Examkin

Tüm alıştırma soruları

2563 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 2401Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a!+b!=9⋅2ca! + b! = 9 \cdot 2^c
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b)(a, b) sıralı ikilisi vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.
Denklemin sağ tarafında 5 asal çarpanı bulunmadığı için aa ve bb değerlerinden en az biri 5'ten küçük olmak zorundadır. Yapılan ayrıntılı durum analizleri sonucunda bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikililerinin (4,5)(4, 5) ve (5,4)(5, 4) olduğu görülür. Dolayısıyla eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Asal çarpan analizi ile değer sınırlandırması yapılması.
a!+b!=9⋅2ca! + b! = 9 \cdot 2^c eşitliğinde sağ tarafın asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Sol tarafta eğer a≥5a \geq 5 ve b≥5b \geq 5 olsaydı, her iki faktöriyel de 5 ile tam bölüneceğinden toplam da 5'in katı olurdu. Sağ taraf 5 ile b��lünemediği için aa ve bb sayılarından en az biri 5'ten küçük olmalıdır.
Değişkenlerin alabileceği değer aralığını daraltmak.
2
Simetri kabulü ile durum sayısının azaltılması.
Simetriden dolayı a≤ba \leq b kabul edilirse a<5a < 5 olmalıdır. Bu durumda a∈{1,2,3,4}a \in \{1, 2, 3, 4\} değerleri incelenmelidir.
Analiz edilecek durum sayısını azaltmak.
3
Belirlenen aa değerleri için denklemin tek tek çözülmesi.
a=1,2,3a=1, 2, 3 değerleri için sağ tarafı 9⋅2c9 \cdot 2^c biçiminde olan bir tam sayı çözümü bulunamaz. a=4a=4 için 24+b!=9⋅2c24 + b! = 9 \cdot 2^c elde edilir. Burada b≥6b \geq 6 için b!b! sayısı 9'un tam katı olacağından 24+b!24 + b! ifadesi 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir ve 9⋅2c9 \cdot 2^c ile eşitlenemez. Dolayısıyla b<6b < 6 olmalıdır. b≥a=4b \geq a = 4 olduğundan b=4b=4 veya b=5b=5 olabilir. b=4  ⟹  48=9⋅2cb=4 \implies 48 = 9 \cdot 2^c (çözüm yok). b=5  ⟹  144=9⋅2c  ⟹  2c=16  ⟹  c=4b=5 \implies 144 = 9 \cdot 2^c \implies 2^c = 16 \implies c=4 elde edilir. Bu durum geçerli bir çözümdür.
Olası durumları tek tek analiz ederek doğru değerleri tespit etmek.
4
Simetri kaldırılarak tüm sıralı ikililerin belirlenmesi.
a≤ba \leq b koşulu altında bulunan tek çözüm (4,5)(4, 5) olduğundan, tüm pozitif tam sayı çözümleri (4,5)(4, 5) ve (5,4)(5, 4) olmak üzere 2 tanedir.
Sıralı ikili tanımı gereği elemanların yer değiştirmesini hesaba katmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırma.

İpuçları

1
a!a! ve b!b! ifadelerinin hangi durumlarda 5 ile tam bölünebileceğini düşünün. Eşitliğin sağ tarafı 5 ile bölünebilir mi?
2
a≥5a \geq 5 ve b≥5b \geq 5 durumunda sol tarafın 5'in katı olduğunu, ancak sağ tarafın olmadığını görün. Bu durumda değişkenlerden en az biri 5'ten küçük olmalıdır.
3
a≤ba \le b kabul edip aa için 1,2,3,41, 2, 3, 4 değerlerini deneyin. a=4a=4 için 24+b!=9⋅2c24 + b! = 9 \cdot 2^c olur. Burada b≥6b \geq 6 için b!b! sayısı 9'un katı olacağından sol taraf 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir. Bu yüzden b<6b < 6 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel sorularında taban ve asal çarpan sınırlamalarını kavramak adına x!−y!=3c⋅5x! - y! = 3^c \cdot 5 denklemini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2402Soru →

Bir ABCDABCD ikizkenar yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC], ∣AD∣=∣BC∣|AD| = |BC| ve [AC]⊥[BC][AC] \perp [BC]'dir. Yamuğun taban uzunlukları ∣AB∣=10 cm|AB| = 10\text{ cm} ve ∣DC∣=6 cm|DC| = 6\text{ cm} olduğuna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Yamuğun alanı 32 cm232\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Yamuğun köşelerinden indirilen dikmelerle elde edilen parçalar kullanılarak Öklid bağıntısı ile yükseklik 4 cm4\text{ cm} olarak hesaplanır. Buradan alan formülü uygulandığında doğru sonuç olan 32 cm232\text{ cm}^2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar yamuğun üst köşelerinden tabana dikmeler edilir.
DD ve CC köşelerinden [AB][AB] tabanına [DH][DH] ve [CK][CK] dikmeleri indirildiğinde; ∣HK∣=∣DC∣=6 cm|HK| = |DC| = 6\text{ cm} olur.
İkizkenar yamukta üst taban köşelerinden indirilen dikmeler tabanda simetrik parçalar oluşturur.
2
Tabanda kalan simetrik parçaların uzunlukları hesaplanır.
∣AH∣=∣KB∣=∣AB∣−∣DC∣2=10−62=2 cm|AH| = |KB| = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2\text{ cm} olur. Dolayısıyla ∣AK∣=∣AH∣+∣HK∣=2+6=8 cm|AK| = |AH| + |HK| = 2 + 6 = 8\text{ cm} olarak bulunur.
İkizkenar yamuğun simetri özelliğinden dolayı [AB][AB] tabanı üzerindeki dikmelerin dışında kalan köşelerdeki parçalar birbirine eşittir.
3
Yamuğun yüksekliğini bulmak için Öklid bağıntısı uygulanır.
ACBACB dik üçgeninde [CK][CK] hipotenüse ait yüksekliktir. Öklid bağıntıs�� gereği; ∣CK∣2=∣AK∣⋅∣KB∣  ⟹  h2=8⋅2=16  ⟹  h=4 cm|CK|^2 = |AK| \cdot |KB| \implies h^2 = 8 \cdot 2 = 16 \implies h = 4\text{ cm} bulunur.
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipoten��s üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
4
Yamuğun alanı hesaplanır.
Alan(ABCD)=∣AB∣+∣DC∣2⋅h=10+62⋅4=8⋅4=32 cm2\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\text{ cm}^2 bulunur.
Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İkizkenar yamukta dikme indirme ve dik üçgende Öklid bağıntısı yardımıyla alan hesabı.
Soru 2403Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={3x2−a,x≥48x+2,x<4f(x) = \begin{cases} 3x^2 - a, & x \ge 4 \\ \frac{8}{x} + 2, & x < 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
(f∘f)(2)=99(f \circ f)(2) = 99
olduğuna göre, aa değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘f)(2)=f(f(2))(f \circ f)(2) = f(f(2)) yazılır. Tanım aralıklarına bakıldığında 2<42 < 4 olduğundan f(2)f(2) değeri için ikinci dal kullanılır ve f(2)=6f(2) = 6 bulunur. Elde edilen değer tekrar fonksiyona yazıldığında 6≥46 \ge 4 olduğundan birinci dal kullanılır ve f(6)=3⋅62−a=108−af(6) = 3 \cdot 6^2 - a = 108 - a bulunur. Bu ifade 9999'a eşitlendiğinde a=9a = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak verilen ifadeyi açın.
(f∘f)(2)=f(f(2))(f \circ f)(2) = f(f(2))
İçteki fonksiyonun değerini bulup dıştaki fonksiyona girdi olarak yazabilmek için.
2
f(2)f(2) değerini hesaplamak için parçalı fonksiyonda girdinin uygun olduğu aralığı seçip değeri yerine yazın.
2<42 < 4 olduğu için ikinci dal kullanılır: f(2)=82+2=4+2=6f(2) = \frac{8}{2} + 2 = 4 + 2 = 6
Girdinin tanım aralığına göre fonksiyonun hangi kuralı uygulayacağını belirlemek için.
3
f(f(2))=f(6)f(f(2)) = f(6) değerini hesaplamak için parçalı fonksiyonda uygun aralığı seçip değeri yerine yazın ve denklemi çözün.
6≥46 \ge 4 olduğu için birinci dal kullanılır: f(6)=3⋅62−a=108−af(6) = 3 \cdot 6^2 - a = 108 - a. Buradan 108−a=99  ⟹  a=9108 - a = 99 \implies a = 9 elde edilir.
a parametresinin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon uygulamaları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2404Soru →

Aşağıdaki tabloda soldaki sütunda beş harfli beş sözcük, sağdaki sütunda ise bu sözcüklerin harflerinin sıfırdan farklı birer rakamla şifrelenmesiyle elde edilen kodlar karışık bir sırayla verilmiştir.

SözcüklerKodlar
KATİP12345
İPTAL12573
PATİK32541
PAKET41326
TAKİP52341

Buna göre, PAKET sözcüğünün şifresi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12573

Cevap

PAKET sözcüğünün şifresi 12573'tür.
PAKET ve PATİK sözcükleri 'P' harfiyle başlamaktadır. Kodlar arasında 1 ile başlayan iki adet şifre (12345 ve 12573) bulunduğundan P harfi 1'e karşılık gelir. KATİP 'K' ile, TAKİP 'T' ile, İPTAL ise 'İ' ile başlamaktadır. Kodlardan 5 ile başlayan 52341 olduğundan K = 5, 3 ile başlayan 32541 olduğundan T = 3, 4 ile başlayan 41326 olduğundan İ = 4 olur. PAKET sözcüğü 'T' (3) harfiyle bittiğinden, 1 ile başlayıp 3 ile biten 12573 kodu PAKET sözcüğünün şifresidir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözcüklerin ilk harfleri ve şifrelerin ilk basamakları incelenir.
PATİK ve PAKET sözcükleri 'P' harfiyle başlamaktadır. Şifreler arasında da '1' rakamı ile başlayan iki adet şifre (12345 ve 12573) bulunmaktadır. Buradan 'P' harfinin '1' rakamıyla eşleştiği belirlenir.
Aynı harfle başlayan sözcükleri ve aynı rakamla başlayan kodları eşleştirerek şifreleme kuralını bulmak.
2
Geriye kalan sözcüklerin ilk harfleri ve şifrelerin ilk basamakları eşleştirilir.
KATİP 'K' ile başlar ve ilk hanesi 5 olan tek şifre 52341'dir, yani K = 5. TAKİP 'T' ile başlar ve ilk hanesi 3 olan tek şifre 32541'dir, yani T = 3. İPTAL 'İ' ile başlar ve ilk hanesi 4 olan tek şifre 41326'dır, yani İ = 4.
Diğer harflerin hangi rakamlara karşılık geldiğini tespit etmek.
3
P = 1 ile başlayan PATİK ve PAKET sözcüklerinin son harfleri kontrol edilir.
PATİK sözcüğü 'K' (5) ile bitmektedir, bu yüzden şifresi 12345'tir. PAKET sözcüğü ise 'T' (3) ile bitmektedir, bu yüzden şifresi 12573'tür.
İki adet 'P' ile başlayan şifre arasından aranan sözcüğe ait olanı ayırt etmek.

Anahtar Kavram

Sözcükler ile sayısal şifreler arasındaki harf-rakam eşleşmelerini konum ve frekans analizi yaparak bulma.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2405Soru →

Aşağıda verilen çarpma işleminde ABAB iki basamaklı bir doğal sayıdır:

AB×31A1\begin{array}{r} AB \\ \times \quad 3 \\ \hline 1A1 \end{array}

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11 sayısı doğru cevaptır.
Çarpma işleminde birler basamağından gelen eldenin doğru şekilde onlar basamağındaki denkleme yansıtılmasıyla B=7B=7 ve A=4A=4 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 11 ifadesi doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Birler basamağındaki çarpma işlemini analiz etmek.
B=7B = 7
B×3B \times 3 çarpımının birler basamağı 1 olmalıdır. Bunu sağlayan tek rakam 7'dir (7×3=217 \times 3 = 21).
2
Elde kalan değeri belirlemek.
Elde = 2
7×3=217 \times 3 = 21 olduğundan onlar basamağına devredilecek elde 2'dir.
3
Onlar basamağındaki çarpma işlemini denklem haline getirmek.
3×A+2=10+A3 \times A + 2 = 10 + A
3×A3 \times A çarpımına elde olan 2 eklendiğinde elde edilen sayı, onlar basamağı AA olan iki basamaklı 1A1A sayısı yani 10+A10 + A olmalıdır.
4
Denklemi çözerek A rakamını bulmak.
A=4A = 4
3A+2=10+A  ⟹  2A=8  ⟹  A=43A + 2 = 10 + A \implies 2A = 8 \implies A = 4 olur.
5
A+BA + B toplamını hesaplamak.
4+7=114 + 7 = 11
Bulunan A=4A = 4 ve B=7B = 7 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma)
Soru 2406Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin, en büyük elemanı kendi eleman sayısının 2 fazlasına eşit olan boş olmayan alt küme sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

35
Doğru yanıt olan 35 sayısı, alt kümenin eleman sayısı kk değerinin 1'den 5'e kadar olabileceği tespitiyle bulunur. Her bir adımda, en büyük eleman k+2k+2 olarak kümede sabitlenir ve geriye kalan elemanlar bu sayıdan küçük olan k+1k+1 adet sayı arasından seçilir. Bu seçimlerin toplamı olan 1+3+6+10+15=351 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun matematiksel bağıntıyı kurmak
Oluşturulacak alt küme BB ve eleman sayısı s(B)=ks(B) = k olsun. Kümenin en büyük elemanı max(B)max(B) ise, soruda verilen koşul max(B)=k+2max(B) = k + 2 şeklindedir.
Soruda alt kümenin en büyük elemanının, o alt kümenin eleman sayısının 2 fazlası olduğu belirtilmiştir.
2
Alt kümenin eleman sayısı kk için sınır değerlerini belirlemek
B⊆A={1,2,3,4,5,6,7}B \subseteq A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan kümenin en büyük elemanı en fazla 7 olabilir. Dolayısıyla, max(B)=k+2≤7  ⟹  k≤5max(B) = k + 2 \leq 7 \implies k \leq 5 olur. Boş olmayan alt kümeler arandığı için k≥1k \geq 1 olup kk sayısı 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 değerlerini alabilir.
Oluşturulan alt kümenin elemanları AA kümesinin eleman sınırlarını aşamaz.
3
Her kk değeri i��in seçilebilecek eleman kombinasyonlarını formüle etmek
Eleman sayısı kk olan bir alt kümede en büyük eleman k+2k+2 olarak belirlenirse, geriye kalan k−1k-1 eleman kesinlikle k+2k+2 değerinden küçük olmalıdır. Bu elemanlar {1,2,…,k+1}\{1, 2, \dots, k+1\} kümesinden seçilmelidir. Bu kümenin eleman sayısı k+1k+1 olduğundan, seçim sayısı (k+1k−1)=(k+12)\binom{k+1}{k-1} = \binom{k+1}{2} formülüyle hesaplanır.
En büyük elemanın k+2k+2 olmasını garantilemek için diğer tüm elemanların bu değerden küçük seçilmesi şarttır.
4
Tüm durumları hesaplayıp toplamak
k=1k=1 için: (22)=1\binom{2}{2} = 1 durum,
k=2k=2 için: (32)=3\binom{3}{2} = 3 durum,
k=3k=3 için: (42)=6\binom{4}{2} = 6 durum,
k=4k=4 için: (52)=10\binom{5}{2} = 10 durum,
k=5k=5 için: (62)=15\binom{6}{2} = 15 durum.
Toplam alt küme sayısı: 1+3+6+10+15=351 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 bulunur.
Birbirinden bağımsız olarak gerçekleşen bu durumların toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme oluşturma kuralları ve kombinasyon kullanarak koşullu alt küme sayma

İpuçları

1
Bir alt kümenin eleman sayısı kk ise en büyük elemanı k+2k+2 olmalıdır. AA kümesinin en büyük elemanı 7 olduğuna göre, oluşturulabilecek en kalabalık alt kümenin eleman sayısı kaç olabilir?
2
Alt kümenin en büyük elemanı k+2k+2 olduğuna göre, seçilecek diğer tüm elemanlar bu sayıdan küçük olmalıdır. Yani kalan k−1k-1 elemanı {1,2,…,k+1}\{1, 2, \dots, k+1\} kümesinden seçmelisiniz.
3
Eleman sayısı kk olan durumlar için sırasıyla k=1,2,3,4,5k=1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alarak (k+12)\binom{k+1}{2} kombinasyonlarını hesaplayıp toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, en büyük elemanı eleman sayısının 3 fazlasına eşit olan alt küme sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, eleman sayısı kk olan kümeleri tek tek analiz edebiliriz. Örneğin k=1k=1 için en büyük eleman 3 olmalıdır, bu küme sadece {3}\{3\}'tür (1 adet). k=2k=2 için en büyük eleman 4 olmalıdır, bu küme {4}\{4\} elemanının yanına {1,2,3}\{1, 2, 3\} arasından 1 eleman seçilerek oluşturulur ve {1,4},{2,4},{3,4}\{1,4\}, \{2,4\}, \{3,4\} olmak üzere 3 adettir. Diğer durumlar da bu şekilde listelenerek toplam sayı doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2407Soru →

Analitik düzlemde A(1,2)A(1, 2) ve B(7,14)B(7, 14) noktaları veriliyor.

[AB][AB] doğru parçasını içten ∣AC∣∣CB∣=2\frac{|AC|}{|CB|} = 2 oranında bölen CC noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Koordinatları toplamı 15 olan seçenektir.
Koordinatların artış miktarı doğru parçalarının uzunluk oranları olan 2k2k ve kk değerleri ile doğru orantılıdır. Buna göre hesaplanan C(5,10)C(5, 10) noktasının koordinatları toplamı 1515 olur.

Adım Adım Çözüm

1
CC noktasının konumunu ve doğru parçalarının oranını belirleme
∣AC∣=2k|AC| = 2k ve ∣CB∣=k|CB| = k olduğundan tüm doğru parçası ∣AB∣=3k|AB| = 3k olur.
CC noktası [AB][AB] doğru parçasını içten böldüğü için AA ve BB noktalarının arasında yer alır.
2
xx koordinatındaki artış miktarını bulma
xx değeri A(1,2)A(1, 2) noktasından B(7,14)B(7, 14) noktasına giderken 3k3k mesafede 7−1=67 - 1 = 6 birim artmıştır. Buna göre her kk mesafede 22 birim artış gerçekleşir. CC noktası AA'dan 2k2k uzaklıkta olduğu için xx koordinatı 2×2=42 \times 2 = 4 birim artarak 1+4=51 + 4 = 5 olur.
Analitik düzlemde doğru üzerindeki koordinat değişimleri, noktalar arasındaki uzaklıklarla doğru orantılıdır.
3
yy koordinatındaki artış miktarını bulma
yy değeri A(1,2)A(1, 2) noktasından B(7,14)B(7, 14) noktasına giderken 3k3k mesafede 14−2=1214 - 2 = 12 birim artmıştır. Buna göre her kk mesafede 44 birim artış gerçekleşir. CC noktası AA'dan 2k2k uzaklıkta olduğu için yy koordinatı 2×4=82 \times 4 = 8 birim artarak 2+8=102 + 8 = 10 olur.
yy koordinatındaki değişim de benzer şekilde doğru parçalarının uzunluklarıyla doğru orantılı olarak artış gösterir.
4
CC noktasının koordinatları toplamını hesaplama
C(5,10)C(5, 10) noktasının koordinatları toplamı 5+10=155 + 10 = 15 bulunur.
Bizden istenen CC noktasının bileşenlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Doğru Parçasını Belirli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

İpuçları

1
C noktası [AB] doğru parçasını içten böldüğü için A ile B noktalarının arasındadır.
2
|AC| = 2k ve |CB| = k yazarak toplam uzunluğu |AB| = 3k olarak ifade edin.
3
A noktasından B noktasına giderken x ve y koordinatlarının 3k mesafede ne kadar arttığına bakın. Ardından A noktasından başlayarak 2k mesafe sonrası için C noktasının koordinatlarını belirleyin.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2408Soru →

Bir xx pozitif tam sayısından başlayıp 3'er 3'er artan ardışık 2020 tam sayının toplamı AA, bir yy pozitif tam sayısından başlayıp 4'er 4'er artan ardışık 1515 tam sayının toplamı BB'dir.

A=BA = B ve x+y=52x + y = 52 olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Doğru cevap 18'dir.
İlk dizinin terimleri toplamı A=20x+570A = 20x + 570 ve ikinci dizinin terimleri toplamı B=15y+420B = 15y + 420 olarak ifade edilir. A=BA = B eşitliğinden 4x−3y=−304x - 3y = -30 elde edilir. x+y=52x + y = 52 denkleminden y=52−xy = 52 - x yazılarak birinci denklemde yerine konduğunda 7x=1267x = 126 ve buradan x=18x = 18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci dizinin terimleri toplamı olan AA ifadesini xx cinsinden yazalım.
A=20x+570A = 20x + 570
xx ile başlayan, 3'er 3'er artan 20 terimli dizinin son terimi x+19×3=x+57x + 19 \times 3 = x + 57 olur. Terimler toplamı formülüyle A=x+(x+57)2×20=(2x+57)×10=20x+570A = \frac{x + (x + 57)}{2} \times 20 = (2x + 57) \times 10 = 20x + 570 elde edilir.
2
İkinci dizinin terimleri toplamı olan BB ifadesini yy cinsinden yazalım.
B=15y+420B = 15y + 420
yy ile başlayan, 4'er 4'er artan 15 terimli dizinin son terimi y+14×4=y+56y + 14 \times 4 = y + 56 olur. Terimler toplamı formülüyle B=y+(y+56)2×15=2y+562×15=(y+28)×15=15y+420B = \frac{y + (y + 56)}{2} \times 15 = \frac{2y + 56}{2} \times 15 = (y + 28) \times 15 = 15y + 420 elde edilir.
3
A=BA = B eşitliğini kullanarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulalım.
4x−3y=−304x - 3y = -30
20x+570=15y+420  ⟹  20x−15y=−15020x + 570 = 15y + 420 \implies 20x - 15y = -150 olur. Eşitliğin her iki tarafını 5 ile böldüğümüzde 4x−3y=−304x - 3y = -30 denklemine ulaşırız.
4
x+y=52x + y = 52 denklemini kullanarak yy yerine 52−x52 - x yazalım ve xx değerini bulalım.
x=18x = 18
4x−3(52−x)=−30  ⟹  4x−156+3x=−30  ⟹  7x=126  ⟹  x=184x - 3(52 - x) = -30 \implies 4x - 156 + 3x = -30 \implies 7x = 126 \implies x = 18 bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin doğrusal denklem sistemleri ile birlikte uygulanması.

İpuçları

1
Her iki ardışık sayı dizisinin ilk ve son terimlerini belirleyerek terimler toplamı formülünü uygulayın.
2
Dizilerin toplamları olan AA ve BB ifadelerini xx ve yy cinsinden bulduktan sonra bunları birbirine eşitleyip xx ile yy arasında birinci dereceden bir denklem elde edin.
3
Elde ettiğiniz 4x−3y=−304x - 3y = -30 denklemi ile soruda verilen x+y=52x + y = 52 denklemini ortak çözerek xx değerini çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çalışan fakat artış miktarları farklı olan üç dizinin toplam eşitliği sorusunu çözerek denklem kurma becerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ardışık sayı dizilerinin toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir. İlk dizinin ortanca terimi x+(x+57)2=x+28,5\frac{x + (x+57)}{2} = x + 28,5 ve terim sayısı 20 olduğundan A=20(x+28,5)=20x+570A = 20(x + 28,5) = 20x + 570 olur. İkinci dizinin ortanca terimi y+(y+56)2=y+28\frac{y + (y+56)}{2} = y + 28 ve terim sayısı 15 olduğundan B=15(y+28)=15y+420B = 15(y + 28) = 15y + 420 olur. Buradan A=BA = B eşitliği kurulabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2409Soru →

Bir dairesel yürüyüş yolunun yarıçapı 15 metre15\text{ metre} olarak belirlenmiştir. Bu yolda yürüyüşe başlayan bir sporcu, merkez açısı 72∘72^\circ olan bir yay boyunca yürüdüğünde toplam kaç π metre\pi\text{ metre} yol almış olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Sporcu yürüy��şü boyunca 6π6\pi metre yol almıştır.
Doğru cevap olan 66 değeri, yarıçapı 15 m15\text{ m} ve merkez açısı 72∘72^\circ olan çember yayının uzunluk formülü olan 2πr⋅α360∘2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} kullanılarak elde edilir. Bu formülden 2π⋅15⋅72360=6π2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 6\pi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin yay uzunluğu formülünü belirleme.
L=2πr⋅α360∘L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
Merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmak için çemberin çevre formülü ile merkez açının tüm açısına (360∘360^\circ) oranı çarpılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazarak hesaplama yapma.
L=2π⋅15⋅72360=30π⋅15=6π metreL = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 30\pi \cdot \frac{1}{5} = 6\pi\text{ metre}
Yarıçap r=15 mr = 15\text{ m} ve merkez açı α=72∘\alpha = 72^\circ değerleri kullanılarak yay uzunluğu hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir çemberde merkez açının gördüğü yay uzunluğunun hesaplanması.
Tahmini Süre:45s
Soru 2410Soru →

Aşağıda verilen toplama işleminde AA, BB, CC ve DD harfleri sıfırdan farklı ve birbirine eşit olmayan birer rakamı temsil etmektedir.

ABB+ADCCDA3\begin{array}{rccc} & A & B & B \\ + & A & D & C \\ \hline C & D & A & 3 \end{array}

Buna göre, A+B+C+DA + B + C + D toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Rakamların toplamı olan 17 değeridir.
Toplama işleminde basamak kuralları ve elde geçişleri incelendiğinde, CC harfinin binler basamağında olması nedeniyle 11 olması gerektiği görülür. Buradan hareketle birler basamağından B=2B=2 bulunur. Onlar ve yüzler basamağındaki denklemler çözüldüğünde ise A=8A=8 ve D=6D=6 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı 8+2+1+6=178 + 2 + 1 + 6 = 17 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplama işleminin sonucunun 4 basamaklı bir sayı olmasından yararlanarak binler basamağındaki harfin değerini bulma.
C=1C = 1
İki adet 3 basamaklı sayının toplamı en fazla 999+999=1998999 + 999 = 1998 olabilir. Dolayısıyla, toplamın binler basamağındaki CC rakamı yalnızca 11 olabilir.
2
Birler basamağındaki toplama işleminden yararlanarak birler basamağındaki harfin değerini bulma.
B=2B = 2
Birler basamağında B+C=3B + C = 3 işlemi vardır. C=1C = 1 olduğu bilindiğine göre B+1=3  ⟹  B=2B + 1 = 3 \implies B = 2 olur (toplam 13 olamayacağından elde bulunmaz).
3
Onlar ve yüzler basamağındaki ilişkileri kurarak kalan harflerin değerlerini bulma.
A=8A = 8 ve D=6D = 6
Onlar basamağında elde olmadığı için B+D=A  ⟹  2+D=A  ⟹  D=A−2B + D = A \implies 2 + D = A \implies D = A - 2 olur. Yüzler basamağında ise A+A=1D  ⟹  2A=10+DA + A = 1D \implies 2A = 10 + D olmalıdır. Buradan 2A=10+A−2  ⟹  A=82A = 10 + A - 2 \implies A = 8 bulunur. Dolayısıyla D=8−2=6D = 8 - 2 = 6 elde edilir.
4
Bulunan rakamların toplamını hesaplama.
A+B+C+D=17A + B + C + D = 17
Soruda istenen toplam değerini bulmak için 8+2+1+68 + 2 + 1 + 6 işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Harf-Rakam Aritmetiği (Toplama ve Çıkarma)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2411Soru →

Bir kenar sayısı nn olan düzgün çokgenler ve içlerine yazılan sayılarla ilgili aşağıdaki işlemler tanımlanıyor:

- Üçgen içindeki bir xx sayısı için: △(x)=2x+1\triangle(x) = 2x + 1
- Kare içindeki bir xx sayısı için: □(x)=x2−4x\square(x) = x^2 - 4x
- Beşgen içindeki bir xx sayısı için: \pentagon(x)=3x−5\pentagon(x) = 3x - 5

Buna göre, dışta bir beşgen, onun içinde bir kare ve en içte içinde aa tam sayısı yazan bir üçgenin bulunduğu iç içe yerleştirilmiş şeklin toplam değeri 5858 olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

a sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı olan 1'dir.
En dıştaki beşgen işleminin kuralından başlanarak içeri doğru gidildiğinde, beşgenin içindeki karenin değeri 21 olarak bulunur. Kare işleminin kuralı uygulandığında, karenin içindeki üçgenin değeri 7 veya -3 olabilir. En içteki üçgen işleminin kuralları bu iki değere eşitlendiğinde, a tam sayısı 3 veya -2 değerlerini alır. Bu değerlerin toplamı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
En dıştaki şekil olan beşgenden başlayarak denklem kurulur. Beşgenin içindeki ifadenin tamamına ZZ dersek, beşgen işleminin tanımından yararlanılır.
Z=21Z = 21 olarak bulunur.
\pentagon(Z)=3Z−5=58  ⟹  3Z=63  ⟹  Z=21\pentagon(Z) = 3Z - 5 = 58 \implies 3Z = 63 \implies Z = 21 elde edilir. Bu değer kare ve içindeki üçgenin toplam değeridir.
2
Karenin içindeki üçgen ifadesine YY denilerek kare işlemi ZZ değerine eşitlenir.
Y=7Y = 7 veya Y=−3Y = -3 olarak bulunur.
□(Y)=Y2−4Y=21  ⟹  Y2−4Y−21=0  ⟹  (Y−7)(Y+3)=0\square(Y) = Y^2 - 4Y = 21 \implies Y^2 - 4Y - 21 = 0 \implies (Y-7)(Y+3) = 0 denkleminden iki farklı kök elde edilir.
3
Elde edilen YY değerleri en içteki üçgen işlemine eşitlenerek aa tam sayısının alabileceği değerler hesaplanır.
a=3a = 3 veya a=−2a = -2 olarak bulunur.
2a+1=7  ⟹  a=32a + 1 = 7 \implies a = 3 ve 2a+1=−3  ⟹  a=−22a + 1 = -3 \implies a = -2 denklemleri çözülür.
4
aa sayısının alabileceği tam sayı değerleri toplanır.
Değerlerin toplamı 3+(−2)=13 + (-2) = 1 olarak elde edilir.
Soruda istenen aa değerlerinin toplamına ulaşmak için bulduğumuz iki tam sayı toplanmıştır.

Anahtar Kavram

İç içe tanımlanmış şekil operatörlerinde dıştan içe doğru denklem çözme ve ikinci dereceden denklemlerde tüm kök durumlarını analiz etme.

İpuçları

1
En dıştaki şekilden (beşgenden) başlayarak içeriye doğru gidin. Beşgenin sonucunu veren değeri bulup bir içteki şekle eşitleyin.
2
Kare işlemini çözümlerken karşınıza ikinci dereceden bir denklem çıkacaktır. Bu denklemin hem pozitif hem de negatif köklerini ayrı ayrı değerlendirmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde iç içe yerleştirilmiş farklı kenar sayılarına sahip çokgen soruları çözerek değişken aralıklarını ve çift dereceli terimlerin kök analizlerini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İç içe geçmiş fonksiyon bileşkesi olarak f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5, g(x)=x2−4xg(x) = x^2 - 4x ve h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1 tanımlanarak, (f∘g∘h)(a)=58(f \circ g \circ h)(a) = 58 eşitliği üzerinden doğrudan fonksiyonların tersi adımlarıyla da çözüm yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2412Soru →

Analitik düzlemde; x=4x = 4 ve y=6y = 6 doğruları ile koordinat eksenleri arasında kalan dikdörtgensel bölge, orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile alanları oranı 1:31:3 olan iki bölgeye ayrılıyor.

Buna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 154\frac{15}{4}

Cevap

Elde edilen pozitif mm değerlerinin toplamı olan on beş bölü dört ifadesidir.
Dikdörtgensel bölgenin alanı 2424 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31:3 olduğundan küçük bölgenin alanı 66 birimkare olmalıdır. Orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu iki durumda incelenir. İlk durumda doğru x=4x=4 doğrusunu (4,4m)(4, 4m) noktasında keserek alanı 8m8m olan bir dik üçgen oluşturur; buradan m=3/4m = 3/4 elde edilir. İkinci durumda ise y=6y=6 doğrusunu (6m,6)(\frac{6}{m}, 6) noktasında keserek alanı 18m\frac{18}{m} olan bir dik üçgen oluşturur; buradan m=3m = 3 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 154\frac{15}{4} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgensel bölgenin toplam alanını ve ayrılan bölgenin alanlarını hesaplayın.
Toplam alan 4×6=244 \times 6 = 24 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31:3 olduğuna göre küçük alan 6 birimkare, büyük alan ise 18 birimkaredir.
Soruda belirtilen oranlara göre ayrılan parçaların alanlarını netleştirmek gerekir.
2
Birinci durumu inceleyin: y=mxy = mx doğrusunun dikey sınır olan x=4x = 4 doğrusunu kesmesi durumu (0<m≤1.50 < m \leq 1.5).
Doğru, x=4x = 4 doğrusunu (4,4m)(4, 4m) noktasında keser. Alt tarafta oluşan dik üçgenin alanı 4×4m2=8m\frac{4 \times 4m}{2} = 8m olur. Buradan 8m=6  ⟹  m=348m = 6 \implies m = \frac{3}{4} bulunur. Bu değer 1.51.5 sınırından küçük olduğu için geçerlidir.
Doğrunun dik kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.
3
İkinci durumu inceleyin: y=mxy = mx doğrusunun yatay sınır olan y=6y = 6 doğrusunu kesmesi durumu (m≥1.5m \geq 1.5).
Doğru, y=6y = 6 doğrusunu (6m,6)(\frac{6}{m}, 6) noktasında keser. Sol tarafta oluşan dik üçgenin alanı 6×6m2=18m\frac{6 \times \frac{6}{m}}{2} = \frac{18}{m} olur. Buradan 18m=6  ⟹  m=3\frac{18}{m} = 6 \implies m = 3 bulunur. Bu değer 1.51.5 sınırından büyük olduğu için geçerlidir.
Doğrunun yatay kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.
4
Bulunan geçerli pozitif mm değerlerini toplayın.
m1+m2=34+3=154m_1 + m_2 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4} bulunur.
Soruda bizden istenen pozitif mm değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların sınırladığı bölgelerin alan analizi
Soru 2413Soru →

Bir tekstil atölyesinde bulunan iki özdeş dokuma makinesi, birlikte çalışarak belirli bir siparişi 99 saatte tamamlayabilmektedir. Makinelerden birinin çalışma hızı %20\%20 artırılıp diğerinin çalışma hızı %40\%40 azaltılırsa, bu iki makine aynı siparişi birlikte kaç saatte tamamlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

Sipariş yeni çalışma hızlarıyla birlikte 10 saatte tamamlanır.
Doğru cevap 10 saattir. Makinelerin başlangıç hızları vv kabul edildiğinde, toplam iş 18v18v birim olur. Hız değişimleri uygulandıktan sonra makinelerin yeni hızları sırasıyla 1,2v1,2v ve 0,6v0,6v olur. İki makinenin yeni toplam hızı 1,8v1,8v olacağından, işin tamamlanma süresi 18v/1,8v=1018v / 1,8v = 10 saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Makinelerin başlangıçtaki hızlarını ve toplam iş miktarını belirleme.
Her bir makinenin çalışma hızı vv olsun. İki özdeş makinenin toplam hızı 2v2v olur. İş 99 saatte bittiğine göre, toplam iş miktarı: I˙s¸=2v×9=18v\text{İş} = 2v \times 9 = 18v birimdir.
İşçi problemlerinde hıza bağlı denklem kurabilmek için toplam iş miktarını belirlemek gerekir.
2
Makinelerin yeni çalışma hızlarını hesaplama.
Birinci makinenin hızı %20\%20 artırıldığında yeni hızı: v1=v+0,20v=1,2vv_1 = v + 0,20v = 1,2v olur. İkinci makinenin hızı %40\%40 azaltıldığında yeni hızı: v2=v−0,40v=0,6vv_2 = v - 0,40v = 0,6v olur.
Yüzdesel değişimler kullanılarak makinelerin yeni birim zamandaki iş kapasiteleri bulunur.
3
Yeni ortak çalışma hızıyla işin tamamlanma süresini bulma.
Makinelerin yeni toplam hızı: vyeni=1,2v+0,6v=1,8vv_{\text{yeni}} = 1,2v + 0,6v = 1,8v olur. Aynı siparişin yeni tamamlanma süresi tt olsun: t=18v1,8v=10t = \frac{18v}{1,8v} = 10 saat olarak bulunur.
Toplam iş miktarı yeni ortak çalışma hızına bölünerek sürenin bulunması sağlanır.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde çalışma hızının (kapasitenin) değişmesi durumunda toplam iş miktarının sabit tutularak yeni bitirme s��resinin ters orantı veya hız denklemi ile hesaplanması.

İpuçları

1
Makinelerin özdeş olduğunu kullanarak başlangıçta her birinin işi tek başına bitirme süresini veya çalışma hızını (vv) belirleyin.
2
Makinelerin hız değişimlerini (1,2v1,2v ve 0,6v0,6v) uyguladıktan sonra yeni toplam çalışma hızlarını bulun.
3
Yeni toplam çalışma hızını kullanarak toplam iş miktarını (18v18v) bu yeni hıza bölün.

Daha Fazla Pratik

Farklı hızlardaki iki işçinin çalışma hızlarının değiştirildiği benzer bir problem çözerek kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, makinelerin tek başlarına işi bitirme süreleri üzerinden de çözüme ulaşılabilir. İki makine birlikte 99 saatte bitiriyorsa, özdeş oldukları için her biri tek başına bu işi 1818 saatte bitirir. Birinci makinenin hızı %20\%20 artarsa işi bitirme süresi ters orantılı olarak 181,2=15\frac{18}{1,2} = 15 saat olur. İkinci makinenin hızı %40\%40 azalırsa işi bitirme süresi 180,6=30\frac{18}{0,6} = 30 saat olur. İkisi birlikte yeni hızlarıyla işi 1t=115+130  ⟹  1t=330=110  ⟹  t=10\frac{1}{t} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} \implies \frac{1}{t} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \implies t = 10 saatte tamamlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2414Soru →

Analitik düzlemde A(−1,2)A(-1, 2) ve B(5,8)B(5, 8) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını içten ∣AC∣∣CB∣=12\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} oranında bölen CC noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Koordinatları toplamı 5 olan seçenek
Doğru parçasını içten bölen C noktası için A(-1, 2) ve B(5, 8) noktaları arasındaki koordinat artışları oranlanır. ∣AC∣=k|AC| = k ve ∣CB∣=2k|CB| = 2k olduğundan toplam mesafe ∣AB∣=3k|AB| = 3k olur. Hem x hem de y koordinatı 3k mesafede 6 birim artmıştır. Dolayısıyla her k mesafede artış 2 birimdir. C noktası A'dan k kadar uzaklıkta olduğu için koordinatları C(1, 4) olur ve toplamları 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktaları arasındaki yatay (x) ve dikey (y) uzaklık farklarını hesaplayın.
x koordinatı değişimi 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim, y koordinatı değişimi 8−2=68 - 2 = 6 birimdir.
Koordinatların toplam değişim miktarını belirlemek için.
2
Verilen oran ilişkisine göre birim artış miktarını belirleyin.
∣AC∣∣CB∣=12\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} olduğundan, ∣AC∣=k|AC| = k ve ∣CB∣=2k|CB| = 2k yazılır. Toplam mesafe ∣AB∣=3k|AB| = 3k olur. 3k3k mesafede 66 birimlik koordinat değişimi varsa, her kk mesafesi için değişim miktarı 22 birimdir.
C noktasının koordinatlarını bulmak amacıyla birim mesafe başına düşen koordinat artışını hesaplamak için.
3
A noktasının koordinatlarına hesaplanan artış miktarlarını ekleyin.
xC=−1+2=1x_C = -1 + 2 = 1 ve yC=2+2=4y_C = 2 + 2 = 4 olup, C noktası (1,4)(1, 4) olarak bulunur.
C noktasının koordinatlarını kesinleştirmek için.
4
C noktasının koordinatlarının toplamını bulun.
1+4=51 + 4 = 5 elde edilir.
Soruda istenen koordinatlar toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Doğru parçasını içten oranlı bölme
Soru 2415Soru →

Bir çemberde, aynı yayı gören bir merkez açının ölçüsü ile bir çevre açının ölçüsünün toplamı 120∘120^\circ olarak verilmiştir. Buna göre, bu çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40∘40^\circ

Cevap

Çevre açının ölçüsü 40∘40^\circ derecedir.
Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü xx ise, merkez açının ölçüsü 2x2x olur. Bu iki açının ölçüleri toplamı 120∘120^\circ olduğundan 3x=120∘3x = 120^\circ denklemi elde edilir ve buradan çevre açının ölçüsü x=40∘x = 40^\circ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çevre açı ile aynı yayı gören merkez açı arasındaki ilişkiyi belirlemek.
Çevre açının ölçüsüne xx denilirse, aynı yayı gören merkez açının ölçüsü 2x2x olur.
Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün iki katına eşittir.
2
Verilen toplam bilgisini kullanarak denklem kurmak ve çözmek.
x+2x=120∘⇒3x=120∘⇒x=40∘x + 2x = 120^\circ \Rightarrow 3x = 120^\circ \Rightarrow x = 40^\circ bulunur.
Merkez açı ile çevre açının ölçüleri toplamı 120∘120^\circ olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün iki katıdır.

İpuçları

1
Aynı yayı gören merkez açı ile çevre açı arasındaki büyüklük ilişkisini hatırlayın.
2
Aynı yayı gören bir merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün 2 katıdır. Çevre açının ölçüsüne xx diyerek bir denklem kurmayı deneyin.
3
Çevre açının ölçüsüne xx dersek merkez açının ölçüsü 2x2x olur. Bu iki açının toplamı x+2x=120∘x + 2x = 120^\circ olacaktır. Buradan xx değerini hesaplayabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü 50∘50^\circ olan bir çemberde, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünü bulunuz.

Alternatif Yöntem

Aynı yayı gören merkez açının çevre açının 2 katı olduğunu bildiğimizden, toplam açı ölçüsü olan 120∘120^\circ, çevre açının 3 katına denk gelmektedir. Doğrudan 120∘/3=40∘120^\circ / 3 = 40^\circ işlemiyle de sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2416Soru →

AA kümesi tek rakamlardan, BB kümesi ise asal rakamlardan oluşan birer kümedir.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Doğru cevap 20'dir.
Tek rakamlar kümesi A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} olup s(A)=5s(A) = 5'tir. Asal rakamlar kümesi B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} olup s(B)=4s(B) = 4'tür. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülü s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) olduğundan, 5×4=205 \times 4 = 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} olup eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulmak için ilk kümenin eleman sayısı bilinmelidir.
2
B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} olup eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulmak için ikinci kümenin eleman sayısı bilinmelidir.
3
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak.
s(A×B)=s(A)×s(B)=5×4=20s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 5 \times 4 = 20 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B)
Soru 2417Soru →

Bir kargo firmasının teslim ettiği paketlerin %60\%60’ı A şubesi, geri kalanı ise B şubesi tarafından dağıtılmaktadır. A şubesinin dağıttığı paketlerin %5\%5’i, B şubesinin dağıttığı paketlerin ise %10\%10’u alıcıya zamanında ulaştırılamamıştır.

Buna göre, bu firmadan gönderilen ve alıcıya zamanında ulaştırılamadığı bilinen bir paketin, A şubesi tarafından dağıtılmış olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37\frac{3}{7}

Cevap

Zamanında ulaştırılamayan bir paketin A şubesinden gelmiş olma olasılığı 3/7'dir.
Zamanında ulaştırılamayan paketlerin toplam sayısı yeni örnek uzayımızı oluşturur. A şubesinden gelen ve zamanında ulaşmayan paket sayısı 3, B şubesinden gelen ve zamanında ulaşmayan paket sayısı 4 olduğundan, toplam zamanında ulaşmayan paket sayısı 7'dir. Bu paketler arasından rastgele seçilen bir paketin A şubesine ait olma olasılığı ise ulaşılamayan paketler içerisindeki A şubesi paketlerinin oranı olan 3/7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam paket sayısı üzerinden şubelerin dağıttığı paket sayılarını belirleme
Toplam paket sayısı 100100 kabul edilirse, A şubesi 6060 paket, B şubesi ise 4040 paket dağıtır.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak amacıyla toplam paket sayısı 100100 birim olarak alınmıştır.
2
Şubelerdeki zamanında ulaştırılamayan paket sayılarını hesaplama
A şubesinde 60×5100=360 \times \frac{5}{100} = 3 paket, B şubesinde 40×10100=440 \times \frac{10}{100} = 4 paket zamanında ulaştırılamamıştır.
Her şubenin kendi teslimat hatası oranına göre geciken paket miktarları belirlenir.
3
Koşula bağlı olarak yeni örnek uzayın eleman sayısını bulma
Zamanında ulaştırılamayan toplam paket sayısı 3+4=73 + 4 = 7 olarak bulunur.
Paketin zamanında ulaştırılamadığı bilindiğinden, olasılık hesabı sadece bu durumlar arasından yapılmalıdır.
4
Koşullu olasılık değerini hesaplama
İstenen olasılık 37\frac{3}{7} olarak hesaplanır.
Ulaştırılamayan 77 paketten 33 tanesi A şubesine ait olduğundan, istenen durum sayısı toplam durum sayısına oranlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Örnek Uzayın Sınırlandırılması

Alternatif Yöntem

Bayes Teoremi formülü kullanılarak da çözülebilir. P(A∣G)=P(A)⋅P(G∣A)P(G)P(A|G) = \frac{P(A) \cdot P(G|A)}{P(G)} formülünde; P(A)=0,60P(A) = 0,60, P(G∣A)=0,05P(G|A) = 0,05 ve P(G)=0,60⋅0,05+0,40⋅0,10=0,07P(G) = 0,60 \cdot 0,05 + 0,40 \cdot 0,10 = 0,07 değerleri yerine yazılarak P(A∣G)=0,030,07=37P(A|G) = \frac{0,03}{0,07} = \frac{3}{7} elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2418Soru →

Bir sayı oyununda, sisteme girilen bir AA pozitif tam sayısı için aşağıdaki adımlar sırasıyla uygulanmaktadır:

* 1. Adım: Eğer AA çift sayı ise AA sayısını 22'ye bölün, tek sayı ise AA sayısını 33 ile çarpıp 11 ekleyin ve 2. adıma geçin.
* 2. Adım: Elde edilen yeni sayı 1010'dan küçükse işlemi sonlandırıp bu sayıyı çıktı olarak verin; 1010 veya 1010'dan büyükse sayının rakamları toplamını bulup 3. adıma geçin.
* 3. Adım: Bulduğunuz rakamlar toplamına 55 ekleyin ve elde ettiğiniz bu değeri çıktı olarak verin.

Buna göre, sisteme giriş değeri olarak A=13A = 13 sayısı girildiğinde elde edilen çıktı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Elde edilen çıktı 9'dur.
Doğru çıktı 9'dur. Giriş değeri olan 13 tek sayısı için birinci adımda 40 elde edilir. 40 sayısı 10'dan büyük olduğundan ikinci adımda rakamları toplamı olan 4 bulunur. Son olarak üçüncü adımda bu toplama 5 eklenerek 9 çıktısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Giriş sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili kuralı uygulamak
Giriş değeri olan 13 sayısı tek olduğundan 13 * 3 + 1 = 40 elde edilir.
Birinci adımdaki koşul uyarınca giriş sayısı tek olduğunda üç katının bir fazlası alınmalıdır.
2
Elde edilen sayının büyüklüğünü kontrol edip rakamlar toplamını bulmak
Elde edilen 40 sayısı 10'dan büyük olduğundan rakamları toplamı 4 + 0 = 4 bulunur.
İkinci adım kuralına göre sayı 10'dan küçük olmadığında rakamlar toplamı hesaplanıp bir sonraki adıma geçilmelidir.
3
Rakamlar toplamına 5 ekleyip çıktı değerini hesaplamak
4 + 5 = 9 elde edilir.
Üçüncü adımdaki kural uyarınca bulunan rakamlar toplamına 5 eklenerek son işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu İşlemler ve Adım Takibi
Soru 2419Soru →
Gerçel sayılar kümesinin uygun bir alt kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}
g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4'tür.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(3)=g(f(3))(g \circ f)(3) = g(f(3)) eşitliği yazılır. Öncelikle içteki fonksiyon olan f(3)f(3) değeri hesaplanır. f(3)=3f(3) = 3 bulunur. Daha sonra bu değer gg fonksiyonunda yerine yazılarak g(3)=4g(3) = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesini iç içe fonksiyon biçiminde yazın.
g(f(3))g(f(3))
Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyonun görüntüsü soldaki fonksiyonun girdisi olur.
2
f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x + 3}{x - 1} fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplayın.
f(3)=3+33−1=62=3f(3) = \frac{3 + 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3
Bileşke değerini bulmak için öncelikle içteki f(3)f(3) değerine ihtiyaç vardır.
3
Bulunan f(3)=3f(3) = 3 değerini g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5 fonksiyonunda xx yerine yazarak g(f(3))g(f(3)) değerini hesaplayın.
g(3)=32−5=9−5=4g(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4
İçteki fonksiyonun sonucu olan 3, dıştaki g fonksiyonunun girdisi olarak kullanılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon Değeri Bulma
Soru 2420Soru →
mm, nn ve pp birer tam sayıdır.
m⋅n=18n⋅p=24 \begin{aligned} m \cdot n &= 18 \\ n \cdot p &= 24 \end{aligned}
olduğuna göre, m+n+pm + n + p toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -43

Cevap

-43
Toplamı en küçük yapmak amacıyla değişkenlerin negatif tam sayı değerleri alması gerektiği belirlenir. Ortak olan değişken olan nn sayısına −1-1 değeri verildiğinde, m=−18m = -18 ve p=−24p = -24 elde edilir. Bu değerlerin toplamı (−18)+(−1)+(−24)=−43(-18) + (-1) + (-24) = -43 olur ve bu değer alabileceğimiz en küçük toplam değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım denklemlerini yazıp ortak olan değişkeni belirleme
m⋅n=18m \cdot n = 18 ve n⋅p=24n \cdot p = 24 denkleminde ortak değişken nn sayısıdır.
nn sayısına verilecek değerler diğer iki değişkenin değerlerini doğrudan belirler.
2
m+n+pm + n + p toplamının en küçük değerini bulmak için değişkenlerin işaretini belirleme
Değişkenler tam sayı olduğu için negatif değerler alabilirler. Toplamı en küçük yapmak için negatif değerler seçilmelidir.
Negatif sayıların toplamı, pozitif sayıların toplamından her zaman daha küçüktür.
3
Ortak çarpan nn için olası negatif tam sayı değerlerini ve buna bağlı mm ile pp değerlerini hesaplama
n=−1n = -1 için m=−18m = -18 ve p=−24p = -24 olur. Bu durumda toplam: (−18)+(−1)+(−24)=−43(-18) + (-1) + (-24) = -43 bulunur.
nn sayısının mutlak değerini en küçük tutarak (n=−1n = -1), diğer çarpanların mutlak değerce en büyük negatif sayı olmalarını sağlamak toplamı minimize eder.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Çarpım-Toplam İlişkisi
ÖncekiSayfa 121 / 129Sonraki
Tüm alıştırma soruları — ALES | Examkin