Examkin

Sayılar

461 questions

All types461Multiple choice282True / False16Numeric148Ordering15
Question 41Question →

Bir nn pozitif tam sayısının en büyük asal çarpanı P(n)P(n) ile gösterilmektedir.

nn iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
P(n)+P(n+1)=18P(n) + P(n+1) = 18
eşitliğini sağlayan kaç farklı nn değeri vardır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.
Toplamları 18 olan asal sayı ikilileri {5, 13} veya {7, 11} olabilir. Bu durumlara uyan ve n ile n+1 ardışık sayılarının en büyük asal çarpan koşullarını sağlayan iki basamaklı n sayıları sırasıyla 21, 25, 39, 55, 90 ve 98 olmak üzere 6 adettir.

Step-by-Step Solution

1
Toplamları 18 olan asal sayı çiftlerinin belirlenmesi
Asal sayılar kümesi düşünüldüğünde, toplamları 18 olan asal sayı ikilileri sadece {5, 13} ve {7, 11} olabilir.
P(n) ve P(n+1) değerleri birer asal sayı olmak zorundadır.
2
P(n) = 5 ve P(n+1) = 13 durumunun çözülmesi
n = 25 ve n = 90 elde edilir.
n+1 sayısının 100'den küçük ve en büyük asal çarpanı 13 olan katları incelenir: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Bu sayıların 1 eksiği olan n değerleri içinden en büyük asal çarpanı 5 olanlar (25 ve 90) seçilir.
3
P(n) = 13 ve P(n+1) = 5 durumunun çözülmesi
n = 39 elde edilir.
n sayısının en büyük asal çarpanı 13 olmalıdır. İki basamaklı 13'ün katları içinden n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 5 olan durum n = 39 (n+1 = 40) olarak bulunur.
4
P(n) = 7 ve P(n+1) = 11 durumunun çözülmesi
n = 21 ve n = 98 elde edilir.
n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 eksiği olan n sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 21 (n+1 = 22) ve n = 98 (n+1 = 99) değerleri bulunur.
5
P(n) = 11 ve P(n+1) = 7 durumunun çözülmesi
n = 55 elde edilir.
n sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 fazlası olan n+1 sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 55 (n+1 = 56) değeri bulunur.

Key Concept

Asal sayılar ve asal çarpanlar yardımıyla denklem çözme
Question 42Question →

En az iki farklı asal çarpanı olan bir pozitif tam sayının asal çarpanlarına ayrılmış biçiminde, asal çarpanlardan yalnızca birinin üssü 22, diğer tüm asal çarpanların üssü ise 11 ise bu sayıya asal-katlı sayı denir.

Buna göre, üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı ile iki basamaklı en büyük asal-katlı sayının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 215

Answer

Üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı ile iki basamaklı en büyük asal-katlı sayının toplamı 215'tir.
Üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı 22⋅29=1162^2 \cdot 29 = 116 ve iki basamaklı en büyük asal-katlı sayı 32⋅11=993^2 \cdot 11 = 99 olduğundan, bu iki sayının toplamı 116+99=215116 + 99 = 215 olur.

Step-by-Step Solution

1
Tanımın analiz edilmesi
Asal-katlı sayıların asal çarpan açılımında yalnızca bir tane üssü 2 olan çarpan, diğerlerinin üslerinin ise 1 olması gerektiği tespit edildi.
Soruda verilen kuralın matematiksel modelini oluşturmak amacıyla.
2
Üç basamaklı en küçük sayının bulunması
22⋅29=1162^2 \cdot 29 = 116 sayısı en küçük üç basamaklı asal-katlı sayı olarak belirlendi.
Olası diğer asal çarpan kombinasyonları ile kıyaslandığında en küçük değere ulaşmak için.
3
İki basamaklı en büyük sayının bulunması
32⋅11=993^2 \cdot 11 = 99 sayısı en büyük iki basamaklı asal-katlı sayı olarak belirlendi.
100'den küçük sayılar arasından tanıma uyan en büyük değeri bulmak için.
4
Toplam işleminin yapılması
116+99=215116 + 99 = 215
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Asal Çarpanlara Ayırma ve Üs Analizi
Question 43Question →

Kaan, elindeki kartları her gün bir önceki günden 1 kart fazla olacak şekilde belirli sayıda gün boyunca gruplandırmıştır. Kaan 1. gün aa tane, 2. gün a+1a+1 tane ve bu şekilde devam ederek son gün a+n−1a+n-1 tane kart gruplandırmış ve toplamda 180 kart elde etmiştir. Eğer Kaan her gün bir önceki günden 2 kart fazla olacak şekilde kartları gruplandırsaydı (yani 1. gün aa tane, 2. gün a+2a+2 tane, ..., son gün a+2n−2a+2n-2 tane), yine aynı sürede (yani nn günde) toplamda 216 kart elde edecekti. Buna göre, Kaan kartları toplam kaç gün boyunca gruplandırm��ştır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Kaan kartları toplam 9 gün boyunca gruplandırmıştır.
İkinci durumda her gün bir önceki güne göre fazladan yapılan artışların toplamı, birinci durumdaki toplam artışların tam iki katıdır. Bu iki durum arasındaki fark alındığında, n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2} = 36 denklemi elde edilir. Buradan n(n−1)=72n(n-1) = 72 olur ve ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazıldığında 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 olduğundan toplam gün sayısı 9 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak
n⋅a+n(n−1)2=180n \cdot a + \frac{n(n-1)}{2} = 180
1'den n−1n-1'e kadar olan ardışık tam sayıların toplamı n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} formülü ile hesaplanır.
2
İkinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak
n⋅a+n(n−1)=216n \cdot a + n(n-1) = 216
2'den 2n−22n-2'ye kadar olan çift ardışık tam sayıların toplamı 2⋅n(n−1)2=n(n−1)2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) formülü ile hesaplanır.
3
İki durumu taraf tarafa çıkararak ortak terimleri yok etmek ve nn değerini hesaplamak
n=9n = 9
Elde edilen denklemlerin farkı n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2} = 36 sonucunu verir. Pozitif tam sayılarda bu eşitliği sağlayan değer 9'dur.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik dizi toplam formülleri

Alternative Method

Birinci durumda her gün eklenen fazlalıklar 0,1,2,…,n−10, 1, 2, \dots, n-1 iken ikinci durumda 0,2,4,…,2n−20, 2, 4, \dots, 2n-2'dir. Gün gün farkları aldığımızda farklar sırasıyla 0,1,2,…,n−10, 1, 2, \dots, n-1 olur. Bu farkların toplamı doğrudan iki toplamın farkına eşit olmalıdır: 0+1+2+⋯+(n−1)=216−180⇒n(n−1)2=36⇒n=90 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = 216 - 180 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 36 \Rightarrow n = 9 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 44Question →

Bir xx pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı P(x)P(x) ile gösterilmektedir.

Örneğin; P(12)=2⋅3=6P(12) = 2 \cdot 3 = 6 ve P(25)=5P(25) = 5’tir.

Buna göre,
P(n2−1)=6P(n^2 - 1) = 6
eşitliğini sağlayan tüm nn pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

Eşitliği sağlayan tüm nn pozitif tam sayılarının toplamı 29'dur.
Denklemi sağlayan nn pozitif tam sayı değerleri 5, 7 ve 17'dir. Bu sayıların toplamı 29'dur.

Step-by-Step Solution

1
P(x)=6P(x) = 6 ifadesinin matematiksel karşılığını belirleme.
n2−1n^2 - 1 ifadesinin asal çarpanları sadece 2 ve 3 olmalıdır.
Çarpımı 6 olan asal sayılar yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla n2−1=2a⋅3bn^2 - 1 = 2^a \cdot 3^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) olmalıdır.
2
nn sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleme.
nn bir tek sayı olmalıdır.
n2−1n^2 - 1 çift bir sayı olmak zorundadır (en az bir tane 2 asal çarpanı içerir). Bu yüzden n2n^2 tek, dolayısıyla nn tek sayıdır.
3
n2−1n^2 - 1 ifadesini çarpanlarına ayırma ve ardışık sayı analizi yapma.
n−1n-1 ve n+1n+1 ardışık çift sayılardır ve en büyük ortak bölenleri 2'dir.
nn tek sayı olduğundan n−1n-1 ve n+1n+1 ardışık iki çift sayıdır. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 2 olduğundan, ortak olmayan asal çarpanları birbirinden farklı olmak zorundadır.
4
Ardışık çift sayıları ortak çarpan parantezine alarak ardışık tam sayılara dönüştürme.
Y−X=1Y - X = 1 olacak şekilde asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan XX ve YY tam sayıları bulunmalıdır.
n−1=2Xn-1 = 2X ve n+1=2Yn+1 = 2Y yazıldığında Y−X=1Y - X = 1 olur. Burada XX ve YY'nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 kümesinin elemanları olabilir.
5
Koşula uygun ardışık (X,Y)(X, Y) çiftlerini belirleme.
Uygun çiftler (1,2)(1,2), (2,3)(2,3), (3,4)(3,4) ve (8,9)(8,9)'dur.
Asal çarpanları {2,3}\{2, 3\} kümesinde kalan ve aralarında 1 fark olan ardışık tam sayı çiftleri bunlardır.
6
Bulunan çiftlerden nn değerlerini elde etme ve denklemi sağladıklarını kontrol etme.
n=5n = 5, n=7n = 7 ve n=17n = 17 değerleri denklemi sağlarken, n=3n = 3 değeri sağlamaz.
n−1=2X  ⟹  n=2X+1n-1 = 2X \implies n = 2X + 1 formülünden:
- (1,2)  ⟹  n=3(1,2) \implies n=3. Ancak n2−1=8n^2-1 = 8 olup P(8)=2≠6P(8)=2 \neq 6 (sağlamaz).
- (2,3)  ⟹  n=5(2,3) \implies n=5. n2−1=24n^2-1 = 24 olup P(24)=6P(24)=6 (sağlar).
- (3,4)  ⟹  n=7(3,4) \implies n=7. n2−1=48n^2-1 = 48 olup P(48)=6P(48)=6 (sağlar).
- (8,9)  ⟹  n=17(8,9) \implies n=17. n2−1=288n^2-1 = 288 olup P(288)=6P(288)=6 (sağlar).
7
Geçerli nn değerlerini toplama.
5+7+17=295 + 7 + 17 = 29
Soruda istenen, eşitliği sağlayan tüm pozitif nn tam sayılarının toplamıdır.

Key Concept

Asal çarpanlarına ayırma ve ardışık tam sayıların asal çarpan özellikleri.
Estimated Time:2m 0s
Question 45Question →

En küçük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

En küçük asal sayı olan 2 ile iki basamaklı en küçük asal sayı olan 11'in çarpımı olan 22'dir.
En küçük asal sayı 2'dir. İki basamaklı en küçük asal sayı ise 11'dir. Bu iki sayının çarpımı 22 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
En küçük asal sayıyı belirleme
2
Asal sayılar 2'den başlar ve en küçük asal sayı 2'dir.
2
İki basamaklı en küçük asal sayıyı belirleme
11
İki basamaklı sayılar 10'dan başlar. 10 sayısı 2 ve 5'e bölündüğü için asal değildir. Bu nedenle iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir.
3
Bulunan bu iki asal sayıyı çarpma
2 * 11 = 22
Soru kökünde bu iki sayının çarpımı istenmektedir.

Key Concept

Asal sayıların tanımı ve en küçük asal sayıların belirlenmesi
Estimated Time:45s
Question 46Question →

İki basamaklı ABAB doğal sayısının onlar basamağı 3 artırılıp, birler basamağı 4 azaltıldığında elde edilen yeni sayı ile ABAB sayısının toplamı 116 olmaktadır. Buna göre, ABAB sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

İki basamaklı ABAB doğal sayısı 45'tir.
Onlar basamağı 3 artan ve birler basamağı 4 azalan bir sayının değeri 30−4=2630 - 4 = 26 artar. Sayının ilk hâli ABAB ise, yeni hâli AB+26AB + 26 olur. Bu iki sayının toplamı AB+(AB+26)=116AB + (AB + 26) = 116 denklemine eşittir. Denklem çözüldüğünde 2⋅AB=902 \cdot AB = 90 ve buradan AB=45AB = 45 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Basamaklarındaki değişimlerin sayının değerine olan net etkisini hesaplama
Yeni sayı, başlangıçtaki ABAB sayısından 26 fazladır (AB+26AB + 26).
Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan 3 artış sayıyı 30 artırır. Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan 4 azalış sayıyı 4 azaltır. Net değişim +30−4=+26+30 - 4 = +26 olur.
2
Verilen toplam ilişkisini kullanarak denklem kurma
2⋅AB+26=1162 \cdot AB + 26 = 116 denklemi elde edilir.
ABAB sayısı ile yeni elde edilen AB+26AB + 26 sayısının toplamı 116 olarak verilmiştir.
3
Denklemi çözerek başlangıçtaki sayıyı bulma
AB=45AB = 45 olarak bulunur.
2⋅AB=902 \cdot AB = 90 eşitliğinde her iki taraf 2'ye bölünerek bilinmeyen sayı yalnız bırakılır.

Key Concept

Basamak değeri kavramı ve basamaklar üzerindeki değişimlerin sayı değerine etkisinin çözümlenerek denkleme aktarılmas��.
Question 47Question →
Birer tam sayı olan aa, bb ve cc için
(a+b)⋅c(a + b) \cdot c
ifadesi bir tek sayıya,
b+cb + c
ifadesi ise bir çift sayıya eşittir.

Buna göre;

I. a+b+ca + b + c
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri her zaman çift sayıdır.
(a+b)⋅c(a + b) \cdot c tek sayı olduğundan hem a+ba + b hem de cc tek sayıdır. b+cb + c çift sayı ve cc tek sayı olduğundan bb tek sayıdır. a+ba + b tek sayı ve bb tek sayı olduğundan aa çift sayıdır. Bu duruma göre, I. öncüldeki a+b+ca + b + c ifadesi çift + tek + tek = çift sayı olur. III. öncüldeki a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde aa çift sayı olduğundan sonuç her zaman çift sayı olur. Dolayısıyla I ve III ifadeleri her zaman çift sayı belirtir.

Step-by-Step Solution

1
(a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesinin tek sayı olmasından yararlanarak çarpanların teklik-çiftlik durumlarını belirlemek.
(a+b)(a + b) ifadesi tek sayı ve cc ifadesi tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
b+cb + c ifadesinin çift sayı olmasından yararlanarak bb sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
cc tek sayı olduğundan, bb sayısının da tek sayı olması gerekir.
Tek bir sayı ile ancak başka bir tek sayının toplamı çift sayı sonucunu verir.
3
a+ba + b ifadesinin tek sayı olmasından yararlanarak aa sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
bb tek sayı olduğundan, aa sayısının çift sayı olması gerekir.
Tek bir sayı ile ancak bir çift sayının toplamı tek sayı sonucunu verir. Böylece aa çift, bb tek ve cc tek sayı olarak bulunmuştur.
4
Belirlenen teklik-çiftlik durumlarını öncüllerde yerine yazarak incelemek.
I. öncül: çift + tek + tek = çift sayı olur (Doğru). II. öncül: tek * (çift + tek) = tek * tek = tek sayı olur (Yanlış). III. öncül: çift * (tek + tek) = çift * çift = çift sayı olur (Doğru).
Her bir öncülün teklik-çiftlik kurallarına göre sonucunu kesinleştirmek.

Key Concept

Tam sayılarda teklik ve çiftlik durumlarının toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri
Estimated Time:2m 0s
Question 48Question →
xx bir tam sayı olmak üzere,
(x2−4)⋅(x−3)3⋅x≤0(x^2 - 4) \cdot (x - 3)^3 \cdot x \le 0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif xx tam sayısı vardır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 2'dir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {−2,−1,0,2,3}\{-2, -1, 0, 2, 3\} olarak bulunur. Bu sayılardan pozitif olanlar yalnızca 2 ve 3 sayılarıdır. Sıfır sayısı nötr olduğu için pozitif sayı sınıfına girmez. Dolayısıyla doğru cevap 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Çarpanların köklerini bulmak
x=−2,0,2,3x = -2, 0, 2, 3
Eşitsizlik sınırlarını ve işaret değişim noktalarını belirlemek için her bir çarpanı sıfıra eşitlemeliyiz.
2
İşaret tablosunu oluşturmak
[−2,0]∪[2,3][-2, 0] \cup [2, 3] aralığı negatif veya sıfırdır.
Kökler yardımıyla oluşturulan işaret tablosunda, en büyük kök olan 3'ün sağında ifadenin işareti (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişerek ilerler.
3
Aralıklardaki tam sayı değerlerini belirlemek
x∈{−2,−1,0,2,3}x \in \{-2, -1, 0, 2, 3\}
[−2,0][-2, 0] ve [2,3][2, 3] kapalı aralıklarında yer alan tam sayıları listelememiz gerekir.
4
Sıfırın nötr olma özelliğini kullanarak pozitif sayıları seçmek
x∈{2,3}x \in \{2, 3\} (toplam 2 adet)
Sıfır sayısı pozitif veya negatif değildir, işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Bu nedenle çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar sadece 2 ve 3'tür.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın İşaretsiz (Nötr) Olma Özelliği
Question 49Question →

Bir kırtasiyeci; elindeki aa adet kalemi, her bir kutuda bb adet kalem olacak şekilde paketlediğinde geriye cc adet kalem kalmaktadır. Bu kırtasiyeci daha sonra paketlediği kutulardan cc tanesini açıp bu kutulardaki tüm kalemleri paketlenmeyen cc adet kalemle birleştirdiğinde elde ettiği toplam kalem sayısının tek sayı olduğunu görüyor.

aa, bb ve cc sayıları pozitif tam sayılar olduğuna göre,
I. a+ca + c
II. cbc^b
III. a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I
Yalnız I öncülü her zaman çift sayıdır. Çünkü aa ve cc sayılarının her ikisi de tek sayıdır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olduğundan a+ca + c ifadesi her zaman çifttir.

Step-by-Step Solution

1
Kutulardan çıkarılan kalemler ile kalan kalemlerin birleştirilmesiyle elde edilen toplam kalem sayısını cebirsel olarak ifade etme.
Açılan cc adet kutunun her birinde bb adet kalem olduğu için bu kutulardan toplam c⋅bc \cdot b adet kalem gelir. Kalan cc adet kalemle birleştirildiğinde toplam kalem sayısı c⋅b+c=c(b+1)c \cdot b + c = c(b + 1) olur.
Soruda verilen birleştirme işleminin sonucunu teklik-çiftlik yönünden inceleyebilmek i��in toplam kalem miktarını belirlemeliyiz.
2
c(b+1)c(b + 1) ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirleme.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan cc tek sayı ve b+1b + 1 tek sayı olarak bulunur. b+1b + 1 tek ise bb çift sayıdır.
Çarpma işleminin teklik-çiftlik kurallarına göre, sonucun tek olması yalnızca tüm çarpanların tek olması durumunda mümkündür.
3
a=k⋅b+ca = k \cdot b + c eşitliğini kullanarak aa sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme.
bb çift sayı olduğundan, kutu sayısı olan kk pozitif tam sayısı ile çarpımı k⋅bk \cdot b her zaman çift sayıdır. cc tek sayı olduğundan, a=k⋅b+c=c¸ift+tek=teka = k \cdot b + c = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} sayı bulunur.
Başlangıçtaki toplam kalem sayısı aa'nın teklik-çiftlik durumunu bulmak için kutulardaki toplam kalem sayısı ile kalan kalem sayısının toplamını analiz etmeliyiz.
4
Öncülleri elde edilen aa (tek), bb (çift) ve cc (tek) değerlerine göre değerlendirme.
I. a+c=tek+tek=c¸ifta + c = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} sayıdır (Her zaman çift).
II. cb=tekc¸ift=tekc^b = \text{tek}^{\text{çift}} = \text{tek} sayıdır (cc tek ve bb pozitif tam sayı olduğundan).
III. a⋅b+c=tek⋅c¸ift+tek=c¸ift+tek=teka \cdot b + c = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} sayıdır.
Öncüllerin hangilerinin her zaman çift sayı olduğunu belirlemek için bulduğumuz teklik-çiftlik özelliklerini ifadelerde yerlerine koyarız.

Key Concept

Tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemlerinde teklik ve çiftlik durumlarının belirlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 50Question →

xx ve yy birden büyük birer tam sayı olmak üzere,

x!⋅(x+1)!=y!x! \cdot (x+1)! = y!

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplam��nın değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İstenen toplamın değeri 16'dır.
Denklemin her iki tarafı (x+1)!(x+1)! ile bölündüğünde x!=y!(x+1)!x! = \frac{y!}{(x+1)!} elde edilir. Sağ taraf ardışık çarpım olarak yazıldığında x!=(x+2)⋅(x+3)…yx! = (x+2) \cdot (x+3) \dots y olur. x>1x > 1 için bu eşitliği sağlayan tek değer x=6x = 6 olup, 6!=720=8⋅9⋅106! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10 eşitliğinden y=10y = 10 bulunur. Buradan x+y=16x + y = 16 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi sadeleştirme için düzenleme
x!=y!(x+1)!x! = \frac{y!}{(x+1)!}
Faktöriyel terimlerini bölme biçiminde yazarak ardışık sayıların çarpımı ilişkisini kurmak.
2
Sağ tarafı ardışık çarpanlarına ayırma
x!=(x+2)⋅(x+3)⋅⋯⋅yx! = (x+2) \cdot (x+3) \cdot \dots \cdot y
Faktöriyel tanımı gereği ardışık iki faktöriyelin bölümü, aradaki sayıların çarpımına eşittir.
3
Eşitliği sağlayan x ve y değerlerini bulma
x=6x = 6 ve y=10y = 10
x=6x=6 için 6!=7206! = 720 ve x+2=8x+2=8 ile başlayan ardışık çarpım 8⋅9⋅10=7208 \cdot 9 \cdot 10 = 720 olduğundan eşitlik sağlanır. Buradan y=10y=10 elde edilir.
4
Değişkenlerin toplamını hesaplama
x+y=16x + y = 16
Soruda istenen x+yx + y değerini bulmak için elde edilen tam sayı değerleri toplanır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve ardışık çarpım ilişkisi
Question 51Question →
Bir AA doğal sayısı
A=10!+9!8!−7!−6!5!A = \frac{10! + 9!}{8!} - \frac{7! - 6!}{5!}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, AA sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İfadeler sadeleştirildiğinde elde edilen 63 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur.
Verilen A sayısı ifadesinde faktöriyelli terimler ortak paranteze alınarak sadeleştirilir. Birinci terim 99, ikinci terim 36 olarak bulunur. Buradan A = 63 elde edilir. 63 sayısının asal çarpanları 3 ve 7 olduğundan, bu çarpanların toplamı 10 olur.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin birinci terimi olan 10!+9!8!\frac{10! + 9!}{8!} kısmını sadeleştirmek için payı 9!9! parantezine alalım.
9!(10+1)8!=9!⋅118!\frac{9!(10 + 1)}{8!} = \frac{9! \cdot 11}{8!} elde edilir.
Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçük olan sayı cinsinden yazılarak ortak çarpan parantezine alınır.
2
Bulunan ifadede 9!=9⋅8!9! = 9 \cdot 8! açılımını yazarak paydadaki 8!8! ile sadeleştirelim.
9⋅11=999 \cdot 11 = 99 bulunur.
Pay ve paydadaki ortak 8!8! terimleri birbirini sadeleştirir.
3
İfadenin ikinci terimi olan 7!−6!5!\frac{7! - 6!}{5!} kısmını sadeleştirmek için payı 6!6! parantezine alalım ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! açılımını kullanarak sadeleştirelim.
6!(7−1)5!=6⋅5!⋅65!=6⋅6=36\frac{6!(7 - 1)}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} = 6 \cdot 6 = 36 bulunur.
Benzer şekilde büyük terimler küçük terim cinsinden yazılarak sadeleştirme tamamlanır.
4
AA sayısını bulmak için elde edilen sadeleşmiş değerleri birbirinden çıkaralım.
A=99−36=63A = 99 - 36 = 63 elde edilir.
Denklemdeki çıkarma işlemi uygulanır.
5
6363 sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve asal çarpanlarını toplayalım.
63=32⋅763 = 3^2 \cdot 7 olduğundan asal çarpanlar 3 ve 7'dir. Toplamları ise 3+7=103 + 7 = 10 olur.
AA sayısının asal çarpanlarının toplamı sorulduğu için asal çarpan analizi yapılır.

Key Concept

Faktöriyel İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme

Alternative Method

İfadeler tek tek açılmak yerine, faktöriyel tanımı gereği küçük olan terim cinsinden yazılarak doğrudan sadeleştirilebilir. Örneğin, 10! + 9! = 9! * (10 + 1) = 11 * 9! şeklinde yazılıp 8! ile sadeleştirildiğinde 11 * 9 = 99 sonucu daha hızlı elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 52Question →

İki basamaklı ABAB doğal sayısının onlar basamağındaki rakam 3 azaltılıp, birler basamağındaki rakam 5 artırılarak iki basamaklı yeni bir sayı elde ediliyor.

Buna göre, başlangıçtaki ABAB sayısı elde edilen yeni sayıdan kaç fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Başlangıçtaki sayı yeni sayıdan 25 fazladır.
Onlar basamağındaki 3 azalış sayıyı 30 azaltırken, birler basamağındaki 5 artış sayıyı 5 artırır. Bu durumda sayı net olarak 25 azalır. Dolayısıyla başlangıçtaki sayı, yeni sayıdan 25 fazladır.

Step-by-Step Solution

1
Onlar basamağındaki değişimin sayının değerine etkisini hesaplamak
Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan, bu basamaktaki 3 azalış sayının değerini 3×10=303 \times 10 = 30 azaltır.
Bir basamaktaki rakamın değişimi, o basamağın basamak değeriyle çarpılarak sayının değerindeki toplam değişime yansıtılır.
2
Birler basamağındaki değişimin sayının değerine etkisini hesaplamak
Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan, bu basamaktaki 5 artış sayının değerini 5×1=55 \times 1 = 5 artırır.
Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan, rakamdaki artış miktarının kendisi kadar sayının değerine eklenir.
3
Sayıdaki net değişimi bulmak ve farkı belirlemek
Net değişim −30+5=−25-30 + 5 = -25 olarak bulunur. Yani yeni sayı, başlangıçtaki sayıdan 25 eksiktir. Bu da başlangıçtaki sayının yeni sayıdan 25 fazla olduğunu gösterir.
Azalma ve artış miktarları toplanarak sayının son durumdaki net değişimi tespit edilir.

Key Concept

İki basamaklı bir sayının basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle basamak değerlerinin belirlenmesi.
Question 53Question →

Birer gerçel sayı olan xx, yy ve zz için,

* −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadeleri farklı işaretlidir.
* x⋅y2=0x \cdot y^2 = 0
* y−z>0y - z > 0
* x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0

bilgileri veriliyor.

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: +, işaretsiz, -

Answer

Birinci bileşenin pozitif, ikinci bileşenin işaretsiz ve üçüncü bileşenin negatif olduğu durum
Verilen öncüllere göre, −x2-x^2 ile (−x)2(-x)^2 ifadelerinin farklı işaretli olması xx sayısının sıfır olmamasını gerektirir. Bu durumda x⋅y2=0x \cdot y^2 = 0 eşitliğinden y=0y = 0 (işaretsiz) sonucu çıkar. y−z>0y - z > 0 eşitsizliğinden zz sayısının negatif olduğu, x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğinden ise xx sayısının pozitif olduğu tespit edilir. Dolayısıyla sırasıyla pozitif, işaretsiz, negatif sıralaması doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
−x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinin işaretlerini inceleyerek xx sayısı hakkında çıkar��m yapma.
x≠0x \neq 0 olmalıdır.
Herhangi bir xx gerçel sayısı için −x2≤0-x^2 \le 0 ve (−x)2≥0(-x)^2 \ge 0 olur. Eğer x=0x = 0 olsaydı, her iki ifade de 00 (i��aretsiz) olurdu ve farklı işaretli olamazlardı. Farklı işaretli olabilmeleri için xx sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda −x2-x^2 negatif, (−x)2(-x)^2 ise pozitif işaretli olur.
2
x⋅y2=0x \cdot y^2 = 0 eşitliğini kullanarak yy sayısının değerini ve işaretini belirleme.
y=0y = 0 olup işaretsizdir.
İlk adımda x≠0x \neq 0 olarak bulunmuştu. Çarpımın sıfır olabilmesi için y2=0  ⟹  y=0y^2 = 0 \implies y = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır.
3
y−z>0y - z > 0 eşitsizliğini kullanarak zz sayısının işaretini belirleme.
z<0z < 0 (negatif) olmalıdır.
y=0y = 0 değeri eşitsizlikte yerine yazılırsa 0−z>0  ⟹  −z>0  ⟹  z<00 - z > 0 \implies -z > 0 \implies z < 0 elde edilir. Bu da zz sayısının negatif olduğunu gösterir.
4
x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğini kullanarak xx sayısının işaretini belirleme.
x>0x > 0 (pozitif) olmalıdır.
z<0z < 0 (negatif) olduğundan, x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğinin sağlanması için x3x^3 ifadesinin pozitif olması gerekir. Gerçel sayılarda x3>0  ⟹  x>0x^3 > 0 \implies x > 0 olur. Dolayısıyla xx sayısı pozitif işaretlidir.

Key Concept

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve negatif sayıların parantezli çift kuvvetlerinin pozitif, parantezsiz önünde eksi olan çift kuvvetlerin negatif olması özelliklerinin analiz edilmesi.

Alternative Method

Seçeneklerde verilen işaret sıralamaları sırasıyla xx, yy ve zz yerine yazılarak öncüllerin doğruluğu test edilebilir. Örneğin, ikinci bileşenin sıfırdan farklı olduğu seçenekler elenerek doğrudan işaretsiz olan seçeneklere odaklanılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 54Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!=48⋅n!(n+2)! - (n+1)! - n! = 48 \cdot n!
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Verilen denklemde sol taraf n!n! ortak parantezine alındığında n!⋅n(n+2)=48⋅n!n! \cdot n(n+2) = 48 \cdot n! elde edilir. Her iki taraf n!n! ile sadeleştirildiğinde ardışık iki çift sayının çarpımı 48 olan tek pozitif tam sayı değerinin 6 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadelerini ortak terim cinsinden yazma
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n!
Sol taraftaki tüm terimleri en küçük faktöriyelli ifade olan n!n! ortak parantezine alabilmek için.
2
Ortak paranteze alma ve sadeleştirme
n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅(n2+2n)n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n)
Sol taraftaki ifadeyi tek bir terim haline getirmek için.
3
Eşitliğin her iki tarafını n!n! ile sadeleştirme
n(n+2)=48n(n+2) = 48
nn bir doğal sayı olduğundan n!n! değeri sıfırdan büyüktür ve sadeleştirilebilir.
4
İkinci dereceden denklemi çözme
n2+2n−48=0  ⟹  (n−6)(n+8)=0  ⟹  n=6n^2 + 2n - 48 = 0 \implies (n-6)(n+8) = 0 \implies n = 6
nn doğal sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök olan −8-8 elenir ve n=6n = 6 bulunur.

Key Concept

Faktöriyel içeren ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapılması ve elde edilen denklemin çözülmesi.

Alternative Method

Denklem n(n+2)=48n(n+2) = 48 aşamasına geldikten sonra, aralarında 2 fark bulunan ve çarpımları 48 olan iki pozitif tam sayının 66 ve 88 olduğu doğrudan görülerek n=6n=6 bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 55Question →
Birer tam sayı olan xx, yy ve zz sayıları arasında
x+2y=3z+1x + 2y = 3z + 1
eşitliği bulunmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: x⋅zx \cdot z

Answer

x⋅zx \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.
Biri tek, diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı (x⋅zx \cdot z), çarpanlardan biri kesinlikle çift sayı olacağından her zaman çift sayı olmak zorundadır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki terimlerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.
x+2y=3z+1x + 2y = 3z + 1 eşitliğinde, 2y2y terimi yy bir tam sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır. Dolayısıyla eşitlik x+C¸ift=3z+1x + \text{Çift} = 3z + 1 biçimini alır.
Bir tam sayının 2 ile çarpımı daima çifttir.
2
xx ve zz değişkenleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
xx ile 3z+13z + 1 ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. Bu durumda xx tek sayı ise 3z3z çift (yani zz çift) olur; xx çift sayı ise 3z3z tek (yani zz tek) olur. Sonuç olarak, xx ile zz sayılarının teklik-çiftlik durumları terstir.
Eşitliğin sol tarafındaki çift sayı toplama işleminin paritesini değiştirmez, bu nedenle sol tarafın paritesi xx ile aynıdır.
3
Her zaman çift olan ifadeyi bulmak.
xx ve zz sayılarından biri çift, diğeri tek olduğundan çarpımları olan x⋅zx \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.
Çarpanlardan en az birinin çift sayı olması, çarpımın sonucunu daima çift sayı yapar.

Key Concept

Tek ve çift sayı özellikleri ile tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin paritesi.
Estimated Time:1m 30s
Question 56Question →
Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı için K(ABC)K(ABC) işlemi,
K(ABC)=AB+BC+CAK(ABC) = AB + BC + CA
biçiminde tanımlanıyor. Burada ABAB, BCBC ve CACA iki basamaklı doğal sayılardır.

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamlarının toplamının 35 katına eşittir.

Buna göre, K(ABC)K(ABC) işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 99

Answer

Doğru yanıt 99'dur.
Çözümleme sonucunda elde edilen 65A=25B+34C65A = 25B + 34C eşitliğinde 5 ile bölünebilme kuralı uygulandığında C=5C = 5 olmalıdır. Buradan elde edilen 13A=5B+3413A = 5B + 34 eşitliğini sağlayan rakamlar A=3A=3 ve B=1B=1'dir. Bu rakamlarla oluşturulan iki basamaklı sayıların toplamı 31+15+53=9931 + 15 + 53 = 99 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sayıyı basamaklarına çözümleyerek verilen bağıntıyı denkleme dönüştürmek
65A=25B+34C65A = 25B + 34C
100A+10B+C=35(A+B+C)100A + 10B + C = 35(A + B + C) denklemindeki terimler bir araya toplanarak sadeleştirilmiştir.
2
Bölünebilme analizini kullanarak birler basamağını tespit etmek
C=5C = 5
65A65A ve 25B25B sayıları 5'in tam katı olduğundan 34C34C sayısı da 5'in katı olmalıdır. CC bir rakam olduğundan 00 veya 55 olabilir, ancak C=0C = 0 durumu rakam sınırlarını aşan değerler üretir.
3
Denklemde CC yerine yazarak diğer rakamları elde etmek
A=3A = 3 ve B=1B = 1
13A=5B+3413A = 5B + 34 eşitliğini sağlayan tek rakam çifti A=3A = 3 ve B=1B = 1 değerleridir. Sayımız böylelikle 315315 olarak bulunur.
4
İşlem tanımına göre iki basamaklı sayıları toplayıp sonuca ulaşmak
31+15+53=9931 + 15 + 53 = 99
Rakamlar yerlerine yerleştirilerek AB=31AB = 31, BC=15BC = 15 ve CA=53CA = 53 sayıları toplanmıştır.

Key Concept

Sayı Basamakları Çözümleme ve Bölünebilme Yardımıyla Rakam Denklemi Çözme

Alternative Method

ABC=35(A+B+C)ABC = 35(A+B+C) eşitliğinde 3535 çarpanından dolayı ABCABC sayısının 5'in katı olması gerektiği doğrudan görülür. Bu nedenle birler basamağı C=0C = 0 veya C=5C = 5 olmalıdır. C=0C = 0 için ABC=AB0ABC = AB0 olup 10⋅AB=35(A+B)  ⟹  20A+2B=7A+7B  ⟹  13A=5B10 \cdot AB = 35(A+B) \implies 20A + 2B = 7A + 7B \implies 13A = 5B olur ki bunu sağlayan bir BB rakamı bulunamaz. Böylelikle doğrudan C=5C = 5 durumu incelenerek çözüm süresi kısaltılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 57Question →

aa ve bb birer irrasyonel sayı olmak üzere,
* a+ba + b toplamı bir rasyonel sayıdır.
* a⋅ba \cdot b çarpımı bir irrasyonel sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre,
I. a−ba - b
II. a2−b2a^2 - b^2
III. a2+b2a^2 + b^2

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

Birinci ve üçüncü ifadeler her zaman bir irrasyonel sayıdır.
Verilen koşullara göre, birinci ifade (a−ba - b) ve üçüncü ifade (a2+b2a^2 + b^2) her zaman irrasyonel sayı belirtmek zorundadır. Bu durum rasyonel sayıların işlemsel kapalılık özellikleri kullanılarak çelişki yöntemiyle kanıtlanabilir.

Step-by-Step Solution

1
a−ba - b ifadesinin her zaman irrasyonel olduğunu çelişki yöntemiyle ispatlamak.
a−b=qa - b = q olacak şekilde bir qq rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. Bize verilen a+b=ra + b = r rasyonel sayısı ile bu ifadeyi taraf tarafa toplarsak: (a−b)+(a+b)=q+r⇒2a=q+r⇒a=q+r2(a - b) + (a + b) = q + r \Rightarrow 2a = q + r \Rightarrow a = \frac{q + r}{2} elde edilir. Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemleri altında kapalı olduğundan aa sayısı rasyonel olmalıdır. Bu durum aa'nın irrasyonel bir sayı olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, a−ba - b her zaman irrasyoneldir.
İki sayının farkının karakterini belirlemek amacıyla, verilen toplam değerinin rasyonel olmasından yararlanarak çelişki yöntemi kurmak.
2
a2−b2a^2 - b^2 ifadesinin her zaman irrasyonel olup olmadığını bir karşıt örnek ile incelemek.
a=24a = \sqrt[4]{2} ve b=−24b = -\sqrt[4]{2} irrasyonel sayılarını seçelim. Bu durumda a+b=0a + b = 0 (rasyonel) ve a⋅b=−2a \cdot b = -\sqrt{2} (irrasyonel) koşulları sağlanır. Ancak bu değerler için a2−b2=2−2=0a^2 - b^2 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 bulunur. 00 sayısı bir rasyonel sayı olduğundan, a2−b2a^2 - b^2 her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir.
Bir önermenin genel geçerliliğini test etmek için koşulları sağlayan fakat sonucu rasyonel yapan bir uç durum (karşıt örnek) araştırmak.
3
a2+b2a^2 + b^2 ifadesinin her zaman irrasyonel olduğunu özdeşlikler yardımıyla çelişki yöntemiyle ispatlamak.
a2+b2=ka^2 + b^2 = k olacak şekilde bir kk rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. Tam kare özdeşliğini kullanarak a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab yazabiliriz. a+b=ra + b = r rasyonel sayısı yerine yazılırsa: k=r2−2ab⇒2ab=r2−k⇒ab=r2−k2k = r^2 - 2ab \Rightarrow 2ab = r^2 - k \Rightarrow ab = \frac{r^2 - k}{2} elde edilir. rr ve kk rasyonel olduğundan, r2−k2\frac{r^2 - k}{2} ifadesi de rasyonel olmalıdır. Bu durum, a⋅ba \cdot b çarpımının irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, a2+b2a^2 + b^2 her zaman irrasyoneldir.
Kareler toplamını, rasyonellik özellikleri bilinen toplam ve çarpım terimleri cinsinden ifade ederek tutarlılığını sorgulamak.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinde cebirsel işlemlerin kapalılığı ve çelişki yöntemi ile analiz
Estimated Time:2m 30s
Question 58Question →
Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} ve rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} ile gösterilmektedir.
A={x−53:x bir rakam}A = \left\{ \frac{x - 5}{3} : x \text{ bir rakam} \right\}
kümesi tanımlanıyor.
Buna göre, AA kümesinin elemanlarından kaç tanesi Q∖Z\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} kümesinin bir elemanıdır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

A kümesinin elemanlarından rasyonel sayı olup tam sayı olmayanların sayısı 7'dir.
Rakamlar kümesi olan {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} elemanları xx yerine yazıldığında AA kümesi 1010 elemanlı bir küme olur. Bu kümenin elemanlarından tam sayı olan {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} kümesi çıkarıldığında geriye kalan 77 elemanın tamamı rasyonel olup tam sayı değildir.

Step-by-Step Solution

1
Rakamlar kümesini belirlemek.
Rakamlar kümesi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} elemanlarından oluşur.
Kümedeki değişkenin alabileceği değerleri doğru tespit etmek için.
2
A kümesinin tüm elemanlarını hesaplamak.
A={−53,−43,−1,−23,−13,0,13,23,1,43}A = \left\{ -\frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3} \right\} kümesi elde edilir.
Her bir xx rakamı için fonksiyonun ürettiği değerleri görmek için.
3
Rasyonel olup tam sayı olmayan elemanları saptamak.
−1,0-1, 0 ve 11 tam sayıları elendiğinde geriye kalan 77 adet kesirli sayı Q∖Z\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} kümesine aittir.
Fark kümesinin tanımına uyan elemanları saymak için.

Key Concept

Sayı Kümeleri ve Fark İşlemi
Question 59Question →
aa, bb ve cc tam sayıları için
a⋅(b+c)a \cdot (b + c)
ve
b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. a⋅c+ba \cdot c + b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I
Doğru cevap 'Yalnız I' ifadesidir. Yapılan ayrıntılı durum analizlerinde, her iki senaryoda da üçüncü değişkenin tek sayı olduğu, ilk iki değişkenden birinin tek, diğerinin ise çift sayı olduğu görülmüştür. Bu durumda, üç sayının toplamı bir çift sayı ile iki tek sayının toplamı olmaktadır. İki tek sayının toplamı çift olduğundan, sonuçta iki çift sayının toplamından elde edilen değer her zaman çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumlarına göre olası iki senaryoyu belirleme.
Durum 1: a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin tek, b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin çift olması. Durum 2: a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin çift, b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin tek olması.
Soruda ifadelerden birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir.
2
Durum 1'i (a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek ve b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ��ift) analiz ederek değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını bulma.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek ise aa tek ve b+cb + c tek olmalıdır. b+cb + c tek ise bb ve cc zıt paritededir (biri tek, diğeri çift). Eğer bb tek olsaydı, cc çift olurdu. Bu durumda a+ca + c toplamı tek olacağından b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çarpımı tek olurdu. Ancak bu çarpımın çift olduğu bilindiğinden çelişki doğar. Demek ki bb çift ve cc tek olmalıdır. Sonuç olarak: aa tek, bb çift, cc tektir.
Çarpımın tek olması için her iki çarpanın da tek olması gerektiği bilgisinden başlanarak çelişkisiz durum elde edilir.
3
Durum 2'yi (a⋅(b+c)a \cdot (b + c) çift ve b⋅(a+c)b \cdot (a + c) tek) analiz ederek değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını bulma.
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) tek ise bb tek ve a+ca + c tek olmalıdır. a+ca + c tek ise aa ve cc zıt paritededir. Eğer aa tek olsaydı, cc çift olurdu. Bu durumda b+cb + c toplamı tek olacağından a⋅(b+c)a \cdot (b + c) çarpımı tek olurdu. Ancak bu çarpımın çift olduğu bilindiğinden çelişki doğar. Demek ki aa çift ve cc tek olmalıdır. Sonuç olarak: aa çift, bb tek, cc tektir.
İkinci durumda tek olan çarpımın çarpanlarının analizi ile tutarlı değişken değerleri belirlenir.
4
Her iki durumun ortak sonuçlarını çıkararak öncülleri değerlendirme.
Her iki durumda da cc tek sayıdır; aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Buna göre:
- I. a+b+ca + b + c toplamı: Biri çift, ikisi tek olan üç sayının toplamı her zaman çift sayıdır (T + Ç + T = Ç).
- II. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi: aa ve bb sayılarından biri çift olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı çift olup, buna tek olan cc eklendiğinde sonuç her zaman tek sayıdır (Ç + T = T).
- III. a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi: Durum 1 için T · T + Ç = T, Durum 2 için Ç · T + T = T olup her iki durumda da tek sayıdır.
Her iki durumdan elde edilen ortak özellikler yardımıyla öncüllerin teklik-çiftlik durumları kesinleştirilir.

Key Concept

Tek ve çift tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri, çarpımın teklik şartı.
Question 60Question →
K={−4,  −2,5,  0,  3,  3,  52}K = \left\{-4, \; -2,5, \; 0, \; \sqrt{3}, \; 3, \; \frac{5}{2}\right\}

kümesi veriliyor. Buna göre, bu kümenin elemanlarından kaç tanesi hem bir tam sayı hem de pozitif olmayan bir sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Bu kümenin elemanlarından hem bir tam sayı hem de pozitif olmayan 2 eleman vardır.
Kümedeki elemanlardan -4 sayısı negatif bir tam sayı, 0 sayısı ise nötr bir tam sayıdır. Her ikisi de hem tam sayı kümenin elemanıdır hem de pozitif değildir. Dolayısıyla bu özellikleri sağlayan 2 eleman bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki tüm elemanların tam sayı olup olmadığını belirleyelim.
-4, 0 ve 3 birer tam sayıdır. -2,5 ve 5/2 sayıları rasyonel sayıdır fakat tam sayı değildir. √3 sayısı ise irrasyoneldir.
İstenen şartın ilk k��smı elemanın bir tam sayı olmasıdır.
2
Belirlenen tam sayılar arasından pozitif olmayanları seçelim.
-4 negatif bir tam sayıdır (pozitif değildir). 0 nötr bir tam sayıdır (pozitif değildir). 3 ise pozitif bir tam sayıdır.
İstenen şartın ikinci kısmı elemanın pozitif olmamasıdır. Sıfır sayısının pozitif veya negatif olmadığına, dolayısıyla pozitif olmayan bir sayı olduğuna dikkat edilmelidir.
3
Şartı sağlayan eleman sayısını bulalım.
Şartları sağlayan elemanlar -4 ve 0 olup toplamda 2 tanedir.
Soruda istenen koşula uyan elemanların adedi sorulmaktadır.

Key Concept

Sayı kümelerinin eleman özellikleri ile sayıların pozitiflik, negatiflik ve nötrlük durumlarının incelenmesi.

Alternative Method

Kümedeki her bir elemanı sırayla ele alıp iki koşulu birden sağlayıp sağlamadığını kontrol edebilirsiniz: Eleman tam sayı mı? Pozitif değil mi? Bu iki sorunun her ikisine de 'Evet' yanıtı veren elemanları sayarak sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:45s
PreviousPage 3 / 24Next
Sayılar Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 3 | Examkin