Riemann Toplamı Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2

Dik koordinat düzleminde,

[0, 4]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = |x^2 - 4x + 3|

fonksiyonu veriliyor.

[0, 4]

aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek bir

P

bölüntüsü oluşturuluyor.

$f$ fonksiyonunun bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı $U$ , Riemann alt toplamı $L$ ve $[0, 4]$ aralığındaki belirli integralinin değeri $I$ olduğuna göre, $U - L + I$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Riemann üst toplamı ile belirli integralin toplamından Riemann alt toplamı çıkarıldığında elde edilen sonuç 12'dir.

Fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann üst toplamı

U = 8

, minimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann alt toplamı

L = 0

ve fonksiyonun sınırlandırdığı toplam alanı veren belirli integral değeri

I = 4

olduğundan,

U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Aralık genişliğini belirleme

\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1

Alt aralıkların uzunluklarını ve sınırlarını bulmak için bölüntü sayısı kullanılır.

2

Fonksiyonun her alt aralıktaki uç ve yerel ekstremum değerlerini analiz etme

[0, 1]

aralığında

\min = 0

,

\max = 3

;

[1, 2]

aralığında

\min = 0

,

\max = 1

;

[2, 3]

aralığında

\min = 0

,

\max = 1

;

[3, 4]

aralığında

\min = 0

,

\max = 3

.

Riemann alt ve üst toplamlarını bulmak için her alt aralıktaki mutlak minimum ve mutlak maksimum değerleri belirlemek gerekir.

3

Riemann alt ve ��st toplamlarını hesaplama

L = 0

ve

U = 8

Alt aralıkların genişlikleri ile elde edilen minimum ve maksimum değerler çarpılıp toplanır.

4

Mutlak değerli fonksiyonun belirli integralini parçalı olarak hesaplama

I = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x + 3| \, dx = 4

İntegral alanı, mutlak değerin işaret değiştirdiği

x=1

ve

x=3

noktalarında parçalanarak hesaplanır.

5

Sonucu bulma

U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12

Bulunan tüm değerler sorudaki cebirsel ifadede yerine konur.

Key Concept

Monoton olmayan fonksiyonlarda alt aralıkların uç değerleri ve yerel ekstremum noktaları göz önüne alınarak Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması, belirli integral ile ilişkilendirilmesi.

Question 22Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 + 2$ fonksiyonu için $[1, 3]$ kapalı aralığı 4 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann alt toplamı $L$ , Riemann üst toplamı $U$ ve fonksiyonun bu aralıktaki belirli integral değeri $I$ olmak üzere, $U - I > I - L$ eşitsizliği sağlanmaktadır ifadesi doğru mudur?

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur. f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1, 3] aralığında artan ve dışbükey olduğundan U - I > I - L eşitsizliği sağlanır.

Verilen fonksiyon artan ve dışbükey (konveks) olduğundan, Riemann üst toplamı ile integral arasındaki fark, integral ile Riemann alt toplamı arasındaki farktan büyüktür. Sayısal olarak hesaplandığında da bu eşitsizlik doğrulanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Alt aralıkların genişliğini (\Delta x) hesaplama

\Delta x = 0.5

Toplam aralık uzunluğu olan 3 - 1 = 2 birimlik mesafe, 4 eş alt aralığa bölündüğü için her bir aralığın genişliği 2/4 = 0.5 olur.

2

Belirlenen alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma

f(1) = 3, f(1.5) = 4.25, f(2) = 6, f(2.5) = 8.25, f(3) = 11

Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplamak için bu uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.

3

Riemann alt toplamı L ve Riemann üst toplamı U değerlerini hesaplama

L = 10.75 ve U = 14.75

f(x) artan olduğu için alt toplamda sol uç noktalar (1, 1.5, 2, 2.5), üst toplamda ise sağ uç noktalar (1.5, 2, 2.5, 3) kullanılır.

4

Belirli integral I değerini hesaplama

I = \frac{38}{3} \approx 12.67

Fonksiyonun grafiği altındaki gerçek alanı bulmak için integral alınır.

5

U - I ve I - L farklarını karşılaştırarak eşitsizliğin doğruluğunu kontrol etme

U - I = \frac{25}{12} ve I - L = \frac{23}{12} olduğundan U - I > I - L eşitsizliği doğrudur.

Elde edilen sayısal değerler karşılaştırıldığında eşitsizliğin sağlandığı görülür.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve dışbükey fonksiyonlarda fark analizi

Question 23Question →

Pozitif bir $a$ gerçel sayısı için $[0, 2]$ kapalı aralığında tanımlı $f(x) = ax^2 + 1$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında kalan bölgenin alanı $A$ birimkaredir. $[0, 2]$ aralığı $2$ eş alt aralığa bölünerek $f$ fonksiyonu için bir Riemann üst toplamı $U$ hesaplanıyor. $U - A = 7$ birimkare olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

2

3

4

\frac{21}{5}

6

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Doğru cevap 3'tür.

Pozitif

a

değeri için

f(x) = ax^2 + 1

fonksiyonu

[0, 2]

kapalı aralığında artandır. Riemann üst toplamı, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile hesaplanır:

U = 1 \cdot (f(1) + f(2)) = 5a + 2

. Eğrinin altında kalan alan ise belirli integral ile hesaplandığında

A = \frac{8a}{3} + 2

bulunur. İki değerin farkı

U - A = \frac{7a}{3} = 7

eşitliğinden

a = 3

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Aralık genişliğinin ve alt aralıkların belirlenmesi

\Delta x = 1

ve aralıklar

[0, 1]

,

[1, 2]

[0, 2]

aralığı

2

eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği

\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1

olur. Bu durumda bölüntü noktaları

x_0 = 0

,

x_1 = 1

ve

x_2 = 2

şeklindedir.

2

Riemann üst toplamının (

U

)

a

cinsinden hesaplanması

U = 5a + 2

a > 0

olduğu için

f(x) = ax^2 + 1

fonksiyonu

[0, 2]

aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her bir alt aralıktaki maksimum değer sağ uç noktalarda alınır. Riemann üst toplamı:

U = \Delta x \cdot (f(1) + f(2)) = 1 \cdot ((a \cdot 1^2 + 1) + (a \cdot 2^2 + 1)) = 5a + 2

olur.

3

Eğri altında kalan alanın (

A

) belirli integral ile

a

cinsinden hesaplanması

A = \frac{8a}{3} + 2

Eğri ile

x

ekseni arasında kalan alan, fonksiyonun

[0, 2]

aralığındaki belirli integraline eşittir:

A = \int_0^2 (ax^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{ax^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{a \cdot 2^3}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8a}{3} + 2

olur.

4

U - A = 7

denkleminin çözülerek

a

değerinin bulunması

a = 3

Verilen

U - A = 7

eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:

(5a + 2) - \left( \frac{8a}{3} + 2 \right) = 7 \implies 5a - \frac{8a}{3} = 7 \implies \frac{15a - 8a}{3} = 7 \implies \frac{7a}{3} = 7 \implies a = 3

elde edilir.

Key Concept

Riemann üst toplamı ile belirli integralin temsil ettiği alan ilişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 24Question →

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2

fonksiyonunun

[0, 4]

kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, her birinin uzunluğu

1

birim olan

4

eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 12'dir.

Fonksiyonun türevi incelendiğinde

[0, 1]

ve

[3, 4]

aralıklarında artan,

[1, 3]

aralığında ise azalan olduğu görülür. Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerler bulunarak hesaplanan Riemann üst toplamı 22 ve Riemann alt toplamı 10 olur. Bu iki değer arasındaki fark 12'dir.

Step-by-Step Solution

1

Türev analizi ile artan/azalan aralıkları belirleme

f'(x) = 3(x-1)(x-3)

elde edilir.

[0, 1]

aralığında

f' > 0

(artan),

[1, 3]

aralığında

f' < 0

(azalan),

[3, 4]

aralığında

f' > 0

(artan) olur.

Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerin hangi uç noktalarda gerçekleştiğini doğru tespit etmek.

2

Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama

f(0) = 2

,

f(1) = 6

,

f(2) = 4

,

f(3) = 2

,

f(4) = 6

olarak bulunur.

Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak yükseklikleri elde etmek.

3

Riemann alt toplamını hesaplama

L = 1 \cdot [\min(f([0,1])) + \min(f([1,2])) + \min(f([2,3])) + \min(f([3,4]))] = 1 \cdot (2 + 4 + 2 + 2) = 10

Alt toplam�� oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.

4

Riemann üst toplamını hesaplama

U = 1 \cdot [\max(f([0,1])) + \max(f([1,2])) + \max(f([2,3])) + \max(f([3,4]))] = 1 \cdot (6 + 6 + 4 + 6) = 22

Üst toplamı oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.

5

İki toplam arasındaki farkı bulma

U - L = 22 - 10 = 12

Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Key Concept

Monoton olmayan fonksiyonlarda Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması

Question 25Question →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve iki kez türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiği $[2, 8]$ aralığında azalan ve konveks (yukarı bükülmüş) bir yapıya sahiptir.

Bu aralık, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünerek $f$ fonksiyonunun bu bölüntüye göre;
I. Riemann alt toplamı $A$ ,
II. Riemann üst toplamı $Ü$ ,
III. Riemann orta toplamı $O$

değerleri hesaplanıyor.

Buna göre; $A$ , $Ü$ ve $O$ değerleri ile $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ belirli integralinin değeri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

A < O < I < Ü

A < I < O < Ü

O < A < I < Ü

A < O < Ü < I

O < I < A < Ü

Show answer & explanation

Answer: $A < O < I < Ü$

Answer

A < O < I < Ü

sıralaması doğrudur.

Fonksiyonun azalan olması (

f'(x) < 0

) nedeniyle Riemann alt toplamı integralden küçük, Riemann üst toplamı ise integralden büyüktür. Fonksiyonun konveks (

f''(x) > 0

) olması nedeniyle, her alt aralıkta orta noktadan çizilen teğetlerin altında kalan alan (orta toplam) integral alanından küçüktür. Son olarak, fonksiyon azalan olduğundan orta noktadaki yükseklik sağ uçtaki yükseklikten büyük olup, orta toplam alt toplamdan büyüktür. Bu üç bilgi birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu inceleyerek alt ve üst Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi kuralım.

A < I < Ü

f'(x) < 0

olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonda her alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada (alt toplamı üretir), maksimum değer ise sol uç noktada (üst toplamı üretir) alınır. Dolayısıyla alt toplam integralden küçük, üst toplam ise integralden büyüktür.

2

Fonksiyonun konvekslik durumunu inceleyerek Riemann orta toplamı ile integral arasındaki ilişkiyi belirleyelim.

O < I

f''(x) > 0

olduğundan fonksiyon konvekstir (yukarı bükülmüştür). Konveks eğrilerde, alt aralıkların orta noktalarından çizilen teğet doğruları daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Orta toplam, bu teğet doğrularının altında kalan alanların toplamına eşit olduğundan, eğri altında kalan net alandan (integral) küçüktür.

3

Riemann alt toplamı ile Riemann orta toplamı arasındaki ilişkiyi karşılaştıralım.

A < O

Her

[x_{i-1}, x_i]

alt aralığında, orta nokta

m_i

değeri sağ uç nokta

x_i

değerinden küçüktür (

m_i < x_i

). Fonksiyon azalan olduğundan

f(m_i) > f(x_i)

olur. Bu durum, orta toplamı oluşturan dikdörtgenlerin yüksekliklerinin, alt toplamı oluşturan dikdörtgenlerin y��ksekliklerinden daha büyük olmasını sağlar.

4

Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek kesin sıralamayı elde edelim.

A < O < I < Ü

A < O

,

O < I

ve

I < Ü

eşitsizlikleri birleştirildiğinde istenen sıralama doğrudan elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerinin işaretleri sırasıyla onun artanlık/azalanlık ve konvekslik/konkavlık durumunu belirler; bu durumlar ise Riemann alt, üst ve orta toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini tayin eder.

Estimated Time:2m 0s

Question 26Question →

Bir $[a, b]$ kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir $f$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki belirli integrali, bu aralığın herhangi bir eş bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann sol toplamından her zaman büyüktür.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve artan bir fonksiyon için

[a, b]

aralığındaki belirli integral, Riemann sol toplamından (alt toplamdan) her zaman büyüktür.

Verilen ifade doğrudur, çünkü sürekli ve artan bir fonksiyon için sol uç noktalar fonksiyonun minimum değerlerini verir. Dolayısıyla Riemann sol toplamı bir alt toplam belirtir ve bu alt toplam integral değerinden kesinlikle küçüktür.

Step-by-Step Solution

1

Artan fonksiyonun alt aralıklardaki uç değerlerini belirleme

Her

[x_{i-1}, x_i]

alt aralığında

f(x)

artan olduğu için en küçük değer sol uçta yani

f(x_{i-1})

noktasında, en büyük değer ise sağ uçta yani

f(x_i)

noktasında alınır.

Artan fonksiyon tanımı gereği, aralıktaki daha k��çük girdiler daha küçük çıktılar üretir.

2

Riemann sol toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki ilişkiyi kurma

Sol uç noktalar kullanılarak hesaplanan Riemann sol toplamı \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir ve bu değer doğrudan Riemann alt toplamına eşittir.

Her alt aralıkta fonksiyonun minimum değeri sol uçta gerçekleştiği için sol toplam alt toplamı verir.

3

Alt toplam ile belirli integral değerini kıyaslama

Sürekli ve artan bir fonksiyon için, integral altındaki alan (belirli integral) ile Riemann alt toplamı arasında \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x < \int_a^b f(x) dx ilişkisi vardır.

Grafiksel olarak alt toplamı oluşturan dikdörtgenler tamamen eğrinin altında kalır ve eğri altındaki toplam alandan daha küçük bir alan kaplar.

Key Concept

Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki eşitsizlik ilişkisi

Question 27Question →

$[0, 3]$ kapalı aralığında tanımlı ve sürekli $f(x) = 9 - x^2$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu aralık, her birinin uzunluğu $1$ birim olan $3$ eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı, Riemann alt toplamından kaç birimkare fazladır?

6

8

9

12

15

Show answer & explanation

Answer: $9$

Answer

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark

9

birimkaredir.

Fonksiyon

[0, 3]

aralığında sürekli ve azalandır. Genişliği

1

birim olan

3

eş alt aralık için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak

22

birimkare, Riemann alt toplamı ise sağ uç noktalar kullanılarak

13

birimkare olarak elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark

9

birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

Aralığı ve alt aralıkları belirleme

[0, 3]

aralığı

3

eş parçaya bölündüğünde her bir alt aralığın genişliği

\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1

birim olur. Alt aralıklar sırasıyla

[0, 1]

,

[1, 2]

ve

[2, 3]

şeklindedir.

Riemann toplamını hesaplamak için öncelikle bölüntü noktalarını ve aralık genişliğini bulmamız gerekir.

2

Fonksiyon değerlerini uç noktalarda hesaplama

f(0) = 9 - 0^2 = 9

,

f(1) = 9 - 1^2 = 8

,

f(2) = 9 - 2^2 = 5

ve

f(3) = 9 - 3^2 = 0

bulunur.

Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak olan fonksiyon yüksekliklerini belirlemek için uç noktalardaki değerleri hesaplamalıyız.

3

Riemann üst toplamını hesaplama

f(x) = 9 - x^2

fonksiyonu

[0, 3]

aralığında azalan olduğu için her bir alt aralıktaki maksimum değer sol uç noktada gerçekleşir. Riemann üst toplamı:

U = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot [9 + 8 + 5] = 22

birimkaredir.

Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır.

4

Riemann alt toplamını hesaplama

Azalan fonksiyonda her bir alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada gerçekleşir. Riemann alt toplamı:

L = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [8 + 5 + 0] = 13

birimkaredir.

Azalan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı sağ uç noktalar kullanılarak hesaplanır.

5

Üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulma

U - L = 22 - 13 = 9

birimkare bulunur.

Riemann üst toplamının alt toplamdan kaç birimkare fazla olduğunu bulmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının monoton (azalan) fonksiyonlarda uç noktalar yardımıyla hesaplanması ve aralarındaki farkın bulunması.

Question 28Question →

$f(x) = x^2 + 2x$ fonksiyonunun $[1, 5]$ kapal�� aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan $4$ alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre $f$ fonksiyonunun $[1, 5]$ aralığındaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Riemann alt toplamı 50 olarak bulunur.

Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda alınır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamı olan 50 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Aralık genişliğini hesaplama

Genişlik (\Delta x) = 1

[1, 5] aralığı 4 eşit parçaya bölündüğü için aralık genişliği \Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1 olur.

2

Alt aralıkları belirleme

Aralıklar: [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]

Başlangıç noktası 1 olup, her adımda aralık genişliği kadar (1 birim) ilerlenerek alt aralıklar oluşturulur.

3

Her alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerlerini bulma

f(1) = 3, f(2) = 8, f(3) = 15, f(4) = 24

f(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun türevi f'(x) = 2x + 2 olup, [1, 5] aralığında pozitiftir. Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda gerçekleşir.

4

Riemann alt toplamını hesaplama

Alt Toplam = 50

Her alt aralıktaki en küçük değer ile aralık genişliği ��arpılıp toplanır: Alt Toplam = 1 \cdot f(1) + 1 \cdot f(2) + 1 \cdot f(3) + 1 \cdot f(4) = 3 + 8 + 15 + 24 = 50.

Key Concept

Riemann Alt Toplamı

Estimated Time:2m 0s

Question 29Question →

$f(x) = x^2 + 2$ fonksiyonunun $[1, 4]$ kapalı aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan $3$ alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile bu fonksiyonun $[1, 4]$ aralığındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark kaçtır?

6

7

8

14

15

Show answer & explanation

Answer: $8$

Answer

Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki fark 8'dir.

Riemann üst toplamını bulmak için aralık genişliği 1 olarak hesaplanır. Artan fonksiyonun sağ uç değerleri olan f(2)=6, f(3)=11 ve f(4)=18 kullanılarak Riemann üst toplamı 35 elde edilir. Belirli integralin değeri ise 27 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark 35 - 27 = 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

[1, 4]

aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir alt aral��ğın genişliği

\frac{b-a}{n}

formülüyle hesaplanır.

Genişlik

\Delta x = \frac{4 - 1}{3} = 1

olur. Alt aralıklar

[1, 2]

,

[2, 3]

ve

[3, 4]

olarak belirlenir.

Riemann toplamını hesaplamak için aralık genişliğini ve alt aralıkları bulmamız gerekir.

2

f(x) = x^2 + 2

fonksiyonu

[1, 4]

aralığında artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun maksimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir. Bu sağ uç noktalardaki değerleri kullanarak Riemann üst toplamını (

U

) hesaplayalım.

U = \Delta x \cdot [f(2) + f(3) + f(4)] = 1 \cdot [(2^2+2) + (3^2+2) + (4^2+2)] = 1 \cdot [6 + 11 + 18] = 35

olur.

Riemann üst toplamını bulmak için her alt aralıktaki maksimum değerler (sağ uç noktalar) kullanılır.

3

f(x) = x^2 + 2

fonksiyonunun

[1, 4]

aralı��ındaki belirli integralini hesaplayalım.

\int_{1}^{4} (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{4} = \left( \frac{64}{3} + 8 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{63}{3} + 6 = 21 + 6 = 27

olur.

Riemann üst toplamı ile karşılaştırılacak olan gerçek alanı bulmak için belirli integral hesaplanır.

4

Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki farkı bulalım.

U - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 35 - 27 = 8

olur.

Soruda istenen farkı bulmak için üst toplamdan integralin değerini çıkarırız.

Key Concept

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 30Question →

$[a, b]$ kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir $f$ fonksiyonunun, bu aralığın eş alt aralıklara bölünmesiyle elde edilen herhangi bir düzgün bölüntüsüne göre hesaplanan sol Riemann toplamı, $f$ fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann alt toplamına her zaman eşittir.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.

Sürekli ve artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki en küçük değeri aralığın sol sınırında oluşur. Riemann alt toplamı bu minimum değerleri kullandığından, sol uç noktaları kullanan sol Riemann toplamı ile birebir aynı değeri verir.

Step-by-Step Solution

1

Alt aralıklardaki uç noktaların fonksiyon değerlerini analiz etme

f

fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her bir

[x_{i-1}, x_i]

alt aralığında fonksiyonun minimum değeri sol uç noktada gerçekleşir, yani

m_i = f(x_{i-1})

olur.

Artan fonksiyonlar��n tanımı gereği, aralıktaki daha küçük girdiler daha küçük çıktılar üretir.

2

Riemann alt toplamının formülünü yazma

n

alt aralıktan oluşan bir düzgün bölüntü için Riemann alt toplamı

A = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x

şeklindedir.

Riemann alt toplamı, alt aralıkların genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.

3

Sol Riemann toplamının formülünü yazıp karşılaştırma

Sol Riemann toplamı, her bir alt aralığın sol uç noktasındaki değer olan

f(x_{i-1})

ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır:

S = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x

. Buradan

A = S

olduğu görülür.

Her iki toplam da aynı terimlerin toplamından oluştuğu için birbirine eşittir.

Key Concept

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile sol Riemann toplamının özdeşliği

Estimated Time:2m 0s

Question 31Question →

k

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

[0, 2]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = k(4 - x^2)

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığı, her birinin uzunluğu

1

birim olan

2

eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile $f$ fonksiyonunun $[0, 2]$ aral��ğındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark $5$ birimkaredir.

Buna göre, $k$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{5}{3}

\frac{15}{7}

3

5

\frac{15}{2}

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

3

Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak

Ü = 7k

olarak hesaplanır. Fonksiyonun

[0, 2]

aralığındaki belirli integralinin değeri ise

I = \frac{16}{3}k

bulunur. Bu iki değer arasındaki fark olan

\frac{5}{3}k

ifadesi

5

'e eşitlendiğinde

k = 3

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

[0, 2]

aralığını

2

eş alt aralığa bölüp Riemann üst toplamını (

Ü

) ifade edelim.

Alt aralık uzunluğu

\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1

birimdir. Alt aralıklar

[0, 1]

ve

[1, 2]

olur.

f(x) = k(4-x^2)

fonksiyonu

[0, 2]

aralığında azalan olduğundan, her bir aralıktaki maksimum değer sol uç noktalarda elde edilir. Buradan Riemann üst toplamı:

Ü = \Delta x \cdot (f(0) + f(1)) = 1 \cdot (4k + 3k) = 7k

olarak bulunur.

Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamını bulmak için alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerleri kullanılır.

2

f(x)

fonksiyonunun

[0, 2]

aralı��ındaki belirli integralini (

I

) hesaplayalım.

I = \int_{0}^{2} k(4 - x^2) dx = k \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}k

bulunur.

Eğrinin altında kalan net alanın değerini bulmak için belirli integral hesabı yapılır.

3

Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki farkı

5

'e eşitleyerek

k

değerini çözelim.

Ü - I = 7k - \frac{16}{3}k = \frac{5}{3}k

\frac{5}{3}k = 5 \implies k = 3

elde edilir.

Soruda verilen fark ilişkisi kullanılarak bilinmeyen

k

parametresi bulunur.

Key Concept

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 32Question →

$f(x) = 4x^2 - 2x + 1$ fonksiyonunun $[1, 4]$ kapalı aralığı, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre $f$ fonksiyonunun Riemann orta toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 71

Answer

Riemann orta toplamının değeri 71'dir.

Verilen

f(x) = 4x^2 - 2x + 1

fonksiyonunun

[1, 4]

aralığındaki 3 eşit alt aralığının orta noktaları olan

1{}5

,

2{}5

ve

3{}5

noktalarındaki fonksiyon değerlerinin toplamı ile aralık genişliği olan

1

çarpıldığında doğru sonuç olan 71 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

[1, 4] aralığının 3 eşit alt aralığa bölüntüsündeki aralık genişliğini bulma

\Delta x = 1

Her bir alt aralığın genişliği, aralığın toplam uzunluğunun alt aralık sayısına bölünmesiyle elde edilir.

2

Elde edilen alt aral��kların orta noktalarını belirleme

[1, 2]

için

c_1 = 1{}5

,

[2, 3]

için

c_2 = 2{}5

,

[3, 4]

için

c_3 = 3{}5

Riemann orta toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralığın tam orta noktasındaki değeri kullanılır.

3

Orta noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama

f(1{}5) = 7

,

f(2{}5) = 21

,

f(3{}5) = 43

Alt aralıkların orta noktaları fonksiyon kuralında yerine yazılarak Riemann dikdörtgenlerinin yükseklikleri bulunur.

4

Fonksiyon değerleri ile aralık genişliğini çarparak toplamı hesaplama

71

Her bir dikdörtgenin alanı (yükseklik ile taban genişliğinin çarpımı) toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.

Key Concept

Riemann orta toplamı, tanımlı olduğu aralıkta alt aralıkların orta noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır.

Question 33Question →

f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonu veriliyor.

[0, 4]

kapalı aralığı, her birinin uzunluğu

1

birim olan

4

eş alt aralığa bölünüyor. Buna göre, bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı kaçtır?

8

12

10

14

16

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Riemann alt toplamı 10 olarak bulunur.

Riemann alt toplamı, her bir alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerlerin, alt aralık genişliğiyle çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Parabolün tepe noktası

x=2

apsisli noktada olup fonksiyon

[0, 2]

aralığında azalan,

[2, 4]

aralığında ise artandır. Bu nedenle

[0, 1]

aralığındaki en küçük değer

f(1)=3

,

[1, 2]

aralığındaki en küçük değer

f(2)=2

,

[2, 3]

aralığındaki en küçük değer

f(2)=2

ve

[3, 4]

aralığındaki en küçük değer

f(3)=3

olur. Genişlik

1

birim olduğundan bu minimum değerlerin toplamı

3+2+2+3=10

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Alt aralıkları ve aralık genişliğini belirleme

[0, 4]

aralığı 4 eş parçaya bölündüğünde alt aralık genişliği

\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1

olur. Alt aralıklar sırasıyla

[0, 1]

,

[1, 2]

,

[2, 3]

ve

[3, 4]

şeklindedir.

Riemann toplamını oluşturacak dikdörtgenlerin taban uzunluğunu bulmak için aralık bölünür.

2

Her alt aralıktaki minimum fonksiyon değerlerini belirleme

Fonksiyonun tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-4}{2(1)} = 2

olduğundan, fonksiyon

[0, 2]

aralığında azalan,

[2, 4]

aral��ğında ise artandır. Buna göre her alt aralıktaki minimum değerler:
-

[0, 1]

aralığında en küçük değer sağ uçta:

f(1) = 1^2 - 4(1) + 6 = 3

-

[1, 2]

aralığında en kü��ük değer sağ uçta:

f(2) = 2^2 - 4(2) + 6 = 2

-

[2, 3]

aralığında en küçük değer sol uçta:

f(2) = 2

-

[3, 4]

aralığında en küçük değer sol uçta:

f(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 3

olur.

Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (yükseklikler) seçilmelidir.

3

Riemann alt toplamını hesaplama

Riemann alt toplamı

A = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [3 + 2 + 2 + 3] = 10

elde edilir.

Belirlenen yükseklikler ile taban genişliği çarpılarak alanlar toplanır.

Key Concept

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili alt aralıklardaki minimum değerleri kullanıl��r. Fonksiyonun monoton olmadığı durumlarda minimum değerlerin hangi noktalarda gerçekleştiği, fonksiyonun tepe noktası ve artan/azalanlık aralıkları incelenerek bulunmalıdır.

Estimated Time:2m 0s

Question 34Question →

$[a, b]$ kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve azalan bir $f$ fonksiyonunun bu aralıkta oluşturulan herhangi bir düzgün bölüntüsüne ait Riemann sol toplamı, $f$ fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integralinin değerinden her zaman küçüktür.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen ifade yanlıştır. Azalan bir fonksiyonun Riemann sol toplamı, belirli integralin değerinden küçük değil, büyük veya eşittir.

Verilen ifade yanlıştır çünkü azalan bir fonksiyonda Riemann sol toplamı, her bir alt aralıktaki maksimum değerleri kullandığı için bir üst toplam belirtir ve bu yüzden belirli integralin değerinden her zaman büyük veya eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Riemann sol toplamın��n tanımını belirlemek.

Riemann sol toplamı,

[a, b]

aralığının her bir

[x_{i-1}, x_i]

alt aralığında yükseklik değeri olarak sol uç noktanın fonksiyon değeri olan

f(x_{i-1})

alınarak hesaplanır.

Riemann sol toplamının hangi noktalardaki değerleri kullandığını netleştirmek için.

2

Azalan fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyon değerlerini karşılaştırmak.

f

fonksiyonu azalan olduğundan, her

x \in [x_{i-1}, x_i]

için

f(x_{i-1}) \geq f(x)

olur. Yani sol uç nokta, fonksiyonun o aralıktaki en büyük değerini verir.

Fonksiyonun azalan olmasının sol uç noktalardaki değerlerin büyüklüğüne etkisini incelemek için.

3

Riemann sol toplamı ile belirli integral arasındaki ilişkiyi kurmak.

Her bir alt aralıkta

f(x_{i-1}) \geq f(x)

olduğundan, Riemann sol toplamı Riemann üst toplamına eşit olur. Bu yüzden Riemann sol toplamı,

\int_a^b f(x) \, dx

integralinden büyük veya eşittir.

Sol toplamın integral alanı ile olan büyüklük ilişkisini kesinleştirmek için.

Key Concept

Riemann sol toplamının azalan fonksiyonlardaki geometrik anlamı ve belirli integral ile ilişkisi.

Question 35Question →

f: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 3^x

fonksiyonu veriliyor.

[0, 2]

kapalı aralığı, eşit uzunlukta

4

alt aralığa bölünerek bir

P

düzgün bölüntüsü elde ediliyor.

$f$ fonksiyonunun $P$ bölüntüsüne ait Riemann üst toplamı $U$ ve Riemann alt toplamı $A$ olduğuna göre, $U - A$ farkı kaçtır?

2

4

6

8

12

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 4'tür.

Artan bir fonksiyonun Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark, fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımıyla pratik olarak bulunur. Bu soruda fonksiyon

f(x) = 3^x

sürekli artan olup, aralık

[0, 2]

ve parça sayısı

4

olduğundan aralık genişliği

0,5

birimdir. Formüle göre fark

(f(2) - f(0)) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4

şeklinde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplama

\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0,5

Bölüntünün eşit uzunluktaki alt aralıklarının taban uzunluğunu bulmak için toplam aralık uzunluğu alt aralık say��sına bölünür.

2

Bölüntü noktalarını ve fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini belirleme

Bölüntü noktaları:

x_0 = 0

,

x_1 = 0,5

,

x_2 = 1

,

x_3 = 1,5

,

x_4 = 2

şeklindedir.

f(x) = 3^x

fonksiyonu

[0, 2]

aralığında sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyon en küçük değerini sol uçta, en büyük de��erini ise sağ uçta alır.

Riemann alt toplamında alt aralıkların sol uç değerleri, üst toplamında ise sağ uç değerleri yükseklik olarak kullanılır.

3

Riemann üst ve alt toplamlarının farkını hesaplama

A = [f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)] \cdot 0,5

U = [f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)] \cdot 0,5

U - A = [f(2) - f(0)] \cdot 0,5 = (3^2 - 3^0) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4

Çıkarma işleminde ara noktalardaki fonksiyon değerleri birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca uç noktalardaki değerlerin farkı ile aralık genişliğinin çarpımı kalır.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının farkının, monoton (artan veya azalan) fonksiyonlarda uç değerler ve alt aralık genişliğiyle olan ilişkisi.

Estimated Time:1m 30s

Question 36Question →

f: [1, 5] \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = 3x + 2

fonksiyonu veriliyor.

[1, 5]

kapalı aralığı eşit uzunlukta iki alt aralığa bölünerek bir

P

bölüntüsü elde ediliyor. Buna göre,

f

fonksiyonunun

P

bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı kaçtır?

16

28

32

44

56

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Riemann alt toplamı 32 olarak bulunur.

Doğru cevap 32'dir.

f(x) = 3x + 2

fonksiyonu

[1, 5]

aralığında sürekli artandır. İki eşit alt aralık

[1, 3]

ve

[3, 5]

olup genişlikleri 2'dir. Riemann alt toplamı için sol uç noktalar olan

x = 1

ve

x = 3

noktalarındaki değerler kullanılır:

2 \cdot f(1) + 2 \cdot f(3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 32

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Aralık genişliğini hesaplama

Aralık genişliği

\Delta x = 2

olarak bulunur.

[1, 5]

aralığı

n = 2

eşit alt aralığa bölündüğünden, her bir alt aralığın genişliği

\Delta x = \frac{5 - 1}{2} = 2

olur. Bu durumda alt aralıklar

[1, 3]

ve

[3, 5]

şeklindedir.

2

Alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma

f(1) = 5

ve

f(3) = 11

değerleri elde edilir.

f(x) = 3x + 2

fonksiyonu

[1, 5]

aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her alt aralıktaki en küçük (minimum) değer, aralığın sol uç noktasında elde edilir. Bu noktalar

x = 1

ve

x = 3

'tür.

3

Riemann alt toplamını hesaplama

Riemann alt toplamı 32 olarak bulunur.

Her alt aralık için belirlenen sol uç noktalardaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliği çarpılıp toplanır:

\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot f(1) + \Delta x \cdot f(3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 10 + 22 = 32

.

Key Concept

Riemann alt toplamı, tanımlı aralıktaki fonksiyonun alt aralıklardaki en küçük değerlerinin aralık genişliğiyle çarpımlarının toplamıdır. Artan fonksiyonlar için bu en küçük değerler alt aralıkların sol uç noktalarında gerçekleşir.

Question 37Question →

Dik koordinat düzleminde,

[0, 6]

kapalı aralığında tanımlı ve sürekli olan

f(x) = 9 - \frac{x^2}{4}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

[0, 6]

aralığı,

3

eş alt aralığa bölünerek bir

P

bölüntüsü elde ediliyor.

Buna göre, $[0, 6]$ aralığında $f(x)$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında kalan bölgenin alanı (belirli integral değeri) ile $P$ bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

6

8

10

12

23

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Belirli integral değeri eğri altındaki net alanı ifade eder ve bu soru için 36 birimkaredir. Riemann alt toplamı ise fonksiyon azalan olduğu için sağ uç noktalar (

x=2, 4, 6

) kullanılarak 26 birimkare olarak bulunur. Bu iki değer arasındaki fark 10'dur.

Step-by-Step Solution

1

Alt aralık genişliğini (bölüntü genişliğini) hesaplayın.

\Delta x = \frac{6-0}{3} = 2

[0, 6]

kapalı aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğü için her alt aralığın genişliği 2 birimdir.

2

Alt aralıkları belirleyin ve fonksiyonun monotonluğunu analiz edin.

Alt aralıklar

[0, 2]

,

[2, 4]

ve

[4, 6]

şeklindedir. Fonksiyon

[0, 6]

aralığında azalandır.

f'(x) = -\frac{x}{2} \leq 0

olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonun her alt aralıktaki minimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir.

3

Sağ uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın ve Riemann alt toplamını bulun.

f(2) = 8

,

f(4) = 5

,

f(6) = 0

olup Riemann alt toplamı

A = 2 \cdot (8 + 5 + 0) = 26

'dır.

Riemann alt toplamı, alt aralık genişliği ile aralıklardaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.

4

Belirli integralin değerini (eğri altında kalan alanı) hesaplayın.

I = \int_{0}^{6} \left(9 - \frac{x^2}{4}\right) dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{6} = 54 - 18 = 36

'dır.

Grafik

x

ekseninin üzerinde kaldığı için integral değeri doğrudan eğri altındaki alanı verir.

5

İntegral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.

I - A = 36 - 26 = 10

İstenen fark, integral değeri olan 36'dan Riemann alt toplamı olan 26 çıkarılarak elde edilir.

Key Concept

Riemann Alt Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 38Question →

f(x) = x^3

fonksiyonunun

[0, 2]

kapalı aralığındaki grafiği ile

x

ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin gerçek alanı

S

birimkaredir.

Bu $[0, 2]$ aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek $f(x)$ fonksiyonu için Riemann alt toplamı $A$ ve Riemann üst toplamı $B$ hesaplanıyor.

Buna göre, gerçek alan $S$ ile Riemann alt ve üst toplamlarının aritmetik ortalaması olan $\frac{A+B}{2}$ değeri arasındaki fark $|S - \frac{A+B}{2}|$ kaç birimkaredir?

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

1

\frac{5}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{4}$

Answer

Gerçek alan ile Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması arasındaki fark 1/4 birimkaredir.

Gerçek alan belirli integral ile 4 olarak bulunur. Riemann alt toplamı 2,25 ve Riemann üst toplamı 6,25 olarak hesaplanır. Bu iki toplamın aritmetik ortalaması 4,25'tir. Gerçek alan ile ortalama arasındaki fark ise 0,25 yani 1/4 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

Aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.

\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2} = 0,5

Riemann toplamı hesabı için aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.

2

Alt aralıkları belirleyin ve Riemann alt toplamını (A) hesaplayın.

A = 0,5 \cdot (f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)) = 2,25

f(x) = x^3 artan bir fonksiyon olduğu için alt toplam sol uç noktalarda alınır.

3

Riemann üst toplamını (B) hesaplayın.

B = 0,5 \cdot (f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)) = 6,25

f(x) = x^3 artan bir fonksiyon olduğu için üst toplam sağ uç noktalarda alınır.

4

��ki toplamın aritmetik ortalamasını bulun.

\frac{A + B}{2} = \frac{2,25 + 6,25}{2} = 4,25

Soruda gerçek alan ile aritmetik ortalama arasındaki fark istendiği için.

5

Bölgenin gerçek alanını (S) belirli integral yardımıyla hesaplayın.

S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4

Fonksiyon pozitif tanımlı olduğundan eğri altındaki gerçek alan belirli integrale eşittir.

6

Gerçek alan ile ortalama arasındaki mutlak farkı bulun.

|S - 4,25| = |4 - 4,25| = 0,25 = \frac{1}{4}

İstenen fark değerine ulaşmak için.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral (gerçek alan) ile ilişkisi ve hesaplanması.

Riemann Toplamı

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes