All practice questions

Dik koordinat düzleminde, tepe noktas��

T

olan

f(x) = x^2 - 4x + m

parabolü veriliyor.

$T$ noktasının orijine olan uzaklığı $2\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $m$ gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

m gerçel say��sının alabileceği pozitif değer 8'dir.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = 2

ve ordinatı

k = m - 4

'tür.

T(2, m-4)

noktasının orijine olan uzaklığı

2\sqrt{5}

birim olduğundan

2^2 + (m-4)^2 = (2\sqrt{5})^2 \implies 4 + (m-4)^2 = 20 \implies (m-4)^2 = 16

olur. Buradan

m

pozitif değeri için

m-4 = 4 \implies m = 8

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tepe noktasının apsisinin (r) bulunması

r = 2

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülü kullanılarak bulunur.

2

Tepe noktasının ordinatının (k) m cinsinden bulunması

k = m - 4

Apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak ordinat hesaplanır.

3

Tepe noktasının orijine olan uzaklığının formüle edilmesi

\sqrt{4 + (m-4)^2} = 2\sqrt{5}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak verilen uzaklık değerine eşitlenir.

4

Denklemin çözülmesi ve pozitif m değerinin belirlenmesi

m = 8

(m-4)^2 = 16

eşitliğinden gelen

m=8

ve

m=0

köklerinden pozitif olanı seçilir.

Key Concept

Parabolün tepe noktası koordinatları ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Alternative Method

Parabolün denklemi tam kareye tamamlama yöntemi kullanılarak

f(x) = (x-2)^2 + m - 4

biçiminde yazılabilir. Bu gösterimden tepe noktasının koordinatları doğrudan

T(2, m-4)

olarak okunur. Sonrasında orijine olan uzaklık bağıntısı yazılarak sonuca ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2902Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{10} + a_{16} = 36

a_7 + a_9 = a_5 + 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan $a_{20}$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri 32'dir.

Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak önce

a_{10} = 12

bulunur, ardından ortak fark

r = 2

olarak elde edilir ve

a_{20} = a_{10} + 10r

formülüyle

32

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin indis özelliklerini kullanarak a_{10} terimini bulma

a_{10} = 12

Aritmetik dizilerde indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

4 + 16 = 2 \cdot 10

olduğundan

a_4 + a_{16} = 2a_{10}

yazılabilir. Denklemde yerine yazıldığında

3a_{10} = 36 \implies a_{10} = 12

bulunur.

2

Dizinin terimlerini ortak fark (r) cinsinden ifade edip r değerini bulma

r = 2

a_5 = a_{10} - 5r = 12 - 5r

,

a_7 = a_{10} - 3r = 12 - 3r

ve

a_9 = a_{10} - r = 12 - r

eşitlikleri

a_7 + a_9 = a_5 + 14

denklemine yazılır. Buradan

24 - 4r = 26 - 5r \implies r = 2

elde edilir.

3

a_{20} terimini hesaplama

a_{20} = 32

a_{20} = a_{10} + 10r

bağıntısı kullanılarak

a_{20} = 12 + 10 \cdot 2 = 32

bulunur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı

Question 2903Question →

[3, 7]

kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx

belirli integralinde

u = 2x + 1

dönü��ümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\int_{1}^{3} \frac{1}{2} f(u) \, du

\int_{3}^{7} f(u) \, du

\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

\int_{1}^{5} \frac{1}{2} f(u) \, du

\int_{3}^{7} 2 f(u) \, du

Show answer & explanation

Answer: $\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du$

Answer

doğru dönüşüm sonucunda elde edilen \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du ifadesidir.

Belirli integralde

u = 2x + 1

dönüşümü yapıldığında

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du

olur. Sınırlar ise

x=1

için

u=3

ve

x=3

için

u=7

olarak güncellenir. Bu ifadeler yerine yazıldığında doğru dönüşüm ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken tanımlaması ve diferansiyel hesabı yapılır.

u = 2x + 1

dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki ifadeyi tek bir değişken cinsinden yazmak ve diferansiyel bağıntısını kurmak için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene (

u

) göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 2(1) + 1 = 3

ve üst sınır için

x = 3 \implies u = 2(3) + 1 = 7

olarak bulunur.

İntegrasyon değişkeni x'ten u'ya geçtiği için sınır değerlerinin de u değişkenine göre hesaplanması gerekir.

3

Dönüşümler ve yeni sınırlar orijinal integralde yerine yazılarak integral düzenlenir.

\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

elde edilir.

Değişken değiştirme işlemini tamamlayarak integralin eşdeğerini bulmak için.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi

Estimated Time:1m 30s

Question 2904Question →

Sürtünmelerin önemsiz olduğu bir düzenekte; merkezleri çakışık, birlikte dönebilen $3r$ ve $r$ yarıçaplı silindirlerden oluşan bir çıkrık sistemi kurulmuştur. Yarıçapı $3r$ olan silindire saat yönünde, yarıçapı $r$ olan silindire ise saat yönünün tersine sarılmış olan aynı ipin uçları, ağırlığı $P$ olan sürtünmesiz hareketli makaraya bağlanmış ve makaraya $5P$ ağırlıklı bir yük asılmıştır.

Sistemi dengede tutmak için çıkrık miline bağlı $R = 5r$ uzunluğundaki kola uygulanması gereken en küçük kuvvetin büyüklüğü kaç $P$ olmalıdır?

\frac{3}{5}

1

\frac{6}{5}

2

\frac{12}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{5}$

Answer

Sistemi dengede tutmak için kola uygulanması gereken en küçük kuvvetin büyüklüğü 6/5 P olmalıdır.

Denge durumunda hareketli makarayı yukarı çeken iki ipteki gerilme kuvveti eşit olup

T = 3P

değerine sahiptir. Eş merkezli silindirlerde ipler zıt yönlerde sarıldığı için torkları zıt işaretlidir ve net tork

2Tr = 6Pr

olarak bulunur. Bu tork, uzunluğu

5r

olan kol üzerindeki

F

kuvveti ile dengelendiğinde

F = 6/5 P

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Hareketli makara üzerindeki kuvvet dengesini yazarak ipteki gerilme kuvvetini bulunuz.

Makarayı yukarı çeken iki ipteki gerilme kuvveti

T

olup, aşağı çeken yük

5P

ve makara ağırlığı

P

ile dengelenir:

2T = 5P + P \implies T = 3P

.

Sürtünmesiz ve serbestçe dönebilen hareketli makara etrafından geçen tek bir ip olduğundan, makaranın her iki yanındaki ip gerilme kuvvetleri birbirine eşit (

T

) olur.

2

Eş merkezli silindirler üzerindeki iplerin oluşturduğu net torku silindirlerin dönme merkezine göre hesaplayınız.

3r

yarıçaplı silindire sarılı ip saat yönünde tork oluştururken,

r

yarıçaplı silindire ters yönde sarılı ip zıt yönde tork oluşturur. Net tork:

\tau_{net} = T \cdot 3r - T \cdot r = 2Tr

.

T = 3P

değeri yerine yazıldığında,

\tau_{net} = 2 \cdot (3P) \cdot r = 6Pr

bulunur.

İpler silindirlere zıt yönlerde sarıldığı için oluşturdukları torklar zıt yönlüdür ve net tork bulunurken birbirinden çıkarılmalıdır.

3

Kuvvet kolunun oluşturduğu torku net torka eşitleyerek gereken kuvveti hesaplayınız.

F \cdot R = \tau_{net} \implies F \cdot 5r = 6Pr \implies F = \frac{6}{5}P = 1,2P

.

Sistemin dengede kalabilmesi için kola uygulanılan kuvvetin oluşturduğu torkun, iplerin oluşturduğu net torku dengelemesi gerekir.

Key Concept

Eş merkezli çıkrık sistemlerinde zıt yönlü sarılmış iplerin tork dengesi ve hareketli makaralarda kuvvet analizi.

Question 2905Question →

Bir aktar, bitki çayları için hazırladığı birbirinden farklı $3$ nane kavanozu ve birbirinden farklı $4$ kekik kavanozunu tek bir sıra hâlinde yan yana dizecektir.

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla bu kavanozlar kaç farklı şekilde dizilebilir?

144

240

720

1440

4320

Show answer & explanation

Answer: $1440$

Answer

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla toplam dizilim sayısı

1440

olarak bulunur.

Kekik kavanozlarının yan yana dizilimi

4! = 24

farklı şekilde yapılır. Yan yana gelmeme kuralı nedeniyle nane kavanozları, kekik kavanozlarının oluşturduğu

5

boşluktan (başta, aralarda ve sonda) seçilen

3

boşluğa yerleştirilir. Bu seçim

\binom{5}{3} = 10

yolla yapılır. Nane kavanozları farklı olduğundan kendi aralarında

3! = 6

farklı şekilde sıralanırlar. Çarpım kuralına göre toplam dizilim sayısı

24 \times 10 \times 6 = 1440

olur.

Step-by-Step Solution

1

Öncelikle

4

farklı kekik kavanozunun kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.

4! = 24

farklı dizilim elde edilir.

Kekik kavanozlarının yerleri nane kavanozları için ayırıcı bölgeler oluşturacaktır.

2

Kekik kavanozlarının oluşturduğu boşluklardan nane kavanozları için uygun yerleri seçeriz.

Kekik kavanozlarının arasında ve uçlarında toplam

5

boşluk bulunur. Bu

5

boşluktan

3

tanesi

\binom{5}{3} = 10

farklı şekilde seçilir.

Nane kavanozlarının yan yana gelmemesi için her bir boşluğa en fazla bir nane kavanozu yerleştirilmelidir.

3

Seçilen boşluklara nane kavanozlarının yerleştirilme ve kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.

3

farklı nane kavanozu seçilen yerlere

3! = 6

farklı şekilde dizilir.

Nane kavanozları birbirinden farklı olduğu için kendi aralarındaki sıralamaları da hesaba katılır.

4

Tüm durumların çarpımı ile toplam dizilim sayısını buluruz.

24 \times 10 \times 6 = 1440

bulunur.

Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bu bağımsız adımların sonuçları çarpılır.

Key Concept

Permütasyon ve koşullu sıralama

Alternative Method

Kekik kavanozları yerleştirildikten sonra (

4!

), ilk nane kavanozu için

5

boşluktan biri, ikincisi için kalan

4

boşluktan biri, üçüncüsü için ise kalan

3

boşluktan biri seçilebilir. Bu da doğrudan

4! \times 5 \times 4 \times 3 = 24 \times 60 = 1440

sonucunu verir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2906Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(0) = 2

f\left(\frac{1}{2}\right) = 8

f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

3

5

6

8

10

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

İntegral

u = \sin(x)

değişken değiştirmesiyle sınırları

[0, 1/2]

olan

\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du

integraline dönüşür. Bu integralin sonucu

f(1/2) - f(0) = 8 - 2 = 6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme yöntemini uygulamak için uygun bir dönüşüm belirlenir.

u = \sin(x)

dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = \cos(x) \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki

\cos(x) \, dx

ifadesini

du

cinsinden yazarak integrali basitleştirmek amacıyla bu dönüşüm gereklidir.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sin(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \pi/6 \implies u = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2}

olur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Yeni sınırlarla integral

u

değişkenine bağlı olarak yazılır ve hesaplanır.

\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1/2} = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)

elde edilir. Değerler yerine yazıldığında:

8 - 2 = 6

bulunur.

Türevi

f'(u)

olan fonksiyon

f(u)

'dur. Belirli integralin temel teoremine göre sınır değerleri fonksiyonda yerine yazılarak farkı alınır.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi

Question 2907Question →

Ağırlığı önemsiz, eşit bölmeli yatay bir çubuk, sol ucundaki destek etrafında serbestçe dönebilmektedir. Çubuğa destekten $1$ bölme uzaklıkta $G$ ağırlıklı bir yük asılmış ve çubuk, destekten $2$ bölme uzaklıktaki diğer ucuna uygulanan düşey yukarı yönlü $F$ kuvvetiyle yatay dengede tutulmaktadır.

Buna göre, desteğin çubuğa uyguladığı tepki kuvvetinin büyüklüğü kaç $G$ 'dir?

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

1

\frac{3}{2}

2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{2}$

Answer

Desteğin çubuğa uyguladığı tepki kuvvetinin büyüklüğü yarım

G

olmalıdır.

Desteğe göre yazılan tork dengesinden uygulanan kuvvet yarım

G

olarak elde edilir. Düşey doğrultudaki net kuvvet dengesi yazıldığında, yukarı yönlü olan desteğin tepki kuvveti ile uygulanan kuvvetin toplamı, aşağı yönlü yükün ağırlığına eşit olmalıdır. Buradan desteğin tepki kuvveti de yarım

G

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Desteğin bulunduğu sol uca göre tork dengesi denklemini yazarak uygulanan

F

kuvvetini bulmak.

G \times 1 = F \times 2 \implies F = \frac{1}{2}G

Çubuğun dönmeden dengede kalabilmesi için dönme ekseni olarak seçilen destek noktasına göre toplam tork sıfır olmalıdır.

2

Çubuğa etki eden düşey doğrultudaki net kuvveti sıfıra eşitleyerek desteğin tepki kuvvetini (

N

) hesaplamak.

N + F - G = 0 \implies N + \frac{1}{2}G - G = 0 \implies N = \frac{1}{2}G

Çubuğun düşey doğrultuda hareket etmemesi için yukarı yönlü kuvvetlerin toplamı, aşağı yönlü kuvvetlerin toplamına eşit olmalıdır.

Key Concept

Kaldıraçlarda tork ve kuvvet dengesi prensipleri

Estimated Time:1m 30s

Question 2908Question →

\log_2 3 = a

\log_3 5 = b

olduğuna göre, $\log_{20} 45$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3a+b}{a+b+2}

\frac{2a^2+b}{2a+b}

\frac{a(b+2)}{ab+2}

\frac{2a^2b}{ab+2}

\frac{b+2}{2a+b}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{a(b+2)}{ab+2}$

Answer

a(b+2)/(ab+2)

Verilen logaritma ifadelerinde taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri kullanılır. Öncelikle \log_2 5 ifadesinin değerini bulmak için zincir kuralı uygulanır: \log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b. Daha sonra \log_{20} 45 ifadesi 2 tabanında yazılır: \log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}. Pay ve paydadaki sayılar asal çarpanlarına ayrılıp çarpım kuralıyla toplam şeklinde açıldığında pay 2a + ab, payda ise 2 + ab olur. Bu değerler oranlandığında ve pay kısmı a parantezine alındığında \frac{a(b+2)}{ab+2} ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

log_2 5 ifadesini verilen a ve b cinsinden elde etmek için zincir kuralı uygulanır.

\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b

Verilen logaritma tabanlarını ortak bir tabanda (2 tabanında) birleştirmek için.

2

log_{20} 45 ifadesini 2 tabanında yazarak taban değiştirme kuralı uygulanır.

\log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}

Soruda verilen a ve b değişkenleri sırasıyla 2 ve 3 tabanlarına bağlı olduğu için ifadeyi 2 tabanına taşımak kolaylık sağlar.

3

Pay ve paydadaki ifadeleri asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açalım.

\log_2 45 = \log_2(3^2 \cdot 5) = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + ab

ve

\log_2 20 = \log_2(2^2 \cdot 5) = 2\log_2 2 + \log_2 5 = 2 + ab

Çarpımın logaritmasını toplamın logaritmasına dönüştürerek a ve b cinsinden yazabilmek için.

4

Elde edilen ifadeleri oranlayıp ortak paranteze alarak sonucu bulalım.

\log_{20} 45 = \frac{2a + ab}{ab + 2} = \frac{a(b+2)}{ab + 2}

Sadeleştirilmiş en son cebirsel biçimi elde etmek için.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım/bölüm özellikleri yardımıyla değişken dönüşümü yapma.

Question 2909Question →

İnsan kulağının duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti (referans ses şiddeti)

I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2

olarak kabul edilir. Bir ses kaynağının ses şiddeti

I

(

\text{W/m}^2

cinsinden) olmak üzere, bu kaynağın oluşturduğu ses düzeyi

L

(desibel, dB cinsinden)

L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülü ile hesaplanır.

Bir iş yerinde çalışan bir makinenin tek başına çalışırken çıkardığı sesin şiddeti $I_1$ $\text{W/m}^2$ olup bu makinenin oluşturduğu ses düzeyi $75\text{ dB}$ olarak ölçülmüştür. Bu iş yerine aynı makineden 3 tane daha getirilerek toplamda 4 özdeş makine aynı anda çalıştırılmaya başlanmıştır.

Buna göre, 4 makine aynı anda çalıştırıldığında iş yerindeki toplam ses düzeyi kaç desibel (dB) olur?
(Logaritma tabanını 10 olarak alınız ve $\log 2 \approx 0.3$ kabul ediniz.)

Show answer & explanation

Answer: 81

Answer

Yeni ses düzeyi 81 dB olarak bulunur.

Tek bir makinenin ses şiddeti

I_1

iken ses düzeyi

75\text{ dB}

'dir. 4 makine aynı anda çalıştığında toplam ses şiddeti

4I_1

olur. Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak ses düzeyi formülünü açtığımızda, yeni ses düzeyi

L_2 = 10 \log 4 + 10 \log(I_1/I_0) = 20 \log 2 + 75

halini alır. Verilen

\log 2 \approx 0.3

değeri yerine yazıldığında toplam ses düzeyi

81\text{ dB}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tek bir makinenin ses düzeyini veren formülden yararlanarak

\log(I_1 / I_0)

değerini belirlemek.

10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 75

olduğu için

\log(I_1 / I_0) = 7.5

olarak bulunur.

4 makinenin toplam ses şiddeti hesaplanırken bu değeri kullanmak gerekmektedir.

2

4 özdeş makinenin toplam ses şiddeti

4I_1

olacağından, yeni ses düzeyi formülünü yazmak.

L_2 = 10 \cdot \log(4I_1 / I_0)

elde edilir.

Toplam ses şiddetinin 4 katına çıkması nedeniyle yeni toplam ses düzeyini hesaplamak gerekmektedir.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi açmak ve verilen

\log 2 \approx 0.3

değerini yerine koymak.

L_2 = 10 \cdot \log 4 + 10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 20 \cdot \log 2 + 75 = 20 \cdot (0.3) + 75 = 81\text{ dB}

bulunur.

Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai ses düzeyine ulaşmak.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat uygulamalarındaki modellenmesi ve logaritma özelliklerinin kullanılması.

Question 2910Question →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $3\text{ kg}$ kütleli bir tahta bloğa, $0,1\text{ kg}$ kütleli bir mermi yatay doğrultuda fırlatılıyor. Mermi bloğun içinden geçip bloğu terk ettiğinde hızı $100\text{ m/s}$ oluyor. Blok ise çarpışmadan hemen sonra girdiği sürtünmeli bölgede $6\text{ m}$ yol alarak duruyor. Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı $0,3$ olduğuna göre, merminin bloğa çarpmadan hemen önceki hızı kaç $\text{m/s}$ 'dir? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 280

Answer

Merminin bloğa çarpmadan hemen önceki hızı

280\text{ m/s}

'dir.

Çarpışma anında çizgisel momentum korunduğu için ilk momentum son momentuma eşitlenir. Bloğun çarpışmadan hemen sonraki hızı ise sürtünmeli yüzeyde yaptığı hareketin kinetiğinden (iş-enerji teoremi veya ivmeli hareket denklemleri yardımıyla)

6\text{ m/s}

olarak hesaplanır. Momentumun korunumu denkleminden merminin ilk hızı

280\text{ m/s}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bloğun sürtünmeli bölgedeki ivmesini hesaplama

a = 3\text{ m/s}^2

Sürtünmeli yüzeyde bloğa etki eden net kuvvet sürtünme kuvvetidir (

F_s = \mu_k M g

). Newton'ın ikinci hareket yasasından yavaşlama ivmesi

a = \frac{F_s}{M} = \mu_k g

olarak bulunur.

2

Çarpışma sonrasında bloğun ilk hızını hesaplama

v_{\text{blok}} = 6\text{ m/s}

Blok sabit ivmeli yavaşlayan hareket yaparak

d = 6\text{ m}

yol sonunda durduğuna göre, zamansız hız formülü (

v_f^2 = v_i^2 - 2ad

) kullanılarak çarpışmadan hemen sonraki hızı bulunur.

3

Çizgisel momentumun korunumunu uygulayarak merminin ilk hızını bulma

v_0 = 280\text{ m/s}

Çarpışma sürecinde dış kuvvetlerin etkisi ihmal edilebilir düzeyde olduğundan çizgisel momentum korunur. Merminin ilk momentumu, merminin son momentumu ile bloğun çarpışma sonrası momentumunun vektörel toplamına eşittir.

Key Concept

Çizgisel Momentumun Korunumu ve Sürtünmeli Yüzeyde Hareket

Question 2911Question →

Yatay ve sürtünmeli bir yolda durmakta olan bir sandık, yatay doğrultuda uygulanan sabit $\vec{F}$ kuvvetinin etkisiyle harekete geçiyor ve bir süre sonra sabit hızlı hareket yapmaya başlıyor.

Sandığın sabit hızlı hareket ettiği bu süreçte;
I. Sandığa etki eden kütle çekim kuvveti (ağırlık) ile zeminin sandığa uyguladığı normal kuvvet,
II. Sandığı çeken $\vec{F}$ kuvveti ile zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti,
III. Sandığın zemine uyguladığı sürtünme kuvveti ile zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti

kuvvet çiftlerinden hangileri Newton'ın üçüncü yasasında tanımlanan etki-tepki kuvvet çiftidir?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız III

Answer

Yalnız III

Newton'ın üçüncü yasasına göre, etki ve tepki kuvvetleri her zaman farklı cisimler üzerinde oluşur. Sandığın zemine uyguladığı sürtünme kuvveti zemine etki ederken, zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti sandığa etki eder. Bu kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönlü olduğundan etki-tepki çiftidir.

Step-by-Step Solution

1

Etki-tepki kuvvet çiftlerinin temel özelliğini belirleme

Etki-tepki kuvvet çiftleri her zaman farklı iki cisim arasında gerçekleşir ve aynı cisme uygulanamaz.

Newton'ın ü��üncü yasasının doğru yorumlanabilmesi için kuvvetlerin uygulama noktalarının farklı cisimler üzerinde olması şarttır.

2

Birinci ve ikinci öncüllerdeki kuvvetlerin uygulama noktalarını inceleme

Ağırlık ve normal kuvvet sandığa etki eder. Benzer şekilde, çeken F kuvveti ve sürtünme kuvveti de sandığa etki eder.

Aynı cisme etki eden kuvvetler birbirini dengeleyebilir fakat etki-tepki çifti oluşturamazlar.

3

Üçüncü öncüldeki kuvvetlerin uygulama noktalarını ve ilişkisini inceleme

Sandığın zemine uyguladığı sürtünme kuvveti zemine etki ederken, zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti sandığa etki eder. Bu kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.

Farklı cisimlere uygulanan bu karşılıklı kuvvetler Newton'ın üçüncü yasasına göre tam bir etki-tepki kuvvet çiftidir.

Key Concept

Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası (Etki-Tepki Yasası)

Estimated Time:1m 30s

Question 2912Question →

Bir turizm şirketi, düzenleyeceği bir kültür turu için kişi başı ücreti $3000 \text{ TL}$ olarak belirlemiştir. Bu tura en fazla 150 kişi katılabilmektedir. Tura katılan kişi sayısı 80'den fazla olduğunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara ki��i başı $15 \text{ TL}$ indirim yapılacaktır.

Buna göre, bu tura kaç kişi katılırsa şirketin elde edeceği toplam gelir en fazla olur?

100

120

130

140

150

Show answer & explanation

Answer: 140

Answer

Toplam gelirin en fazla olması için tura 140 kişi katılmalıdır.

Toplam geliri modelleyen

R(x) = 4200x - 15x^2

fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde elde edilen

140

değeri, şirkete en yüksek geliri sağlayan katılımcı sayısıdır. Bu değer turun kapasite sınırı olan 150 değerini aşmadığından geçerli çözümdür.

Step-by-Step Solution

1

Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet fiyatını veren cebirsel ifadeyi oluşturun.

Tura katılan kişi sayısı

x

olsun (

80 < x \le 150

). 80'in üzerindeki katılımcı sayısı

x - 80

olur. Bu durumda kişi başı bilet fiyatı

3000 - 15(x - 80) = 4200 - 15x \text{ TL}

olarak belirlenir.

Toplam geliri bulmak için öncelikle bilet fiyatının katılımcı sayısına bağlı denklemini yazmamız gerekir.

2

Toplam gelir fonksiyonunu (

R(x)

) kurun.

R(x) = x \cdot (4200 - 15x) = 4200x - 15x^2

elde edilir.

Toplam gelir, toplam katılımcı sayısı ile kişi başı bilet fiyatının çarpılmasına eşittir.

3

Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı hesaplayın.

R'(x) = 4200 - 30x

olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde

4200 - 30x = 0 \implies 30x = 4200 \implies x = 140

bulunur.

Fonksiyonun yerel maksimum değerini araştırmak için türevin sıfır olduğu kritik noktayı bulmalıyız.

4

Bulunan kritik noktanın sınır koşullarını sağladığını ve geliri maksimum yaptığını doğrulayın.

x = 140

değeri

80 < x \le 150

tanım aralığındadır.

R''(x) = -30 < 0

olduğundan bu noktada fonksiyon maksimum değerini alır.

Kritik noktanın fiziksel sınırları aşmadığından ve yerel maksimum noktası olduğundan emin olunmalıdır.

Key Concept

Türev yardımıyla maksimum-minimum problemlerinin modellenmesi ve çözülmesi.

Alternative Method

Türev kullanmak yerine, elde edilen

R(x) = -15x^2 + 4200x

fonksiyonunun kolları aşağı doğru olan bir parabol belirttiği görülebilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri tepe noktasının apsisinde (

r

) gerçekleşir. Buradan

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4200}{2 \cdot (-15)} = 140

olarak hesaplanır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2913Question →

Bir göldeki su derinliğine bağlı olarak ışık şiddetinin değişimi araştırılmaktadır. Göle ulaşan güneş ışığının su yüzeyindeki şiddeti $I_0$ lümen olmak üzere, su yüzeyinden itibaren $d$ metre derinlikteki ışık şiddeti $I(d)$ lümen değeri

I(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}

formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinlik, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

5 \ln 2

2 \ln 5

\frac{\ln 2}{5}

5 \ln(0,5)

-5 \ln 2

Show answer & explanation

Answer: $5 \ln 2$

Answer

Beş çarpı elen iki

Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinliği bulmak için

I(d) = 0,5 I_0

eşitliği kurulur. Burada

I_0

sadeleştirilerek

e^{-0,2d} = 0,5

denklemine ulaşılır. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında

-0,2d = \ln(0,5)

olur.

\ln(0,5) = -\ln 2

eşitliği kullanılarak

-0,2d = -\ln 2

yani

0,2d = \ln 2

elde edilir. Son olarak

0,2 = \frac{1}{5}

katsayısı karşıya çarpım olarak aktarıldığında derinlik

5 \ln 2

metre olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Işık şiddeti modelini, yüzeydeki şiddetin yarısına eşit olacak şekilde denklem halinde yazın.

I_0 \cdot e^{-0,2d} = 0,5 \cdot I_0

Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin (

I_0

) yarısına düştü��ü derinliği bulmak için

I(d) = 0,5 I_0

eşitliği kurulur.

2

Her iki taraftaki

I_0

terimlerini sadeleştirip üstel denklemi yalnız bırakın ve her iki tarafın doğal logaritmasını (

\ln

) alın.

e^{-0,2d} = 0,5 \implies -0,2d = \ln(0,5)

Üstel ifadenin tabanı

e

olduğundan,

d

değişkenini çekebilmek için doğal logaritma fonksiyonu kullanılır.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak negatif terimleri sadeleştirin ve

d

derinlik değerini bulun.

-0,2d = -\ln 2 \implies 0,2d = \ln 2 \implies d = 5 \ln 2

\ln(0,5) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2

özelliği yardımıyla denklem sadeleştirilir.

0,2 = \frac{1}{5}

olduğundan, içler dışlar çarpımıyla

d = 5 \ln 2

elde edilir.

Key Concept

Üstel azalış modellerinde üstel denklemi logaritmaya çevirerek bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma

Question 2914Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f(x) = mx + d$ doğrusal fonksiyonu veriliyor. Ortak farkı pozitif olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri için her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n = f(n)$ eşitliği sağlanmaktadır.

f(a_3) - f(a_1) = 18

a_2 + a_8 = 16

olduğuna göre, $a_{12}$ değeri kaçtır?

-13

29

32

37

71

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

29

Ortak farkı pozitif olan aritmetik dizinin ortak farkı

r = 3

ve beşinci terimi

a_5 = 8

olarak hesaplandığında, on ikinci terim

a_5 + 7r = 8 + 21 = 29

şeklinde doğru olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Doğrusal fonksiyon ile aritmetik dizi arasındaki ilişkiyi kurma.

f(x) = mx + d

fonksiyonu için

a_n = f(n) = mn + d

olduğundan, dizinin ortak farkı

r = m

olur.

Doğrusal fonksiyonun n değişkenine göre değişim oranı sabittir ve bu oran aritmetik dizinin ortak farkına eşittir.

2

f(a_3) - f(a_1) = 18

eşitliğini kullanarak ortak farkı (

r

) bulma.

f(a_3) - f(a_1) = m(a_3 - a_1) = r(2r) = 2r^2 = 18 \implies r^2 = 9

elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan

r = 3

bulunur.

Aritmetik dizide terimler arasındaki fark indisler farkının ortak fark ile çarpımına eşittir (

a_3 - a_1 = 2r

).

3

a_2 + a_8 = 16

eşitliğinden yararlanarak beşinci terimi bulma.

a_2 + a_8 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8

bulunur.

Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

4

Bulunan değerler yardımıyla

a_{12}

terimini hesaplama.

a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 7(3) = 29

bulunur.

Bir terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim özelliği kullanılarak istenen terim elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde doğrusal fonksiyon ilişkisi, ortak fark ve indis özellikleri.

Question 2915Question →

Bir madeni para ardı ardına havaya atılmaktadır. Bu atış işlemi, üst üste iki kez aynı sonuç (yazı-yazı veya tura-tura) elde edildiğinde sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu işlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 31

Answer

İşlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı 15/16 olduğundan, pay ve paydanın toplamı 31'dir.

Tüm olası 5'li atış serilerinden (32 adet), oyunun 5. atışta henüz sonlanmadığı ardışık alternasyon durumları olan Y-T-Y-T-Y ve T-Y-T-Y-T (2 adet) çıkarıldığında, geriye kalan 30 durumda oyun en geç 5. atışta veya daha öncesinde sonlanmış olur. Bu olasılık 30/32 = 15/16'dır. En sade haliyle pay ve payda toplamı 15 + 16 = 31 olur.

Step-by-Step Solution

1

5 madeni para atışında oluşabilecek tüm olası durumların sayısını hesaplamak

2^5 = 32

farklı durum

Her bir atış için 2 olası sonuç (Yazı veya Tura) bulunduğundan, 5 bağımsız atışın toplam durum sayısı çarpım kuralı ile bulunur.

2

İşlemin 5 atı�� sonunda sonlanmadığı (yani oyunun devam ettiği) durumları belirlemek

{Y-T-Y-T-Y, T-Y-T-Y-T} olmak üzere 2 durum

Oyunun 5 atış sonunda sonlanmaması için hiçbir ardışık iki atışın aynı sonucu vermemesi, yani sonuçların sürekli dalgalanması gerekir.

3

İşlemin en fazla 5 atışta sonlanma olasılığını tüm durumlardan sonlanmama durumunu çıkararak hesaplamak

1 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

İstenen olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) istenmeyen olayın (sonlanmama) olasılığının çıkarılmasıyla pratik bir şekilde bulunur.

4

En sade kesir biçimindeki

a

ve

b

değerlerini bulup toplamak

a = 15

,

b = 16

ve

a + b = 31

\frac{15}{16}

kesri sadeleştirilemediğinden

a=15

ve

b=16

alınır.

Key Concept

Bir olayın tümleyeninin olasılığını kullanarak basit olayların olasılığını hesaplama.

Question 2916Question →

$\log_3 5 = a$ ve $\log_5 2 = b$ olduğuna göre, $\log_{15} 24$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3ab + 1}{a + 1}

\frac{3b + a}{a + 1}

\frac{ab + 3}{a + 1}

3ab + 1

\frac{3ab + a}{a + 1}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3ab + 1}{a + 1}$

Answer

\frac{3ab + 1}{a + 1}

İstenen

\log_{15} 24

ifadesi 5 tabanına göre yazıldığında

\frac{\log_5 24}{\log_5 15}

elde edilir. Pay kısmındaki

\log_5 24

ifadesi

3\log_5 2 + \log_5 3

şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında

\frac{3ab + 1}{a}

olur. Payda kısmındaki

\log_5 15

ifadesi ise

\log_5 5 + \log_5 3

şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında

\frac{a+1}{a}

olur. Bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla aranan doğru ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve uygun bir ortak taban seçmek.

Soruda verilen

\log_3 5 = a

ve

\log_5 2 = b

ifadelerinden ortak olan sayı 5'tir. Bu nedenle

\log_{15} 24

ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 5 tabanında yazmak kolaylık sağlayacaktır.

Taban değiştirme kuralı olan

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

özelliğini uygulamak için ortak taban belirlenir.

2

Verilen ifadeleri 5 tabanına göre düzenlemek.

\log_3 5 = a \implies \log_5 3 = \frac{1}{a}

olur. Diğer taraftan

\log_5 2 = b

olarak kalır.

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

özelliği kullanılarak bilinen değerler 5 tabanına dönüştürülür.

3

\log_{15} 24

ifadesine 5 tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15}

elde edilir.

İstenen ifadeyi bilinen tabana dönüştürerek sadeleştirmek hedeflenir.

4

Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak logaritmanın özelliklerini uygulamak.

Pay için:

\log_5 24 = \log_5 (2^3 \cdot 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3 = 3b + \frac{1}{a} = \frac{3ab + 1}{a}

olur.
Payda için:

\log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) = \log_5 5 + \log_5 3 = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}

olur.

Logaritmanın çarpım özelliği (

\log (xy) = \log x + \log y

) ve üs özelliği (

\log x^n = n \log x

) uygulanır.

5

Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime getirmek.

\log_{15} 24 = \frac{\frac{3ab + 1}{a}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{3ab + 1}{a} \cdot \frac{a}{a + 1} = \frac{3ab + 1}{a + 1}

bulunur.

Bölme işlemi tamamlanarak ifade

a

ve

b

cinsinden en sade haline getirilir.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Çarpım Özelliği

Estimated Time:2m 0s

Question 2917Question →

Sürtünmelerin önemsenmediği bir eğik düzlem üzerinde, ağırlığı $20\text{ N}$ olan hareketli makaraya bağlı $80\text{ N}$ ağırlığındaki K cismi şekildeki gibi dengelenmiştir. Eğik düzlemin yatay ile yaptığı açı $30^\circ$ olup, makarayı çevreleyen ipin uçları eğik düzlem yüzeyine paraleldir.

Buna göre, sistemi bu konumda dengede tutan $F$ kuvvetinin büyüklüğü kaç $\text{N}$ 'dur?
( $\sin 30^\circ = 0,5$ )

20 \text{ N}

25 \text{ N}

30 \text{ N}

40 \text{ N}

50 \text{ N}

Show answer & explanation

Answer: 25 \text{ N}

Answer

Sistemi bu konumda dengede tutan

F

kuvvetinin büyüklüğü

25\text{ N}

'dur.

Sistemi dengede tutan kuvveti bulmak için K cisminin ve hareketli makaranın ağırlıklarının eğik düzleme paralel bileşenleri toplanır. Bu toplam kuvvet, hareketli makarayı taşıyan iki paralel ip kolu tarafından eşit olarak paylaştırılır. Toplam paralel kuvvet

(80 + 20) \cdot \sin 30^\circ = 50\text{ N}

'dur. İp kollarındaki gerilme kuvveti

F = 50 / 2 = 25\text{ N}

olur.

Step-by-Step Solution

1

K cisminin ve hareketli makaranın ağırlıklarının eğik düzleme paralel bileşenleri hesaplanır.

K cismi için:

G_x = G \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot 0,5 = 40\text{ N}

.
Hareketli makara için:

P_{mx} = P_m \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot 0,5 = 10\text{ N}

.

Eğik düzlem üzerindeki cisimlerin aşağı doğru kayma eğilimini yaratan kuvvet, ağırlıklarının eğik düzlem yüzeyine paralel olan bileşenidir.

2

Eğik düzlem üzerinde aşağı doğru olan toplam paralel kuvvet belirlenir.

F_{\text{toplam}} = G_x + P_{mx} = 40 + 10 = 50\text{ N}

.

K cismi hareketli makaraya asılı olduğu için her iki ağırlığın eğik düzleme paralel bileşenleri aynı doğrultuda aşağı yönlüdür ve doğrudan toplanır.

3

Hareketli makara prensibi kullanılarak denge şartından

F

kuvveti hesaplanır.

2F = F_{\text{toplam}} \implies 2F = 50 \implies F = 25\text{ N}

.

Hareketli makarayı çevreleyen ipin her iki ucu da eğik düzleme paralel olduğu için aşağı yönlü toplam kuvvet, ipin iki kolu tarafından eşit olarak paylaşılır.

Key Concept

Eğik düzlem ve hareketli makara sistemlerinde kuvvet dengesi

Estimated Time:2m 0s

Question 2918Question →

Hava direncinin ihmal edildiği düşey kesiti verilen ortamda, yerdeki $K$ noktasından bir cisim yerle $53^\circ$ lik açı yapacak şekilde $v_1 = 25\text{ m/s}$ büyüklüğündeki ilk hızla eğik olarak fırlatılıyor. Aynı anda, $K$ noktasından yatay doğrultuda $d$ uzaklığında ve $h$ yüksekli��inde bulunan $L$ noktasından başka bir cisim $v_2 = 10\text{ m/s}$ büyüklüğündeki yatay hızla $K$ cismine doğru fırlatılıyor. Cisimler havada, $K$ cisminin yörüngesinin tepe noktasında çarpıştığına göre, $L$ cisminin fırlatıldığı yükseklik ( $h$ ) kaç metredir?

(Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; $\sin 53^\circ = 0{}8$ , $\cos 53^\circ = 0{}6$ )

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

L cisminin fırlatıldığı yükseklik 40 metredir.

K cisminin düşey hız bileşeni

20\text{ m/s}

olup, yerçekimi ivmesi

10\text{ m/s}^2

olduğundan maksimum yüksekliğe

2\text{ s}

'de ulaşır. Bu esnada düşeyde

20\text{ m}

yükselir. L cismi yatay doğrultuda fırlatıldığı için düşeyde serbest düşme hareketi yapar ve

2\text{ s}

'de

20\text{ m}

aşağı düşer. Cisimlerin havada çarpışabilmeleri için düşey konumlarının eşit olması gerektiğinden, L cisminin başlangıç yüksekliği bu iki mesafenin toplamı olan

40\text{ m}

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

K cisminin ilk hızının yatay ve düşey bileşenleri bulunur.

v_{1x} = 25 \times \cos 53^\circ = 15\text{ m/s}

ve

v_{1y} = 25 \times \sin 53^\circ = 20\text{ m/s}

İki boyutta hareketi yatay ve düşey doğrultularda ayrı ayrı incelemek için hız bileşenlerini belirlememiz gerekir.

2

K cisminin yörüngesinin tepe noktasına ulaşma süresi hesaplanır.

t = \frac{v_{1y}}{g} = \frac{20}{10} = 2\text{ s}

Cisimler havada K'nin maksimum yüksekliğe ulaştığı anda çarpıştığı için çarpışma anı bu süreye eşittir.

3

Cisimlerin düşey doğrultudaki hareket denklemleri yazılarak çarpışma yüksekliği ve L'nin başlangıç yüksekliği (

h

) bulunur.

K cisminin tepe noktasındaki yüksekliği:

y_K = v_{1y} t - \frac{1}{2}gt^2 = 20(2) - 5(2)^2 = 20\text{ m}

. L cismi yatay atıldığı için düşeyde serbest düşme yapar.

2\text{ s}

süresince düşeyde aldığı yol:

h_{düşüş} = \frac{1}{2}gt^2 = 5(2)^2 = 20\text{ m}

. Dolayısıyla L cisminin başlangıç yüksekliği:

h = y_K + h_{düşüş} = 20 + 20 = 40\text{ m}

olur.

Her iki cismin çarpışma anında aynı konumda olması gerektiğinden düşey konumları eşitlenerek başlangıç yüksekliği hesaplanır.

Key Concept

İki boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin bağıl hareketi ve düşey doğrultudaki serbest düşme ile eğik atış hareketlerinin birleşimi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2919Question →

Ortak çarpanı pozitif bir gerçel sayı olan $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_6 - S_3 = 7 \cdot a_4

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

\frac{7}{3}

2

3

\frac{9}{4}

4

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.

İlk 6 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye

a_4 + a_5 + a_6

kalır. Bu ifade

a_4

cinsinden yazıldığında

a_4(1 + r + r^2)

olur. Soruda bu farkın

7a_4

değerine eşit olduğu belirtilmiştir.

a_4

terimleri sadeleştirildiğinde

1 + r + r^2 = 7

denklemi, buradan da

r^2 + r - 6 = 0

elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler

r = 2

ve

r = -3

olarak bulunur. Ortak çarpanın pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtildiğinden doğru değer 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

İlk 6 terim toplamı ile ilk 3 terim toplamı arasındaki farkı dizi terimleri cinsinden ifade edin.

S_6 - S_3 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - (a_1 + a_2 + a_3) = a_4 + a_5 + a_6

İlk

n

terim toplamının tanımına göre, ilk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimler kalır.

2

Elde edilen terimleri geometrik dizinin ortak çarpanı olan

r

türünden

a_4

ortak parantezinde yazın.

a_5 = a_4 \cdot r

ve

a_6 = a_4 \cdot r^2

olduğundan

S_6 - S_3 = a_4 + a_4 \cdot r + a_4 \cdot r^2 = a_4(1 + r + r^2)

olur.

Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltarak ortak çarpanı yalnız bırakabilmek için terimleri ortak bir çarpan parantezine almak gerekir.

3

Bulunan ifadeyi verilen eşitlikte yerine yazarak ortak çarpanı bulun.

a_4(1 + r + r^2) = 7 \cdot a_4

eşitliğinde terimleri pozitif olan dizide

a_4 \neq 0

olduğundan sadeleştirme yapılırsa

1 + r + r^2 = 7 \implies r^2 + r - 6 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem

(r+3)(r-2) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpan pozitif bir gerçel sayı olduğundan

r = 2

bulunur.

İkinci dereceden denklemi çözüp sorudaki pozitiflik şartını sağlayan ortak çarpan değerini belirlemek için.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamı ile ardışık terimler arasındaki ilişkiyi kurma.

Question 2920Question →

Sürtünmelerin ve basit makine ağırlıklarının önemsenmediği aşağıdaki üç farklı basit makine düzeneğinde, özdeş $G$ ağırlıklı yükler sırasıyla $F_1$ , $F_2$ ve $F_3$ büyüklüğündeki kuvvetlerle dengelenmiştir.

I. Eğik düzlem: Eğik düzlem boyu $4L$ , yüksekliği ise $L$ 'dir. Yük, eğik düzlem yüzeyine paralel $F_1$ kuvveti ile dengelenmiştir.
II. Kaldıraç: Desteğin arada olduğu kaldıraçta, desteğin yüke olan uzaklığı $d$ , $F_2$ kuvvetinin uygulandığı noktaya olan uzaklığı ise $3d$ 'dir.
III. Çıkrık: Çıkrık kolunun uzunluğu $5r$ , yükün asılı olduğu silindirin yarıçapı $r$ 'dir. Yük, çıkrık kolunun ucuna dik olarak uygulanan $F_3$ kuvveti ile dengelenmiştir.

Buna göre; bu basit makinelerin sağladığı kuvvet kazançlarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Kuvvet kazançlarının büyükten küçüğe doğru doğru sıralaması Çıkrık (III) > Eğik düzlem (I) > Kaldıraç (II) şeklindedir.

Doğru sıralama olan Çıkrık > Eğik düzlem > Kaldıraç sırasında, her bir düzeneğin kuvvet kazancı sırasıyla 5, 4 ve 3 olarak hesaplanır. Dolayısıyla en büyük kuvvet kazancı çıkrıkta, en küçüğü ise kaldıraçtadır.

Step-by-Step Solution

1

Her bir düzenek için denge denklemini yazarak uygulanan kuvvetleri yük (

G

) cinsinden belirlemek.

F_1 = G/4

,

F_2 = G/3

ve

F_3 = G/5

olarak elde edilir.

Kuvvet kazancını hesaplayabilmek için öncelikle kuvvetlerin yüke oranını bulmamız gerekir.

2

Her bir düzenek için kuvvet kazancını (

K = \frac{G}{F}

) hesaplamak.

K_1 = 4

,

K_2 = 3

ve

K_3 = 5

değerleri bulunur.

Kuvvet kazancı, yükün uygulanan kuvvete oranı olarak tanımlanır.

3

Bulunan kuvvet kazancı değerlerini karşılaştırarak büyükten küçüğe doğru sıralamak.

5 > 4 > 3

olduğundan sıralama III > I > II şeklindedir.

Elde edilen sayısal kuvvet kazancı değerlerinin büyüklük sıralaması istenmektedir.

Key Concept

Basit makinelerde kuvvet kazancı, yükün uygulanan kuvvete (veya kuvvet kolunun yük koluna) oranı ile belirlenir ve sürtünmesiz sistemlerde yoldan kayıp oranına eşittir.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes