Katı Cisimler Practice Questions — ALES — Page 2

Question 21Question →

Taban ayrıtı $6\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle yaptığı açı $60^\circ$ dir. Buna göre, bu piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacminin piramidin hacmine oranı kaçtır?

\frac{\pi}{12}

\frac{\pi}{27}

\frac{\pi}{9}

\frac{\sqrt{3}\pi}{3}

\frac{\pi}{36}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\pi}{9}$

Answer

Kürenin hacminin piramidin hacmine oranı

\frac{\pi}{9}

olarak bulunur.

Kürenin yarıçapı (

r = \sqrt{3}\text{ cm}

) ve piramidin yüksekliği (

h = 3\sqrt{3}\text{ cm}

) doğru hesaplandığında küre hacmi

4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

, piramit hacmi ise

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

çıkmaktadır. Bu iki değerin oranı

\frac{\pi}{9}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Piramidin dikey kesitini belirleyin ve yüksekliğini bulun.

Taban ayrıtı

6\text{ cm}

ve yan yüz açısı

60^\circ

olan piramidin karşılıklı iki kenarının orta noktalarından geçen dikey kesiti, bir kenarı

6\text{ cm}

olan bir eşkenar üçgendir. Bu eşkenar üçgenin yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir:

h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

Piramit hacmini ve iç teğet küre yarıçapını bulmak için yükseklik ve dikey kesit ölçüleri gereklidir.

2

Piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin yarıçapını (

r

) bulun.

Küre, piramidin tüm yüzeylerine teğet olmalıdır. Bu kürenin dikey kesit düzlemindeki izdüşümü, bir kenarı

6\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Eşkenar üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Kürenin hacmini hesaplayabilmek için yarıçapının bilinmesi gerekir.

3

Kürenin hacmini hesaplayın.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için pay kısmında yer alacak küre hacmini bulmak gerekir.

4

Piramidin hacmini hesaplayın.

V_{\text{piramit}} = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için payda kısmında yer alacak piramit hacmini bulmak gerekir.

5

Kürenin hacmini piramidin hacmine oranlayın.

\text{Oran} = \frac{V_{\text{küre}}}{V_{\text{piramit}}} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{36\sqrt{3}} = \frac{\pi}{9}

olarak elde edilir.

Soru kökündeki nihai oran ilişkisini kurmak için bölme işlemi yapılır.

Key Concept

Düzgün piramitlerin hacmi ve iç teğet küre yarıçapının dikey kesit yardımıyla bulunması.

Question 22Question →

Kısa kenarı $6\text{ cm}$ ve uzun kenarı $8\pi\text{ cm}$ olan dikdörtgen biçimindeki bir kartonun kısa kenarları çakışacak şekilde bükülerek bir dik dairesel silindir elde ediliyor. Buna göre, oluşan bu silindirin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür? ( $\pi = 3$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

Elde edilen silindirin hacmi

288\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Karton büküldüğünde oluşan silindirin yüksekliği

6\text{ cm}

, taban dairesinin çevresi ise

24\text{ cm}

olur. Buradan taban yarıçapı

r = 4\text{ cm}

bulunur. Hacim formülü

V = \pi r^2 h

uygulandığında

3 \times 16 \times 6 = 288\text{ cm}^3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dikdörtgenin bükülmesiyle oluşan silindirin boyutlarını belirleme

Yükseklik

h = 6\text{ cm}

ve taban çevresi

Ç = 24\text{ cm}

Kartonun kısa kenarları çakıştırıldığında kısa kenar yükseklik, uzun kenar ise taban dairesinin çevresi olur.

2

Silindirin taban yarıçapını hesaplama

Taban yarıçapı

r = 4\text{ cm}

Taban çevresi

2\pi r = 24\text{ cm}

ve

\pi = 3

olduğundan

6r = 24

denkleminden yarıçap bulunur.

3

Silindirin hacmini hesaplama

Hacim

V = 288\text{ cm}^3

Silindirin hacim formülü

V = \pi r^2 h

kullanılarak yarıçap ve yükseklik değerleri yerine yazılır.

Key Concept

Dik dairesel silindirin açınımı ve hacim hesabı

Question 23Question →

Dik dairesel silindir biçimindeki bir tahta bloktan, tabanları silindirin tabanlarıyla çakışacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kare dik prizma oyularak çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan tahta kısmın hacminin, oyularak çıkarılan prizmanın hacmine oranı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\pi - 2}{2}

\pi - 2

\frac{\pi - 1}{2}

\pi - 1

\frac{\pi - 3}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\pi - 2}{2}$

Answer

Kalan kısmın hacminin prizmanın hacmine oranı

\frac{\pi - 2}{2}

'dir.

Doğru cevap olan

\frac{\pi - 2}{2}

ifadesi, silindirin hacminden (

\pi r^2 h

) kare prizmanın en büyük hacminin (

2r^2 h

) çıkarılmasıyla kalan hacmin (

\pi r^2 h - 2r^2 h

) prizma hacmine bölünmesiyle elde edilir. Bu oranda

r^2

ve

h

terimleri sadeleşerek geriye sadece geometrik sabitlerin oranı kalır.

Step-by-Step Solution

1

Silindir ve içine yerleştirilen kare prizmanın boyutlarını tanımlama

Silindirin taban yarıçapı

r

, yüksekliği

h

olsun. En büyük hacimli kare prizmanın taban köşeleri silindirin taban dairesi üzerinde olmalıdır. Dolayısıyla karenin köşegen uzunluğu, dairenin çapı olan

2r

olur.

Silindir içine yerleştirilebilecek en büyük kare prizmanın taban alanını maksimum yapmak için köşegen dairenin çapı olmalıdır.

2

Kare prizmanın taban alanını ve hacmini hesaplama

Köşegeni

e = 2r

olan karenin alanı:

A_{\text{kare}} = \frac{e^2}{2} = \frac{(2r)^2}{2} = 2r^2

olur. Kare prizmanın hacmi:

V_{\text{prizma}} = A_{\text{kare}} \times h = 2r^2 h

olarak bulunur.

Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarp��mına eşittir.

3

Silindirin hacmini hesaplama

Dik dairesel silindirin hacmi:

V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h

olur.

Silindirin hacmi, taban dairesinin alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.

4

Geriye kalan tahta kısmın hacmini hesaplama

V_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{prizma}} = \pi r^2 h - 2r^2 h = (\pi - 2)r^2 h

olur.

Kalan tahta kısım, silindirin toplam hacminden oyulan prizmanın hacmi çıkarılarak bulunur.

5

Kalan hacmi prizmanın hacmine oranlama

Oran =

\frac{V_{\text{kalan}}}{V_{\text{prizma}}} = \frac{(\pi - 2)r^2 h}{2r^2 h} = \frac{\pi - 2}{2}

bulunur.

Soruda istenen kalan kısmın hacminin prizmanın hacmine oranıdır.

Key Concept

Bir dik dairesel silindirin hacmi (

V = \pi r^2 h

) ve içine çizilen en büyük kare dik prizmanın taban alanı ile hacim ilişkisi.

Hints

1

Silindirin taban dairesinin içine çizilebilecek en büyük karenin köşegeninin neye eşit olduğunu düşünün.

2

En büyük karenin köşegeni dairenin çapına (

2r

) eşittir. Bu karenin alanını köşegen uzunluğu cinsinden

\frac{d^2}{2}

formülüyle hesaplayabilirsiniz.

3

Prizmanın hacmini

2r^2 h

, silindirin hacmini

\pi r^2 h

olarak yazdıktan sonra kalan hacmi bulun ve prizma hacmine oranlayarak sadeleştirin.

Practice More

Benzer şekilde, bir dik dairesel silindirin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli düzgün altıgen dik prizma çıkarılsaydı kalan hacmin prizmanın hacmine oranı ne olurdu? Bunu hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Oran hesabı yapıldığı için silindirin yarıçapını

r = 1

ve yüksekliğini

h = 1

kabul edebiliriz. Bu durumda silindirin hacmi

\pi

, taban köşegeni

2

olan karenin alanı

\frac{2^2}{2} = 2

ve prizmanın hacmi

2

olur. Kalan tahtanın hacmi

\pi - 2

olurken, bunun prizmanın hacmine oranı

\frac{\pi - 2}{2}

olarak kolayca hesaplanır.

Estimated Time:1m 30s

Question 24Question →

Bir küpte, bir cisim köşegeni ile bu cisim köşegeniyle ortak bir köşeye sahip olan yüzey köşegenlerinden biri arasındaki açının kosinüsü kaçtır?

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer

Kosinüs değeri \frac{\sqrt{6}}{3} olan seçenektir.

Küpün bir kenar uzunluğuna

a

dersek, yüzey köşegeninin uzunluğu

a\sqrt{2}

ve cisim köşegeninin uzunluğu

a\sqrt{3}

olur. Cisim köşegeni, komşu olduğu yüzey köşegeni ve küpün bir ayrıtı ile bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende cisim köşegeni hipotenüs, yüzey köşegeni ise komşu dik kenardır. Dolayısıyla bu iki köşegen arasındaki açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranından

\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Küpün bir kenar uzunluğunu harflendirerek yüzey köşegeninin uzunluğunu bulunuz.

Küpün bir ayrıtının uzunluğu

a

olsun. Bir yüzdeki dik üçgenden Pisagor bağıntısı kullanılarak yüzey köşegeninin uzunluğu

a\sqrt{2}

olarak bulunur.

Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açıyı bulabilmek için öncelikle bu köşegenlerin uzunluklarını küpün ayrıtı cinsinden ifade etmemiz gerekir.

2

Küpün cisim köşegeninin uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.

Cisim köşegeni, yüzey köşegeni ve bu köşegenlerin birleştiği dikey ayrıtın oluşturduğu dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak cisim köşegeninin uzunluğu

\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = a\sqrt{3}

olarak bulunur.

Açının trigonometrik oranlarını hesaplayacağımız dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu belirlemek için cisim köşegeninin uzunluğunu hesaplamalıyız.

3

Köşegenlerin oluşturdu��u dik üçgende aralarındaki açının kosinüs değerini hesaplayınız.

Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açı

\theta

olsun. Bu dik üçgende

\cos\theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

olarak hesaplanır.

Kosinüs fonksiyonunun tanımı komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.

Key Concept

Küpün elemanları (ayrıt, yüzey köşegeni, cisim köşegeni) arasındaki metrik ve açısal ilişkiler.

Question 25Question →

Bir $ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \perp [AD]$ , $[AB] \perp [BC]$ ve $[AD] \parallel [BC]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AD| = 3\text{ cm}$ , $|BC| = 9\text{ cm}$ ve $|AB| = 8\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu dik yamuk $[CD]$ kenarı etrafında $360^\circ$ döndürüldüğünde oluşan döner cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ olur?

\frac{1248}{5}

\frac{3744}{5}

\frac{1344}{5}

312

320

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1248}{5}$

Answer

Döner cismin hacmi

\frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3

olur.

Yamuk

[CD]

kenarı etrafında döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi,

EBC

dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminden,

EAD

dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminin çıkarılmasıyla bulunur. Bu hesaplama

\frac{1248\pi}{5}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Yamuğun paralel olmayan kenarlarını uzatarak bir üçgene tamamlayalım.

[BA]

ve

[CD]

kenarları uzatıldığında

E

noktasında kesişir.

AD \parallel BC

olduğundan

EAD

ve

EBC

üçgenleri benzerdir.

Dönme eksenini ve sınırları belirlemek için yamuğu dik üçgenlere tamamlamak kolaylık sağlar.

2

Benzerlik oranını kullanarak uzatılan parçaların uzunluklarını bulalım.

Benzerlik oranı

\frac{|AD|}{|BC|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

'tür. Buradan

\frac{|EA|}{|EA| + 8} = \frac{1}{3} \implies |EA| = 4\text{ cm}

ve

|EB| = 12\text{ cm}

bulunur.

Dönecek dik üçgenlerin kenar uzunluklarını belirlemek için benzerlik kullanılır.

3

Üçgenlerin hipotenüs uzunluklarını hesaplayalım.

EAD

dik üçgeninde

|EA|=4\text{ cm}

,

|AD|=3\text{ cm}

ise hipotenüs

|ED|=5\text{ cm}

olur.

EBC

dik üçgeninde

|EB|=12\text{ cm}

,

|BC|=9\text{ cm}

ise hipotenüs

|EC|=15\text{ cm}

olur.

Dönme ekseni üzerindeki uzunlukları belirlemek için Pisagor teoremi uygulanır.

4

Üçgenlerin hipotenüslerine ait yüksekliklerini (dönme yarıçaplarını) bulalım.

EAD

için yarıçap

r_1 = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4\text{ cm}

olur.

EBC

için yarıçap

r_2 = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7,2\text{ cm}

olur.

Hipotenüs etrafında döndürmede yarıçap, hipotenüse indirilen dikmedir.

5

Büyük ve k��çük üçgenlerin döndürülmesiyle oluşan çift konilerin hacimlerini hesaplayalım.

V_{EAD} = \frac{1}{3} \pi (2,4)^2 \cdot 5 = 9,6\pi = \frac{48\pi}{5}\text{ cm}^3

ve

V_{EBC} = \frac{1}{3} \pi (7,2)^2 \cdot 15 = 259,2\pi = \frac{1296\pi}{5}\text{ cm}^3

bulunur.

Çift koni hacmi

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

formülüyle hesaplanır.

6

Büyük hacimden küçük hacmi çıkararak yamuğun döndürülmesiyle oluşan hacmi bulalım.

V = V_{EBC} - V_{EAD} = \frac{1296\pi}{5} - \frac{48\pi}{5} = \frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3

elde edilir.

Yamuk, büyük üçgenden küçük üçgenin çıkarılmasıyla elde edildiğinden, döner cismin hacmi de bu farka eşittir.

Key Concept

Dik yamuğun eğik kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini benzer üçgenler yardımıyla bulma.

Question 26Question →

Bir dik prizmanın tüm yüzey alanı, yanal alanının $\frac{3}{2}$ katına eşittir. Bu prizmanın yüksekliği $5\text{ cm}$ ve hacmi $125\text{ cm}^3$ olduğuna göre, taban çevresi kaç $\text{cm}$ 'dir?

10

15

20

30

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Taban çevresi

20\text{ cm}

'dir.

Doğru cevap, taban çevresinin

20\text{ cm}

olduğunu belirten seçenektir. Çünkü hacim formülünden taban alanı

25\text{ cm}^2

olarak bulunur. Yüzey alanı bağıntısından yanal alanın taban alanının 4 katı (

100\text{ cm}^2

) olduğu tespit edilir. Yanal alanın taban çevresi ile yükseklik çarpımı olmasından yola çıkılarak da taban çevresi

20\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Hacim formülünü kullanarak taban alanını (

T

) hesaplayalım.

T = 25\text{ cm}^2

Dik prizmanın hacmi

V = T \cdot h

formülüyle hesaplanır. Hacim

125\text{ cm}^3

ve yükseklik

h = 5\text{ cm}

olarak verildiğinden,

125 = T \cdot 5 \Rightarrow T = 25\text{ cm}^2

olur.

2

Tüm yüzey alanı (

S

) ve yanal alan (

Y_a

) arasındaki ilişkiyi kuralım.

Y_a = 4T

Dik prizmanın tüm yüzey alanı

S = Y_a + 2T

şeklindedir. Tüm yüzey alanının yanal alanın

\frac{3}{2}

katı olduğu verildiği için

Y_a + 2T = 1.5 Y_a \Rightarrow 2T = 0.5 Y_a \Rightarrow Y_a = 4T

eşitliğini elde ederiz.

3

Yanal alanı hesaplayalım.

Y_a = 100\text{ cm}^2

T = 25\text{ cm}^2

olduğundan,

Y_a = 4 \cdot 25 = 100\text{ cm}^2

bulunur.

4

Yanal alan formülünü kullanarak taban çevresini (

Ç

) bulalım.

Ç = 20\text{ cm}

Dik prizmalarda yanal alan

Y_a = Ç \cdot h

formülüyle hesaplanır.

100 = Ç \cdot 5 \Rightarrow Ç = 20\text{ cm}

elde edilir.

Key Concept

Dik prizmalarda hacim, yüzey alanı, yanal alan ve taban çevresi arasındaki temel geometrik ilişkiler.

Hints

1

Öncelikle hacim formülünü (

V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

) kullanarak prizmanın taban alanını bulmayı deneyin.

2

Dik prizmanın tüm yüzey alanının, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşit olduğunu (

S = Y_a + 2T

) unutmayın. Verilen oranı bu formülde yerine koyarak yanal alanın taban alanının kaç katı olduğunu bulabilirsiniz.

3

Bulduğunuz yanal alanı, dik prizmalardaki yanal alan formülü olan

\text{Taban Çevresi} \times \text{Yükseklik}

ifadesine eşitleyerek taban çevresine ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 27Question →

Bir ayrıtının uzunluğu $4\text{ cm}$ olan küp şeklindeki tahta bir blok, tabanına paralel bir düzlemle tam ortasından kesilerek iki eş dikdörtgenler prizması elde ediliyor. Buna göre, elde edilen prizmalardan birinin cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

4\sqrt{3}

2\sqrt{7}

6

4\sqrt{2}

10

Show answer & explanation

Answer: $6$

Answer

6

değerini içeren seçenektir.

Küpün tabanına paralel olarak tam ortasından kesilmesiyle oluşan prizmanın ayrıtları

4\text{ cm}

,

4\text{ cm}

ve

2\text{ cm}

'dir. Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni formülü

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

olduğundan, bu prizmanın cisim köşegeni

d = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}

olarak hesaplanır. Bu nedenle

6

değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Küpün kesilmesiyle oluşan prizmanın boyutlarını belirleyin.

Prizmanın ayrıtları

4\text{ cm}

,

4\text{ cm}

ve

2\text{ cm}

olur.

Küp tabanına paralel bir düzlemle ortadan kesildiğinde, taban ayrıtları (

4\text{ cm}

ve

4\text{ cm}

) değişmezken yükseklik yarıya iner (

4 / 2 = 2\text{ cm}

).

2

Oluşan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenini hesaplayın.

d = 6\text{ cm}

Prizmanın cisim köşegeni

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

formülüyle hesaplanır. Burada

a=4

,

b=4

ve

c=2

değerleri yerine yazılarak

d = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}

elde edilir.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, prizmanın farklı üç ayrıtının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

Question 28Question →

Tabanı düzgün sekizgen olan bir dik prizmanın köşe sayısı, yüz sayısı ve ayrıt sayısının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Düzgün sekizgen dik prizmanın köşe sayısı, yüz sayısı ve ayrıt sayısının toplamı 50'dir.

Sekizgen bir dik prizmanın 16 köşesi, 10 yüzü ve 24 ayrıtı bulunur. Bu değerlerin toplamı

16 + 10 + 24 = 50

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın tabanındaki çokgenin kenar sayısın�� (n) belirlemek.

n = 8

Prizmanın tabanı bir sekizgen olarak verilmiştir.

2

Köşe sayısını, yüz sayısını ve ayrıt sayısını ayrı ayrı hesaplamak.

Köşe sayısı =

16

, Yüz sayısı =

10

, Ayrıt sayısı =

24

n

-gen tabanlı bir dik prizmada

2n

adet köşe,

n+2

adet yüz ve

3n

adet ayrıt bulunur.

3

Hesaplanan tüm eleman sayılarını toplamak.

16 + 10 + 24 = 50

Soru bizden bu üç eleman sayısının toplamını istemektedir.

Key Concept

Prizmaların taban kenar sayısına bağlı olarak köşe, yüz ve ayrıt sayılarının hesaplanması.

Question 29Question →

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi $96\text{ cm}^3$ ve farklı üç yüzünün alanları toplamı $76\text{ cm}^2$ dir. Buna göre, bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

2\sqrt{26}

2\sqrt{41}

\sqrt{89}

10

6\sqrt{5}

Show answer & explanation

Answer: $2\sqrt{26}$

Answer

Cisim köşegeninin uzunluğu

2\sqrt{26}\text{ cm}

olan seçenektir.

Prizmanın hacmi ve farklı yüzlerinin alanları toplamı kullanılarak ayrıt uzunlukları

2\text{ cm}

,

6\text{ cm}

ve

8\text{ cm}

olarak elde edilir. Bu ayrıt uzunluklarına göre cisim köşegeni formülü uygulandığında doğru uzunluk

2\sqrt{26}\text{ cm}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen hacim ve alan denklemlerini ayrıt uzunlukları cinsinden yazın.

a \cdot b \cdot c = 96

ve

a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c = 76

denklemleri elde edilir.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç farklı ayrıtının çarpımına, farklı üç yüzünün alanları toplamı ise ikişerli çarpımlarının toplamına eşittir.

2

Ayrıt uzunluklarının tam sayı olmasından yararlanarak olası

a, b, c

değerlerini belirleyin.

a \le b \le c

kabul edilirse, en küçük ayrıt olan

a

değeri

96

sayısının bir böleni olmalıdır.

a=1, 2, 3, 4

durumları incelendiğinde sadece

a=2

için

b+c=14

ve

b \cdot c=48

tam sayı çözümleri (yani

6

ve

8

) elde edilir.

Soruda ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu durum olası değerleri sınırlar.

3

Bulunan ayrıt uzunlukları ile cisim köşegeni uzunluğunu hesaplayın.

Cisim köşegeni uzunluğu

d = \sqrt{2^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu, üç farklı ayrıtının kareleri toplamının kareköküne eşittir.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı bileşenleri ve cisim köşegeni arasındaki ilişkiler ile tam sayı bölen analizi.

Hints

1

Ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğunu unutmayın. Hacmin bölenlerinden yola çıkarak olası ayrıtları listeleyebilirsiniz.

2

En küçük ayrıt

a

olsun.

a \le 4

olmalıdır çünkü

a^3 \le a \cdot b \cdot c = 96

bağıntısı geçerlidir.

3

a=2

için

b \cdot c = 48

ve

2(b+c) + 48 = 76

denklemlerini çözerek

b

ve

c

değerlerini bulun.

Practice More

Ayrıtları tam sayı olan ve benzer şekilde hacim ile alan bağıntıları verilen küp veya diğer prizma sorularını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Cisim köşegeninin karesi

a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)

özdeşliği ile de ifade edilebilir. Tam sayı bölenlerinden

a+b+c = 16

olduğunu bulduktan sonra bu formülde yerine koyarak

16^2 - 2(76) = 256 - 152 = 104

bulup karekökünü alabiliriz.

Estimated Time:2m 30s

Question 30Question →

Taban ayrıtı $12\text{ cm}$ ve yanal alanı $240\text{ cm}^2$ olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

192

384

480

1152

1440

Show answer & explanation

Answer: $384$

Answer

Piramidin hacmi

384\text{ cm}^3

tür.

Piramidin hacmi, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Yanal alandan yanal yüz yüksekliği

10\text{ cm}

olarak hesaplandıktan sonra, Pisagor teoremi yardımıyla cisim yüksekliği

8\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

144\text{ cm}^2

ile bu yükseklik çarpılıp üçe bölündüğünde hacim

384\text{ cm}^3

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Yanal alandan yararlanarak yanal yüz yüksekliğini bulun.

Yanal yüz yüksekliği

h_y = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

Düzgün kare piramidin yanal alanı, 4 adet eş üçgensel yüzün alanları toplamıdır. Yanal Alan =

4 \cdot \left(\frac{a \cdot h_y}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot h_y

formülüyle hesaplanır. Buradan

240 = 2 \cdot 12 \cdot h_y \implies h_y = 10\text{ cm}

elde edilir.

2

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak için dik üçgen oluşturun.

Cisim yüksekliği

h = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Piramidin tepe noktasından tabana inen dikme, taban merkezine düşer. Taban merkezinden yanal yüzün taban kenarına olan uzaklığı, taban ayrıtının yarısıdır (

12 / 2 = 6\text{ cm}

). Cisim yüksekliği (

h

), taban yarı uzunluğu (

6\text{ cm}

) ve yanal yüz yüksekliği (

h_y = 10\text{ cm}

) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoreminden:

h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h = 8\text{ cm}

(6-8-10 özel dik üçgeni) bulunur.

3

Taban alanını ve piramidin hacmini hesaplayın.

Taban alanı

144\text{ cm}^2

ve hacim

384\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Taban bir kenarı

12\text{ cm}

olan bir kare olduğundan, Taban Alanı =

12^2 = 144\text{ cm}^2

dir. Piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik}

formülü ile hesaplanır. Buradan

V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 384\text{ cm}^3

elde edilir.

Key Concept

Düzgün kare dik piramidin hacmi, yanal alanı ve cisim yüksekliği ile yanal yüz yüksekliği arasındaki Pisagor bağıntısı ilişkisi.

Question 31Question →

Bir dik dairesel koninin içine; koninin tabanına ve yanal yüzeyine teğet olacak biçimde bir küre yerleştiriliyor. Kürenin merkezinin koninin tepe noktasına olan uzaklığı, kürenin yarıçapının $3$ katıdır. Buna göre, koninin hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

\frac{3}{2}

2

\frac{8}{3}

3

6

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Koninin hacminin kürenin hacmine oranı 2'dir.

Koninin tepe noktası ile kürenin merkezi arasındaki uzaklık

3r

ve kürenin tabana olan uzaklığı

r

olduğundan koninin yüksekliği

H = 4r

olur. Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu noktadan merkezine çizilen dikmenin uzunluğu

r

olup, oluşan dik üçgenler arasındaki benzerlikten koninin taban yarıçapı

R = \sqrt{2}r

olarak bulunur. Hacim formülleri oranlandığında doğru sonucun 2 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Küre ve koninin merkezsel kesitini hayal ederek teğetlik noktalarını ve uzunlukları belirleme.

Kürenin yarıçapı

r

olsun. Kürenin merkezi

O

, koninin tepe noktası

T

ve taban merkezi

M

olsun. Küre tabana teğet olduğundan

OM = r

ve koninin yüksekliği

H = TM = TO + OM = 3r + r = 4r

olur.

Küre ile koni arasındaki geometrik ilişkileri ve koninin yüksekliğini bulmak için.

2

Kürenin yanal yüzeye teğet olduğu

P

noktasını kullanarak dik üçgenler arasındaki benzerliği kurma.

OP \perp TP

ve

OP = r

olur.

TPO

ve

TMC

(burada

C

taban dairesi üzerindeki bir noktadır) dik üçgenleri benzerdir (A.A. benzerliği). Buradan

\frac{OP}{MC} = \frac{TO}{TC} \implies \frac{r}{R} = \frac{3r}{TC} \implies TC = 3R

elde edilir.

Koninin taban yarıçapı

R

ile kürenin yarıçapı

r

arasındaki ilişkiyi bulmak için.

3

Pisagor bağıntısını kullanarak koninin taban yarıçapı

R

'yi

r

cinsinden hesaplama.

TMC

dik üçgeninde

TC^2 = TM^2 + MC^2 \implies (3R)^2 = (4r)^2 + R^2 \implies 8R^2 = 16r^2 \implies R^2 = 2r^2 \implies R = \sqrt{2}r

bulunur.

Koninin taban yarıçapını bulup hacim hesabına geçebilmek için.

4

Koni ve kürenin hacimlerini formüller yardımıyla oranlama.

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3

ve

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3

olur. Oran ise

\frac{V_{\text{koni}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 2

olarak elde edilir.

Soru kökündeki oranı bulup çözümü tamamlamak için.

Key Concept

Küre ve koni kombinasyonlarında hacim hesaplama, dik üçgende benzerlik ve Pisagor bağıntısı uygulamaları.

Question 32Question →

Taban yarıçapı $\frac{5}{\pi}\text{ cm}$ ve yüksekli��i $12\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun alt taban çemberi üzerindeki bir $A$ noktası ile üst taban çemberi üzerinde, $A$ noktasın��n dikey izdüşümünün çapraz karşısında (en uzak noktasında) bulunan bir $B$ noktası işaretlenmiştir. Kutunun dış yan yüzeyi üzerinden, $A$ noktasından $B$ noktasına giden en kısa yol kaç $\text{cm}$ 'dir?

17

12,5

2\sqrt{61}

13

\sqrt{119}

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

13

En kısa yol, silindirin yan yüzeyinin açınımıyla oluşan dikdörtgende 5 cm yatay ve 12 cm dikey kenarlara sahip dik üçgenin hipotenüsüdür. 5-12-13 özel üçgeninden doğru yanıt 13 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Silindirin yan yüzeyinin açınımı yapılarak düzlemsel bir dikdörtgen elde edilir.

Taban çevresi

2 \pi r = 2 \pi \left(\frac{5}{\pi}\right) = 10\text{ cm}

ve yüksekliği

12\text{ cm}

olan bir dikdörtgen oluşur.

Yüzey üzerindeki en kısa yolu bulmak amacıyla silindirin dış yüzeyi iki boyutlu bir düzleme açılır.

2

Başlangıç noktası A ile bitiş noktası B'nin açınım üzerindeki konumları ve aralarındaki yatay/dikey mesafeler belirlenir.

B noktası, A'nın dikey izdüşümünün çapraz karşısında olduğundan yatayda yarım çevre kadar yol alınır. Yatay mesafe

\frac{10}{2} = 5\text{ cm}

, dikey mesafe ise silindir yüksekliği olan

12\text{ cm}

olur.

Açınım düzleminde en kısa yolun oluşturduğu dik üçgenin kenar uzunluklarını belirlemek gerekir.

3

Elde edilen dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak en kısa doğrusal mesafe hesaplanır.

x^2 = 5^2 + 12^2 \implies x^2 = 25 + 144 = 169 \implies x = 13\text{ cm}

bulunur.

Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgende en kısa yol hipotenüs uzunluğuna eşittir (5-12-13 özel dik üçgeni).

Key Concept

Silindir yüzeyi üzerindeki en kısa yol sorularında, silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. İki nokta arasındaki en kısa yol, bu açınım üzerindeki en kısa doğrusal mesafedir (dik üçgenin hipotenüsüdür).

Hints

1

Katı cisimler üzerindeki en kısa yol sorularında öncelikle cismin yüzeyini düzlemsel olarak açmalısınız.

2

Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Bu dikdörtgenin genişliği taban çevresine (

2\pi r

), yüksekliği ise silindirin yüksekliğine eşittir.

3

A noktası ile B noktası arasındaki yatay mesafe, silindir yüzeyinin yarısı kadar dolanıldığı için taban çevresinin yarısı (

5\text{ cm}

) olacaktır. Dikey mesafe ise

12\text{ cm}

'dir. Oluşan dik üçgende Pisagor uygulayabilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde silindir yüzeyi etrafında 1,5 tur veya 2 tam tur atılarak ulaşılan en kısa yol sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Özel üçgenler bilgisi kullanılarak: Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu doğrudan 5-12-13 özel dik üçgeni kuralıyla 13 cm olarak bulunabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 33Question →

Bir dik prizmanın köşe sayısı ile ayrıt sayısının toplamı 15'tir. Bu prizmanın tabanı, dik kenarlarından biri $9\text{ cm}$ ve hipotenüsü $15\text{ cm}$ olan bir dik üçgendir. Prizmanın yanal alanı, taban alanının 3 katına eşit olduğuna göre, prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

Show answer & explanation

Answer: 243

Answer

Prizmanın hacmi

243\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Prizmanın köşe ve ayrıt sayılarından tabanının üçgen olduğu bulunur. Pisagor bağıntısı ile üçgenin diğer kenarı 12 cm, alanı 54 cm² ve çevresi 36 cm olarak hesaplanır. Yanal alanın taban alanının 3 katı olmasından yükseklik 4.5 cm elde edilir. Hacim ise taban alanı ve yüksekliğin çarpımı ile 243 cm³ bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Köşe sayısı ve ayrıt sayısı toplamını kullanarak prizmanın tabanının kenar sayısını belirleme

n = 3 (Üçgen dik prizma)

Bir n-gen dik prizmanın 2n köşesi ve 3n ayrıtı vardır. 2n + 3n = 15 denkleminden n = 3 bulunur.

2

Tabandaki dik üçgenin bilinmeyen dik kenarını hesaplama

12 cm

Dik kenarlarından biri 9 cm ve hipotenüsü 15 cm olan dik üçgende, Pisagor bağıntısı (

9^2 + b^2 = 15^2

) kullanılarak diğer dik kenar 12 cm olarak elde edilir.

3

Taban alanı ve taban çevresini hesaplama

Taban Alanı = 54 cm², Taban Çevresi = 36 cm

Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır: (9 * 12) / 2 = 54 cm². Çevresi ise kenarlarının toplamıdır: 9 + 12 + 15 = 36 cm.

4

Prizmanın yüksekliğini bulma

h = 4.5 cm

Yanal alan formülü Çevre * h'dir. Yanal alan taban alanının 3 katına eşit olduğundan, 36 * h = 3 * 54 = 162 eşitliğinden h = 4.5 cm bulunur.

5

Prizmanın hacmini hesaplama

243 cm³

Bir prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı ile bulunur: V = 54 * 4.5 = 243 cm³.

Key Concept

Prizmalarda köşe, ayrıt ve yüz sayısı ilişkileri ile taban alanı, yanal alan ve hacim hesaplama formülleri.

Question 34Question →

Bir kargo firması, ayrıt uzunlukları metre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kolinin yüzeylerini kaplayacaktır. Kolinin farklı üç yüzünün köşegen uzunlukları sırasıyla $d_1$ , $d_2$ ve $d_3$ metredir.

Bu köşegen uzunlukları arasında,

d_1^2 + d_2^2 = 66

d_2^2 + d_3^2 = 59

d_1^2 + d_3^2 = 75

bağıntıları bulunduğuna göre, bu kolinin toplam yüzey alanı kaç metrekaredir?

47

52

94

60

76

Show answer & explanation

Answer: 94

Answer

94 metrekare

Doğru olan seçenekteki 94 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 3, 4 ve 5 metre olarak doğru belirlenmesi ve yüzey alanı formülü olan

2(ab + bc + ac)

ifadesinin hatasız bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kolinin ayrıt uzunluklarını sırasıyla

a

,

b

ve

c

olarak belirleyip Pisagor bağıntısı yardımıyla yüzey köşegenlerinin karelerini yazalım.

d_1^2 = a^2 + b^2

,

d_2^2 = b^2 + c^2

ve

d_3^2 = a^2 + c^2

bağıntıları elde edilir.

Köşegen uzunlukları ile ayrıt uzunlukları arasında ilişki kurmak için.

2

Elde edilen bu bağıntıları soruda verilen denklemlerde yerlerine yazarak üç bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturalım.

a^2 + 2b^2 + c^2 = 66

,

a^2 + b^2 + 2c^2 = 59

ve

2a^2 + b^2 + c^2 = 75

denklemleri elde edilir.

Ayrıtların karelerini bulmamızı sağlayacak denklem sistemini kurmak için.

3

Oluşturulan üç denklemi taraf tarafa toplayalım.

4a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50

eşitliği elde edilir.

Her bir değişkenin değerine ulaşabilmek için ortak bir toplam değeri bulmak.

4

Bulunan

a^2 + b^2 + c^2 = 50

toplamını, ikinci adımdaki denklemlerde tek tek çıkararak her ayrıtın karesini hesaplayalım.

b^2 = 66 - 50 = 16

,

c^2 = 59 - 50 = 9

ve

a^2 = 75 - 50 = 25

bulunur.

Ayrıt uzunluklarının karelerini ayrı ayrı belirlemek için.

5

Ayrıt uzunlukları pozitif tam sayılar olduğundan kareköklerini alalım.

a = 5

metre,

b = 4

metre ve

c = 3

metre olarak bulunur.

Yüzey alanını hesaplamak için ayrıt uzunluklarının kendilerini elde etmek.

6

Ayrıtları 3, 4 ve 5 metre olan dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanını

2(ab + bc + ac)

formülü ile hesaplayalım.

S = 2(5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2(20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94

metrekare bulunur.

Soruda istenen toplam yüzey alanı sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında yüzey köşegenleri ve Pisagor bağıntısının uygulanması, prizmanın toplam yüzey alanı formülü

Alternative Method

Verilen denklem sisteminde

d_1^2

,

d_2^2

ve

d_3^2

ifadelerinin toplamının

2(a^2 + b^2 + c^2)

değerine eşit olduğu görülebilir. Buradan

2(a^2 + b^2 + c^2) = 66 + 59 + 75 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50

toplamına daha hızlı ulaşılarak ayrıtlar sırasıyla

a^2 = 50 - (b^2+c^2) = 50 - 25 = 25 \implies a=5

şeklinde doğrudan belirlenebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 35Question →

Tabanının bir kenar uzunluğu $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $4\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

144

96

48

72

60

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Piramidin hacmi

48\text{ cm}^3

tür.

Düzgün kare dik piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte biridir. Tabanının bir kenarı

6\text{ cm}

olan karenin alanı

36\text{ cm}^2

ve yüksekliği

4\text{ cm}

olduğuna göre, hacim

\frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Düzgün kare dik piramidin tabanı bir karedir. Karenin bir kenarı

a = 6\text{ cm}

olduğuna göre taban alanını bulalım.

T_A = a^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2

Hacim hesabı için taban alanının bilinmesi gerekmektedir.

2

Taban alanı ile yüksekliği (

h = 4\text{ cm}

) çarpıp

3

'e bölelim.

V = \frac{1}{3} \times T_A \times h = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 12 \times 4 = 48\text{ cm}^3

Piramitlerin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

Key Concept

Düzgün kare dik piramidin hacim formülü (

V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

).

Estimated Time:45s

Question 36Question →

Taban yarıçapı $\frac{3}{\pi}\text{ cm}$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun alt taban çemberi üzerindeki bir $A$ noktasından, silindirin yan yüzeyi üzerinden tam bir tur atarak üst taban çemberi üzerinde $A$ noktasıyla aynı düşey hizada bulunan $B$ noktasına giden bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç $\text{cm}$ 'dir?

8

10

14

\sqrt{73}

2\sqrt{13}

Show answer & explanation

Answer: $10$

Answer

En kısa yol

10\text{ cm}

'dir.

Doğru cevap

10\text{ cm}

'dir. Silindir açıldığında oluşan dikdörtgenin taban uzunluğu

6\text{ cm}

(çevre =

2\pi \cdot \frac{3}{\pi}

) ve yüksekliği

8\text{ cm}

'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu, dik kenarları

6

ve

8

olan dik üçgenin hipotenüsü olacağından

6-8-10

özel üçgeninden

10\text{ cm}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Silindirin taban çevresi hesaplanır.

Taban çevresi

C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6\text{ cm}

olur.

Silindir yan yüzeyi açıldığında, taban çevresi açınım dikdörtgeninin yatay kenar uzunluğunu oluşturur.

2

Silindirin yan yüzey açınımı düzlemsel olarak çizilir.

Yatay kenarı

6\text{ cm}

, düşey kenarı (yükseklik)

8\text{ cm}

olan bir dikdörtgen elde edilir.

Silindir yüzeyi üzerinde tam bir tur atarak en üst noktaya ulaşmak, açınım dikdörtgeninin bir köşesinden karşı köşesine gitmeye karşılık gelir.

3

Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunluğu hesaplanır.

En kısa yol

x

olsun.

x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow x = 10\text{ cm}

bulunur.

Dik kenarları

6\text{ cm}

ve

8\text{ cm}

olan dik üçgende hipotenüs uzunluğu

6-8-10

özel üçgeni (

3-4-5

üçgeninin

2

katı) kuralıyla doğrudan bulunabilir.

Key Concept

Bir silindirin yüzeyi üzerindeki en kısa yol, silindirin yan yüzey açınımı olan dikdörtgenin köşegen uzunluğudur.

Hints

1

Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Karıncanın izlediği yol bu dikdörtgen üzerinde doğrusal bir çizgidir.

2

Oluşan dikdörtgenin yatay kenarı silindirin taban çevresine (

2\pi r

), dikey kenarı ise silindirin yüksekliğine eşittir. Bu iki kenarın oluşturduğu dik üçgende en kısa yolu bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

Practice More

Silindir üzerinde yarım tur atılsaydı en kısa yolun nasıl değişeceğini düşünün.

Estimated Time:1m 0s

Question 37Question →

Tabanı dik üçgen olan bir dik piramidin taban kenar uzunlukları $8\text{ cm}$ , $15\text{ cm}$ ve $17\text{ cm}$ 'dir. Bu piramidin yüksekliği $6\text{ cm}$ olduğuna göre, hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

136

180

120

240

360

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Piramidin hacmi 120 cm³ tür.

Tabanı oluşturan dik üçgenin dik kenarları 8 cm ve 15 cm olduğundan taban alanı 60 cm² olarak bulunur. Bu değer, piramit yüksekliği olan 6 cm ile çarpılıp 3'e bölündüğünde hacim 120 cm³ olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dik üçgen tabanın alanını hesaplamak için dik kenar uzunluklarını belirleyin ve alan formülünü uygulayın.

Taban Alanı = \frac{8 \times 15}{2} = 60\text{ cm}^2

Piramidin hacmini bulmak için öncelikle taban alanının bilinmesi gerekir. Dik üçgende dik kenarlar en kısa iki kenardır (8 cm ve 15 cm), en uzun kenar (17 cm) ise hipotenüstür.

2

Piramit hacim formülünü kullanarak piramidin hacmini hesaplayın.

Hacim = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} = \frac{1}{3} \times 60 \times 6 = 120\text{ cm}^2

Piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.

Key Concept

Piramitlerin hacim hesaplaması

Hints

1

Piramidin hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpıp elde ettiğiniz sonucu 3'e bölmeniz gerekir.

2

Taban bir dik üçgendir. Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. En uzun kenar olan 17 cm hipotenüstür, bu yüzden alan hesabına dahil edilmez.

Practice More

Benzer şekilde, taban ayrıtı ve yan yüz yüksekliği verilen düzgün kare piramitlerin hacim hesaplamalarını da inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 38Question →

Taban yarıçapı $6\text{ birim}$ ve yüksekliği $3\text{ birim}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki üstü açık boş bir kap, tamamen suyla doludur. Bu kabın içine yarıçapı $3\text{ birim}$ olan küre biçiminde demir bir bilye yavaşça bırakılıyor. Bilye kabın tabanına oturduğuna göre, kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı kaçtır?

\frac{1}{6}

\frac{1}{5}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

1

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{5}$

Answer

Kaptan taşan suyun hacminin kapta kalan suyun hacmine oranı

\frac{1}{5}

'tir.

Doğru cevap olan oran

\frac{1}{5}

'tir. Silindirin toplam hacmi

108\pi

birimküp olarak hesaplanır. Yarıçapı

3\text{ birim}

olan kürenin,

3\text{ birim}

yüksekliğindeki silindire tabandan oturtulduğunda yalnızca alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi

18\pi

birimküp olup taşan su hacmine eşittir. Kalan su hacmi ise

108\pi - 18\pi = 90\pi

birimküptür. Buradan taşan suyun kalan suya oranı

\frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.

V_{\text{silindir}} = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = 108\pi

birimküp

Başlangıçta kap tamamen dolu olduğundan, suyun ilk hacmi silindirin toplam hacmine eşittir.

2

Kürenin silindir içinde kalan (suya batan) kısmının hacmini belirleyiniz.

Kürenin yarıçapı

r = 3\text{ birim}

ve silindirin yüksekliği

H = 3\text{ birim}

'dir. Küre tabana oturduğunda, kürenin merkezinin tabana olan uzaklığı yarıçapı kadar (

3\text{ birim}

) olur. Silindirin yüksekliği de tam olarak

3\text{ birim}

olduğundan, kürenin merkezi silindirin üst sınır hizasındadır. Dolayısıyla kürenin sadece alt yarısı silindirin içinde kalır. Bu yarım kürenin hacmi:

V_{\text{batan}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi \cdot r^3\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi

birimküp

Silindirden taşan suyun hacmi, kürenin suya batan kısmının hacmine eşittir.

3

Kapta kalan suyun hacmini bulunuz.

V_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{batan}} = 108\pi - 18\pi = 90\pi

birimküp

Kalan suyun hacmi, başlangıçtaki toplam su hacminden taşan su hacmi çıkarılarak bulunur.

4

Taşan suyun hacmini kalan suyun hacmine oranlayınız.

\text{Oran} = \frac{V_{\text{batan}}}{V_{\text{kalan}}} = \frac{18\pi}{90\pi} = \frac{1}{5}

Soruda bizden istenen taşan suyun kalan suya oranıdır.

Key Concept

Küre ve silindirin hacim bağıntıları ile batan cisimlerin hacmi kadar sıvı taşırması prensibi.

Hints

1

Bilye tabana oturduğunda kürenin en üst noktasının yerden yüksekliği ile silindirin yüksekliğini karşılaştırın.

2

Silindirin yüksekliği

3\text{ birim}

ve kürenin yarıçapı

3\text{ birim}

olduğuna göre, kürenin merkezinin silindirin üst yüzey hizasında kaldığını fark edin. Bu durumda kürenin ne kadarlık bir kısmı suyun içindedir?

3

Kürenin tam hacmi

36\pi

birimküptür. Kürenin yarısı silindirin içinde kaldığından taşan suyun hacmi

18\pi

birimküptür. Kalan su hacmini bulup oranlama yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, yarısı su dolu bir silindire küre atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini veya suyun taşma sınırına ulaşıp ulaşmayacağını belirlemeye yönelik soruları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 39Question →

Bir kenar uzunluğu $6\text{ cm}$ olan bir küpün $AB$ ayrıtı üzerinde, $A$ köşesine $2\text{ cm}$ uzaklıkta bir $P$ noktası; $C'D'$ ayrıtı üzerinde ise $D'$ köşesine $2\text{ cm}$ uzaklıkta bir $Q$ noktası işaretlenmiştir. Küpün yüzeyi üzerinden gitmek şartıyla, $P$ noktasından $Q$ noktasına ulaşmak isteyen bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç $\text{cm}$ 'dir?

8\sqrt{2}

2\sqrt{34}

12

10\sqrt{2}

6\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $8\sqrt{2}$

Answer

Karıncanın alabileceği en kısa yol

8\sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

Ön yüz, sol yan yüz ve üst yüzün doğrusal olarak yan yana açılmasıyla elde edilen düzlemde, başlangıç noktası ile varış noktası arasındaki mesafe, dik kenarları

8\text{ cm}

ve

8\text{ cm}

olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olmaktadır. Pisagor bağıntısı uygulandığında bu mesafe

8\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur. Bu yol, küpün sınırları içinde kalarak yüzey üzerinden gidilebilecek en kısa yoldur.

Step-by-Step Solution

1

Küpün köşelerini ve verilen noktaları tanımlama

Küpün ayrıt uzunluğu

6\text{ cm}

'dir.

P

noktası

AB

ayrıtı üzerinde ve

AP = 2\text{ cm}

'dir.

Q

noktası

C'D'

ayrıtı üzerinde ve

D'Q = 2\text{ cm}

'dir.

Noktaların küp üzerindeki konumlarını ve başlangıç parametrelerini netleştirmek için.

2

Ön yüz (

ABB'A'

), sol yan yüz (

ADD'A'

) ve üst yüzü (

A'B'C'D'

) düzlemsel olarak yan yana açma

Koordinat düzleminde

A

noktası

(0,6)

ve

B

noktası

(6,6)

olarak seçilirse,

P

noktası

AB

üzerinde

(2,6)

konumunda olur. Sol yan yüz

AD

kenarından sola doğru açıldığında

A'(-6,6)

ve

D'(-6,0)

olur. Üst yüz de sol yan yüzün

A'D'

kenarından sola doğru açıldığında

C'(-12,0)

ve

D'(-6,0)

olur. Bu durumda

D'Q = 2\text{ cm}

olduğundan

Q

noktası

(-6, -2)

konumuna gelir.

Yüzeyler üzerindeki en kısa yolu iki boyutlu düzlemde doğrusal bir çizgi olarak temsil edebilmek için.

3

Açınım üzerindeki

P(2,6)

ve

Q(-6,-2)

noktaları arasındaki mesafeyi hesaplama

Yataydaki değişim

\Delta x = 2 - (-6) = 8\text{ cm}

, dikeydeki değişim ise

\Delta y = 6 - (-2) = 8\text{ cm}

olur. Pisagor bağıntısı uygulandığında yolun uzunluğu

\sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur.

İki nokta arasındaki en kısa doğrusal mesafeyi hesaplamak için.

4

Bulunan doğrusal yolun küpün yüzey sınırları içerisinde kaldığını doğrulama

P(2,6)

ve

Q(-6,-2)

noktalarını birleştiren doğrunun denklemi

y = x + 4

şeklindedir. Bu doğru, ortak ayrıt olan

AD

doğrusunu (

x=0

)

y=4

noktasında keser.

y=4

,

AD

ayrıtının

[0,6]

aralığında olduğu için geçerlidir. Ayrıca diğer ortak ayrıt

DD'

doğrusunu (

y=0

)

x=-4

noktasında keser.

x=-4

,

DD'

ayrıtının

[-6,0]

aralığında olduğu için bu da geçerlidir.

Doğrusal çizginin küpün dışına taşmadığından ve fiziksel olarak yüzey üzerinde yürünebilir olduğundan emin olmak için.

Key Concept

Katı cisimlerin yüzeyleri üzerindeki en kısa yolları bulmak için cismin yüzeyleri düzlemsel hale getirilerek (açınım yapılarak) iki nokta arasındaki doğrusal mesafe hesaplanır.

Estimated Time:3m 0s

Question 40Question →

Yarıçapı $5\text{ cm}$ ve yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir tahta blok, taban merkezinden $3\text{ cm}$ uzaklıkta ve tabanına dik bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen arakesit yüzeyinin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

48

60

72

96

120

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

96 (Arakesit alanını veren dikdörtgenin alanı 8 x 12 = 96 cm²)

Silindiri tabanına dik bir düzlemle kestiğimizde elde edilen arakesit bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin yüksekliği silindirin yüksekliği olan 12 cm'dir. Dikdörtgenin genişliği ise silindirin dairesel tabanında, merkezden 3 cm uzaklıktaki kirişin uzunluğuna eşittir. Yarıçapı 5 cm olan dairede, merkezden 3 cm uzaklıktaki kirişin merkezden çizilen dikmeyle iki eş parçaya bölündüğünü biliyoruz. Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı yardımıyla yarım kiriş uzunluğu 4 cm olarak bulunur. Kirişin toplam uzunluğu ise 8 cm olur. Dolayısıyla, arakesit alanını veren dikdörtgenin alanı 8 x 12 = 96 cm² olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Arakesitin geometrik şeklini belirleme.

Arakesit, yüksekliği silindirin yüksekliği (12 cm) ve taban genişliği dairesel tabandaki kirişin uzunluğu olan bir dikdörtgendir.

Silindirin tabanlarına dik düzlemlerle kesilmesiyle oluşan kesitler dikdörtgen olur.

2

Taban dairesindeki kirişin uzunluğunu Pisagor bağıntısı kullanarak hesaplama.

Kirişin yarı uzunluğu 4 cm, tamamı 2 x 4 = 8 cm'dir.

Merkezden 3 cm uzaklıktaki kiriş için dik üçgen oluşturulduğunda yarıçap hipotenüs (5 cm), dik kenarlardan biri uzaklık (3 cm) ve diğeri yarım kiriş uzunluğudur. 3-4-5 özel üçgeninden yarım kiriş 4 cm bulunur.

3

Arakesit dikdörtgeninin alanını hesaplama.

Alan = 8 x 12 = 96 cm² olur.

Dikdörtgenin alanı, iki farklı kenar uzunluğunun çarpımı ile bulunur.

Key Concept

Silindirin tabana dik düzlemle kesilmesiyle oluşan dikdörtgen arakesit alanı ve çemberde kiriş özellikleri.

Estimated Time:1m 30s

Katı Cisimler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution