındaki birebir eşleşme en kesin başlangıç noktasıdır.
2
M ve T harflerinin olası değerlerini belirlemek
METE sözcüğündeki diğer harfler M ve T'dir. 2572 şifresinde kalan rakamlar 5 ve 7 olduğundan, {M, T} = {5, 7} kümesi elde edilir.
Bilinmeyen harfleri gruplandırarak olasılıkları daraltmak için bu adım gereklidir.
3
MERT sözcüğü yardımıyla R harfinin değerini bulmak
MERT sözcüğü E(2), R ve {M, T}(5, 7) harflerinden oluşur. Şifreler arasında {2, 5, 7} rakamlarını içeren tek şifre 3527'dir. Bu durumda dışarıda kalan 3 rakamı R harfine aittir (R = 3).
E ve R harfleri arasındaki belirsizliği tamamen çözmek için MERT sözcüğü kullanılır.
4
KREM ve TREN sözcükleri üzerinden diğer harfleri netleştirmek
KREM sözcüğü K, R(3), E(2), M harflerinden oluşur ve şifresi 7213'tür. Bu şifrede 2, 3 ve 7 rakamları bulunduğundan M = 7 ve K = 1 olarak bulunur. M = 7 ise T = 5 olur. TREN sözcüğü T(5), R(3), E(2), N harflerinden oluşur ve şifresi 2835'tir. Buradan N = 8 bulunur.
KEMENT sözcüğündeki tüm harflerin sayısal karşılıklarını doğrulamak için son harfler belirlenir.
5
KEMENT sözcüğünün şifre kümesini kontrol etmek
KEMENT harfleri K(1), E(2), M(7), E(2), N(8), T(5) değerlerine sahiptir. Bu harflerin şifresi {1, 2, 2, 5, 7, 8} rakamlarının bir permütasyonu olmalıdır. Seçeneklerdeki 721285 sayısı bu rakamları tam olarak karşılar.
Bulunan tüm değerleri birleştirerek doğru şifreyi doğrulamak.

Key Concept

Sözcük Şifreleme ve Harf-Sayı Eşleştirme Mantığı

Hints

1
Kelimeler arasında harf tekrarı olan tek kelimeyi belirleyip şifrelerdeki rakam tekrarlarıyla karşılaştırın.
2
METE sözcüğündeki iki adet 'E' harfi, şifreler arasındaki 2572 şifresindeki iki adet '2' rakamıyla eşleşir. Buradan E = 2 sonucunu çıkarabilirsiniz.
3
E = 2 olduğunu bulduktan sonra, hem E hem de M ve T harflerini barındıran MERT kelimesinin şifresini (3527) bularak R = 3 değerine ulaşırsınız. Diğer kelimeler yardımıyla tüm harfleri çözebilirsiniz.

Practice More

Karakter tekrarlarının ve ortak harflerin kullanıldığı benzer sayısal mantık şifreleme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm kelimelerdeki harflerin toplam frekansını (tekrar sayısını) hesaplayarak şifrelerdeki rakamların toplam frekansıyla eşleştirebilirsiniz. Örneğin şifrelerde toplam 6 adet '2' rakamı bulunmaktadır ve kelimelerde toplam 6 adet 'E' harfi geçmektedir. Bu doğrudan E = 2 olduğunu doğrular.
Estimated Time:2m 30s
Question 2375Question →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta ve ⋆\star işlemleri
xΔy=2x+yx \mathbin{\Delta} y = 2x + y
x⋆y=3x−2y+kx \mathbin{\star} y = 3x - 2y + k
biçiminde tanımlanıyor.
(3Δ4)⋆5=26(3 \mathbin{\Delta} 4) \mathbin{\star} 5 = 26
olduğuna göre, kk değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6
İşlemler sırasıyla uygulandığında denklemi sağlamaktadır. Öncelikle parantez içindeki 3Δ43 \mathbin{\Delta} 4 işlemi için kural uygulandığında 2×3+4=102 \times 3 + 4 = 10 elde edilir. Bu değer ⋆\star işleminde yerine yazıldığında 10⋆5=3×10−2×5+k=20+k10 \mathbin{\star} 5 = 3 \times 10 - 2 \times 5 + k = 20 + k olur. İfadenin 2626'ya eşit olması gerektiğinden 20+k=26  ⟹  k=620 + k = 26 \implies k = 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki işlem olan 3Δ43 \mathbin{\Delta} 4 ifadesinin değeri kurala göre hesaplanır.
3Δ4=2×3+4=103 \mathbin{\Delta} 4 = 2 \times 3 + 4 = 10 elde edilir.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi işlem yapılmalıdır.
2
Elde edilen sonuç ikinci işlemde yerine yazılır: 10⋆510 \mathbin{\star} 5.
10⋆5=3×10−2×5+k=20+k10 \mathbin{\star} 5 = 3 \times 10 - 2 \times 5 + k = 20 + k elde edilir.
Bulunan ara değer, dıştaki operatörün ilk bileşeni olarak işleme sokulur.
3
Bulunan ifade verilen eşitliğe (2626) eşitlenerek bilinmeyen kk değişkeni çözülür.
20+k=26  ⟹  k=620 + k = 26 \implies k = 6 bulunur.
Bilinmeyen kk sabitinin değerini bulmak için doğrusal denklem çözümü yapılır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler
Estimated Time:1m 30s
Question 2376Question →

Elemanları {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} olan bir kümede ⊕\oplus işlemi tanımlanmıştır. Bu işlemin sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablodaki işlemler satır elemanı birinci bileşen, sütun elemanı ikinci bileşen olacak şekilde tanımlanmıştır (Örneğin 2⊕4=22 \oplus 4 = 2 dir).

⊕\oplus1234
14223
23142
32431
41324

Buna göre, (4⊕2)⊕(1⊕3)(4 \oplus 2) \oplus (1 \oplus 3) işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 44

Answer

İşlemin doğru sonucu 44 değeridir.
Tabloda satır ve sütun kesişimleri doğru takip edilerek işlemler sırasıyla yapıldığında, (4⊕2)(4 \oplus 2) ifadesinin değeri 33, (1⊕3)(1 \oplus 3) ifadesinin değeri 22 olarak bulunur. Son adımda bu iki değerin ⊕\oplus işlemine alınmasıyla elde edilen 3⊕23 \oplus 2 işleminin sonucu 44 olur.

Step-by-Step Solution

1
İlk parantez içindeki 4⊕24 \oplus 2 işleminin sonucunu bulunuz.
4⊕2=34 \oplus 2 = 3
Tabloda 4. satır ile 2. sütunun kesiştiği hücredeki değer 3'tür.
2
İkinci parantez içindeki 1⊕31 \oplus 3 işleminin sonucunu bulunuz.
1⊕3=21 \oplus 3 = 2
Tabloda 1. satır ile 3. sütunun kesiştiği hücredeki değer 2'dir.
3
Elde edilen sonuçları ana işlemde yerine yazarak 3⊕23 \oplus 2 işlemini gerçekleştiriniz.
3⊕2=43 \oplus 2 = 4
Tabloda 3. satır ile 2. sütunun kesiştiği hücredeki değer 4'tür. Bu değer aranan nihai cevaptır.

Key Concept

İşlem tablolarında satır ve sütun kesişimlerine göre değer okuma ve adım adım işlem yapma.
Estimated Time:1m 0s
Question 2377Question →

İki basamaklı KLKL doğal sayısı ile tek basamaklı MM doğal sayısı çarpıldığında üç basamaklı 1ML1ML doğal sayısı elde edilmektedir.

Her biri sıfırdan büy��k ve birbirinden farklı olan KK, LL ve MM rakamları için K+L+MK + L + M toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

K + L + M toplamının alabileceği en büyük değer 16'dır.
Verilen çarpma işlemi 10M(K−1)+L(M−1)=10010M(K-1) + L(M-1) = 100 şeklinde düzenlendiğinde, L(M−1)L(M-1) çarpımının 10'un katı olması gerektiği görülür. Rakamların sıfırdan büyük ve birbirinden farklı olması koşulu altında bu durumu sağlayan en büyük değerler K=2,L=8,M=6K=2, L=8, M=6 olarak bulunur. Bu rakamlar için 28×6=16828 \times 6 = 168 eşitliği sağlanır ve toplam 2+8+6=162+8+6=16 olur.

Step-by-Step Solution

1
Çarpma işlemini basamak çözümlemesi kullanarak bir denklem haline getirin.
M⋅(10K+L)=100+10M+LM \cdot (10K + L) = 100 + 10M + L
Harfli ifadeleri çözerek değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi belirlemek.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirip ortak paranteze alın.
10M(K−1)+L(M−1)=10010M(K - 1) + L(M - 1) = 100
Denklemi rakam değerlerini denemeyi kolaylaştıracak şekilde gruplandırmak.
3
Denklemin sol tarafındaki terimlerin 10'un katı olma durumunu inceleyin.
10M(K−1)10M(K-1) ve 100100 sayıları 10'un katı olduğundan, L(M−1)L(M-1) ifadesi de 10'un katı olmalıdır.
Değişkenlerin alabileceği değer aralığını ve olası durumları daraltmak.
4
Farklı LL ve MM rakamları için L(M−1)L(M-1) çarpımının 10'un katı olduğu durumları inceleyerek KK değerlerini bulun.
Üç farklı geçerli çözüm elde edilir: 45×3=13545 \times 3 = 135 (toplam 12), 25×7=17525 \times 7 = 175 (toplam 14) ve 28×6=16828 \times 6 = 168 (toplam 16).
Tüm olası çözümleri bulup toplamı en büyük yapan rakamları belirlemek.

Key Concept

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

Hints

1
Çarpma işlemini M⋅(10K+L)=100+10M+LM \cdot (10K + L) = 100 + 10M + L biçiminde basamaklarına ayırarak yazın.
2
Denklemi düzenleyerek 10M(K−1)+L(M−1)=10010M(K-1) + L(M-1) = 100 elde edin. Burada 10M(K−1)10M(K-1) ve 100100 sayıları 10'un katı olduğuna göre L(M−1)L(M-1) çarpımı da 10'un katı olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla AB×A=CBBAB \times A = CBB eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı rakamların toplamını bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, MM rakamına değerler vererek (örneğin M=3,5,6,7M=3, 5, 6, 7) çarpma işleminin birler basamağını sağlayan LL rakamlarını bulup ardından KK değerlerini kontrol edebilirsiniz. Örneğin M=6M=6 için L×6L \times 6 çarpımının birler basamağının LL olması için LL çift olmalıdır. L=8L=8 için 8×6=488 \times 6 = 48 (elde 4) olur, K×6+4=16⇒6K=12⇒K=2K \times 6 + 4 = 16 \Rightarrow 6K = 12 \Rightarrow K=2 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 2378Question →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}
B={3,4,5,6,7}B = \{3, 4, 5, 6, 7\}

olduğuna göre, (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesinin eleman sayıs�� kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4
Doğru cevap 4 elemanlı olan seçenektir. A∖BA \setminus B kümesi {1,2}\{1, 2\} ve B∖AB \setminus A kümesi {6,7}\{6, 7\} elemanlarından oluşur. Bu iki kümenin birleşimi olan (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesi {1,2,6,7}\{1, 2, 6, 7\} elemanlarını içerir ve eleman sayısı 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
A∖BA \setminus B kümesinin elemanlarını belirlemek.
A∖B={1,2}A \setminus B = \{1, 2\}
Fark işlemi, birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları bulmayı gerektirir.
2
B∖AB \setminus A kümesinin elemanlarını belirlemek.
B∖A={6,7}B \setminus A = \{6, 7\}
Benzer şekilde, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları bulmak gerekir.
3
Elde edilen fark kümelerinin birleşimini almak.
(A∖B)∪(B∖A)={1,2,6,7}(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 6, 7\} ve eleman sayısı 4'tür.
Birleşim işlemi, iki kümenin tüm elemanlarının bir araya getirilmesiyle yeni bir küme oluşturulmasını sağlar.

Key Concept

Kümelerde Fark ve Birleşim İşlemleri

Alternative Method

Kümelerin eleman sayıları formülü kullanılarak da çözülebilir: s((A∖B)∪(B∖A))=s(A∪B)−s(A∩B)s((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) = s(A \cup B) - s(A \cap B) şeklinde hesaplanabilir. s(A∪B)=7s(A \cup B) = 7 ve s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3 olduğundan, 7−3=47 - 3 = 4 bulunur.
Estimated Time:45s
Question 2379Question →

Bir bilgisayar programına girilen iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı için aşağıdaki adımlar sırasıyla uygulanarak bir çıktı elde edilmektedir:

* 1. Adım: Sayının rakamları toplamı hesaplanır.
* 2. Adım: Rakamları toplamı çift ise sayıya 10 eklenir; tek ise sayıdan 5 çıkarılır.
* 3. Adım: Elde edilen sayının birler basamağı ile onlar basamağı yer değiştirilir (Sayı iki basamaklı değilse sayı aynen kalır).
* 4. Adım: Elde edilen sayı 3 ile tam bölünüyorsa 3'e bölünür; bölünmüyorsa sayıya 4 eklenir.

Bu programa girilen iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı için programın çıktısı 18 olduğuna göre, bu koşulu sağlayan ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 116

Answer

Koşulları sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı 116'dır.
Çıktıdan geriye doğru gidildiğinde, 4. adımdan 54 ve 14 sayıları elde edilir. 3. adımdaki basamak değişimiyle bu sayılar 45 ve 41 değerlerine dönüşür. 2. adımdaki kurallar uygulandığında rakamları toplamı koşulunu sağlayan iki basamaklı sayılar 31, 35 ve 50 olarak belirlenir. Bu sayıların toplamı 116'dır.

Step-by-Step Solution

1
Çıktıdan bir önceki adıma gitmek için 4. adımdaki kuralları tersine uygulayın.
3. adımın sonundaki sayı X3X_3 olsun. X3X_3 sayısı 3 ile tam bölünüyorsa çıktı X3/3=18⇒X3=54X_3 / 3 = 18 \Rightarrow X_3 = 54 olur (54 sayısı 3 ile bölündüğü için bu durum geçerlidir). X3X_3 sayısı 3 ile tam bölünmüyorsa çıktı X3+4=18⇒X3=14X_3 + 4 = 18 \Rightarrow X_3 = 14 olur (14 sayısı 3 ile bölünmediği için bu durum da geçerlidir). Dolayısıyla X3X_3 sayısı 54 veya 14 olmalıdır.
Programın son adımında uygulanan koşullu işlemleri geriye doğru izleyerek 3. adımın olası sonuçlarını belirlemek gerekir.
2
3. adımdaki basamak değiştirme işlemini geriye doğru uygulayarak 2. adımın sonundaki olası sayıları bulun.
3. adımda iki basamaklı sayıların birler ve onlar basamağı yer değiştirir. Eğer X3=54X_3 = 54 ise, yer değiştirmeden önceki sayı olan X2=45X_2 = 45 olur. Eğer X3=14X_3 = 14 ise, yer değiştirmeden önceki sayı olan X2=41X_2 = 41 olur.
Yer değiştirme işlemi simetrik olduğundan, olası X3X_3 değerlerinin basamaklarını ters çevirerek bir önceki adımın değerlerine ulaşırız.
3
2. adımdaki koşulları her iki olası X2X_2 değeri (45 ve 41) için inceleyin ve başlangıçtaki ABAB sayılarını belirleyin.
Eğer X2=45X_2 = 45 ise: Rakamları toplamı çift ise AB+10=45⇒AB=35AB + 10 = 45 \Rightarrow AB = 35 olur (3+5=8 çift olduğundan bu sayı geçerlidir). Rakamları toplamı tek ise AB−5=45⇒AB=50AB - 5 = 45 \Rightarrow AB = 50 olur (5+0=5 tek olduğundan bu sayı da geçerlidir). Eğer X2=41X_2 = 41 ise: Rakamları toplamı çift ise AB+10=41⇒AB=31AB + 10 = 41 \Rightarrow AB = 31 olur (3+1=4 çift olduğundan bu sayı geçerlidir). Rakamları toplamı tek ise AB−5=41⇒AB=46AB - 5 = 41 \Rightarrow AB = 46 olur (ancak 4+6=10 çift olduğundan bu sayı koşulu sağlamaz ve elenir).
Her adımda elde edilen sayıların başlangıçtaki koşulu (tek/çift rakam toplamı) sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
4
Bulunan geçerli ABAB sayılarının toplamını hesaplayın.
Geçerli sayılar 31, 35 ve 50'dir. Toplamları: 31+35+50=11631 + 35 + 50 = 116 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen tüm olası durumların toplamı hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Geriye doğru izleme (backtracking) yöntemi ile algoritmik kural takibi ve koşul kontrolü.
Question 2380Question →

Bir OO merkezli ve R=2+sim cmR = 2 + \text{sim}\text{ cm} değil, R=2+2 cmR = 2 + \sqrt{2}\text{ cm} yarıçaplı çeyrek çemberin içine; çember yayına ve birbirine dik olan OAOA ile OBOB yarıçap doğrularına teğet olacak şekilde MM merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Bu küçük çembere, OO noktasına en yakın olan TT noktasından çizilen teğet doğrusu, OAOA yarıçapını PP noktasında ve OBOB yarı��apını QQ noktasında kesmektedir.

Buna göre, PQPQ doğru parçasının uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 4−224 - 2\sqrt{2}

Answer

Dört eksi iki kök iki
Çemberlerin teğetlik bağıntısından küçük çemberin yarıçapı r=2 cmr = \sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunur. OO noktasına en yakın teğet noktası TT için OT=OM−r=2−2 cmOT = OM - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}'dir. TT noktasından çizilen teğet doğrusu OMOM doğrusuna dik olduğundan, eksenlerle oluşturduğu OPQOPQ üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgende OTOT yüksekliği hipotenüsün yarısına eşit olduğundan PQ=2⋅OT=4−22 cmPQ = 2 \cdot OT = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Küçük çemberin yarıçapını (rr) belirlemek için çeyrek çemberin merkezi ile küçük çemberin merkezini birleştiren doğruyu çiziniz.
MM merkezli küçük çember, dik OAOA ve OBOB doğrularına teğet olduğundan merkez koordinatları (r,r)(r, r) olur ve OM=r2OM = r\sqrt{2} olarak bulunur.
Eksenlere teğet olan çemberin merkezinin eksenlere olan dik uzaklıkları yarıçapa eşittir ve orijine uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.
2
Küçük çemberin büyük çeyrek çemberin yayına teğet olduğu noktayı HH olarak belirleyip rr değerini hesaplayınız.
OM+MH=R⇒r2+r=2+2⇒r(2+1)=2(2+1)⇒r=2 cmOM + MH = R \Rightarrow r\sqrt{2} + r = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow r(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) \Rightarrow r = \sqrt{2}\text{ cm} bulunur.
Teğet olan çemberlerin merkezleri ve değme noktası doğrusaldır; bu doğrusal hattın toplam uzunluğu büyük çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.
3
OO noktasına en yakın teğet noktası olan TT'nin OO'ya uzaklığını bulunuz.
OT=OM−r=r2−r=2−2 cmOT = OM - r = r\sqrt{2} - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}'dir.
TT noktası OMOM doğrusu üzerinde ve çemberin OO noktasına bakan tarafındaki sınırında yer alır.
4
TT noktasındaki teğetin oluşturduğu OPQOPQ dik üçgeninde PQPQ uzunluğunu hesaplayınız.
OPQOPQ üçgeni teğet dikliğinden dolayı OO köşesinde dik açısı olan bir ikizkenar dik üçgendir. OTOT bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği olup PQ=2⋅OT=2(2−2)=4−22 cmPQ = 2 \cdot OT = 2(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}'dir.
45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeninin simetri özelliğinden dolayı muhteşem üçlü kuralı geçerlidir ve yükseklik hipotenüsün yarısıdır.

Key Concept

İki çemberin birbirine teğet olması durumunda merkezlerinin doğrusal olması ve teğet doğrularının değme noktasında yarıçapa dik olması özellikleri.

Hints

1
Küçük çemberin merkezini MM olarak belirleyip eksenlere olan dik uzaklıklarının rr olduğunu ve büyük çeyrek çemberin yarıçapının R=2+2R = 2 + \sqrt{2} olduğunu kullanın.
2
OO, MM ve büyük çember üzerindeki teğet noktasının doğrusal olduğunu göz önünde bulundurarak OM+r=ROM + r = R eşitliğinden rr değerini hesaplayın.
3
TT noktasındaki teğet doğrusu OMOM doğrusuna diktir. OPQOPQ üçgeninin tepe açısı 90∘90^\circ olan bir ikizkenar dik üçgen olduğunu fark edin ve muhteşem üçlüyü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çemberin çeyrek çemberin dış teğet çemberi olması durumundaki yarıçap oranlarını ve teğet özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Analitik geometri kullanarak çözebilirsiniz: OO noktasını orijin (0,0)(0,0) kabul edip OAOA ve OBOB doğrularını sırasıyla xx ve yy eksenleri olarak tanımlayın. Küçük çemberin merkezi M(r,r)M(r,r) olur. x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 çeyrek çemberi ile (x−r)2+(y−r)2=r2(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2 çemberinin teğetlik şartından rr'yi bulun. Ardından TT noktasının koordinatlarını bulup bu noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazarak eksenleri kestiği noktaların uzaklığını hesaplayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 119 / 129Next
All practice questions — ALES | Examkin