Geometri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarına paralel bir $DE$ doğru parçası çiziliyor. Bu doğru parçası $[AB]$ kenarını $D$ noktasında, $[AC]$ kenarını ise $E$ noktasında kesiyor.

$BCED$ dörtgeninin alanı $ADE$ üçgeninin alanının 8 katı olduğuna göre, $\frac{|DE|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

\frac{1}{9}

\frac{1}{8}

\frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2}}{4}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

\frac{1}{3}

DE doğrusu BC tabanına paralel olduğu için ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. ADE üçgeninin alanı S iken, tüm ABC üçgeninin alanı S + 8S = 9S olur. Alanlar oranı 1/9 olduğundan, benzerlik oranı (yani DE'nin BC'ye oranı) bu değerin karekökü olan 1/3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Büyük üçgenin (ABC) alanını, küçük üçgen (ADE) ve yamuğun (BCED) alanları toplamı cinsinden yazın.

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(BCED) = S + 8S = 9S

DE \parallel BC

olduğundan,

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Benzerlik oranını bulmak için iki üçgenin alanlarının oranını bulmamız gerekir.

2

Benzer iki üçgenin alanlarının oranını bulun.

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9}

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Alanlar oranının karekökünü alarak benzerlik oranını (

k

) hesaplayın.

k = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

Benzerlik oranı

k = \frac{|DE|}{|BC|}

olduğundan, bu oran

\frac{1}{3}

'e eşit olur.

Anahtar Kavram

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

İpuçları

1

DE'nin BC'ye paralel olması, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olduğunu gösterir.

2

Benzer iki üçgenin alanları oranının benzerlik oranının karesi olduğunu hatırlayın. ABC üçgeninin toplam alanını bulmak için ADE üçgeninin alanı ile BCED yamuğunun alanını toplayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 42Soru →

Dik koordinat düzleminde, köşeleri $A(0, 12)$ , $B(9, 0)$ ve $O(0, 0)$ noktaları olan $OAB$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin iç açıortaylarının kesim noktas��nın koordinatları toplamı kaçtır?

3

7

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İç açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamı 6'dır.

Doğru cevap olan 6 değeri, üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı

r = 3

birim olarak bulunduktan sonra merkez noktasının

I(3, 3)

olması ve bu koordinatların toplamının (

3 + 3 = 6

) alınmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin kenar uzunluklarını belirlemek.

Dik kenarlar

OA = 12

birim ve

OB = 9

birimdir. Hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı yardımıyla

AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15

birim olarak hesaplanır.

İç teğet çemberinin yarıçapını bulabilmek için üçgenin tüm kenar uzunluklarının bilinmesi gerekir.

2

İç teğet çemberinin yarıçapını (

r

) hesaplamak.

Dik üçgende iç teğet çemberinin yarıçapı

r = \frac{a+b-c}{2}

formülü ile hesaplanır. Buradan

r = \frac{9+12-15}{2} = 3

birim bulunur.

Köşeleri eksenler üzerinde ve dik köşesi orijinde olan dik üçgenlerde, iç teğet çemberin merkezi birinci bölgede yer alır ve koordinatları

I(r, r)

olur.

3

Açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamını bulmak.

Merkez noktası

I(3, 3)

olduğundan koordinatları toplamı

3 + 3 = 6

olur.

Soruda bizden açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir dik üçgende iç teğet çemberinin merkezi (iç açıortayların kesim noktası) koordinatlarının geometrik özellikler yardımıyla bulunması.

İpuçları

1

Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası, o üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

2

Köşesi orijinde olan dik üçgenin dik kenarları koordinat eksenleri üzerindedir. İç teğet çemberinin merkezi

I(r, r)

biçimindedir. Burada

r

iç teğet çemberin yarıçapıdır.

3

9-12-15 dik üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı

r = \frac{9 + 12 - 15}{2}

formülü ile bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, köşeleri koordinat eksenleri üzerinde olan farklı dik üçgenler için iç teğet çember merkezinin koordinatlarını bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için alan formülü de kullanılabilir:

\text{Alan} = u \cdot r

. Burada

u

üçgenin yarı çevresidir. Üçgenin alanı

\frac{9 \cdot 12}{2} = 54

, yarı çevresi ise

u = \frac{9+12+15}{2} = 18

'dir.

54 = 18 \cdot r \implies r = 3

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 43Soru →

Bir $O$ merkezli çemberde, uzunlukları $12\text{ cm}$ ve $16\text{ cm}$ olan birbirine paralel iki kiriş çiziliyor. Bu kirişler arasındaki uzaklık $2\text{ cm}$ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç $\text{ cm}$ 'dir?

8

10

12

14

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Çemberin yarıçapı 10 cm'dir.

Doğru cevap olan 10 cm seçeneği, çemberin merkezinden kirişlere inilen dikmelerin kirişleri ortalaması kuralı ve Pisagor bağıntısı kullanılarak bulunur. 12 cm'lik kirişin merkezden uzaklığı y, 16 cm'lik kirişin merkezden uzaklığı x ve yarıçap r ise; r^2 = x^2 + 64 ve r^2 = y^2 + 36 denklemleri kurulur. Kirişler arası uzaklık y - x = 2 cm olduğundan, denklemlerin eşitliğinden y^2 - x^2 = 28 bulunur. Buradan (y - x)(y + x) = 28 bağıntısıyla y + x = 14 elde edilir. Denklem sistemi çözüldüğünde x = 6 cm ve y = 8 cm bulunur. Pisagor teoremiyle r^2 = 6^2 + 8^2 = 100 bağıntısından yarıçap r = 10 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Çemberin merkezinden paralel kirişlere dikmeler indirin.

Merkezden inilen dikme kirişleri iki eş parçaya böler. 12 cm'lik kirişin yarısı 6 cm, 16 cm'lik kirişin yarısı 8 cm olur.

Çemberde merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar geometrik kuralını uygulamak için.

2

Merkezden kirişlere olan dik uzaklıkları tanımlayarak Pisagor bağıntılarını yazın.

16 cm'lik kirişe olan uzaklık x, 12 cm'lik kirişe olan uzaklık y olsun. Yarıçap r olmak üzere; r^2 = x^2 + 8^2 ve r^2 = y^2 + 6^2 elde edilir.

Yarıçap, merkezden kirişin uç noktalarına çizilen doğrularla dik üçgenler oluşturularak bulunur.

3

Kirişler arasındaki uzaklığı kullanarak x ve y arasındaki ili��kiyi belirleyin.

Kirişler paralel ve merkezin aynı tarafında olduğundan y - x = 2 cm olur.

Soruda verilen kirişler arası mesafeyi cebirsel denkleme dökmek için.

4

İki Pisagor denklemini eşitleyerek y^2 - x^2 farkını bulun.

y^2 + 36 = x^2 + 64 => y^2 - x^2 = 28.

r^2 ortak terimini yok ederek x ve y değişkenlerine bağlı bir denklem elde etmek için.

5

İki kare farkı özdeşliğini uygulayarak y + x değerini bulun.

(y - x)(y + x) = 28 => 2(y + x) = 28 => y + x = 14.

y - x = 2 değerini denklemde yerine koyup y + x toplamına ulaşmak için.

6

y - x = 2 ve y + x = 14 denklem sistemini çözerek x ve y değerlerini hesaplayın.

Taraf tarafa toplandığında 2y = 16 => y = 8 cm ve x = 6 cm bulunur.

Bilinmeyen uzaklık değerlerini kesinleştirmek için.

7

Bulunan x değerini kullanarak yarıçapı hesaplayın.

r^2 = 6^2 + 8^2 => r^2 = 100 => r = 10 cm bulunur.

Pisagor üçgeninden yarıçap uzunluğunu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Çemberde kiriş özellikleri ve Pisagor teoreminin uygulanması

İpuçları

1

Çemberin merkezinden kirişlere dik doğrular çizerek iki adet dik üçgen oluşturun.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 44Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede bulunan $A(2, 6)$ noktasından geçen bir $d$ doğrusu, koordinat eksenleri ile birinci bölgede alanı $25$ birimkare olan dik bir üçgen oluşturmaktadır.

Buna göre, bu $d$ doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

-3

2

-2

-\frac{1}{2}

-\frac{5}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2$

Cevap

Doğrunun eğimi

-2

olabilir.

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar

a

ve

b

olmak üzere, alan formülünden

a \cdot b = 50

ve

A(2,6)

noktasının doğru denkleminde yerine yazılmasıyla

b + 3a = 25

denklemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden elde edilen iki olası

a

değerinden biri

5

, buna karşılık gelen

b

değeri ise

10

'dur. Buradan doğrunun eğimi

m = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{5} = -2

olarak bulunur. Bu değer seçeneklerde yer alan

-2

ifadesi ile tam olarak uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları tanımlayalım.

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar

(a, 0)

ve

(0, b)

olsun. Eksenlerle birinci bölgede oluşturulan üçgen dik üçgen olduğundan

a > 0

ve

b > 0

olmalıdır.

Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemini yazmak için koordinatları değişken olarak belirleriz.

2

Doğru denklemini eksenleri kestiği noktalar cinsinden yazalım ve verilen noktanın koordinatlarını yerine koyalım.

Doğru denklemi

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

şeklindedir. Doğru

A(2, 6)

noktasından geçtiği için bu koordinatları yerine yazdığımızda

\frac{2}{a} + \frac{6}{b} = 1

elde ederiz.

Verilen noktanın doğrunun üzerinde olması, koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.

3

Üçgenin alan formülünü kullanarak

a

ve

b

değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulalım ve denklem sistemini kuralım.

Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin alanı

\frac{a \cdot b}{2} = 25 \implies a \cdot b = 50 \implies b = \frac{50}{a}

olur. Bu ifadeyi birinci adımda bulduğumuz denklemde yerine yazarsak:

\frac{2}{a} + \frac{6a}{50} = 1 \implies \frac{2}{a} + \frac{3a}{25} = 1

elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli bir denkleme dönüştürmek için yerine koyma metodunu uygularız.

4

Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde edelim ve çarpanlarına ayıralım.

Payda eşitleyip düzenlediğimizde

50 + 3a^2 = 25a \implies 3a^2 - 25a + 50 = 0

olur. Çarpanlara ayırdığımızda

(3a - 10)(a - 5) = 0

elde edilir. Buradan

a = 5

veya

a = \frac{10}{3}

bulunur.

İkinci derece denklemin kökleri, doğrunun

x

-eksenini kesebileceği olası noktaları verir.

5

Bulunan

a

değerlerine karşılık gelen

b

değerlerini bulalım ve doğrunun eğimini hesaplayalım.

a = 5

için

b = 10

olur. Bu durumda eğim

m = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{5} = -2

elde edilir.

a = \frac{10}{3}

için

b = 15

olur. Bu durumda eğim

m = -\frac{15}{10/3} = -\frac{9}{2}

elde edilir. Seçeneklerde

-2

değeri bulunduğundan doğru cevap bu değerdir.

Eksenleri kestiği noktaları bilinen bir doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi ve Eğimi

İpuçları

1

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları

(a, 0)

ve

(0, b)

olarak belirleyip, eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan formülünü yazın.

2

Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemini yazın ve

A(2, 6)

noktasının bu denklemi sağlaması gerektiğini kullanarak bir denklem sistemi oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantık kullanarak, doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını minimum yapan doğrunun eğimini türev yardımıyla veya aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği kullanarak bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrunun eğimine

m

diyelim.

A(2, 6)

noktasından geçen ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi

y - 6 = m(x - 2)

şeklindedir. Bu doğrunun

x

ve

y

eksenlerini kestiği noktaları

m

cinsinden bulabiliriz.

x = 0

için

y = 6 - 2m

ve

y = 0

için

x = 2 - \frac{6}{m}

olur. Eksenlerle sınırlanan bölgenin alanı

\frac{1}{2} \cdot \left(2 - \frac{6}{m}\right) \cdot (6 - 2m) = 25

olur. Bu denklemi düzenleyip çözerek de

m

değerlerini doğrudan bulabilirsiniz:

2m^2 + 13m + 18 = 0 \implies (2m + 9)(m + 2) = 0 \implies m = -2

veya

m = -\frac{9}{2}

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 45Soru →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine; koninin tabanına ve yan yüzeyine teğet olacak şekilde bir küre yerleştiriliyor.

Buna göre, koninin içinde kürenin dışında kalan boş bölgenin hacminin, kürenin hacmine oranı kaçtır?

\frac{5}{3}

\frac{8}{3}

\frac{3}{5}

7

\frac{3}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{3}$

Cevap

Boş bölgenin hacminin kürenin hacmine oranı beş bölü üç olur.

Koni içine yerleştirilen teğet kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çember yarıçapına eşittir ve benzerlikten

3\text{ cm}

olarak hesaplanır. Koninin hacmi

96\pi\text{ cm}^3

, kürenin hacmi

36\pi\text{ cm}^3

ve boş bölgenin hacmi

60\pi\text{ cm}^3

olduğundan, boş bölgenin kürenin hacmine oranı beş bölü üç olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koninin taban yarıçapı (

R = 6\text{ cm}

) ve yüksekliği (

H = 8\text{ cm}

) kullanılarak toplam hacmi hesaplanır.

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3

Kürenin dışında kalan boş bölgenin hacmini bulmak için öncelikle koninin toplam hacmi bilinmelidir.

2

Koninin tepe noktasından geçen dikey kesit düzlemi çizilerek koninin ana doğrusunun (

L

) uzunluğu hesaplanır.

L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}

Kürenin yarıçapını hesaplamak için kesit üçgeninin kenar uzunluklar��na ihtiyaç duyulur.

3

Kesit düzleminde oluşan ikizkenar üçgenin (tabanı

12\text{ cm}

, yan kenarları

10\text{ cm}

) iç teğet çemberinin yarıçapı (

r

) benzerlik veya alan bağıntısı (

Alan = u \cdot r

) kullanılarak bulunur.

Üçgenin alanı

A = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48\text{ cm}^2

ve yarı çevre

u = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\text{ cm}

olduğundan,

r = \frac{48}{16} = 3\text{ cm}

bulunur.

Kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapına eşittir.

4

Yarıçapı

r = 3\text{ cm}

olan kürenin hacmi hesaplanır.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3^3) = 36\pi\text{ cm}^3

Kürenin hacmi, oran hesabında kullanılacaktır.

5

Koninin hacminden kürenin hacmi çıkarılarak boş bölgenin hacmi bulunur.

V_{\text{boş}} = V_{\text{koni}} - V_{\text{küre}} = 96\pi - 36\pi = 60\pi\text{ cm}^3

Soruda istenen oran boş bölgenin hacmini temel almaktadır.

6

Bulunan boş bölge hacmi, kürenin hacmine oranlanır.

Oran =

\frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{60\pi}{36\pi} = \frac{5}{3}

İstenen nihai sonuca ulaşmak için oranlama yapılır.

Anahtar Kavram

Dik dairesel koni ve kürenin hacim formülleri ile 3D katı cisimlerin kesit alanlarındaki geometrik benzerlikler ve iç teğet çember özellikleri.

Soru 46Soru →

Taban yarıçapı $R$ ve yüksekliği $H$ olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kabın içerisine; taban yarıçapı ve yüksekliği bu silindirle aynı olan bir dik dairesel koni, tepe noktası silindirin taban merkezine gelecek ve tabanı silindirin üst tabanıyla çakışacak biçimde yerleştiriliyor. Silindir ile koni arasında kalan boşluğa, su seviyesi silindirin yüksekliğinin yarısına gelene kadar su dolduruluyor. Buna göre, doldurulan suyun hacminin silindirin toplam hacmine oranı kaçtır?

\frac{5}{12}

\frac{11}{24}

\frac{5}{24}

\frac{1}{3}

\frac{3}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{11}{24}$

Cevap

Doldurulan suyun hacminin silindirin toplam hacmine oranı

\frac{11}{24}

'tür.

Su seviyesinin yarısına kadar olan silindir hacminden, tepe noktası tabanda bulunan koninin bu seviyenin altında kalan (benzerlik oranı 1/2 olan) küçük koni parçasının hacmi çıkarıldığında suyun hacmi elde edilir. Bu hesaplama

\frac{1}{2} - \frac{1}{24} = \frac{11}{24}

oranını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Silindir ve koninin toplam hacimlerini sembolik olarak ifade edin.

Silindirin hacmi

V_{\text{silindir}} = \pi R^2 H

ise koninin hacmi

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}V_{\text{silindir}}

olur.

Su hacmini silindirin toplam hacmi cinsinden oranlamak i��in her iki cismin hacim ilişkisini kurmak gerekir.

2

Su seviyesinin ulaştığı yüksekliğe kadar olan silindir hacmini hesaplayın.

Yarı yüksekliğe (

H/2

) kadar olan silindir hacmi

V_{\text{yarım\_silindir}} = \pi R^2 \left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{2}V_{\text{silindir}}

olur.

Doldurulan su bu seviyedeki silindir bölgesini kaplayacaktır.

3

Koninin bu yükseklikte kalan batan kısmının (küçük koninin) hacmini bulun.

Tepe noktası tabanda olduğundan,

H/2

yüksekliğindeki kısım tüm koni ile

\frac{1}{2}

benzerlik oranına sahiptir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olduğundan,

V_{\text{batan\_koni}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 V_{\text{koni}} = \frac{1}{8}V_{\text{koni}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}V_{\text{silindir}} = \frac{1}{24}V_{\text{silindir}}

olur.

Koni içindeki boşluğa su giremeyeceği için koninin batan kısmının hacmini silindir hacminden düşmemiz gerekir.

4

Su hacmini ve bunun silindir hacmine oranını bulun.

V_{\text{su}} = V_{\text{yarım\_silindir}} - V_{\text{batan\_koni}} = \frac{1}{2}V_{\text{silindir}} - \frac{1}{24}V_{\text{silindir}} = \frac{11}{24}V_{\text{silindir}}

olur. Buradan oran

\frac{11}{24}

bulunur.

Suyun hacmi, yarım silindirin hacminden koninin batan kısmının hacmi çıkarılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Koni ve silindir hacim formülleri ile katı cisimlerde benzerlik oranı ve hacim ilişkisi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 47Soru →

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde, $A$ ve $C$ köşelerine ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü $18^\circ$ dir. $B$ köşesindeki iç açının ölçüsü $112^\circ$ olduğuna göre, $D$ köşesindeki iç açının ölçüsünün alabileceği en küçük değer derece cinsinden kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

D köşesindeki iç açının alabileceği en küçük değer

76^\circ

dir.

Karşı köşelerin iç açıortayları arasındaki dar açı formülü olan

\theta = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

bağıntısı kullanıldığında,

|112^\circ - m(\widehat{D})| = 36^\circ

eşitliğine ulaşılır. Buradan

m(\widehat{D})

açısı

76^\circ

veya

148^\circ

değerlerini alabilir. Soruda bu açının alabileceği en küçük değer sorulduğundan doğru cevap

76^\circ

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortaylar arasındaki dar açı form��lünü yazma

Bir dışbükey dörtgende karşı iki köşenin iç açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü

\theta = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

bağıntısı ile bulunur.

Soruda verilen açıortaylar arası açı ilişkisini kullanarak

D

açıs��na ulaşmak.

2

Verilen değerleri formülde yerine yazarak denklem elde etme

18^\circ = \frac{|112^\circ - m(\widehat{D})|}{2} \Rightarrow |112^\circ - m(\widehat{D})| = 36^\circ

denklemi elde edilir.

D

aç��sının alabileceği değerlerin sınırlarını belirlemek.

3

Mutlak değerli denklemi çözerek olası açı değerlerini hesaplama

Denklemin çözümü iki farklı durum üretir:
- Birinci durum:

112^\circ - m(\widehat{D}) = 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{D}) = 76^\circ

- İkinci durum:

m(\widehat{D}) - 112^\circ = 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{D}) = 148^\circ

Bu iki değerden en küçük olanı

76^\circ

olarak bulunur.

D

açısının alabileceği en küçük değeri seçmek.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende karşı iki köşenin iç açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki köşenin iç açılarının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

Soru 48Soru →

Bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının $3$ katıdır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

720^\circ

900^\circ

1080^\circ

1260^\circ

1440^\circ

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1260^\circ$

Cevap

İç açılarının ölçüleri toplamı

1260^\circ

olan seçenektir.

Çokgenin kenar sayısı

n

olmak üzere, köşegen sayısı

\frac{n(n-3)}{2}

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen köşegen sayısının kenar sayısının

3

katı olması durumu

\frac{n(n-3)}{2} = 3n

denklemiyle ifade edilir. Buradan

n-3 = 6

ve

n = 9

bulunur. Dokuz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^\circ

formülünden

(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegen sayısı ve kenar sayısı arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurun.

Kenar sayısı

n

olan bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı

\frac{n(n-3)}{2}

formülüyle bulunur. Köşegen sayısı kenar sayısının

3

katı olduğuna göre denklem:

\frac{n(n-3)}{2} = 3n

şeklindedir.

Çokgenin kenar sayısını bulmak için soruda verilen sözel ilişkiyi matematiksel bir eşitliğe dönüştürmemiz gerekir.

2

Denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.

\frac{n(n-3)}{2} = 3n \Rightarrow n(n-3) = 6n

elde edilir. Çokgenin kenar sayısı sıfırdan büyük olacağından (

n > 0

), eşitliğin her iki tarafını

n

ile bölebiliriz. Buradan

n-3 = 6 \Rightarrow n = 9

(dokuzgen) bulunur.

İç açılar toplamını hesaplayabilmek için çokgenin kaç kenarlı olduğunu bilmemiz gerekir.

3

Bulunan kenar sayısını kullanarak iç açılar toplamını hesaplayın.

n

kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^\circ

formülüyle hesaplanır.

n=9

için bu değer:

(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ

olur.

Bizden istenen çokgenin iç açılarının toplam derecesini bulmaktır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde köşegen sayısı formülü

\frac{n(n-3)}{2}

ve iç açıların ölçüleri toplamı formülü

(n-2) \times 180^\circ

arasındaki ilişkidir.

Soru 49Soru →

Dik koordinat düzleminde, $A(2, 5)$ ve $B(6, -1)$ noktalarına eşit uzaklıkta bulunan ve $y = 3x - 2$ doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y = 3x - 1

y = 3x - 9

y = 3x + 9

y = 3x - 10

y = 3x + 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y = 3x - 10$

Cevap

Eğimi 3 olan ve orta nokta koordinatları

(4, 2)

olan noktadan geçen

y = 3x - 10

doğrusudur.

Doğru cevap olan ifade, verilen iki noktanın orta noktası olan koordinatları

(4, 2)

olan noktadan geçen ve eğimi

3

olan

y = 3x - 10

doğrusudur. Bu doğru üzerindeki her noktanın verilen iki noktaya olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Orta noktanın belirlenmesi

C(4, 2)

İki noktaya eşit uzaklıkta bulunan bir doğru, bu noktaları birleştiren doğru parçasına paralel değilse, bu doğru parçasının orta noktasından geçmelidir.

2

Eğimin belirlenmesi

m = 3

Paralel doğruların eğimleri eşittir. İstenen doğru

y = 3x - 2

doğrusuna paralel olduğu için eğimi 3 olmalıdır.

3

Doğru denkleminin yazılması

y = 3x - 10

Eğimi 3 olan ve

C(4, 2)

noktasından geçen doğrunun denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülüyle

y - 2 = 3(x - 4)

olarak kurulur ve düzenlenir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde paralel doğruların eğimleri ve orta nokta özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Bir $ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $|AD| = |BC|$ ve $[AC] \perp [BC]$ 'dir. Yamuğun taban uzunlukları $|AB| = 10\text{ cm}$ ve $|DC| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16

24

32

48

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Yamuğun alanı

32\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Yamuğun köşelerinden indirilen dikmelerle elde edilen parçalar kullanılarak Öklid bağıntısı ile yükseklik

4\text{ cm}

olarak hesaplanır. Buradan alan formülü uygulandığında doğru sonuç olan

32\text{ cm}^2

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar yamuğun üst köşelerinden tabana dikmeler edilir.

D

ve

C

köşelerinden

[AB]

tabanına

[DH]

ve

[CK]

dikmeleri indirildiğinde;

|HK| = |DC| = 6\text{ cm}

olur.

İkizkenar yamukta üst taban köşelerinden indirilen dikmeler tabanda simetrik parçalar oluşturur.

2

Tabanda kalan simetrik parçaların uzunlukları hesaplanır.

|AH| = |KB| = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2\text{ cm}

olur. Dolayısıyla

|AK| = |AH| + |HK| = 2 + 6 = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

İkizkenar yamuğun simetri özelliğinden dolayı

[AB]

tabanı üzerindeki dikmelerin dışında kalan köşelerdeki parçalar birbirine eşittir.

3

Yamuğun yüksekliğini bulmak için Öklid bağıntısı uygulanır.

ACB

dik üçgeninde

[CK]

hipotenüse ait yüksekliktir. Öklid bağıntıs�� gereği;

|CK|^2 = |AK| \cdot |KB| \implies h^2 = 8 \cdot 2 = 16 \implies h = 4\text{ cm}

bulunur.

Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipoten��s üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

4

Yamuğun alanı hesaplanır.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\text{ cm}^2

bulunur.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İkizkenar yamukta dikme indirme ve dik üçgende Öklid bağıntısı yardımıyla alan hesabı.

Soru 51Soru →

Bir daire diliminin merkez açısı $120^\circ$ ve çevre uzunluğu $12 + 4\pi\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu daire diliminin alanı kaç $\pi\text{ cm}^2$ dir?

4

12

18

24

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Daire diliminin alanı 12\pi cm² olarak bulunur.

Daire diliminin çevre uzunluğu, iki yarıçap uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamına eşittir. Buradan yarıçap uzunluğu 6 cm olarak elde edilir. Yarıçapı 6 cm ve merkez açısı 120 derece olan daire diliminin alanı ise 12\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Daire diliminin çevre uzunluğu formülünü yazmak.

Çevre =

2r + \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r

Bir daire diliminin çevre uzunluğu, dilimi sınırlayan iki yarıçapın uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamıdır.

2

Verilen değerleri çevre formülünde yerine koyarak yarıçapı (

r

) bulmak.

2r + \frac{120}{360} \cdot 2\pi r = 12 + 4\pi \implies r\left(2 + \frac{2}{3}\pi\right) = 12 + 4\pi \implies r = 6\text{ cm}

Merkez açı

\theta = 120^\circ

ve çevre

12 + 4\pi

olarak verilmiştir.

3

Bulunan yarıçap değeri ile daire diliminin alanını hesaplamak.

Alan =

\frac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 = 12\pi\text{ cm}^2

Daire diliminin alanı, tüm dairenin alanının merkez açının

360^\circ

'ye oranına çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Daire Diliminin Çevresi ve Alanı

Alternatif Yöntem

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu (

L

) ve yarıçap (

r

) bilindiğinde

\text{Alan} = \frac{L \cdot r}{2}

formülüyle de hesaplanabilir. Burada yay uzunluğu

L = 4\pi

ve yarıçap

r = 6

olduğundan,

\text{Alan} = \frac{4\pi \cdot 6}{2} = 12\pi

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

Dik koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan ve $4x + 3y - 7 = 0$ doğrusu üzerinde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?

2

5\sqrt{2}

10

6\sqrt{2}

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 10 birimdir.

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri eşittir. Bu durum

y=x

ve

y=-x

doğrularını tanımlar. Verilen doğrunun bu doğrularla kesim noktaları sırasıyla

(1, 1)

ve

(7, -7)

olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden sonuç 10 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eksenlere eşit uzaklıkta olan noktaların koordinat ilişkisini belirleme.

|x| = |y|

olduğundan noktalar

y = x

veya

y = -x

doğruları üzerindedir.

Koordinat eksenlerine eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.

2

y = x

durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.

4x + 3x - 7 = 0 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1

ve

y = 1

olup nokta

P_1(1, 1)

olarak bulunur.

Noktanın verilen doğru üzerinde olması için doğrunun denklemini sağlaması gerekir.

3

y = -x

durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.

4x + 3(-x) - 7 = 0 \Rightarrow 4x - 3x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7

ve

y = -7

olup nokta

P_2(7, -7)

olarak bulunur.

İkinci olası durum olan

y = -x

ilişkisini sağlayan doğru üzerindeki noktayı tespit etmek gerekir.

4

Bulunan iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplama.

d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10

birim.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

İpuçları

1

Koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan noktaların koordinatları mutlak değerce birbirine eşittir.

2

Apsis ve ordinat arasındaki bu ilişkiyi

y = x

ve

y = -x

olmak üzere iki farklı durum olarak ele alın ve her iki durumu da doğru denkleminde yerine yazın.

3

Elde ettiğiniz

P_1(1, 1)

ve

P_2(7, -7)

noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları toplamı veya farkı verilen bir doğrunun sınırladığı bölgenin alanını hesaplayan soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrunun açıortay doğruları olan

y = x

ve

y = -x

doğruları ile kesişim noktaları çizilerek koordinat düzleminde bir dik üçgen oluşturulabilir. Bu dik üçgenin kenarları 6 birim ve 8 birim olduğundan, hipotenüs (noktalar arasındaki uzaklık) 3-4-5 üçgeninin katı olan 6-8-10 üçgeninden doğrudan 10 birim olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 53Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = 2x$ ve $y = -\frac{1}{2}x$ doğruları ile $x + y = 6$ doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

10

18

30

42

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kapalı bölgenin alanı 30 birimkaredir.

Doğruların kesim noktaları olan

O(0,0)

,

A(2,4)

ve

B(12,-6)

noktaları bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenar uzunlukları

\sqrt{20}

ve

\sqrt{180}

birimdir. Alanı ise bu iki değerin çarpımının yarısı olan 30 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların kesim noktalarını bulalım.

y = 2x

ve

y = -\frac{1}{2}x

doğruları orijinde, yani

O(0,0)

noktasında kesişir.

y = 2x

ile

x + y = 6

doğrularının kesişim noktası

A(2,4)

ve

y = -\frac{1}{2}x

ile

x + y = 6

doğrularının kesişim noktası

B(12,-6)

olarak bulunur.

Sınırlı bölgenin köşe koordinatlarını belirlemek için doğruları ortak çözmemiz gerekir.

2

Elde edilen üçgenin kenar özelliklerini inceleyelim.

y = 2x

doğrusunun eğimi

m_1 = 2

ve

y = -\frac{1}{2}x

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{1}{2}

'dir. Bu iki eğimin çarpımı

m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

olduğundan, bu doğrular birbirine diktir. Dolayısıyla, köşe noktaları

O(0,0)

,

A(2,4)

ve

B(12,-6)

olan

OAB

üçgeni, dik köşesi

O

noktası olan bir dik üçgendir.

Dik üçgenin alanını dik kenarlarının uzunlukları çarpımının yarısı olarak kolayca hesaplayabilmek için dikliği kontrol ederiz.

3

Dik kenarların uzunluklarını hesaplayıp alanı bulalım.

|OA| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}

birim ve

|OB| = \sqrt{12^2 + (-6)^2} = \sqrt{180}

birimdir. Üçgenin alanı:

\text{Alan}(OAB) = \frac{|OA| \cdot |OB|}{2} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{180}}{2} = \frac{\sqrt{3600}}{2} = \frac{60}{2} = 30

birimkaredir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak kenar uzunlukları bulunur ve dik üçgen alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Analitik Geometride doğruların kesim noktalarını bulma, doğruların diklik şartı ve iki nokta arası uzaklık formülü ile alan hesabı.

İpuçları

1

Doğruların eğimlerini bulup çarpımlarını kontrol edin. Bu size doğruların birbirine dik olup olmadığını gösterecektir.

2

Kesişim noktalarını

O(0,0)

,

A(2,4)

ve

B(12,-6)

olarak belirledikten sonra,

OA

ve

OB

dik kenarlarının uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde birbirine dik iki doğru ile eksenleri kesen başka bir doğrunun sınırladığı bölgelerin alanlarını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin köşeleri belirlendikten sonra, köşeleri bilinen üçgenin alan formülü olan

\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|

bağıntısı kullanılarak da doğrudan alana ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 54Soru →

Bir $ABCD$ paralelkenarında $[AC]$ köşegeni çizilmiştir. $D$ köşesinden $[AC]$ köşegenine indirilen dikmenin ayağı $E$ , $B$ köşesinden $[AC]$ köşegenine indirilen dikmenin ayağı ise $F$ noktasıdır.

$|AE| = 3\text{ cm}$ , $|EF| = 8\text{ cm}$ ve $|DE| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

28

32

44

56

76

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Paralelkenarın alanı 56 santimetrekaredir.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olduğundan,

D

ve

B

köşelerinden köşegene indirilen dikmeler eş üçgenler oluşturur. Buradan

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

elde edilir. Köşegenin toplam uzunluğu

|AC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm}

olur. Paralelkenarın alanı ise

|AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralelliğini ve uzunluklarının eşitliğini kullanarak üçgenler arasındaki eşliği belirleme.

AD \parallel BC

olduğu için iç ters aç��lardan

m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{BCF})

olur.

[DE] \perp [AC]

ve

[BF] \perp [AC]

olduğundan

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

dik üçgenlerdir. Hipotenüsleri eşit (

|AD| = |BC|

) ve birer dar açıları eşit olduğu için

\triangle ADE \cong \triangle CBF

(Eş üçgenler) olur.

Köşegen üzerinde ayrılan parçaların uzunluklarını belirlemek için eşlik kuralı uygulanmalıdır.

2

Eşlikten faydalanarak bilinmeyen parça uzunluklarını bulma.

Üçgenlerin eşliğinden dolayı,

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

ve

|BF| = |DE| = 4\text{ cm}

elde edilir.

Köşegenin toplam uzunluğunu bulmak için tüm parçaların bilinmesi gerekir.

3

[AC]

köşegeninin toplam uzunluğunu hesaplama.

|AC| = |AE| + |EF| + |FC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm}

bulunur.

Paralelkenarı oluşturan üçgenlerin ortak taban uzunluğunu elde etmek için.

4

Paralelkenarın toplam alanını hesaplama.

ABCD

paralelkenarının alanı,

[AC]

köşegeninin ayırdığı iki eş üçgenin alanları toplamına eşittir.

\text{Alan}(ABCD) = 2 \times \text{Alan}(\triangle ADC) = 2 \times \frac{|AC| \times |DE|}{2} = |AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2

bulunur.

Taban ve bu tabana ait yükseklik bilindiğinden alan formülüyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda köşegenin özelliklerini ve karşılıklı köşelerden köşegene indirilen dikmelerin eşliğini kullanarak alan hesaplama.

İpuçları

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğundan iç ters açıları belirleyerek benzer veya eş üçgenler aramayı deneyin.

2

AD \parallel BC

bilgisini kullanarak

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

dik üçgenlerinin eş olduğunu gösterin. Buradan

|CF|

uzunluğunu bulun.

3

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

olduğunu bulduktan sonra köşegenin toplam uzunluğunu hesaplayıp alanın

|AC| \times |DE|

formülüyle bulunacağını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Karşılıklı iki köşeden köşegene dikme indirildiğinde oluşan eş dik üçgenlerin özelliklerini pekiştirmek için benzer bir soruyu dikdörtgen üzerinde çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Paralelkenarın alanını, iki ayrı dik üçgen (

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

) ile ortadaki iki üçgenin veya dikdörtgensel bölgenin alanlarının toplamı şeklinde parçalayarak da bulabilirsiniz.

\text{Alan}(\triangle ADE) = \text{Alan}(\triangle CBF) = \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2

ve ortadaki

[DE]

ile

[BF]

yüksekliklerinin sınırladığı bölgelerin alanları toplamını taban parçalarıyla çarparak hesaplayabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem