Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 soru

Tüm türler131Çoktan seçmeli115Sayısal16
Soru 21Soru →

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,

(a+5b)⋅(c−4b) (a + 5b) \cdot (c - 4b)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift say��dır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

a+b+ca + b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen çarpımın tek sayı olması, (a+5b)(a + 5b) ve (c−4b)(c - 4b) ifadelerinin her ikisinin de tek olmasını gerektirir. 4b4b çift olduğundan cc tek sayıdır. a+5ba + 5b ifadesinin tek olması için aa ve bb zıt teklik-çiftlik durumunda olmalıdır, bu da a+ba+b toplamını her zaman tek yapar. Tek olan (a+b)(a+b) ifadesi ile tek olan cc toplandığında sonuç her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın tek sayı olma durumunu analiz etmek
a+5ba + 5b ve c−4bc - 4b ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
c−4bc - 4b ifadesinden cc sayısının teklik-çiftlik durumunu bulmak
cc tek sayıdır.
bb tam sayı olduğundan 4b4b ifadesi her zaman çift sayıdır. Çift bir sayıdan ancak tek bir sayı çıkarıldığında sonuç tek sayı olacağından cc tek sayı olmalıdır.
3
a+5ba + 5b ifadesinden aa ve bb sayılarının durumunu analiz etmek
aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
Toplamın tek sayı olması için terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir. 5b5b ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile aynıdır. Dolayısıyla aa ve bb zıt karakterdedir ve a+ba+b toplamı her zaman tektir.
4
a+b+ca + b + c ifadesinin durumunu değerlendirmek
a+b+ca + b + c ifadesi her zaman çifttir.
a+ba+b toplamının tek olduğunu bulmuştuk. cc sayısı da tek olduğundan, iki tek sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki davranışları

İpuçları

1
İki sayının çarpımının tek olması için bu sayıların her birinin tek olması gerektiğini unutmayın.
2
4b4b ifadesi her zaman çifttir. Buradan cc'nin teklik durumunu, ardından da aa ile bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde bölme işlemi içeren tek ve çift sayı ifadelerinde paydanın durumuna dikkat ederek çözüm yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılabilir: cc tek sayı olduğundan c=1c = 1 seçelim. aa ve bb zıt karakterde olduğundan a=1,b=0a = 1, b = 0 değerlerini vererek seçenekleri elediğimizde sadece aradığımız ifadenin çift kaldığını görebiliriz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →

xx negatif, yy ise pozitif bir gerçel sayıdır.

Buna göre, x−yx - y farkı ile her zaman aynı işarete sahip olan ifade hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅yx \cdot y

Cevap

x⋅yx \cdot y ifadesi
Verilen koşullara göre x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğundan, x−yx - y farkı her zaman negatif bir değer alır. Benzer şekilde, negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olan x⋅yx \cdot y ifadesi de her zaman negatiftir. Bu nedenle bu iki ifadenin işareti her zaman aynıdır.

Adım Adım Çözüm

1
xx ve yy sayılarının işaretlerini belirleyip x−yx - y ifadesinin işaretini inceleyelim.
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu verilmiştir. x−yx - y ifadesi, negatif bir sayıdan pozitif bir sayının çıkarılmasıdır. Küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için sonuç her zaman negatiftir.
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının farkı (x−yx - y) her zaman negatiftir.
2
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini tek tek inceleyerek her zaman negatif olan ifadeyi bulalım.
y−xy - x ifadesi pozitif, x⋅yx \cdot y ifadesi negatif, x2⋅yx^2 \cdot y ifadesi pozitif, yx2\frac{y}{x^2} ifadesi pozitif olup x+yx + y ifadesinin işareti belirsizdir.
Her seçeneğin işaret analizini yapmak, x−yx - y ile aynı işarete sahip olan ifadeyi belirlememizi sağlar.
3
Elde edilen işaretleri karşılaştırarak doğru seçeneği belirleyelim.
x−yx - y her zaman negatif olduğundan, seçenekler arasından her zaman negatif olan x⋅yx \cdot y ifadesi doğru cevaptır.
İki ifadenin de her koşulda negatif olması, işaretlerinin aynı olmasını garantiler.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem ve işaret kuralları
Soru 23Soru →

Aralarında asal iki pozitif tam sayının en büyük ortak böleni 11'dir. Yani, aa ve bb sayıları aralarında asal ise EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) = 1 olur. Örneğin; ardışık iki pozitif tam sayı veya ardışık iki pozitif tek tam sayı her zaman aralarında asaldır.

Buna göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14 ve 15

Cevap

14 ve 15 çifti aralarında asaldır.
14 ve 15 sayıları ardışık sayılardır ve ardışık pozitif tam sayıların 1'den başka ortak böleni yoktur. Dolayısıyla en büyük ortak bölenleri 1'dir ve aralarında asallardır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralarında asal sayıların tanımını ve EBOB ilişkisini hatırlayınız.
��ki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.
Soruda verilen kurala göre aralarında asal olan sayı çiftinin EBOB'u 1 olmal��dır.
2
Seçeneklerdeki sayı çiftlerinin ortak bölenlerini inceleyiniz.
15 ve 25 sayıları 5'e, 9 ve 27 sayıları 9'a, 13 ve 39 sayıları 13'e, 14 ve 21 sayıları ise 7'ye bölünür. Ancak 14 ve 15 ardışık sayılar olup 1 dışında ortak bölenleri yoktur.
Ardışık iki pozitif tam sayının ortak böleni yalnızca 1'dir.
3
EBOB değeri 1 olan seçeneği belirleyiniz.
EBOB(14, 15) = 1 olduğundan 14 ve 15 sayı çifti aralarında asaldır.
Aralarında asallık tanımını tam olarak karşılayan tek çift ardışık olan 14 ve 15 çiftidir.

Anahtar Kavram

İki sayının ortak bölenlerinin sadece 1 olması durumunda bu sayılar aralarında asal olur. Ardışık tam sayılar her zaman aralarında asaldır.
Soru 24Soru →
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x3⋅(y−z)>0x^3 \cdot (y - z) > 0
y2⋅(x−y)<0y^2 \cdot (x - y) < 0
z⋅(y−x)5<0z \cdot (y - x)^5 < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: zx2+y2\frac{z}{x^2 + y^2}

Cevap

Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümünü temsil eden ifade her zaman negatiftir.
Payı oluşturan zz ifadesi kesin olarak negatif bir sayıdır. Paydadaki x2+y2x^2 + y^2 ifadesi ise sıfırdan farklı iki gerçel sayının kareleri toplamı olduğundan kesinlikle pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya oranı her zaman negatif olacağından, payı negatif ve paydası pozitif olan rasyonel ifade her zaman negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
y2⋅(x−y)<0y^2 \cdot (x - y) < 0 eşitsizliğini analiz edin.
x<yx < y
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın negatif olabilmesi için x−y<0x - y < 0 olmalıdır, bu da x<yx < y sonucunu verir.
2
z⋅(y−x)5<0z \cdot (y - x)^5 < 0 eşitsizliğini analiz edin.
z<0z < 0
Birinci adımda x<yx < y olduğu bulunmuştu. Buradan y−x>0y - x > 0 elde edilir. Pozitif bir sayının tek kuvveti de pozitif olacağından (y−x)5>0(y - x)^5 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için zz sayısının negatif olması gerekir.
3
x3⋅(y−z)>0x^3 \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğini ve olası durumları inceleyin.
z<0<x<yz < 0 < x < y veya x<y<z<0x < y < z < 0
z<0z < 0 olduğundan iki durum mevcuttur. Eğer x>0x > 0 ise x3>0x^3 > 0 olur ve çarpımın pozitif olması için y−z>0  ⟹  y>zy - z > 0 \implies y > z olmalıdır. Buradan z<0<x<yz < 0 < x < y elde edilir. Eğer x<0x < 0 ise x3<0x^3 < 0 olur ve çarpımın pozitif olması için y−z<0  ⟹  y<zy - z < 0 \implies y < z olmalıdır. Buradan x<y<z<0x < y < z < 0 elde edilir.
4
Seçenekleri bu iki duruma göre değerlendirin.
Payı negatif, paydası pozitif olan rasyonel ifadenin her zaman negatif olduğu görülür.
Her iki durumda da z<0z < 0 ve x2+y2>0x^2 + y^2 > 0 özellikleri değişmez. Dolayısıyla bu iki ifadenin oranı her zaman negatiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →
Rakamları birbirinden farklı, ABCABC ve CBACBA üç basamaklı doğal sayıları için,
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
eşitliği sağlanmaktadır. ABCABC sayısı 99 ile tam bölünebildiğine ve BB bir çift rakam olduğuna göre, bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2592

Cevap

Bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı 25922592 sayısıdır.
Üç basamaklı sayıların çözümlenmesiyle elde edilen 99(A−C)=396  ⟹  A−C=499(A-C) = 396 \implies A-C = 4 bağıntısından yola çıkılarak sıfırdan farklı (A,C)(A, C) rakam ikilileri bulunur. Her bir durum için A+B+CA+B+C toplamının 9'un katı olması ve BB'nin çift rakam olması koşulları test edildiğinde sadece 783783, 864864 ve 945945 sayılarının bu kurallara uyduğu görülür. Bu sayıların toplamı 25922592'dir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılarının çözümlenmiş hâllerini yazarak farklarını bulalım.
99(A−C)=396  ⟹  A−C=499(A - C) = 396 \implies A - C = 4 elde edilir.
Basamak analizi kurallarına göre ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve CBA=100C+10B+ACBA = 100C + 10B + A yazılabilir.
2
AA ve CC rakamlarının alabileceği değerleri belirleyelim.
(A,C)(A, C) çiftleri (5,1)(5, 1), (6,2)(6, 2), (7,3)(7, 3), (8,4)(8, 4) ve (9,5)(9, 5) olabilir.
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılar olduğundan yüzler basamağındaki AA ve CC sıfır olamaz.
3
ABCABC sayısının 9 ile tam bölünebilme ve BB'nin çift rakam olma koşullarını kontrol edelim.
Sadece (7,3)(7, 3) için B=8  ⟹  783B=8 \implies 783, (8,4)(8, 4) için B=6  ⟹  864B=6 \implies 864 ve (9,5)(9, 5) için B=4  ⟹  945B=4 \implies 945 sayıları koşulları sağlar.
A+B+CA+B+C toplamının 9'un katı olması gerekir. (5,1)(5, 1) için B=3B=3 (tek) ve (6,2)(6, 2) için B=1B=1 (tek) olduğundan bu durumlar elenir.
4
Koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarını toplayalım.
783+864+945=2592783 + 864 + 945 = 2592 bulunur.
Bizden istenen değer tüm olası ABCABC sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve farklarının alınması ile elde edilen 99(A−C)99(A-C) özelliğinin kullanılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →
15,21,27,…,12915, 21, 27, \dots, 129

Yukarıda verilen ardışık sayı dizisinin terim sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Dizinin terim sayısı 20'dir.
Doğru cevap 20 sayısıdır. Verilen dizinin ilk terimi 15, son terimi 129 ve ardışık terimler arasındaki ortak fark 6'dır. Terim sayısı formülü uygulandığında: (Son Terim - İlk Terim) / Ortak Fark + 1 = (129 - 15) / 6 + 1 = 114 / 6 + 1 = 19 + 1 = 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk terimini, son terimini ve terimler arasındaki artış miktarını (ortak farkı) belirleyin.
İlk terim = 15, son terim = 129, artış miktarı = 6.
Terim sayısı formülünü uygulayabilmek için bu üç temel sayısal değere ihtiyaç vardır.
2
Terim sayısı formülünü uygulayarak hesaplamayı gerçekleştirin.
Terim sayısı = (129 - 15) / 6 + 1 = 114 / 6 + 1 = 19 + 1 = 20.
Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı, son terim ile ilk terim arasındaki farkın artış miktarına bölünmesi ve sonuca 1 eklenmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayılarda terim sayısı formülünün uygulanması

İpuçları

1
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısını bulmak için ilk terim, son terim ve terimler arasındaki artış miktarını belirlemelisiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 27Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!−2⋅y!y!=118\frac{x! - 2 \cdot y!}{y!} = 118
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131

Cevap

Farklı x değerlerinin toplamı 131'dir.
Denklem sadeleştirildiğinde x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 oranına ulaşılır. Bu oranı sağlayan pozitif tam sayı çiftleri ardışık çarpan analiziyle (120,119)(120, 119), (6,3)(6, 3) ve (5,1)(5, 1) olarak belirlenir. Buradan elde edilen farklı x değerleri 120120, 66 ve 55 olup toplamları 131131 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi paylarına bölerek sadeleştirin.
x!y!−2⋅y!y!=118  ⟹  x!y!−2=118\frac{x!}{y!} - \frac{2 \cdot y!}{y!} = 118 \implies \frac{x!}{y!} - 2 = 118
Denklemi daha basit bir faktöriyel oranı halinde inceleyebilmek için payda yer alan terimleri ortak paydaya bölerek ayırırız.
2
x!y!\frac{x!}{y!} oranını yalnız bırakın.
x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120
Faktöriyellerin bölümünden kalan ardışık çarpanların değerini bulabilmek için eşitliğin her iki tarafına 2 ekleriz.
3
Ardışık sayıların çarpımı 120 olacak şekilde xx ve yy pozitif tam sayı durumlarını belirleyin.
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak yazabileceğimiz durumlar şunlardır:
- Tek çarpan olarak: 120=120  ⟹  120!119!=120  ⟹  x=120,y=119120 = 120 \implies \frac{120!}{119!} = 120 \implies x = 120, y = 119
- Üç ardış��k çarpan olarak: 6⋅5⋅4=120  ⟹  6!3!=120  ⟹  x=6,y=36 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies \frac{6!}{3!} = 120 \implies x = 6, y = 3
- Dört ardışık çarpan olarak: 5⋅4⋅3⋅2=120  ⟹  5!1!=120  ⟹  x=5,y=15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \implies \frac{5!}{1!} = 120 \implies x = 5, y = 1
(Not: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=120  ⟹  5!0!5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \implies \frac{5!}{0!} durumu da mevcuttur ancak y pozitif bir tam sayı olması gerektiği için y = 0 durumu elenir. Fakat bu durum zaten x = 5 sonucunu değiştirmemektedir.)
Faktöriyellerin bölümü (x!/y!x! / y!) ardışık sayıların çarpımını temsil eder. 120 sayısının tüm ardışık tam sayı çarpan gruplarını bularak olası x değerlerini buluruz.
4
Elde edilen farklı xx değerlerini toplayın.
120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131
Pozitif tam sayılar kümesindeki t��m geçerli x değerlerinin toplamını bularak nihai sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Faktöriyel denklemlerde sadeleştirme ve ardışık çarpan analizi

İpuçları

1
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi x!y!−2⋅y!y!\frac{x!}{y!} - \frac{2 \cdot y!}{y!} şeklinde yazarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
Sadeleştirme sonucunda x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliğine ulaşacaksınız. 120 sayısını ardışık sayıların çarpımı biçiminde (1, 3 veya 4 terimli) yazabileceğiniz durumları inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış a!−3⋅b!b!=21\frac{a! - 3 \cdot b!}{b!} = 21 denklemini pozitif tam sayılarda çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi içler dışlar çarpımıyla düzenleyerek x!−2⋅y!=118⋅y!  ⟹  x!=120⋅y!x! - 2 \cdot y! = 118 \cdot y! \implies x! = 120 \cdot y! elde edebilir ve buradan 120'nin ardışık çarpanlarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısından 238238 fazladır.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Rakamların toplamı olan 12 sayısı doğru cevaptır.
Soruda verilen bağıntı ABC−AB=238ABC - AB = 238 şeklindedir. Üç basamaklı ABCABC sayısı 10×AB+C10 \times AB + C şeklinde çözümlenebilir. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında 9×AB+C=2389 \times AB + C = 238 elde edilir. CC bir rakam olduğundan bu eşitliği sağlayan tek değerler AB=26AB = 26 ve C=4C = 4 olur. Buradan A=2A = 2, B=6B = 6 ve C=4C = 4 bulunur. Rakamların toplamı olan 12 sayısı doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını ABAB iki basamaklı sayısı cinsinden çözümleyelim.
ABC=10×AB+CABC = 10 \times AB + C elde edilir.
Yüzler ve onlar basamağındaki ABAB grubunu tek bir terim olarak yazarak denklemi basitleştirmek.
2
Bulduğumuz ifadeyi soruda verilen ABC−AB=238ABC - AB = 238 denkleminde yerine koyalım.
10×AB+C−AB=238  ⟹  9×AB+C=23810 \times AB + C - AB = 238 \implies 9 \times AB + C = 238 elde edilir.
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
3
CC bir rakam (0≤C≤90 \le C \le 9) olduğundan, 238238 sayısını 99'a bölerek bölümü (ABAB iki basamaklı sayısı) ve kalanı (CC rakamı) bulalım.
238=9×26+4238 = 9 \times 26 + 4 olduğundan AB=26AB = 26 ve C=4C = 4 bulunur.
9×AB9 \times AB çarpımının 238238'den küçük ya da eşit en büyük 99'un katı olması gerektiği için.
4
AB=26AB = 26 eşitliğinden AA ve BB rakamlarını belirleyip tüm rakamların toplamını bulalım.
A=2A = 2, B=6B = 6 ve C=4C = 4 olup, A+B+C=2+6+4=12A + B + C = 2 + 6 + 4 = 12 elde edilir.
Soruda istenen A+B+CA+B+C toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Gruplandırarak Çözümleme
Soru 29Soru →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a+b+c<0a + b + c < 0
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
a⋅(b−c)<0a \cdot (b - c) < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, değeri her zaman pozitif olan ifade hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c)

Cevap

İki çarpanı da her koşulda aynı işaretli olan (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesi her zaman pozitiftir.
Doğru seçenekte yer alan (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesindeki iki çarpan, problemin koşullarından türetilen her iki geçerli durumda da aynı işarete sahip olmaktadır. Çarpanların ikisi birden negatif veya ikisi birden pozitif olduğundan, bu iki ifadenin çarpımı her zaman pozitif bir değer verir.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinden yola çıkarak sayıların işaret durumlarını belirlemek.
Sayıların üçü de pozitif olamaz, çünkü toplamları negatiftir (a+b+c<0a + b + c < 0). Bu durumda sayıların biri pozitif, diğer ikisi negatiftir. Olası işaret kombinasyonları (+,−,−)(+, -, -), (−,+,−)(-, +, -) ve (−,−,+)(-, -, +) şeklindedir.
Çarpımın sonucunun pozitif olması için negatif çarpan sayısının çift olması gerekir.
2
a⋅(b−c)<0a \cdot (b - c) < 0 eşitsizliği ile olası işaret kombinasyonlarını test etmek.
Eğer işaretler (−,−,+)(-, -, +) olsaydı, a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 olurdu. Bu durumda b−c<0b - c < 0 olacağından a⋅(b−c)=(−)⋅(−)>0a \cdot (b - c) = (-) \cdot (-) > 0 çelişkisi doğardı. Geriye sadece iki geçerli durum kalır:
Durum 1: a>0,b<0,c<0a > 0, b < 0, c < 0
Durum 2: a<0,b>0,c<0a < 0, b > 0, c < 0
Eşitsizlik sisteminin tüm kurallarının aynı anda sağlanması zorunludur.
3
Geçerli iki durum için bb ile cc sayıları arasındaki büyüklük ilişkisini incelemek.
Durum 1'de (a>0a > 0 iken): a⋅(b−c)<0  ⟹  b−c<0  ⟹  b<ca \cdot (b - c) < 0 \implies b - c < 0 \implies b < c olur.
Durum 2'de (a<0a < 0 iken): a⋅(b−c)<0  ⟹  b−c>0  ⟹  b>ca \cdot (b - c) < 0 \implies b - c > 0 \implies b > c olur (zaten pozitif olan bb, negatif olan cc'den büyüktür).
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişir.
4
Elde edilen veriler doğrultusunda (b−a)⋅(b−c)(b - a) \cdot (b - c) ifadesinin işaretini her iki durum için ayrı ayrı hesaplamak.
Durum 1 için (a>0,b<0,c<0a > 0, b < 0, c < 0 ve b<cb < c): b−a<0b - a < 0 (negatif - pozitif) ve b−c<0b - c < 0 olduğundan çarpım (−)⋅(−)=+(-) \cdot (-) = + olur.
Durum 2 için (a<0,b>0,c<0a < 0, b > 0, c < 0 ve b>cb > c): b−a>0b - a > 0 (pozitif - negatif) ve b−c>0b - c > 0 (pozitif - negatif) olduğundan çarpım (+)⋅(+)=+(+) \cdot (+) = + olur. Her iki durumda da sonuç pozitiftir.
Tüm olası durumlarda ifadenin işaretinin değişmediğini kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Negatif ve pozitif sayıların çarpma ve çıkarma işlemleri altındaki işaret davranışları ile eşitsizlik yönü kuralları.
Soru 30Soru →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a⋅c3>0a \cdot c^3 > 0
a+b<0a + b < 0
b⋅c>0b \cdot c > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman pozitiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a+c)⋅b(a + c) \cdot b

Cevap

Negatif iki sayının toplamı ile negatif bir sayının çarpımı olan (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesi
Negatif iki sayının toplamı negatif bir değer verir. Bu negatif toplam ile negatif başka bir sayının çarpımı ise işaret kuralları gereği daima pozitif bir sonuç üretir. Dolayısıyla (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesi her zaman pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅c3>0a \cdot c^3 > 0 eşitsizliğinden yola çıkarak aa ve cc sayılarının işaretlerini belirleyin.
aa ve cc aynı işaretlidir. Yani ikisi de pozitif veya ikisi de negatiftir.
Tek kuvvetler tabanın işaretini değiştirmediğinden c3c^3 ile cc aynı işarete sahiptir. Çarpımları pozitif olan iki sayının işaretleri aynı olmak zorundadır.
2
Ende edilen durumları b⋅c>0b \cdot c > 0 ve a+b<0a + b < 0 eşitsizlikleriyle test ederek tek bir duruma indirgeyin.
a<0a < 0, b<0b < 0 ve c<0c < 0 olmalıdır.
Eğer a>0a > 0 ve c>0c > 0 olsaydı; b⋅c>0b \cdot c > 0 eşitsizliğinden dolayı b>0b > 0 olurdu. Bu durumda a+b>0a + b > 0 olmalıydı ancak soruda a+b<0a + b < 0 verilmiştir. Bu çelişki nedeniyle aa ve cc pozitif olamaz. Dolayısıyla tek geçerli durum a<0a < 0 ve c<0c < 0 olmasıdır. c<0c < 0 iken b⋅c>0b \cdot c > 0 sağlanması için b<0b < 0 olmalıdır.
3
aa, bb ve cc sayılarının tamamının negatif olduğunu kullanarak seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini inceleyin.
(a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin her zaman pozitif olduğu görülür.
a<0a < 0 ve c<0c < 0 olduğundan toplamları a+c<0a + c < 0 (negatif) olur. Negatif olan bu toplamı, yine negatif olan bb sayısı ile çarptığımızda sonucun daima pozitif olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Negatif ve pozitif sayıların çarpma, toplama ve bölme işlemlerindeki işaret kuralları
Soru 31Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

a⋅b=72a \cdot b = 72
b⋅c=120b \cdot c = 120

olduğuna göre, aa ve cc sayıları aralarında asal ise a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Toplamın değeri 32'dir.
Verilen iki denklem oranlandığında bb çarpanları sadeleşir ve a/c=3/5a/c = 3/5 elde edilir. aa ve cc sayıları aralarında asal olduğu için pay ve payda daha fazla sadeleşemez; dolayısıyla a=3a = 3 ve c=5c = 5 olmalıdır. Bu değerler kullanıldığında b=24b = 24 bulunur. Buradan a+b+c=3+24+5=32a + b + c = 3 + 24 + 5 = 32 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki denklemi taraf tarafa oranlayarak aa ve cc arasındaki ilişkiyi bulma.
a⋅bb⋅c=72120⇒ac=35\frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{72}{120} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{3}{5}
bb ortak çarpanını sadeleştirerek aa ve cc değişkenleri arasındaki oranı elde etmek.
2
aa ve cc sayılarının aralarında asal olması bilgisini kullanarak değerlerini belirleme.
a=3a = 3 ve c=5c = 5
Aralarında asal iki sayının oranı en sade biçimindedir, dolayısıyla pay ve payda doğrudan bu sayılara eşit olur.
3
bb sayısını bulma.
b=24b = 24
a⋅b=72a \cdot b = 72 denkleminde a=3a = 3 yazılarak bb değeri hesaplanır (3⋅b=72⇒b=243 \cdot b = 72 \Rightarrow b = 24).
4
Toplamı hesaplama.
a+b+c=3+24+5=32a + b + c = 3 + 24 + 5 = 32
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aralarında asal iki sayının 1'den başka ortak böleni yoktur. Bu sayıların oranı en sade biçimdedir.

Alternatif Yöntem

Denklemlerden EBOB(a⋅b,b⋅c)=EBOB(72,120)\text{EBOB}(a \cdot b, b \cdot c) = \text{EBOB}(72, 120) yazılabilir. Ortak çarpan parantezine alındığında b⋅EBOB(a,c)=24b \cdot \text{EBOB}(a, c) = 24 elde edilir. aa ve cc aralarında asal olduğu için EBOB(a,c)=1\text{EBOB}(a, c) = 1'dir. Buradan doğrudan b=24b = 24 bulunur. Ardından a=72/24=3a = 72/24 = 3 ve c=120/24=5c = 120/24 = 5 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →
xx, yy ve zz pozitif tam sayılardır.
3x=4y3x = 4y
ve yy ile zz aralarında asal sayılardır.
x+y+z=35x + y + z = 35
olduğuna göre, z−yz - y farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −5-5

Cevap

-5
Belirlenen olası durumlar arasında, y = 12 ve z = 7 değerleri için sayılar aralarında asaldır ve bu durum z - y farkının en küçük değeri olan -5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği ortak bir değişken cinsinden ifade etme
x=4kx = 4k ve y=3ky = 3k (burada kk pozitif bir tam sayıdır)
3x=4y3x = 4y eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı oranlarını bulmak için katsayılar çaprazlanır.
2
Değişkenleri toplam denklemine yerleştirme
4k+3k+z=35  ⟹  7k+z=354k + 3k + z = 35 \implies 7k + z = 35
x+y+z=35x + y + z = 35 denklemini tek bir bilinmeyen kk ve zz cinsinden ifade etmek için.
3
Pozitif tam sayı koşuluna göre olası kk ve zz değerlerini belirleme
z=35−7kz = 35 - 7k olup, z≥1z \ge 1 koşulu altında k<5k < 5 olmalıdır. O halde k∈{1,2,3,4}k \in \{1, 2, 3, 4\} olabilir.
zz sayısının pozitif tam sayı olması sınırlandırmasını kullanarak kk'nın alabileceği de��er aralığını bulmak için.
4
Her kk değeri için yy ve zz değerlerini hesaplayıp aralarında asallık durumunu test etme
k=1  ⟹  y=3,z=28k=1 \implies y=3, z=28 (EBOB(3, 28) = 1, aralarında asal). Fark: 28−3=2528 - 3 = 25.
k=2  ⟹  y=6,z=21k=2 \implies y=6, z=21 (EBOB(6, 21) = 3, aralarında asal değil).
k=3  ⟹  y=9,z=14k=3 \implies y=9, z=14 (EBOB(9, 14) = 1, aralarında asal). Fark: 14−9=514 - 9 = 5.
k=4  ⟹  y=12,z=7k=4 \implies y=12, z=7 (EBOB(12, 7) = 1, aralarında asal). Fark: 7−12=−57 - 12 = -5.
yy ile zz'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayan geçerli durumları ve bu durumlar için z−yz - y farkını bulmak için.
5
Elde edilen farklar arasından en küçük olanı seçme
En küçük değer −5-5 olarak bulunur.
Soruda istenen en küçük fark değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki sayının aralarında asal olması, birden başka ortak pozitif bölenlerinin olmaması anlamına gelir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

İpuçları

1
3x = 4y eşitliğinden yararlanarak x ve y sayılarını ortak bir k parametresi cinsinden yazın.
2
x + y + z = 35 denkleminde x ve y yerine k cinsinden değerlerini yazarak z'yi k cinsinden bulun ve z'nin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanarak k'nın sınırlarını belirleyin.
3
Bulduğunuz k değerleri için y ve z sayı çiftlerini elde edin. Bu çiftlerin en büyük ortak böleninin (EBOB) 1 olup olmadığını kontrol ederek aralarında asal olanları belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, toplamları sabit olan ve aralarında asallık koşulu içeren çarpım en büyük/en küçük değer sorularını çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →

ABAB ve BABA iki basamaklı, ABAABA ise üç basamaklı birer doğal sayıdır.

ABAB sayısı, rakamlarının toplamının 55 katına eşittir.

ABAABA sayısı, BABA sayısının 88 katından XX fazladır.

Buna göre, XX değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Aranan XX değeri 22'dir.
ABAB iki basamaklı sayısının rakamları toplamının 5 katı olduğu bilgisinden hareketle 10A+B=5(A+B)10A + B = 5(A+B) denklemi kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde 5A=4B5A = 4B bağıntısına ulaşılır. AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olmak zorunda olduğundan A=4A=4 ve B=5B=5 tek çözümdür. Buradan üç basamaklı ABAABA sayısı 454, iki basamaklı BABA sayısı ise 54 olarak bulunur. 454=8⋅54+X454 = 8 \cdot 54 + X eşitliğinden 454=432+X454 = 432 + X ve X=22X = 22 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB doğal sayısı çözümlenerek rakamları arasındaki bağıntı elde edilir.
5A=4B5A = 4B bağıntısı elde edilir.
AB=5(A+B)AB = 5(A+B) eşitliği 10A+B=5A+5B10A + B = 5A + 5B şeklinde basamaklarına ayrılarak sadeleştirilir.
2
AA ve BB rakamlarının değerleri belirlenir.
A=4A = 4 ve B=5B = 5 bulunur.
AA ve BB sıfırdan farklı birer rakam olmak zorunda olduğundan, 5A=4B5A = 4B eşitliğini sağlayan tek rakam çifti bu değerlerdir.
3
ABAABA ve BABA sayıları yerlerine yazılarak XX değeri hesaplanır.
X=22X = 22 bulunur.
ABA=454ABA = 454 ve BA=54BA = 54 değerleri kullanılarak 454=8⋅54+X454 = 8 \cdot 54 + X denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

İki ve üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak analizi kuralları.
Soru 34Soru →

Birbirinden farklı aa, bb, cc ve dd pozitif tam sayıları için

a⋅b−c=12a \cdot b - c = 12
b⋅c−d=15b \cdot c - d = 15

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+c+da + b + c + d toplamının alabileceği en küçük de��er kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Koşulları sağlayan en küçük toplam değeri 21'dir.
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı ve birbirinden farklı a,b,c,da, b, c, d değişkenleri için denklemler çözüldüğünde toplamı minimum yapan değerler a=10a=10, b=2b=2, c=8c=8 ve d=1d=1 olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikleri düzenleyerek cc ve dd değişkenlerini aa ve bb cinsinden ifade edelim.
c=a⋅b−12c = a \cdot b - 12 ve d=b⋅c−15=a⋅b2−12b−15d = b \cdot c - 15 = a \cdot b^2 - 12b - 15 elde edilir.
Değişkenlerin birbirine bağlı değişimlerini ve sınır değerlerini tek bir değişkene indirgeyerek analiz etmek.
2
Değişkenlerin pozitif tam sayılar (1,2,3,…1, 2, 3, \dots) olması koşuluyla sınır eşitsizliklerini yazalım.
c≥1  ⟹  a⋅b≥13c \ge 1 \implies a \cdot b \ge 13 ve d≥1  ⟹  b(a⋅b−12)≥16d \ge 1 \implies b(a \cdot b - 12) \ge 16 koşulları elde edilir.
Değişkenlerin ait olduğu sayı kümelerinin sınırlarını belirlemek.
3
Olası en küçük toplamı bulmak için bb değerine sırasıyla pozitif tam sayı değerleri vererek aa, cc ve dd değerlerini hesaplayalım.
b=2b = 2 için: d=2c−15≥1  ⟹  c≥8d = 2c - 15 \ge 1 \implies c \ge 8 olur. Buradan c=2a−12≥8  ⟹  a≥10c = 2a - 12 \ge 8 \implies a \ge 10 bulunur. a=10a = 10 alındığında c=8c = 8 ve d=1d = 1 elde edilir. Bu değerler ile {a,b,c,d}={10,2,8,1}\{a, b, c, d\} = \{10, 2, 8, 1\} kümesi oluşur.
Toplamı minimize edecek en küçük pozitif tam sayı adaylarını test etmek.
4
Bulunan aday değerlerin birbirinden farklı olma koşulunu ve toplam değerini kontrol edelim.
a=10,b=2,c=8,d=1a=10, b=2, c=8, d=1 değerlerinin tamamı pozitif tam sayıdır ve birbirinden farklıdır. Bu değerlerin toplamı 10+2+8+1=2110 + 2 + 8 + 1 = 21 olarak bulunur.
Soruda belirtilen tüm kısıtların sağlandığını doğrulamak.
5
Farklı bb değerleri için (b=1,b=3,b≥4b=1, b=3, b \ge 4) alternatif çözümleri inceleyip 21'den daha küçük bir toplam olup olmadığını kontrol edelim.
b=1b=1 için en küçük toplam 49, b=3b=3 için en küçük toplam 31, b=4b=4 için en küçük toplam 34 çıkmaktadır. Dolayısıyla en küçük toplam 21'dir.
Elde edilen sonucun mutlak minimum olduğunu kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri sınırlandırmaları altında dört işlem içeren sistemlerin en küçük değer analizi (optimizasyon).

İpuçları

1
Denklemlerdeki değişken sayısını azaltmak için cc ve dd ifadelerini aa ve bb cinsinden yazarak analiz etmeye başlayın.
2
Sayıların pozitif tam sayı olması koşulundan yararlanarak c≥1c \ge 1 ve d≥1d \ge 1 eşitsizliklerini kurun ve bb değerine sırasıyla 1,2,3...1, 2, 3... vererek olası durumları inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin pozitif tam sayılar yerine negatif tam sayılar olması durumunda toplamın alabileceği en büyük değeri bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliklerden yola çıkarak a⋅b≥13a \cdot b \ge 13 ve b⋅c≥16b \cdot c \ge 16 sınırlarını belirleyip, bu koşulları sağlayan en küçük çarpım çiftlerini deneme yanılma yoluyla da bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 35Soru →
Sıfırdan büyük aa, bb ve cc tam sayıları için
ab+bc a^b + b^c
ifadesinin bir çift sayı,
bc+ca b^c + c^a
ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ac+ba^c + b

Cevap

ac+ba^c + b ifadesi her zaman çift sayıdır.
Doğru seçenekteki ac+ba^c + b ifadesi, a,ba, b çift ve cc tek iken çiftin tek kuvveti ile çiftin toplamı (çift + çift = çift) olur. a,ba, b tek ve cc çift iken tekin çift kuvveti ile tekin toplamı (tek + tek = çift) olur. Her iki olası durumda da sonuç çift sayı çıktığından bu ifade her zaman çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk ifade olan ab+bca^b + b^c toplamının çift sayı olmasını analiz edin.
aba^b ve bcb^c ifadelerinin tabanlarının (aa ve bb) teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. Yani aa ve bb ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir.
Pozitif tam sayı ��sler tabanın teklik-çiftlik durumunu değiştirmez. İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların aynı tekliğe/çiftliğe sahip olması gerekir.
2
Verilen ikinci ifade olan bc+cab^c + c^a toplamının tek sayı olmasını analiz edin.
bcb^c ve cac^a ifadelerinin tabanları (bb ve cc) zıt teklik-çiftlik durumlarına sahip olmalıdır. Yani bb çift ise cc tek, bb tek ise cc çift olmalıdır.
İki sayının toplamının tek olması için bu sayıların farklı teklik-çiftlik durumlarına sahip olması gerekir.
3
Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını iki ayrı durum olarak listeleyin.
1. Durum: aa çift, bb çift ve cc tektir. 2. Durum: aa tek, bb tek ve cc çifttir.
Soruda verilen ifadelerin her ikisinin de aynı anda sağlanabilmesi için bu iki durumdan birinin geçerli olması zorunludur.
4
ac+ba^c + b ifadesinin bu iki durum için teklik-çiftlik karakterini inceleyin.
1. Durumda: ac+b=c¸ifttek+c¸ift=c¸ift+c¸ift=c¸ifta^c + b = \text{çift}^{\text{tek}} + \text{çift} = \text{çift} + \text{çift} = \text{çift}. 2. Durumda: ac+b=tekc¸ift+tek=tek+tek=c¸ifta^c + b = \text{tek}^{\text{çift}} + \text{tek} = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}. Her iki durumda da sonuç çifttir.
Her iki olası durumda da ifadenin sonucu çift sayı çıktığı için bu ifade her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif tam sayı üs içeren ifadelerde tabanın teklik-çiftlik durumunun incelenmesi ve iki değişkenli durum analizleri.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 36Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a⋅b+c=37a \cdot b + c = 37
a+b⋅c=17a + b \cdot c = 17
olduguna gore, a+b+ca + b + c toplaminin degeri kactir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Verilen iki denklem taraf tarafa cikarildiginda (b−1)(a−c)=20(b-1)(a-c) = 20 denkligi elde edilir. a,b,ca, b, c pozitif tam sayilar oldugu icin b−1b-1 ve a−ca-c degerleri 20'nin pozitif bolenleri olmalidir. Bu kosulu ve baslangictaki denklemleri saglayan tek pozitif tam sayi uclusu a=7,b=5,c=2a=7, b=5, c=2 olarak bulunur. Bu degerlerin toplami 7+5+2=147+5+2=14 eder, bu yuzden dogru cevap 14'tur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklem taraf tarafa cikarilarak ortak paranteze alma islemi uygulanir.
a⋅b−b⋅c+c−a=37−17a \cdot b - b \cdot c + c - a = 37 - 17
b(a−c)−(a−c)=20b(a - c) - (a - c) = 20
(b−1)(a−c)=20(b - 1)(a - c) = 20 elde edilir.
Denklemleri ortak carpan parantezine alarak bilinmeyenlerin alabilecegi degerleri sinirlandirmak.
2
a,ba, b ve cc pozitif tam sayilar oldugundan, b−1b-1 ve a−ca-c ifadeleri de tam sayi olmalidir. b≥1b \ge 1 oldugundan b−1≥0b-1 \ge 0 olmalidir. Carpimlari 20 oldugu icin her iki carpan da pozitif olmalidir. 20 sayisinin pozitif tam sayi bolen ikilileri incelenir.
b−1=4  ⟹  b=5b-1 = 4 \implies b = 5 ve a−c=5  ⟹  a=c+5a-c = 5 \implies a = c + 5 durumu secilir. Bu degerler ikinci denklemde yerine yazildiginda:
a+b⋅c=17  ⟹  (c+5)+5c=17a + b \cdot c = 17 \implies (c + 5) + 5c = 17
6c+5=17  ⟹  6c=12  ⟹  c=26c + 5 = 17 \implies 6c = 12 \implies c = 2 bulunur.
Buradan a=c+5=2+5=7a = c + 5 = 2 + 5 = 7 elde edilir. Diger tum carpan ikilileri icin (1×201 \times 20, 2×102 \times 10, 5×45 \times 4, 10×210 \times 2, 20×120 \times 1) pozitif tam sayi cozumleri elde edilemez.
Pozitif tam sayilar kumesi tanimini kullanarak olasi durumlari test etmek ve a,b,ca, b, c degerlerini bulmak.
3
Bulunan pozitif tam sayi degerleri toplanir.
a+b+c=7+5+2=14a + b + c = 7 + 5 + 2 = 14 elde edilir.
Soruda istenen toplam degerine ulasmak.

Anahtar Kavram

Denklem sistemlerinde ortak paranteze alma ve pozitif tam sayi kumelerinde dort islem
Soru 37Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
x⋅y+zx \cdot y + z
ifadesinin bir tek sayı,
x+y⋅zx + y \cdot z
ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. x⋅z+yx \cdot z + y
II. x⋅(y+z)x \cdot (y + z)
III. y⋅z+zy \cdot z + z

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II numaralı ifadeler her zaman çift sayıdır.
Yapılan analiz sonucunda x sayısının çift, y sayısının çift ve z sayısının tek sayı olduğu kesinleşmiştir. Bu durumda I numaralı ifade çift sayı ile tek sayının çarpımı (çift) artı çift sayı şeklinde olduğundan çift sayı sonucunu verir. II numaralı ifade ise çift bir sayı olan x ile bir tam sayının çarpımı şeklinde olduğundan parantez içine bakılmaksızın her zaman çift sayı sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
x tam sayısının tek sayı olduğunu varsayarak çelişkiyi gösterin.
Eğer x tek sayı olsaydı, x + y . z ifadesinin çift olması için y . z çarpımının tek olması, yani hem y hem de z'nin tek sayı olması gerekirdi. Ancak bu durumda x . y + z ifadesi (Tek . Tek) + Tek = Tek + Tek = Çift olurdu. Bu durum ilk ifadenin tek sayı olmasıyla çelişir.
Değişkenlerin paritelerini belirlemek için olasılıkları daraltmak ve çelişki yöntemiyle x'in paritesini kesinleştirmek gerekir.
2
x sayısının çift sayı olduğu bilgisinden yararlanarak z sayısının paritesini bulun.
x sayısı çift sayı olmak zorundadır. Bu durumda x . y çarpımı da çift sayı olur. x . y + z ifadesinin tek sayı olduğu bilindiğinden, Çift + z = Tek eşitliğinden z sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır.
Çift bir sayıyla yapılan çarpımın sonucunun daima çift olmasından yararlanarak z'nin tekliğini doğrulamak gerekir.
3
Bulunan pariteleri kullanarak y sayısının paritesini belirleyin.
x + y . z ifadesinde x çift, z tek sayıdır. Bu toplamın çift sayı olabilmesi için y . z çarpımının çift sayı olması gerekir. z tek sayı olduğundan, çarpımın çift olabilmesi için y sayısının çift sayı olması şarttır.
Toplam ve çarpım kurallarını uygulayarak y değişkeninin de çift olduğunu kesinleştirmek gerekir.
4
Elde edilen parite değerlerini (x: çift, y: çift, z: tek) öncüllerde yerine koyarak test edin.
I. x . z + y = Çift . Tek + Çift = Çift + Çift = Çift (Her zaman çift)
II. x . (y + z) = Çift . (Çift + Tek) = Çift . Tek = Çift (Her zaman çift)
III. y . z + z = Çift . Tek + Tek = Çift + Tek = Tek (Her zaman tek)
Her bir öncülün her zaman çift sayı verip vermediğini matematiksel kurallarla kontrol etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 38Soru →
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa, bb ve cc sayıları için
ab+ca^b + c
toplamının bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ca \cdot c

Cevap

a ve c sayılarının çarpımı her zaman bir çift sayıdır.
Pozitif tam sayılar kümesinde a^b ifadesinin tekliği veya çiftliği sadece a tabanına bağlıdır. a^b + c toplamının tek sayı olabilmesi için a^b ile c ifadelerinin zıt paritede (biri tek, diğeri çift) olması gerekir. Buradan a ve c sayılarının zıt paritede olduğu görülür. Biri tek, diğeri çift sayı olan iki sayının çarpımı olan a ve c sayılarının çarpımı her zaman çift sayı olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
a^b ifadesinin paritesini analiz etmek.
a ve b pozitif tam sayılar olduğu için, a^b ifadesinin tekliği veya çiftliği tamamen a tabanına bağlıdır. Yani a çift ise a^b çift, a tek ise a^b tektir.
Pozitif tam sayı üsleri, tabanın tekliğini veya çiftliğini değiştirmez.
2
a^b + c ifadesinin tek sayı olma durumunu incelemek.
Toplamın tek sayı olması için toplanan iki ifadenin zıt paritede olması gerekir. Bu durumda, a^b ile c zıt paritededir. Buradan a ile c sayılarının zıt paritede (biri tek iken diğerinin çift) olduğu sonucu çıkar.
Çift + Tek = Tek ve Tek + Çift = Tek kuralları geçerlidir.
3
Seçenekleri değerlendirerek her zaman çift olan ifadeyi bulmak.
a ve c sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır. Bu iki sayının çarpımı olan a * c ifadesi, çarpanlardan en az biri çift sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır.
Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif tam sayı üslerinin tek veya çift sayılar üzerindeki etkisi ve çarpma/toplama işlemlerinde teklik-çiftlik kuralları.
Soru 39Soru →

7'şer 7'şer artan ardışık tam sayılardan oluşan bir sonlu dizinin ilk terimi 1515 ve son terimi 9999'dur. Buna göre, bu dizinin terim sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Bu sayı dizisinin terim sayısı 13'tür.
Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 formülüyle hesaplanır. Bu dizide son terim 9999, ilk terim 1515 ve artış miktarı 77'dir. Değerler formülde yerine yazıldığında 99−157+1=13\frac{99 - 15}{7} + 1 = 13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk terimini, son terimini ve terimler arasındaki artış miktarını belirlemek
İlk terim 1515, son terim 9999 ve artış miktarı 77 olarak elde edilir.
Terim sayısı formülünde kullanılacak parametreleri tespit etmek için.
2
Terim sayısı formülünü kurmak ve hesaplama yapmak
Terim sayısı 99−157+1=12+1=13\frac{99 - 15}{7} + 1 = 12 + 1 = 13 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizideki terim sayısını bulmak için Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayılarda terim sayısı hesabı
Soru 40Soru →
Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x⋅y2>0x \cdot y^2 > 0
x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0
y−x<0y - x < 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: zx−y\frac{z}{x - y}

Cevap

Paydasında pozitif bir değer ve payında negatif bir değer bulunduran zx−y\frac{z}{x - y} ifadesinin değeri her zaman negatiftir.
Doğru olan seçenekteki zx−y\frac{z}{x - y} ifadesinde, y<xy < x olduğundan payda kısmındaki x−yx - y farkı kesinlikle pozitif bir değere sahiptir. Pay kısmındaki zz ise negatif bir sayı olduğundan, negatif bir değerin pozitif bir değere oranı her zaman negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizlik yardımıyla xx değişkeninin işaretini belirlemek.
x>0x > 0 (pozitif)
Sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan y2>0y^2 > 0'dır. x⋅y2>0x \cdot y^2 > 0 eşitsizliğinin sağlanabilmesi için xx sayısının da pozitif olması gerekir.
2
İkinci eşitsizlik yardımıyla zz değişkeninin işaretini belirlemek.
z<0z < 0 (negatif)
x>0x > 0 olduğundan tek kuvveti olan x3x^3 de pozitif olur. x3⋅z<0x^3 \cdot z < 0 eşitsizliğinde pozitif bir sayı ile çarpılan zz değerinin negatif olması gerekir.
3
Üçüncü eşitsizlik yardımıyla xx ve yy arasındaki büyüklük ilişkisini analiz etmek.
y<xy < x
y−x<0y - x < 0 eşitsizliğinde −x-x ifadesi karşı tarafa atıldığında y<xy < x bağıntısı elde edilir.
4
Elde edilen işaret ve büyüklük bilgilerine göre seçeneklerdeki ifadelerin değerini incelemek.
zx−y\frac{z}{x - y} ifadesinin daima negatif olduğunu görmek.
y<xy < x bağıntısı x−y>0x - y > 0 (pozitif) anlamına gelir. Paydaki zz sayısı negatif olduğundan, negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümünün sonucu daima negatiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet analizi ve temel eşitsizlik kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 7Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2 | Examkin