Geometri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesine ait dış açının ölçüsü $115^\circ$ ve $B$ köşesine ait iç açının ölçüsü $50^\circ$ dir. Buna göre, $C$ köşesine ait iç açının ölçüsü kaç derecedir?

15^\circ

55^\circ

65^\circ

75^\circ

115^\circ

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $65^\circ$

Cevap

C köşesine ait i�� açının ölçüsü

65^\circ

dir.

Bir üçgende dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. A köşesindeki dış açı (

115^\circ

), B ve C köşelerindeki iç açıların toplamına eşittir:

m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 115^\circ

. B açısının ölçüsü

50^\circ

olduğundan,

50^\circ + m(\widehat{C}) = 115^\circ

eşitliğinden C açısının ölçüsü

65^\circ

olarak bulunur. Alternatif olarak, A köşesindeki iç açı

180^\circ - 115^\circ = 65^\circ

olur. Üçgenin iç açılarının toplamı

180^\circ

olduğundan,

65^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ

denkleminden

m(\widehat{C}) = 65^\circ

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A köşesindeki iç açının ölçüsünü bulmak için dış açının bütünlerini hesaplayın.

m(\widehat{A}) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ

Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

(doğru açı) olmalıdır.

2

Üçgenin iç açıları toplamı kuralını uygulayarak C köşesindeki açıyı bulun.

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \Rightarrow 65^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \Rightarrow 115^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{C}) = 65^\circ

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman

180^\circ

dir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende iç açılar toplamı

180^\circ

dir ve bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

Soru 22Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $[BC]$ hipotenüsü üzerinde bir $E$ noktası alınıyor. $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AB| = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ 'dir. $[DE] \perp [BC]$ ve $DEC$ üçgeninin çevresi, $ABC$ üçgeninin çevresinin yarısına eşit olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

9

12\sqrt{3} - 9

18 - 6\sqrt{3}

18 - 3\sqrt{3}

6\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18 - 6\sqrt{3}$

Cevap

18 - 6\sqrt{3}

ABC ve DEC üçgenleri arasındaki A.A. benzerliği kullanılarak çevre oranı olan

1/2

, hipotenüs uzunlukları oranı olan

|DC|/|BC|

'ye eşitlenir.

|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm}

olduğundan

|DC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

|AC| = 18\text{ cm}

uzunluğundan

|DC|

çıkarılarak

|AD| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninin kenar uzunluklarını ve çevresini hesaplamak.

|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm}

ve

|AC| = 18\text{ cm}

olarak bulunur. Çevre ise

P(ABC) = 18 + 18\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

olduğundan

ABC

üçgeni bir

30-60-90

özel üçgenidir.

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|AB| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

olduğundan, hipotenüs

|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm}

ve diğer dik kenar

|AC| = 6\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 18\text{ cm}

olur.

2

DEC

ve

ABC

üçgenleri arasındaki benzerlik ilişkisini kurmak.

\triangle DEC \sim \triangle ABC

benzerliği elde edilir. Benzerlik oranı

\frac{P(DEC)}{P(ABC)} = \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{1}{2}

'dir.

Hem

ABC

hem de

DEC

üçgenleri birer açısı

90^\circ

ve ortak açıları

m(\widehat{C}) = 30^\circ

olan dik üçgenlerdir. Dolayısıyla A.A. benzerlik kuralına göre benzerdirler. Çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir.

3

|DC|

uzunluğunu hesaplamak.

|DC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

olarak bulunur.

Benzerlik oran��ndan

|DC| = \frac{1}{2} |BC| = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}

elde edilir.

4

|AD|

uzunluğunu bulmak.

|AD| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

D

noktası

[AC]

üzerinde olduğundan

|AD| = |AC| - |DC| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm}

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Özel Dik Üçgenler (

30^\circ-60^\circ-90^\circ

)

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanmak yerine,

DEC

dik üçgeninde

|DC| = x

diyerek

|DE| = \frac{x}{2}

ve

|EC| = \frac{x\sqrt{3}}{2}

yazılır. Çevre

x + \frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{3}}{2} = 9 + 9\sqrt{3}

denklemi çözülerek de

x = 6\sqrt{3}

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 23Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AC| = 10\text{ cm}$ 'dir. Buna g��re, $|BC|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

5

5\sqrt{2}

5\sqrt{3}

10\sqrt{3}

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5\sqrt{3}$

Cevap

5\sqrt{3}

Verilen üçgen bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgenidir. Bu üçgende

30^\circ

karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır (

|AB| = 5\text{ cm}

).

60^\circ

karşısındaki kenar ise

30^\circ

karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katıdır. Dolayısıyla

|BC| = 5\sqrt{3}\text{ cm}

ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin iç açılarının toplamı kuralından veya dik üçgenin dar açılarının toplamı kuralından bilinmeyen açıyı bulunuz.

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

olur. Dolayısıyla bu üçgen bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgenidir.

Özel üçgen kurallarını uygulayabilmek için üçgenin açılarını belirlememiz gerekir.

2

30^\circ

'lik açının karşısındaki dik kenarın (

|AB|

) uzunluğunu hesaplayınız.

Hipotenüs

|AC| = 10\text{ cm}

olduğuna göre,

30^\circ

'nin karşısındaki

|AB|

kenarı hipotenüsün yarısıdır:

|AB| = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}

olur.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

60^\circ

'lik açının karşısındaki dik kenarın (

|BC|

) uzunluğunu hesaplayınız.

60^\circ

'nin karşısındaki

|BC|

kenarının uzunlu��u,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar uzunluğunun (

\text{5 cm}

)

\sqrt{3}

katıdır:

|BC| = 5\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgeninde

60^\circ

'nin kar��ısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katına eşittir.

Anahtar Kavram

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgeninde kenarlar arasındaki oranlar:

30^\circ

'nin karşısı

x

ise,

60^\circ

'nin karşısı

x\sqrt{3}

ve hipotenüs

2x

olur.

Soru 24Soru →

Analitik düzlemde $A(2, -1)$ ve $B(5, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

-3

\frac{7}{3}

3

\frac{1}{3}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğrunun eğimi 3'tür.

Verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi, y-koordinatlarının farkının x-koordinatlarının farkına oranı ile bulunur. Formüldeki işaretlere dikkat edilerek

m = \frac{8 - (-1)}{5 - 2} = 3

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrunun eğim formülünü belirleme.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

formülü kullanılacaktır.

İki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplamak için bu formül gereklidir.

2

Verilen noktaları formülde yerine yazarak hesaplama yapma.

m = \frac{8 - (-1)}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3

olarak bulunur.

A(2, -1)

ve

B(5, 8)

noktaları için koordinat farkları oranlanır.

Anahtar Kavram

İki noktadan geçen doğrunun eğimi

Soru 25Soru →

Taban ayrıtları $6\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$ olan, içinde $5\text{ cm}$ yüksekliğinde su bulunan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kabın içine; taban yarıçapı $3\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir bi��imindeki metal bir blok, tabanı kabın tabanına değecek şekilde dikey olarak yerleştiriliyor. Son durumda silindir bloğun tamamı suyun içinde kaldığına göre, kaptaki suyun son durumdaki yüksekliği kaç santimetre olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

\frac{85}{8}

\frac{45}{8}

\frac{55}{8}

\frac{125}{7}

\frac{55}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{85}{8}$

Cevap

Son durumdaki suyun yüksekliği

\frac{85}{8}\text{ cm}

olur.

Kaptaki suyun son durumdaki yüksekliğini bulmak için öncelikle suyun hacmi ile tamamen batan silindirin hacmi toplanır. Toplam hacim, kabın taban alanına bölünerek yeni su yüksekliği elde edilir. Suyun ilk hacmi

6 \times 8 \times 5 = 240\text{ cm}^3

, silindirin hacmi ise

\pi r^2 h = 3 \times 3^2 \times 10 = 270\text{ cm}^3

olur. Toplam hacim

240 + 270 = 510\text{ cm}^3

ve kabın taban alanı

6 \times 8 = 48\text{ cm}^2

olduğundan, son durumdaki su yüksekliği

\frac{510}{48} = \frac{85}{8}\text{ cm}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Suyun ilk hacmini hesaplama

V_{su} = 6 \times 8 \times 5 = 240\text{ cm}^3

Kaptaki başlangıç su hacmini belirlemek için prizmanın taban alanı ile su yüksekliği çarpılır.

2

Metal silindir bloğunun hacmini hesaplama

V_{silindir} = \pi r^2 h = 3 \times 3^2 \times 10 = 270\text{ cm}^3

Silindir tamamen suya battığı için taşırdığı veya yükselttiği su hacmi kendi hacmine eşit olacaktır.

3

Toplam hacmi kullanarak son su yüksekliğini bulma

V_{toplam} = 240 + 270 = 510\text{ cm}^3

. Son yükseklik

y

olmak üzere,

48 \times y = 510 \implies y = \frac{510}{48} = \frac{85}{8}\text{ cm}

bulunur.

Silindir tamamen battığı için suyun ve silindirin kapladığı toplam hacim, kabın taban alanı ile son yükseklik çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Tamamen batan katı cisimlerin, batan hacimleri kadar sıvı hacmi yer değiştirmesi prensibi.

Soru 26Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ’dir. $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $[BD] \perp [AC]$ çiziliyor. $|BD| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $A$ noktasının $BC$ doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç $\text{cm}$ 'dir?

6

6 + 2\sqrt{3}

3 + 3\sqrt{3}

6 + 6\sqrt{3}

3\sqrt{3} - 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3 + 3\sqrt{3}$

Cevap

3 + 3\sqrt{3}

santimetredir.

ABC

üçgeninin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Üçgenin alanı hem

AC

tabanı ve

BD

yüksekliği ile hem de

BC

tabanı ve bu tabana ait olan

h

yüksekliği (

A

noktasının

BC

doğrusuna olan en kısa uzaklığı) ile hesaplanabilir. Özel üçgen kurallarından

|BC| = 12\text{ cm}

ve

|AC| = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur. Alan eşitliğinden

(6 + 6\sqrt{3}) \times 6 = 12 \times h

denklemi kurulur ve buradan

h = 3 + 3\sqrt{3}\text{ cm}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde verilen açıları ve

[BD]

yüksekliğini kullanarak oluşan dik üçgenleri belirlemek.

[BD] \perp [AC]

çizildiğinde, üçgenin içinde

ABD

ve

BCD

dik üçgenleri oluşur.

m(\widehat{BAC}) = 45^\circ

olduğundan

ABD

üçgeni bir

45^\circ-45^\circ-90^\circ

dik üçgenidir.

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

olduğundan

BCD

üçgeni bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgenidir.

Özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki bağıntıları kullanabilmek için.

2

BDD

dik üçgenlerinin kurallarını uygulayarak üçgenin kenar uzunluklarını hesaplamak.

|BD| = 6\text{ cm}

olarak verilmiştir.

BCD

(

30^\circ-60^\circ-90^\circ

) üçgeninde

30^\circ

'nin karşısı

|BD| = 6\text{ cm}

ise, hipotenüs

|BC| = 2 \times 6 = 12\text{ cm}

ve

60^\circ

'nin karşısı

|CD| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

ABD

(

45^\circ-45^\circ-90^\circ

) ikizkenar dik üçgeninde ise

|AD| = |BD| = 6\text{ cm}

ve hipotenüs

|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}

olur. Buradan taban uzunluğu

|AC| = |AD| + |CD| = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

ABC

üçgeninin alanını iki farklı yolla hesaplayabilmek amacıyla gerekli tüm kenar uzunluklarını elde etmek için.

3

ABC

üçgeninin alanını iki farklı taban ve bu tabanlara ait yükseklikler yardımıyla eşitlemek.

AC

tabanına ait yükseklik

BD

'dir.

BC

tabanına ait yükseklik ise

A

noktasının

BC

doğrusuna olan en kısa uzaklığıdır ve bu yüksekliğe

h

diyelim. Buradan

\text{Alan}(ABC) = \frac{|AC| \times |BD|}{2} = \frac{|BC| \times h}{2}

eşitliği elde edilir. Paydalar sadeleştiğinde

|AC| \times |BD| = |BC| \times h

olur.

İstenen en kısa uzaklık olan

h

değerini alan eşitliği prensibiyle çözmek için.

4

Bulunan kenar uzunluklarını eşitlikte yerine koyarak

h

yüksekliğini yalnız bırakıp hesaplamak.

(6 + 6\sqrt{3}) \times 6 = 12 \times h \implies 36 + 36\sqrt{3} = 12h \implies h = 3 + 3\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

İstenen dikme uzunluğunu nihai olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Eşitliği ve Özel Açılı Dik Üçgenlerin Kenar Bağıntıları

Alternatif Yöntem

Alan eşitlemesi yerine,

A

noktasından

BC

doğrusuna indirilen dikmenin uzunluğunu (

h

) bulmak için trigonometrik oranlar kullanılabilir.

ABD

dik üçgeninden

|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur.

m(\widehat{ABC}) = 105^\circ

(geniş açı) olduğundan,

A

köşesinden

BC

doğrusuna inilen dikme üçgenin dışına düşer ve oluşan dik üçgendeki dış açı

180^\circ - 105^\circ = 75^\circ

olur. Buradan

h = |AB| \cdot \sin(75^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} + 3\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 27Soru →

Bir dik dairesel silindirin taban yarıçapı $2$ katına çıkarılıp yüksekliği yarıya indiriliyor. Buna göre, yeni silindirin hacminin başlangıçtaki silindirin hacmine oranı kaçt��r?

2

1

4

\frac{1}{2}

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Yeni silindirin hacminin başlangıçtaki silindirin hacmine oranı 2'dir.

Başlangıçtaki silindirin hacmi

V_1 = \pi r^2 h

formülüyle hesaplanır. Yarıçapı

2

katına çıkarılıp yüksekliği yarıya indirildiğinde oluşan yeni silindirin hacmi

V_2 = \pi (2r)^2 \frac{h}{2} = 2\pi r^2 h

olur. Bu iki hacim oranlandığında

\frac{V_2}{V_1} = 2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki silindirin yarıçapını

r

ve yüksekliğini

h

olarak belirleyip hacim formülünü yazın.

V_1 = \pi r^2 h

Başlangıç durumundaki hacmi matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Yeni silindirin yarıçapını

2r

ve yüksekliğini

\frac{h}{2}

olarak belirleyip yeni hacim formülünü yazın.

V_2 = \pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right) = 2\pi r^2 h

Değişimler uygulandıktan sonraki yeni hacmi hesaplamak için.

3

Yeni hacmi başlangıçtaki hacme oranlayın.

\frac{V_2}{V_1} = \frac{2\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 2

Soruda istenen hacim oranını bulmak için.

Anahtar Kavram

Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir (

V = \pi r^2 h

). Yarıçaptaki değişimlerin hacme etkisi karesel (

r^2

), yükseklikteki değişimlerin etkisi ise doğrusaldır (

h

).

Tahmini Süre:45s

Soru 28Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = x + 2$ doğrusu üzerinde bulunan ve $A(1, 5)$ ile $B(5, 3)$ noktalarına eşit uzaklıkta olan noktanın apsisi kaçtır?

-1

3

4

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Apsis değeri 4 olan nokta

Doğru üzerindeki bir noktanın genel koordinatları

(x, x+2)

biçimindedir. Bu noktanın verilen iki noktaya olan uzaklıklarının karesi birbirine eşitlendiğinde elde edilen

2x^2 - 8x + 10 = 2x^2 - 12x + 26

denkleminin çözümü

x = 4

olarak bulunur. Bu değer noktanın apsisidir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru üzerindeki noktanın koordinatlarını değişken cinsinden ifade etme.

Aranan nokta

P(x, y)

olsun. Bu nokta

y = x + 2

doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları

P(x, x+2)

şeklinde yazılır.

Noktanın doğru denklemini sağlaması gerektiği için ordinatı apsis cinsinden ifade ederiz.

2

P(x, x+2)

noktasının

A(1, 5)

ve

B(5, 3)

noktalarına olan uzaklıklarının karesini yazma.

PA^2 = (x - 1)^2 + (x + 2 - 5)^2 = (x - 1)^2 + (x - 3)^2 = 2x^2 - 8x + 10

ve

PB^2 = (x - 5)^2 + (x + 2 - 3)^2 = (x - 5)^2 + (x - 1)^2 = 2x^2 - 12x + 26

elde edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak eşit uzaklık ilişkisini cebirsel olarak kurmak.

3

Uzaklıkların karelerini birbirine eşitleyerek bilinmeyen

x

değerini bulma.

2x^2 - 8x + 10 = 2x^2 - 12x + 26 \Rightarrow -8x + 10 = -12x + 26 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4

bulunur.

Elde edilen denklemi çözerek noktanın apsisini bulmak.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık ve doğru üzerindeki noktaların koordinat ilişkisi

Soru 29Soru →

Taban ayrıtları $3\text{ cm}$ ve $4\text{ cm}$ , yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu suyun tamamı, taban yarıçapı $4\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kaba boşaltılıyor. Buna göre, silindir kapta suyun yüksekliği kaç $\text{ cm}$ olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

4

3

6

9

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Yüksekliğin 3 cm olduğu seçenek

Dikdörtgenler prizmasındaki suyun hacmi

3 \times 4 \times 12 = 144\text{ cm}^3

olarak bulunur. Silindirin taban alanı ise

\pi r^2 = 3 \times 4^2 = 48\text{ cm}^2

değerine eşittir. Su silindire boşaltıldığında hacim değişmeyeceğinden, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı bu hacmi vermelidir. Buradan

48 \times h = 144

eşitliği kurulur ve suyun yüksekliği

h = 3\text{ cm}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenler prizması şeklindeki kaptaki suyun hacmini hesaplayınız.

Prizmanın hacmi

V = 3 \times 4 \times 12 = 144\text{ cm}^3

olur. Kap tamamen dolu olduğundan suyun hacmi de

144\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Suyun toplam miktarını belirlemek için başlangıçtaki kabın hacmini bulmamız gerekir.

2

Suyun boşaltılacağı silindir kabın taban alanını hesaplayınız.

Taban alanı

A = \pi r^2 = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Silindirdeki suyun yüksekliğini hacim cinsinden ifade edebilmek için taban alanı hesaplanmalıdır.

3

Suyun hacmini silindirin hacim bağıntısına eşitleyerek yüksekliği bulunuz.

Suyun hacmi

V = A \times h \Rightarrow 144 = 48 \times h \Rightarrow h = 3\text{ cm}

olarak bulunur.

Kaplar arasında aktarılan suyun hacmi değişmeyeceğinden hacimler birbirine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizması ve dik dairesel silindirin hacim hesaplamaları ile hacim korunumu prensibi.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 30Soru →

Analitik düzlemde, $A(2, 4)$ noktasından geçen ve $3x - 4y + 8 = 0$ doğrusuna dik olan doğrunun $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

\frac{5}{2}

\frac{4}{3}

\frac{20}{3}

4

-\frac{8}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{20}{3}$

Cevap

Dik doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı

\frac{20}{3}

'tür.

Verilen doğrunun eğimi

\frac{3}{4}

'tür. Bu doğruya dik olan doğrunun eğimi ise

-\frac{4}{3}

olur.

A(2, 4)

noktasından geçen bu doğrunun denklemi

y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)

olarak yazılır. Doğrunun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için

x = 0

koyduğumuzda

y = \frac{20}{3}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

3x - 4y + 8 = 0

doğrusunun eğimini bulalım.

Doğru denklemi düzenlendiğinde

y = \frac{3}{4}x + 2

elde edilir, buradan eğim

m_1 = \frac{3}{4}

olarak bulunur.

İki doğrunun diklik ilişkisini kurabilmek için öncelikle verilen doğrunun eğimini bilmemiz gerekir.

2

Aranan doğrunun eğimini diklik şartını kullanarak hesaplayalım.

Dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

olduğundan,

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{3}{4} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\frac{4}{3}

olur.

İki doğrunun birbirine dik olması, eğimleri çarpımının

-1

olmasını gerektirir.

3

A(2, 4)

noktasından geçen ve eğimi

m_2 = -\frac{4}{3}

olan doğrunun denklemini yazalım ve y-eksenini kestiği noktayı bulalım.

Doğru denklemi

y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)

şeklindedir. y-eksenini kestiği noktayı bulmak için

x = 0

yazılırsa,

y - 4 = -\frac{4}{3}(0 - 2) \Rightarrow y - 4 = \frac{8}{3} \Rightarrow y = \frac{20}{3}

bulunur.

Bir doğrunun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde x yerine 0 yazılır.

Anahtar Kavram

Dik doğruların eğimleri ilişkisi ve doğru denklemi yazma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $A$ açısının açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|AB| = 6\text{ cm}$ ve $|BC| = 8\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

3\sqrt{5}

3\sqrt{3}

5\sqrt{3}

2\sqrt{13}

\sqrt{61}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3\sqrt{5}$

Cevap

Doğru cevap

3\sqrt{5}

'tir.

Üçgende hipotenüs uzunluğu 6-8-10 üçgeninden

10\text{ cm}

olarak bulunur. İç açıortay teoremi kullanılarak

BC

kenarı

3:5

oranında bölünür ve

|BD| = 3\text{ cm}

elde edilir. Son olarak,

ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AD| = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}\text{ cm}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninde hipotenüs uzunluğu

|AC|

'yi bulmak.

|AC| = 10\text{ cm}

[AB] \perp [BC]

olduğundan,

6-8-10

özel dik üçgeni (veya Pisagor bağıntısı:

|AC|^2 = 6^2 + 8^2

) yardımıyla

|AC| = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

2

D

noktası

[BC]

üzerinde olduğundan, iç açıortay teoremini uygulayarak

|BD|

uzunluğunu hesaplamak.

|BD| = 3\text{ cm}

AD

açıortay olduğundan,

\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

olur.

|BD| + |DC| = 8\text{ cm}

olduğundan,

|BD| = 3\text{ cm}

ve

|DC| = 5\text{ cm}

bulunur.

3

ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|AD|

uzunluğunu bulmak.

|AD| = 3\sqrt{5}\text{ cm}

[AB] \perp [BC]

olduğundan

ABD

bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısından

|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \Rightarrow |AD| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\text{ cm}

elde edilir.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Soru 32Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde olan $OABC$ karesinin ardışık $A$ ve $C$ köşeleri sırasıyla $y = -\frac{1}{2}x$ ve $y = 2x$ doğruları üzerindedir. Bu karenin alanı $20\text{ birimkare}$ ve $B$ köşesi koordinat düzleminin birinci bölgesinde olduğuna göre, $B$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

4

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8

Karenin ardışık kenarlarının dikliği ve eşit uzunlukta olması prensipleri kullanılarak köşe noktaları parametrik olarak belirlenir. Alan formülü ile parametrelerin mutlak değerleri bulunur. B noktasının birinci bölgede bulunması koşulu (

x > 0, y > 0

) kullanılarak doğru işaretler seçilir ve koordinatları (6, 2) olarak bulunur. Bu koordinatların toplamı 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların dikliğini kontrol etme

y = 2x

doğrusunun eğimi

m_1 = 2

ve

y = -\frac{1}{2}x

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{1}{2}

'dir. Eğimlerin çarpımı

m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

olduğundan bu iki doğru orijinde birbirine diktir. Bu durum karenin diklik şartını sağlar.

Karenin orijinde birleşen ardışık kenarlarının birbirine dik olduğunu doğrulamak için.

2

Köşe koordinatlarını parametrik olarak yazma

C

noktası

y = 2x

üzerinde olduğundan

C(c, 2c)

şeklinde,

A

noktası ise

y = -\frac{1}{2}x

üzerinde olduğundan

A(2a, -a)

şeklinde ifade edilir.

Doğrular üzerindeki noktaları tek bilinmeyen cinsinden temsil etmek için.

3

Alan bilgisini kullanarak parametrelerin değerlerini bulma

Karenin alanı

20\text{ birimkare}

olduğuna göre kenar uzunluklarının karesi

OA^2 = OC^2 = 20

olmalıdır. Buradan

OC^2 = c^2 + (2c)^2 = 5c^2 = 20 \implies c^2 = 4 \implies c = \pm 2

bulunur. Benzer şekilde,

OA^2 = (2a)^2 + (-a)^2 = 5a^2 = 20 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2

elde edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle koordinat bileşenlerini hesaplamak için.

4

B noktasının koordinatlarını bulma ve bölge kontrolü yapma

Kare özelliğinden

\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}

olduğundan

B(2a+c, -a+2c)

olur.

B

noktasının birinci bölgede olması için her iki koordinatı da pozitif olmalıdır.

a = 2

ve

c = 2

seçildiğinde

B(2(2)+2, -2+2(2)) = B(6, 2)

noktası elde edilir ve bu nokta birinci bölgededir. Diğer işaret kombinasyonları

B

noktasını farklı bölgelere taşır.

Birinci bölge şartını (

x > 0, y > 0

) sağlayan doğru parametre işaretlerini belirlemek için.

5

B noktasının koordinatları toplamını hesaplama

B(6, 2)

noktasının koordinatları toplamı

6 + 2 = 8

olarak bulunur.

Soru kökündeki nihai talebe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların dikliği, iki nokta arasındaki uzaklık ve karenin köşe koordinatları ilişkisi.

Soru 33Soru →

Taban yarıçapı $2\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kap, tabanı yatay düzlemle $45^\circ$ lik açı yapacak şekilde eğilerek içindeki suyun bir kısmı dökülüyor. Kap tekrar dik konuma getirildikten sonra, dökülen suyun oluşturduğu boşluğu tamamen doldurmak için kabın içine yarıçapı $1\text{ cm}$ olan demir kürelerden kaç tane atılmalıdır? (Kürelerin hacimlerinin toplamı, boş kalan kısmın hacmine eşit olacaktır.)

3

6

8

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6$

Cevap

Boş kalan hacmi tamamen doldurmak için kabın içine 6 tane demir küre atılmalıdır.

Doğru yanıt olan 6 sayısı, eğik silindirdeki boş hacim (

8\pi\text{ cm}^3

) ile bir kürenin hacmi (

\frac{4}{3}\pi\text{ cm}^3

) oranlanarak bulunur:

8\pi \div \frac{4}{3}\pi = 6

.

Adım Adım Çözüm

1

Silindir yatay düzlemle

45^\circ

açı yapacak şekilde eğildiğinde dökülen suyun sınırını belirleyen yüksekliği bulun.

Boş kalan kısmın yüksekliği, silindirin çapı ile

\tan(45^\circ)

değerinin çarpımına eşittir:

h_{\text{boş}} = 2r \cdot \tan(45^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\text{ cm}

.

Eğilen silindirde su yüzeyi daima yatay kalır. Bu nedenle oluşan boşluğun sınır yüksekliği silindirin çapına bağlıdır.

2

Dök��len suyun hacmini (yani kapta oluşan boşluğun hacmini) hesaplayın.

Oluşan boş hacim, yüksekliği

4\text{ cm}

olan tam silindirin hacminin yarısıdır:

V_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}^3

.

Eğik kesilen silindirin üst kısmındaki boşluk, simetriden dolayı aynı yükseklikteki tam silindirin yarısı kadardır.

3

Bir adet demir kürenin hacmini bulun.

Yarıçapı

R = 1\text{ cm}

olan bir kürenin hacmi:

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi\text{ cm}^3

.

Kürenin hacmini bulmak için

V = \frac{4}{3}\pi R^3

formülü kullanılır.

4

Boş hacmi doldurmak için gereken küre sayısını hesaplayın.

Gereken küre sayısı

N = \frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{8\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6

adettir.

Kürelerin toplam hacminin boş kalan kısmın hacmine eşit olması gerektiğinden, boş hacim bir kürenin hacmine bölünür.

Anahtar Kavram

Eğik silindirlerin hacim hesabı ve kürenin hacim formülü.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 34Soru →

Bir $ABCD$ deltoidinde $|AB| = |AD|$ 'dir. Deltoidin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $K$ noktasında kesişmektedir. $|AC| = 16\text{ cm}$ , $|BD| = 12\text{ cm}$ ve $|AK| = 8\text{ cm}$ 'dir. Bu deltoidin $[BC]$ kenarının orta noktası $E$ , $[CD]$ kenarının orta noktası $F$ olduğuna göre, $KEF$ üçgeninin çevresi kaç santimetredir?

14

16

18

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Deltoidin köşegenleri dik kesiştiği için

AC

ve

BD

birbirine diktir.

|AB| = |AD|

olduğundan

AC

köşegeni

BD

'yi ortalar, yani

|KB| = |KD| = 6\text{ cm}

olur.

|AC| = 16\text{ cm}

ve

|AK| = 8\text{ cm}

verildiğinden

|KC| = 8\text{ cm}

kalır. Dik açılı

DKC

üçgeninde kenarlar

6\text{ cm}

ve

8\text{ cm}

olduğundan hipotenüs

|CD| = 10\text{ cm}

olur. Deltoid özelliğinden

|BC| = |CD| = 10\text{ cm}

'dir.

K

,

E

ve

F

noktaları

BCD

üçgeninin sırasıyla

BD

,

BC

ve

CD

kenarlarının orta noktalarıdır. Üçgende orta taban özelliğine göre;

|KE| = 5\text{ cm}

,

|KF| = 5\text{ cm}

ve

|EF| = 6\text{ cm}

olur. Buradan

KEF

üçgeninin çevresi

5 + 5 + 6 = 16\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Deltoidin köşegen özelliklerini uygulayarak kesişim noktası özelliklerini belirleme.

[AC] \perp [BD]

ve

|KB| = |KD| = \frac{|BD|}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}

olur.

Deltoidde farklı uzunluktaki kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen (

AC

), diğer köşegeni (

BD

) dik keser ve ortalar.

2

|KC|

uzunluğunu hesaplama.

|KC| = |AC| - |AK| = 16 - 8 = 8\text{ cm}

bulunur.

K

noktası

[AC]

köşegeni üzerinde olduğundan tüm uzunluktan verilen

|AK|

parçası çıkarılır.

3

Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanarak deltoidin

[CD]

ve

[BC]

kenar uzunluklarını bulma.

\triangle DKC

dik üçgeninde

|KD| = 6\text{ cm}

ve

|KC| = 8\text{ cm}

olduğundan,

|CD|^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \implies |CD| = 10\text{ cm}

olur. Deltoid tanımından

|BC| = |CD| = 10\text{ cm}

'dir.

[AC] \perp [BD]

olduğundan

DKC

bir dik üçgendir ve 6-8-10 özel dik üçgeni kuralı geçerlidir.

4

KEF

üçgeninin kenar uzunluklarını orta taban veya muhte��em üçlü özellikleriyle bulma.

|KE| = \frac{|CD|}{2} = 5\text{ cm}

,

|KF| = \frac{|BC|}{2} = 5\text{ cm}

(veya muhteşem üçlüden dik üçgenlerin hipotenüs yarısı) ve

|EF| = \frac{|BD|}{2} = 6\text{ cm}

elde edilir.

E

,

F

ve

K

noktaları

\triangle BCD

üçgeninin kenar orta noktaları olduğundan, oluşan segmentler orta taban özelliğini taşır.

5

KEF

üçgeninin çevresini hesaplama.

\text{Çevre}(KEF) = 5 + 5 + 6 = 16\text{ cm}

olarak bulunur.

Bir üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Deltoidin köşegenlerinin dik kesişmesi, ortalama özelliği ve üçgende orta taban / muhteşem üçlü bağıntıları.

İpuçları

1

Deltoidin köşegenlerinin birbirini nasıl kestiğini ve diklik durumunu düşünün.

2

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısını uygulayarak deltoidin kenar uzunluklarını bulun.

3

Oluşan

KEF

üçgeninin kenarlarının,

BCD

üçgeninin orta tabanları olduğunu fark edin.

Daha Fazla Pratik

Deltoidin köşegenlerinin diklik özelliğini benzer şekilde eşkenar dörtgen veya kare sorularında da uygulayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Muhteşem üçlü özelliğini kullanarak çözebiliriz:

K

açısı dik açı olduğundan,

BKC

dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay

KE

uzunluğu hipotenüsün yarısıdır. Dolayısıyla

|KE| = \frac{|BC|}{2}

olur. Benzer şekilde

DKC

dik üçgeninde

|KF| = \frac{|CD|}{2}

olur.

EF

ise

BCD

üçgeninde orta taban olduğundan

|EF| = \frac{|BD|}{2}

olur. Bu bağıntılar doğrudan sonuca ulaştırır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 35Soru →

Bir ayrıtının uzunlu��u $8\text{ cm}$ olan içi dolu ahşap bir küpün üst yüzeyinin tam ortasından, taban ayrıtı $2\text{ cm}$ ve yüksekliği $3\text{ cm}$ olan kare dik prizma biçimindeki bir parça oyularak çıkarılıyor. Buna göre, oluşan yeni cismin toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

384

404

408

412

500

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $408$

Cevap

Yeni cismin toplam yüzey alanı

408\text{ cm}^2

dir.

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanı

6 \times 8^2 = 384\text{ cm}^2

dir. Küpten taban ayrıtı

2\text{ cm}

ve yüksekliği

3\text{ cm}

olan kare dik prizma çıkarıldığında, küpün üst yüzeyinde

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik bir alan eksilir. Ancak oyulan kısmın tabanında yine

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik bir alan oluşur. Bu iki alan birbirini nötrler. Ek olarak, oyulan prizmanın iç yan yüzeyleri olan 4 adet

2 \times 3 = 6\text{ cm}^2

lik dikdörtgen yüzey (

4 \times 6 = 24\text{ cm}^2

) yeni yüzey alanı olarak eklenir. Dolayısıyla net alan artışı

24\text{ cm}^2

olur. Toplam yüzey alanı ise

384 + 24 = 408\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesaplayalım.

6 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384\text{ cm}^2

Bir ayrıtı

a

olan küpün toplam yüzey alanı

6a^2

formül��yle bulunur.

2

Parça çıkarıldıktan sonra yüzey alanındaki azalışı belirleyelim.

Küpün üst yüzeyinden

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik bir kare alan eksilir.

Oyulan prizmanın üst tabanı açık olduğu için bu bölgedeki alan artık dış yüzeyin parçası değildir.

3

Oyuk nedeniyle eklenen yeni yüzey alanlarını hesaplayalım.

Oyuğun tabanındaki

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

lik kare alan ve oyuğun yanlarında oluşan 4 adet

2 \times 3 = 6\text{ cm}^2

lik dikdörtgen alan (toplam

24\text{ cm}^2

) yeni yüzey olarak eklenir.

Oyuğun iç yüzeyleri cismin yeni dış yüzey sınırlarını oluşturur.

4

Net alan değişimini hesaplayarak sonuca ulaşalım.

Net değişim:

-4\text{ cm}^2

(eksilen üst yüzey)

+ 4\text{ cm}^2

(eklenen taban)

+ 24\text{ cm}^2

(eklenen yanlar)

= +24\text{ cm}^2

. Sonuç olarak toplam yüzey alanı

384 + 24 = 408\text{ cm}^2

olur.

Eksilen ve eklenen alanların net farkı başlangıç alanına ilave edilir.

Anahtar Kavram

Katı cisimlerde oyma veya parça çıkarma işlemlerinde yüzey alanı değişimi

İpuçları

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını

6a^2

formülünden hesaplayın.

2

Oyulan parçanın üst yüzeydeki eksilmesi ile oyuk tabanında oluşan yeni yüzeyin alanlarının eşit olduğuna ve birbirini dengelediğine dikkat edin.

3

Net alan artışı, sadece içeri doğru oyulan prizmanın iç yan duvarlarının toplam alanına (

4 \times 2 \times 3

) eşittir.

Daha Fazla Pratik

Küpün tam köşesinden bir parça çıkarılsaydı yüzey alanının nasıl değişeceğini düşünerek bu konudaki mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yüzey alanındaki değişimi doğrudan değişim miktarları üzerinden hesaplayabiliriz: Değişim = (Eklenen Alanlar) - (Eksilen Alanlar). Eklenen alanlar: 1 adet taban (

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

) + 4 adet yan yüzey (

4 \times (2 \times 3) = 24\text{ cm}^2

) =

28\text{ cm}^2

. Eksilen alanlar: Üst yüzeydeki boşluk (

2 \times 2 = 4\text{ cm}^2

). Net değişim:

+28 - 4 = +24\text{ cm}^2

(artış). Başlangıç alanı

384\text{ cm}^2

olduğundan yeni alan

384 + 24 = 408\text{ cm}^2

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 36Soru →

Köşeleri $A$ , $B$ ve $C$ olan bir üçgende $B$ köşesindeki iç açının ölçüsü $m(\widehat{ABC}) = 120^\circ$ olarak verilmiştir. Bu üçgende $AB$ kenarının uzunluğu $|AB| = 3\text{ cm}$ ve $BC$ kenarının uzunluğu $|BC| = 5\text{ cm}$ 'dir.

Buna göre, $AC$ kenarının uzunluğu $|AC|$ kaç $\text{cm}$ 'dir?

\sqrt{19}

\sqrt{34}

7

8

4\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AC kenarının uzunluğu 7 cm'dir.

Üçgenin geniş açısının dışındaki

60^\circ

kullanılarak oluşturulan dik üçgende,

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgeni kuralları gereği

|BH| = 1,5\text{ cm}

ve

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur. Büyük

AHC

dik üçgeninde kenarlar

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

ve

|HC| = 6,5\text{ cm}

olup Pisagor bağıntısından

|AC|^2 = 6,75 + 42,25 = 49

elde edilir. Buradan karekök alınarak

AC

kenarının uzunluğu 7 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin

CB

kenarını

B

köşesi yönünde doğrusal olarak uzatalım ve

A

köşesinden bu uzantıya dik inerek bir

[AH]

yüksekliği oluşturalım.

[AH] \perp [HC]

olacak şekilde

AHC

ve

ABH

dik üçgenleri elde edilir.

120^\circ

geniş açısının bütünler (dış) açısı

60^\circ

olduğundan, dışarıda bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgeni oluşturarak bilinmeyen uzunlukları hesaplamak.

2

ABH

dik üçgeninde açıları ve kenar uzunluklarını belirleyelim.

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

ve

m(\widehat{BAH}) = 30^\circ

olur. Hipotenüs

|AB| = 3\text{ cm}

olduğuna göre,

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|BH| = \frac{3}{2} = 1,5\text{ cm}

ve

60^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

olarak bulunur.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

dik üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki dik kenar hipotenüsün yarısına,

60^\circ

'nin karşısındaki dik kenar ise bu yarının

\sqrt{3}

katına eşittir.

3

AHC

büyük dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|AC|

uzunluğunu hesaplayalım.

Taban uzunluğu

|HC| = |HB| + |BC| = 1,5 + 5 = 6,5\text{ cm}

'dir. Yükseklik

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

'dir. Pisagor bağıntısı kurulduğunda:

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2

|AC|^2 = (1,5\sqrt{3})^2 + (6,5)^2

|AC|^2 = 6,75 + 42,25 = 49

|AC| = 7\text{ cm}

bulunur.

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve Pisagor bağıntısı / Kosinüs teoremi uygulaması.

İpuçları

1

Geniş açılı üçgenlerde açının bütünlerini (

180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

) kullanabilmek için dış yükseklik çizmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi doğrudan uygulanabilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ)

formülünde

\cos(120^\circ) = -1/2

yazılarak

|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ cm}

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 37Soru →

Dik koordinat düzleminde, $A(1, 5)$ noktasının $y = x + 1$ doğrusuna göre simetriği $B$ noktası, $y = -x + 5$ doğrusuna göre simetriği ise $C$ noktasıdır. Buna göre; $B$ ve $C$ noktalarından geçen doğrunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

32

27

16

4

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16$

Cevap

Doğrunun eksenlerle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı

16

birimkaredir.

Doğru cevap olan

16

değeri, simetrik noktalar olan

B(4, 2)

ve

C(0, 4)

noktalarından geçen

x + 2y = 8

doğrunun eksenleri kestiği noktaların

(8, 0)

ve

(0, 4)

olmasıyla elde edilir. Bu eksenlerle oluşan dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısı olup,

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

A(1, 5)

noktasının

y = x + 1

do��rusuna göre simetriği olan

B

noktasının koordinatlarını bulma.

B(4, 2)

Bir

(x_0, y_0)

noktasının

y = x + k

doğrusuna göre simetriği

(y_0 - k, x_0 + k)

kuralıyla bulunabilir. Burada

k = 1

olduğundan, simetrik nokta

B(5 - 1, 1 + 1) = B(4, 2)

olur.

2

A(1, 5)

noktasının

y = -x + 5

doğrusuna göre simetriği olan

C

noktasının koordinatlarını bulma.

C(0, 4)

Bir

(x_0, y_0)

noktasının

y = -x + k

doğrusuna göre simetriği

(k - y_0, k - x_0)

kuralıyla bulunabilir. Burada

k = 5

olduğundan, simetrik nokta

C(5 - 5, 5 - 1) = C(0, 4)

olur.

3

B(4, 2)

ve

C(0, 4)

noktalarından geçen doğrunun denklemini yazma.

x + 2y = 8

İki noktası bilinen doğrunun eğimi

m = \frac{4 - 2}{0 - 4} = -\frac{1}{2}

olarak bulunur. Eğimi

-\frac{1}{2}

olan ve

C(0, 4)

noktasından geçen doğrunun denklemi

y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 0)

düzenlendiğinde

x + 2y = 8

elde edilir.

4

x + 2y = 8

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları belirleme.

x

-eksenini kestiği nokta

(8, 0)

ve

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 4)

Doğru denkleminde

y = 0

yazılarak

x

-eksenini kestiği nokta

x = 8

,

x = 0

yazılarak

y

-eksenini kestiği nokta

y = 4

bulunur.

5

Eksenlerle doğru arasında kalan üçgensel bölgenin alanını hesaplama.

16

Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunlukları

8

ve

4

birimdir. Alan =

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkare olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir noktanın birinci ve ikinci açıortay doğrularına paralel doğrulara göre simetrisi, iki noktadan geçen doğrunun denklemi ve doğrunun eksenlerle sınırladığı kapalı bölgenin alan hesabı.

Soru 38Soru →

Dik koordinat düzleminde, uç noktaları $A(-3, 8)$ ve $B(5, -2)$ olan $AB$ doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

2

6

4

7

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Orta noktanın koordinatları toplamı 4'tür.

Orta noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Apsis

x_0 = \frac{-3+5}{2} = 1

ve ordinat

y_0 = \frac{8+(-2)}{2} = 3

olarak elde edilir. Bu koordinatların toplamı ise

1+3=4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Orta noktanın apsisini (

x_0

) bulmak için uç noktaların apsisleri toplanıp ikiye bölünür.

x_0 = \frac{-3 + 5}{2} = 1

Orta noktanın apsisi, uç noktaların apsislerinin aritmetik ortalamasıdır.

2

Orta noktanın ordinatını (

y_0

) bulmak için uç noktaların ordinatları toplanıp ikiye bölünür.

y_0 = \frac{8 + (-2)}{2} = 3

Orta noktanın ordinatı, uç noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

3

Bulunan koordinat değerleri toplanarak sonuç elde edilir.

1 + 3 = 4

Soruda orta noktanın koordinatlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde iki noktanın orta noktasının koordinatlarını bulma.

Soru 39Soru →

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küçük iç açısının ölçüsü $120^\circ$ ve ardışık iç açılar arasındaki fark $5^\circ$ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

8

16

9

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.

Doğru olan kenar sayısı 9, aritmetik dizi toplamı ile çokgenin iç açılar toplamını eşitleyen denklem çözüldüğünde elde edilen iki kökten biridir. Diğer kök olan 16 değeri, çokgenin en büyük iç açısının

195^\circ

olmasına yol açtığı için dışbükeylik kuralını ihlal eder ve elenir. 9 kenarlı çokgenin en büyük iç açısı ise

160^\circ

olup dışbükeylik kuralını tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Kenar sayısı

n

olan bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamını veren genel formülü yazalım.

İç açılar toplamı

= (n - 2) \cdot 180^\circ

şeklindedir.

Çokgenin geometrik özelliklerinden kaynaklanan iç açılar toplamını belirlemek için.

2

En küçük terimi

120^\circ

ve ortak farkı

5^\circ

olan

n

terimli bir aritmetik dizinin toplam formülünü oluşturalım.

S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 120 + (n - 1) \cdot 5] = \frac{n}{2} \cdot (5n + 235)

olur.

Çokgenin iç açılarının aritmetik dizi kuralına göre toplam değerini

n

cinsinden ifade etmek için.

3

Bu iki iç açılar toplamı ifadesini birbirine eşitleyerek

n

değerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem elde edelim.

(n - 2) \cdot 180 = \frac{n}{2} \cdot (5n + 235) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0

elde edilir. Denklemin her iki tarafı da

5

ile bölündüğünde

n^2 - 25n + 144 = 0

denklemi bulunur.

Her iki toplam ifadesi de çokgenin aynı iç açılar toplamını temsil ettiğinden bunları eşitleriz.

4

Elde edilen

n^2 - 25n + 144 = 0

denklemini çarpanlarına ayırarak kökleri bulalım.

(n - 9)(n - 16) = 0 \implies n = 9

veya

n = 16

bulunur.

Kenar sayısı olabilecek olası kök adaylarını tespit etmek için.

5

Köklerin dışbükey (konveks) çokgen kuralına (

a_n < 180^\circ

) uyup uymadığını kontrol edelim.

n = 16

için en büyük iç açı

a_{16} = 120 + (16 - 1) \cdot 5 = 195^\circ

olur.

195^\circ > 180^\circ

olduğundan bu durum dışbükey çokgen tanımına aykırıdır ve elenir.

n = 9

için en büyük iç açı

a_9 = 120 + (9 - 1) \cdot 5 = 160^\circ < 180^\circ

olup dışbükeylik şartını sağlar. Bu yüzden kenar sayısı 9 olmalıdır.

Dışbükey bir çokgenin hiçbir iç açısının

180^\circ

sınırını aşamayacağı geometrik gerçeğini kullanarak geçersiz kökü elemektır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin iç açılarının geometrik sınırlamaları ve aritmetik dizi uygulamaları

İpuçları

1

Çokgenin iç açılarının toplamı

(n - 2) \cdot 180^\circ

formülü ile hesaplanır. Aynı toplamı aritmetik dizi toplam formülü kullanarak da yazın.

2

Elde ettiğiniz iki toplam ifadesini birbirine eşitleyerek

n

değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin ve bu denklemin köklerini bulun.

3

Bulduğunuz köklerin dışbükey çokgen tanımına uyup uymadığını denetleyin. Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı

180^\circ

veya daha fazla olamaz.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri aritmetik dizi oluşturan farklı dışbükey çokgenler için ortak fark ve en küçük açının sınır değerlerini belirlemeye yönelik sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Soru dış açılar üzerinden de çözülebilir. İç açılar en küçükten büyüğe doğru

120^\circ, 125^\circ, \dots

şeklinde

5^\circ

artarken, dış açılar en büyükten küçüğe doğru

60^\circ, 55^\circ, \dots

şeklinde

5^\circ

azalarak gider. Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı her zaman

360^\circ

olduğundan,

n

terimli bu dış açılar toplamı:

\frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 60 + (n - 1) \cdot (-5)] = 360 \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0

denklemini verir. Buradan

n = 9

veya

n = 16

bulunur.

n = 16

için en küçük dış açı negatif (

60 - 15 \cdot 5 = -15^\circ

) olamayacağından bu kök elenir ve cevap 9 olarak kalır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 40Soru →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünden $120^\circ$ fazladır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

6

8

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12

Düzgün bir çokgende bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman

180^\circ

dir. İç açının ölçüsü dış açının ölçüsünden

120^\circ

fazla olduğuna göre, dış açıya

d

dersek iç açı

d + 120^\circ

olur. Buradan

(d + 120^\circ) + d = 180^\circ \implies 2d + 120^\circ = 180^\circ \implies 2d = 60^\circ \implies d = 30^\circ

bulunur. Düzgün çokgenin kenar sayısı

n = \frac{360^\circ}{d}

formülüyle hesaplandığı için,

n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12

olarak elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 12 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

İç açıyı

i

ve dış açıyı

d

olarak adlandırıp aralarındaki temel bağıntıyı ve soruda verilen bilgiyi denkleme dökelim.

i + d = 180^\circ

ve

i - d = 120^\circ

denklemleri elde edilir.

Düzgün çokgenin bir köşesindeki iç ve dış açılar komşu bütünler açılardır (toplamları

180^\circ

dir) ve soruda aralarındaki farkın

120^\circ

olduğu belirtilmiştir.

2

Bu iki denklemi ortak çözerek dış açının (

d

) değerini bulalım.

İlk denklemden ikinci denklem çıkar��ldığında

(i + d) - (i - d) = 180^\circ - 120^\circ \implies 2d = 60^\circ \implies d = 30^\circ

bulunur.

Düzgün çokgenin kenar sayısını belirleyebilmek için dış açısının ölçüsünün bulunması gerekir.

3

Düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı olan

360^\circ

değerini, bulduğumuz dış a��ının ölçüsüne bölerek çokgenin kenar sayısını (

n

) hesaplayalım.

n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12

elde edilir.

Düzgün çokgenlerde kenar sayısı

n = \frac{360^\circ}{\text{Dış Açı}}

formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde iç ve dış açılar arasındaki bütünlerlik ilişkisi ve dış açı yardımıyla kenar sayısının bulunması.

Tahmini Süre:45s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap