All practice questions

Question 1401Question →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir $P(a, b)$ noktası koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. $P$ noktasının $y$ -eksenine olan uzaklığı, $x$ -eksenine olan uzaklığının $3$ katı olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.3

Answer

İkinci bölgedeki noktanın eksenlere olan uzaklıkları oranından elde edilen koordinat ilişkisi ve birim çember denklemi kullanılarak koordinatların çarpımı -0.3 olarak bulunur.

P(a, b) noktası ikinci bölgede olduğundan a < 0 ve b > 0'dır. Y-eksenine olan uzaklık |a| = -a ve x-eksenine olan uzaklık |b| = b olup aralarındaki ilişki -a = 3b şeklindedir. Birim çember denklemi olan a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde a yerine -3b yazıldığında 10b^2 = 1 ve b^2 = 0.1 bulunur. Buradan a.b = -3b^2 = -0.3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Noktanın işaretlerini belirleme

a < 0

ve

b > 0

P(a, b)

noktası ikinci bölgede yer aldığı için apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.

2

Eksenlere olan uzaklık ilişkisini kurma

a = -3b

Y-eksenine uzaklık

|a|

, x-eksenine uzaklık

|b|

olup

|a| = 3|b|

eşitliğinden

-a = 3b

elde edilir.

3

Birim çember denklemini kullanarak değişkenlerin değerini bulma

b^2 = 0.1

Nokta birim çember üzerinde olduğundan

a^2 + b^2 = 1

eşitliği sağlanmalıdır.

4

Koordinatlar çarpımını hesaplama

a \cdot b = -0.3

a \cdot b = -3b^2

ifadesinde

b^2 = 0.1

yazılır.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve eksenlere olan uzaklıkları

Question 1402Question →

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{1 - \cos(4x) + \sin(4x)}{1 + \cos(4x) + \sin(4x)} = -\frac{24}{7}

olduğuna göre,

\tan x

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

-\frac{3}{4}

-\frac{4}{3}

7

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{3}$

Answer

Dört bölü ü�� (4/3)

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

\tan 2x = -\frac{24}{7}

bulunur. Tanjant iki kat açı formülü kullanılarak elde edilen

12t^2 - 7t - 12 = 0

denkleminin kökleri

\frac{4}{3}

ve

-\frac{3}{4}

'tür.

x \in (\pi/4, \pi/2)

aralığında

\tan x > 1

olması gerektiğinden doğru değer

\frac{4}{3}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirin.

1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x

ve

1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x

eşitlikleri ile

\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x

özdeşliği yerine yazıldığında pay ifadesi

2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x)

ve payda ifadesi

2\cos 2x(\sin 2x + \cos 2x)

olur. Buradan ifade

\tan 2x

olarak sadeleşir.

Trigonometrik denklemi daha basit bir formda çözebilmek için yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapılması gerekir.

2

Elde edilen

\tan 2x = -\frac{24}{7}

eşitliğini tanjant yarım aç�� formülünde yerine koyun.

\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

formülünde

\tan x = t

yazılarak

\frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{24}{7}

denklemi kurulur.

\tan 2x

değerinden

\tan x

değerine geçiş yapabilmek için tanjantın yarım açı (iki kat açı) formülü kullanılır.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve çözün.

\frac{t}{1 - t^2} = -\frac{12}{7} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına

(4t + 3)(3t - 4) = 0

şeklinde ayrılır. Kökler

t_1 = \frac{4}{3}

ve

t_2 = -\frac{3}{4}

olarak bulunur.

Rasyonel denklemi çözülebilir kılmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem standart formuna getirilir.

4

Açının tanım kümesini kontrol ederek doğru

\tan x

değerini belirleyin.

x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

aralığında tanjant fonksiyonu pozitif değerler alır ve

\tan x > 1

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan kök

t = \frac{4}{3}

'tür.

Trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunurken açının ait olduğu bölge (kadran) işaret ve büyüklük sınırlarını belirler.

Key Concept

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin yarım açı formülleriyle sadeleştirilmesi

Question 1403Question →

Dik koordinat düzleminde,

a > 0

,

b > 0

ve

c \in [0, \pi)

olmak üzere,

f(x) = a \cos(bx + c) + d

fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Grafiğin

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

3

'tür.
- Fonksiyonun alabileceği en büyük değer

5

, en küçük değer ise

-1

'dir.
- Fonksiyonun esas periyodu

\pi

radyandır.

Buna göre, $f\left(\frac{\pi}{12}\right)$ değeri kaçtır?

\frac{4 + \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 - \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 - \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}$

Answer

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

Fonksiyonun en büyük değeri

a + d = 5

ve en küçük değeri

-a + d = -1

denklemlerinden

a = 3

ve

d = 2

bulunur. Periyodun

\pi

olmasından

b = 2

elde edilir. Grafiğin

y

eksenini kestiği nokta olan

(0, 3)

değeri fonksiyonda yerine yazıldığında

3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = 1/3

bulunur.

c \in [0, \pi)

olduğundan

\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

olur.

f(\pi/12) = 3\cos(\pi/6 + c) + 2

ifadesi kosinüs toplam formülü yardımıyla açıldığında

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Genlik ve düşey öteleme katsayılarını (

a

ve

d

) belirleme

a + d = 5

ve

-a + d = -1

denklem sisteminden

d = 2

ve

a = 3

bulunur.

a > 0

olduğu için

\cos(bx+c)

ifadesinin maksimum değeri

1

, minimum değeri

-1

olur. Bu değerler fonksiyonu sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerine ulaştırır.

2

Periyot katsayısını (

b

) belirleme

\frac{2\pi}{|b|} = \pi \Rightarrow b = 2

bulunur.

Kosinüs fonksiyonunun esas periyodu

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır ve soruda periyot

\pi

olarak verilmiştir (

b > 0

).

3

Yatay öteleme açısını (

c

) belirleme

f(0) = 3 \Rightarrow 3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = \frac{1}{3}

bulunur. Buradan

\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

elde edilir.

Grafik

y

eksenini

(0, 3)

noktasında kesmektedir.

c \in [0, \pi)

aralığında kosinüsü pozitif olan açının sinüsü de pozitif olmalıdır.

4

f(\pi/12)

değerini hesaplama

f(\pi/12) = 3\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + c\right) + 2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + c\right) + 2 = \frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

bulunur.

Kosinüs toplam formülü

\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

kullanılarak

\cos(\frac{\pi}{6} + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak hesaplanır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri üzerindeki tepe noktaları, periyot ve öteleme parametreleri ile fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki.

Question 1404Question →

Bir $x$ dar açısı için,

\frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) - \sin(7\pi + x)}{\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) + \cos(5\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

\tan(x)

-\cot(x)

-\tan(x)

\cot(x)

0

Show answer & explanation

Answer: $-\tan(x)$

Answer

İfadenin en sade biçimi

-\tan(x)

olarak bulunur.

Verilen ifadede pay kısmındaki

\cos(13\pi/2 - x) = \sin(x)

ve

\sin(7\pi + x) = -\sin(x)

olarak sadeleşir. Buradan pay

\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x)

bulunur. Paydada ise

\sin(x - 9\pi/2) = \sin(3\pi/2 + x) = -\cos(x)

ve

\cos(5\pi - x) = -\cos(x)

olur. Buradan payda

-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)

elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı olan

\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)}

ifadesi sadeleştiğinde

-\tan(x)

değerine eşit olur.

Step-by-Step Solution

1

Paydaki ilk terim olan

\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right)

ifadesini indirgeyelim.

\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

\frac{13\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{2}

radyandır. Birinci bölgede kosinüs pozitif değer alır ve açı

\frac{\pi}{2}

cinsinden yazıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.

2

Paydaki ikinci terim olan

\sin(7\pi + x)

ifadesini indirgeyelim.

\sin(7\pi + x) = -\sin(x)

7\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

radyandır. Üçüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı

\pi

cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.

3

Paydadaki ilk terim olan

\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right)

ifadesini indirgeyelim.

\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) = -\cos(x)

Açıya

6\pi

eklenerek esas ölçü bulunur:

x - \frac{9\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + x

. Dördüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı

\frac{3\pi}{2}

cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.

4

Paydadaki ikinci terim olan

\cos(5\pi - x)

ifadesini indirgeyelim.

\cos(5\pi - x) = -\cos(x)

5\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

radyandır. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır ve açı

\pi

cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.

5

Elde edilen sonuçları ana kesirde yerine koyup sadeleştirelim.

\frac{\sin(x) - (-\sin(x))}{-\cos(x) + (-\cos(x))} = \frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\tan(x)

Pay kısmında

\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x)

ve paydada

-\cos(x) - \cos(x) = -2\cos(x)

işlemleri yapılır. Sadeleştirme sonucunda oran

-\tan(x)

olarak bulunur.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri, bölgelere göre işaretleri ve eksen dönüşüm kuralları.

Question 1405Question →

f(x) = \left(\frac{|a-3| - 2}{5}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

4

6

8

10

13

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8

Üstel fonksiyonun azalan olması için taban değerinin 0 ile 1 aralığında bulunması zorunludur. Buradan hareketle elde edilen

2 < |a-3| < 7

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi

(-4, 1) \cup (5, 10)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar

\{-3, -2, -1, 0, 6, 7, 8, 9\}

olmak üzere 8 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

Üstel fonksiyonun azalan olma koşulunu belirleme

0 < \frac{|a-3| - 2}{5} < 1

eşitsizliği elde edilir.

g(x) = b^x

biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir arasında (

0 < b < 1

) olması gerekir.

2

Eşitsizliği sadeleştirme

0 < |a-3| - 2 < 5 \Rightarrow 2 < |a-3| < 7

eşitsizliği elde edilir.

Eşitsizliğin her tarafı pozitif bir sayı olan 5 ile çarpılır ve ardından her tarafa 2 eklenir.

3

Mutlak değerli eşitsizliği çözme

a \in (-4, 1) \cup (5, 10)

aralığı elde edilir.

2 < |a-3| < 7

ifadesi iki durumda incelenir:
1)

2 < a-3 < 7 \Rightarrow 5 < a < 10

2)

-7 < a-3 < -2 \Rightarrow -4 < a < 1

4

Tam sayı değerlerini bulup sayma

Toplam 8 tane tam sayı değeri vardır.

(-4, 1)

aralığındaki tam sayılar

\{-3, -2, -1, 0\}

(4 adet) ve

(5, 10)

aralığındaki tam sayılar

\{6, 7, 8, 9\}

(4 adet) olmak üzere toplam

4 + 4 = 8

değer bulunur.

Key Concept

Bir üstel fonksiyonun azalan olabilmesi için tabanının sıfır ile bir açık aralığında bulunması gerekir.

Question 1406Question →

\begin{aligned} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} &= \frac{10}{3} \\ x^2 + 2xy + y^2 - x - y &= 12 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları birer tam sayı olan $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

32

18

8

2

-2

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Tam sayı olan koordinat ikilileri için koordinatların çarpımının alabileceği en büyük değer 2'dir.

İkinci denklem

(x+y-4)(x+y+3) = 0

şeklinde yazılıp

x+y

için aday değerler belirlenir. Birinci denklemden gelen oranlar kullanılarak her iki durum için

x-y

farkları hesaplanır. Ortaya çıkan üç farklı tam sayı koordinatlı çözüm ikilisinin koordinat çarpımları karşılaştırıldığında en büyük sonucun 2 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

İkinci denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırın.

(x+y)^2 - (x+y) - 12 = 0 \implies (x+y-4)(x+y+3) = 0

Buradan

x+y = 4

veya

x+y = -3

elde edilir.

Sistemdeki

x+y

ifadesinin alabileceği değerleri belirleyerek denklemi basitleştirmek amacıyla.

2

Birinci denklemde değişken değiştirme yöntemi uygulayın.

\frac{x+y}{x-y} = u

dönüşümü yapılırsa denklem

u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3} \implies 3u^2 - 10u + 3 = 0

halini alır. Bu denklemin kökleri

u = 3

veya

u = \frac{1}{3}

olarak bulunur.

Rasyonel ifadenin çözümünü kolaylaştırmak ve

x+y

ile

x-y

aras��ndaki oranları tespit etmek amacıyla.

3

Bulunan

x+y

değerleri ve

u

oranları yardımıyla olası

x-y

değerlerini hesaplayıp denklem sistemlerini çözün.

1. Durum (

x+y = 4

):
-

u = 3 \implies x-y = 4/3 \implies x = 8/3, y = 4/3

(tam sayı değil).
-

u = 1/3 \implies x-y = 12 \implies x = 8, y = -4

(tam sayı).

2. Durum (

x+y = -3

):
-

u = 3 \implies x-y = -1 \implies x = -2, y = -1

(tam sayı).
-

u = 1/3 \implies x-y = -9 \implies x = -6, y = 3

(tam sayı).

Tüm olası

(x, y)

gerçek sayı ikililerini bulmak ve bunlar arasından koordinatları tam sayı olanları seçmek amacıyla.

4

Elde edilen tam sayı koordinat ikililerinin çarpımlarını hesaplayıp karşılaştırın.

Tam sayı çözümlerin çarpımları:
-

8 \cdot (-4) = -32

-

(-2) \cdot (-1) = 2

-

(-6) \cdot 3 = -18

Bu değerlerden en büyüğü 2'dir.

Soru kökünde istenen en büyük çarpım değerini belirlemek amacıyla.

Key Concept

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternative Method

Birinci denklemde paydalar eşitlenerek içler dışlar çarpımı yapıldığında

3(x+y)^2 + 3(x-y)^2 = 10(x^2-y^2)

elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde

4x^2 - 16y^2 = 0 \implies x^2 = 4y^2 \implies x = 2y

veya

x = -2y

bağıntılarına ulaşılır. Bu iki doğrusal bağıntı ikinci denklemde yerine yazılarak da aynı tam sayı ikililerine ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 1407Question →

f(x) = \left(\frac{12}{a^2 - 4a + 7}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı artan bir üstel fonksiyon olduğuna göre,

a

parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Doğru cevap 10'dur. Artan bir üstel fonksiyon elde etmek için taban ifadesi 1'den büyük olmalıdır. Buradan elde edilen

-1 < a < 5

aralığındaki tam sayıların toplamı 10 yapar.

Verilen fonksiyonun artan bir üstel fonksiyon olması için tabanının 1'den büyük olması şarttır. Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen

-1 < a < 5

aralığındaki tam sayı değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Üstel fonksiyonun artan olma koşulunu yazmak.

b = \frac{12}{a^2 - 4a + 7} > 1

koşulu sağlanmalıdır.

f(x) = b^x

biçimindeki bir üstel fonksiyonun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekmektedir.

2

Eşitsizliği çözmek.

-1 < a < 5

a^2 - 4a + 7 = (a-2)^2 + 3

ifadesi her

a

gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu nedenle eşitsizliğin her iki tarafı payda ile çarpılabilir:

12 > a^2 - 4a + 7 \Rightarrow a^2 - 4a - 5 < 0 \Rightarrow (a-5)(a+1) < 0

elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi

(-1, 5)

aralığıdır.

3

Aralıktaki tam sayı değerlerini belirlemek ve toplamak.

0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10

-1 < a < 5

açık aralığındaki

a

tam sayıları

0, 1, 2, 3

ve

4

değerleridir. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Key Concept

Üstel fonksiyon tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; artanlık için ise taban 1'den büyük olmalıdır.

Question 1408Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olup, bu fonksiyonun grafiği $y$ -eksenini $(0, 1)$ noktasında keser.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade doğrudur çünkü

f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1

fonksiyonunun esas periyodu formül gereği

\frac{2\pi}{3}

olup,

x=0

yazıldığında elde edilen

y

-kesim noktası

(0, 1)

koordinatlarını tam olarak sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun esas periyodunun hesaplanması

Esas periyot

T = \frac{2\pi}{3}

olarak bulunur.

f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1

fonksiyonunda sinüsün kuvveti

1

(tek) ve

x

'in katsayısı

b=3

'tür. Tek kuvvetli sinüs fonksiyonlarında periyot

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Buradan

T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}

elde edilir.

2

Fonksiyonun

y

-eksenini kestiği noktanın hesaplanması

Grafiğin

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 1)

olarak bulunur.

Bir fonksiyonun grafiğinin

y

-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda

x = 0

yazılır.

f(0) = 4\sin\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1

olur.

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değeri yerine yazıldığında

f(0) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1

elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların periyodu ve grafiğin eksenleri kestiği noktalar.

Question 1409Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x|x| - 4x

fonksiyonu veriliyor.

$f$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Daha sonra $g$ fonksiyonunun grafiği $2$ birim sağa ve $1$ birim aşağı ötelenerek $h$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $h(4)$ değeri kaçtır?

11

-3

-5

3

13

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Dönüşümler doğru uygulandığında

h(4)

değeri

-5

olarak bulunur.

Doğru cevap

-5

'tir. Orijine göre simetri alındığında

g(x) = -f(-x) = x|x| - 4x

fonksiyonu elde edilir. Bu grafik

2

birim sağa ve

1

birim aşağı ötelendiğinde

h(x) = g(x-2) - 1

fonksiyonuna ulaşılır. Buradan

h(4) = g(2) - 1 = f(2) - 1 = -4 - 1 = -5

hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x|x| - 4x

fonksiyonunun orijine göre simetriği olan

g(x)

fonksiyonunu belirlemek.

g(x) = x|x| - 4x

Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetriği

g(x) = -f(-x)

dönüşümüyle elde edilir.

f(-x) = (-x)|-x| - 4(-x) = -x|x| + 4x

olur. Buradan

g(x) = -(-x|x| + 4x) = x|x| - 4x

bulunur. (

f

tek fonksiyon olduğu için orijine göre simetriği kendisine eşittir).

2

g

fonksiyonunun grafiğinin

2

birim sağa ve

1

birim aşağı ötelenmesiyle oluşan

h(x)

fonksiyonunu yazmak.

h(x) = g(x-2) - 1

Yatayda

a

birim sağa öteleme

g(x-a)

ile, dikeyde

b

birim aşağı öteleme ise fonksiyondan

b

çıkarılarak yapılır.

3

h(4)

değerini hesaplamak.

h(4) = -5

h(4) = g(4-2) - 1 = g(2) - 1

olur.

g(2) = 2|2| - 4(2) = 4 - 8 = -4

olduğuna göre,

h(4) = -4 - 1 = -5

elde edilir.

Key Concept

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetri dönüşümleri ile yatay/dikey öteleme kuralları.

Question 1410Question →

Gerçek say��lar kümesinde tanımlı

\frac{(4 - x^2) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 5x + 6} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

-3

-2

0

1

3

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı -2'dir.

Çözüm kümesi

[-2, 2) \cup (2, 3)

aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların toplamı (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırırız.

Pay kısm��

-(x-2)(x+2)(x-3)^2

, payda kısmı ise

(x-2)(x-3)

olarak çarpanlarına ayrılır. Eşitsizlik:

\frac{-(x-2)(x+2)(x-3)^2}{(x-2)(x-3)} \geq 0

şeklini alır.

Eşitsizli��in köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak için öncelikle çarpanlara ayırma yapılır.

2

Paydayı sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirleriz.

x^2 - 5x + 6 \neq 0 \implies (x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2

ve

x \neq 3

olmalıdır.

Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılacağından eşitsizlikte eşitlik sembolü olsa dahi çözüm kümesine dahil edilemez.

3

Ortak çarpanları sadeleştirerek daha basit bir eşitsizlik elde ederiz.

x \neq 2

ve

x \neq 3

koşulları altında ortak

(x-2)

ve

(x-3)

çarpanları sadeleştirildiğinde eşitsizlik:

-(x+2)(x-3) \geq 0 \implies (x+2)(x-3) \leq 0

biçimine dönüşür.

İfadeyi sadeleştirmek tablo analizini kolaylaştırır, fakat başlangıçtaki paydayı sıfır yapan noktaların bilgisi tanımsızlık getirdiği için çözüm kümesinden elenmek üzere saklı tutulur.

4

Sadeleşmiş ifadenin işaret tablosunu oluştururuz.

İfadenin kökleri

x = -2

ve

x = 3

olup her ikisi de tek katlı köktür. Başkatsayı negatif olduğundan en sağdan eksi ile başlanır:

x < -2

için

(-)

,

-2 < x < 3

için

(+)

,

x > 3

için

(-)

olur.

Eşitsizliğin sağlandığı pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri belirlemek için işaret incelemesi gerekir.

5

Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini bulur ve toplarız.

İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık

[-2, 3]

'tür. Ancak

x \neq 2

ve

x \neq 3

olmalıdır. Dolayısıyla çözüm kümesi

[-2, 2) \cup (2, 3)

olur. Bu aralıktaki tam sayılar

-2, -1, 0, 1

'dir. Toplamları ise:

(-2) + (-1) + 0 + 1 = -2

olarak bulunur.

Bulunan aralıktan tanımsızlık noktaları çıkarılarak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamına ulaşılır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanımsızlık yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması

Estimated Time:2m 0s

Question 1411Question →

Tanım kümeleri gerçel sayılar kümesi olan $f$ ve $g$ fonksiyonlarından; $f$ fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetrik, $g$ fonksiyonunun grafiği ise $y$ -eksenine göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için

f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

koşulu sağlandığına göre,

f(2) - g(3)

farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

İstenen farkın değeri 11'dir.

Fonksiyonların tek ve çift fonksiyon tanımları gereği f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri kullanılır. Eşitlikte x yerine -x yazılıp taraf tarafa toplandığında g(x) = x^2 + 2 ve f(x) = 2x^3 + 3x elde edilir. Buradan f(2) = 22 ve g(3) = 11 bulunarak farkları 11 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Grafik simetrilerinden fonksiyonların cebirsel kurallarını belirleme.

f

fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur ve her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

eşitliğini sağlar.

g

fonksiyonunun grafiği

y

-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur ve her

x

gerçel sayısı için

g(-x) = g(x)

eşitliğini sağlar.

Fonksiyonların tek veya çift olma durumları grafiklerinin koordinat sistemindeki simetrileriyle tanımlanır.

2

Verilen denklemde

x

yerine

-x

yazarak yeni bir denklem sistemi kurma.

Verilen denklemde

x

yerine

-x

yazıldığında:

f(-x) + (-x - 1) \cdot g(-x) = 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 2

Simetri özellikleri (

f(-x) = -f(x)

ve

g(-x) = g(x)

) uygulandığında denklem:

-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

halini alır.

Aynı bilinmeyen fonksiyonları içeren ikinci bir bağımsız eşitlik elde edilerek denklem sistemi oluşturulur.

3

İki denklemi taraf tarafa toplayarak

g(x)

fonksiyonunu yalnız bırakma.

Eldeki iki denklem taraf tarafa toplanır:
1)

f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

2)

-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

Toplama işlemi sonucunda:

[f(x) - f(x)] + [(x - 1) \cdot g(x) - (x + 1) \cdot g(x)] = (3x^3 - 3x^3) + (-x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-2 - 2)

-2 \cdot g(x) = -2x^2 - 4 \implies g(x) = x^2 + 2

bulunur.

f(x)

terimi elenerek doğrudan

g(x)

kuralına ulaşılır.

4

g(x)

ifadesini ilk denklemde yerine koyup

f(x)

fonksiyonunu çözme.

f(x) + (x - 1)(x^2 + 2) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

f(x) + x^3 - x^2 + 2x - 2 = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

f(x) = 2x^3 + 3x

bulunur.

Bilinmeyenlerden biri bulunduktan sonra diğeri yerine yazma yöntemiyle çözülür.

5

f(2)

ve

g(3)

değerlerini hesaplayıp farklarını alma.

f(2) = 2(2^3) + 3(2) = 16 + 6 = 22

g(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11

f(2) - g(3) = 22 - 11 = 11

bulunur.

Bulunan genel fonksiyon kuralları üzerinde istenen noktalardaki değerler hesaplanıp işlem tamamlanır.

Key Concept

Simetri özellikleri yardımıyla fonksiyon denklemlerini çözme ve değer hesaplama.

Estimated Time:2m 30s

Question 1412Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

a = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}

b = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x

c = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

c, b, a

şeklindedir.

Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde

a

ifadesinin pozitif,

b

ve

c

ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan

b

ve

c

değerleri karşılaştırıldığında

b > c

olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla

c

,

b

ve

a

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.

a = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x

Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

eşitliği kullanılmıştır.

2

b

ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.

b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x

İkinci bölgenin ikinci yarısında yani

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında

\sin x < -\cos x

olduğundan

\sin x + \cos x < 0

olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:

b = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x

Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.

3

c

ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x

olduğundan

c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|}

olur. İkinci bölgede

\cos x < 0

olduğundan

\sec x < 0

dır. Dolayısıyla

|\sec x| = -\sec x

olur:

c = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x

Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.

4

Elde edilen sadeleşmiş

a, b

ve

c

ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında:
-

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan

a = \sin x - \cos x > 0

dır. Hatta

a \in (1, \sqrt{2})

aralığındadır.
-

b

ve

c

ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:

b - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x

Bu aralıkta

\sin x + \cos x < 0

olduğundan,

-\sin x - \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

b - c > 0 \implies b > c

elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama

c < b < a

şeklindedir.

İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi

Question 1413Question →

\theta = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)

olduğuna göre,

13 \cdot \cos\theta

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru cevap 12'dir.

Ters sinüsün tanımından

\sin\theta = -5/13

elde edilir. Değer aralığı

[-\pi/2, \pi/2]

olduğundan açı dördüncü bölgededir. Dördüncü bölgede kosinüs pozitif olduğundan

\cos\theta = 12/13

olur. Dolayısıyla

13 \cdot \cos\theta = 12

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ters trigonometrik fonksiyon tanımından açının sinüs değerini bulma

\sin\theta = -\frac{5}{13}

ve

\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x

tanımı gereği.

2

Açının değer aralığına göre bölgesini ve kosinüsün işaretini belirleme

\theta

açısı dördüncü bölgededir, dolayısıyla

\cos\theta > 0

olur.

Sinüs değeri negatif ve

\theta \in [-\pi/2, \pi/2]

olduğundan açı dördüncü bölgededir.

3

Kosinüs de��erini hesaplama

\cos\theta = \frac{12}{13}

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

temel trigonometrik özdeşliğinden.

4

Nihai değeri hesaplama

13 \cdot \cos\theta = 12

Bulunan kosinüs değerinin 13 ile çarpılması istenmiştir.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla değer hesaplama.

Alternative Method

Dik kenarları 5 ve 12, hipotenüsü 13 olan bir dik üçgen yardımıyla da doğrudan oran bulunabilir, bölge analiziyle işaret teyit edilir.

Estimated Time:1m 0s

Question 1414Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3

olduğuna göre,

\tan x

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.5

Answer

Verilen ifade sadeleştirildiğinde

\cos(2x) = \frac{3}{5}

denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta

\tan x

değeri

0.5

olarak bulunur.

Verilen denklemde pay

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)

şeklinde açılıp payda

\sin(2x)

parantezine alındığında,

\sin(2x)

terimleri sadeleşerek

\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

\cos(2x) = 0.6

bulunur.

x \in (0, \pi/4)

aralığı için

\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}

özdeşliği kullanılarak

\tan x = 0.5

değeri tek olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Payda bulunan

\sin(4x)

ifadesine yarım açı formülünü uygulamak

2\sin(2x)\cos(2x)

Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.

2

Paydayı ortak çarpan parantezine almak

\sin(2x)(1 - \cos(2x))

Payda kısmındaki ortak

\sin(2x)

terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.

3

İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak

\cos(2x) = \frac{3}{5}

Pay ve paydadaki

\sin(2x)

terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.

4

Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak

\tan x = 0.5

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

formülü uygulanıp

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Key Concept

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.

Question 1415Question →

Aşağıdaki şekilde $ABCD$ kirişler dörtgeni ve bu dörtgenin bazı kenar uzunlukları verilmiştir.

Buna g��re, $AC$ köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{19}

7

\sqrt{34}

8

\sqrt{129}

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

AC köşegeninin uzunluğu 7 birimdir.

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı

180^\circ

olduğundan

\cos(\widehat{ADC}) = -\cos(\widehat{ABC})

olur. Her iki üçgende de Kosinüs Teoremi uygulanıp ortak

AC^2

ifadesi eşitlendiğinde

\cos(\widehat{ABC}) = -1/2

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında

AC^2 = 49

ve

AC = 7

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamının

180^\circ

olduğu özelliğini kullanarak a��ılar arasında ilişki kurma.

m(\widehat{ABC}) = \theta

ise

m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \theta

olur. Dolayısıyla

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)

eşitliği elde edilir.

Kosinüs teoremini iki farklı üçgende ortak olan

AC

kenarı için uygulayabilmek.

2

ABC

ve

ADC

üçgenlerinde

AC

kenarı için Kosinüs Teoremi formüllerini yazma.

ABC

üçgeninde:

AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\theta) = 34 - 30\cos(\theta)

ADC

üçgeninde:

AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 89 + 80\cos(\theta)

AC^2

ifadesini iki farklı şekilde ifade ederek

\cos(\theta)

değerini bulmak.

3

Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek

\cos(\theta)

değerini hesaplama.

34 - 30\cos(\theta) = 89 + 80\cos(\theta) \implies 110\cos(\theta) = -55 \implies \cos(\theta) = -1/2

AC^2

değerini bulmak için gerekli olan trigonometrik oranı elde etmek.

4

Bulunan

\cos(\theta) = -1/2

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak

AC

uzunluğunu hesaplama.

AC^2 = 34 - 30 \cdot (-1/2) = 34 + 15 = 49 \implies AC = 7

birim.

İstenen köşegen uzunluğunu bulmak.

Key Concept

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler (

180^\circ

a tamamlayan) olması ve Kosinüs Teoremi ile indirgeme formüllerinin uygulanması.

Question 1416Question →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\sin x - \cos x = 0,6

olduğuna göre,

\sin(2x)

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.64

Answer

0,64

\sin x - \cos x = 0,6

eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında

\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36

elde edilir.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

ve

2\sin x\cos x = \sin(2x)

özdeşlikleri kullanılarak denklem

1 - \sin(2x) = 0,36

şekline dönüştürülür. Buradan

\sin(2x) = 0,64

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının karesini alma

\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36

\sin x \cos x

çarpım terimini ortaya çıkarmak için karesini alma işlemi uygulanır.

2

Temel trigonometrik özdeşliği yerine koyma

1 - 2\sin x\cos x = 0,36

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliği kullanılır.

3

Yarım açı formülünü kullanarak

\sin(2x)

değerini hesaplama

\sin(2x) = 0,64

2\sin x\cos x = \sin(2x)

yarım açı formülü yerine yazılır ve

1 - \sin(2x) = 0,36

denkleminden

\sin(2x) = 0,64

elde edilir.

Key Concept

Sinüs Yarım Açı Formülü

Question 1417Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = -\frac{3}{4}

olduğuna göre,

\tan(2x)

ifadesinin değeri kaçtır?

-\frac{12}{7}

-\frac{24}{25}

-\frac{24}{7}

\frac{24}{7}

\frac{12}{7}

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{24}{7}$

Answer

-\frac{24}{7}

Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirildiğinde

\tan x = -\frac{3}{4}

elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü olan

\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

ifadesinde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç

-\frac{24}{7}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen rasyonel ifadedeki yarım açı formüllerini uygulayarak sadeleştirme yapınız.

1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x

ve

1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x

özdeşliklerini kullanalım. Ayrıca

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

olduğunu biliyoruz. Bu durumda pay:

2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)

olur. Payda ise:

2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)

olur.

İfadeyi daha sade ve çözülebilir bir biçime getirmek için yarım açı formülleriyle terimleri ortak çarpan parantezine almak gerekir.

2

Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirerek

\tan x

değerini bulunuz.

İfade

\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

olarak sadeleşir. Bize bu ifadenin

-\frac{3}{4}

olduğu verildiğinden

\tan x = -\frac{3}{4}

elde edilir.

Pay ve paydadaki

(\sin x + \cos x)

ve

2

terimleri sadeleştiğinde geriye kalan oran tanjant fonksiyonunun tanımını verir.

3

Tanjant fonksiyonunun yarım açı formülünü kullanarak

\tan(2x)

değerini hesaplayınız.

\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

formülünde

\tan x = -\frac{3}{4}

değerini yerine yazalım:

\tan(2x) = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7}

bulunur.

\tan x

değeri bilindiğinde, iki kat açı formülüyle doğrudan

\tan(2x)

değerine ulaşılır.

Key Concept

Tanjant ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve iki kat açının trigonometrik değerlerinin hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 1418Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun $[a, b]$ kapalı aralığındaki en küçük değeri $-4$ , en büyük değeri ise $12$ 'dir.

Buna göre, $a + b$ toplamının alabileceği en büyük değer ka��tır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

a + b toplamının alabileceği en büyük değer 10'dur.

Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan en küçük değer tepe noktası olan

r=3

apsisli noktada alınır ve bu değer

f(3)=-4

'tür. Dolayısıyla

a \leq 3 \leq b

olmalıdır. En büyük değer

12

olduğuna göre uç noktalardan en az biri

f(x)=12

denkleminin kökleri olan

-1

veya

7

değerlerinden birine eşit olmalıdır.

a+b

toplamını en büyük yapmak için

b=7

ve

a=3

seçilmelidir, bu durumda en büyük toplam

10

olur.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasını bulmak ve en küçük değer koşuluyla aralık sınırlarını belirlemek.

a \leq 3 \leq b

Parabolün kolları yukarı doğrudur ve en küçük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi

r = 3

ve bu noktadaki değeri

f(3) = -4

oldu��undan tepe noktası

[a, b]

aralığına dahil olmalıdır.

2

Fonksiyonun en büyük değeri olan

12

'ye ulaştığı

x

değerlerini bulmak.

x = -1

veya

x = 7

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri uç noktalardan birinde gerçekleşir.

f(x) = 12

denklemi çözülerek bu noktalar belirlenir.

3

a \leq 3 \leq b

ve

\max(f(a), f(b)) = 12

koşulları altında

a + b

toplamını en büyük yapmak.

a = 3

ve

b = 7

seçilerek en büyük toplam

10

bulunur.

b

değerini en fazla

7

seçebiliriz (çünkü

b > 7

olursa en büyük değer

12

'yi aşar). Bu durumda

a

değeri tepe noktasını aralıkta tutmak için en fazla

3

olabilir. Dolayısıyla en büyük toplam

3 + 7 = 10

'dur.

Key Concept

Parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktasında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.

Alternative Method

Bu soru türev yardımıyla da çözülebilir. Fonksiyonun yerel minimum noktası

f'(x) = 2x - 6 = 0

eşitliğinden

x = 3

olarak bulunur. Bu noktadaki minimum değer

f(3) = -4

'tür. Aralık sınırları için fonksiyonun türevi işaret değiştirmediğinden, en büyük değer sınır noktalarında aranır.

Estimated Time:2m 0s

Question 1419Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 4x + 7$ parabolünün tepe noktası $T$ dir.
- $f$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak $g(x) = -f(-x)$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası $A$ olarak adlandırılıyor.
- $f$ fonksiyonunun grafiğine sırasıyla $y$ -eksenine göre simetri alma, $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde $2$ birim öteleme ve $y$ -ekseni boyunca pozitif yönde $2$ birim öteleme dönüşümleri uygulanarak $h(x) = f(2-x) + 2$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası $B$ olarak adlandırılıyor.

Buna göre, $A$ ve $B$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

1

2

4

3

-4

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru cevap 4 olan seçenektir.

Doğru cevap olan 4 seçeneği,

f(x)

parabolünün tepe noktası olan

(2,3)

noktasının dönüşümler altındaki görüntülerinin sırasıyla

A(-2, -3)

ve

B(0, 5)

olarak doğru belirlenmesi ve bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin formülüne uygun şekilde hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 - 4x + 7

parabolünün tepe noktasını bulalım.

f(x) = (x-2)^2 + 3

olduğundan tepe noktası

T_f(2, 3)

olur.

Symmetry dönüşümlerini uygulamak için referans noktamız olan tepe noktasının koordinatlarını bulmamız gerekir.

2

g(x) = -f(-x)

fonksiyonunun tepe noktası olan

A

noktasını belirleyelim.

A(-2, -3)

olur.

g(x) = -f(-x)

dönüş��mü, grafiğin orijine göre simetriğinin alınması anlamına gelir. Bu durumda

(x, y)

koordinatları

(-x, -y)

olur.

3

h(x) = f(2-x) + 2

fonksiyonunun tepe noktası olan

B

noktasını belirleyelim.

B(0, 5)

olur.

h(x) = f(-(x-2)) + 2

olduğundan, tepe noktası

T_f(2,3)

önce

y

-eksenine göre simetri ile

(-2, 3)

noktasına gelir, ardından

x

-ekseni boyunca pozitif yönde

2

birim ötelenerek

(0, 3)

olur ve son olarak

y

-ekseni boyunca pozitif yönde

2

birim ötelenerek

B(0, 5)

noktasına ulaşır.

4

A(-2, -3)

ve

B(0, 5)

noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.

m = \frac{5 - (-3)}{0 - (-2)} = \frac{8}{2} = 4

olur.

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

şeklinde uygulanır.

Key Concept

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetrileri ile öteleme dönüşümlerinin tepe noktası koordinatları üzerindeki etkisi.

Estimated Time:2m 0s

Question 1420Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}

olduğuna göre,

\sin(2x)

değeri kaçtır?

\frac{3}{5}

\frac{3}{10}

\frac{3}{20}

-\frac{3}{5}

\frac{9}{10}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{5}$

Answer

İfadenin değeri üç bölü beş olarak bulunur.

Sinüs yarım açı özdeşliği olan

\sin(2x) = 2\sin x\cos x

formülünde, soruda verilen

\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}

değeri yerine yazıldığında

2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{5}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sinüs yarım açı formülünü yazınız.

\sin(2x) = 2\sin x\cos x

\sin(2x)

ifadesini verilen

\sin x \cdot \cos x

çarpımı cinsinden açmak için bu özdeşlik kullanılır.

2

Verilen

\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}

değerini formülde yerine koyunuz.

\sin(2x) = 2 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)

Bilinmeyen ifadeyi sayısal değere dönüştürmek için verilen eşitlik yerleştirilir.

3

Çarpma işlemini tamamlayıp kesri sadeleştiriniz.

\sin(2x) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

En sade rasyonel sonuca ulaşmak için pay ve payda sadeleştirilir.

Key Concept

Sinüs Yarım Açı Özdeşliği

Estimated Time:45s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes