Tüm alıştırma soruları

Soru 2421Soru →

A = \{x \mid 1 \leq x < 8, \ x \text{ bir asal sayı}\} \cup \{\emptyset\}

kümesi tanımlanıyor.

Buna göre, $A$ kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A

kümesinin özalt küme sayısı

31

'dir.

A

kümesinin eleman sayısı

6

'dır.

A

kümesinin alt küme sayısı

10

'dur.

A

kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısı toplamı

31

'dir.

\{3, 5\} \in A

'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ kümesinin özalt küme sayısı $31$ 'dir.

Cevap

A

kümesinin özalt küme sayısı

31

'dir.

Kümenin elemanları belirlendiğinde

A = \{2, 3, 5, 7, \emptyset\}

olduğu görülür. Eleman sayısı

s(A) = 5

olduğundan, özalt küme sayısı

2^5 - 1 = 31

olarak hesaplanır. Bu nedenle özalt küme sayısının 31 olduğunu belirten ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım aralığ��ndaki asal sayıları belirleme

[1, 8)

aralığındaki asal sayılar

2, 3, 5

ve

7

'dir.

1

asal sayı değildir.

Soruda verilen kümenin birinci kısmını oluşturan elemanları doğru şekilde listelemek gerekir.

2

Birleşim işlemini uygulayarak kümenin tüm elemanlarını yazma

A = \{2, 3, 5, 7, \emptyset\}

ve eleman sayısı

s(A) = 5

olur.

Kümenin birinci kısmı ile boş küme elementini içeren kümenin birleşimi alınarak

A

kümesinin elemanları tespit edilir.

3

Özalt küme sayısını hesaplama

2^5 - 1 = 32 - 1 = 31

.

n

elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı

2^n - 1

formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Kavramı, Alt Küme ve Özalt Küme Sayısı

Soru 2422Soru →

Denklemleri

d_1: (a-2)x + 3y - 5 = 0

d_2: 4x + (a+2)y + 7 = 0

olan doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktası bulunmadığına göre,

a

parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

2

4

6

8

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması onların paralel olduğunu gösterir ve bu durumda eğimlerinin eşitliğinden a parametresinin alabileceği pozitif değer 4 olarak bulunur.

Verilen doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların paralel olduğu anlamına gelir. Paralel doğruların eğimleri eşittir.

d_1

doğrusunun eğimi

m_1 = -\frac{a-2}{3}

ve

d_2

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{4}{a+2}

dir. Bu eğimleri birbirine eşitlediğimizde

-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2}

elde edilir. Buradan

(a-2)(a+2) = 12

ve

a^2 - 4 = 12

bulunur. Denklemi çözdüğümüzde

a^2 = 16

elde edilir ki bu da

a = 4

veya

a = -4

demektir. Soruda bizden pozitif değer istendiği için doğru cevap 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktasının bulunmaması durumunun geometrik anlamını belirlemek.

d_1

ve

d_2

doğruları birbirine paraleldir (

d_1 \parallel d_2

).

Koordinat düzleminde çakışık olmayan iki doğrunun kesişmemesi (ortak noktasının olmaması) ancak ve ancak bu doğruların paralel olmasıyla mümkündür.

2

Doğruların eğimlerini katsayıları cinsinden hesaplamak.

d_1

doğrusunun eğimi

m_1 = -\frac{a-2}{3}

ve

d_2

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{4}{a+2}

olur.

Ax + By + C = 0

biçimindeki bir doğrunun eğimi

m = -\frac{A}{B}

formülüyle bulunur.

3

Paralel doğruların eğimlerinin eşit olması özelliğini kullanarak denklem kurmak ve çözmek.

-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} \Rightarrow \frac{a-2}{3} = \frac{4}{a+2}

ve buradan

(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16

elde edilir.

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir (

m_1 = m_2

).

4

a^2 = 16

denklemini sağlayan değerleri bulup pozitif olanı seçmek.

a = 4

veya

a = -4

bulunur. Pozitif değer istendiği için

a = 4

alınır.

Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4'tür. Sorudaki pozitiflik koşulunu sağlayan değer 4'tür.

Anahtar Kavram

İki doğrunun paralel olması durumunda eğimleri birbirine eşittir. Genel denklemi

A_1x + B_1y + C_1 = 0

ve

A_2x + B_2y + C_2 = 0

olan doğruların paralel olması için katsayılar arasında

\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}

bağıntısı bulunmalıdır.

İpuçları

1

İki doğrunun hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların birbirine paralel olduğunu gösterir.

2

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Doğruların eğimlerini

x

ve

y

katsayılarını kullanarak bulunuz.

3

d_1

için eğim

-\frac{a-2}{3}

ve

d_2

için eğim

-\frac{4}{a+2}

dir. Bu iki değeri birbirine eşitleyerek

a^2

ifadesini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu doğrular birbirine dik olsaydı, eğimleri çarpımının -1 olması gerekirdi. Benzer şekilde doğruların çakışık olması durumunda ise sabit terimlerin oranı da bu orana eşit olurdu.

Alternatif Yöntem

Paralellik durumunda x'in katsayıları oranının, y'nin katsayıları oranına eşit olması gerekir. Yani

\frac{a-2}{4} = \frac{3}{a+2}

bağıntısı doğrudan kurulabilir. Buradan içler dışlar çarpımı yapılarak

(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2423Soru →

$MAKARA$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

720

360

120

240

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120

Toplam 6 harf içeren kelimede 'A' harfi 3 kez tekrarlamaktadır. Tekrarlı permütasyon gereği tüm dizilimlerin sayısı 6! değerinin tekrar sayısı olan 3!'e bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda 120 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme.

MAKARA

kelimesinde toplam 6 harf vardır. Bu harflerden 'A' harfi 3 kez tekrar etmektedir.

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ve her bir tekrar eden elemanın sıklığı bilinmelidir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü kurma.

\frac{6!}{3!}

ifadesi elde edilir.

Toplam

n

elemanlı bir kümede tekrar eden eleman sayıları

n_1, n_2, ...

ise farklı dizilim sayısı

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...}

formülüyle bulunur.

3

Matematiksel hesabı gerçekleştirme.

\frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

bulunur.

Pay kısmındaki 6! ifadesi, paydadaki 3! ile sadeleştirilerek işlem kolayca tamamlanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2424Soru →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ ayrık olayları için $A$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(A') = \frac{2}{3}$ ve $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$ 'tür.

Buna göre, $B$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(B)$ kaçtır?

\frac{1}{12}

\frac{1}{6}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{5}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{12}$

Cevap

B olayının gerçekleşme olasılığı \frac{5}{12}'dir.

B olayının gerçekleşme olasılığı \frac{5}{12} olarak bulunur. Öncelikle A olayının gerçekleşmeme olasılığı

P(A') = \frac{2}{3}

olarak verildiğinden, gerçekleşme olasılığı

P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

olur. A ve B ayrık olaylar olduğu için kesişimleri boştur ve birleşim olasılıkları

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

formülü ile hesaplanır. Buradan

\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B)

eşitliği elde edilir. Eşitlik çözüldüğünde

P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) değerini hesaplamak için P(A) + P(A') = 1 özelliğini kullanın.

P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} elde edilir.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

2

A ve B olayları ayrık olaylar olduğu için P(A \cup B) = P(A) + P(B) formülünü uygulayın.

\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) denklemi kurulur.

Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşittir.

3

Denklemdeki P(B) değerini yalnız bırakarak rasyonel sayılarda çıkarma işlemini gerçekleştirin.

P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} bulunur.

Farklı paydalara sahip rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için paydalar eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Ayrık olayların birleşim olasılığı ve tümleyen olay ilişkisi

İpuçları

1

Bir olayın gerçekleşme olasılığı P(A) ile gerçekleşmeme olasılığı P(A') toplamının 1 olduğunu hatırlayın.

Tahmini Süre:45s

Soru 2425Soru →

Bir müzik okulundaki $45$ öğrencinin her biri piyano veya keman enstrümanlarından en az birini çalabilmektedir. Bu okulda sadece piyano çalabilenlerin sayısı, her iki enstrümanı da çalabilenlerin sayısının $2$ katıdır. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerin sayısından $5$ fazladır. Buna göre, bu okulda sadece keman çalabilen öğrenci sayısı kaçtır?

15

10

20

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı 15'tir.

Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı

x

olarak tanımlandığında, sadece piyano çalabilenler

2x

olur. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerden

5

fazla olduğuna göre

2x + 5

olarak ifade edilir. Keman çalabilenlerden her iki enstrümanı da çalan

x

kişi çıkarıldığında, sadece keman çalabilenlerin sayısı

x + 5

olur. Toplam mevcudu veren

2x + x + (x + 5) = 45

denklemi çözüldüğünde

x = 10

bulunur. Buradan sadece keman çalabilenlerin sayısı

10 + 5 = 15

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim kümesindeki eleman sayısını değişken olarak tanımlama

Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı

x

olsun. Yani

s(P \cap K) = x

olur.

Küme problemlerinde bilinmeyenleri yerleştirirken genellikle en içteki kesişim bölgesinden başlamak işlemleri kolaylaştırır.

2

Diğer küme bölgelerini verilen bilgilere göre

x

cinsinden yazma

Sadece piyano çalanlar:

2x

, keman çalanlar:

2x + 5

ve sadece keman çalanlar:

(2x + 5) - x = x + 5

olur.

Sadece piyano çalanların sayısı kesişimin 2 katı olarak verilmiş, keman çalan toplam kişi sayısı ise sadece piyano çalanlardan 5 fazla olarak belirtilmiştir.

3

Toplam öğrenci sayısı denklemini kurma ve çözme

2x + x + (x + 5) = 45 \Rightarrow 4x + 5 = 45 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10

bulunur.

Tüm öğrencilerin her iki enstrümandan en az birini çaldığı bilindiğinden, kümedeki ayrık bölgelerin toplamı okul mevcudu olan 45'e eşittir.

4

İstenen bölgenin eleman sayısını hesaplama

Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı:

x + 5 = 10 + 5 = 15

bulunur.

Soruda bizden sadece keman çalabilen öğrenci sayısı istendiği için

x+5

ifadesinde bulduğumuz değeri yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde sözel ifadeleri şema üzerinde ayrık bölgelere yerleştirerek denklem çözme

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gitme yöntemi uygulanabilir. Sadece keman çalan öğrenci sayısı seçeneklerdeki değerlerden biri olmalıdır. Örneğin sadece keman çalanlar 15 ise; keman çalan toplam kişi sayısı

15 + x

olur. Verilen bilgiye göre keman çalanlar (

15+x

) sadece piyano çalanlardan 5 fazladır, dolayısıyla sadece piyano çalanlar

10+x

olur. Sadece piyano çalanlar (

10+x

) kesişimin (

x

) 2 katı olduğuna göre

10+x = 2x \Rightarrow x = 10

bulunur. Bu durumda tüm bölgelerin toplamı: sadece piyano (

20

) + kesişim (

10

) + sadece keman (

15

) = 45 mevcudunu doğrulayarak çözümün doğruluğunu kanıtlar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2426Soru →

$O$ merkezli ve $R$ yarıçaplı çeyrek daire dilimi şeklindeki bir ahşap levhanın içerisine; levhanın dik yarıçap kenarlar��na ve çeyrek çember yayına teğet olacak biçimde yerleştirilebilecek en büyük çemberin yarıçapı $r$ 'dir. Buna göre, içteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı aşağıdakilerden hangisidir?

\sqrt{2} - 1

2\sqrt{2} - 2

12 - 8\sqrt{2}

4\sqrt{2} - 4

2\sqrt{3} - 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4\sqrt{2} - 4$

Cevap

İçteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı

4\sqrt{2} - 4

olmalıdır.

Doğru cevap olan ifade, çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki çemberin yarıçapı arasındaki geometrik ilişkiden elde edilen orandır. Köşegen uzunluğu

r\sqrt{2}

olan karenin köşesine

r

kadar yarıçap eklendiğinde çeyrek dairenin yarıçapı

R = r(\sqrt{2} + 1)

olur. Çevrelerin oranı hesaplandığında

4\sqrt{2} - 4

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Çeyrek dairenin merkezini

O

, içteki çemberin merkezini

M

ve teğet noktalarını

[OA]

üzerinde

T_1

,

[OB]

üzerinde

T_2

olarak belirleyip

OT_1MT_2

karesini oluşturmak.

Bir kenarı

r

olan

OT_1MT_2

karesi elde edilir.

İçteki çemberin yarıçapı ile çeyrek dairenin dik kenarları arasındaki geometrik ilişkiyi kurmak.

2

Karenin köşegeni olan

[OM]

uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplamak.

OM = r\sqrt{2}

olarak bulunur.

Merkezler arasındaki uzaklığı yarıçap cinsinden ifade etmek.

3

İçteki çemberin dış yaya teğet olduğu noktayı

P

olarak adlandırıp,

O

,

M

ve

P

noktalarının doğrusallığını kullanarak çeyrek dairenin yarıçapı

R

'yi

r

cinsinden yazmak.

OP = R = OM + MP = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2} + 1)

denklemi elde edilir.

İki dairenin yarıçapları arasındaki bağıntıyı kurmak.

4

İçteki çemberin çevre uzunluğunu (

Ç_1 = 2\pi r

) ve çeyrek dairenin yay uzunluğunu (

Yay = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}

) formüllerini yazıp oranlamak.

Oran

= \frac{2\pi r}{\frac{\pi R}{2}} = \frac{4r}{R} = \frac{4r}{r(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4}{\sqrt{2} + 1}

bulunur.

İstenen çevre uzunlukları oranını bulmak.

5

Elde edilen oranı paydanın eşleniği (

\sqrt{2} - 1

) ile çarparak rasyonel hale getirmek.

\frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 4\sqrt{2} - 4

bulunur.

Sonucu en sade ve seçeneklerdeki biçimiyle elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir çemberin çevresi

2\pi r

ve bir daire diliminin yay uzunluğu

\frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi R

formülüyle hesaplanır. İki geometrik şekil arasındaki teğetlik durumunda merkezlerin birleştirilmesiyle elde edilen doğrusal hatlar yarıçap ilişkisini kurmamızı sağlar.

Soru 2427Soru →

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x \le 10, \ x \text{ bir asal sayı veya } x \text{ bir çift sayı}\} \cup \{\emptyset, \{\emptyset\}\}

kümesi veriliyor.

Buna göre, $A$ kümesi için;

I. $\{\emptyset\} \in A$ ve $\{\emptyset\} \subseteq A$
II. $\emptyset \subseteq A$ ve $\{\{\emptyset\}\} \subseteq A$
III. $A$ kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı $1023$ 'tür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II

I. ifadede

\{\emptyset\} \in A

doğrudur çünkü

\{\emptyset\}

kümenin doğrudan bir elemanıdır;

\{\emptyset\} \subseteq A

doğrudur çünkü tek elemanı olan

\emptyset

elemanı

A

'nın içindedir. II. ifadede boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için

\emptyset \subseteq A

doğrudur;

\{\{\emptyset\}\} \subseteq A

doğrudur çünkü tek elemanı olan

\{\emptyset\}

elemanı

A

'nın içindedir. III. ifadede eleman sayısı

10

olduğundan alt küme sayısı

1024

, özalt küme sayısı

1023

ve toplamları

2047

olup ifade yanlıştır. Dolayısıyla doğru seçenek 'I ve II' ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını belirleyelim.

A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, \emptyset, \{\emptyset\}\}

ve

s(A) = 10

'dur.

1 < x \le 10

aralığındaki çift sayılar

\{2, 4, 6, 8, 10\}

ve asal sayılar

\{2, 3, 5, 7\}

'dir. Bu sayıların birleşimi

\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}

olmak üzere

8

elemandır. Bu sayısal elemanlara ek olarak tanımda verilen

\emptyset

ve

\{\emptyset\}

elemanları da kümeye dahil edildiğinde toplam eleman sayısı

10

olur.

2

I. ve II. ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim.

I. ve II. ifadeler doğrudur.

\emptyset \in A

ve

\{\emptyset\} \in A

olduğundan, sırasıyla

\{\emptyset\} \subseteq A

ve

\{\{\emptyset\}\} \subseteq A

alt küme ilişkileri doğrudur. Ayrıca boş küme (

\emptyset

) her kümenin alt kümesidir, dolayısıyla

\emptyset \subseteq A

ifadesi de doğrudur.

3

A

kümesinin alt küme ve özalt küme sayılarını hesaplayıp toplayalım.

Alt küme sayısı

2^{10} = 1024

, özalt küme sayısı

2^{10} - 1 = 1023

ve toplamları

1024 + 1023 = 2047

'dir.

Toplam

2047

çıktığından, toplamın

1023

olduğunu iddia eden III. ifade yanlıştır. Bu yanlış iddia, kümenin eleman sayısının hatalı şekilde

9

olarak bulunması durumunda (

2^9 + 2^9 - 1 = 512 + 511 = 1023

) ortaya çıkmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme ilişkileri ile alt küme/özalt küme sayılarının hesabı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2428Soru →

x

ve

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

\frac{x!}{y!} = 210

eşitliğini sağlayan farklı

x

değerlerinin toplamı kaçtır?

22

217

225

232

210

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 232

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı

x

değerlerinin toplamı 232'dir.

İfadeyi sağlayan ardışık çarpan durumları incelendiğinde

x

sayısının alabileceği değerlerin

210

,

15

ve

7

olduğu görülür. Bu pozitif tam sayı değerlerinin toplamı

210 + 15 + 7 = 232

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.

\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 210

eşitliği elde edilir.

Faktöriyel tanımı gereği

x!

,

y!

cinsinden yazılarak sadeleştirilebilir.

2

210 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazmak.

210 sayısı tek terimli olarak 210; iki ardışık terim olarak

15 \cdot 14

; üç ardışık terim olarak

7 \cdot 6 \cdot 5

şeklinde yazılabilir. Dört veya daha fazla terimli ardışık çarpım durumunda pozitif tam sayı çözümü bulunmamaktadır.

Çarpımın sonucunun 210 olabilmesi için tüm olası ardışık çarpan grupları incelenmelidir.

3

Bulunan her bir durum için

x

değerlerini belirlemek ve toplamak.

Birinci durumdan

x = 210

(ve

y = 209

), ikinci durumdan

x = 15

(ve

y = 13

), üçüncü durumdan

x = 7

(ve

y = 4

) elde edilir. Bu değerlerin toplamı

210 + 15 + 7 = 232

olur.

x

ve

y

pozitif tam sayı koşulunu sağladığından tüm bu

x

değerleri geçerlidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme ve ardışık sayılarla ilişkilendirme.

Soru 2429Soru →

A = \{1, 2, \{1, 2\}, \{3\}, 4\}

kümesi veriliyor.

Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde $1$ ve $2$ eleman olarak bulunur fakat $\{1, 2\}$ eleman olarak bulunmaz?

4

3

8

16

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4

A

kümesinin elemanları incelendiğinde

1

,

2

,

\{1, 2\}

,

\{3\}

ve

4

olmak üzere 5 elemanı olduğu görülür. Oluşturulacak alt kümelerde

1

ve

2

elemanlarının bulunması istendiği için bu iki eleman alt kümeye yerleştirilir.

\{1, 2\}

elemanının bulunmaması istendiği için bu eleman seçim dışı bırakılır. Geriye kalan

\{3\}

ve

4

elemanlarından herhangi biri veya ikisi alt kümeye eklenebilir. Bu durumda seçebileceğimiz 2 eleman kaldığından

2^2 = 4

farklı alt küme oluşturulabilir. Bu alt kümeler şunlardır:

\{1, 2\}

,

\{1, 2, \{3\}\}

,

\{1, 2, 4\}

ve

\{1, 2, \{3\}, 4\}

.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin elemanlarını doğru şekilde tanımlamak.

A = \{1, 2, \{1, 2\}, \{3\}, 4\}

kümesinin elemanları

1

,

2

,

\{1, 2\}

,

\{3\}

ve

4

'tür. Kümenin eleman sayısı

s(A) = 5

'tir.

Alt küme oluştururken hangi elemanların bağımsız birer nesne olduğunu belirlemek gerekir.

2

Verilen koşullara göre elemanları sınıflandırmak.

1

ve

2

elemanları alt kümede bulunacağı için seçilir (sabit tutulur).

\{1, 2\}

elemanı bulunmayacağı için elenir. Seçim yapılabilecek serbest elemanlar sadece

\{3\}

ve

4

elemanlarıdır.

Koşullara göre alt kümede yer alıp almayacağı kesin olan elemanlar belirlenerek serbest seçim yapılacak eleman sayısı bulunur.

3

Kalan serbest elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısını hesaplamak.

Geriye kalan

\{3\}

ve

4

elemanları olmak üzere 2 eleman vardır. Bu elemanlarla

2^2 = 4

farklı alt küme oluşturulabilir.

n

elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme İlişkisi

İpuçları

1

A

kümesinin her bir elemanını birbirinden virgüllerle ayırarak listeleyin ve kümede kaç eleman olduğunu bulun.

2

Alt kümede mutlaka bulunması istenen elemanları cebinize koyun, bulunması istenmeyen elemanı ise tamamen çöpe atın.

3

Geriye kalan serbest elemanların sayısı

n

ise, bu elemanlarla

2^n

kadar farklı seçim yapıp cebinizdeki elemanların yanına ekleyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

B = \{a, \{a\}, b, \{a, b\}\}

kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde

a

eleman olarak bulunur fakat

\{a\}

eleman olarak bulunmaz sorusunu çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Koşulları sağlayan alt kümeleri tek tek yazarak da bulabiliriz.

1

ve

2

kesinlikle bulunacağına göre her alt küme en az

\{1, 2\}

elemanlarını içermelidir.

\{1, 2\}

elemanı ise bulunmayacaktır. Geriye kalan

\{3\}

ve

4

elemanlarını bu kümenin içine dağıtırsak:
1)

\{1, 2\}

2)

\{1, 2, \{3\}\}

3)

\{1, 2, 4\}

4)

\{1, 2, \{3\}, 4\}

olmak üzere 4 farklı alt küme yazılabilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 2430Soru →

Bir $O$ merkezli çemberin yarıçap�� $9\text{ cm}$ 'dir. Çemberin dışındaki bir $P$ noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, çembere $T$ noktasında değmektedir. $P$ noktasının çembere en yakın uzaklığı $6\text{ cm}$ olduğuna göre, teğet parçasının uzunluğu ( $|PT|$ ) kaç santimetredir?

6

8

12

15

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Teğet parçasının uzunluğu 12 cm'dir.

12 cm değerini içeren seçenek doğrudur. Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap teğet doğrusuna dik olduğundan, OTP dik üçgeni elde edilir. Bu üçgende hipotenüs uzunluğu merkezden dıştaki noktaya olan uzaklık olan 15 cm, dik kenarlardan biri ise yarıçap uzunluğu olan 9 cm'dir. Pisagor teoremiyle diğer dik kenar olan teğet parçasının uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Merkezden teğet noktasına yarıçapı çizmek ve uzunluğunu belirlemek.

|OT| = r = 9\text{ cm}

Çemberin merkezi ile teğet değme noktası arasındaki uzaklık yarıçapa eşittir.

2

Merkezden dıştaki P noktasına olan uzaklığı belirlemek.

|OP| = 9 + 6 = 15\text{ cm}

P noktasının çembere en yakın uzaklığı 6 cm olduğuna göre, bu uzaklığa yarıçap uzunluğu eklenerek merkezden P noktasına olan toplam uzaklık bulunur.

3

Teğet noktasındaki dikliği kullanarak dik üçgeni belirlemek.

[OT] \perp [PT]

olduğundan

OTP

bir dik üçgendir.

Çemberin teğet doğrusuna teğet noktasında çizilen yarıçap teğet doğrusuna diktir.

4

OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |PT| uzunluğunu hesaplamak.

|OP|^2 = |OT|^2 + |PT|^2 \implies 15^2 = 9^2 + |PT|^2 \implies 225 = 81 + |PT|^2 \implies |PT|^2 = 144 \implies |PT| = 12\text{ cm}

Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir çemberde teğet değme noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Bu diklik yardımıyla oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılarak teğet veya merkez uzaklığı hesaplanabilir.

İpuçları

1

Çemberin merkezi O ile teğet değme noktası T'yi birleştiren yarıçapı çizin ve teğete dik olduğunu gösterin.

2

Merkezden P noktasına çizilen çizginin çemberi kestiği noktaya K derseniz, |OK| = 9 cm (yarıçap) ve |KP| = 6 cm olur. Buradan |OP| uzunluğunu bulun.

3

Oluşan OTP dik üçgeninde hipotenüs 15 cm, bir dik kenar ise 9 cm'dir. Diğer dik kenar olan |PT|'yi bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

Tahmini Süre:50s

Soru 2431Soru →

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde $\square$ ve $\circ$ işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

a \mathbin{\square} b = \frac{a \cdot b}{a + b}

a \mathbin{\circ} b = 2a - b

Buna göre,

(x \mathbin{\square} 6) \mathbin{\circ} 4 = 2

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

2

3

\frac{8}{3}

6

\frac{6}{17}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulmak için önce parantez dışındaki işlem çözülür. Tanımlanan ikinci işleme göre parantez içinin değeri 3 olarak bulunur. Ardından bu değer birinci işlem tanımında yerine yazılarak denklem çözülür ve bilinmeyen değeri 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dıştaki işlemi çözmek için parantez içindeki ifadeye tek bir değişken gibi davranılır.

x \mathbin{\square} 6 = 3

a \mathbin{\circ} b = 2a - b

tanımına göre

(x \mathbin{\square} 6) \mathbin{\circ} 4 = 2(x \mathbin{\square} 6) - 4 = 2

eşitliği yazılır. Buradan

2(x \mathbin{\square} 6) = 6

ve dolayısıyla

x \mathbin{\square} 6 = 3

bulunur.

2

Parantez içi ifadeyi tanımlanan birinci işlem kuralına göre açarak bilinmeyen değişken yalnız bırakılır.

x = 6

a \mathbin{\square} b = \frac{a \cdot b}{a + b}

tanımına göre

x \mathbin{\square} 6 = \frac{6x}{x + 6} = 3

eşitliği kurulur. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

6x = 3(x + 6) \Rightarrow 6x = 3x + 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6

elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı matematiksel operatörler ve işlem önceliği

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2432Soru →

Bir $f$ fonksiyonu,

f(x) = \sqrt{x^2 - 4x - 12} + \frac{1}{\sqrt{9 - |x - 2|}}

kuralı ile verilmiştir.

Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

18

-14

20

24

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20

Doğru cevap 20'dir. Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için

x^2 - 4x - 12 \ge 0

ve

9 - |x - 2| > 0

koşullarının her ikisi de sağlanmalıdır. Buradan en geniş tanım kümesi

(-7, -2] \cup [6, 11)

olarak elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı ise 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme.

x^2 - 4x - 12 \ge 0 \implies (x-6)(x+2) \ge 0 \implies x \le -2

veya

x \ge 6

.

Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.

2

İkinci rasyonel ve kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme.

9 - |x - 2| > 0 \implies |x - 2| < 9 \implies -9 < x - 2 < 9 \implies -7 < x < 11

.

Hem çift dereceli köklü ifadenin tanımlı olması hem de paydanın sıfırdan farklı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir.

3

İki koşulun kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulma.

x \in (-7, -2] \cup [6, 11)

.

Fonksiyonun her iki kısmının da aynı anda tanımlı olması için elde edilen aralıkların kesişimi alınmalıdır.

4

Bu kümedeki tam sayıları belirleme ve toplama.

Tanım kümesindeki tam sayılar:

-6, -5, -4, -3, -2, 6, 7, 8, 9, 10

. Bu sayıların toplamı:

-20 + 40 = 20

.

Tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı sorulduğu için bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun reel sayılarda tanımlı olması için kareköklü ifadelerin içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması gerekir.

İpuçları

1

Her iki ifadenin de ayrı ayrı reel sayılarda tanımlı olabilmesi için gereken koşulları yazın.

2

Birinci ifadenin tanımlı olması için

x^2 - 4x - 12 \ge 0

, ikinci ifadenin tanımlı olması için ise

9 - |x-2| > 0

olmalıdır. Bu eşitsizlikleri çözüp kesiştirin.

3

Bulduğunuz kesişim aralığı

(-7, -2] \cup [6, 11)

olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde köklü ve mutlak değerli ifadelerin paydada yer aldığı tanım kümesi sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2433Soru →

Bir daire diliminin merkez açısı $120^\circ$ ve çevre uzunluğu $12 + 4\pi\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu daire diliminin alanı kaç $\pi\text{ cm}^2$ dir?

4

12

18

24

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Daire diliminin alanı 12\pi cm² olarak bulunur.

Daire diliminin çevre uzunluğu, iki yarıçap uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamına eşittir. Buradan yarıçap uzunluğu 6 cm olarak elde edilir. Yarıçapı 6 cm ve merkez açısı 120 derece olan daire diliminin alanı ise 12\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Daire diliminin çevre uzunluğu formülünü yazmak.

Çevre =

2r + \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r

Bir daire diliminin çevre uzunluğu, dilimi sınırlayan iki yarıçapın uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamıdır.

2

Verilen değerleri çevre formülünde yerine koyarak yarıçapı (

r

) bulmak.

2r + \frac{120}{360} \cdot 2\pi r = 12 + 4\pi \implies r\left(2 + \frac{2}{3}\pi\right) = 12 + 4\pi \implies r = 6\text{ cm}

Merkez açı

\theta = 120^\circ

ve çevre

12 + 4\pi

olarak verilmiştir.

3

Bulunan yarıçap değeri ile daire diliminin alanını hesaplamak.

Alan =

\frac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 = 12\pi\text{ cm}^2

Daire diliminin alanı, tüm dairenin alanının merkez açının

360^\circ

'ye oranına çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Daire Diliminin Çevresi ve Alanı

Alternatif Yöntem

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu (

L

) ve yarıçap (

r

) bilindiğinde

\text{Alan} = \frac{L \cdot r}{2}

formülüyle de hesaplanabilir. Burada yay uzunluğu

L = 4\pi

ve yarıçap

r = 6

olduğundan,

\text{Alan} = \frac{4\pi \cdot 6}{2} = 12\pi

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2434Soru →

Bir sayısal mantık uygulamasında, geometrik şekiller ve içlerine yazılan sayılarla ilgili iki farklı işlem şu şekilde tanımlanmıştır:

- Daire (

\bigcirc

) sembolü içindeki bir

x

sayısı için:

\bigcirc(x) = 3x - 1

- Üçgen (

\triangle

) sembolü içindeki bir

y

sayısı için:

\triangle(y) = 2y + 3

İç içe yerleştirilen şekillerde işlemler en içteki şekilden başlanarak dışa doğru sırayla uygulanmaktadır.

Buna göre, bir üçgen sembolünün içine çizilmi�� bir daire sembolünün ve onun da içinde 3 sayısının bulunduğu aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?

\triangle(\bigcirc(3))

26

9

19

23

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19 sayısı doğru cevaptır. İlk olarak en içteki daire işlemi uygulanarak 8 elde edilir, ardından bu değer üçgen işlemine girdi olarak verilerek 19 sonucuna ulaşılır.

Doğru sonuca ulaşmak için işlemler en içten dışa doğru sırayla yapılmalıdır. İlk adımda daire içindeki 3 sayısı için dairenin kuralı (

3x - 1

) uygulanır ve 8 elde edilir. İkinci adımda, bu 8 değeri üçgenin kuralında (

2y + 3

) yerine yazılır ve 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

En içteki şekil olan dairenin içindeki işlemi hesaplayın.

\bigcirc(3) = 3 \times 3 - 1 = 8

elde edilir.

İç içe şekillerde işlemler her zaman en içteki şekilden başlanarak dışa do��ru sırayla uygulanır.

2

Bulunan sonucu dıştaki üçgen işleminde yerine koyarak nihai sonucu hesaplayın.

\triangle(8) = 2 \times 8 + 3 = 19

elde edilir.

İlk adımdan elde edilen çıktı, bir sonraki işlemin girdisi olur.

Anahtar Kavram

İç içe tanımlanmış şekil operatörlerinde işlem önceliği ve adım takibi

Soru 2435Soru →

\frac{\left(2 - \frac{3}{4}\right) \div \frac{5}{8}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}

işleminin sonucu kaçtır?

\frac{3}{2}

3

6

-\frac{3}{5}

\frac{10}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

İşlemler doğru sırayla yapıldığında sonuç

3

bulunur.

İşlem önceliği kurallarına göre sırasıyla parantez içi, çarpma/bölme ve ardından toplama/çıkarma işlemleri uygulandığında ifadenin değeri

3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki parantez içi çıkarma işlemini gerçekleştirelim.

2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

2

Pay kısmındaki bölme işlemini tamamlayalım.

\frac{5}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken ilk kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

3

Paydadaki çarpma işlemini işlem önceliğine uygun olarak yapalım.

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

İşlem önceliği kuralına göre çarpma işlemi çıkarma işleminden önce yap��lmalıdır.

4

Paydadaki çıkarma işlemini tamamlayalım.

1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Payda eşitleyerek çıkarma işlemini sonuçlandırırız.

5

Pay değerini payda değerine bölerek sonucu bulalım.

2 \div \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3

Pay ve payda kısımlarında elde edilen değerlerin bölünmesiyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayılarda dört işlem ve işlem önceliği

İpuçları

1

İşlem önceliğine göre, paydadaki çarpma işlemini çıkarma işleminden önce yapmalısınız.

2

Pay kısmında parantez içini tamamladıktan sonra bölme işlemini yapmak için birinci kesri aynen yazıp ikinci kesri ters çevirerek çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde işlem önceliği kuralları içeren rasyonel sayılarda çok adımlı işlemler konusunu pekiştirmek için bölme ve çarpmanın bir arada olduğu karmaşık ifadeleri çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek amacıyla, parantez içi işlemler tamamlandıktan sonra tüm kesirli ifadeleri ortak bir paydada genişleterek bölme işlemini doğrudan gerçekleştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2436Soru →

A

ve

B

kümeleri için,

s(A \setminus B) = 3

s(B \setminus A) = 4

s((A \cap B) \times (A \cup B)) = 30

olduğuna göre,

A \times B

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

12

13

24

30

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

42

Verilen fark kümeleri ve kartezyen çarpım eleman sayısı ilişkisi kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı

3

olarak belirlenir. Buradan

A

kümesinin eleman sayısı

6

,

B

kümesinin eleman sayısı

7

bulunur. Kartezyen çarpım tanımı gereği bu iki değer çarpıldığında

6 \cdot 7 = 42

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını bir değişken ile ifade edip birleşim kümesinin eleman sayısını bu değişken cinsinden yazalım.

s(A \cap B) = x

olsun. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 3 + 4 + x = 7 + x

olur.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünde kullanmak üzere birleşim kümesinin eleman sayısını kesişim kümesine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.

2

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak bir denklem kuralım.

s((A \cap B) \times (A \cup B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cup B) = 30

olduğundan,

x \cdot (7 + x) = 30

denklemi elde edilir.

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

3

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözelim.

x^2 + 7x - 30 = 0 \implies (x + 10)(x - 3) = 0

olur.

x

bir kümenin eleman sayısı olduğundan negatif olamaz (

x \geq 0

), bu yüzden

x = 3

bulunur.

Kesişim kümesinin eleman sayısını net olarak belirlemek için denklemin pozitif kökünü bulmamız gerekir.

4

A

ve

B

kümelerinin eleman sayılarını hesaplayalım.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3 + 3 = 6

ve

s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4 + 3 = 7

olarak bulunur.

Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulabilmek için ��ncelikle çarpımı oluşturan kümelerin kendi eleman sayılarını bulmalıyız.

5

A \times B

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.

s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 6 \cdot 7 = 42

elde edilir.

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir:

s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y)

.

İpuçları

1

Birleşim kümesinin eleman sayısını

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

formülüyle bulabileceğinizi hatırlayın.

2

s(A \cap B) = x

diyerek verilen kartezyen çarpım eleman sayısından yararlanıp

x

değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.

3

x(7 + x) = 30

denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini bulduktan sonra

s(A) = 3 + x

ve

s(B) = 4 + x

eşitliklerini kullanarak kümelerin eleman sayılarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin kartezyen çarpımının grafik üzerindeki gösterimi ve oluşturduğu kapalı bölgenin alanını bulma ile ilgili soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayılarını yerleştirebilirsiniz. Kesişim bölgesine

x

yazıldığında,

A

kümesinin kalan kısmına

3

,

B

kümesinin kalan kısmına

4

yazılır. Kesişim kümesinin eleman sayısı

x

, birleşim kümesinin eleman sayısı

x + 7

olur. Bu iki bölgenin eleman sayılarının çarpımı

30

olacağından, çarpımları

30

ve aralarındaki fark

7

olan pozitif tam sayıları düşünürsek bu sayıların

3

ve

10

olduğu kolayca görülür. Buradan

x = 3

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2437Soru →

Analitik düzlemde, $A(-1, b)$ ve $B(5, 2)$ noktaları arasındaki uzaklık $10$ birim olduğuna göre, $b$ sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

4

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

b sayısının alabileceği pozitif değer 10'dur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulandığında, koordinatlar farkının kareleri toplamı uzaklığın karesine eşit olur. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde b değeri -6 veya 10 olarak bulunur. Soruda pozitif değer istendiği için doğru cevap 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1

İki nokta arasındaki uzaklık formülü yazılır.

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Analitik düzlemde verilen iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için bu temel formül kullanılır.

2

Verilen koordinat değerleri formülde yerine yazılır.

\sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - b)^2} = 10

Uzaklık değeri 10 ve noktaların koordinatları formüle yerleştirilerek bilinmeyen b değerine ulaşılmaya çalışılır.

3

Elde edilen denklem çözülerek b değerleri bulunur.

6^2 + (2 - b)^2 = 100 \Rightarrow (2 - b)^2 = 64 \Rightarrow 2 - b = -8 \text{ veya } 2 - b = 8 \Rightarrow b = 10 \text{ veya } b = -6

Karesi 64 olan sayılar belirlenerek b'nin alabileceği değerler hesaplanır. Soruda pozitif değer istendiği için 10 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

Soru 2438Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{2}, & x < 3 \\ \frac{2x - 1}{3}, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, $f(f(1)) + f(f(5))$ toplam��nın değeri kaçtır?

\frac{7}{6}

\frac{4}{5}

\frac{13}{6}

\frac{5}{6}

\frac{31}{24}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{6}$

Cevap

İfadenin doğru değeri

\frac{7}{6}

'dır.

Doğru adımlar takip edildiğinde

f(f(1)) = -\frac{1}{2}

ve

f(f(5)) = \frac{5}{3}

değerleri elde edilir. Bu iki rasyonel değerin paydaları

6

paydasında eşitlenerek toplandığında sonuç

\frac{7}{6}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

f(1)

değerini hesaplayın.

1 < 3

olduğundan

f(x) = \frac{x^2 - 1}{2}

dalı kullanılır. Buradan

f(1) = \frac{1^2 - 1}{2} = 0

bulunur.

Bileşke fonksiyonun iç kısmındaki ilk değeri bulmak için.

2

f(f(1)) = f(0)

değerini hesaplayın.

0 < 3

olduğundan yine

f(x) = \frac{x^2 - 1}{2}

dalı kullanılır. Buradan

f(0) = \frac{0^2 - 1}{2} = -\frac{1}{2}

bulunur.

İlk terimin nihai değerini elde etmek için.

3

f(5)

değerini hesaplayın.

5 \ge 3

olduğundan

f(x) = \frac{2x - 1}{3}

dalı kullanılır. Buradan

f(5) = \frac{2(5) - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3

bulunur.

İkinci bileşke ifadenin iç kısmındaki değeri bulmak için.

4

f(f(5)) = f(3)

değerini hesaplayın.

3 \ge 3

olduğundan yine

f(x) = \frac{2x - 1}{3}

dalı kullanılır. Buradan

f(3) = \frac{2(3) - 1}{3} = \frac{5}{3}

bulunur.

İkinci terimin nihai değerini elde etmek için.

5

Elde edilen iki değeri toplayın.

f(f(1)) + f(f(5)) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{3} = \frac{-3 + 10}{6} = \frac{7}{6}

bulunur.

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda verilen girdinin tanım aralığına göre uygun kuralın seçilmesi ve bileşke değerlerin adım adım hesaplanması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2439Soru →

$3$ ’ün katı olan ardışık pozitif tam sayılar, birinci satırdan başlayarak ve her satırda satır numarası kadar sayı bulunacak şekilde aşağıdaki piramit düzeninde yerleştiriliyor.

\begin{matrix} & & 3 & & \\ & 6 & & 9 & \\ 12 & & 15 & & 18 \end{matrix}

Buna göre, bu sayı piramidinin $10$ . satırında yer alan en büyük sayı kaçtır?

135

138

300

165

198

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 165

Cevap

Piramidin 10. satırındaki en büyük sayı 165'tir.

10. satıra kadar olan tüm satırlardaki toplam terim sayısı

1+2+3+...+10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

adettir. Sayılar 3'ün katı olan ardışık sayılar şeklinde ilerlediğinden,

n

. terim

3n

formülüyle bulunur. Dolayısıyla, 10. satırdaki en büyük sayı, piramitteki 55. sayı olacaktır. Bu sayı da

3 \times 55 = 165

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Piramitteki satırların terim sayılarını inceleyerek 10. satırın sonuna kadar toplam kaç sayı yazıldığını bulma.

1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı vardır. Toplam sayı adedi:

1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

adettir.

10. satırın en büyük sayısı bu satırın en sağındaki sayıdır. Bu sayı da piramidin başlangıcından itibaren yazılan 55. sayıya karşılık gelir.

2

Kullanılan sayı dizisinin genel terimini belirleme.

Dizi

3, 6, 9, 12, \dots

şeklinde 3'ün katı olan sayılardan oluşur. Genel terim

a_n = 3n

şeklindedir.

Her bir terimin değerini, sırasına göre hesaplayabilmek için dizinin kuralını formülleştirmek gerekir.

3

55. terimin değerini hesaplama.

a_{55} = 3 \times 55 = 165

.

10. satırın en büyük elemanı olan 55. sayının sayısal değerini bulmak için genel terim formülünde

n = 55

yazılır.

Anahtar Kavram

Sayı piramitlerinde satır numarası ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi kurarak belirli bir adımdaki terimi bulma.

İpuçları

1

10. satırın sonuna kadar piramit içerisine toplam kaç adet sayı yazıldığını bulmaya çalışın.

2

1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı bulunduğundan, 10. satırın en büyük (yani son) sayısı, yazılan 55. sayı olacaktır.

3

Piramitteki sayılar 3, 6, 9, 12... şeklinde 3'ün katları olarak ilerlemektedir. 55. sayıyı bulmak için genel kuralı

3n

olarak kullanıp

n=55

değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 3'ün katı yerine 4'ün katı sayılarla oluşturulan bir piramitte aynı satırdaki sayıların toplamını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Piramidin her satırının en büyük sayısı sırasıyla: 3, 9, 18, 30... şeklindedir. Bu sayı dizisinin ardışık terimleri arasındaki farklar sırasıyla 6, 9, 12... olarak artmaktadır. 1. satırın en büyük sayısı 3 ise, 10. satırın en büyük sayısını bulmak için 3'ün üzerine bu farkları ekleyebiliriz:

3 + (6 + 9 + 12 + \dots + 30) = 3 + 3 \times (2 + 3 + 4 + \dots + 10) = 3 + 3 \times 54 = 165

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2440Soru →

$A$ ve $B$ birer rakamdır. Aşağıdaki çarpma işleminde $AA$ ve $7B$ iki basamaklı birer doğal sayıdır.

\begin{array}{r} AA \\ \times \quad B \\ \hline 7B \end{array}

Buna göre, $A + B$ toplamı kaçtır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Rakamların toplamı olan 8 sayısı doğru cevaptır.

Çarpma işlemi çözümlendiğinde

B(11A - 1) = 70

eşitliği kurulur.

B

ve

A

birer rakam olduğundan, 70'i bölen tek basamaklı sayılar arasından bu koşulu sağlayan tek çift

B = 7

ve

A = 1

değerleridir. Buradan toplamları 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İki basamaklı sayıları çözümleyelim.

AA = 10A + A = 11A

ve

7B = 70 + B

olarak yazılır.

Harfli ifadelerde basamak değerlerini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.

2

Verilen çarpma işlemini denklem haline getirelim.

11A \times B = 70 + B

denklemi elde edilir.

Çarpma işleminin matematiksel ifadesini oluşturmak için.

3

Denklemdeki bilinmeyenleri bir araya getirerek düzenleyelim.

11AB - B = 70 \Rightarrow B(11A - 1) = 70

olur.

Ortak paranteze alarak çarpanlarına ayırmak çözümü kolaylaştırır.

4

B

bir rakam olduğundan, 70'in tek basamaklı çarpanlarını inceleyelim.

B

rakamı 1, 2, 5 veya 7 olabilir.

B = 7

değeri için

11A - 1 = 10 \Rightarrow 11A = 11 \Rightarrow A = 1

rakamı elde edilir. Diğer çarpanlar denendiğinde

A

bir tam sayı veya rakam çıkmaz.

Hem

A

hem de

B

rakam olmalı ve

AA

iki basamaklı sayısı sıfırla başlayamayacağı için

A \neq 0

olmalıdır.

5

Bulunan rakamları toplayalım.

A + B = 1 + 7 = 8

bulunur.

Bizden istenen

A + B

toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Çözümlemesi ve Rakam Aritmetiği

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar