Examkin

Geometri

436 questions

Question 321Question →

Aşağıdaki şekilde, O1O_1 ve O2O_2 merkezli iki daire CC noktasında birbirine dıştan teğettir. [AB][AB] doğru parçası, bu iki daireye sırasıyla AA ve BB noktalarında teğettir.

O1O_1 merkezli dairenin yarıçapı 66 cm ve O2O_2 merkezli dairenin yarıçapı 22 cm olduğuna göre, bu daireler ile [AB][AB] doğru parçası arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}

Answer

Boyalı bölgenin alanı 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3} cm2\text{cm}^2 dir.
İki daire arasındaki boyalı alan, merkezlerin ve teğet noktalarının oluşturduğu dik yamuğun alanından, yamuğun içinde kalan daire dilimlerinin alanlarının çıkarılmasıyla bulunur. Yamuğun alanı 16316\sqrt{3}, dilimlerin alanları toplamı 22π3\frac{22\pi}{3} olduğundan doğru cevap 163−22π316\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3} tür.

Step-by-Step Solution

1
O1O_1 ve O2O_2 merkezlerini birleştiren doğruyu çiz ve merkezlerden teğet noktalarına (AA ve BB) dikmeler indir. Bu yapı bir dik yamuk oluşturur.
Merkezler arası uzaklık ∣O1O2∣=6+2=8|O_1O_2| = 6 + 2 = 8 cm dir.
Dıştan teğet dairelerde merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına eşittir.
2
O2O_2 noktasından O1AO_1A kenarına bir dikme ([O2H][O_2H]) indirerek bir dik üçgen oluştur ve teğet uzunluğunu (∣AB∣|AB|) hesapla.
Oluşan dik üçgende hipotenüs 88, dik kenar ∣O1H∣=6−2=4|O_1H| = 6-2=4 cm'dir. Pisagor veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden yükseklik ∣AB∣=43|AB| = 4\sqrt{3} cm bulunur.
Dik üçgende hipotenüs (88), dik kenarın (44) iki katı olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir.
3
O1ABO2O_1ABO_2 dik yamuğunun alanını hesapla.
Alan = 6+22⋅43=4⋅43=163\frac{6+2}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Yamuk Alanı = Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklik\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}
4
Yamuk içindeki daire dilimlerinin merkez açılarını belirle ve alanlarını hesapla.
O1O_1 açısı 60∘60^\circ, O2O_2 açısı 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ dir.
O1O_1 Dilim Alanı = π⋅62⋅60360=6π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 6\pi.
O2O_2 Dilim Alanı = π⋅22⋅120360=4π3\pi \cdot 2^2 \cdot \frac{120}{360} = \frac{4\pi}{3}.
Paralel kollarda (teğetler dik olduğu için) iç açılar toplamı 180180 derecedir.
5
Yamuk alanından daire dilimlerinin alanlarını çıkararak boyalı alanı bul.
163−(6π+4π3)=163−22π316\sqrt{3} - (6\pi + \frac{4\pi}{3}) = 16\sqrt{3} - \frac{22\pi}{3}.
Boyalı Alan = Yamuk Alanı - (Büyük Dilim Alanı + Küçük Dilim Alanı)

Key Concept

Teğet Çemberler ve Alan Hesabı
Question 322Question →

Geometri dersinde öğretmen, tahtaya bir ABCABC ikizkenar üçgeni çizmiş ve ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğunu belirtmiştir. Daha sonra [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretleyerek öğrencilere şu eşitlikleri vermiştir:

∣AD∣=∣BD∣=∣BC∣|AD| = |BD| = |BC|

Buna göre, üçgenin tepe açısı olan m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Üçgenin tepe açısı 36 derecedir.
Verilen eşitlikler kullanılarak açıların birbirine bağımlılığı zincirleme olarak çözülür. ∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| eşitliğinden △ABD\triangle ABD'nin taban açıları xx olur. Dış açı kuralıyla BDC^=2x\widehat{BDC}=2x bulunur. ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| eşitliğinden △BCD\triangle BCD'nin taban açıları 2x2x olur. Son olarak büyük üçgenin ikizkenarlığından (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|) tüm taban açısının 2x2x olduğu görülür. İç açılar toplamı x+2x+2x=180x+2x+2x=180 denklemi x=36x=36 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olarak isimlendirin.
m(A^)=xm(\widehat{A}) = x
Bilinmeyen tepe açısına değişken atayarak diğer açıları bu değişken cinsinden ifade etmek için.
2
∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD| ikizkenar özelliğini kullanarak △ABD\triangle ABD taban açılarını belirleyin.
m(ABD^)=xm(\widehat{ABD}) = x
İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
3
△ABD\triangle ABD için 'iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir' kuralını uygulayın.
m(BDC^)=x+x=2xm(\widehat{BDC}) = x + x = 2x
Üçgende dış açı özelliği.
4
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ikizkenar özelliğini kullanarak △BCD\triangle BCD taban açılarını eşitleyin.
m(BCD^)=2xm(\widehat{BCD}) = 2x
İkizkenar üçgen özelliği.
5
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| bilgisini kullanarak büyük üçgenin (△ABC\triangle ABC) taban açılarını eşitleyin.
m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x
Büyük üçgenin de ikizkenar olması.
6
△ABC\triangle ABC iç açılar toplamını 180 dereceye eşitleyip denklemi çözün.
x+2x+2x=180⇒5x=180⇒x=36∘x + 2x + 2x = 180 \Rightarrow 5x = 180 \Rightarrow x = 36^\circ
Üçgenin iç açılar toplamı kuralı.

Key Concept

İkizkenar üçgen zinciri ve dış açı özelliği (Altın Üçgen yapısı)

Hints

1
Tepe açısına (m(A^)m(\widehat{A})) bir değişken (örneğin α\alpha) vererek başlayın ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanarak diğer açıları bu değişken cinsinden yazın.
2
∣AD∣=∣BD∣|AD|=|BD| olduğu için ABD^\widehat{ABD} açısı da α\alpha olur. İki iç açının toplamının bir dış açıya eşit olduğunu hatırlayarak BDC^\widehat{BDC} açısını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla, m(A^)=36m(\widehat{A})=36 ve ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğunda ∣AD∣=∣BC∣|AD|=|BC| olacak şekilde DD noktasının konumunu soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Bu üçgen 'Altın Üçgen' olarak bilinir. Kenarlar arasındaki oran Altın Oran (ϕ\phi) ile ilişkilidir, ancak KPSS kapsamında açı takibi (algebraic angle chasing) yöntemi esastır.
Estimated Time:3m 0s
Question 323Question →

ABCDABCD bir yamuk olmak üzere [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. AA ve DD köşelerine ait iç açıortaylar KK noktasında; BB ve CC köşelerine ait iç açıortaylar ise LL noktasında kesişmektedir.

Verilen uzunluklar ∣AB∣=7|AB| = 7 cm, ∣DC∣=17|DC| = 17 cm, ∣AD∣=8|AD| = 8 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm olduğuna göre, açıortayların kesim noktaları arasındaki mesafe (∣KL∣|KL|) kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Açıortayların kesim noktaları arasındaki mesafe 2 cm'dir.
Yamukta paralel olmayan kenarlara ait açıortaylar orta taban üzerinde dik kesişir. Oluşan dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün yarısıdır. Orta taban uzunluğu 12 cm bulunur. Sol taraftan 4 cm, sağ taraftan 6 cm içeride olan noktalar arasındaki mesafe 12−(4+6)=212 - (4+6) = 2 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Yamukta ardışık köşelerin (A ve D; B ve C) açıortaylarının kesişim özelliklerini hatırla.
Açıortaylar dik kesişir (m(AKD^)=90∘m(\widehat{AKD})=90^\circ, m(BLC^)=90∘m(\widehat{BLC})=90^\circ) ve kesişim noktaları (K,LK, L) yamuğun orta tabanı üzerindedir.
Yamukta yan kenarlara ait iç açıların toplamı 180∘180^\circ olduğundan, açıortayları toplamı 90∘90^\circ olur.
2
Yamuğun orta taban uzunluğunu hesapla.
Orta Taban = ∣AB∣+∣DC∣2=7+172=242=12\frac{|AB| + |DC|}{2} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12 cm.
Orta taban, alt ve üst taban toplamının yarısıdır.
3
Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay (muhteşem üçlü) özelliğini kullanarak KK ve LL noktalarının yan kenar orta noktalarına uzaklığını bul.
ADAD kenarı tarafında mesafe = ∣AD∣/2=8/2=4|AD|/2 = 8/2 = 4 cm. BCBC kenarı tarafında mesafe = ∣BC∣/2=12/2=6|BC|/2 = 12/2 = 6 cm.
Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu kenarortaylar orta taban üzerindedir.
4
KK ve LL noktaları arasındaki mesafeyi bulmak için toplam orta taban uzunluğundan kenar parçalarını çıkar.
∣KL∣=12−(4+6)=12−10=2|KL| = 12 - (4 + 6) = 12 - 10 = 2 cm.
KK ve LL noktaları orta taban üzerinde olup, uç noktalardan hesaplanan mesafeler kadar içeridedir.

Key Concept

Yamukta Açıortaylar ve Orta Taban İlişkisi
Question 324Question →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| ve m(ABC^)=80∘m(\widehat{ABC}) = 80^\circ olduğu bilinmektedir. Buna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği kuralına göre m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ olmalıdır.
Verilen üçgende ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir ve tabanı ACAC kenarıdır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre taban açıları olan m(BAC^)m(\widehat{BAC}) ve m(BCA^)m(\widehat{BCA}) birbirine eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olduğundan, tepe açısı olan 80∘80^\circ çıkarıldığında geriye kalan 100∘100^\circ iki eşit açıya paylaştırılır. Bu durumda 100/2=50100 / 2 = 50 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Eşit kenarları ve tabanı belirleme
Taban ACAC kenarıdır.
∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC| verildiği için bu kenarları birleştiren BB noktası tepe noktasıdır ve karşıdaki ACAC kenarı tabandır.
2
Taban açılarının eşitliğini kullanma
m(BAC^)=m(BCA^)=xm(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = x olsun.
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşılarındaki açılar birbirine eşittir.
3
Üçgenin iç açılar toplamı formülünü uygulama
x+x+80∘=180∘x + x + 80^\circ = 180^\circ
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.
4
Denklemi çözme
2x=100∘2x = 100^\circ ise x=50∘x = 50^\circ
Tepe açısı toplamdan çıkarılır ve kalan miktar iki eşit taban açısına paylaştırılır.

Key Concept

İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir.

Hints

1
Eşit kenarları gören açıların da eşit olması gerektiğini hatırla.
2
Hangi kenarların eşit olduğuna bakarak tabanı ve taban açılarını belirle.
3
İç açılar toplamı olan 180∘180^\circ'den tepe açısını çıkarıp sonucu ikiye bölmelisin.

Practice More

İkizkenar bir üçgende taban açılarından biri verildiğinde tepe açısını bulmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 325Question →

Bir belediyenin altyapı çalışmaları kapsamında kullanılan dairesel kesite sahip bir atık su borusunun yarıçapı 66 birimdir. Borunun içinden geçen suyun üst yüzeyinin genişliği (kiriş uzunluğu) 636\sqrt{3} birim olarak ölçülmüştür.

Borunun yarısından azının dolu olduğu bilindiğine göre, borunun dolu kısmının kesit alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}

Answer

Dolu kısmın alanı 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} birimkaredir.
Soruda verilen su dolu kısım bir 'daire kesmesi'dir. Bu alanı bulmak için, kirişin uç noktalarını merkeze birleştirerek oluşan daire diliminin alanından, ortada kalan üçgenin alanı çıkarılmalıdır. Kenar uzunlukları 6,6,636, 6, 6\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı 120∘120^\circ'dir. 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanı 12π12\pi, üçgenin alanı ise 939\sqrt{3} birimkaredir. Sonuç bu iki değerin farkıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri geometrik şekle dök ve üçgen oluştur.
Merkez OO, yarıçap r=6r=6 ve kiriş ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3}. OABOAB üçgeni oluşur.
Daire kesmesi (dolu kısım) alanını bulmak için daire dilimi ve üçgen alanına ihtiyaç vardır.
2
Merkez açıyı hesapla.
Kenarlar 66, 66 ve 636\sqrt{3} olduğundan bu bir 30−30−12030-30-120 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ'dir.
x3x\sqrt{3} özelliği, ikizkenar üçgende tepe açısının 120∘120^\circ olduğunu gösterir.
3
Daire diliminin alanını hesapla.
Alan = π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
Daire dilimi alanı formülü: πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360}.
4
Üçgenin alanını hesapla.
Alan(OABOAB) = 12⋅6⋅6⋅sin⁡(120∘)=18⋅32=93\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
Sinüs alan formülü: 12a⋅b⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\alpha).
5
Dolu kısmın (daire kesmesi) alanını bul.
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}.
Daire kesmesi alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Key Concept

Daire Kesmesi Alanı

Hints

1
Suyun üst yüzeyi bir kiriş oluşturur. Bu kirişin uçlarını dairenin merkeziyle birleştirerek bir üçgen ve daire dilimi elde etmeye çalışın.
2
Oluşan üçgenin kenarları yarıçap (66) ve kiriş (636\sqrt{3}) uzunluklarıdır. Bu kenar uzunlukları size merkez açının kaç derece olduğunu söyler (30−30−12030-30-120 üçgenini hatırlayın).
Estimated Time:1m 30s
Question 326Question →

Bir ABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=17|BC| = 17 cm olarak verilmiştir. Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Doğru cevap 25 santimetredir.
Soruda verilen 135∘135^\circ geniş açısı, bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanmamız gerektiğini işaret eder. BC kenarı uzatılıp dışarıdan dikme indirildiğinde, hem bir 45−45−9045-45-90 ikizkenar dik üçgeni hem de kenarları tam sayı olan 7−24−257-24-25 özel dik üçgeni elde edilir. Bu yöntemle hipotenüs uzunluğu hatasız hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
BC kenarını B yönünde doğrusal olarak uzatıp, A köşesinden bu uzantıya bir dikme ininiz.
Oluşan dikmenin ayağına H noktası diyelim. m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ olduğu için dış açı m(ABH^)=180∘−135∘=45∘m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olur.
Geniş açılı üçgenlerde özel açıyı (45∘45^\circ) kullanabilmek için dış bölgede dik üçgen oluşturulur.
2
Oluşan ABH dik üçgeninde kenar uzunluklarını hesaplayınız.
ABH üçgeni 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgenidir. Hipotenüs ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm olduğundan, dik kenarlar ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HB∣=7|HB| = 7 cm olur.
45−45−9045-45-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün 12\frac{1}{\sqrt{2}} katıdır.
3
Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |AC| uzunluğunu bulunuz.
AHC üçgeninin dik kenarları: ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=7+17=24|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24 cm'dir. Bu 7−24−257-24-25 özel dik üçgenidir, dolayısıyla ∣AC∣=25|AC| = 25 cm bulunur.
Dik kenarları 7 ve 24 olan dik üçgenin hipotenüsü 25'tir (72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2).

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde dış açıdan yararlanarak özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve 7-24-25 özel üçgeni.

Hints

1
135∘135^\circ geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanabileceğiniz bir dik üçgen oluşturmayı deneyin.
2
BC kenarını sol tarafa (B yönüne) doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir: ∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(135∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ). Ancak bu yöntem işlem hatasına daha açıktır.
Estimated Time:2m 30s
Question 327Question →

Taban yarıçapı 33 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta 11 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kabın içine yarıçapı 33 cm olan demir bir bilye (küre) atılıyor. Bilye kabın tabanına tam olarak oturduğuna göre, son durumda kaptaki suyun yüksekliği kaç cm olur? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Kaptaki suyun yüksekliği 3 cm olur.
Kaptaki suyun hacmi 27 cm³'tür. Su yüksekliği 3 cm olduğunda kürenin tam yarısı suyun içine girer ve 54 cm³ yer kaplar. Toplam hacim olan 81 cm³, taban alanı 27 cm² olan silindirin 3 cm yüksekliğindeki hacmine tam olarak karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki suyun hacmini hesaplayalım.
Vsu=π⋅r2⋅hsu=3⋅32⋅1=27V_{su} = \pi \cdot r^2 \cdot h_{su} = 3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 27 cm³
Silindirin hacim formülü V=πr2hV = \pi r^2 h kullanılarak kaptaki mevcut su miktarı bulunur.
2
Yeni su yüksekliği hh olsun. Su ve batan küre parçasının toplam hacmi, silindirin hh yüksekliğindeki hacmine eşit olmalıdır.
Vsu+Vbatan=Vsilindir(h)V_{su} + V_{batan} = V_{silindir(h)}
Taşırma olmayan kaplarda toplam hacim, kabın taban alanı ile ulaşılan yüksekliğin çarpımına eşittir.
3
h=3h = 3 cm (kürenin merkez seviyesi) durumunu test edelim. Bu durumda kürenin yarısı suya batmış olur.
Vbatan=12⋅43⋅π⋅r3=12⋅43⋅3⋅33=54V_{batan} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 3^3 = 54 cm³
Yarım kürenin hacmi hesaplanarak suyun içine giren hacim bulunur.
4
Toplam hacmi silindir hacmi ile karşılaştıralım.
27+54=8127 + 54 = 81 cm³. Silindirin h=3h=3 için hacmi: 3⋅32⋅3=813 \cdot 3^2 \cdot 3 = 81 cm³.
İki değer birbirine eşit olduğu için su seviyesinin tam olarak 3 cm'de dengelendiği doğrulanmış olur.

Key Concept

Katı cisimlerde hacim korunumu ve sıvı yer değiştirme (displasman) prensibi.

Practice More

Bilye atıldıktan sonra suyun bilyeyi tamamen örtebilmesi için kaba en az kaç cm³ daha su eklenmelidir?

Alternative Method

Cebirsel olarak h3−9h2+27h−27=0h^3 - 9h^2 + 27h - 27 = 0 denklemi kurulabilir. Bu ifade (h−3)3=0(h-3)^3 = 0 açılımıdır ve tek kökü h=3h=3'tür.
Estimated Time:2m 30s
Question 328Question →

Şekilde verilen ABCDABCD dik yamuğu, [AD][AD] kenarı eksen kabul edilerek 360∘360^{\circ} döndürülüyor.

∣AB∣=2|AB| = 2 cm, ∣DC∣=5|DC| = 5 cm ve ∣AD∣=4|AD| = 4 cm olduğuna göre, oluşan cismin tüm yüzey alanı kaç π\pi cm 2^2'dir?

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Oluşan cismin tüm yüzey alanı 64π64\pi cm 2^2'dir.
Doğru cevap, kesik koninin yanal alanı (35π35\pi), üst taban alanı (4π4\pi) ve alt taban alanının (25π25\pi) toplamı olan 64π64\pi değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Oluşan cismi tanımlama
Dik yamuğun dik kenarı etrafında döndürülmesiyle bir 'Kesik Koni' oluşur. Üst taban yarıçapı r1=2r_1 = 2 cm, alt taban yarıçapı r2=5r_2 = 5 cm ve yükseklik h=4h = 4 cm'dir.
Dönme eksenine dik olan kenarlar taban yarıçaplarını, paralel olan kenar ise yüksekliği oluşturur.
2
Ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğunu (ll) bulma
l2=h2+(r2−r1)2l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2 formülünden l2=42+(5−2)2=16+9=25l^2 = 4^2 + (5-2)^2 = 16 + 9 = 25 bulunur. Buradan l=5l = 5 cm'dir.
Yanal alanı bulmak için Pisagor bağıntısı kullanılarak eğik kenar uzunluğu hesaplanmalıdır.
3
Yanal alanı hesaplama
Yanal Alan = π⋅(r1+r2)⋅l=π⋅(2+5)⋅5=35π\pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot l = \pi \cdot (2 + 5) \cdot 5 = 35\pi cm 2^2.
Kesik koninin yanal alanı, taban çevreleri toplamının yarısı ile ana doğrunun çarpımıdır.
4
Taban alanlarını hesaplama ve toplama
Üst Taban Alanı = πr12=4π\pi r_1^2 = 4\pi, Alt Taban Alanı = πr22=25π\pi r_2^2 = 25\pi. Toplam Alan = 35π+4π+25π=64π35\pi + 4\pi + 25\pi = 64\pi cm 2^2.
Tüm yüzey alanı, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşittir.

Key Concept

Dönel Cisimler ve Kesik Koni Alanı

Hints

1
Dik yamuk dik kenarı etrafında döndürüldüğünde bir 'kesik koni' oluşur. Bu cismin yüzey alanı; yanal yüzey, alt taban ve üst tabandan oluşur.
2
Yanal alanı bulmak için cismin 'ana doğrusunu' (eğik kenar uzunluğunu) bulmanız gerekir. Bunun için yamuğun içinde bir dik üçgen oluşturup Pisagor bağıntısını kullanın.

Practice More

Aynı cismin hacmini soran bir soru çözerek alan ve hacim formülleri arasındaki farkı pekiştirin.

Alternative Method

Büyük bir koniden küçük bir koninin çıkarılması mantığıyla da alan hesaplanabilir, ancak bu yöntemde benzerlik oranı (2/52/5) kullanılarak büyük koninin yanal alanı hesaplanıp küçük koninin yanal alanı çıkarılmalıdır.
Estimated Time:2m 30s
Question 329Question →

Bir ABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. [AC][AC] kenarı üzerinde, A köşesine olan uzaklığı [AB][AB] kenarının uzunluğuna eşit olan bir D noktası işaretleniyor.

∣BD∣=62|BD| = 6\sqrt{2} cm olduğuna göre, ∣DC∣|DC| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 63−66\sqrt{3} - 6

Answer

İstenen |DC| uzunluğu 63−66\sqrt{3} - 6 cm'dir.
Soruda verilen kurgu, bir 30-60-90 üçgeni (ABC) ile bir ikizkenar dik üçgenin (ABD) birleşimini içermektedir. Öncelikle ∣BD∣|BD| hipotenüsü verilen ikizkenar dik üçgenden dik kenarlar (∣AB∣=∣AD∣=6|AB|=|AD|=6) bulunur. Daha sonra büyük üçgenin 30-60-90 özelliği kullanılarak ∣AC∣=63|AC|=6\sqrt{3} elde edilir. Son olarak ∣DC∣|DC|, toplam uzunluktan ∣AD∣|AD| çıkarılarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABD üçgeninin açılarını ve türünü belirle.
A açısı 90∘90^\circ ve ∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| verildiği için, ABD üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Taban açıları 45∘45^\circ'dir.
Soruda verilen diklik ve eşitlik bilgileri üçgenin türünü belirlemek için kullanılır.
2
ABD üçgeninde pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı ile |AB| uzunluğunu bul.
∣BD∣=∣AB∣2|BD| = |AB|\sqrt{2} olduğundan, 62=∣AB∣2⇒∣AB∣=66\sqrt{2} = |AB|\sqrt{2} \Rightarrow |AB| = 6 cm bulunur. Dolayısıyla ∣AD∣=6|AD| = 6 cm'dir.
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır.
3
Büyük ABC üçgeninde (30-60-90) |AC| uzunluğunu hesapla.
ABC üçgeninde 30∘30^\circ'nin karşısı (∣AB∣|AB|) 6 cm ise, 60∘60^\circ'nin karşısı (∣AC∣|AC|) bunun 3\sqrt{3} katıdır. ∣AC∣=63|AC| = 6\sqrt{3} cm.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındakinin 3\sqrt{3} katıdır.
4
|DC| uzunluğunu bulmak için parça-bütün ilişkisini kullan.
∣DC∣=∣AC∣−∣AD∣=63−6|DC| = |AC| - |AD| = 6\sqrt{3} - 6 cm.
D noktası AC üzerinde olduğundan, tüm uzunluktan bilinen parça çıkarılır.

Key Concept

Özel açılı üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) iç içe kullanıldığında kenar bağıntıları arasındaki geçiş.

Hints

1
Şekli çizmeye çalışın: A açısı 90∘90^\circ olan bir dik üçgen ve içinde A köşesinden çıkan, ∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| olacak şekilde bir D noktası.
2
∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| ve A açısı dik olduğundan ABD üçgeninin açılarını düşünün. ∣BD∣|BD| uzunluğunu kullanarak ∣AB∣|AB|'yi bulabilirsiniz.
3
ABD bir ikizkenar dik üçgendir (45-45-90). ∣AB∣=6|AB|=6 cm bulunur. Büyük ABC üçgeni ise 30-60-90 üçgenidir.

Practice More

Benzer bir kurguyu 15-75-90 üçgeni içindeki özelliklerle çözen soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Trigonometri kullanarak: tan⁡(60∘)=∣AC∣∣AB∣=3\tan(60^\circ) = \frac{|AC|}{|AB|} = \sqrt{3} bağıntısından ∣AC∣|AC| bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 330Question →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınmıştır. m(ADC^)=45∘m(\widehat{ADC}) = 45^\circ, ∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=4|DC| = 4 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğu kaç santimetredir?

Show answer & explanation

Answer: 252\sqrt{5}

Answer

Doğru cevap 252\sqrt{5} santimetredir.
Soru, bir dik üçgenin hipotenüsüne indirilen dikme (Öklid bağıntısı) ile özel açılı üçgenlerin (45∘45^\circ) özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir. AA noktasından dikme indirildiğinde oluşan 45−45−9045-45-90 üçgeni sayesinde yükseklik ve taban parçaları arasında bir ilişki kurulur. Öklid bağıntısı ile yükseklik 44 cm bulunur. Sonrasında Pisagor teoremi ile istenen kenar 252\sqrt{5} cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına bir [AH][AH] dikmesi indirin.
[AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] ve H∈[BC]H \in [BC] olur.
Dik üçgende metrik bağıntıları (Öklid) kullanabilmek ve 45∘45^\circ açısını bir dik üçgen içinde değerlendirmek için yükseklik çizilir.
2
Oluşan AHDAHD üçgenini inceleyin.
m(ADH^)=45∘m(\widehat{ADH}) = 45^\circ olduğu için △AHD\triangle AHD ikizkenar dik üçgendir. ∣AH∣=∣HD∣=h|AH| = |HD| = h diyelim.
Bir açısı 45∘45^\circ olan dik üçgen ikizkenardır.
3
[BC][BC] üzerindeki parça uzunluklarını hh cinsinden ifade edin.
∣BH∣=∣BD∣−∣HD∣=6−h|BH| = |BD| - |HD| = 6 - h (Not: Geometrik tutarlılık için HH noktası BB ile DD arasında olmalıdır). ∣HC∣=∣HD∣+∣DC∣=h+4|HC| = |HD| + |DC| = h + 4.
Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüsün ayırdığı parçaların (pp ve kk) uzunlukları belirlenmelidir.
4
Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) uygulayın.
h2=(6−h)⋅(h+4)⇒h2=6h+24−h2−4h⇒2h2−2h−24=0h^2 = (6 - h) \cdot (h + 4) \Rightarrow h^2 = 6h + 24 - h^2 - 4h \Rightarrow 2h^2 - 2h - 24 = 0.
Dik kenardan hipotenüse indirilen dikmenin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
5
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.
h2−h−12=0⇒(h−4)(h+3)=0h^2 - h - 12 = 0 \Rightarrow (h - 4)(h + 3) = 0. Uzunluk negatif olamayacağı için h=4h = 4 cm bulunur.
Yüksekliğin sayısal değerini bulmak için.
6
ABHABH üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak ∣AB∣|AB|'yi bulun.
∣BH∣=6−4=2|BH| = 6 - 4 = 2 cm. ∣AB∣2=∣AH∣2+∣BH∣2=42+22=16+4=20|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20. ∣AB∣=20=25|AB| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} cm.
Dik kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Key Concept

Öklid Bağıntısı ve Özel Üçgenler (45-45-90)

Hints

1
45∘45^\circ açısını bir dik üçgenin içine alacak şekilde AA köşesinden bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
AA köşesinden [BC][BC] kenarına indireceğiniz dikme (hh), 45∘45^\circ'lik açı sayesinde tabanda ayırdığı bir parçaya eşit olacaktır (h=p′h = p').
3
İndirdiğiniz dikmenin ayağına HH deyin. ∣AH∣=∣HD∣=h|AH| = |HD| = h olacaktır. Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) kullanarak hh değerini hesaplayın.

Practice More

Benzer bir soruyu 30∘30^\circ veya 60∘60^\circ açıları kullanarak ve 15−75−9015-75-90 üçgeni özelliği (h=4ah = 4a) ekleyerek çözün.

Alternative Method

Kosinüs teoremi ile △ABD\triangle ABD veya △ADC\triangle ADC de kullanılabilir, ancak Öklid yöntemi bu soru için daha pratiktir.
Estimated Time:2m 30s
Question 331Question →

d1//d2d_1 // d_2 olmak üzere, paralel iki doğru arasında alınan bir KK noktası için A∈d1A \in d_1 ve B∈d2B \in d_2 noktaları şekildeki gibi birleştirilmiştir.

KAd1^\widehat{KAd_1} açısının açıortayı ile KBd2^\widehat{KBd_2} açısının açıortayı bir LL noktasında kesişmektedir.

m(AKB^)=5x−30∘m(\widehat{AKB}) = 5x - 30^\circ

m(ALB^)=2xm(\widehat{ALB}) = 2x

Verilenlere göre, m(AKB^)m(\widehat{AKB}) kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

120 derecedir.
Paralel iki doğru arasında zikzak yapan açılarda (M kuralı), aynı yöne bakan ardışık köşelerdeki açıortayların oluşturduğu açı, ana açının yarısıdır. Yani m(ALB^)=m(AKB^)2m(\widehat{ALB}) = \frac{m(\widehat{AKB})}{2} bağıntısı vardır. Verilenler yerine koyulduğunda 2x=5x−3022x = \frac{5x-30}{2} denklemi elde edilir. Buradan 4x=5x−304x = 5x - 30 ve x=30x=30 bulunur. İstenen açı m(AKB^)=5(30)−30=120m(\widehat{AKB}) = 5(30)-30 = 120 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Paralel doğrular arasındaki açı özelliklerini (M kuralı) hatırla.
Sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.
M kuralı gereği paralel doğrular arasındaki zikzaklı açılarda yöndaşlık ilişkisi vardır.
2
Açıortayların oluşturduğu açı (LL) ile ana açı (KK) arasındaki ilişkiyi kur.
m(ALB^)=m(AKB^)2m(\widehat{ALB}) = \frac{m(\widehat{AKB})}{2}
Paralel doğrular arasında aynı yöne bakan açılarda, kolların açıortaylarının oluşturduğu açı, ana açının yarısıdır.
3
Verilen cebirsel ifadeleri formüle yerleştirerek denklemi çöz.
2x=5x−302  ⟹  4x=5x−30  ⟹  x=302x = \frac{5x - 30}{2} \implies 4x = 5x - 30 \implies x = 30
Bulunan ilişkiye göre LL açısının iki katı KK açısına eşitlenir.
4
Bulunan xx değerini m(AKB^)m(\widehat{AKB}) ifadesinde yerine koy.
5(30)−30=150−30=120∘5(30) - 30 = 150 - 30 = 120^\circ
Soruda xx değeri değil, KK açısının ölçüsü istenmektedir.

Key Concept

Paralel doğrular arasında, kolları açıortay olan açının ölçüsü, ana açının ölçüsünün yarısıdır.

Hints

1
Paralel iki doğru arasındaki zikzaklı açılarda (M kuralı), sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.
2
AA ve BB köşelerindeki açıların tamamına 2a2a ve 2b2b diyerek KK açısını aa ve bb cinsinden yazmayı dene.
3
Açıortayların oluşturduğu LL açısı, ana KK açısının tam olarak yarısıdır: m(L^)=m(K^)/2m(\widehat{L}) = m(\widehat{K}) / 2.

Practice More

Benzer bir soruyu, açıortay yerine açıyı 1:2 oranında bölen ışınlar için çözün.

Alternative Method

AA ve BB köşelerinden sağa doğru paralel yardımcı doğrular çizerek, her bir kırılma noktasındaki açıları parça parça taşıyarak (Z kuralı) ispat yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 332Question →

Dik koordinat düzleminde 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusuna, bu doğrunun xx eksenini kestiği noktada dik olan doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −163-\frac{16}{3}

Answer

Doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −163-\frac{16}{3} olarak bulunur.
Verilen 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusunun xx eksenini kestiği nokta (−4,0)(-4, 0) ve eğimi 34\frac{3}{4}'tür. Bu doğruya dik olan doğrunun eğimi −43-\frac{4}{3} olmalıdır. (−4,0)(-4, 0) noktasından geçen ve eğimi −43-\frac{4}{3} olan doğrunun denklemi y=−43x−163y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3} şeklindedir. Bu doğrunun yy eksenini kestiği yer, x=0x=0 için −163-\frac{16}{3} değeridir.

Step-by-Step Solution

1
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı bulun.
y=0y = 0 için 3x+12=0⇒x=−43x + 12 = 0 \Rightarrow x = -4. Nokta: P(−4,0)P(-4, 0)
Soruda dik olan doğrunun bu noktadan geçtiği belirtilmiştir.
2
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusunun eğimini bulun.
4y=3x+12⇒y=34x+34y = 3x + 12 \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + 3. Eğim m1=34m_1 = \frac{3}{4}
İki doğrunun diklik şartını kullanabilmek için birinci doğrunun eğimi gereklidir.
3
Dik olan ikinci doğrunun eğimini hesaplayın.
m1⋅m2=−1⇒34⋅m2=−1⇒m2=−43m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{3}{4} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\frac{4}{3}
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
P(−4,0)P(-4, 0) noktasından geçen ve eğimi −43-\frac{4}{3} olan doğrunun denklemini yazın.
y−0=−43(x−(−4))⇒y=−43x−163y - 0 = -\frac{4}{3}(x - (-4)) \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3}
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılmıştır.
5
Yeni doğrunun yy eksenini kestiği noktayı (ordinatı) bulun.
x=0x = 0 için y=−163y = -\frac{16}{3}
Bir doğrunun yy eksenini kestiği noktayı bulmak için xx yerine 00 yazılır.

Key Concept

Analitik düzlemde diklik şartı ve doğru denklemi kurma

Hints

1
Önce verilen doğrunun xx eksenini kestiği noktayı ve eğimini bularak işe başlayın.
2
Dik doğruların eğimleri çarpımının −1-1 olduğunu hatırlayarak yeni doğrunun eğimini bulun.
3
Bulduğunuz nokta ve eğimi kullanarak y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle yeni doğru denklemini yazın.

Practice More

Benzer şekilde, bir noktanın bir doğruya göre simetriği olan noktadan geçen doğruları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 333Question →

Dik kenar uzunlukları 1515 cm ve 2020 cm olan bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında 360∘360^{\circ} döndürülüyor.

Buna göre, oluşan cismin hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

Show answer & explanation

Answer: 1200

Answer

Oluşan cismin hacmi 1200π1200\pi cm3\text{cm}^3 tür.
Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, taban yarıçapı üçgenin hipotenüse ait yüksekliği (h=12h=12) olan iki adet koni oluşur. Bu konilerin yükseklikleri toplamı hipotenüsün uzunluğuna (2525) eşittir. Hacim formülü kullanıldığında V=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1+h_2) bağıntısından 1200π1200\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bul.
15−20−2515-20-25 üçgeni olduğundan hipotenüs 2525 cm'dir.
Pisagor bağıntısı veya özel üçgen (3k−4k−5k3k-4k-5k) kuralı uygulanır.
2
Dönme ekseni olan hipotenüse ait yüksekliği (oluşacak cismin yarıçapını) hesapla.
Alan=15⋅202=25⋅h2⇒300=25h⇒h=12Alan = \frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot h}{2} \Rightarrow 300 = 25h \Rightarrow h = 12 cm. Bu değer cismin yarıçapıdır (r=12r=12).
Üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanarak yükseklik bulunur. Bu yükseklik, dönme sonucu oluşan taban dairesinin yarıçapıdır.
3
Oluşan cismin yapısını tanımla ve hacim formülünü uygula.
Cisim, tabanları çakışık iki koniden oluşur. Toplam hacim V=13πr2htoplamV = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam} formülü ile bulunur.
Hipotenüs etrafında dönme, taban yarıçapı rr ve yükseklikleri toplamı hipotenüs (2525) olan iki koni oluşturur.
4
Değerleri yerine yazarak toplam hacmi hesapla.
V=13⋅π⋅122⋅25=13⋅144⋅25⋅π=48⋅25⋅π=1200πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 25 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 25 \cdot \pi = 48 \cdot 25 \cdot \pi = 1200\pi.
İşlem sonucu.

Key Concept

Bir dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle, tabanları ortak iki koni (çift koni) oluşur. Bu cismin hacmi, taban yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan ve yükseklikleri toplamı hipotenüse eşit olan iki koninin hacimleri toplamıdır.

Hints

1
Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürdüğünüzde, tabanları birbirine yapışık iki koni elde edersiniz.
2
Bu iki koninin taban yarıçapı, üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntılarını veya alan formülünü kullanarak bu yüksekliği bulabilirsiniz.
3
Üçgenin kenarları 15-20-25'tir. Hipotenüse ait yükseklik h=(15×20)/25h = (15 \times 20) / 25 formülüyle bulunur. Oluşan cismin toplam hacmi için V=13πr2⋅(Hipotenu¨s)V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot (Hipotenüs) formülünü kullanın.

Practice More

Benzer mantıkla, bir dikdörtgenin köşegeni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Alan hesabından yüksekliği bulmak yerine Öklid bağıntısı (1h2=1a2+1c2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}) kullanılabilir, ancak alan yöntemi (a⋅c=b⋅ha \cdot c = b \cdot h) bu sayılarla daha pratiktir.
Estimated Time:2m 30s
Question 334Question →

Dik koordinat düzleminde d1:3x−4y+11=0d_1: 3x - 4y + 11 = 0 ve d2:3x−4y−4=0d_2: 3x - 4y - 4 = 0 doğruları veriliyor. Karşılıklı iki kenarı bu doğrular üzerinde bulunan bir karenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Karenin alanı 9 birimkaredir.
Verilen doğruların katsayıları aynı olduğu için paraleldirler. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü olan h=∣C1−C2∣A2+B2h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} uygulandığında, pay kısmında ∣11−(−4)∣=15|11 - (-4)| = 15 ve payda kısmında 32+(−4)2=5\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 değerleri elde edilir. Buradan uzaklık (karenin bir kenarı) 15/5=315/5 = 3 birim olarak bulunur. Karenin alanı bir kenarının karesi olduğundan 32=93^2 = 9 birimkare sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların paralelliğinin ve genel denklemlerinin kontrol edilmesi
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının katsayıları (33 ve −4-4) aynı olduğundan bu doğrular paraleldir.
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için katsayıların oranlı veya eşit olması gerekir.
2
Paralel doğrular arasındaki uzaklığın (hh) hesaplanması
h=∣11−(−4)∣32+(−4)2=155=3h = \frac{|11 - (-4)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3 birim
Karenin karşılıklı iki kenarı bu doğrular üzerindeyse, doğrular arası dik uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
3
Karenin alanının hesaplanması
Alan =h2=32=9= h^2 = 3^2 = 9 birimkare
Bir kenarı aa olan karenin alanı a2a^2 formülüyle bulunur.

Key Concept

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü

Hints

1
Karenin karşılıklı kenarları paraleldir; bu doğrular arasındaki dik uzaklık size karenin bir kenarını verecektir.
2
Ax+By+C1=0Ax + By + C_1 = 0 ve Ax+By+C2=0Ax + By + C_2 = 0 doğruları arasındaki uzaklık h=∣C1−C2∣A2+B2h = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülü ile bulunur.
3
Formüldeki değerleri yerine koyduğunuzda ∣11−(−4)∣|11 - (-4)| ifadesini 32+(−4)2\sqrt{3^2 + (-4)^2} değerine bölerek kenar uzunluğunu bulun ve sonucun karesini alın.

Practice More

Benzer bir soruda karenin çevresini veya köşegen uzunluğunu bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Doğrulardan biri üzerinde (örneğin d2d_2 üzerinde) bir nokta seçip (örneğin (0,−1)(0, -1) noktası), bu noktanın d1d_1 doğrusuna olan uzaklığını 'noktanın doğruya uzaklığı' formülü ile hesaplayarak da kenar uzunluğuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 335Question →

Dik koordinat düzleminde; y=xy = x ve y=−2xy = -2x doğruları ile x+y−6=0x + y - 6 = 0 doğrusu arasında kalan sınırlı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Doğruların kesişim noktaları bulunarak hesaplanan üçgenin alanı 27 birimkaredir.
Doğruların kesişim noktaları (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) ve (−6,12)(-6,12) olarak bulunur. Bu noktalarla oluşturulan üçgenin alanı determinant formülü veya taban-yükseklik çarpımının yarısı ile hesaplandığında sonuç 27 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların ikişerli kesişim noktalarını (üçgenin köşelerini) belirle.
1. Köşe: y=xy=x ve y=−2xy=-2x orijinde kesişir: O(0,0)O(0,0).
2. Köşe: y=xy=x ve x+y−6=0x+y-6=0 kesişimi: x+x−6=0⇒2x=6⇒x=3,y=3x+x-6=0 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3. Nokta A(3,3)A(3,3).
3. Köşe: y=−2xy=-2x ve x+y−6=0x+y-6=0 kesişimi: x+(−2x)−6=0⇒−x=6⇒x=−6,y=12x+(-2x)-6=0 \Rightarrow -x=6 \Rightarrow x=-6, y=12. Nokta B(−6,12)B(-6,12).
Üçgenin alanını hesaplamak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.
2
Köşe koordinatlarını kullanarak determinant yöntemi veya taban-yükseklik formülü ile alanı hesapla.
Determinant Yöntemi:
12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|
=12∣0(3−12)+3(12−0)+(−6)(0−3)∣= \frac{1}{2} |0(3-12) + 3(12-0) + (-6)(0-3)|
=12∣0+36+18∣= \frac{1}{2} |0 + 36 + 18|
=12∣54∣=27= \frac{1}{2} |54| = 27 birimkare.
Koordinatları bilinen bir üçgenin alanı en pratik şekilde determinant yöntemiyle bulunur.
3
Alternatif Yöntem (Taban x Yükseklik) ile sağlama yap.
Taban ∣AB∣=(3−(−6))2+(3−12)2=92+(−9)2=92|AB| = \sqrt{(3-(-6))^2 + (3-12)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{2} birim.
Yükseklik (OO'dan x+y−6=0x+y-6=0'a uzaklık) h=∣0+0−6∣12+12=62=32h = \frac{|0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} birim.
Alan =12⋅(92)⋅(32)=12⋅27⋅2=27= \frac{1}{2} \cdot (9\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 2 = 27 birimkare.
Sonucun doğruluğunu geometrik formüllerle teyit etmek.

Key Concept

Analitik düzlemde doğruların kesişim noktaları ve köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı.

Hints

1
Önce verilen doğruların ikişer ikişer kesişim noktalarını bularak üçgenin köşe koordinatlarını belirleyin.
2
y=xy=x ve y=−2xy=-2x doğruları orijinden geçer. Diğer köşeleri bulmak için bu denklemleri sırayla x+y−6=0x+y-6=0 denkleminde yerine yazın.
3
Köşe koordinatları (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) ve (−6,12)(-6,12) olan üçgenin alanını hesaplamak için 12∣x1y2−y1x2+...∣\frac{1}{2} |x_1y_2 - y_1x_2 + ...| determinant formülünü kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, köşe koordinatları verilen bir dörtgenin alanını iki üçgene ayırarak hesaplama sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Taban-Yükseklik Yöntemi: Taban olarak A(3,3)A(3,3) ve B(−6,12)B(-6,12) arasındaki uzaklığı, yükseklik olarak ise orijinin x+y−6=0x+y-6=0 doğrusuna olan uzaklığını hesaplayıp Alan = (Taban x Yükseklik)/2 formülünü kullanabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 336Question →

ABCABC bir ikizkenar üçgendir. ∣AB∣=∣AC∣=13|AB| = |AC| = 13 cm ve ∣BC∣=10|BC| = 10 cm olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde, BB köşesine 22 cm uzaklıkta bir DD noktası alınıyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 3173\sqrt{17}

Answer

3173\sqrt{17}
İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler (∣BH∣=∣HC∣=5|BH|=|HC|=5). Bu sayede oluşan 5-12-13 üçgeninden yükseklik 12 cm bulunur. Daha sonra ∣DH∣=3|DH|=3 cm olduğu görülür ve Pisagor bağıntısı ile ∣AD∣=317|AD|=3\sqrt{17} hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
AA köşesinden [BC][BC] tabanına bir dikme indirilir ve bu noktaya HH denir.
AH⊥BCAH \perp BC
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.
2
Tabanın yarısı ve yükseklik hesaplanır.
∣BH∣=∣HC∣=10/2=5|BH| = |HC| = 10/2 = 5 cm. ABHABH üçgeninde Pisagor bağıntısı: ∣AH∣2+52=132⇒∣AH∣=12|AH|^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow |AH| = 12 cm.
5-12-13 özel dik üçgeni oluşur.
3
DD noktasının HH noktasına olan uzaklığı bulunur.
∣DH∣=∣BH∣−∣BD∣=5−2=3|DH| = |BH| - |BD| = 5 - 2 = 3 cm.
DD noktası BB ile HH arasındadır.
4
ADHADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣DH∣2=122+32=144+9=153|AD|^2 = |AH|^2 + |DH|^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153. ∣AD∣=153=317|AD| = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} cm.
Sonucu bulmak için dik üçgen özelliği kullanılır.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem açıortay hem de kenarortaydır (Yaki Kuralı).

Hints

1
İkizkenar üçgen sorularında genellikle tepe noktasından tabana dikme indirmek çözümü kolaylaştırır.
2
İndirilen dikme tabanı iki eşit parçaya böler. ∣BH∣|BH| uzunluğunu bularak başlayın.
3
Yüksekliği bulduktan sonra, oluşan yeni küçük dik üçgende (ADHADH) Pisagor bağıntısını kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu eşkenar üçgen üzerinde, kenar üzerinden alınan bir nokta ile deneyiniz.

Alternative Method

Kosinüs teoremi ile de çözülebilir: ABCABC üçgeninde cos⁡(B)=5/13\cos(B) = 5/13. ABDABD üçgeninde kosinüs teoremi: ∣AD∣2=132+22−2⋅13⋅2⋅(5/13)=169+4−20=153|AD|^2 = 13^2 + 2^2 - 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot (5/13) = 169 + 4 - 20 = 153.
Estimated Time:1m 30s
Question 337Question →

Dik koordinat düzleminde, eksenler ve 2x+y−8=02x + y - 8 = 0 doğrusu ile sınırlanan üçgensel bölge, y=ky = k doğrusu ile alanları eşit iki bölgeye ayrılıyor. Buna göre kk gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 8−428 - 4\sqrt{2}

Answer

8−428 - 4\sqrt{2} değeri, bölgeyi iki eşit alana ayıran yatay doğrunun denklemidir.
Üçgenin tepe noktasından çizilen paralel bir doğru ile ayrılan küçük üçgenin alanı tüm alanın yarısı ise, benzerlik oranı 12\frac{1}{\sqrt{2}} olur. Büyük üçgenin yüksekliği 8 birim olduğundan, küçük üçgenin yüksekliği 424\sqrt{2} birimdir. Doğrunun yy eksenindeki yeri ise tepe noktasından bu yükseklik kadar aşağıdadır: 8−428 - 4\sqrt{2}.

Step-by-Step Solution

1
Eksenleri kestiği noktaları bul
x=0x=0 için y=8y=8, y=0y=0 için x=4x=4. Büyük üçgenin yüksekliği h=8h=8, tabanı 44.
Üçgenin köşe koordinatlarını ve boyutlarını belirlemek için.
2
Benzerlik oranını kur
Üstteki küçük üçgenin alanı, büyük üçgenin alanının yarısıdır (1/2). Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir: (kbenzerlik)2=12(k_{benzerlik})^2 = \frac{1}{2}.
y=ky=k doğrusu xx-eksenine paralel olduğundan oluşan küçük üçgen büyük üçgenle benzerdir.
3
Küçük üçgenin yüksekliğini bul
kbenzerlik=12k_{benzerlik} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Küçük yükseklik h′=8⋅12=42h' = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.
Benzerlik oranını kullanarak kesilen üst parçanın yüksekliğini hesaplamak için.
4
Doğrunun y-koordinatını bul
Tepe noktası y=8y=8 olduğundan, doğrunun yeri k=8−h′=8−42k = 8 - h' = 8 - 4\sqrt{2}.
Bulunan yükseklik tepe noktasından aşağıya doğru olan mesafedir, koordinat düzlemindeki yy değeri istenmektedir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Hints

1
Eksenleri kestiği noktaları bularak üçgenin tepe noktasının yüksekliğini (yy eksenindeki değeri) belirleyiniz.
2
y=ky=k doğrusu xx-eksenine paralel olduğu için oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.
3
Alanlar oranı 12\frac{1}{2} olduğuna göre, benzerlik oranı 12\frac{1}{\sqrt{2}} olmalıdır. Büyük yükseklik 8 birimdir.

Practice More

Benzer bir soruyu y=mxy=mx doğrusu (orijinden geçen) ile alanı bölme şeklinde çözünüz.

Alternative Method

İntegral kullanarak veya yamuk alanını hesaplayarak da çözülebilir: ∫04(8−2x)dx=16\int_{0}^{4} (8-2x) dx = 16. ∫xk4(8−2x−k)dx\int_{x_k}^{4} (8-2x - k) dx yerine üst üçgen alanı = 12⋅Taban⋅(8−k)=8\frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot (8-k) = 8.
Estimated Time:2m 30s
Question 338Question →

Bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı, kenar sayısının 33 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 140∘140^\circ

Answer

Düzgün çokgenin bir iç açısı 140∘140^\circ olarak bulunur.
Verilen ilişkiye göre n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n denklemi kurulur. Buradan n=9n=9 bulunur. 9 kenarlı bir düzgün çokgenin (dokuzgen) bir dış açısı 40∘40^\circ, bir iç açısı ise 140∘140^\circ'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülünü yaz.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}
Bir çokgenin her köşesinden (n−3)(n-3) köşegen çizilir ve her köşegen iki ucu birleştirdiği için 2'ye bölünür.
2
Verilen ilişkiyi matematiksel denkleme dök.
n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n
Soruda köşegen sayısının kenar sayısının (nn) 3 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek kenar sayısını (nn) bul.
n(n−3)=6n  ⟹  n−3=6  ⟹  n=9n(n-3) = 6n \implies n-3 = 6 \implies n = 9
Her iki taraf nn ile sadeleştirilebilir (çünkü n≠0n \neq 0).
4
Bulunan nn değeri (düzgün dokuzgen) için bir dış açıyı hesapla.
Dış Açı = 360∘9=40∘\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ
Düzgün çokgenlerde bir dış açı 360n\frac{360}{n} formülüyle bulunur.
5
Dış açı yardımıyla bir iç açıyı hesapla.
İç Açı = 180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
Bir köşedeki iç ve dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir.

Key Concept

Çokgenlerde Köşegen ve Açı İlişkisi

Hints

1
Kenar sayısı nn olan bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülünü hatırla: n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}.
2
Bu formülü, soruda verilen bilgiye dayanarak 3n3n'e eşitle ve nn değerini bul.
3
Denklemden n=9n=9 çıkar. Şimdi 9 kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısını bulmak için önce 3609\frac{360}{9} formülüyle dış açıyı bulabilirsin.

Practice More

Toplam köşegen sayısı 54 olan bir düzgün çokgenin bir dış açısını soran bir soru çözerek pratiğini artır.
Estimated Time:1m 30s
Question 339Question →

Bir ABCABC üçgeninde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları işaretlenmiştir. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu bilindiğine göre, ∣AD∣=3 cm|AD| = 3\text{ cm}, ∣DB∣=6 cm|DB| = 6\text{ cm} ve ∣DE∣=4 cm|DE| = 4\text{ cm} ise ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Üçgende benzerlik kuralları uygulandığında ∣BC∣=12 cm|BC| = 12\text{ cm} olarak bulunur.
Üçgende paralellik varsa, küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir. Benzerlik oranı, ∣AD∣|AD|'nin ∣AB∣|AB|'ye (yani 3/93/9) oranından 1/31/3 olarak bulunur. Bu oran tabanlar için de geçerli olduğundan, ∣DE∣=4|DE|=4 ise ∣BC∣=12|BC|=12 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için ADEADE ve ABCABC üçgenlerinin benzer olduğunu belirlemek.
ADE∼ABCADE \sim ABC
Paralellikten dolayı yöndeş açılar birbirine eşittir (Açı-Açı benzerliği).
2
Benzerlik oranını kurmak için küçük üçgenin kenarının büyük üçgenin kenarına oranını hesaplamak.
∣AD∣∣AB∣=33+6=39=13\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.
3
Hesaplanan oranı tabanlar için uygulamak.
13=∣DE∣∣BC∣⇒13=4∣BC∣\frac{1}{3} = \frac{|DE|}{|BC|} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{4}{|BC|}
Küçük üçgenin tabanının büyük üçgenin tabanına oranı, benzerlik oranına eşittir.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulmak.
∣BC∣=4×3=12 cm|BC| = 4 \times 3 = 12\text{ cm}
Orantı çözümü.

Key Concept

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

Hints

1
Paralellik gördüğünde aklına ilk olarak benzerlik (Açı-Açı benzerliği) gelmelidir.
2
ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni arasındaki benzerlik oranını bulmak için ∣AD∣|AD|'yi ∣AB∣|AB|'ye bölmelisin.
3
∣AB∣|AB| uzunluğunun 3+6=9 cm3 + 6 = 9\text{ cm} olduğunu unutma. Oranın 3/9=1/33/9 = 1/3 olduğunu göreceksin.

Practice More

Benzerlik oranının karesinin, üçgenlerin alanları oranına eşit olduğu sorularla devam edebilirsin.

Alternative Method

Thales teoremi parçalar arası oranı verir: ∣AD∣/∣DB∣=∣AE∣/∣EC∣|AD|/|DB| = |AE|/|EC|. Ancak tabanlar söz konusu olduğunda mutlaka üçgen benzerliği (∣AD∣/∣AB∣|AD|/|AB|) kullanılmalıdır.
Estimated Time:45s
Question 340Question →

Şekildeki ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. m(DAC^)=m(ABC^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC}), ∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣AC∣=16|AC| = 16 cm olduğuna göre, ∣BD∣∣DC∣\frac{|BD|}{|DC|} oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 916\frac{9}{16}

Answer

İstenen oran 9/16'dır.
Soruda verilen açı eşitliği, ADAD doğrusunun hipotenüse ait yükseklik olduğunu gizli bir şekilde ifade eder. Bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların oranı (∣BD∣/∣DC∣|BD|/|DC|), bu parçalara komşu olan dik kenarların karelerinin oranına (∣AB∣2/∣AC∣2|AB|^2/|AC|^2) eşittir. Bu özellik kullanılarak (12/16)2=(3/4)2=9/16(12/16)^2 = (3/4)^2 = 9/16 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açı ilişkilerini analiz et.
m(DAC^)+m(C^)=90∘m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ olduğunu gör.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ kuralından, m(B^)+m(C^)=90∘m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ olduğu bilinmektedir. Verilen m(DAC^)=m(B^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B}) eşitliği kullanıldığında, △ADC\triangle ADC içinde DD açısının 90∘90^\circ olduğu, yani [AD]⊥[BC][AD] \perp [BC] olduğu anlaşılır.
2
Öklid bağıntılarını yaz.
∣AB∣2=∣BD∣⋅∣BC∣|AB|^2 = |BD| \cdot |BC| ve ∣AC∣2=∣DC∣⋅∣BC∣|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|.
Dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (yükseklik) için Öklid dik kenar bağıntıları geçerlidir.
3
Oranlama işlemini yap.
∣BD∣∣DC∣=∣AB∣2∣AC∣2\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|^2}{|AC|^2}
Her iki denklemi taraf tarafa oranlayarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu sadeleştiririz.
4
Sayısal değerleri yerine koy ve hesapla.
122162=144256=916\frac{12^2}{16^2} = \frac{144}{256} = \frac{9}{16}
Verilen uzunlukların kareleri alınıp sadeleştirme işlemi yapılır (her iki taraf 16'ya bölünür).

Key Concept

Dik Üçgende Öklid Bağıntıları ve Açı Özellikleri

Hints

1
Üçgenin açılarının toplamının 180∘180^\circ olduğunu hatırlayarak, m(ADC^)m(\widehat{ADC}) açısının kaç derece olduğunu bulmaya çalışın.
2
Bulduğunuz açı değeri DD noktasından indirilen doğrunun yükseklik olduğunu gösterir. Dik üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntılarını hatırlayın.
3
Öklid'in dik kenar bağıntılarına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafına düşen parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (c2=p⋅ac^2 = p \cdot a). Bunu her iki kenar için yazıp oranlayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, öklid bağıntısında yükseklik formülü (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) kullanılarak yüksekliğin uzunluğunun sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak çözüm: △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA ve △ACD∼△BCA\triangle ACD \sim \triangle BCA benzerliklerini kullanarak da oran bulunabilir.
Estimated Time:2m 0s
PreviousPage 17 / 22Next
Geometri — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 17 | Examkin