Examkin

Problemler

270 soru

Tüm türler270Çoktan seçmeli250Sayısal20
Soru 201Soru →

Bir geri dönüşüm kampanyasında boş plastik şişe, cam şişe ve metal kutu teslim eden kişilere topladıkları atıklar karşılığında şu şekilde puan verilmektedir:

* Her 33 adet plastik şişe için 11 puan,
* Her 22 adet cam şişe için 33 puan,
* Her 44 adet metal kutu için 55 puan.

Bu kampanyaya katılan bir kişi, teslim ettiği plastik şişe sayısının cam şişe sayısının 22 katı olduğu toplam 9494 adet atık teslim etmiş ve karşılığında 8989 puan almıştır.

Buna göre, bu kişi kaç adet metal kutu teslim etmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Teslim edilen metal kutu sayısı 40'tır.
Denklem sistemi kurulup yerine koyma yöntemi uygulandığında, cam şişe sayısı 18, plastik şişe sayısı 36 ve metal kutu sayısı 40 olarak bulunur. Dolayısıyla metal kutu sayısı olan 40 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Atık türleri için değişkenler tanımlanır ve aralarındaki ilişki kullanılarak toplam atık sayısı denklemi yazılır.
Plastik şişe sayısı PP, cam şişe sayısı CC, metal kutu sayısı MM olsun. Soruda P=2CP = 2C olduğu belirtilmiştir. Toplam atık sayısı denkleminde yerine yazarsak:
P+C+M=94P + C + M = 94
2C+C+M=942C + C + M = 94
3C+M=94⇒M=94−3C3C + M = 94 \Rightarrow M = 94 - 3C elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak çözümü kolaylaştırmak amacıyla tüm bilinmeyenleri cam şişe sayısı (CC) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Atıkların puanlama kurallarına göre toplam puan denklemi kurulur.
Plastik şişelerden gelen puan: P3⋅1=2C3\frac{P}{3} \cdot 1 = \frac{2C}{3}
Cam şişelerden gelen puan: C2⋅3=3C2\frac{C}{2} \cdot 3 = \frac{3C}{2}
Metal kutulardan gelen puan: M4⋅5=5M4\frac{M}{4} \cdot 5 = \frac{5M}{4}

Toplam puan denklemi:
2C3+3C2+5M4=89\frac{2C}{3} + \frac{3C}{2} + \frac{5M}{4} = 89
Toplanan puanların atık miktarlarıyla ilişkisini gösteren matematiksel modeli kurmak için bu adım gereklidir.
3
Kurulan puan denkleminde paydalar eşitlenir ve denklem sadeleştirilir.
Paydaları 12 ile genişletelim:
4⋅2C12+6⋅3C12+3⋅5M12=89\frac{4 \cdot 2C}{12} + \frac{6 \cdot 3C}{12} + \frac{3 \cdot 5M}{12} = 89
8C+18C+15M=89⋅128C + 18C + 15M = 89 \cdot 12
26C+15M=106826C + 15M = 1068
Rasyonel katsayılı denklemi tam sayılı doğrusal bir denkleme dönüştürmek için payda eşitleme işlemi yapılır.
4
Birinci adımdaki M=94−3CM = 94 - 3C ifadesi puan denkleminde yerine yazılarak CC değeri bulunur.
26C+15(94−3C)=106826C + 15(94 - 3C) = 1068
26C+1410−45C=106826C + 1410 - 45C = 1068
−19C=1068−1410-19C = 1068 - 1410
−19C=−342-19C = -342
C=18C = 18
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözerek cam şişe sayısını elde etmek için bu adım gereklidir.
5
Bulunan cam şişe sayısı kullanılarak metal kutu sayısı hesaplanır.
M=94−3CM = 94 - 3C
M=94−3(18)M = 94 - 3(18)
M=94−54=40M = 94 - 54 = 40
Soruda bizden istenen metal kutu sayısına (MM) ulaşmak için bu son işlem gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde çok değişkenli durumlar için doğrusal denklem sistemleri kurma ve çözme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 202Soru →

Bir kütüphanedeki kitapların türlerine göre sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kitap TürüKitap Sayısı
Roman120
Tarih90
Bilim60
Şiir30
Kişisel Gelişim60

Buna göre, bu kütüphanedeki kitapların türlerine göre dağılımı bir daire grafiği ile gösterildiğinde, Tarih kitaplarını gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Tarih kitaplarını gösteren daire diliminin merkez açısı 90 derecedir.
Kütüphanedeki tüm kitapların toplam sayısı 360'tır. Daire grafiğinin tamamı da 360 derece olduğuna göre, her 1 kitap daire grafiğinde tam olarak 1 dereceye karşılık gelmektedir. Bu durumda, 90 adet Tarih kitabı grafikte 90 derecelik bir merkez açıya sahip daire dilimiyle gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kütüphanedeki toplam kitap sayısını hesaplamak.
120+90+60+30+60=360120 + 90 + 60 + 30 + 60 = 360 kitap.
Daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ merkez açıya karşılık geldiği için öncelikle kütüphanedeki tüm kitapların toplam sayısını bulmamız gerekir.
2
Tarih kitaplarının sayısının toplam kitap sayısına oranını bulup merkez açısını hesaplamak.
Tarih kitaplarının oranı 90360=14\frac{90}{360} = \frac{1}{4}'tür. Merkez açısı ise 14×360∘=90∘\frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ olarak bulunur.
Toplam 360360 kitap 360∘360^\circ lik dairenin tamamına karşılık geldiğinden, her 11 kitap grafikte 1∘1^\circ lik merkez açı ile temsil edilir. Dolayısıyla 9090 kitap 90∘90^\circ lik açı oluşturur.

Anahtar Kavram

Tablodaki verilerin daire grafiğine aktarılması ve doğru orantı kullanılarak merkez açının hesaplanması.
Soru 203Soru →

Bir mobil oyunda oyuncular topladıkları altınları iki farklı sandık açmak için kullanmaktadır. A tipi sandık açmak için 4040 altın, B tipi sandık açmak için ise 7575 altın harcanmaktadır. Bir oyuncu toplam 1515 sandık açmış ve bu işlem için 810810 altın harcamıştır.

Buna göre, oyuncunun açtığı A tipi sandık sayısı, B tipi sandık sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

A tipi sandık sayısı B tipi sandık sayısından 3 fazladır.
A tipi sandık sayısı 9, B tipi sandık sayısı ise 6 olarak bulunur. Bu iki tür sandığın sayısının farkı 3 olduğundan, doğru cevap 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
A tipi ve B tipi sandık sayıları i��in değişkenler tanımlayarak birinci denklemi kurmak.
x+y=15x + y = 15 denklemi elde edilir.
Toplam sandık sayısının 15 olduğu bilgisi verilmiştir.
2
Sandıkların maliyetlerine göre ikinci denklemi kurup sistemi çözmek.
40x+75y=81040x + 75y = 810 denklemi elde edilir ve bu denklem x+y=15x + y = 15 ile ortak çözülerek x=9x = 9 ve y=6y = 6 bulunur.
Toplam harcanan altın miktarı 810'dur. Yok etme veya yerine koyma metoduyla her bir sandık türünden kaçar adet açıldığı belirlenir.
3
A tipi sandık sayısı ile B tipi sandık sayısı arasındaki farkı hesaplamak.
9−6=39 - 6 = 3 bulunur.
Soruda A tipi sandık sayısının B tipi sandık sayısından kaç fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi

Alternatif Yöntem

Değer verme veya seçenekleri deneme yöntemi kullanılabilir. A ve B tipi sandık sayılarının toplamı 15 olduğuna göre, A tipi sandık sayısını seçeneklerden yola çıkarak tahmin edebiliriz. Örneğin, A tipi 9 ve B tipi 6 olduğunda toplam altın sayısı 9×40+6×75=360+450=8109 \times 40 + 6 \times 75 = 360 + 450 = 810 olur ve fark 9−6=39 - 6 = 3 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 204Soru →

Bir tekstil atölyesinde üretilen bir takım elbisenin üretim maliyeti; %50\%50 kumaş, %30\%30 işçilik ve %20\%20 diğer giderlerden oluşmaktadır.

Bu takım elbisenin maliyet kalemlerinde aşağıdaki fiyat değişimleri gerçekleşmiştir:
* Kumaş fiyatı %30\%30 artmıştır.
* İşçilik ücretleri %20\%20 artmıştır.
* Diğer giderler %5\%5 azalmıştır.

Bu değişimlerden önce, takım elbisenin satış fiyatı maliyeti üzerinden %20\%20 kârla belirlenmekteydi. Maliyet değişimlerinden sonra atölye, eski satış fiyatını %25\%25 oranında artırarak yeni bir satış fiyatı belirlemiştir.

Buna göre, son durumda elde edilen kâr oranı, yeni maliyet üzerinden yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2525

Cevap

Yeni maliyet üzerinden kâr oranı %25'tir.
Başlangıç maliyeti 100 birim kabul edildiğinde; kumaş 50, işçilik 30 ve diğer giderler 20 birimdir. Yeni maliyetler sırasıyla 65, 36 ve 19 birim olup toplam yeni maliyet 120 birim olur. İlk satış fiyatı %20 kârla 120 birimdir ve bu fiyat %25 artırılarak yeni satış fiyatı 150 birim olarak belirlenir. Yeni kâr miktarı 30 birimdir ve yeni maliyet olan 120 birime oranı 30/120 = 1/4 = %25'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Takım elbisenin başlangıçtaki toplam üretim maliyetini 100 birim kabul edip maliyet bileşenlerini belirlemek.
Kumaş maliyeti 50 birim, işçilik maliyeti 30 birim ve diğer giderler 20 birim olur.
Yüzde hesaplamalarını kolay ve anlaşılır kılmak için başlangıç değerini 100 seçmek uygundur.
2
Yeni maliyet kalemlerini verilen yüzdelik değişimlere göre hesaplamak ve yeni toplam maliyeti bulmak.
Yeni kumaş maliyeti: 50×130=6550 \times 1{}30 = 65 birim. Yeni işçilik maliyeti: 30×120=3630 \times 1{}20 = 36 birim. Yeni diğer giderler: 20×095=1920 \times 0{}95 = 19 birim. Yeni toplam maliyet: 65+36+19=12065 + 36 + 19 = 120 birim olur.
Her bir maliyet kaleminin yeni değerini toplayarak güncel toplam maliyeti elde etmek gerekir.
3
Değişimlerden önceki satış fiyatını ve bu fiyat üzerinden yapılan artışla yeni satış fiyatını hesaplamak.
İlk satış fiyatı (maliyet üzerinden %20 kârla): 100×120=120100 \times 1{}20 = 120 birim. Yeni satış fiyat�� (eski satış fiyatının %25 fazlası): 120×125=150120 \times 1{}25 = 150 birim olur.
Kâr oranını bulabilmek için yeni satış fiyatının sayısal değerini elde etmek gerekir.
4
Yeni maliyet ve yeni satış fiyatı arasındaki farktan kâr miktarını bulup, bu kârın yeni maliyete oranını hesaplamak.
Yeni kâr miktarı: 150−120=30150 - 120 = 30 birim. Yeni kâr oranı: 30120=025\frac{30}{120} = 0{}25, yani %25\%25 olur.
Son durumdaki kâr oranını bulmak için elde edilen kâr miktarı yeni maliyete bölünmelidir.

Anahtar Kavram

Maliyet bileşenlerindeki değişimlerin toplam maliyete etkisini bulma, eski ve yeni satış fiyatlarını belirleme ve yeni kâr oranını yeni maliyet tabanına göre hesaplama.

Alternatif Yöntem

Başlangıç maliyeti 100x olarak alınabilir. Kumaş 50x, işçilik 30x, diğer giderler 20x olur. Yeni maliyet: 50x×130+30x×120+20x×095=65x+36x+19x=120x50x \times 1{}30 + 30x \times 1{}20 + 20x \times 0{}95 = 65x + 36x + 19x = 120x. İlk satış fiyatı 100x×120=120x100x \times 1{}20 = 120x ve yeni satış fiyatı 120x×125=150x120x \times 1{}25 = 150x olur. Kâr = 150x−120x=30x150x - 120x = 30x. Yeni maliyete oranla kâr: 30x120x=%25\frac{30x}{120x} = \%25.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 205Soru →

Bir bilimsel araştırma projesine ayrılan toplam bütçenin 13\frac{1}{3}'i laboratuvar cihazlarının alımına harcanmıştır. Kalan bütçenin 35\frac{3}{5}'ü saha araştırmaları için kullanılmış, geriye kalan kısmın ise yarısı akademik yayınların basım giderleri i��in ayrılmıştır.

Tüm bu harcamalardan sonra projenin bütçesinde 24.00024.000 TL kaldığına göre, bu araştırma projesine ayrılan toplam bütçe kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180.000180.000

Cevap

Toplam bütçe 180.000180.000 TL'dir.
Doğru yanıt olan 180.000180.000 TL değerine ulaşmak için bütçe adımları geriye doğru veya bilinmeyen bir değişken (30x30x) atanarak çözülebilir. 30x30x bütçenin 13\frac{1}{3}'i (10x10x) harcandıktan sonra kalan 20x20x'in 35\frac{3}{5}'ü (12x12x) saha araştırmalarına harcanır. Kalan 8x8x'in yarısı (4x4x) yayın giderlerine harcandığında geriye kalan 4x4x bütçe 24.00024.000 TL'ye eşit olur. Buradan x=6.000x = 6.000 ve toplam bütçe 30×6.000=180.00030 \times 6.000 = 180.000 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam bütçeyi hem 3'e, hem 5'e hem de yarısı dendiği için 2'ye kolayca bölünebilecek bir değişken olarak seçelim. Paydaların en küçük ortak katı (3×5×2=303 \times 5 \times 2 = 30) üzerinden bütçeye 30x30x diyelim.
Toplam bütçe = 30x30x
Kesirlerle uğraşmamak ve işlemleri tam sayılarla kolayca yürütmek için.
2
Laboratuvar cihazları için yapılan harcamayı bulalım ve kalan bütçeyi hesaplayalım. Bütçenin 13\frac{1}{3}'i harcandığına göre: 30x×13=10x30x \times \frac{1}{3} = 10x laboratuvar cihazlarına harcanır. Kalan bütçe: 30x−10x=20x30x - 10x = 20x olur.
Kalan bütçe = 20x20x
Bir sonraki harcamanın kalan bütçe üzerinden yapılacağını belirtmek için.
3
Saha araştırmaları harcamasını ve sonrasındaki kalan bütçeyi hesaplayalım. Kalan bütçenin (20x20x) 35\frac{3}{5}'ü harcandığına göre: 20x×35=12x20x \times \frac{3}{5} = 12x saha araştırmalarına harcanır. Yeni kalan bütçe: 20x−12x=8x20x - 12x = 8x olur.
Yeni kalan bütçe = 8x8x
Bir sonraki adım olan yayın giderlerinin bu kalan miktar üzerinden hesaplanması için.
4
Yayın basım giderlerini ve en son kalan bütçeyi bulalım. Geriye kalan kısmın (8x8x) yarısı harcandığına göre: 8x×12=4x8x \times \frac{1}{2} = 4x yayın giderlerine ayrılır. En son kalan bütçe: 8x−4x=4x8x - 4x = 4x olur.
En son kalan bütçe = 4x4x
Kalan bütçeyi verilen parasal değere eşitlemek için.
5
En son kalan bütçeyi 24.00024.000 TL'ye eşitleyip xx değerini bulalım ve toplam bütçeyi hesaplayalım. 4x=24.000  ⟹  x=6.0004x = 24.000 \implies x = 6.000 TL. Toplam bütçe: 30x=30×6.000=180.00030x = 30 \times 6.000 = 180.000 TL bulunur.
Toplam bütçe = 180.000180.000 TL
Soruda istenen projenin başlangıçtaki toplam bütçesini bulmak için.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde kalan miktar üzerinden ardışık hesaplama yapma
Soru 206Soru →

Bir e-ticaret sitesi, satıcılarından sattıkları her ürün için satış fiyatı üzerinden %20\%20 oranında komisyon kesmektedir. Bir satıcı, bu e-ticaret sitesinde sattığı bir üründen komisyon kesildikten sonra eline geçen tutar üzerinden %28\%28 kâr elde etmektedir. Bu ürünün satıcıya olan maliyeti 125 TL125\text{ TL} olduğuna göre, ürünün e-ticaret sitesindeki satış fiyatı kaç TL\text{TL}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200 TL200\text{ TL}

Cevap

200 TL
Ürünün maliyeti 125 TL125\text{ TL}'dir. Komisyon kesildikten sonra elde edilen kâr %28\%28 olduğundan, satıcının eline geçen net tutar 125×1.28=160 TL125 \times 1.28 = 160\text{ TL}'dir. E-ticaret sitesi %20\%20 komisyon kestiği için satıcının eline geçen tutar, satış fiyatının %80\%80'ine eşittir. Buradan satış fiyatı 160/0.80=200 TL160 / 0.80 = 200\text{ TL} olarak bulunur. Bu nedenle doğru cevap 200 TL olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Komisyon sonrası satıcının eline geçen net tutarı hesaplamak.
Net tutar = 160 TL160\text{ TL}'dir.
Satıcı komisyon sonrası eline geçen tutar üzerinden %28\%28 kâr elde ettiğinden, net tutar maliyetin 1.281.28 katı olmalıdır: 125×1.28=160 TL125 \times 1.28 = 160\text{ TL}.
2
Komisyon oranını dikkate alarak satış fiyatını belirlemek.
Satış fiyatı = 200 TL200\text{ TL}'dir.
E-ticaret sitesi satış fiyatı üzerinden %20\%20 komisyon kestiği için, satıcının eline geçen net tutar satış fiyatının %80\%80'ine karşılık gelir. Buradan 0.80×S=1600.80 \times S = 160 denkleminden satış fiyatı S=200 TLS = 200\text{ TL} bulunur.

Anahtar Kavram

Komisyon kesintisi içeren kâr ve zarar problemleri çözümü.
Soru 207Soru →

Bir alışveriş merkezinde yukarı doğru sabit hızla hareket eden bir yürüyen merdiveni kullanan Hakan, merdivenin hareket yönünde kendi sabit hızıyla yürüyerek çıktığında toplam 20 adım atarak en üst noktaya ulaşıyor. Hakan, yürüyen merdivenin hızı değişmeden kendi yürüme hızını 2 katına çıkarıp aynı yönde yürürse en üst noktaya ulaştığında toplam 24 adım atmış oluyor.

Buna göre, Hakan çalışmakta olan bu yürüyen merdivende hiç adım atmadan sabit dursaydı, merdiven onu en üst noktaya Hakan'ın ilk yürüme hızıyla tek başına atacağı kaç adımın süresine eşit bir sürede ulaştırırdı?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Hakan'ın ilk yürüme hızıyla 60 adım atacağı süre
Hakan'ın ilk yürüme hızıyla attığı adımların süresi ile merdivenin taşıma süresi arasındaki ilişki kurulduğunda, merdivenin Hakan'ı tek başına en üste çıkarma süresinin Hakan'ın ilk hızıyla 60 adım atacağı süreye eşit olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Hakan'ın yürüme hızını vHv_H, merdivenin hızını vev_e ve merdivenin toplam basamak uzunluğunu LL olarak tanımlayarak ilk durum için denklem kuralım.
Hakan ilk hızında 20 adım attığı için geçen süre t1=20vHt_1 = \frac{20}{v_H} olur. Bu sürede merdivenin aldığı yol ve⋅t1=20vevHv_e \cdot t_1 = \frac{20v_e}{v_H} basamaktır. Merdivenin toplam boyu: L=20+20vevHL = 20 + \frac{20v_e}{v_H} şeklinde ifade edilir.
Hakan'ın attığı adım sayısı ile merdivenin onu taşıdığı mesafenin toplamı merdivenin toplam boyuna eşittir.
2
Hakan'ın hızını 2 katına çıkardığı ikinci durum için denklem kuralım.
Hakan yürüme hızını 2vH2v_H yaptığında 24 adım atmıştır. Geçen süre t2=242vH=12vHt_2 = \frac{24}{2v_H} = \frac{12}{v_H} olur. Bu sürede merdivenin aldığı yol ve⋅t2=12vevHv_e \cdot t_2 = \frac{12v_e}{v_H} basamaktır. Merdivenin toplam boyu: L=24+12vevHL = 24 + \frac{12v_e}{v_H} olur.
İkinci durumdaki yürüme süresi ve hız değişimiyle kat edilen toplam yolu belirlemek için.
3
Her iki durum için yazılan LL ifadelerini birbirine eşitleyerek hızlar arasındaki ilişkiyi ve merdivenin basamak cinsinden boyunu bulalım.
20+20vevH=24+12vevH  ⟹  8vevH=4  ⟹  vH=2ve20 + \frac{20v_e}{v_H} = 24 + \frac{12v_e}{v_H} \implies \frac{8v_e}{v_H} = 4 \implies v_H = 2v_e elde edilir. Bu oranı ilk denklemde yerine yazarsak L=20+20⋅(12)=30L = 20 + 20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 30 basamak bulunur.
Yürüyen merdivenin hızı ile Hakan'ın yürüme hızı arasındaki oranı ve merdivenin toplam fiziksel uzunluğunu belirlemek için.
4
Hakan'ın merdiven üzerinde adım atmadan durduğu durumdaki süreyi hesaplayalım ve Hakan'ın adım süresine oranlayalım.
Hakan sabit durduğunda merdiven onu t3=Lve=30vet_3 = \frac{L}{v_e} = \frac{30}{v_e} sürede en üste çıkarır. Hakan'ın ilk yürüme hızıyla (vHv_H) atacağı NN adımın süresi NvH\frac{N}{v_H} olduğuna göre, 30ve=NvH  ⟹  N=30⋅vHve\frac{30}{v_e} = \frac{N}{v_H} \implies N = 30 \cdot \frac{v_H}{v_e} olur. vH=2vev_H = 2v_e olduğundan N=30⋅2=60N = 30 \cdot 2 = 60 adım süresi elde edilir.
Merdivenin tek başına taşıma süresinin Hakan'ın ilk hızıyla kaç adıma karşılık geldiğini bulmak için.

Anahtar Kavram

Yürüyen merdiven problemlerinde bağıl hareket ve hız-zaman-yol ilişkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 208Soru →

Bir matbaadaki iki farklı baskı makinesinden birincisi bir derginin tamamını tek başına 1212 saatte, ikincisi ise tek başına 1818 saatte basabilmektedir. Bu iki makine birlikte çalışmaya başladıktan 33 saat sonra birinci makine arızalanarak devre dışı kalmıştır. Kalan dergilerin basımını ikinci makine tek başına tamamladığına göre, dergilerin tamamının basılması toplam kaç saat sürmüştür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13513{}5

Cevap

Dergilerin tamamının basılması toplam 13513{}5 saat sürmüştür.
Makinelerin saatlik hızları sırasıyla 112\frac{1}{12} ve 118\frac{1}{18}'dir. Birlikte 33 saat çalışarak işin 3⋅(112+118)=5123 \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\right) = \frac{5}{12}'sini yaparlar. Kalan 712\frac{7}{12}'lik işi ikinci makine tek başına 7/121/18=105\frac{7/12}{1/18} = 10{}5 saatte tamamlar. Böylece başlangıçtaki 33 saatlik ortak çalışma süresiyle birlikte toplam süre 3+105=1353 + 10{}5 = 13{}5 saat olur.

Adım Adım Çözüm

1
Makinelerin birim zamanda yaptıkları iş miktarlarını (hızlarını) belirleyin.
Birinci makinenin saatlik hızı 112\frac{1}{12}, ikinci makinenin saatlik hızı ise 118\frac{1}{18}'dir.
İşçi problemlerinde birim zamandaki iş miktarını bulmak için işin tamamlanma süresinin çarpmaya göre tersi alınır.
2
İki makinenin birlikte 33 saatte yaptığı toplam iş miktarını hesaplayın.
3⋅(112+118)=3⋅536=5123 \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\right) = 3 \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{12}
Birlikte geçen sürede yapılan toplam işi bulmak için ortak hız ile çalışma süresi çarpılır.
3
Kalan iş miktarını ve ikinci makinenin bu işi tek başına bitirme süresini bulun.
Kalan iş: 1−512=7121 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}'dir. İkinci makinenin kalan işi bitirme süresi: 7/121/18=712⋅18=105\frac{7/12}{1/18} = \frac{7}{12} \cdot 18 = 10{}5 saattir.
Kalan iş miktarı toplam işten yapılan kısım çıkarılarak bulunur ve bu miktar ikinci makinenin hızına bölünerek yalnız çalışma süresi elde edilir.
4
İşin tamamlanması için geçen toplam süreyi hesaplayın.
3+105=1353 + 10{}5 = 13{}5 saat.
Toplam süre, makinelerin birlikte çalıştığı 33 saatlik süre ile ikinci makinenin tek başına çalıştığı 10510{}5 saatlik sürenin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarları (hızlar) üzerinden denklem kurma.
Soru 209Soru →

Dairesel bir pist etrafında aynı noktadan aynı anda ve zıt yönlerde sabit hızlarla koşmaya başlayan iki sporcudan hızlı olanının hızı, yavaş olanının hızının 22 katıdır. Bu iki sporcu ilk kez karşılaştıktan 1212 dakika sonra, yavaş olan sporcu başlangıç noktasına ulaşıyor. Buna göre, hızlı olan sporcu pistin tamamını tek başına kaç dakikada koşar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Hızlı olan sporcu pistin tamamını 9 dakikada koşar.
Yavaş sporcunun hızı vv, hızlı sporcunun hızı 2v2v alındığında karşılaşma süresi tt için pistin çevresi 3vt3vt olur. Karşılaşma anında hızlı sporcu 2vt2vt yol almıştır. Karşılaşmadan sonra yavaş sporcu başlangıç noktasına dönmek için bu 2vt2vt mesafesini kendi hızı olan vv ile 12 dakikada alır. Buradan 2t=12⇒t=62t = 12 \Rightarrow t = 6 dakika bulunur. Pistin tamamı 18v18v olduğundan hızlı olan sporcu bu yolu 18v/2v=918v / 2v = 9 dakikada tamamlar. Bu nedenle 9 dakika seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sporcuların hızlarını ve pist üzerindeki hareketlerini tanımlama
Yavaş olan sporcunun hızı vv ise hızlı olanın hızı 2v2v olur. Zıt yönlerde hareket ettiklerinden karşılaşma süresi tt olmak üzere, pistin çevresi x=(2v+v)⋅t=3vtx = (2v + v) \cdot t = 3vt olarak yazılır.
Hareketlilerin hızları arasındaki oranı belirlemek ve pistin toplam uzunluğunu hızlar cinsinden ifade etmek için.
2
Karşılaşma noktasına kadar alınan yolları bulma
Karşılaşma anına kadar hızlı olan sporcu 2vt2vt, yavaş olan sporcu ise vtvt kadar yol alır. Toplam yol 3vt3vt olur.
Karşılaşma anında her bir sporcunun pistin ne kadarını katettiğini belirlemek için.
3
Karşılaşmadan sonra yavaş olan sporcunun kalan yolu tamamlamasını denkleme dökme
Karşılaşma noktasından sonra yavaş olan sporcu başlangıç noktasına ulaşmak için hızlı sporcunun geldiği yolu (2vt2vt mesafesini) kendi hızı olan vv ile koşmalıdır. Bu süre 1212 dakika olarak verilmiştir: 2vtv=12⇒2t=12⇒t=6\frac{2vt}{v} = 12 \Rightarrow 2t = 12 \Rightarrow t = 6 dakika bulunur.
Karşılaşma sonrası geçen süreyi kullanarak karşılaşma süresini (t) tespit etmek için.
4
Pistin toplam uzunluğunu ve hızlı olan sporcunun pisti tamamlama süresini hesaplama
Pistin tamamı x=3vt=3v⋅6=18vx = 3vt = 3v \cdot 6 = 18v olur. Hızlı olan sporcunun (hızı 2v2v) tüm pisti koşma süresi ise x2v=18v2v=9\frac{x}{2v} = \frac{18v}{2v} = 9 dakika olarak hesaplanır.
Pistin toplam uzunluğunu belirleyip hızlı sporcunun hızına bölerek sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Zıt yönlü dairesel hareket problemlerinde karşılaşma süresi ve karşılaştıktan sonra kalan yolların hızlar oranıyla ilişkisi.
Soru 210Soru →

Bir boya ustası, sarı ve mavi boyaları karıştırarak yeşil boya elde etmektedir. Ustanın elinde iki farklı yeşil boya karışımı vardır:

* I. karışımın ağırlıkça %30\%30'u sarı boyadır.
* II. karışımın ağırlıkça %60\%60'ı sarı boyadır.

Usta; I. karışımdan xx gram, II. karışımdan ise yy gram alarak yeni bir yeşil boya karışımı elde ettiğinde bu karışımın sarı boya oranı %40\%40 olmaktadır.

Eğer usta; I. karışımdan yy gram, II. karışımdan ise xx gram alıp bu karışıma 100100 gram saf sarı boya ekleseydi, elde edeceği yeni karışımın sarı boya oranı %55\%55 olacaktı.

Buna göre, başlangıçtaki x+yx + y toplamı kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 900

Cevap

Başlangıçtaki toplam karışım miktar�� olan x + y değeri 900 gramdır.
İlk karışımdan elde edilen denklem yardımıyla x = 2y bağıntısı bulunur. İkinci karışımdaki değerler yerine yazıldığında 0.3y + 0.6x + 100 = 0.55(x + y + 100) denklemi elde edilir. Bu denklemde x yerine 2y yazılarak y = 300 gram ve buna bağlı olarak x = 600 gram hesaplanır. Toplam karışım miktarı olan x + y ise 900 gram olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
I. ve II. karışımların sarı boya oranlarını kullanarak ilk durum için denklem kurulur.
0.3x+0.6y=0.4(x+y)0.3x + 0.6y = 0.4(x + y) denklemi elde edilir. Buradan 0.3x+0.6y=0.4x+0.4y  ⟹  0.2y=0.1x  ⟹  x=2y0.3x + 0.6y = 0.4x + 0.4y \implies 0.2y = 0.1x \implies x = 2y ilişkisi bulunur.
Karışımlardaki sarı boya miktarının, toplam karışım miktarına oranı olan %40\%40'a eşitlenerek xx ile yy arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
2
İkinci durum için sarı boya miktarı ve toplam karışım miktarı cinsinden denklem kurulur.
0.3y+0.6x+100=0.55(x+y+100)0.3y + 0.6x + 100 = 0.55(x + y + 100) denklemi elde edilir.
İkinci durumda I. karışımdan yy gram, II. karışımdan xx gram alınıp 100100 gram saf sarı boya eklendiğinde toplam sarı boya miktarı ve toplam karışım ağırlığı belirlenerek %55\%55'lik orana eşitlenir.
3
Birinci adımda bulunan x=2yx = 2y eşitliği ikinci denklemde yerine yazılarak yy değeri çözülür.
0.3y+0.6(2y)+100=0.55(2y+y+100)  ⟹  1.5y+100=0.55(3y+100)  ⟹  1.5y+100=1.65y+55  ⟹  0.15y=45  ⟹  y=3000.3y + 0.6(2y) + 100 = 0.55(2y + y + 100) \implies 1.5y + 100 = 0.55(3y + 100) \implies 1.5y + 100 = 1.65y + 55 \implies 0.15y = 45 \implies y = 300 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek yy değişkeninin değerini bulmak amaçlanır.
4
Bulunan yy değeri kullanılarak xx değeri ve ardından x+yx + y toplamı hesaplanır.
x=2×300=600x = 2 \times 300 = 600 gram ve x+y=600+300=900x + y = 600 + 300 = 900 gram olarak bulunur.
Soruda istenen başlangıçtaki toplam ağırlığı elde etmek için her iki bileşenin de değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde miktarı ve toplam karışım miktarı üzerinden oran denklemleri kurma ve çözme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 211Soru →

Bir kargo dronu, rüzgârsız bir havada saatte ortalama 80 km80\text{ km} sabit hızla uçabilmektedir. Bu dron, rüzgârın A merkezinden B merkezine doğru saatte 20 km20\text{ km} sabit hızla estiği bir günde, A merkezinden B merkezine gidip hiç beklemeden tekrar A merkezine dönmüştür. Dronun bu gidiş-dönü�� yolculuğu toplam 4 saat4\text{ saat} sürdüğüne göre, A ile B merkezleri arasındaki mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

A ile B merkezleri arasındaki mesafe 150 km150\text{ km}'dir.
Dronun rüzgârla aynı yöndeki gidiş hızı saatte 100 km100\text{ km}, rüzgâra karşı dönüş hızı ise saatte 60 km60\text{ km}'dir. dd mesafesi için gidiş süresi d100\frac{d}{100} ve dönüş süresi d60\frac{d}{60} saattir. Toplam süre 44 saat olduğuna göre, d100+d60=4\frac{d}{100} + \frac{d}{60} = 4 denklemi kurulur. Payda eşitlemesiyle 8d300=4\frac{8d}{300} = 4 ve buradan d=150 kmd = 150\text{ km} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dronun gidiş ve dönüş hızlarını belirleyin.
Gidiş hızı rüzgâr yönünde olduğu için 80+20=100 km/sa80 + 20 = 100\text{ km/sa}; dönüş hızı rüzgâra karşı olduğu için 80−20=60 km/sa80 - 20 = 60\text{ km/sa} olarak bulunur.
Rüzgâr, hareket yönüyle aynı yöndeyken hızı artırır, zıt yöndeyken ise hızı azaltır.
2
Gidiş ve dönüş süreleri için zaman denklemini kurun.
A ile B arası mesafeye dd denirse, gidiş süresi t1=d100t_1 = \frac{d}{100} saat ve dönüş süresi t2=d60t_2 = \frac{d}{60} saat olur.
Zaman formülü t=YolHızt = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}} şeklindedir.
3
Toplam süreyi 44 saate eşitleyip denklemi çöz��n.
d100+d60=4\frac{d}{100} + \frac{d}{60} = 4 denkleminde paydalar 300300 değerinde eşitlendiğinde 3d+5d300=4  ⟹  8d300=4  ⟹  8d=1200  ⟹  d=150 km\frac{3d + 5d}{300} = 4 \implies \frac{8d}{300} = 4 \implies 8d = 1200 \implies d = 150\text{ km} bulunur.
Gidiş ve dönüş sürelerinin toplamı 44 saattir.

Anahtar Kavram

Rüzgâr/akıntı etkisi altındaki hareket problemlerinde hız değişimi ve gidiş-dönüş süreleri üzerinden yol hesabı.

İpuçları

1
Dronun rüzgâr yönünde giderken ve rüzgâra karşı dönerken hızlarının farklı olacağını unutmayın.
2
Gidiş hızı saatte 80+20=100 km80 + 20 = 100\text{ km}, dönüş hızı ise saatte 80−20=60 km80 - 20 = 60\text{ km} olur.
3
Yol dd kilometredir. Gidiş süresi d100\frac{d}{100} saat, dönüş süresi d60\frac{d}{60} saattir. Bu iki sürenin toplamını 44 saate eşitleyip denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı akıntı hızı içeren nehir problemlerinde de uygulayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Gidiş ve dönüş hızları sırasıyla v1=100 km/sav_1 = 100\text{ km/sa} ve v2=60 km/sav_2 = 60\text{ km/sa}'dir. Bu iki hızın harmonik ortalaması alınarak ortalama hız Vort=2⋅100⋅60100+60=75 km/saV_{ort} = \frac{2 \cdot 100 \cdot 60}{100 + 60} = 75\text{ km/sa} olarak bulunur. Toplam uçuş süresi 44 saat olduğundan toplam alınan yol 75⋅4=300 km75 \cdot 4 = 300\text{ km}'dir. Gidiş-dönüş mesafesi eşit olduğundan, tek yönlü mesafe 300/2=150 km300 / 2 = 150\text{ km} olarak elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 212Soru →

Bir depodaki rafta A, B ve C olmak üzere üç farklı türde kutu bulunmaktadır. Bu kutuların ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her bir A kutusunun ağırlığı, her bir B kutusunun ağırlığının 22 katına, her bir C kutusunun ağırlığının ise 33 katına eşittir.
* Raftaki B kutularının sayısı, A kutularının sayısının yarısından 22 fazladır.
* Raftaki C kutularının sayısı, A kutularının sayısının 22 katından 55 eksiktir.
* Raftaki tüm kutuların toplam ağırlığı, raftaki B ve C kutularının toplam sayısı kadar A kutusunun toplam ağırlığına eşittir.

Buna göre, bu rafta bulunan toplam kutu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1111

Cevap

Toplam kutu sayısı 1111 olarak bulunur.
A, B ve C kutularının ağırlıkları sırasıyla 6x6x, 3x3x ve 2x2x olarak belirlendikten sonra, A kutusunun sayısı 2y2y seçilerek B kutusunun sayısı y+2y+2, C kutusunun sayısı ise 4y−54y-5 olarak yazılır. Toplam ağırlık olan x(23y−4)x(23y-4) ifadesi, B ve C kutularının toplam adedi olan 5y−35y-3 tane A kutusunun ağırlığına (6x(5y−3)6x(5y-3)) eşitlendiğinde y=2y = 2 bulunur. Buradan kutu sayıları sırasıyla 44, 44 ve 33 olarak elde edilir ve toplamları 1111 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuların birer adetlerinin ağırlıklarını ortak bir değişken cinsinden ifade edelim.
A, B ve C kutularının ağırlıkları sırasıyla wA=6xw_A = 6x, wB=3xw_B = 3x ve wC=2xw_C = 2x olarak belirlenir.
A kutusunun ağırlığının, B'nin 22 katı ve C'nin 33 katı olduğu belirtilmiştir. En küçük ortak kat olan 66 katsayısı seçilerek kesirli sayılarla işlem yapılması önlenir.
2
Kutuların sayılarını belirlemek için A kutusunun sayısına bağlı bir değişken tanımlayalım.
A kutularının sayıs�� nA=2yn_A = 2y olsun. Bu durumda B kutularının sayısı nB=y+2n_B = y + 2 ve C kutularının sayısı nC=4y−5n_C = 4y - 5 olur.
B kutularının sayısı A'nın yarısından 22 fazla olduğu için, A kutularının sayısını çift (2y2y) seçerek kesirli ifadelerden kaçınırız. C kutularının sayısı ise 2⋅(2y)−5=4y−52 \cdot (2y) - 5 = 4y - 5 olarak yazılır.
3
Raftaki kutuların toplam ağırlığını (WW) hesaplayalım.
W=2y⋅(6x)+(y+2)⋅(3x)+(4y−5)⋅(2x)=x(23y−4)W = 2y \cdot (6x) + (y + 2) \cdot (3x) + (4y - 5) \cdot (2x) = x(23y - 4) bulunur.
Her bir kutu türünün sayısı ile o türe ait bir kutunun ağırlığı çarpılıp toplanarak toplam ağırlık elde edilir.
4
B ve C kutularının toplam sayısı kadar A kutusunun toplam ağırlığını (W′W') hesaplayalım.
nB+nC=(y+2)+(4y−5)=5y−3n_B + n_C = (y + 2) + (4y - 5) = 5y - 3 adet A kutusunun ağırlığı W′=(5y−3)⋅6x=x(30y−18)W' = (5y - 3) \cdot 6x = x(30y - 18) olur.
Soruda verilen eşitlik şartını uygulayabilmek için karşılaştırma ağırlığı oluşturulur.
5
Toplam ağırlıkları birbirine eşitleyerek yy değişkenini bulalım.
x(23y−4)=x(30y−18)  ⟹  23y−4=30y−18  ⟹  7y=14  ⟹  y=2x(23y - 4) = x(30y - 18) \implies 23y - 4 = 30y - 18 \implies 7y = 14 \implies y = 2 bulunur.
x>0x > 0 olduğu için sadeleştirilir ve birinci dereceden denklem çözülür.
6
Bulunan y=2y = 2 değerini yerine yazarak toplam kutu sayısını hesaplayalım.
nA=4n_A = 4, nB=4n_B = 4 ve nC=3n_C = 3 olup, toplam kutu sayısı 4+4+3=114 + 4 + 3 = 11 olarak bulunur.
Her bir kutu türünün sayısı ayrı ayrı bulunup toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde bilinmeyenleri doğru tanımlama, ortak değişken kullanma ve doğrusal denklem kurup çözme.

Alternatif Yöntem

Ağırlıklar arasındaki oranlardan yararlanarak, toplam ağırlık dengesini doğrudan birim kutu cinsinden kurmak da mümkündür. Örneğin A kutusunun ağırlığı 66 birim kabul edilirse, B kutusu 33 birim, C kutusu ise 22 birim olur. Toplam ağırlık 12y+3(y+2)+2(4y−5)=23y−412y + 3(y+2) + 2(4y-5) = 23y - 4 birimdir. B ve C kutularının toplam sayısı 5y−35y - 3 olup, bu sayıdaki A kutusunun ağırlığı 6(5y−3)=30y−186(5y-3) = 30y - 18 birimdir. Bu iki ifade eşitlendiğinde y=2y = 2 değeri doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 213Soru →

Bir zeytinyağı üreticisi, ürettiği zeytinyağının tamamını belirli bir maliyetle elde etmiştir. Depolama sürecinde zeytinyağının \%20'si sızarak dökülmüştür. Üretici, geriye kalan zeytinyağının tamamını satarak tüm süreçten \%12 kâr elde etmiştir.

Buna göre, zeytinyağında sızıntı olmasaydı ve zeytinyağının tamamı aynı birim satış fiyatıyla satılsaydı, üreticinin elde edeceği kâr oranı yüzde kaç olurdu?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Zeytinyağında sızıntı olmasayd�� üreticinin elde edeceği kâr oranı %40 olurdu.
Zeytinyağının başlangıçtaki toplam miktarı 100100 litre ve litre başına maliyeti 11 TL olarak kabul edildiğinde toplam maliyet 100100 TL olur. %20\%20 sızıntı sonrasında kalan 8080 litre zeytinyağının satışından %12\%12 kâr elde edebilmek için toplam gelirin 112112 TL olması gerekir. Bu durumda geriye kalan zeytinyağının litre satış fiyatı 112/80=1,4112 / 80 = 1,4 TL olarak bulunur. Sızıntı gerçekleşmeseydi, 100100 litre zeytinyağının tamamı litre başına 1,41,4 TL'den satılacak ve toplamda 140140 TL gelir elde edilecekti. Bu durumda başlangıçtaki 100100 TL maliyete göre kâr oranı %40\%40 olurdu. Dolayısıyla doğru yanıt %40\%40 kâr oranını belirten seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki toplam zeytinyağı miktarını ve birim maliyeti tanımlama
Toplam zeytinyağı miktarı 100100 litre, litre başına maliyet 11 TL ve toplam maliyet 100100 TL olur.
Hesaplamaları kolaylaştırmak için 100100 üzerinden bir başlang��ç değeri seçilir.
2
Sızıntı sonrası kalan zeytinyağı miktarını hesaplama
Geriye kalan zeytinyağı miktarı 100−20=80100 - 20 = 80 litredir.
Zeytinyağının %20\%20'sinin sızarak zayi olduğu belirtildiği için kalan miktar bulunur.
3
Ende edilmesi gereken toplam geliri belirleme
Toplam gelir 100×1,12=112100 \times 1,12 = 112 TL olmalıdır.
Tüm süreçten %12\%12 kâr elde edilmek istendiğinden, toplam gelirin maliyetin %112\%112'sine eşit olması gerekir.
4
Kalan zeytinyağının birim satış fiyatını hesaplama
Birim satış fiyatı 112/80=1,4112 / 80 = 1,4 TL/litre olur.
Toplam geliri geriye kalan miktara bölerek birim satış fiyatı bulunur.
5
Sızıntı olmasaydı elde edilecek toplam geliri hesaplama
Sızıntı olmasaydı toplam gelir 100×1,4=140100 \times 1,4 = 140 TL olacaktı.
Sızıntı olmasaydı başlangıçtaki tüm miktar (100100 litre) hesaplanan birim satış fiyatından satılacaktı.
6
Sızıntı olmaması durumundaki kâr oranını hesaplama
Kâr oranı %40\%40 olur.
100100 TL maliyetle 140140 TL gelir elde edildiğinde kâr 4040 TL olur, bu da %40\%40 kâr oranına karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Kar ve zarar problemlerinde fire/sızıntı durumlarında birim maliyetin değişimi ve toplam kâr oranının birim satış fiyatı üzerinden belirlenmesi.
Soru 214Soru →

Bir dil kursundaki öğrencilerin %60\%60'ı kadın, %40\%40'ı ise erkektir. Dönem sonunda kadın öğrencilerin %30\%30'u, erkek öğrencilerin ise %55\%55'i kursu tamamlayamayıp ayrılmıştır.

Buna göre, kursu tamamlayan öğrenciler arasında erkek öğrencilerin oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kursu tamamlayan öğrenciler arasında erkek öğrencilerin oranı yüzde 30'dur.
Kursu tamamlayan erkek öğrenci sayısının (18), kursu tamamlayan tüm öğrencilerin sayısına (60) oranı 1860=310=%30\frac{18}{60} = \frac{3}{10} = \%30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kursun başlangıcındaki toplam öğrenci sayısını 100 olarak kabul ederek kadın ve erkek öğrenci sayılarını belirleyelim.
Kadın öğrenci sayısı 100×%60=60100 \times \%60 = 60, erkek öğrenci sayısı ise 100×%40=40100 \times \%40 = 40 olur.
Yüzde işlemlerini daha kolay ve tam sayılarla yapabilmek için başlangıç değerini 100 seçmek pratik bir yöntemdir.
2
Kursu tamamlayamayıp ayrılan kadın ve erkek öğrenci sayılarını kendi grupları üzerinden hesaplayalım.
Ayrılan kadın sayısı: 60×30100=1860 \times \frac{30}{100} = 18 kişi. Ayrılan erkek sayısı: 40×55100=2240 \times \frac{55}{100} = 22 kişi.
Ayrılan öğrenci oranları, kursun başlangıcındaki kendi gruplarının mevcudu üzerinden hesaplanmalıdır.
3
Kursu tamamlayan (geriye kalan) kadın, erkek ve toplam öğrenci sayılarını bulalım.
Kalan kadın sayısı: 60−18=4260 - 18 = 42 kişi. Kalan erkek sayısı: 40−22=1840 - 22 = 18 kişi. Toplam kalan öğrenci sayısı: 42+18=6042 + 18 = 60 kişi.
Yeni oranı bulmak için kalan erkek öğrenci sayısını ve kalan toplam öğrenci mevcudunu belirlememiz gerekir.
4
Kursu tamamlayan erkek öğrencilerin, kursu tamamlayan toplam öğrencilere oranını yüzdeye dönüştürelim.
Erkek oranı: 1860=310=%30\frac{18}{60} = \frac{3}{10} = \%30 olarak bulunur.
İstenen oran, kalan erkek sayısının yeni toplam mevcuda bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde temel değer (payda) değiştiğinde, yeni yüzdelerin yeni toplam üzerinden hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 215Soru →

Bir çeviri bürosu, teslim aldığı büyük bir projenin çevirisi için şu şekilde bir iş paylaşımı yapmıştır:

* Projenin 14\frac{1}{4}'ünü birinci çevirmen üstlenmiştir.
* Kalan kısmın 25\frac{2}{5}'ini ikinci çevirmen üstlenmiştir.
* Geriye kalan kısmın 13\frac{1}{3}'ünden 10 sayfa fazlasını üçüncü çevirmen üstlenmiştir.
* Son durumda geriye kalan 50 sayfayı ise dördüncü çevirmen çevirmiştir.

Buna göre, bu projenin tamamı kaç sayfadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Projenin tamamı 200 sayfadır.
Denklemler doğru kurulup çözüldüğünde toplam sayfa sayısı 200 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm projenin sayfa sayısına XX diyelim. Birinci çevirmen projenin 14\frac{1}{4}'ünü yaptığında geriye kalan sayfa sayısını belirleyelim.
Geriye kalan sayfa sayısı: X−14X=34XX - \frac{1}{4}X = \frac{3}{4}X olur.
Sonraki adımlarda yapılacak kesir hesaplamaları bu kalan miktar üzerinden yürütülecektir.
2
İkinci çevirmen kalan kısmın 25\frac{2}{5}'ini üstlenmiştir. Geriye kalan kısmı bulalım.
İkinci çevirmenden sonra kalan kısım: 34X×(1−25)=34X×35=920X\frac{3}{4}X \times (1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{4}X \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}X olur.
Bir sonraki çevirmenin payı bu yeni kalan üzerinden belirlenecektir.
3
Üçüncü çevirmen, kalan kısmın (920X\frac{9}{20}X) 13\frac{1}{3}'ünden 10 sayfa fazlasını üstlenmiştir. Son durumda geriye kalan sayfa sayısını ifade eden denklemi kuralım.
Son kalan kısım: 920X−(13×920X+10)=920X−320X−10=620X−10=310X−10\frac{9}{20}X - \left(\frac{1}{3} \times \frac{9}{20}X + 10\right) = \frac{9}{20}X - \frac{3}{20}X - 10 = \frac{6}{20}X - 10 = \frac{3}{10}X - 10 olur.
Bu kalan kısım dördüncü çevirmenin yaptığı sayfa sayısına eşittir.
4
Elde edilen son ifadeyi dördüncü çevirmenin yaptığı 50 sayfaya eşitleyerek XX bilinmeyenini çözelim.
310X−10=50  ⟹  310X=60  ⟹  3X=600  ⟹  X=200\frac{3}{10}X - 10 = 50 \implies \frac{3}{10}X = 60 \implies 3X = 600 \implies X = 200 buluruz.
Böylece tüm projenin sayfa sayısı elde edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde ardışık kalan miktarlar üzerinden denklem kurma.

Alternatif Yöntem

Geriye doğru gitme yöntemi kullanılabilir: Son durumda kalan 50 sayfaya üçüncü çevirmenin aldığı 10 sayfa eklenirse 60 sayfa olur. Bu 60 sayfa, üçüncü çevirmen payını almadan önceki kısmın 1−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}'sidir. Buradan üçüncü çevirmenden önceki kısım 60×32=9060 \times \frac{3}{2} = 90 sayfadır. Bu 90 sayfa, ikinci çevirmen payını almadan önceki kısmın 1−25=351 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}'üdür. Buradan ikinci çevirmenden önceki kısım 90×53=15090 \times \frac{5}{3} = 150 sayfadır. Bu 150 sayfa ise birinci çevirmen payını almadan önceki kısmın 1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}'üdür. Buradan projenin tamamı 150×43=200150 \times \frac{4}{3} = 200 sayfa olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 216Soru →

Bir kırtasiyeci, elindeki kalemleri başlangıçta her birinde 1212 veya 1818 kalem olacak şekilde paketlemiştir. Başlangıçta 1212 kalem içeren paketlerin sayısı, 1818 kalem içeren paketlerin sayısının 33 katıdır.

Kırtasiyeci, 1212 kalem içeren paketlerden 1010 tanesini açmış ve bu paketlerdeki kalemlerin tamamını 1818 kalem içeren paketlerin bazılarının her birine 66'şar kalem ekleyerek bu paketleri 2424'lü paketler haline getirmiştir.

Son durumda kırtasiyedeki 1212 kalem içeren paketlerin sayısı, 1818 kalem içeren paketlerin sayısının 55 kat�� olmuştur.

Buna göre, başlangıçta paketlenen toplam kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2430

Cevap

Başlangıçta paketlenen toplam kalem sayısı 2430'dur.
Doğru cevap olan seçenekteki sayıya ulaşmak için başlangıçtaki 18'li paket sayısı x, 12'li paket sayısı ise 3x olarak tanımlanır. 10 adet 12'li paket açıldığında 120 kalem açığa çıkar ve kalan 12'li paket sayısı 3x - 10 olur. Açığa çıkan kalemler 18'li paketlere 6'şar 6'şar eklendiğinde 20 adet 18'li paket 24'lü pakete dönüşür, böylece kalan 18'li paket sayısı x - 20 olur. Son durumda 3x - 10 = 5(x - 20) eşitliğinden x = 45 bulunur. Başlangıçtaki toplam kalem sayısı 18x + 36x = 54x formülünden 54 * 45 = 2430 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki paket sayıları için değişken tanımlama ve toplam kalem sayısını ifade etme
1818 kalem içeren paket sayısı xx olsun. Bu durumda 1212 kalem içeren paket sayısı 3x3x olur. Başlangıçtaki toplam kalem sayısı: 18⋅x+12⋅3x=18x+36x=54x18 \cdot x + 12 \cdot 3x = 18x + 36x = 54x olur.
Soruda verilen oranları kullanarak tüm değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için bu adım gereklidir.
2
Açılan paketlerden gelen toplam kalem sayısını ve dönüşen paket sayısını hesaplama
Açılan 1010 adet 1212'li paketten 10⋅12=12010 \cdot 12 = 120 adet kalem elde edilir. Bu kalemler 1818'li paketlere 66'şar adet eklendiğine göre, 120/6=20120 / 6 = 20 adet 1818'li paket 2424'lü pakete dönüştürülmüştür.
18'li paket say��sındaki azalışı ve yeni oluşan 24'lü paket sayısını bulmak için açılan paketlerdeki kalemlerin nasıl dağıtıldığını hesaplamamız gerekir.
3
Son durumdaki paket sayılarını belirleme ve denklem kurma
Son durumda:
- Kalan 1212'li paket sayısı: 3x−103x - 10
- Kalan 1818'li paket sayısı: x−20x - 20 olur.

Soruda verilen bilgiye göre son durumda kalan 1212'li paket sayısı, kalan 1818'li paket sayısının 55 katıdır:
3x−10=5(x−20)3x - 10 = 5(x - 20)
3x−10=5x−1003x - 10 = 5x - 100
2x=902x = 90
x=45x = 45 bulunur.
Son durumdaki paket ilişkilerini kullanarak bilinmeyen x değerini çözmek için denklem kurulur ve çözülür.
4
Toplam kalem sayısını hesaplama
x=45x = 45 olduğuna göre başlangıçtaki toplam kalem sayısı:
54x=54⋅45=243054x = 54 \cdot 45 = 2430 olarak bulunur.
İlk adımda bulduğumuz toplam kalem sayısı formülünde x değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürme ve denklem çözme.

İpuçları

1
Başlangıçtaki 18'li paket sayısına x diyerek işe başlayın ve 12'li paket sayısını x cinsinden yazın.
2
Açılan 10 adet 12'li paketten toplam kaç kalem çıktığını ve bu kalemlerin kaç tane 18'li paketi 24'lü pakete dönüştüreceğini hesaplayın.
3
Kalan 12'li paket sayısının (3x - 10), kalan 18'li paket sayısının (x - 20) 5 katı olduğunu gösteren 3x - 10 = 5(x - 20) denklemini çözün.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 217Soru →

Bir fırında, bir usta tek başına bir tepsi böreği 15 dakikada, çırağı ise tek başına aynı tepsi böreği 30 dakikada pişirebilmektedir.

Buna göre, usta ve çırak birlikte çalışarak aynı tepsi böreği kaç dakikada pişirirler?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Usta ve çırak birlikte çalışarak böreği 10 dakikada pişirirler.
Usta 1 dakikada işin 115\frac{1}{15}'ini, çırak ise 130\frac{1}{30}'unu yapar. Birlikte çalıştıklarında 1 dakikada işin 115+130=230+130=330=110\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}'unu bitirirler. İşin tamamı ise bu hızla 10 dakikada tamamlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ustanın ve çırağın 1 dakikada pişirebildikleri börek miktarını kesir olarak ifade etmek.
Usta 1 dakikada böreğin 115\frac{1}{15}'ini, çırak ise 130\frac{1}{30}'unu pişirir.
İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarları üzerinden işlem yapılır.
2
Birlikte çalıştıklarında 1 dakikada pişecek toplam börek miktarını bulmak için hızlarını toplamak.
115+130=230+130=330=110\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}
Ortak çalışmada birim zamandaki iş miktarları toplanır.
3
Böreğin tamamının pişme süresini bulmak için 1 dakikada yapılan iş oranının çarpmaya göre tersini almak.
11/10=10\frac{1}{1/10} = 10 dakika.
Birim zamandaki iş miktarının tersi, işin tamamlanma süresini verir.

Anahtar Kavram

İşçilerin birim zamanda yaptıkları iş miktarlarını toplayarak ortak çalışma süresini bulma.

İpuçları

1
Usta ve çırağın 1 dakikada işin kaçta kaçını bitirdiklerini ayrı ayrı bulun.
2
Ustanın hızı 115\frac{1}{15}, çırağın hızı ise 130\frac{1}{30}'dur. Birlikte çalıştıklarında 1 dakikada yapacakları iş miktarını bulmak için bu hızları toplayıp payda eşitleyin.
3
Birlikte 1 dakikada 330=110\frac{3}{30} = \frac{1}{10} kadar iş yaparlar. İşin tamamının bitme süresi bu oranın tersidir.

Daha Fazla Pratik

Ustanın çıraktan 3 kat daha hızlı olduğu ve birlikte bir işi 12 günde bitirdikleri durumlarda çırağın tek başına bitirme süresi sorulabilir.

Alternatif Yöntem

İşin tamamı (börek) 30 birim olsun. Usta tek başına 15 dakikada pişiriyorsa dakikada 2 birim, çırak tek başına 30 dakikada pişiriyorsa dakikada 1 birim iş yapar. İkisi birlikte dakikada 2 + 1 = 3 birim iş yaparlar. Toplam 30 birimlik iş, birlikte 30 / 3 = 10 dakikada tamamlanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 218Soru →

Bir teknoloji şirketinin yıllık araştırma-geliştirme (Ar-Ge) bütçesinin harcama planı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yıllık bütçenin 14\frac{1}{4}'i personel maaşlarına ayrılmıştır.
* Personel maaşları ayrıldıktan sonra kalan bütçenin 25\frac{2}{5}'si yeni laboratuvar cihazlarının alımına ayrılmıştır.
* Laboratuvar cihazları alındıktan sonra kalan bütçenin 13\frac{1}{3}'i ile bilimsel yayın ve patent başvuru masrafları karşılanmıştır.
* Tüm bu harcamalardan sonra geriye kalan bütçenin 310\frac{3}{10}'ü ile bir araştırma projesine ek kaynak sağlanmıştır.
* En son geriye kalan kısım ise faturalar ve bina bakım masrafları için eşit olarak ikiye bölünmüştür.

Bina bakım masrafları için ayrılan pay, bilimsel yayın ve patent başvuru masrafları için ayrılan paydan 180.000180.000 TL daha az olduğuna göre, araştırma projesine sağlanan ek kaynak kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360.000

Cevap

Araştırma projesine sağlanan ek kaynak 360.000 TL'dir.
Doğru cevap olan 360.000 TL, bütçe adımlarının sırasıyla kalan miktarlar üzerinden hesaplanması ve elde edilen denklemden toplam bütçenin 4.000.000 TL olarak bulunmasıyla elde edilir. Bu bütçenin 9/100'ü araştırma projesine aktarılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam bütçeye BB diyerek birinci adım harcamasını ve kalan bütçeyi bulma.
Personel maaşı = 14B\frac{1}{4}B, kalan bütçe (Kalan 1) = 34B\frac{3}{4}B olur.
Laboratuvar harcaması kalan bütçe üzerinden yapılacağı için Kalan 1 hesaplanmalıdır.
2
Laboratuvar cihazlarına ayrılan payı ve yeni kalan bütçeyi hesaplama.
Laboratuvar cihazları = 25×34B=310B\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}B = \frac{3}{10}B, kalan bütçe (Kalan 2) = 34B−310B=920B\frac{3}{4}B - \frac{3}{10}B = \frac{9}{20}B olur.
Yayın ve patent masrafları bu yeni kalan bütçeden karşılanacaktır.
3
Bilimsel yayın ve patent masraflarını ve yeni kalan bütçeyi hesaplama.
Yayın ve patent masrafları = 13×920B=320B\frac{1}{3} \times \frac{9}{20}B = \frac{3}{20}B, kalan bütçe (Kalan 3) = 920B−320B=310B\frac{9}{20}B - \frac{3}{20}B = \frac{3}{10}B olur.
Araştırma projesi ek kaynağı bu yeni kalan bütçeden ayrılacaktır.
4
Araştırma projesine ayrılan payı ve en son geriye kalan kısmı hesaplama.
Araştırma projesi ek kaynak = 310×310B=9100B\frac{3}{10} \times \frac{3}{10}B = \frac{9}{100}B, kalan son bütçe (Kalan 4) = 310B−9100B=21100B\frac{3}{10}B - \frac{9}{100}B = \frac{21}{100}B olur.
Bina bakım ve fatura payları bu son kalan bütçeden elde edilecektir.
5
Bina bakım masrafları payını belirleme.
Bina bakım masrafı = Kalan 4'ün yarısı = 21100B×12=21200B\frac{21}{100}B \times \frac{1}{2} = \frac{21}{200}B olur.
Sorudaki fark ilişkisinde kullanmak üzere bina bakım payının bütçeye oranını bulmamız gerekir.
6
Bina bakım payı ile yayın/patent payı arasındaki farkı 180.000 TL'ye eşitleyerek toplam bütçeyi bulma.
Fark = 320B−21200B=30−21200B=9200B\frac{3}{20}B - \frac{21}{200}B = \frac{30 - 21}{200}B = \frac{9}{200}B. Buradan 9200B=180.000→B=4.000.000\frac{9}{200}B = 180.000 \rightarrow B = 4.000.000 TL olarak bulunur.
Tüm bütçe payları toplam bütçe BB cinsinden ifade edildiği için BB'nin sayısal değerini bulmalıyız.
7
Araştırma projesine sağlanan ek kaynağın TL cinsinden değerini bulma.
Araştırma projesi payı = 9100B=9100×4.000.000=360.000\frac{9}{100} B = \frac{9}{100} \times 4.000.000 = 360.000 TL.
Soru kökünde araştırma projesine aktarılan ek kaynak sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde kalan miktar üzerinden ardışık kesir hesaplama.

Alternatif Yöntem

Toplam bütçeye paydaların en küçük ortak katı (EKOK) cinsinden bir değişken vererek kesirli işlemlerden kaçınmak. Paydalar olan 4, 5, 3 ve 100 dikkate alındığında toplam bütçeye 200x diyerek adımları tam sayılarla gerçekleştirebiliriz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 219Soru →

Bir çiçekçide bir gün boyunca satılan toplam 180180 adet çiçeğin türlerine göre dağılımı bir daire grafiği ile gösterilmektedir.

Bu grafikte, satılan güllerin miktarını gösteren daire diliminin merkez açısı 80∘80^\circ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, çiçekçide o gün satılan gül sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Satılan gül sayısı 40 adettir.
Toplam 180180 adet çiçeğin tamamı daire grafiğinde 360∘360^\circ lik açıyla temsil edilmektedir. Bu durumda, her 1∘1^\circ lik açı 180÷360=0,5180 \div 360 = 0,5 adet çiçeğe karşılık gelir. Gül miktarını gösteren merkez açı 80∘80^\circ olduğuna göre, satılan gül sayısı 80×0,5=4080 \times 0,5 = 40 adet olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Daire grafiğinin tamamının kaç dereceye karşılık geldiğini belirleme.
Bir daire grafiğinin tamamı 360∘360^\circ dir.
Grafik problemlerinde dairenin tamamı her zaman 360∘360^\circ lik bir merkez açıyla temsil edilir.
2
Toplam çiçek sayısı ile merkez açı arasında orantı kurma.
Toplam 180180 adet çiçek 360∘360^\circ lik daire grafiği ile gösterildiğine göre, her 1∘1^\circ lik merkez açıya 180÷360=0,5180 \div 360 = 0,5 adet çiçek düşer.
Çiçek sayısı ile merkez açı arasında doğru orantı vardır.
3
Güllerin sayısını hesaplama.
Gülleri gösteren merkez açı 80∘80^\circ olduğuna göre, gül sayısı 80×0,5=4080 \times 0,5 = 40 adet olarak bulunur.
Doğru orantı kurularak gül sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Daire grafiğinde merkez açı ile miktar arasındaki doğru orantı ilişkisi.

İpuçları

1
Daire grafiğinin tamamının 360∘360^\circ lik bir açıya karşılık geldiğini unutmayın.
2
Toplam çiçek sayısı olan 180180 adet çiçeğin tamamı 360∘360^\circ ile gösterilmiştir. 80∘80^\circ lik açının kaç çiçeğe karşılık geleceğini bulmak için doğru orantı kurabilirsiniz.
3
Gül sayısı = Gu¨l ac¸ısı360∘×Toplam c¸ic¸ek sayısı\frac{\text{Gül açısı}}{360^\circ} \times \text{Toplam çiçek sayısı} formülünü kullanarak hesaplama yapabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Bir daire grafiğindeki verilerin sütun grafiğine aktarıldığı benzer bir grafik okuma sorusu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğru orantı kurmak yerine kat ilişkisini kullanabilirsiniz. 360∘360^\circ, toplam çiçek sayısı olan 180180'in tam olarak 22 katıdır. Bu durumda grafikteki her açının yarısı kadar çiçek satılmıştır. Buradan hareketle güllerin açısı olan 80∘80^\circ'nin yarısı olan 4040 adet gül satıldığını doğrudan görebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 220Soru →

Bir mağaza, tanesini 200 TL200\text{ TL}'ye mal ettiği bir sırt çantasını %40\%40 kârla etiketlemiştir. Bu sırt çantası etiket fiyatı üzerinden %10\%10 indirimle satıldığına göre, mağazanın bu çantanın satışından elde ettiği kâr yüzdesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Sırt çantasının satışından elde edilen son kâr yüzdesi %26'dır.
Sırt çantasının maliyeti 200 TL200\text{ TL}'dir. %40\%40 kârlı etiket fiyatı 200×14=280 TL200 \times 1{}4 = 280\text{ TL} olur. Bu etiket fiyatı üzerinden yapılan %10\%10 indirim 28 TL28\text{ TL}'ye karşılık gelir ve indirimli satış fiyatı 280−28=252 TL280 - 28 = 252\text{ TL} olarak bulunur. Mağazanın elde ettiği kâr 252−200=52 TL252 - 200 = 52\text{ TL}'dir. Kâr yüzdesi ise maliyete göre hesaplandığından 52200=%26\frac{52}{200} = \%26 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sırt çantasının etiket fiyatını hesaplamak.
280 TL280\text{ TL}
Maliyet fiyatına %40\%40 kâr eklenerek başlangıçtaki etiket fiyatı belirlenir.
2
Uygulanan indirim miktarını hesaplamak.
28 TL28\text{ TL}
İndirim etiket fiyatı üzerinden yapılacağı için 280 TL280\text{ TL}'nin %10\%10'u hesaplanır.
3
İndirimli satış fiyatını bulmak.
252 TL252\text{ TL}
Etiket fiyatından indirim miktarı çıkarılarak nihai satış fiyatı elde edilir.
4
Maliyet üzerinden kâr yüzdesini hesaplamak.
26
Satış fiyatı (252 TL252\text{ TL}) ile maliyet (200 TL200\text{ TL}) arasındaki fark olan 52 TL52\text{ TL} kâr, maliyet fiyatına oranlanarak yüzdeye dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Ardışık kâr ve indirim uygulamalarında toplam kâr veya zararı maliyet fiyatı üzerinden yüzde olarak hesaplama.
ÖncekiSayfa 11 / 14Sonraki