All practice questions

Question 2881Question →

Yatay ve sürtünmesiz bir düzlemde, $2\text{ kg}$ kütleli $K$ cismi $+x$ yönünde $4\text{ m/s}$ hızla, $3\text{ kg}$ kütleli $L$ cismi ise $+y$ yönünde $3\text{ m/s}$ hızla hareket etmektedir. Bu iki cisim orijinde çarpışarak kenetleniyor. Buna göre, çarpışma sırasında $K$ cisminin $L$ cismine uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Çarpışma sırasında K cisminin L cismine uyguladığı itmenin büyüklüğü 6 N·s'dir.

Çarpışma süresince K cisminin L cismine uyguladığı itme, L cisminin momentumundaki değişime eşittir. L'nin son momentumu ile ilk momentumu arasındaki vektörel fark alındığında

\Delta\vec{p}_L = 4.8\vec{i} - 3.6\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

vektörü elde edilir. Bu vektörün büyüklüğü Pisagor teoremiyle

\sqrt{4.8^2 + (-3.6)^2} = 6\text{ N}\cdot\text{s}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Çarpışma öncesi çizgisel momentum vektörlerini hesaplama

K cisminin çizgisel momentumu

\vec{p}_{K,i} = 8\vec{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, L cisminin çizgisel momentumu

\vec{p}_{L,i} = 9\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Çizgisel momentum

\vec{p} = m\vec{v}

formülüyle hesaplanan vektörel bir büyüklüktür ve çarpışma sonrası ortak hızı bulmak için başlangıç momentumları vektörel olarak ifade edilmelidir.

2

Çarpışma sonrası ortak hızı bulma

Ortak hız vektörü

\vec{v}_f = 1.6\vec{i} + 1.8\vec{j}\text{ m/s}

Sürtünmesiz yatay düzlemdeki çarpışmada dış kuvvet etki etmediğinden sistemin toplam çizgisel momentumu korunur:

\vec{P}_{ilk} = \vec{P}_{son}

.

3

L cisminin çarpışma sonrası momentumunu ve momentum değişimini bulma

L cisminin son momentumu

\vec{p}_{L,f} = 4.8\vec{i} + 5.4\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, momentum değişimi

\Delta\vec{p}_L = 4.8\vec{i} - 3.6\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

L cismine etki eden itme, L cisminin momentumundaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta\vec{p}

).

4

Momentum değişim vektörünün büyüklüğünü hesaplama

|\Delta\vec{p}_L| = 6\text{ N}\cdot\text{s}

Vektörün büyüklüğü bileşenlerin karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur.

Key Concept

İtme-momentum ili��kisi ve iki boyutta esnek olmayan çarpışmalarda momentum korunumu

Question 2882Question →

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için $f(1) = 2$ ve $f(5) = 8$ eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,

\int_{1}^{3} f'(2x-1) \cdot [f(2x-1)]^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

168

84

\frac{62}{3}

\frac{26}{3}

\frac{13}{3}

Show answer & explanation

Answer: 84

Answer

84 değeri doğrudur.

Dönüşüm

u = f(2x-1)

olarak seçildiğinde diferansiyel

du = 2f'(2x-1)dx

olur ve integral sınırları

x=1

için

u=2

,

x=3

için

u=8

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{8} u^2 du

haline gelir ve hesaplandığında 84 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel al��nır.

u = f(2x-1)

dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2 \cdot f'(2x-1) \, dx

elde edilir. Buradan

f'(2x-1) \, dx = \frac{du}{2}

bulunur.

Verilen integrali u değişkenine bağlı daha kolay çözülebilir bir biçime dönüştürmek için.

2

Belirli integral sınırları yeni değişken u'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \Rightarrow u = f(2(1)-1) = f(1) = 2

olur. Üst sınır için

x = 3 \Rightarrow u = f(2(3)-1) = f(5) = 8

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.

3

Yeni integral ifadesi oluşturulup hesaplanır.

\int_{2}^{8} u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{8} = \frac{1}{6} (8^3 - 2^3) = \frac{1}{6} (512 - 8) = \frac{504}{6} = 84

elde edilir.

İntegral alma kuralları ve belirli integral hesaplama adımları uygulanarak nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel alırken zincir kuralına (içinin türevine) dikkat edilmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2883Question →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir. Bu dizinin ortak çarpanı $r = 3$ ve

S_5 - S_2 = 234

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

1

6

2

-2

18

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Bu dizinin ilk terimi 2'dir.

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülü olan

S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}

kullanıldığında

S_5 = 121a_1

ve

S_2 = 4a_1

elde edilir. Bu iki toplamın farkı olan

117a_1

değeri 234'e eşitlendiğinde ilk terim

a_1 = 2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk n terim toplamı formülü kullanılarak

S_5

ve

S_2

ifadeleri belirlenir.

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı

S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülüyle bulunur.

r = 3

için:

S_5 = a_1 \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{242}{2} = 121 a_1

S_2 = a_1 \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = a_1 \frac{8}{2} = 4 a_1

elde edilir.

Verilen terimlerin toplam farkını ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için.

2

Bu iki ifadenin farkı alınarak verilen sayısal değere eşitlenir.

S_5 - S_2 = 121 a_1 - 4 a_1 = 117 a_1

olur.

117 a_1 = 234

denklemi kurulur.

Dizinin ilk terimini (

a_1

) bulmamızı sağlayacak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi elde etmek için.

3

Elde edilen denklem çözülerek

a_1

bulunur.

a_1 = \frac{234}{117} = 2

bulunur.

Dizinin ilk terimini netleştirmek için.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı formülü

S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}

şeklindedir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2884Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası

T(r, k)

olan

f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 3m + 5

parabolünün simetri ekseni

x = 4

doğrusudur.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı ( $k$ değeri) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Parabolün tepe noktas��nın ordinatı 7'dir.

Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) formülüyle bulunur. Verilen denklemde a = 1, b = -2(m+1) olduğundan r = m + 1 olur. Simetri ekseni x = 4 olarak verildiği için m + 1 = 4 eşitliğinden m = 3 bulunur. m = 3 değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(x) = x^2 - 8x + 23 parabolü elde edilir. Tepe noktasının ordinatı k = f(r) olduğundan, k = f(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 7 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Simetri ekseninden yararlanarak m parametresini bulunuz.

m = 3

Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) doğrusudur. Denklemde a = 1, b = -2(m+1) olduğundan r = m+1 olur. r = 4 verildiği için m+1 = 4 eşitliğinden m = 3 elde edilir.

2

m değerini denklemde yerine yazarak parabol fonksiyonunu oluşturunuz.

f(x) = x^2 - 8x + 23

m = 3 için f(x) = x^2 - 2(3+1)x + 3^2 + 3(3) + 5 = x^2 - 8x + 23 olur.

3

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine yazarak tepe noktasının ordinatını hesaplayınız.

k = 7

Tepe noktasının ordinatı k = f(r) = f(4) ile hesaplanır. f(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur.

Key Concept

Parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur ve tepe noktası T(r, k) koordinatlarına sahiptir, burada k = f(r) değeri parabolün tepe noktasının ordinatıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 2885Question →

Bir

(a_n)

aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_8^2 - a_4^2 = 96

a_2 + a_{10} = 12

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 5. terimi ( $a_5$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Bu aritmetik dizinin 5. terimi (

a_5

) 4 olarak bulunur.

Aritmetik dizilerin indis özellikleri kullanıldığında,

a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12

eşitliğinden

a_6 = 6

bulunur. Ardından

a_8

ve

a_4

terimleri

a_6

ve ortak fark

r

cinsinden

a_8 = 6+2r

,

a_4 = 6-2r

olarak yazılıp kareler farkı denkleminde yerine koyulduğunda,

(6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2

elde edilir. İstenen 5. terim ise

a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4

olarak doğru hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması özelliğini kullanarak

a_6

terimini hesaplamak.

a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 \implies a_6 = 6

elde edilir.

2 + 10 = 6 + 6

olduğundan indislerin ortalaması bize ortadaki terimi verir.

2

a_8

ve

a_4

terimlerini

a_6

ve ortak fark

r

türünden ifade etmek.

a_8 = a_6 + 2r = 6 + 2r

ve

a_4 = a_6 - 2r = 6 - 2r

şeklinde yazılır.

Aritmetik dizide her terim

a_n = a_k + (n-k)r

kuralı ile ba��ka bir terim cinsinden yazılabilir.

3

Elde edilen ifadeleri kareler farkı denkleminde yerine yazıp ortak fark olan

r

değerini bulmak.

a_8^2 - a_4^2 = (6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2

bulunur.

Tam kare ifadeler açılıp farkı alındığında sadeleşerek

48r

ifadesine eşit olur.

4

Bulunan

a_6

ve

r

değerlerini kullanarak istenen

a_5

terimini hesaplamak.

a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4

elde edilir.

Dizinin 5. terimi, 6. teriminden bir ortak fark (

r

) eksiktir.

Key Concept

Aritmetik Dizilerde Terim Özellikleri ve İndis İlişkileri

Question 2886Question →

Bir sanat galerisinde sergilenmek üzere 3 farklı manzara, 3 farklı portre ve 2 farklı soyut tablo tek bir sıra hâlinde yan yana dizilecektir.

Soyut tabloların tamamının yan yana olduğu ve herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmediği bilindiğine göre, bu tablolar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

240

480

960

1440

2880

Show answer & explanation

Answer: 2880

Answer

Doğru cevap 2880'dir.

Doğru cevap 2880'dir. Yan yana bulunması gereken 2 soyut tablo 1 nesne olarak kabul edildiğinde, 3 manzara tablosuyla birlikte toplam 4 nesne elde edilir. Bu nesneler

4!

şekilde, soyut tablolar ise kendi aralarında

2!

şekilde sıralanabilir. Herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmemesi koşulu için bu 4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluğa 3 portre tablosu

P(5,3)

kadar farklı şekilde yerleştirilir. Sonuç olarak tüm durumların çarpımı

4! \times 2! \times P(5,3) = 24 \times 2 \times 60 = 2880

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Yan yana olması istenen 2 farklı soyut tabloyu tek bir grup olarak paketleyelim.

Elimizde 3 farklı manzara tablosu ve 1 soyut tablo grubu olmak üzere toplam 4 nesne oluşur.

Birlikte bulunması gereken nesneler tek bir eleman gibi kabul edilerek işlem kolaylığı sağlanır.

2

Bu 4 nesnenin kendi aralarındaki sıralamasını ve soyut tabloların grup içi yer de��iştirmesini hesaplayalım.

4 nesne kendi arasında

4! = 24

farklı şekilde sıralanabilir. Soyut tablolar da grup içinde

2! = 2

farklı şekilde yer değiştirebilir. Bu iki durumun çarpımı

24 \times 2 = 48

farklı dizilim oluşturur.

Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bağımsız sıralama seçenekleri çarpılır.

3

Herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmemesi için portre tablolarını yerleştirdiğimiz 4 nesnenin aralarındaki boşluklara dağıtalım.

4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluktan (sol uç, nesneler arası ve sağ uç) 3 tanesi seçilerek 3 portre tablosu bu boşluklara

P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60

farklı şekilde yerleştirilir.

İki portre tablosunun yan yana gelmesini engellemek için her boşluğa en fazla bir portre tablosu yerleştirilmelidir.

4

Tüm aşamalardaki sıralama sayılarını çarparak toplam dizilim sayısını elde edelim.

Toplam dizilim sayısı

48 \times 60 = 2880

olur.

Tüm koşulları aynı anda sağlayan dizilim sayısını bulmak için her aşamada elde edilen bağımsız sıralamalar çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyonda elemanların yan yana olma ve olmama durumlarının çarpım kuralı ile hesaplanması

Estimated Time:2m 0s

Question 2887Question →

Sürtünmesiz yatay düzlemde aralarında $d$ uzaklığı bulunan $m_K = 3\text{ kg}$ ve $m_L = 1\text{ kg}$ kütleli $K$ ve $L$ cisimleri, boyu $d$ olan esnemeyen hafif bir iple birbirine bağlıdır. Cisimler başlangıçta durgun ve ip doğrusal fakat gerilmesizdir. $t = 0$ anında $L$ cismine, ip doğrultusuyla $60^\circ$ lik açı yapacak şekilde ve $K$ cisminden uzaklaşacak yönde $v_0 = 8\text{ m/s}$ büyüklüğünde yatay bir hız kazandırılıyor. Buna göre, ipte oluşan ani gerilme (itme) etkisi bittiği anda $L$ cisminin hızının büyüklüğü kaç $\text{m/s}$ olur? ( $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 60^\circ = 0,5$ ; ipin kütlesi önemsizdir.)

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

L cisminin son hızının büyüklüğü 7 m/s olur.

L cisminin ilk hızı ip doğrultusundaki 4 m/s ve ipe dik doğrultudaki 4√3 m/s bileşenlerine ayrılır. İp esnemeyen yapıda olduğundan sadece kendi doğrultusunda bir itme uygulayabilir, bu nedenle L'nin ipe dik doğrultudaki hızı değişmeden 4√3 m/s olarak kalır. İp doğrultusunda ise çizgisel momentum korunur; başlangıçtaki 1 kg kütleli L cisminin bu doğrultudaki momentumu, ip gerildikten sonra K ve L cisimlerinin ortak momentumuna eşit olur. Buradan ortak doğrusal hız 1 m/s olarak bulunur. Son olarak, L cisminin bu iki dik hız bileşeninin vektörel toplamı alınarak hızının büyüklüğü 7 m/s hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk hızın bileşenlerine ayrılması

v_{0x} = 4\text{ m/s}

,

v_{0y} = 4\sqrt{3}\text{ m/s}

İpin sadece kendi doğrultusunda kuvvet uygulayabileceğini görmek için hız vektörünü ip doğrultusuna paralel ve dik bileşenlerine ayırmamız gerekir.

2

İpe dik doğrultudaki hızın korunumu

v_{Ly} = 4\sqrt{3}\text{ m/s}

İpteki gerilme kuvveti yalnızca ip doğrultusundadır; bu doğrultuya dik olan doğrultuda net dış kuvvet sıfır olduğundan L cisminin bu bileşendeki hızı değişmez.

3

İp doğrultusunda çizgisel momentumun korunumu

v_x = 1\text{ m/s}

İp gerildiğinde oluşan iç gerilme kuvveti nedeniyle sistemin ip doğrultusundaki çizgisel momentumu korunur ve iki cisim bu doğrultuda ortak bir hıza ulaşır.

4

L cisminin son hızının büyüklüğünün hesaplanması

v_L = 7\text{ m/s}

L cisminin birbirine dik olan son hız bileşenlerinin vektörel toplamı alınarak cismin net son hızının büyüklüğü bulunur.

Key Concept

İki boyutlu kısıtlı hareketlerde çizgisel momentum korunumu ve ip gerilmesinin çizgisel momentum değişimine (itme) etkisi

Question 2888Question →

Eğik atış hareketi yapan $3m$ kütleli bir cisim, yörüngesinin maksimum yükseklik noktasından geçerken bir iç patlama sonucu her biri $m$ kütleli üç parçaya ayrılıyor. Cismin patlamadan hemen önceki hızı yatay doğrultuda ve $10\text{ m/s}$ büyüklüğündedir.

Patlamadan hemen sonra;
- Birinci parça düşey doğrultuda aşağıya doğru $16\text{ m/s}$ hızla,
- İkinci parça yatay doğrultuda ve atış yönünde $18\text{ m/s}$ hızla

hareket ettiğine göre, üçüncü parçanın patlamadan hemen sonraki hızının büyüklüğü kaç $\text{m/s}$ 'dir?

12

16

20

24

28

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Üçüncü parçanın patlamadan hemen sonraki hızının büyüklüğü 20 m/s'dir.

Momentumun korunumu yasasına göre, patlama anında sisteme etki eden net bir dış kuvvet olmadığından (yerçekimi kuvvetinin patlama süresince oluşturduğu itme ihmal edilebilir) sistemin ilk çizgisel momentumu ile son çizgisel momentumu vektörel olarak eşit olmalıdır. İlk momentum yalnızca yatay doğrultuda

30m

büyüklüğündedir. Patlama sonrasında birinci parça düşey aşağı

16m

, ikinci parça ise yatay ileri

18m

momentum büyüklüğüne sahip olur. Düşey momentumun sıfırlanabilmesi için üçüncü parçanın düşey yukarı yönde

16\text{ m/s}

hızı olmalıdır. Yatay momentumun

30m

olabilmesi için ise üçüncü parçanın yatayda

12\text{ m/s}

hızı olmalıdır. Bu iki dik hız bileşeninin bileşkesi Pisagor bağıntısından

20\text{ m/s}

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru yanıt 20 m/s olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Patlama öncesindeki toplam momentumu vektörel olarak hesaplamak.

\vec{P}_{ilk} = 3m \cdot (10 \hat{i}) = 30m \hat{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Patlama esnasında dış kuvvetlerin etkisi ihmal edilebilecek kadar kısa sürede gerçekleştiği için sistemin toplam çizgisel momentumu korunur.

2

Patlamadan hemen sonraki birinci ve ikinci parçaların momentumlarını vektörel olarak yazmak.

\vec{P}_1 = m \cdot (-16 \hat{j}) = -16m \hat{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

\vec{P}_2 = m \cdot (18 \hat{i}) = 18m \hat{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Birinci parça düşey aşağı (-y yönünde) ve ikinci parça yatay atış yönünde (+x yönünde) hareket etmektedir.

3

Çizgisel momentumun korunumu yasasını kullanarak üçüncü parçanın hız bileşenlerini bulmak.

\vec{P}_{ilk} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3

30m \hat{i} = -16m \hat{j} + 18m \hat{i} + m\vec{v}_3

30 \hat{i} = 18 \hat{i} - 16 \hat{j} + \vec{v}_3

\vec{v}_3 = 12\hat{i} + 16\hat{j}\text{ m/s}

Toplam momentumun korunması için üçüncü parçanın momentum bileşenlerinin, diğer iki parçanın momentumları ile toplandığında ilk momentuma eşit olması gerekir.

4

Üçüncü parçanın hız vektörünün büyüklüğünü hesaplamak.

v_3 = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = 20\text{ m/s}

Hız bileşenleri birbirine dik olduğundan Pisagor bağıntısı kullanılarak hızın büyüklüğü elde edilir.

Key Concept

Çizgisel momentumun korunumu ve vektörel işlemler

Question 2889Question →

Sürtünmelerin ve basit makine ağırlıklarının önemsenmediği ideal basit makine düzenekleri aşağıda açıklanmıştır. Bu düzeneklerin kuvvet kazançlarını (yük / kuvvet oranı) en büyük olandan en küçük olana doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Düzenek I, Düzenek II, Düzenek III (Kuvvet kazançları sırasıyla 4, 3 ve 2'dir)

Düzeneklerin kuvvet kazançları hesaplandığında eğik düzlem için

4/1 = 4

, kaldıraç için

3

, hareketli makara için ise

2

bulunur. Dolayısıyla büyükten küçüğe sıralama Düzenek I, Düzenek II ve Düzenek III şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Eğik düzlem düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplama

Kuvvet kazancı =

4

Sürtünmesiz bir eğik düzlemde kuvvet kazanc��, düzlemin boyunun yüksekliğine oranına (

L/h

) eşittir.

2

Kaldıraç düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplama

Kuvvet kazancı =

3

Kaldıraçlarda tork prensibine göre kuvvet kazancı, kuvvet kolunun yük koluna oranına eşittir.

3

Hareketli makara düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplama

Kuvvet kazancı =

2

İdeal bir hareketli makarada, makarayı yukarı çeken iki ip olduğu için kuvvet kazancı

2

'dir.

4

Hesaplanan kuvvet kazancı değerlerini karşılaştırma

Düzenek I (

4

) > Düzenek II (

3

) > Düzenek III (

2

)

Buna göre kuvvet kazancı en büyük olan Düzenek I, ardından Düzenek II ve en küçük olan Düzenek III'tür.

Key Concept

Basit makinelerde kuvvet kazancı hesabı

Estimated Time:1m 30s

Question 2890Question →

Şekildeki dik koordinat düzleminde, $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikte; $f(x)$ eğrisi, koordinat eksenleri ve $x = 3$ doğrusu aras��nda kalan boyalı $S_1$ ve $S_2$ bölgelerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?

0

\frac{4}{3}

4

\frac{8}{3}

\frac{14}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{8}{3}$

Answer

Boyalı bölgelerin alanları toplamı

\frac{8}{3}

birimkaredir.

Doğru cevap olan

\frac{8}{3}

değeri, parabolün

[0,1]

aralığında x-ekseninin altında kalan bölgesinin alanını (

S_1 = \frac{4}{3}

) ve

[1,3]

aralığında x-ekseninin üstünde kalan bölgesinin alanını (

S_2 = \frac{4}{3}

) ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün x-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için

f(x) = 0

denklemini çözeriz.

-x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow -(x-1)(x-3) = 0

denkleminden sınır noktaları

x = 1

ve

x = 3

bulunur.

İntegral sınırlarını belirlemek ve fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.

2

[0, 3]

aralığını fonksiyonun işaretine göre parçalarız.

[0, 1]

aralığında

f(x) \le 0

olduğundan bu bölgenin alanı

S_1 = \int_0^1 -f(x) \, dx

ve

[1, 3]

aralığında

f(x) \ge 0

olduğundan bu bölgenin alanı

S_2 = \int_1^3 f(x) \, dx

olur.

x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmaması için fonksiyonun önüne eksi konulmalıdır.

3

S_1

bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.

S_1 = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}

birimkare.

[0, 1]

aralığındaki alan değerini bulmak.

4

S_2

bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.

S_2 = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_1^3 = ( -9 + 18 - 9 ) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}

birimkare.

[1, 3]

aralığındaki alan değerini bulmak.

5

S_1

ve

S_2

alanlarını toplayarak toplam alanı elde ederiz.

S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

birimkare.

Toplam boyalı alanı bulmak.

Key Concept

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan alan hesaplanırken, eğrinin x-ekseninin altında kalan bölgedeki integralinin negatif değer alacağı unutulmamalı ve bu aralıkta alan bulmak için integralin önüne eksi (-) işareti getirilmelidir.

Alternative Method

Parabolün tepe noktası olan

x = 2

doğrusu simetri eksenidir. Bu eksene göre

[1, 2]

ve

[2, 3]

aralıklarındaki alanlar birbirine eşittir. Sadece

[1, 2]

aralığındaki integral hesaplanıp 2 ile çarpılarak

S_2

alanı daha hızlı bulunabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2891Question →

Eni $10\text{ cm}$ ve boyu $16\text{ cm}$ olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun dört köşesinden birer kenar uzunluğu $x\text{ cm}$ olan eş kareler kesilerek çıkartılıyor. Kalan karton parçası katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin alabileceği en büyük değer kaç $\text{cm}^3$ tür?

Show answer & explanation

Answer: 144

Answer

Kutunun alabileceği en büyük hacim 144 cm³'tür.

Kutunun hacim fonksiyonu

V(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x

olup, tanım aralığı

0 < x < 5

şeklindedir. Fonksiyonun türevinin bu aralıktaki tek kökü

x = 2

olduğundan maksimum hacim

V(2) = 144\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kutunun boyutlarını belirleyip hacim fonksiyonunu x cinsinden yazın.

Kutunun yüksekliği

x

cm, taban kenarları ise

10 - 2x

cm ve

16 - 2x

cm olur. Hacim fonksiyonu

V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x

olarak elde edilir.

Kutunun hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

2

Kutunun boyutlarının fiziksel olarak tanımlı olabilmesi için x değişkeninin tanım kümesini belirleyin.

Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır:

x > 0

,

10 - 2x > 0 \implies x < 5

ve

16 - 2x > 0 \implies x < 8

. Buradan tanım kümesi

(0, 5)

aralığı olarak bulunur.

Uzunluk ölçüleri negatif veya sıfır olamaz.

3

Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.

V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 0 \implies 3x^2 - 26x + 40 = 0

elde edilir. Bu denklemin kökleri

x = 2

ve

x = \frac{20}{3}

olarak bulunur.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda aranır.

4

Bulunan kritik noktaları tanım kümesi yönünden inceleyin ve maksimum hacmi hesaplayın.

x = \frac{20}{3} \approx 6{}67

değeri

(0, 5)

tanım aralığının dışındadır. Bu nedenle tek geçerli kritik nokta

x = 2

olur. Hacim fonksiyonunda

x = 2

yazıldığında maksimum hacim

V(2) = 2 \cdot (10 - 4) \cdot (16 - 4) = 144

olarak bulunur.

Maksimum hacim, geçerli tanım kümesindeki tek yerel maksimum noktası olan x = 2 değerinde elde edilir.

Key Concept

Maksimum ve minimum problemlerinde türev kullanılarak optimizasyon yapılması.

Question 2892Question →

Bir göldeki alg (su yosunu) kaplı alanın büyüklüğü, göle kimyasal atık karışmaya başladıktan itibaren geçen süreye bağlı olarak üstel artış göstermektedir.

t

gün cinsinden geçen süreyi belirtmek üzere, göldeki alg kaplı alan

A(t)

(

m^2

cinsinden)

A(t) = A_0 \cdot (1{}5)^{k \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Bu formülde

A_0

başlangıçtaki alg kaplı alanı (

m^2

),

k

ise gölün kirlilik katsayısını temsil eden pozitif bir gerçel sayı sabitidir.

Kimyasal atık karışmaya başladığı anda alg kaplı alanı $80\text{ m}^2$ olan göldeki bu alan 4 gün sonra $180\text{ m}^2$ olduğuna göre, göldeki alg kaplı alanın $405\text{ m}^2$ olması için başlangıçtan itibaren toplam kaç gün geçmesi gerekir?

6

9

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Göldeki alg kaplı alanın 405 metrekare olması için başlangıçtan itibaren toplam 8 gün geçmesi gerekir.

Kimyasal atık miktarına bağlı büyüme modeli

A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t}

olarak elde edilir. Bu modelde alanın 405 metrekareye ulaşması için gereken süre

(1{}5)^{0{}5t} = 81/16

denkleminin çözülmesiyle bulunur.

81/16 = (1{}5)^4

olduğundan

0{}5t = 4

ve buradan

t = 8

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç anındaki (

t=0

) alg alanını formülde yerine yazarak modeli belirleyin.

A(0) = A_0 = 80

metrekaredir.

Başlangıç değeri A0 parametresini doğrudan belirlemektedir.

2

t=4

gün sonraki alg alanının

180\text{ m}^2

olduğu bilgisini kullanarak katsayı

k

değerini bulun.

A(4) = 80 \cdot (1{}5)^{4k} = 180 \Rightarrow (1{}5)^{4k} = \frac{180}{80} = \frac{9}{4} = (1{}5)^2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 0{}5

bulunur.

Gölün kirlilik katsayısı olan

k

değerinin hesaplanarak modelin tamamlanması gerekir.

3

Alg alanının

405\text{ m}^2

olmasını sağlayan

t

süresini

k=0{}5

değerini yerine yazarak bulun.

A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t} = 405 \Rightarrow (1{}5)^{0{}5t} = \frac{405}{80} = \frac{81}{16} = (1{}5)^4 \Rightarrow 0{}5t = 4 \Rightarrow t = 8

gün elde edilir.

Üstel denklem çözülerek hedef alana ulaşılması için gereken süre bulunur.

Key Concept

Üstel büyüme modellerinde başlangıç değeri ve büyüme katsayısı kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.

Question 2893Question →

Artan bir

(a_n)

aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{16} = 40

a_7 \cdot a_{13} = 364

eşitlikleri verilmektedir.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f(x)$ doğrusal fonksiyonu, her $n$ pozitif tam sayısı için $f(n) = a_n$ eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(8)$ değeri kaçtır?

8

14

16

18

24

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Doğrusal fonksiyonun 8 noktasındaki değeri olan 16'dır.

Soruda verilen aritmetik dizi özelliklerinden yararlanılarak

a_{10} = 20

bulunur. Ardından

a_7

ve

a_{13}

terimleri

a_{10}

cinsinden yazılarak ortak farkın karesi

r^2 = 4

elde edilir. Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark

r = 2

olarak seçilir. Dizinin genel terimi

a_n = 2n

olarak bulunur. Her

n

pozitif tam sayısı için

f(n) = a_n

sağlandığından doğrusal fonksiyon

f(x) = 2x

olur. Buradan

f(8) = 16

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi bulunuz.

a_4 + a_{16} = 2 \cdot a_{10} = 40 \implies a_{10} = 20

Aritmetik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (

4 + 16 = 2 \cdot 10

).

2

a_7

ve

a_{13}

terimlerini

a_{10}

ve ortak fark

r

cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.

a_7 = 20 - 3r

ve

a_{13} = 20 + 3r

yazılır. Çarpımları:

(20 - 3r)(20 + 3r) = 400 - 9r^2 = 364 \implies 9r^2 = 36 \implies r^2 = 4

. Dizi artan olduğu için

r > 0 \implies r = 2

bulunur.

a_7

ve

a_{13}

terimleri

a_{10}

terimine göre simetrik konumdadır (

10 - 7 = 13 - 10 = 3

). Aritmetik dizinin artan olması ortak farkın pozitif olmasını gerektirir.

3

Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon ilişkisini kurarak istenen değeri hesaplayınız.

a_n = a_{10} + (n - 10)r \implies a_n = 20 + 2(n - 10) = 2n

olur.

f(n) = a_n

olduğundan

f(x) = 2x

doğrusal fonksiyonu elde edilir. Buradan

f(8) = 2 \cdot 8 = 16

bulunur.

Aritmetik dizinin genel terimi, derecesi 1 olan (doğrusal) bir fonksiyondur.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve doğrusal fonksiyon ilişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 2894Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve grafiği bir parabol olan

f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3m + 5

fonksiyonu veriliyor.

Bu parabolün tepe noktası $y = 2x - 3$ doğrusu üzerinde olduğuna göre, parabolün $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

3

5

9

13

23

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Parabol��n y eksenini kestiği noktanın ordinatı 5'tir.

Parabolün tepe noktası koordinatları genel parametrik formüllerle

T(m-1, -m+4)

olarak hesaplanır. Bu noktanın

y = 2x - 3

doğrusu üzerinde yer alması kuralından hareketle

m = 3

değeri elde edilir. Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı olan

f(0)

ifadesinde

m

yerine 3 yazıldığında doğru sonuç 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasının apsis (r) değerini formül yardımıyla belirleme

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2(m-1)}{2 \cdot 1} = m-1

Genel biçimi

ax^2+bx+c

olan bir parabolün simetri ekseni ve tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülüyle hesaplanır.

2

Tepe noktasının ordinat (k) değerini bulmak için apsis değerini fonksiyonda yerine yazma

k = f(m-1) = (m-1)^2 - 2(m-1)(m-1) + m^2 - 3m + 5

k = -(m-1)^2 + m^2 - 3m + 5

k = -(m^2 - 2m + 1) + m^2 - 3m + 5

k = -m + 4

Böylece tepe noktası

T(m-1, -m+4)

olarak elde edilir.

Parabol üzerindeki tepe noktasının koordinatları

T(r, f(r))

biçimindedir.

3

Tepe noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak m parametresini hesaplama

-m + 4 = 2(m-1) - 3

-m + 4 = 2m - 5

3m = 9 \implies m = 3

Bir noktanın bir doğrunun üzerinde olması, o noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.

4

Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama

f(0) = m^2 - 3m + 5

m = 3

için:

f(0) = 3^2 - 3(3) + 5 = 9 - 9 + 5 = 5

Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır, dolayısıyla

f(0)

değeri aranır.

Key Concept

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının belirlenmesi ve geometrik olarak yorumlanması

Question 2895Question →

Kütleleri birbirinden farklı iki noktasal cisimden oluşan bir sistemde, cisimler arasındaki uzaklık iki katına çıkarılırsa, sistemin kütle merkezinin büyük kütleli cisme olan uzaklığı da iki katına çıkar.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Cisimler arasındaki uzaklık iki katına çıkarılırsa, kütle merkezinin büyük kütleli cisme olan uzaklığı da iki katına çıkar ifadesi doğrudur.

Kütle merkezinin sisteme dahil olan kütlelerden birine uzaklığı, cisimler arası toplam uzaklık ile doğru orantılıdır. Kütleler değişmediği için uzaklığın iki katına çıkması, kütle merkezinin büyük kütleli cisme olan uzaklığını da tam olarak iki katına çıkarır.

Step-by-Step Solution

1

Kütle merkezinin konum denklemini yazmak.

Kütleleri

m_1

ve

m_2

(

m_1 > m_2

), aralarındaki uzaklık

d

olan sistemde, kütle merkezinin

m_1

kütlesine uzaklığı

x_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot d

olur.

Kütle merkezinin cisimlerin kütleleri ve aralarındaki uzaklık cinsinden ifadesini belirlemek için.

2

Uzaklığın iki katına çıkarılması durumunu denkleme uygulamak.

Yeni uzaklık

d' = 2d

olduğunda, yeni konum

x_1' = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot (2d)

olarak elde edilir.

Uzaklıktaki değişimin kütle merkezinin konumuna etkisini matematiksel olarak görmek için.

3

İlk ve son durumdaki uzaklıkları karşılaştırmak.

x_1' = 2x_1

bulunur, yani uzaklık iki katına çıkmıştır.

İfadenin doğruluğunu test etmek için oran analizi yapmak.

Key Concept

İki noktasal cismin kütle merkezinin konumu, cisimlerin kütleleriyle ters, aralarındaki uzaklıkla doğru orantılıdır.

Question 2896Question →

1'den büyük

x

gerçel sayısı için

\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}

eşitliği veriliyor.
Buna göre,

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen ifadenin değeri 2'dir.

Verilen denklemin tüm çarpanları taban değiştirme kuralları yardımıyla 3 tabanına çevrildiğinde

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

elde edilir. Buradan

(\log_3 x)^3 = 27

yani

\log_3 x = 3

bulunur. Bu durumda

x = 27

olur. Soruda istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesi

\log_{\sqrt{27}} 27 = \log_{27^{1/2}} 27 = 2

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklemdeki tüm logaritma terimlerini ortak 3 tabanına dönüştürün.

\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x

ve

\log_{27} x = \frac{1}{3}\log_3 x

ifadeleri elde edilir.

Tüm çarpanları aynı tabanda yazarak çarpım işlemini basitleştirmek.

2

Elde edilen 3 tabanındaki ifadeleri çarpım denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

denklemi elde edilir.

Logaritmaların çarpımından tek bilinmeyenli bir üslü denklem oluşturmak.

3

Denklemi çözerek

\log_3 x

ve

x

değerlerini bulun.

(\log_3 x)^3 = 27 \implies \log_3 x = 3

ve buradan

x = 27

bulunur.

İstenen ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel değişken değerini elde etmek.

4

Bulunan

x

değerini istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinde yerine yazarak hesaplayın.

\log_{\sqrt{27}} 27 = 2

bulunur.

Logaritmanın taban üssü özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Kuvvet Özellikleri

Question 2897Question →

Ortak çarpanı $2$ olan bir geometrik dizinin ilk $6$ teriminin toplamı, ilk $3$ teriminin toplamından $112$ fazladır. Buna göre, bu dizinin ikinci terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizinin ikinci terimi 4'tür.

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülüyle hesaplanır. Dizinin ortak çarpanı

r = 2

olduğundan, ilk 6 teriminin toplamı

S_6 = a_1 \cdot (2^6 - 1) = 63a_1

ve ilk 3 teriminin toplamı

S_3 = a_1 \cdot (2^3 - 1) = 7a_1

olur. İki toplam arasındaki fark

S_6 - S_3 = 56a_1 = 112

olarak verildiğinden ilk terim

a_1 = 2

bulunur. Buradan ikinci terim

a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünü tanımlama

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

İlk 6 ve ilk 3 terim toplamların�� ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için genel formül kurulur.

2

Ortak çarpan

r=2

değerini kullanarak

S_6

ve

S_3

toplamlarını

a_1

cinsinden hesaplama

S_6 = 63a_1

ve

S_3 = 7a_1

Verilen toplamları tek bir bilinmeyen olan

a_1

parametresine indirgemek amacıyla

r = 2

değeri formülde yerine yazılır.

3

Verilen fark ilişkisini kullanarak ilk terim olan

a_1

değerini bulma

56a_1 = 112 \implies a_1 = 2

Dizinin diğer terimlerini hesaplayabilmek için öncelikle birinci terim (

a_1

) bulunur.

4

Dizinin ikinci terimi olan

a_2

değerini hesaplama

a_2 = 2 \cdot 2 = 4

Geometrik dizinin tanımı gereği ikinci terim, ilk terimin ortak çarpan ile çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arası geçiş

Question 2898Question →

Hava direncinin önemsiz olduğu bir ortamda, yerden $H$ yüksekliğindeki bir kulenin tepesinden $K$ cismi düşey doğrultuda yukarı doğru $20\text{ m/s}$ büyüklüğündeki ilk hızla fırlatıldığı anda, $L$ cismi de aynı noktadan serbest bırakılıyor. $K$ cismi fırlatıldıktan $6\text{ s}$ sonra yere çarptığına göre, $K$ cisminin maksimum yüksekliğe ulaştığı anda $L$ cisminin yerden yüksekliği $h_L$ ise $\frac{H}{h_L}$ oranı kaçtır? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

\frac{3}{2}

3

\frac{6}{5}

\frac{15}{14}

\frac{4}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{2}$

Answer

Oran üç bölü iki (

\frac{3}{2}

) olarak bulunur.

Doğru seçenekte belirtilen oran, hareket denklemlerinin vektörel analiziyle elde edilen kule yüksekliği (

60\text{ m}

) ve L cisminin

2\text{ s}

sonundaki yerden yüksekliğinin (

40\text{ m}

) birbirine oranlanmasıyla (

\frac{3}{2}

) bulunur.

Step-by-Step Solution

1

K cisminin fırlatıldığı andan yere çarpana kadar geçen süredeki yer değiştirmesini veren hareket denklemi yazılır.

-H = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2

Yere çarptığı andaki konum fırlatıldığı seviyenin

H

kadar altındadır.

2

K cisminin hareket süresi (

t = 6\text{ s}

) ve ilk hızı (

v_0 = 20\text{ m/s}

) yerine yazılarak kule yüksekliği

H

hesaplanır.

-H = 20(6) - 5(6^2) \Rightarrow H = 60\text{ m}

Kulenin yüksekliğini belirlemek için.

3

K cisminin maksimum yüksekliğe ulaşma süresi hesaplanır.

t_{max} = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2\text{ s}

Maksimum yükseklikte hız sıfır olur.

4

Aynı sürede (

t = 2\text{ s}

) L cisminin aldığı yol ve yerden yüksekliği hesaplanır.

x_L = \frac{1}{2} g t^2 = 20\text{ m}

ve

h_L = H - x_L = 60 - 20 = 40\text{ m}

L cismi durgun halden serbest düşmeye başlamaktadır.

5

Kulenin yüksekliğinin L'nin yerden yüksekliğine oranı bulunur.

\frac{H}{h_L} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}

İstenen oranı bulmak için.

Key Concept

Bir boyutta sabit ivmeli hareket denklemleri, serbest düşme ve düşey atış hareketlerinin vektörel analizidir.

Question 2899Question →

Bir laboratuvar ortamında bulunan bir bakteri türünün sayısı her bir saatin sonunda $3$ katına çıkmaktadır. Başlangıçta ( $0$ . saatte) ortamda $2$ adet bakteri bulunmaktadır.

Buna göre, $1$ . saatin sonundan $6$ . saatin sonuna kadar ( $1$ . ve $6$ . saatler dahil) her saatin sonunda ortamda bulunan bakteri sayılarının toplamı kaçtır?

726

728

2184

2186

4392

Show answer & explanation

Answer: 2184

Answer

2184

Bakteri sayısı her saat sonunda

3

katına çıktığı için bu durum ortak çarpanı

r = 3

olan geometrik bir dizi belirtir.

1

. saatin sonundaki bakteri sayısı dizinin ilk terimi olup

a_1 = 2 \times 3 = 6

değerine eşittir.

1

. saatin sonundan

6

. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk

6

teriminin toplamı olan

S_6

değeridir. Geometrik dizilerde ilk

n

terim toplamı formülü

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

olduğundan,

S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot (729 - 1) = 2184

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin ilk terimini ve ortak çarpanını belirlemek

Dizinin ilk terimi

a_1 = 6

ve ortak çarpanı

r = 3

olarak belirlenir.

Başlangıçta (

0

. saatte)

2

bakteri varken

1

. saatin sonunda bakteri sayısı

3

katına çıkarak

a_1 = 2 \times 3 = 6

olur. Her saatin sonunda bakteri sayısı

3

katına çıktığı için ortak çarpan

r = 3

olan bir geometrik dizi oluşur.

2

İstenen terimlerin toplamını formüle dökmek

S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 \cdot \frac{r^6 - 1}{r - 1}

toplamı hesaplanmalıdır.

1

. saatin sonundan

6

. saatin sonuna kadar olan toplam bakteri sayısı, bu dizinin ilk

6

teriminin toplamına (

S_6

) karşılık gelir.

3

Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplamak

S_6 = 6 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 6 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 3 \cdot 728 = 2184

bulunur.

a_1 = 6

ve

r = 3

değerleri geometrik dizi toplam formülünde yerine yazılarak aritmetik işlemler tamamlanır.

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü

Estimated Time:2m 0s

Question 2900Question →

Düşey kesiti şekilde verilen eğik düzlemin K noktasından $E$ kinetik enerjisiyle yukarı doğru fırlatılan $m$ kütleli bir cisim, en fazla L noktasına kadar çıkabilmektedir. L noktasından geri dönen cisim tekrar K noktasına ulaşıyor. Yol boyunca cisim ile eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısı sabittir.

Cisim K noktasından L noktasına çıkarken sürtünme kuvvetinin yaptığı işin büyüklüğü $W_{\text{sür}}$ , L noktasında cismin yere göre potansiyel enerjisi $E_{\text{pot}}$ olduğuna göre, cismin tekrar K noktasına ulaştığı andaki kinetik enerjisini veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?

E - 2W_{\text{sür}}

E - W_{\text{s��r}}

E + 2W_{\text{sür}}

E_{\text{pot}} - 2W_{\text{sür}}

E_{\text{pot}} + W_{\text{sür}}

Show answer & explanation

Answer: $E - 2W_{\text{sür}}$

Answer

Cismin tekrar K noktasına ulaştığı andaki kinetik enerjisi

E - 2W_{\text{sür}}

ifadesi ile bulunur.

Cisim K'den L'ye çıkarken ve L'den K'ye inerken olmak üzere iki kez sürtünmeli yoldan geçer. Her iki yönde de sürtünme kuvvetinin yaptığı işin büyüklüğü

W_{\text{sür}}

kadar olduğundan, toplamda kaybedilen enerji

2W_{\text{sür}}

olur. Başlangıç enerjisi

E

olduğundan, dönüşteki kinetik enerji

E - 2W_{\text{sür}}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Cisim K noktasından L noktasına çıkarken enerji korunumu bağıntısını yazalım.

E = E_{\text{pot}} + W_{\text{sür}}

Başlangıçtaki kinetik enerjinin (

E

), tepe noktasındaki potansiyel enerji (

E_{\text{pot}}

) ve sürtünmeye harcanan enerjiye (

W_{\text{sür}}

) eşit olduğunu göstermek için.

2

Cisim L noktasından K noktasına geri dönerken enerji korunumu bağıntısını yazalım.

E_{\text{pot}} = E_{\text{dönüş}} + W_{\text{sür}}

Tepe noktasındaki potansiyel enerjinin, dönüşteki kinetik enerjiye (

E_{\text{dönüş}}

) dönüşürken yine sürtünme nedeniyle

W_{\text{sür}}

kadar enerji kaybedileceğini göstermek için.

3

Dönüş kinetik enerjisini çekip ilk adımdaki potansiyel enerji ifadesini yerine koyalım.

E_{\text{dönüş}} = E_{\text{pot}} - W_{\text{sür}} = (E - W_{\text{sür}}) - W_{\text{sür}} = E - 2W_{\text{sür}}

Nihai kinetik enerjiyi başlangıç parametreleri cinsinden ifade etmek için.

Key Concept

Enerjinin korunumu ve sürtünmeli ortamlarda mekanik enerji kaybı

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution