Examkin

Tüm alıştırma soruları

2563 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 2441Soru →
Analitik düzlemde, denklemleri
5x+12y+15=05x + 12y + 15 = 0
10x+24y−48=010x + 24y - 48 = 0
olan iki paralel doğru arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki paralel doğru arasındaki uzaklık 3 birimdir.
Verilen doğruların katsayılarını eşitlemek amacıyla ikinci doğrunun denklemi 2 ile sadeleştirildiğinde 5x+12y−24=05x + 12y - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu durumda a=5a=5, b=12b=12, c1=15c_1=15 ve c2=−24c_2=-24 olur. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d=∣15−(−24)∣52+122=3913=3d = \frac{|15 - (-24)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{39}{13} = 3 birim olarak hesaplanır. Bu nedenle doğru yanıt 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru denklemlerinin katsayılarını eşitlemek için ikinci denklemi düzenleyin.
10x+24y−48=010x + 24y - 48 = 0 denkleminin her terimi 2'ye bölünerek 5x+12y−24=05x + 12y - 24 = 0 denklemi elde edilir.
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için xx ve yy değişkenlerinin katsayılarının (aa ve bb) her iki denklemde de aynı olması gerekir.
2
Elde edilen denklemlerden katsayıları ve sabit terimleri belirleyin.
a=5a = 5, b=12b = 12, c1=15c_1 = 15 ve c2=−24c_2 = -24 olarak belirlenir.
Uzaklık formülündeki değişkenlerin yerine konulması için bu değerlere ihtiyaç vardır.
3
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak uzaklığı hesaplayın.
d=∣c1−c2∣a2+b2=∣15−(−24)∣52+122=∣39∣25+144=3913=3d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|15 - (-24)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|39|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{39}{13} = 3 olarak bulunur.
İki paralel doğru arasındaki en kısa uzaklık, sabitlerin farkının mutlak değerinin, katsayıların karelerinin toplamının kareköküne bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki uzaklık hesaplanırken öncelikle değişkenlerin katsayıları eşitlenmeli, ardından sabit terimlerin farkının mutlak değeri katsayıların kareleri toplamının kareköküne bölünmelidir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2442Soru →

Analitik düzlemde A(2,−3)A(2, -3) ve B(−4,5)B(-4, 5) noktaları veriliyor. ABAB doğrusu üzerinde;

* [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranında bölen CC noktası,
* [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} oranında bölen DD noktası

işaretleniyor. Buna göre, CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Doğru cevabın 40 olmasının nedeni, A ve B noktaları arasındaki mesafenin 10 birim olarak hesaplanmasıdır. C noktası doğru parçasını dıştan 3/5 oranında böldüğü için A noktasına daha yakındır ve A noktasından geriye doğru 15 birim uzaklıktadır. D noktası ise doğru parçasını dıştan 5/3 oranında böldüğü için B noktasına daha yakındır ve B noktasından ileriye doğru 15 birim uzaklıktadır. Bu noktalar aynı doğru üzerinde sırasıyla C, A, B, D şeklinde dizildiğinden, C ve D arasındaki toplam mesafe 15 + 10 + 15 = 40 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2,−3)A(2, -3) ve B(−4,5)B(-4, 5) noktaları arasındaki uzaklık (∣AB∣|AB|) hesaplanır.
∣AB∣=(−4−2)2+(5−(−3))2=(−6)2+82=10|AB| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10 birim olarak bulunur.
Dıştan bölme oranlarının doğru parçasının uzunluğuyla ilişkisini kurabilmek için başlangıç uzunluğunu bilmemiz gerekir.
2
CC noktasının konumunu belirlemek için ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranı kullanılır.
CC noktası AA ucuna daha yakındır ve C−A−BC - A - B sırasıyla yer alır. ∣AC∣=3k|AC| = 3k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k dersek, ∣AB∣=2k=10  ⟹  k=5|AB| = 2k = 10 \implies k = 5 olur. Buradan ∣AC∣=15|AC| = 15 birim bulunur.
Dıştan bölme oranının 1'den küçük olması, noktanın ilk harfe (A noktasına) daha yakın olduğunu gösterir.
3
DD noktasının konumunu belirlemek için ∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} oranı kullanılır.
DD noktası BB ucuna daha yakındır ve A−B−DA - B - D sırasıyla yer alır. ∣AD∣=5m|AD| = 5m ve ∣BD∣=3m|BD| = 3m dersek, ∣AB∣=2m=10  ⟹  m=5|AB| = 2m = 10 \implies m = 5 olur. Buradan ∣BD∣=15|BD| = 15 birim bulunur.
Dıştan bölme oranının 1'den büyük olması, noktanın ikinci harfe (B noktasına) daha yakın olduğunu gösterir.
4
CC ve DD noktaları arasındaki toplam uzaklık (∣CD∣|CD|) hesaplanır.
C,A,B,DC, A, B, D noktaları aynı doğru üzerinde C−A−B−DC - A - B - D sırasıyla dizilmiştir. Bu nedenle, ∣CD∣=∣CA∣+∣AB∣+∣BD∣=15+10+15=40|CD| = |CA| + |AB| + |BD| = 15 + 10 + 15 = 40 birimdir.
Tüm noktalar doğrusal olduğundan, aralarındaki uzaklıklar doğrudan toplanarak toplam mesafe elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir doğru parçasını belirli bir oranda dıştan bölen noktaların koordinatlarının artış/azalış miktarları yardımıyla veya vektörel olarak bulunması ve iki nokta arasındaki uzaklığın hesaplanması.
Soru 2443Soru →

Bir xx pozitif tam sayısı için ⟨x⟩\langle x \rangle işlemi aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

⟨x⟩={2x+1,x tek isex−3,x c¸ift ise\langle x \rangle = \begin{cases} 2x + 1, & x \text{ tek ise} \\ x - 3, & x \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, ⟨⟨5⟩⟩\langle \langle 5 \rangle \rangle işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

İşlemin sonucu 23 sayısıdır.
İçteki ⟨5⟩\langle 5 \rangle işleminde 5 sayısı tek olduğu için tek sayı kuralı uygulanarak 2⋅5+1=112 \cdot 5 + 1 = 11 bulunur. Daha sonra dıştaki işlem için ⟨11⟩\langle 11 \rangle ifadesinde 11 sayısı da tek olduğu için tekrar tek sayı kuralı uygulanır ve 2⋅11+1=232 \cdot 11 + 1 = 23 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki işlem olan ⟨5⟩\langle 5 \rangle değerini hesaplayın.
⟨5⟩=2⋅5+1=11\langle 5 \rangle = 2 \cdot 5 + 1 = 11
5 sayısı bir tek sayı olduğu için kural gereği 2x+12x + 1 ifadesi kullanılır.
2
Elde edilen sonuçla dıştaki işlemi, yani ⟨11⟩\langle 11 \rangle değerini hesaplayın.
⟨11⟩=2⋅11+1=23\langle 11 \rangle = 2 \cdot 11 + 1 = 23
İlk adımdan gelen 11 sayısı da bir tek sayı olduğu için yine 2x+12x + 1 kuralı uygulan��r.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler

İpuçları

1
İç içe geçmiş işlemlerde her zaman en içteki parantezden başlayın. Önce ⟨5⟩\langle 5 \rangle değerini bulun.
2
5 sayısı tek olduğundan üstteki kuralı (2x+12x + 1) kullanın. Çıkan sonucu dıştaki işlemde yerine koyun ve sayının tek mi çift mi olduğuna tekrar bakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurallarla tanımlanmış fakat bu kez üçlü iç içe parantez içeren veya bilinmeyen bir değere eşitlenmiş denklemleri çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 2444Soru →
Her xx gerçel sayısı için
3f(x)−f(2−x)=x2+2x3f(x) - f(2-x) = x^2 + 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Verilen fonksiyon denkleminde sırasıyla x=2x=2 ve x=0x=0 değerleri yerine yazıldığında, 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ve 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 denklemleri elde edilir. İkinci denklemden f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) olduğu görülür. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında 9f(0)−f(0)=8⇒8f(0)=8⇒f(0)=19f(0) - f(0) = 8 \Rightarrow 8f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1 bulunur. Buradan da f(2)=3(1)=3f(2) = 3(1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonda x=2x = 2 yazarak f(2)f(2) ve f(0)f(0) terimlerini içeren ilk denklemi elde edin.
3f(2)−f(0)=22+2(2)=83f(2) - f(0) = 2^2 + 2(2) = 8
f(2)f(2) değerini bulmak için öncelikle bu değeri içeren bir denklem oluşturmamız gerekir.
2
İlk denklemdeki bilinmeyen f(0)f(0) değerini bulmak amacıyla, verilen fonksiyonda bu kez x=0x = 0 yazarak ikinci denklemi elde edin.
3f(0)−f(2)=02+2(0)=03f(0) - f(2) = 0^2 + 2(0) = 0
f(2)f(2) ve f(0)f(0) bilinmeyenlerine sahip iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak.
3
İkinci denklemden f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) eşitliğini bulun ve bu eşitliği ilk denklemde yerine yazarak f(0)f(0) değerini hesaplayın.
3(3f(0))−f(0)=8⇒9f(0)−f(0)=8⇒8f(0)=8⇒f(0)=13(3f(0)) - f(0) = 8 \Rightarrow 9f(0) - f(0) = 8 \Rightarrow 8f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1
Denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek bilinmeyen değerlerden birini belirlemek.
4
Bulunan f(0)=1f(0) = 1 değerini f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) eşitliğinde yerine yazarak f(2)f(2) değerine ulaşın.
f(2)=3(1)=3f(2) = 3(1) = 3
Soruda bizden istenen nihai fonksiyon değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyon denkleminde uygun değerler yerine yazılıp elde edilen denklemlerin ortak çözülmesiyle bilinmeyen fonksiyon değerinin bulunması.

İpuçları

1
Soruda istenen f(2)f(2) değerini elde etmek için öncelikle verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak bir denklem kurun.
2
x=2x=2 yazdığınızda ortaya çıkan f(0)f(0) bilinmeyenini bulabilmek için bu kez eşitlikte xx yerine 00 yazıp yeni bir denklem daha elde edin.
3
Elde ettiğiniz 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ve 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 denklemlerini iki bilinmeyenli denklem sistemi olarak ortak çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yöntemle çözülen, içinde f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x) veya f(−x)f(-x) barındıran fonksiyonel denklem sorularını çözerek bu pratik yaklaşımı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İkinci denklem olan 3f(0)−f(2)=03f(0) - f(2) = 0 eşitliğini 33 ile çarparak 9f(0)−3f(2)=09f(0) - 3f(2) = 0 elde edebiliriz. Bu denklemi ilk denklem olan 3f(2)−f(0)=83f(2) - f(0) = 8 ile taraf tarafa topladığımızda, 3f(2)3f(2) terimleri birbirini götürür ve doğrudan 8f(0)=8⇒f(0)=18f(0) = 8 \Rightarrow f(0) = 1 sonucuna ulaşabiliriz. Ardından f(2)=3f(0)f(2) = 3f(0) bağıntısından f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2445Soru →

3 evli çift, yan yana bulunan 6 koltuğa yan yana oturacaktır. Her evli çiftin eşleri yan yana olmak şartıyla, hiçbir iki kadının yan yana gelmediği kaç farklı oturma düzeni vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24
Doğru cevap olan yirmi dört değeri; 3 çiftin kendi aralarındaki 3!=63! = 6 farklı sıralaması ile hiçbir iki kadının yan yana gelmediği 4 geçerli cinsiyet diziliminin çarpımıyla elde edilir (6×4=246 \times 4 = 24).

Adım Adım Çözüm

1
Her evli çifti birer grup olarak ele alalım ve bu 3 grubun kendi aralarındaki sıralama sayısını hesaplayalım.
3!=63! = 6 farklı sıralama
Eşlerin yan yana oturması istendiğinden her çift tek bir eleman gibi hareket eder.
2
Kadınları K, erkekleri E ile göstererek her grubun kendi içindeki cinsiyet sıralamasını inceleyelim.
Her grup için 2 seçenek (KE veya EK)
Her çift kendi içinde 2 farklı şekilde sıralanabilir.
3
Hiçbir iki kadının yan yana gelmeme koşuluna göre olası 8 cinsiyet dizilimini (23=82^3 = 8) filtreleyelim. İki kadının yan yana gelmesi ancak bir grubun EK şeklinde bitip ardındaki grubun KE şeklinde başlamasıyla (...EK, KE...) mümkündür.
4 geçerli dizilim: (KE, KE, KE), (KE, KE, EK), (KE, EK, EK), (EK, EK, EK)
EK-KE ardışıklığı içeren diğer 4 dizilimde (örneğin KE, EK, KE) iki kadın yan yana gelmiş olur.
4
Geçerli cinsiyet dizilim sayısı ile grupların kendi aralarındaki sıralama sayısını çarparak toplam oturma düzeni sayısını bulalım.
4×3!=4×6=244 \times 3! = 4 \times 6 = 24
Her geçerli cinsiyet dizilimi için çiftler kendi aralarında 3!3! farklı şekilde sıralanabilir.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve gruplama yöntemi

İpuçları

1
Her çifti tek bir eleman gibi düşünerek önce 3 grubun kendi arasındaki sıralanışını (3!3!) bulun.
2
Her çiftin kendi içindeki dizilimi (KE veya EK) için 8 olası durumdan hangilerinde iki kadının yan yana geldiğini analiz edin.
3
İki kadının yan yana gelmesi sadece bir grubun EK (Erkek-Kadın) ile bitip sonraki grubun KE (Kadın-Erkek) ile başlaması durumunda gerçekleşir. Bu geçişi içermeyen durumları sayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 4 evli çiftin aynı kurallarla yan yana dizilmiş 8 koltuğa kaç farklı şekilde oturabileceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası oturma düzenlerinin sayısından (3!×23=483! \times 2^3 = 48), en az iki kadının yan yana oturduğu istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2446Soru →

Bir kütüphaneden kitap ödünç alan 7575 okuyucunun tarih ve bilim kurgu kitaplarını tercih etme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yalnızca tarih kitabı ödünç alanların sayısı, her iki türden de kitap almayanların sayısının 44 katıdır.
* Bilim kurgu kitabı ödünç alanların sayısı, tarih kitabı ödünç almayanların sayısının 22 katıdır.
* Her iki türden de kitap alanların sayısı, yalnızca bilim kurgu kitabı alanların sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu kütüphaneden tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı 50'dir.
Tarih kitabı alan okuyucu sayısı, yalnızca tarih kitabı alanlar (2020) ile her iki kitaptan da alanların (3030) toplamı olan 5050'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme bileşenlerini değişkenlerle ifade etme.
Tarih kitabı alanları TT, Bilim Kurgu alanları BB ile gösterelim. Dört ayrık bölge tanımlayalım:
* aa: Yalnızca Tarih alanlar (T∖BT \setminus B)
* bb: Yalnızca Bilim Kurgu alanlar (B∖TB \setminus T)
* cc: Her ikisini de alanlar (T∩BT \cap B)
* dd: Hiçbirini almayanlar (T′∩B′T' \cap B')
Toplam okuyucu sayısı: a+b+c+d=75a + b + c + d = 75 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için her bir küme bölgesini ayrı bir değişkenle temsil etmemiz gerekir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma.
* Birinci bilgiye göre: a=4da = 4d
* İkinci bilgiye göre: Bilim kurgu alanlar (b+cb+c), tarih almayanların (b+db+d) 2 katıdır:
b+c=2(b+d)  ⟹  b+c=2b+2d  ⟹  c=b+2db + c = 2(b + d) \implies b + c = 2b + 2d \implies c = b + 2d
* Üçüncü bilgiye göre: c=b+10c = b + 10
Problemin çözümünü sağlayan bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için denklem sistemini oluşturuyoruz.
3
Denklem sistemini çözerek bilinmeyenleri bulma.
c=b+2dc = b + 2d ve c=b+10c = b + 10 eşitliklerinden:
b+2d=b+10  ⟹  2d=10  ⟹  d=5b + 2d = b + 10 \implies 2d = 10 \implies d = 5 bulunur.
d=5d = 5 ise a=4d=4×5=20a = 4d = 4 \times 5 = 20 olur.
Toplam denkleminde yerine yazarsak:
a+b+c+d=75  ⟹  20+b+(b+10)+5=75  ⟹  2b+35=75  ⟹  2b=40  ⟹  b=20a + b + c + d = 75 \implies 20 + b + (b + 10) + 5 = 75 \implies 2b + 35 = 75 \implies 2b = 40 \implies b = 20 bulunur.
Buradan c=b+10=20+10=30c = b + 10 = 20 + 10 = 30 elde edilir.
Ende edilen eşitlikleri birbirinin yerine koyarak her bir bölgedeki okuyucu sayısını hesaplıyoruz.
4
Tarih kitabı alanların toplam sayısını hesaplama.
Tarih kitabı alan toplam okuyucu sayısı:
s(T)=a+c=20+30=50s(T) = a + c = 20 + 30 = 50 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen tarih kitabı alanların toplam sayısı, yalnızca tarih alanlar ile her iki kitabı da alanların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

İki kümenin kesişimi, farkı ve tümleyeni kullanılarak kurulan sözel problemleri denklem sistemine dönüştürüp çözme.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek bölgeler harflendirilir. Soruda verilen tüm oranlar şema üzerine yerleştirildikten sonra bilinmeyenler sırayla elenerek doğrudan tarih kümesinin sınırları içerisindeki toplam eleman sayısı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2447Soru →

Bir kütüphanede 55 farklı roman ve 44 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bir öğrenci, bu kitaplar arasından en az 22 tanesi roman olmak üzere toplam 33 kitap seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci kitap seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

En az iki romanın bulunduğu durumların toplam sayısı olan 50
En az 2 roman seçilmesi istendiği için iki farklı durum mevcuttur. İlk durum, 5 romandan 2'sinin ve 4 tarih kitabından 1'inin seçilmesidir ki bu (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 farklı yol sunar. İkinci durum ise 5 romandan 3'ünün seçilmesidir ki bu da (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı yol sunar. Bu iki alternatif durumun toplamı 40+10=5040 + 10 = 50 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
En az 2 roman seçilmesi koşuluna uygun olası durumları belirlemek.
Seçim 2 farklı durumda gerçekleşebilir: (2 Roman ve 1 Tarih kitabı) veya (3 Roman).
Toplam 3 kitap seçilecektir ve bu kitaplardan en az 2'sinin roman olması istenmektedir.
2
2 roman ve 1 tarih kitabının seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(52)×(41)=10×4=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 2 roman ve 4 tarih kitabı arasından 1 tarih kitabı seçilir. Bu seçimler bağımsız ve eş zamanlı olduğundan çarpılır.
3
3 romanın seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(53)×(40)=10×1=10\binom{5}{3} \times \binom{4}{0} = 10 \times 1 = 10 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 3 roman seçilir ve hiç tarih kitabı seçilmez.
4
Bulunan durum sayılarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını elde etmek.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı şekilde seçim yapılabilir.
Belirlenen iki durum birbirinin alternatifi (ayrık olaylar) olduğu için durum sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Kuralları

İpuçları

1
En az 2 roman seçimi, ya tam olarak 2 roman ya da 3 roman seçilebileceği anlamına gelir.
2
Her iki durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalı ve bu durumları toplamalısınız.
3
5 romandan 2 ve 4 tarih kitabından 1 seçimi için (52)×(41)\binom{5}{2} \times \binom{4}{1}, 5 romandan 3 seçimi için ise (53)\binom{5}{3} kombinasyonunu kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, en az bir tarih kitabının seçilmesi koşuluyla oluşturulabilecek grupların sayısını hesaplayarak kombinasyon mantığınızı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası 3 kitap seçimlerinden, içinde hiç roman olmayan veya sadece 1 roman olan durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tüm durumlar: (93)=84\binom{9}{3} = 84. Hiç roman olmama durumu (3 tarih kitabı): (43)=4\binom{4}{3} = 4. Sadece 1 roman olma durumu (1 roman, 2 tarih kitabı): (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30. İstenmeyen durumlar toplamı: 4+30=344 + 30 = 34. Sonuç: 84−34=5084 - 34 = 50 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2448Soru →
Her nn pozitif tam sayısı için tanımlı bir ff fonksiyonu
f(n+1)−f(n)=1n2+nf(n+1) - f(n) = \frac{1}{n^2 + n}
bağıntısın�� sağlamaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 114\frac{11}{4}

Cevap

114\frac{11}{4}
Fonksiyonun ardışık terimleri arasındaki farkları veren bağıntı adım adım kullanıldığında f(4)=114f(4) = \frac{11}{4} değeri elde edilir. Alternatif olarak, bağıntı f(n+1)−f(n)=1n−1n+1f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde yazılarak taraf tarafa toplandığında f(4)−f(1)=1−14=34f(4) - f(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan f(4)=2+34=114f(4) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için bağıntıda yerine yazarak f(2)f(2) değerini bulalım.
f(2)−f(1)=11(2)⇒f(2)−2=12⇒f(2)=52f(2) - f(1) = \frac{1}{1(2)} \Rightarrow f(2) - 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f(2) = \frac{5}{2}
Bağıntıda bir sonraki terimi elde etmek için başlangıç terimi kullanılır.
2
n=2n = 2 için bağıntıda yerine yazarak f(3)f(3) değerini bulalım.
f(3)−f(2)=12(3)⇒f(3)−52=16⇒f(3)=156+16=166=83f(3) - f(2) = \frac{1}{2(3)} \Rightarrow f(3) - \frac{5}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow f(3) = \frac{15}{6} + \frac{1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}
Bir önceki adımda elde edilen değer yerine yazılarak zincirleme işlem devam ettirilir.
3
n=3n = 3 için bağıntıda yerine yazarak f(4)f(4) değerini elde edelim.
f(4)−f(3)=13(4)⇒f(4)−83=112⇒f(4)=3212+112=3312=114f(4) - f(3) = \frac{1}{3(4)} \Rightarrow f(4) - \frac{8}{3} = \frac{1}{12} \Rightarrow f(4) = \frac{32}{12} + \frac{1}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4}
Son adımda aranan f(4)f(4) değerine ulaşmak için hesaplamalar tamamlanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma (Teleskopik Toplam)

İpuçları

1
Soruyu çözmek için n=1n = 1, n=2n = 2 ve n=3n = 3 değerlerini sırasıyla bağıntıda yerine yazarak adım adım ilerleyebilirsiniz.
2
Bağıntıyı f(n+1)−f(n)=1n(n+1)f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n(n+1)} şeklinde düzenleyip taraf tarafa toplamayı deneyin.
3
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} basit kesirlere ayırma özdeşliğini kullanarak terimlerin birbirini götürmesini sağlayabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde tanımlanan çarpımsal (teleskopik çarpım) fonksiyon sorularını inceleyerek bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(n+1)−f(n)=1n−1n+1f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde yazılabilir. n=1,2,3n=1, 2, 3 için bu eşitlikleri alt alta yazıp toplarsak:
(f(2)−f(1))+(f(3)−f(2))+(f(4)−f(3))=(1−12)+(12−13)+(13−14)(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + (f(4)-f(3)) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})
Sol tarafta ortadaki terimler, sağ tarafta ise aradaki kesirler birbirini sadeleştirir:
f(4)−f(1)=1−14=34f(4) - f(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
f(1)=2f(1) = 2 olduğundan, f(4)=2+34=114f(4) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2449Soru →

Bir dil bilimci, geliştirdiği kodlama sisteminde her harfi sıfırdan farklı birer rakamla eşleştirmiştir. Bu sisteme göre yazılan KALE, LALE, LEKE ve KARE sözcüklerinin kodları karışık bir sırayla verilmiştir:

* 27972797
* 95479547
* 25272527
* 95279527

Buna göre, KARE sözcüğünün kodu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95479547

Cevap

KARE sözcüğünün kodu 9547 sayısıdır.
KARE sözcüğündeki harflerin kodları incelendiğinde; LALE sözcüğünün birinci ve üçüncü harfleri aynı olduğundan bu kelimenin kodu, birinci ve üçüncü basamakları aynı olan 2527 sayısıdır. Buradan L = 2, A = 5 ve E = 7 bulunur. LEKE kelimesinin ilk harfi L (2) ve son harfi E (7) olduğundan kodu 2797'dir ve bu da K = 9 olduğunu gösterir. KARE kelimesi K (9) ve A (5) ile başlayıp E (7) ile bittiği için kodunun 9547 olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
LALE sözcüğünün harf yapısı incelenerek L, A ve E harflerinin rakam karşılıkları bulunur.
LALE sözcüğünün birinci ve üçüncü harfleri aynıdır (LL harfi). Verilen kodlar içerisinde birinci ve üçüncü basamakları aynı olan tek sayı 25272527'dir. Bu durumda L=2L = 2, A=5A = 5 ve E=7E = 7 olarak belirlenir.
Tekrarlanan harf düzeninden yararlanarak temel harflerin sayısal değerlerini tespit etmek.
2
Bulunan değerler yardımıyla LEKE sözcüğünün kodu tespit edilerek K harfinin rakam karşıl��ğı bulunur.
LEKE sözcüğü LL (22) ile başlayıp EE (77) ile bittiğinden ve ikinci ile dördüncü harfleri EE (77) olduğundan, kodu 27972797 sayısı olmalıdır. Buradan K=9K = 9 olduğu anlaşılır.
K harfinin sayısal değerini bularak KARE sözcüğünün kodunu oluşturacak diğer harfleri netleştirmek.
3
KARE sözcüğünün kodu elde edilir.
KARE sözcüğü KK (99), AA (55) ve EE (77) harflerini içerdiği için kodunun şablonu 95_795\_7 biçiminde olmalıdır. Kalan kodlar arasında bu şablona uyan tek sayı 95479547'dir. Buradan R=4R = 4 olduğu da görülür.
Bulunan harf-rakam eşleştirmelerini birleştirerek KARE sözcüğünün kodunu doğrulamak.

Anahtar Kavram

Sözcüklerdeki harf tekrarları ile kodlardaki rakam tekrarlarını eşleştirerek harf-rakam tablosu oluşturma.
Tahmini Süre:45s
Soru 2450Soru →

Bir şifreleme sisteminde YAKA, KAYA, KASA ve YASA sözcükleri karışık olarak 3525, 3575, 7525 ve 7535 sayılarıyla şifrelenmiştir.

Buna göre, YAKA sözcüğünün şifresi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3575

Cevap

3575 sayısı
YASA ve YAKA kelimeleri 'Y' harfi ile başladığından şifreleri de aynı rakamla başlamalıdır. Şifreler arasında 3 ile başlayan iki sayı (3525 ve 3575) vardır, bu yüzden Y = 3'tür. YAKA kelimesinin üçüncü harfi 'K'dir. K harfi ile başlayan KAYA ve KASA kelimelerinin şifreleri (7535 ve 7525) 7 ile başladığı için K = 7 olur. Bu durumda YAKA kelimesinin şifresinin ilk rakamı 3, üçüncü rakamı ise 7 olmalıdır. Seçenekler arasında bu kurala uyan sayı 3575'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Kelimelerin ilk harflerine göre şifrelerin ilk hanelerini gruplandırma.
YAKA ve YASA kelimeleri 'Y' harfi ile; KAYA ve KASA kelimeleri ise 'K' harfi ile başlamaktadır. Şifre sayılarından ikişer tanesi '3' (3525, 3575) ve '7' (7525, 7535) ile başlamaktadır. Buradan Y = 3 ve K = 7 eşleşmesi elde edilir.
İlk harflerin temsil ettiği rakamları belirlemek amacıyla.
2
YAKA kelimesinin olası şifrelerini filtreleme.
YAKA kelimesinin ilk harfi Y (3) olduğundan, şifresi 3525 veya 3575 sayılarından biri olmalıdır.
Seçenekleri daraltıp doğrudan sonuca ulaşabilmek için.
3
Kelimedeki üçüncü harfin değerini kullanarak doğru şifreyi kesinleştirme.
YAKA kelimesinin üçüncü harfi K'dir. Birinci adımda K = 7 olarak bulunmuştu. Bu durumda şifrenin ü��üncü hanesi 7 olmalıdır. 3525 ve 3575 sayılarından üçüncü hanesi 7 olan sayı 3575'tir. Dolayısıyla YAKA = 3575'tir.
Kalan iki seçenek arasından doğru şifreyi ayırt etmek için.

Anahtar Kavram

Sözcük şifreleme sorularında harflerin kelime içindeki konumlarına ve tekrarlanma durumlarına göre gruplandırma yapılması.
Soru 2451Soru →

Türk alfabesindeki 2929 harfin sırası aşağıda verilmiştir:

A, B, C, C¸, D, E, F, G, G˘, H, I, I˙, J, K, L, M, N, O, O¨, P, R, S, S¸, T, U, U¨, V, Y, Z\text{A, B, C, Ç, D, E, F, G, Ğ, H, I, İ, J, K, L, M, N, O, Ö, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z}

Bir şifreleme sisteminde, bir sözcüğün harfleri soldan sağa doğru sırasıyla taranır. Sözcüğün nn. sıradaki harfi, alfabedeki sırasından nn sonraki harfle değiştirilerek şifrelenir. Eğer kaydırma sırasında alfabenin sonuna gelinirse tekrar alfabenin başına (AA harfine) dönülür.

Örneğin; bu şifreleme sisteminde YAZAR sözcüğü ZCCDÜ olarak şifrelenir.

Buna g��re, bu şifreleme sisteminde şifrelenmiş hâli LCOHR olan beş harfli sözcük aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: KALEM

Cevap

KALEM
Şifreli sözcüğün harflerinin alfabedeki sıra numaralarından kelimedeki konum numaralarını (nn) çıkardığımızda sırasıyla K, A, L, E, M harflerini temsil eden 14, 1, 15, 6, 16 sayılarını elde ederiz. Bu harfler birleştirildiğinde doğru cevap olan 'KALEM' sözcüğüne ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Şifreli sözcüğün harflerinin alfabedeki sıra numaralarını bulma
L = 15, C = 3, O = 18, H = 10, R = 21
Şifre çözme işlemini sayısal olarak gerçekleştirebilmek için harflerin konumlarını belirleriz.
2
Her bir harfin sırasından, kelimedeki konumunu (nn) çıkarma
1. harf için 15−1=1415 - 1 = 14, 2. harf için 3−2=13 - 2 = 1, 3. harf için 18−3=1518 - 3 = 15, 4. harf için 10−4=610 - 4 = 6, 5. harf için 21−5=1621 - 5 = 16
Şifreleme işleminde harfler nn kadar ileri kaydırıldığı için, şifreyi çözerken nn kadar geri gitmemiz gerekir.
3
Bulunan sayıların alfabedeki karşılıklarını tespit etme
14 -> K, 1 -> A, 15 -> L, 6 -> E, 16 -> M
Sayısal değerleri tekrar harfe dönüştürerek orijinal sözcüğü elde ederiz.
4
Harfleri birleştirerek orijinal sözcüğü oluşturma
KALEM
Elde edilen harfler sırasıyla yan yana getirilerek anlamlı kelime oluşturulur.

Anahtar Kavram

İleri ve geri kaydırma mantığına dayalı değişken anahtarlı sözcük şifreleme ve şifre çözme işlemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2452Soru →

Dik koordinat sisteminde P(3,−4)P(3, -4) noktası veriliyor. Bu noktanın yy-eksenine göre simetriği BB noktası, xx-eksenine göre simetriği ise CC noktasıdır.

Buna göre, BB ve CC noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

B ve C noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.
Verilen P(3,−4)P(3, -4) noktasının yy-eksenine göre simetriği olan BB noktasının koordinatları B(−3,−4)B(-3, -4)'tür. xx-eksenine göre simetriği olan CC noktasının koordinatları ise C(3,4)C(3, 4)'tür. Bu iki nokta arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle (3−(−3))2+(4−(−4))2=62+82=10\sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
P(3,−4)P(3, -4) noktasının eksenlere göre simetriklerini bularak BB ve CC noktalarının koordinatlarını belirleyin.
B(−3,−4)B(-3, -4) ve C(3,4)C(3, 4)
Bir noktanın yy-eksenine göre simetriği alınırken xx-koordinatının işareti değişir; xx-eksenine göre simetriği alınırken ise yy-koordinatının işareti değişir.
2
B(−3,−4)B(-3, -4) ve C(3,4)C(3, 4) noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak hesaplayın.
10
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} şeklindedir. Buradan d=(3−(−3))2+(4−(−4))2=62+82=100=10d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 bulunur.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde noktaların eksenlere göre simetriği ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.

İpuçları

1
Öncelikle P(3,−4)P(3, -4) noktasının xx ve yy eksenlerine göre simetriği olan BB ve CC noktalarının koordinatlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde bir noktanın orijine göre simetriğini bulup aralarındaki uzaklığı hesaplama alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bir noktanın xx ve yy eksenlerine göre simetrikleri olan noktalar, orijine göre birbirinin simetriğidir. Dolayısıyla BB ve CC noktalarının orta noktası orijindir. Bu durumda BB ve CC arasındaki uzaklık, PP noktasının orijine olan uzaklığının 2 katıdır. P(3,−4)P(3,-4) noktasının orijine uzaklığı 5 birim olduğundan, uzaklık 2×5=102 \times 5 = 10 birimdir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2453Soru →

Analitik düzlemde, birinci bölgede yer alan, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi orijinde olan bir karenin alanı 36 birimkare36\text{ birimkare}'dir. Bu karenin alanını iki eş bölgeye ayıran ve A(2,8)A(2, 8) noktasından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −5-5

Cevap

Karenin alanını iki eş parçaya bölen doğrunun eğimi −5-5 olmalıdır.
Karenin alanını iki eş parçaya bölen herhangi bir doğru, karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerinin kesişim noktasından) geçmek zorundadır. Karenin köşeleri O(0,0)O(0,0), P(6,0)P(6,0), R(6,6)R(6,6) ve S(0,6)S(0,6) olduğundan, ağırlık merkezi bu noktaların orta noktası olan G(3,3)G(3,3) noktasıdır. G(3,3)G(3,3) ve A(2,8)A(2,8) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise m=3−83−2=−5m = \frac{3-8}{3-2} = -5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin kenar uzunluğunun bulunması
Birinci bölgede yer alan ve alanı 36 birimkare36\text{ birimkare} olan karenin bir kenar uzunluğu 36=6 birim\sqrt{36} = 6\text{ birim} olarak bulunur.
Karenin koordinat düzlemindeki yerleşimini ve köşelerinin koordinatlarını belirlemek için kenar uzunluğuna ihtiyaç duyulur.
2
Karenin köşe koordinatlarının ve ağırlık merkezinin belirlenmesi
Köşeleri O(0,0)O(0,0), P(6,0)P(6,0), R(6,6)R(6,6) ve S(0,6)S(0,6) olan karenin ağırlık merkezi (köşegenlerin kesişim noktası) G(3,3)G(3,3) olarak bulunur.
Bir doğrunun karenin alanını iki eşit parçaya bölebilmesi için karenin simetri merkezi olan ağırlık merkezinden geçmesi gerekir.
3
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünün uygulanması
G(3,3)G(3,3) ve A(2,8)A(2,8) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1=3−83−2=−5m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 8}{3 - 2} = -5 olarak hesaplanır.
Doğrunun geçmesi gereken iki nokta belirlendikten sonra bu noktalar kullanılarak doğrunun eğimi bulunur.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin (kare, dikdörtgen, paralelkenar vb.) alanını iki eşit parçaya bölen doğrular, bu şeklin ağırlık merkezinden geçer. İki noktası bilinen doğrunun eğimi ise ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla bulunur.
Soru 2454Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta işlemi,
aΔb=2a+3ba \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b
biçiminde tanımlanıyor.
(xΔ2)=16(x \mathbin{\Delta} 2) = 16
olduğuna göre, xx kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İşlemin doğru uygulanmasıyla elde edilen xx değeri 5'tir.
Tanımlanan aΔb=2a+3ba \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b işleminde aa yerine xx ve bb yerine 22 yazıldığında 2x+3(2)=162x + 3(2) = 16 denklemi elde edilir. Bu denklemi düzenlediğimizde 2x+6=162x + 6 = 16 ve buradan 2x=102x = 10 elde edilerek x=5x = 5 bulunur. Dolayısıyla doğru değer 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlem kuralında değişkenleri yerlerine yerleştirin.
xΔ2=2x+3(2)x \mathbin{\Delta} 2 = 2x + 3(2)
aΔb=2a+3ba \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b tanımında birinci bileşen olan aa yerine xx, ikinci bileşen olan bb yerine ise 22 yazılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi düzenleyin ve verilen eşitliğe eşitleyin.
2x+6=162x + 6 = 16
3⋅2=63 \cdot 2 = 6 çarpımı yapılarak denklem sadeleştirilir ve işlemin sonucu olan 16 değerine eşitlenir.
3
Oluşan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek xx değerini bulun.
2x=10⇒x=52x = 10 \Rightarrow x = 5
Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkarılır ve ardından her iki taraf 2'ye bölünerek bilinmeyen xx yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde değişkenleri kurala göre doğru sırada yerleştirip denklem çözme
Tahmini Süre:45s
Soru 2455Soru →
AA ve BB kümeleri için,
s(A∪B)=5⋅s(A∩B)s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B)
s(A∖B)=14s(A \setminus B) = 14
olduğuna göre, B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Kümelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı ve tam sayı olması gerektiği kurallarından yola çıkılarak s(A∩B)=xs(A \cap B) = x ve s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y için y=4x−14y = 4x - 14 denklemi elde edilir. yy değerinin en az sıfır olabilmesi için xx en az 4 olmalıdır. Buradan yy en az 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Küme eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için değişken tanımlama.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x ve s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y olsun. Bu durumda soruda verilen orana göre s(A∪B)=5xs(A \cup B) = 5x olur.
Kümeler arasındaki ilişkileri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.
2
Verilen de��erleri birleşim kümesi formülünde yerine koyarak düzenleme yapma.
Kümelerde birleşim formülü s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında:
5x=14+y+x5x = 14 + y + x
4x=14+y4x = 14 + y
y=4x−14y = 4x - 14
elde edilir.
B∖AB \setminus A kümesinin eleman sayısını (yy), kesişim kümesinin eleman sayısı (xx) cinsinden ifade etmek için.
3
Eleman sayısının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarını uygulama.
Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından y≥0y \geq 0 olmalıdır. Ayrıca eleman sayıları birer tam sayı olmalıdır.
4x−14≥0  ⟹  4x≥14  ⟹  x≥3,54x - 14 \geq 0 \implies 4x \geq 14 \implies x \geq 3,5
Bu koşulu sağlayan en küçük xx tam sayısı 44 olarak belirlenir.
Gerçekçi küme koşullarını sağlayarak en küçük eleman sayısına ulaşmak için.
4
Bulunan en küçük kesişim eleman sayısını kullanarak fark kümesinin eleman sayısını hesaplama.
x=4x = 4 değeri için:
y=4(4)−14=16−14=2y = 4(4) - 14 = 16 - 14 = 2
bulunur.
B∖AB \setminus A kümesinin alabileceği en küçük eleman sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri Arasındaki İlişkiler
Soru 2456Soru →

Bir düzlemde kesişen iki doğrudan birinin üzerinde kesim noktası dahil 55 farklı nokta, diğerinin üzerinde ise kesim noktası dahil 44 farklı nokta işaretleniyor.

Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

En çok 42 farklı üçgen oluşturulabilir.
Kesişim noktası ortak olduğundan toplamda 8 nokta vardır. Tüm 3'lü seçimlerin sayısından (56), aynı doğru üzerindeki doğrusal noktaların 3'lü seçimleri (10 ve 4) çıkarıldığında 42 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını belirleme
Kesişen iki doğru üzerinde toplam 5+4−1=85 + 4 - 1 = 8 farklı nokta bulunur.
Kesişim noktası her iki doğru için de ortak olduğundan iki kez sayılmamalıdır.
2
Doğrusal olmayan noktaların oluşturacağı üçgen sayısı için genel kombinasyon formülünü uygulama
Seçilebilecek tüm 3'lü nokta gruplarının sayısı (83)=56\binom{8}{3} = 56 olarak bulunur.
Herhangi 3 nokta seçilerek bir üçgen oluşturulması hedeflenir.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan doğrusal noktaları çıkarma
İlk doğru üzerindeki 5 noktadan üçgen oluşturmayan durumlar (53)=10\binom{5}{3} = 10, ikinci doğru üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşturmayan durumlar (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür.
Doğrusal noktalar üçgen oluşturamaz.
4
Toplam durumdan doğrusal olan durumları çıkarma
56−10−4=4256 - 10 - 4 = 42
Oluşturulabilecek gerçek üçgen sayısını bulmak için tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında doğrusal noktaların üçgen oluşturamayacağı kuralı ve kesişim noktalarının ortak sayılması.
Soru 2457Soru →

Analitik düzlemde, köşeleri A(1,2)A(1, 2) ve B(5,−1)B(5, -1) olan bir ABCABC üçgeninin CC köşesi y=3y = 3 doğrusu üzerindedir. ABCABC üçgeninin alanı 1010 birimkare olduğuna göre, CC noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −7-7

Cevap

−7-7
Üçgenin alanı 1010 birimkare ve taban uzunluğu ∣AB∣=5|AB| = 5 birim olduğundan, CC köşesinin ABAB doğrusuna olan dik uzaklığı 44 birim olmalıdır. ABAB doğrusunun denklemi 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 olarak bulunur. C(k,3)C(k, 3) noktasının bu doğruya olan dik uzaklığı formülü uygulandığında ∣3k+1∣=20|3k+1| = 20 eşitliğine ulaşılır. Buradan 3k+1=−203k+1 = -20 durumu incelendiğinde k=−7k = -7 apsis değeri elde edilir. Bu değer seçeneklerde yer alan doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
A(1,2)A(1, 2) ve B(5,−1)B(5, -1) noktalarından geçen ABAB doğrunun denklemini ve [AB][AB] kenarının uzunluğunu bulun.
Eğim m=−1−25−1=−34m = \frac{-1 - 2}{5 - 1} = -\frac{3}{4} olup doğru denklemi 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 ve taban uzunluğu ∣AB∣=(5−1)2+(−1−2)2=5|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = 5 birim olarak elde edilir.
Üçgenin alanından faydalanarak CC köşesinin bu tabana ait yüksekliğini bulmak amacıyla taban uzunluğuna ve doğrunun genel denklemine ihtiyaç duyulur.
2
Üçgenin alan formülünü kullanarak CC noktasının ABAB doğrusuna olan dik uzaklığını (hh) hesaplayın.
Alan(ABC)=∣AB∣⋅h2⇒10=5⋅h2⇒h=4\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot h}{2} \Rightarrow 10 = \frac{5 \cdot h}{2} \Rightarrow h = 4 birim bulunur.
Alanı ve taban uzunluğu bilinen üçgende yüksekliği belirlemek için temel alan formülü uygulanır.
3
CC noktasının koordinatlarını C(k,3)C(k, 3) olarak belirleyip noktanın doğruya uzaklığı formülünü uygulayın.
4=∣3(k)+4(3)−11∣32+42⇒4=∣3k+1∣5⇒∣3k+1∣=204 = \frac{|3(k) + 4(3) - 11|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \Rightarrow 4 = \frac{|3k + 1|}{5} \Rightarrow |3k + 1| = 20 elde edilir.
CC noktası y=3y=3 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları C(k,3)C(k, 3) şeklindedir. Noktanın doğruya olan dik uzaklığı formülü yardımıyla kk değişkenine bağlı mutlak değerli bir eşitlik oluşturulur.
4
Elde edilen mutlak değerli denklemi çözerek olası kk değerlerini hesaplayın.
3k+1=20⇒k=1933k + 1 = 20 \Rightarrow k = \frac{19}{3} veya 3k+1=−20⇒k=−73k + 1 = -20 \Rightarrow k = -7 bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifade hem pozitif hem de negatif değerlere eşitlenerek olası tüm apsis değerleri tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı, noktanın koordinatlarının doğrunun genel denkleminde (ax+by+c=0ax+by+c=0) yerine yazılıp mutlak değerinin alınması ve doğrunun katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.
Soru 2458Soru →

Birim karelerden oluşan bir tel örgü panelinde, yatayda 44 adet ve dikeyde 55 adet birim kare yan yana getirilerek büyük bir dikdörtgen oluşturulmuştur. Bu tel örgünün tüm birim karelerinin köşe noktalarında (kesişim yerlerinde) birer bağlantı vidası bulunmaktadır. Buna göre, bu tel örgü panelinde toplam kaç adet bağlantı vidası vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Toplam bağlantı vidası sayısı 30'dur.
Izgaradaki yatayda yatan 44 birim kareyi sınırlandıran 55 adet dikey doğru, dikeyde yatan 55 birim kareyi sınırlandıran ise 66 adet yatay doğru vardır. Bu doğruların kesişim yerleri tel örgünün tüm köşe noktalarını verir. Dolayısıyla toplam bağlantı vidası sayısı 5×6=305 \times 6 = 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay ve dikey doğruların sayısını belirlemek
Yatayda 44 birim kare oluşturmak için 55 adet dikey doğruya; dikeyde 55 birim kare oluşturmak için 66 adet yatay doğruya ihtiyaç vardır.
Birim karelerin köşe noktaları, bu yatay ve dikey doğruların kesişim noktalarıdır.
2
Doğruların kesişim noktalarının toplam sayısını çarparak hesaplamak
5×6=305 \times 6 = 30 kesişim noktası (bağlantı vidası) elde edilir.
MM adet dikey doğru ile NN adet yatay doğrunun kesişim noktası sayısı M×NM \times N formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Dikdörtgen ızgara sistemlerinde çizgi sayısı ile köşe/kesişim noktası sayısı arasındaki ilişki

İpuçları

1
Bir dikdörtgen ızgarada yan yana duran karelerin köşe noktalarını bulurken yatay ve dikey çizgi sayılarını belirleyin.
2
Yatayda 44 kare oluşturmak için yan yana 55 adet dikey çizgi çekilmelidir. Benzer şekilde dikeyde 55 kare için kaç çizgi çekileceğini düşünün.
3
Yatayda 55 dikey doğru, dikeyde ise 66 yatay doğru bulunur. Bu doğruların kesişim sayısı toplam vida sayısına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Yatayda 66, dikeyde 88 birim kareden oluşan bir ızgara panelindeki toplam köşe noktası sayısını bularak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, en dıştaki köşeleri ve içteki noktaları ayrı ayrı sayabilirsiniz: Dış çevre üzerinde 2×(4+5)=182 \times (4 + 5) = 18 adet nokta vardır. İç bölgede ise 3×4=123 \times 4 = 12 adet nokta yer alır. Toplamda 18+12=3018 + 12 = 30 bağlantı noktası elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2459Soru →
Aşağıda iki basamaklı KLKL, LMLM ve MKMK doğal sayıları ile üç basamaklı MLKMLK doğal sayısının toplama işlemi verilmiştir.
KLLM+MKMLK\begin{array}{rcc} & K & L \\ & L & M \\ + & M & K \\ \hline & M & L & K \end{array}
Buna göre, K+L+MK + L + M toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Rakamların toplamı 18 değerine eşittir.
Toplama işleminin basamak çözümlemesi yapıldığında KL=89MKL = 89M eşitliği elde edilir. KLKL iki basamaklı bir sayı olduğundan ve MM sıfırdan farklı bir rakam olduğundan MM sadece 1 olabilir. Buradan K=8K=8 ve L=9L=9 bulunur. Toplamları ise 18 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplama işlemindeki iki ve üç basamaklı sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.
KL=10K+LKL = 10K + L, LM=10L+MLM = 10L + M, MK=10M+KMK = 10M + K ve MLK=100M+10L+KMLK = 100M + 10L + K olarak yazılır.
Sayıları çözümleyerek aralar��ndaki cebirsel ilişkiyi kurmak için.
2
Çözümlenmiş ifadeleri toplama denklemine yerleştirip sadeleştirelim.
(10K+L)+(10L+M)+(10M+K)=100M+10L+K(10K + L) + (10L + M) + (10M + K) = 100M + 10L + K denklemi düzenlendiğinde 11K+11L+11M=100M+10L+K11K + 11L + 11M = 100M + 10L + K elde edilir. Eşitliğin her iki tarafından KK ve 10L10L çıkarıldığında 10K+L+11M=100M10K + L + 11M = 100M, buradan da 10K+L=89M10K + L = 89M bulunur.
Değişkenleri sadeleştirerek basit bir eşitlik elde etmek için.
3
10K+L10K + L ifadesini iki basamaklı KLKL sayısı olarak yazıp MM için uygun rakam değerini belirleyelim.
KL=89MKL = 89M eşitliğinde KLKL iki basamaklı bir sayı olduğundan en fazla 99 olabilir. MM sıfırdan farklı bir rakam olmak zorunda olduğundan (çünkü MKMK ve MLKMLK sayılarının başındadır), MM sadece 1 değerini alabilir. M=2M = 2 olsaydı 89×2=17889 \times 2 = 178 olurdu ve iki basamaklı olamazdı.
Basamak değeri kısıtlamalarını kullanarak bilinmeyenlerin değer aralığını daraltmak için.
4
M=1M = 1 için KK ve LL değerlerini bulup toplamı hesaplayalım.
KL=89KL = 89 olduğundan K=8K = 8 ve L=9L = 9 olur. Buradan K+L+M=8+9+1=18K + L + M = 8 + 9 + 1 = 18 bulunur.
Bulunan rakam değerlerini kullanarak nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Harf-rakam aritmetiği sorularında basamak çözümlemesi ve basamak sınırlamalarını kullanarak çözüm kümesi belirleme.
Soru 2460Soru →

Bir spor kulübünde 55 koşucu ve 33 atlayıcı olmak üzere toplam 88 atlet bulunmaktadır. Bu atletler arasından bir yarışma için 44 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Oluşturulacak grupta en az 22 koşucu bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6565

Cevap

Grup 6565 farklı şekilde seçilebilir.
Grupta en az 22 koşucu bulunması koşulu; 22 koşucu ve 22 atlayıcı, 33 koşucu ve 11 atlayıcı ya da 44 koşucu ve 00 atlayıcı seçilmesi durumlarını gerektirir. Bu durumların kombinasyonları sırasıyla 3030, 3030 ve 55 olarak hesaplanır ve toplandığında 6565 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan grupları belirleme
Grupta en az 22 koşucu olması istendiğinden, 44 kişilik grupta 22 koşucu ve 22 atlayıcı, 33 koşucu ve 11 atlayıcı veya 44 koşucu ve 00 atlayıcı bulunabilir.
En az 22 koşucu koşulu, koşucu sayısının 22, 33 veya 44 olabileceği anlamına gelir.
2
Her durum için kombinasyon hesaplama
2 koşucu ve 2 atlayıcı seçimi: C(5,2)×C(3,2)=10×3=30C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30, 3 koşucu ve 1 atlayıcı seçimi: C(5,3)×C(3,1)=10×3=30C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30, 4 koşucu ve 0 atlayıcı seçimi: C(5,4)×C(3,0)=5×1=5C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5
Sıralama önemsiz olup sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.
3
Farklı durumların sonuçlarını toplama
30+30+5=6530 + 30 + 5 = 65 farklı seçim yapılabilir.
Farklı olasılıklar veya durumlar toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında belirli kısıtlar altında seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını uygulama.
ÖncekiSayfa 123 / 129Sonraki
Tüm alıştırma soruları — ALES | Examkin