Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 soru

Tüm türler131Çoktan seçmeli115Sayısal16
Soru 41Soru →
Rakamları birbirinden farklı, ABCABC ve CBACBA üç basamaklı doğal sayıları için
ABC−CBA=594ABC - CBA = 594
ve
A+B+C=15A + B + C = 15
olduğunu göre, bu koşulları sağlayan ABCABC sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Koşulları sağlayan ABCABC sayısının onlar basamağındaki rakam 5'tir.
Çözümleme yapıldığında 99(A−C)=594  ⟹  A−C=699(A - C) = 594 \implies A - C = 6 elde edilir. Rakamları farklı olma koşulunu sağlayan tek rakam üçlüsü A=8,C=2,B=5A=8, C=2, B=5 olduğundan onlar basamağındaki rakam 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açalım ve farklarını alalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C)
Üç basamaklı sayıların basamak değerlerini belirleyip aralarındaki farkı basitleştirmek için.
2
Elde edilen farkı soruda verilen 594 değerine eşitleyerek A−CA - C farkını bulalım ve olası rakam çiftlerini listeleyelim.
99(A−C)=594  ⟹  A−C=699(A - C) = 594 \implies A - C = 6 elde edilir. CBACBA sayısı üç basamaklı olduğu için C≠0C \neq 0 olmalıdır. Bu durumda olası (A,C)(A, C) çiftleri (7,1)(7, 1), (8,2)(8, 2) ve (9,3)(9, 3)'tür.
AA ve CC rakamlarının alabileceği değerleri sınırlandırmak için.
3
Her bir rakam çifti için A+B+C=15A + B + C = 15 denklemini kuralım ve rakamların birbirinden farklı olması koşulunu kontrol edelim.
A=7,C=1  ⟹  7+B+1=15  ⟹  B=7A = 7, C = 1 \implies 7 + B + 1 = 15 \implies B = 7 (rakamlar farklı değil, elenir).
A=8,C=2  ⟹  8+B+2=15  ⟹  B=5A = 8, C = 2 \implies 8 + B + 2 = 15 \implies B = 5 (rakamlar farklı, {8,5,2}\{8, 5, 2\} koşulu sağlar).
A=9,C=3  ⟹  9+B+3=15  ⟹  B=3A = 9, C = 3 \implies 9 + B + 3 = 15 \implies B = 3 (rakamlar farklı değil, elenir).
Soruda verilen tüm kısıtlamaları (toplam ve farklı rakamlar) sağlayan tek BB değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve farklarının 99(A−C)99(A-C) biçiminde ifade edilmesi, ardından verilen rakam kısıtlamalarına göre çözümün yapılması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 42Soru →

ABAB ve BCBC iki basamaklı doğal sayılardır.

ABAB sayısı rakamlarının toplamının 4 katına, BCBC sayısı ise rakamlar��nın toplamının 5 katına eşittir.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A + B + C toplamının doğru değeri 11'dir.
Doğru cevap 11'dir. ABAB iki basamaklı sayısı rakamları toplamının 4 katına eşit olduğundan 10A+B=4(A+B)⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 2A = B elde edilir. Benzer şekilde, BCBC iki basamaklı sayısı rakamları toplamının 5 katına eşit olduğundan 10B+C=5(B+C)⇒5B=4C10B + C = 5(B + C) \Rightarrow 5B = 4C elde edilir. BB ve CC sıfırdan farklı birer rakam olduğundan 5B=4C5B = 4C eşitliğini sağlayan BB değeri ancak 4 olabilir (8 olması durumunda C=10C = 10 olur ki bu rakam değildir). B=4B = 4 ise C=5C = 5 ve 2A=B2A = B eşitliğinden A=2A = 2 bulunur. Rakamların toplamı ise 2+4+5=112 + 4 + 5 = 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB ve BCBC sayılarını basamak çözümlemesi kullanarak açın.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BC=10B+CBC = 10B + C biçiminde yazılır.
Verilen oranları cebirsel denklemlere dönüştürmek amacıyla çözümleme yapılması gerekir.
2
ABAB sayısı için verilen 'rakamları toplamının 4 katı' eşitliğini kurun ve sadeleştirin.
10A+B=4(A+B)⇒10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B elde edilir.
AA ile BB rakamları arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
BCBC sayısı için verilen 'rakamları toplamının 5 katı' eşitliğini kurun ve sadeleştirin.
10B+C=5(B+C)⇒10B+C=5B+5C⇒5B=4C10B + C = 5(B + C) \Rightarrow 10B + C = 5B + 5C \Rightarrow 5B = 4C elde edilir.
BB ile CC rakamları arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
4
Bulunan ilişkileri kullanarak AA, BB ve CC rakamlarının değerlerini bulun.
5B=4C5B = 4C eşitliğinde BB ve CC birer rakam olduğundan, BB sayısı 4'ün katı olmalıdır. BB sıfırdan farklı bir rakam olduğu için B=4B = 4 veya B=8B = 8 olabilir. Eğer B=8B = 8 olursa C=10C = 10 olur ki bu bir rakam değildir. Dolayısıyla B=4B = 4 ve buna bağlı olarak C=5C = 5 olmalıdır. 2A=B2A = B eşitliğinden ise 2A=4⇒A=22A = 4 \Rightarrow A = 2 bulunur.
Rakam olma ve basamak değeri kurallarına uyan tek çözüm kümesini elde etmek.
5
AA, BB ve CC değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
A+B+C=2+4+5=11A + B + C = 2 + 4 + 5 = 11 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Basamak Değeri ve Çözümleme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 43Soru →
a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır.
a+bc\frac{a+b}{c}
ve
b+ca\frac{b+c}{a}
ifadeleri birer tam sayıya eşittir.
Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

En büyük çarpım değeri 162'dir.
Doğru cevap olan 162 değeri, sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar koşuluna uygun olarak a,b,ca, b, c değerlerinin sırasıyla 3,9,63, 9, 6 seçilmesiyle elde edilir. Bu rakamlar için 3+96=2\frac{3+9}{6} = 2 ve 9+63=5\frac{9+6}{3} = 5 işlemleri birer tam sayı olup, çarpım değeri olan 3⋅9⋅6=1623 \cdot 9 \cdot 6 = 162 ulaşılabilecek en büyük çarpımdır.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen bölme ifadelerini matematiksel eşitlikler olarak tanımlamak.
a+bc=k1\frac{a+b}{c} = k_1 ve b+ca=k2\frac{b+c}{a} = k_2 olacak şekilde k1,k2∈Z+k_1, k_2 \in \mathbb{Z}^+ tanımlanır. Buradan a+b=k1⋅ca+b = k_1 \cdot c ve b+c=k2⋅ab+c = k_2 \cdot a elde edilir.
Bölme işleminin sonucunun tam sayı çıkması, payın paydanın bir tam katı olmasını gerektirir.
2
Değişkenlerin sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olması koşuluyla olası büyük değerleri test etmek.
a,b,c∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinin elemanları olmalıdır. Çarpımın en büyük olması için en büyük rakam olan 99'u değişkenlerden birine (örneğin bb'ye) atayarak başlanır.
En büyük çarpımı elde etmek için çarpanların olabildiğince büyük seçilmesi gerekir.
3
b=9b = 9 için eşitlikleri sağlayan diğer rakamları belirlemek.
a+9=k1⋅ca+9 = k_1 \cdot c ve 9+c=k2⋅a9+c = k_2 \cdot a denklem sistemi elde edilir. Burada c=6c = 6 ve a=3a = 3 seçildiğinde 3+96=2\frac{3+9}{6} = 2 (tam sayı) ve 9+63=5\frac{9+6}{3} = 5 (tam sayı) koşulları tam olarak sağlanır.
Seçilen rakamların hem birbirinden farklı olması hem de tam kat ilişkilerini doğrulaması kontrol edilir.
4
Bulunan a,b,ca, b, c rakamlarının çarpımını hesaplamak.
a⋅b⋅c=3⋅9⋅6=162a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 9 \cdot 6 = 162 bulunur. Diğer rakam gruplarının (örneğin {2,7,9}\{2, 7, 9\} gibi) daha küçük çarpımlar verdiği veya koşulları sağlamadığı görülür.
Bulunan sonucun en büyük değer olduğundan emin olunur.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve dört işlem içeren bölünebilme özellikleri.

İpuçları

1
Çarpımın en büyük olabilmesi için değişkenlerden birini en büyük rakam olan 9 seçerek başlayabilirsiniz.
2
Rakamların birbirinden farklı ve sıfırdan farklı olduğunu unutmayın. Değişkenleri yerleştirdiğinizde bölme işlemlerinin kalansız gerçekleşmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 44Soru →
Ardışık iki pozitif tam sayı aa ve bb olmak üzere,
EKOK(a,b)−9⋅EBOB(a,b)=101\text{EKOK}(a, b) - 9 \cdot \text{EBOB}(a, b) = 101
eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Ardışık iki pozitif tam sayının toplamı 21'dir.
Ardışık pozitif tam sayılar daima aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 1'e, en küçük ortak katları (EKOK) ise sayıların çarpımına eşittir. Verilen denklemde bu özellikler yerine yazıldığında, sayıların çarpımı 110 olarak bulunur. Çarpımları 110 olan ardışık iki pozitif tam sayı 10 ve 11'dir. Bu sayıların toplamı ise 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık iki pozitif tam sayının aralarında asal olduğunu ve bu nedenle EBOB ve EKOK özelliklerini belirlemek.
aa ve bb ardışık pozitif tam sayılar olduğundan aralarında asaldır. Dolayısıyla EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) = 1 ve EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b olur.
Ardışık pozitif tam sayıların 1'den başka ortak böleni yoktur.
2
Bulunan EBOB ve EKOK değerlerini soruda verilen denklemde yerine yazarak sayıların çarpımını bulmak.
EKOK(a,b)−9⋅EBOB(a,b)=101  ⟹  a⋅b−9⋅1=101  ⟹  a⋅b=110\text{EKOK}(a, b) - 9 \cdot \text{EBOB}(a, b) = 101 \implies a \cdot b - 9 \cdot 1 = 101 \implies a \cdot b = 110 bulunur.
EBOB ve EKOK değerlerinin yerine yazılmasıyla denklemi tek bilinmeyenli hale getirmek.
3
Çarpımları 110 olan ardışık iki pozitif tam sayıyı bulmak ve toplamlarını hesaplamak.
Çarpımları 110 olan ardışık sayılar 10 ve 11'dir. Toplamları ise 10+11=2110 + 11 = 21 olarak hesaplanır.
Sayılar ardışık olduğu için ardışık çarpanlar belirlenir ve toplamları alınır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların aralarında asal olması ve bu sayıların EBOB-EKOK ilişkileri
Soru 45Soru →

Aşağıda aa, bb ve cc tam sayıları kullanılarak oluşturulan iki ifadenin teklik ve çiftlik durumları verilmiştir:
* (a+3)⋅b+c(a + 3) \cdot b + c ifadesi bir çift sayıdır.
* a⋅(b−1)+ca \cdot (b - 1) + c ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

Cevap

Her zaman çift sayı olan ifade a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesidir.
Doğru cevap olan a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde, bb ve cc tam sayılarının her iki olası durumda da aynı teklik-çiftlik durumuna (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olduğu görülür. İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı daima çift sayı olacağından b+cb + c toplamı her zaman çifttir. Çift bir sayının bir tam sayı olan aa ile çarpımı da her zaman çift bir sayı verecektir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadeyi taraf tarafa çıkararak sadeleştirme yapın.
((a+3)b+c)−(a(b−1)+c)=3b+a((a + 3)b + c) - (a(b - 1) + c) = 3b + a
Ortak olan cc değişkenini yok ederek aa ve bb arasındaki ilişkiyi bulmak.
2
Bulunan farkın teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
Çift sayı ile tek sayının farkı tek sayı olduğundan, 3b+a3b + a ifadesi bir tek sayıdır.
İfadelerden biri çift, diğeri tek olarak tanımlanmıştır.
3
3b+a3b + a ifadesinin tek olmasından yola çıkarak aa ve bb'nin teklik-çiftlik durumlarını inceleyin.
3b3b ve bb aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir. Dolayısıyla b+ab + a toplamı tek olmalıdır. Bu da aa ile bb'nin zıt teklik-çiftlik durumlarında olmasını gerektirir.
Tek sayı ile çift sayının toplamı tektir.
4
aa ve bb'nin zıt karakterli olduğu iki durumu da ayrı ayrı ele alarak cc'nin durumunu belirleyin.
Durum 1: aa çift, bb tek ise ((a+3)b+c)((a+3)b + c) ifadesinden cc tek bulunur. Durum 2: aa tek, bb çift ise ((a+3)b+c)((a+3)b + c) ifadesinden cc çift bulunur.
Verilen ilk ifadenin çift sayı olma koşulunu sağlamak.
5
Elde edilen sonuçları birleştirerek bb ve cc arasındaki ilişkiyi kurun.
Her iki durumda da bb ve cc aynı karakterdedir (ikisi de tek veya ikisi de çift). Bu yüzden b+cb + c toplamı her zaman çift bir sayıdır.
İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı daima çifttir.
6
Seçenekleri analiz ederek her zaman çift olan ifadeyi belirleyin.
b+cb + c daima çift olduğundan, aa ile çarpımı olan a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesi de daima çift sayı olur.
Çift bir sayıyla herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

İpuçları

1
Verilen iki ifadenin teklik ve çiftlik durumlarını karşılaştırmak için bu iki ifadeyi taraf tarafa çıkarmayı deneyin.
2
İfadelerin farkı olan 3b+a3b + a ifadesinin tek sayı olması gerektiğini bulun ve buradan aa ile bb tam sayılarının zıt teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu görün.
3
aa ve bb zıt karakterde olduğunda, ilk ifadeden yararlanarak cc'nin alabileceği değerleri inceleyin. bb ve cc değişkenlerinin her iki durumda da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu fark edeceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Zıt işaretli veya sıfır olabilen tam sayılarla teklik-çiftlik analizini pekiştirmek için rasyonel ve üslü ifadeler içeren teklik-çiftlik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen ifadelerde değer verme yöntemi kullanılabilir. aa ve bb için zıt teklik-çiftlik değerleri seçilip (örneğin a=0,b=1a=0, b=1 veya a=1,b=0a=1, b=0) ilk ifadeden cc'nin değeri bulunur. Elde edilen (a,b,c)(a, b, c) üçlüleri seçeneklerde yerine yazılarak her zaman çift olmayan seçenekler elenebilir. Ancak kesin ispat için cebirsel analiz tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 46Soru →

Ardışık 55 tek tam sayının toplamı 8585 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2121

Cevap

En büyük sayı 2121 olmalıdır.
Ardışık 55 tek tam sayının toplamı 8585 olduğuna göre, bu sayıların ortanca terimi toplamın terim sayısına bölünmesiyle 1717 olarak bulunur. Sayılar ardışık tek tam sayılar olduğu için aralarındaki fark 22'dir. Ortanca terimden sonra gelen büyük sayılar 1919 ve 2121 olup en büyük sayı 2121 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin ortalamasını (ortanca terimi) bulma.
Ortanca terim 855=17\frac{85}{5} = 17 olarak bulunur.
Tek say��da terim içeren ardışık sayı dizilerinde, toplam terim sayısı terim adedine bölündüğünde tam ortadaki terim elde edilir.
2
Sayı dizisindeki diğer terimleri belirleme.
Ortanca terim 1717 olduğuna göre, sayılar küçükten büyüğe sırasıyla 13,15,17,19,2113, 15, 17, 19, 21 şeklinde olur.
Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 22 olduğundan, ortanca terimden geriye ve ileriye ikişer ikişer gidilir.
3
İstenen en büyük terimi seçme.
En büyük sayı 2121 olarak belirlenir.
Oluşturulan dizideki en büyük değer son terim olan 2121 sayısıdır.

Anahtar Kavram

Ardışık tek sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi

Alternatif Yöntem

Sayılar sırasıyla x−4x-4, x−2x-2, xx, x+2x+2 ve x+4x+4 olarak seçilirse, toplamları 5x=855x = 85 olur. Buradan ortanca terim x=17x = 17 bulunur. En büyük sayı x+4=17+4=21x+4 = 17+4 = 21 olarak elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 47Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya A={−5,−3,2,4,7}A = \{-5, -3, 2, 4, 7\} kümesini yazıyor ve öğrencilerinden bu kümeden birbirinden farklı aa, bb ve cc elemanlarını seçmelerini istiyor.

Buna göre,
a−bc\frac{a - b}{c}
ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 6'dır.
İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak için pay kısmındaki fark en büyük, paydadaki bölen ise en küçük pozitif sayı olarak seçilmelidir. Kümedeki en büyük sayı 7 ve en küçük sayı -5 olduğundan pay 7−(−5)=127 - (-5) = 12 olur. Kalan elemanlar arasından sonucu tam sayı yapan en küçük pozitif sayı olan 2 seçildiğinde 122=6\frac{12}{2} = 6 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin değerini en büyük yapmak için pay kısmındaki a−ba - b farkını pozitif ve mümkün olduğunca büyük, paydadaki cc değerini ise pozitif ve mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz.
a−ba - b farkının en büyük olması için aa en büyük pozitif sayı, bb ise en küçük negatif sayı seçilmelidir.
Bölme işleminin sonucunun en büyük pozitif tam sayı olmasını sağlamak.
2
A={−5,−3,2,4,7}A = \{-5, -3, 2, 4, 7\} kümesinden aa ve bb değerlerini belirleyelim.
a=7a = 7 ve b=−5b = -5 seçilir. Bu durumda pay a−b=7−(−5)=7+5=12a - b = 7 - (-5) = 7 + 5 = 12 olur.
Kümedeki en büyük eleman 7, en küçük eleman ise -5 olduğu için fark en büyük bu şekilde elde edilir.
3
Seçilen a=7a = 7 ve b=−5b = -5 değerlerinden farklı olan ve sonucu tam sayı yapan en küçük pozitif cc elemanını bulalım.
Geriye kalan elemanlar {−3,2,4}\{-3, 2, 4\} arasından c=2c = 2 seçildiğinde 122=6\frac{12}{2} = 6 elde edilir (tam sayıdır). c=4c = 4 seçilirse 124=3\frac{12}{4} = 3 elde edilir.
Sonucun tam sayı olmasını sağlayan ve değeri en büyük yapan en küçük cc bölenini seçmek.
4
Alternatif durumları ve negatif bölenleri inceleyerek daha büyük bir değer elde edilip edilemeyeceğini kontrol edelim.
Örneğin cc negatif seçilirse sonucun pozitif olması için a−ba-b negatif olmalıdır. a=−5,b=7⇒a−b=−12a = -5, b = 7 \Rightarrow a-b = -12 olur. c=−3c = -3 seçilirse −12−3=4\frac{-12}{-3} = 4 olur. Diğer durumlarda daha büyük bir değer elde edilemez. Dolayısıyla en büyük tam sayı değeri 6'dır.
Bulunan değerin kesinlikle en büyük değer olduğunu doğrulamak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Dört İşlem
Soru 48Soru →

n≥3n \ge 3 bir tam sayı olmak üzere,

A=(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!−n!A = \frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! - n!}
B=(n−1)!+(n−2)!(n−3)!B = \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n-3)!}

ifadeleri tanımlanıyor.

B−A=26B - A = 26

olduğuna göre, C=(n2−n)!C = (n^2 - n)! sayısı ile ilgili;

I. Sondan 9 basamağ�� sıfırdır.
II. Sayıyı bölen en büyük asal sayı 41'dir.
III. Sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki 2 asal çarpanının üssü 38'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II öncülleri doğrudur. Sadeleştirmeler sonucunda A=n+2A = n+2 ve B=n2−2nB = n^2-2n elde edilir. Buradan B−A=n2−3n−2=26  ⟹  n=7B-A = n^2-3n-2 = 26 \implies n=7 bulunur. C=42!C = 42! olup, sondan 9 basamağı sıfırdır ve en büyük asal böleni 41'dir. 2 asal çarpanının üssü ise 39 olduğundan III. öncül yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB ifadelerini faktöriyel özelliklerini kullanarak sadeleştirin.
A=n+2A = n+2 ve B=n2−2nB = n^2-2n olarak bulunur.
Değişkenleri daha sade formda yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek için.
2
Sadeleştirilmiş ifadeleri B−A=26B - A = 26 denkleminde yerine yazıp nn değerini bulun.
n2−3n−28=0n^2 - 3n - 28 = 0 denkleminden (n−7)(n+4)=0(n-7)(n+4) = 0 elde edilir. n≥3n \ge 3 olduğundan n=7n = 7 bulunur.
C sayısının hangi sayının faktöriyeli olduğunu belirlemek için.
3
n=7n = 7 için C=(72−7)!=42!C = (7^2 - 7)! = 42! ifadesini elde edip I ve II numaralı öncülleri test edin.
42!42! sayısı için 5'e bölümlerin toplamı ⌊42/5⌋+⌊42/25⌋=8+1=9\lfloor 42/5 \rfloor + \lfloor 42/25 \rfloor = 8 + 1 = 9 sıfır basamağı verir (I. öncül doğru). 42'den küçük en büyük asal sayı 41 olduğundan en büyük asal bölen 41'dir (II. öncül doğru).
İlk iki öncülün doğruluğunu sayısal verilerle kanıtlamak için.
4
42!42! sayısındaki 2 asal çarpanının üssünü Legendre formülüyle hesaplayıp III. öncülü test edin.
⌊42/2⌋+⌊42/4⌋+⌊42/8⌋+⌊42/16⌋+⌊42/32⌋=21+10+5+2+1=39\lfloor 42/2 \rfloor + \lfloor 42/4 \rfloor + \lfloor 42/8 \rfloor + \lfloor 42/16 \rfloor + \lfloor 42/32 \rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39 bulunur. İfade 38 dediği için III. öncül yanlıştır.
Üçüncü öncülün yanlış olduğunu matematiksel olarak göstermek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alarak sadeleştirme yapma, Legendre formülü ile asal çarpan üssü ve sondan sıfır sayısı bulma.
Soru 49Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve CABCAB doğal sayıları için,
ABC−CAB=360ABC - CAB = 360
olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Rakamların toplamı 13 olabilir.
Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde AB=11C+40AB = 11C + 40 eşitliğine ulaşılır. Burada CC rakamına değer verildiğinde, ABAB iki basamaklı sayısının rakamları ve dolayısıyla toplamın alabileceği değerler elde edilir. C=3C=3 için AB=73AB=73 olup A=7,B=3A=7, B=3 bulunur. Bu durumda rakamlar toplamı 7+3+3=137+3+3 = 13 olur ve bu değer seçeneklerde mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç basamaklı sayıları basamak çözümleme yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
CAB=100C+10A+BCAB = 100C + 10A + B
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak sayıların arasındaki matematiksel ilişkiyi sadeleştirmeyi sağlar.
2
Çözümlediğimiz ifadeleri çıkarma işleminde yerine koyarak sadeleştirelim.
ABC−CAB=(100A+10B+C)−(100C+10A+B)=360ABC - CAB = (100A + 10B + C) - (100C + 10A + B) = 360
90A+9B−99C=36090A + 9B - 99C = 360
Çıkarma işlemini yaparak katsayıları ortak paranteze alabileceğimiz bir form elde ederiz.
3
Elde ettiğimiz denklemin her iki tarafını da 9 ile bölelim.
10A+B−11C=4010A + B - 11C = 40
Katsayıları küçülterek rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için denklemi sadeleştiririz.
4
10A+B10A + B ifadesinin iki basamaklı ABAB sayısına eşit olduğunu kullanarak denklemi düzenleyelim.
AB−11C=40  ⟹  AB=11C+40AB - 11C = 40 \implies AB = 11C + 40
10A+B10A+B ifadesi doğrudan iki basamaklı ABAB sayısının çözümlenmiş halidir. Bu dönüşüm değer vermeyi kolaylaştırır.
5
ABAB sayısının iki basamaklı bir sayı ve A,B,CA, B, C harflerinin birer rakam olması koşulunu kullanarak uygun değerleri belirleyelim.
CC sıfırdan farklı bir rakam olmalıdır (çünkü CABCAB üç basamaklıdır). ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan AB≤99AB \le 99 olmalıdır.
CC değerlerine göre inceleyelim:
- C=1  ⟹  AB=51  ⟹  A=5,B=1C = 1 \implies AB = 51 \implies A=5, B=1 (Toplam: 5+1+1=75+1+1=7)
- C=2  ⟹  AB=62  ⟹  A=6,B=2C = 2 \implies AB = 62 \implies A=6, B=2 (Toplam: 6+2+2=106+2+2=10)
- C=3  ⟹  AB=73  ⟹  A=7,B=3C = 3 \implies AB = 73 \implies A=7, B=3 (Toplam: 7+3+3=137+3+3=13)
- C=4  ⟹  AB=84  ⟹  A=8,B=4C = 4 \implies AB = 84 \implies A=8, B=4 (Toplam: 8+4+4=168+4+4=16)
- C=5  ⟹  AB=95  ⟹  A=9,B=5C = 5 \implies AB = 95 \implies A=9, B=5 (Toplam: 9+5+5=199+5+5=19)
C≥6C \ge 6 için AB≥106AB \ge 106 olur ki bu iki basamaklı olamaz.
Matematiksel kısıtlar (rakam olma ve basamak sayısı) kullanılarak olası değerler kümesi sınırlandırılır.
6
Bulduğumuz olası toplam değerlerini seçeneklerle karşılaştıralım.
Olası toplamlar 7, 10, 13, 16 ve 19'dur. Seçeneklerde bu değerlerden sadece 13 bulunmaktadır.
Soruda 'hangisi olabilir?' diye sorulduğu için bulduğumuz değerlerden seçeneklerde yer alanı belirleriz.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümleme kuralları kullanılarak iki basamaklı sayılara ve rakam kısıtlamalarına göre analiz edilmesi.
Soru 50Soru →

aa, bb ve cc birer pozitif tam sayı olmak üzere,
- ab+3ca^b + 3c ifadesi bir çift sayıdır.
- bc+ab^c + a ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c

Cevap

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi her zaman çift say��dır.
a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi, ortak çarpan parantezine alındığında b⋅(a+c)b \cdot (a + c) şeklinde yazılır. aa ve cc sayıları her iki olası durumda da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğundan a+ca + c toplamı daima çift sayıdır. Çift bir sayıyla yapılan çarpım işleminin sonucu da her zaman çift olacağından bu ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pozitif tam sayı üslerinin teklik-çiftlik durumuna etkisini belirlemek.
aa, bb ve cc birer pozitif tam say�� olduğundan, aba^b ifadesi aa tabanı ile, bcb^c ifadesi de bb tabanı ile aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.
Pozitif tam sayı kuvvetleri, tabandaki sayının teklik veya çiftliğini değiştirmez.
2
Verilen birinci ifadeyi (ab+3ca^b + 3c çift sayı) analiz etmek.
ab+3ca^b + 3c ifadesi a+ca + c ile aynı teklik-çiftlik durumuna sahiptir. Toplamın çift sayı olması, aa ve cc sayılarının aynı teklik-çiftlik karakterinde olduğunu gösterir. Yani, aa ve cc sayılarının her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir.
İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir.
3
Verilen ikinci ifadeyi (bc+ab^c + a tek sayı) analiz etmek.
bc+ab^c + a ifadesi b+ab + a ile aynı teklik-çiftlik durumuna sahiptir. Toplamın tek sayı olması, aa ve bb sayılarının zıt teklik-çiftlik karakterinde olduğunu gösterir. Yani, aa tek ise bb çift; aa çift ise bb tektir.
İki sayının toplamının tek olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının birbirinden farklı olması gerekir.
4
Değişkenler için oluşan olası durumları belirlemek ve seçenekleri test etmek.
İki olası durum vardır. Durum 1: aa tek, cc tek, bb çift. Durum 2: aa çift, cc çift, bb tek. Her iki durumda da a+ca + c toplamı her zaman çift bir sayıdır. Seçeneklerde yer alan a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi, b⋅(a+c)b \cdot (a + c) şeklinde ortak çarpan parantezine alınabilir. Bu çarpımda a+ca + c çift olduğundan, bb çarpanının değerinden bağımsız olarak çarpımın sonucu daima çift sayı olur.
Bir çift tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler ve Üs Özellikleri
Soru 51Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a!−b!=22⋅c!a! - b! = 22 \cdot c!
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan farklı aa değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Farklı aa değerlerinin toplamı 27'dir.
Eşitliği sağlayan farklı aa değerleri b=cb=c durumundan 23 ve b>cb>c durumundan 4 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 23+4=2723 + 4 = 27 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde her iki tarafı c!c! ifadesine bölerek sadeleştirin.
a!c!−b!c!=22\frac{a!}{c!} - \frac{b!}{c!} = 22 elde edilir.
Terimler arasındaki faktöriyel ilişkilerini daha rahat analiz edebilmek için oranlama yapılır.
2
b<cb < c durumunun olası olup olmadığını inceleyin.
b<cb < c ise b!c!\frac{b!}{c!} ifadesi tam sayı olmayan pozitif bir kesir (örneğin 1c\frac{1}{c}) olur. Ancak a>ca > c olacağından a!c!\frac{a!}{c!} bir tam sayıdır. Tam sayıdan tam sayı olmayan bir kesir çıkarıldığında sonuç bir tam sayı (22) olamaz. Dolayısıyla b≥cb \ge c olmalıdır.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkilerini sınırlandırmak için.
3
b=cb = c durumunu inceleyin.
Denklemde b=cb = c yazılırsa a!c!−1=22  ⟹  a!c!=23\frac{a!}{c!} - 1 = 22 \implies \frac{a!}{c!} = 23 elde edilir. 23 bir asal sayı olduğundan bu oran ancak tek bir çarpanla, yani a=23a = 23 ve c=22c = 22 (dolayısıyla b=22b = 22) olduğunda sağlanabilir. Buradan ilk aa değeri a=23a = 23 olarak bulunur.
Eşitliği sağlayan ilk durumu analiz etmek için.
4
b>cb > c durumunu inceleyin.
b=c+kb = c + k (k≥1k \ge 1 tam sayısı) olsun. Bu durumda denklem:
(c+1)(c+2)…(c+k)⋅[(c+k+1)…a−1]=22(c+1)(c+2)\dots(c+k) \cdot [ (c+k+1)\dots a - 1 ] = 22
şeklinde yazılabilir. Sol taraftaki ardışık çarpanların ürünü olan (c+1)…(c+k)(c+1)\dots(c+k) ifadesi 22'nin pozitif bir böleni olmalıdır. 22'nin bölenleri arasından ardışık tam sayı çarpımı şeklinde yazılabilecek durumlar incelendiğinde, sadece c=1,k=1c = 1, k = 1 için (c+1)=2(c+1) = 2 çarpanı elde edilir. Bu durumda:
2⋅[3⋅4…a−1]=22  ⟹  3⋅4…a−1=11  ⟹  3⋅4…a=122 \cdot [ 3 \cdot 4 \dots a - 1 ] = 22 \implies 3 \cdot 4 \dots a - 1 = 11 \implies 3 \cdot 4 \dots a = 12
olur. Buradan a=4a = 4 elde edilir. Diğer bölenlerden (11 ve 22) geçerli bir pozitif tam sayı çözümü gelmez.
Eşitliği sağlayan ikinci durumu ve diğer olası aa değerini bulmak için.
5
Bulunan farklı aa değerlerini toplayın.
23+4=2723 + 4 = 27 elde edilir.
Soruda bizden istenen farklı aa değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli denklemlerde sadeleştirme, sınırlandırma analizi ve asal çarpanlara ayırma.
Soru 52Soru →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.
3a−ba+b=45\frac{3a - b}{a + b} = \frac{4}{5}
olduğuna göre, 2a+b2a + b ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

29
Denklemin içler dışlar çarpımı ile düzenlenmesi sonucu 11a=9b11a = 9b eşitliği bulunur. aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliği sağlayan en küçük pozitif değerler olan a=9a = 9 ve b=11b = 11 seçilmelidir (9 ve 11 aralarında asaldır). Bu değerler 2a+b2a + b ifadesinde yerine konduğunda 2(9)+11=292(9) + 11 = 29 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadede içler dışlar çarpımı yapılarak paydadan kurtulunur.
5⋅(3a−b)=4⋅(a+b)  ⟹  15a−5b=4a+4b5 \cdot (3a - b) = 4 \cdot (a + b) \implies 15a - 5b = 4a + 4b elde edilir.
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için bölme işleminden kurtulmak gerekir.
2
Benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplanır (aa'lar sola, bb'ler sağa).
15a−4a=4b+5b  ⟹  11a=9b15a - 4a = 4b + 5b \implies 11a = 9b elde edilir.
İki değişkenin oranını net bir şekilde görebilmek için sade bir eşitlik oluşturulur.
3
Aralarında asal olma şartı kullanılarak aa ve bb değerleri belirlenir.
a=9a = 9 ve b=11b = 11 bulunur.
11a=9b11a = 9b eşitliğinde aa, 99'un katı; bb ise 1111'in katı olmalıdır. aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olduğundan bu sayıların ortak böleni sadece 11 olmalıdır, bu yüzden en küçük katları olan a=9a=9 ve b=11b=11 değerleri alınır (9 ve 11 aralarında asaldır).
4
İstenen 2a+b2a + b ifadesinin değeri hesaplanır.
2a+b=2(9)+11=18+11=292a + b = 2(9) + 11 = 18 + 11 = 29 elde edilir.
Bulunan aa ve bb değerleri hedef ifadede yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni 1'dir. p⋅x=q⋅yp \cdot x = q \cdot y eşitliğinde pp ve qq aralarında asal ise ve xx ile yy de aralarında asal pozitif tam sayılarsa, x=qx=q ve y=py=p olur.
Soru 53Soru →
İşlem önceliği kuralları dikkate alındığında,
18−12÷3×2+418 - 12 \div 3 \times 2 + 4
ifadesinin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
İşlem önceliği kurallarına göre, öncelikle bölme ve çarpma işlemleri soldan sağa doğru sırasıyla yapılır. Bu doğrultuda önce 12÷3=412 \div 3 = 4 işlemi, ardından elde edilen 4 sayısı ile 4×2=84 \times 2 = 8 işlemi gerçekleştirilir. Son olarak çıkarma ve toplama işlemleri soldan sağa sırayla yapılarak 18−8+4=1418 - 8 + 4 = 14 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak işlem önceliği kuralına göre bölme işlemi yapılır.
12÷3=412 \div 3 = 4
Çarpma ve bölme işlemlerinin toplama ve çıkarma işlemlerine göre önceliği vardır. Soldan sağa doğru gidildiğinde ilk olarak bölme işlemi geldiği için bu işlem yapılır.
2
Elde edilen sonuç ile çarpma işlemi gerçekleştirilir.
4×2=84 \times 2 = 8
Bölme işleminin sonucu olan 4 sayısı ile 2 çarpılarak çarpma işlemi tamamlanır. İfade bu aşamadan sonra 18−8+418 - 8 + 4 halini alır.
3
Çıkarma ve toplama işlemleri soldan sağa doğru sırayla yapılır.
18−8=1018 - 8 = 10 ve ardından 10+4=1410 + 4 = 14
Çıkarma ve toplama işlemleri aynı öncelik sırasına sahip olduğundan, işlemler soldan sağa doğru sırayla gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Dört İşlemde İşlem Önceliği
Tahmini Süre:45s
Soru 54Soru →

İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarının toplamı 132'dir. Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Verilen iki basamaklı sayılar çözümlendiğinde AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A elde edilir. Bu iki sayının toplamı 11(A+B)11(A+B) olur. Soruda bu toplamın 132 olduğu belirtilmiştir. Buradan 11(A+B)=13211(A+B) = 132 denklemi yazılır. Eşitliğin her iki tarafı 11'e bölündüğünde A+B=12A+B = 12 bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 12 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB ve BABA sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyiniz.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A
Sayıların basamak değerlerini (onlar ve birler basamağı) belirleyerek cebirsel olarak ifade etmek için.
2
ABAB ve BABA sayılarının çözümlenmiş biçimlerini toplayınız ve ortak paranteze alınız.
AB+BA=(10A+B)+(10B+A)=11A+11B=11(A+B)AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11A + 11B = 11(A+B)
İki sayının toplamını A+BA+B ifadesi cinsinden sadeleştirmek için.
3
Elde edilen 11(A+B)11(A+B) ifadesini soruda verilen 132 değerine eşitleyerek A+BA+B toplamını bulunuz.
11(A+B)=132  ⟹  A+B=1211(A+B) = 132 \implies A+B = 12
Denklemin her iki tarafını 11'e bölerek A+BA+B toplamını yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı bir XYXY doğal sayısı çözümlenirken onlar basamağındaki rakam 10 ile, birler basamağındaki rakam ise 1 ile çarpılarak toplanır: XY=10X+YXY = 10X + Y.

İpuçları

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyerek toplamayı deneyin.
2
Çözümleme yaptıktan sonra ifadeyi ortak çarpan parantezine alın: 11A+11B=11(A+B)11A + 11B = 11(A+B).

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki basamaklı iki sayının farkı (AB−BA=54AB - BA = 54) verildiğinde A−BA - B farkını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen sayıların toplamı 132132 olduğundan ve birler basamağındaki rakamların toplamı (B+AB+A) ile onlar basamağındaki rakamların toplamı (A+BA+B) birbirine eşit olduğundan, toplamın birler basamağındaki 2 eldeki 1 ile birlikte değerlendirildiğinde A+BA+B toplamının doğrudan 12 olması gerektiği görülebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 55Soru →
A=−12÷(3−5)×2+(−4)A = -12 \div (3 - 5) \times 2 + (-4)

eşitliğini sağlayan AA tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8 sayısı doğru cevaptır.
İşlem önceliğine göre ilk adım parantez içindeki 3−5=−23 - 5 = -2 çıkarma işlemidir. Ardından soldan sağa doğru işlem sırası takip edilerek önce −12÷(−2)=6-12 \div (-2) = 6 bölme işlemi ve sonra 6×2=126 \times 2 = 12 çarpma işlemi gerçekleştirilir. Son aşamada ise 12+(−4)=812 + (-4) = 8 toplama işlemi yapılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içi işlemini yapın.
3−5=−23 - 5 = -2
Matematikte işlem önceliği parantez içindeki ifadelerden başlar.
2
Bölme işlemini gerçekleştirin.
−12÷(−2)=6-12 \div (-2) = 6
Çarpma ve bölme işlemleri yan yana olduğunda işlem sırası soldan sağa doğrudur. İki negatif sayının bölümü pozitif bir sonuç verir.
3
Çarpma işlemini gerçekleştirin.
6×2=126 \times 2 = 12
Toplama işlemine göre çarpmanın önceliği vardır.
4
Toplama işlemini gerçekleştirin.
12+(−4)=812 + (-4) = 8
Pozitif 12 ile negatif 4 toplandığında sonuç 8 olur.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda işlem önceliği ve işaret kuralları
Tahmini Süre:45s
Soru 56Soru →

Üç basamaklı 3AB3AB doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısının 66 katına eşittir.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

A + B toplamı 6'dır.
Üç basamaklı 3AB3AB sayısı 300+AB300 + AB şeklinde çözümlenebilir. Verilen 3AB=6⋅AB3AB = 6 \cdot AB eşitliğinde bu çözümleme yerine yazılırsa 300+AB=6⋅AB300 + AB = 6 \cdot AB denklemi elde edilir. Buradan 5⋅AB=3005 \cdot AB = 300 ve AB=60AB = 60 bulunur. İki basamaklı ABAB sayısı 60 olduğuna göre, onlar basamağındaki rakam A=6A = 6 ve birler basamağındaki rakam B=0B = 0 olur. Rakamların toplamı olan A+BA + B değeri 6+0=66 + 0 = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
3AB3AB sayısı basamak analizi yöntemiyle çözümlenir.
3AB=300+AB3AB = 300 + AB şeklinde yazılır.
Üç basamaklı bir say��nın yüzler basamağındaki rakamın değeri 3×100=3003 \times 100 = 300 olup, sayı 300300 ile iki basamaklı ABAB sayısının toplamı olarak ifade edilebilir.
2
Çözümlenen ifade soruda verilen eşitlikte yerine yazılarak denklem çözülür.
300+AB=6⋅AB  ⟹  300=5⋅AB  ⟹  AB=60300 + AB = 6 \cdot AB \implies 300 = 5 \cdot AB \implies AB = 60 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki tarafındaki ABAB terimleri bir araya getirilerek iki basamaklı ABAB sayısı yalnız bırakılır.
3
ABAB sayısının basamak değerlerine göre AA ve BB rakamları belirlenerek toplamları hesaplanır.
A=6A = 6, B=0B = 0 ve buradan A+B=6+0=6A + B = 6 + 0 = 6 elde edilir.
AB=60AB = 60 eşitliğinde onlar basamağı AA'ya, birler basamağı BB'ye karşılık gelmektedir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle çok basamaklı sayıları daha sade biçimde ifade etme.

Alternatif Yöntem

Denklem 3AB=6⋅AB3AB = 6 \cdot AB ifadesinde 300+10A+B=60A+6B300 + 10A + B = 60A + 6B olarak uzunca çözümlenebilir. Buradan 300=50A+5B300 = 50A + 5B ve her iki taraf 5'e bölünerek 60=10A+B60 = 10A + B elde edilir. Bu eşitliği sağlayan rakamlar sadece A=6A = 6 ve B=0B = 0 olduğundan toplam yine 6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 57Soru →
Birbirinden farklı aa, bb ve cc negatif tam sayıları için
a⋅(b−c)=18a \cdot (b - c) = 18
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

En büyük toplam değeri -11'dir.
Verilen a⋅(b−c)=18a \cdot (b - c) = 18 denkleminde aa negatif olduğundan, çarpımın pozitif çıkması için b−cb - c farkı da negatif olmalıdır (b<cb < c). En büyük toplamı bulmak için sayıları sıfıra en yakın seçmeliyiz. a=−3a = -3 için b−c=−6b - c = -6 olur ve c=−1,b=−7c = -1, b = -7 seçilerek en büyük toplam −3+(−7)+(−1)=−11-3 + (-7) + (-1) = -11 olarak hesaplanır. Alternatif olarak a=−6a = -6 için b−c=−3b - c = -3 olur ve c=−1,b=−4c = -1, b = -4 seçilerek yine −6+(−4)+(−1)=−11-6 + (-4) + (-1) = -11 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İşaret analizi yapılması
b−c<0b - c < 0 (yani b<cb < c) olmalıdır.
aa negatif bir tam sayı olduğundan ve çarpımın sonucu pozitif (18) olduğundan, (b−c)(b - c) ifadesi de negatif olmalıdır.
2
Çarpanların ve bölenlerin belirlenmesi
aa değeri −1,−2,−3,−6,−9,−18-1, -2, -3, -6, -9, -18 kümesinin elemanı olabilir.
aa sayısı 18'i tam bölen bir negatif tam sayı olmak zorundadır.
3
Toplamı maksimize edecek sayıların seçilmesi
a=−3a = -3 seçildiğinde b−c=−6  ⟹  c=−1,b=−7b - c = -6 \implies c = -1, b = -7 alınırsa a+b+c=−11a+b+c = -11 olur. Benzer şekilde a=−6a = -6 seçildiğinde b−c=−3  ⟹  c=−1,b=−4b - c = -3 \implies c = -1, b = -4 alınırsa yine a+b+c=−11a+b+c = -11 elde edilir.
a,ba, b ve cc sayılarının birbirinden farklı negatif tam sayılar olması koşuluyla elde edilebilecek en büyük toplamı bulmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Negatif tam sayılar kümesinde dört işlem özellikleri ve değer atama kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →
AA ve BB iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
A!⋅B!A! \cdot B!
çarpımının asal bölenlerinden en büyüğü 1313'tür.

Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Toplamın alabileceği en küçük değer 23'tür.
Toplamın alabileceği en küçük değer 23'tür. En küçük iki basamaklı doğal sayı 10 olup, en büyük asal bölenin 13 olması için diğer sayının en az 13 olması gerekir. Bu durumda sayılar 13 ve 10 seçilerek en küçük toplam elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel kavramı ile asal bölen ilişkisini kurma.
n!n! sayısının asal bölenleri, nn sayısından küçük veya nn sayısına eşit olan tüm asal sayılardır.
Faktöriyel, 1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımı olduğundan bu aralıktaki tüm asal sayıları çarpan olarak barındırır.
2
En büyük asal bölen koşulunu analiz etme.
A!⋅B!A! \cdot B! çarpımının en büyük asal böleninin 1313 olması için, AA ve BB sayılarından en az birinin 1313 veya daha büyük olması, ancak her ikisinin de bir sonraki asal sayı olan 1717'den küçük olması gerekir (yani A,B<17A, B < 17 ve max⁡(A,B)≥13\max(A, B) \ge 13).
Eğer sayılardan biri 17 veya daha büyük olsaydı, çarpımın en büyük asal böleni en az 17 olurdu. Eğer her ikisi de 13'ten küçük olsaydı, en büyük asal bölen en fazla 11 olurdu.
3
İki basamaklı olma koşulunu uygulayarak toplamı en küçük yapacak değerleri seçme.
AA ve BB iki basamaklı doğal sayılar olduğundan A≥10A \ge 10 ve B≥10B \ge 10 olmalıdır. Toplamı en küçük yapmak için sayılardan birini en küçük iki basamaklı doğal sayı olan 1010, diğerini ise koşulu sağlayan en küçük değer olan 1313 olarak seçeriz.
Koşulları sağlayan en küçük (A,B)(A, B) ikilisi sırasıyla 13 ve 10'dur.
4
Toplamı hesaplama.
A+B=13+10=23A + B = 13 + 10 = 23 bulunur.
En küçük iki basamaklı değerlerin toplamı hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerin asal bölenlerini belirleme ve verilen kısıtlar altında en küçük değerleri bulma.

İpuçları

1
Bir n!n! sayısının asal bölenlerinin, nn'den küçük veya nn'ye eşit asal sayılar olduğunu hatırlayın.
2
A!⋅B!A! \cdot B! çarpımının en büyük asal böleni 13 ise, bu sayılardan en az birinin en az 13 olması gerektiğini ve her ikisinin de 17'den küçük olması gerektiğini düşünün.
3
AA ve BB sayılarının iki basamaklı en küçük doğal sayılar olması kısıtını kullanarak, birini en küçük iki basamaklı sayı olan 10, diğerini ise en büyük asal böleni 13 yapacak en küçük sayı olan 13 olarak seçin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →
Birer tam sayı olan aa ve bb ile pozitif bir tam sayı olan cc için
ac+1+b⋅ca^{c+1} + b \cdot c
ifadesinin bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a+b)⋅c(a + b) \cdot c

Cevap

(a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesi
Verilen ifadeyi cc sayısının teklik ve çiftlik durumlarına göre incelediğimizde; cc çift olduğunda aa çift olur ve bu durumda (a+b)⋅c(a+b) \cdot c ifadesi çift bir sayı ile çarpıldığı için sonuç kesinlikle çift olur. cc tek olduğunda ise aa ve bb aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olmak zorundadır. Dolayısıyla a+ba+b toplamı çift olacağından, tek olan cc sayısı ile çarpımı yine çift sayı verir. Bu nedenle (a+b)⋅c(a+b) \cdot c ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ac+1+b⋅ca^{c+1} + b \cdot c ifadesinin paritesini, pozitif tam sayı olan cc'nin durumlarına göre analiz etmek.
cc çift ise, b⋅cb \cdot c çifttir. Toplamın çift olması için ac+1a^{c+1} çift, dolayısıyla aa çift olmalıdır. cc tek ise, c+1c+1 çift ve pozitif bir sayı olduğundan ac+1a^{c+1} ifadesi aa ile aynı paritededir. b⋅cb \cdot c ise bb ile aynı paritededir. Toplamın çift olması için aa ve bb aynı paritede (ikisi de tek veya ikisi de çift) olmalıdır.
Pozitif tam sayı kuvvetleri tabanın teklik-çiftlik karakterini değiştirmez ve çift bir sayı ile yapılan çarpımlar her zaman çift sonuç verir.
2
Bulunan bu durumları (a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesi üzerinde test etmek.
cc çift olduğunda, parantez içi ne olursa olsun çift bir sayı ile çarpıldığı için (a+b)⋅c(a + b) \cdot c çift olur. cc tek olduğunda, aa ve bb aynı paritede olduğu için a+ba+b toplamı çift olur; çift sayı ile tek sayının çarpımı yine çift olur. Her iki durumda da ifade çifttir.
Olası tüm durumların ortak sonucunu bularak ifadenin kesinlikle çift sayı olduğunu doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların temel aritmetik özellikleri ve pozitif tam sayı kuvvetlerinin pariteye etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 60Soru →
8!−7!−6!6!\frac{8! - 7! - 6!}{6!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
Verilen rasyonel ifadenin payındaki faktöriyel terimleri en küçük terim olan 6!6! ortak parantezine alındığında, 6!(8⋅7−7−1)=6!⋅486!(8 \cdot 7 - 7 - 1) = 6! \cdot 48 elde edilir. Paydadaki 6!6! ile paydaki 6!6! sadeleştiğinde geriye kalan değer 4848 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük olan 6!6! cinsinden yazalım.
8!=8⋅7⋅6!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! olarak yazılır.
Payda bulunan 6!6! ile sadeleştirme yapabilmek için tüm terimleri aynı fakt��riyel cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Bu ifadeleri pay kısmında yerine koyarak payı 6!6! ortak parantezine alalım.
8!−7!−6!=(8⋅7⋅6!)−(7⋅6!)−(1⋅6!)=6!(56−7−1)=6!⋅488! - 7! - 6! = (8 \cdot 7 \cdot 6!) - (7 \cdot 6!) - (1 \cdot 6!) = 6!(56 - 7 - 1) = 6! \cdot 48
Çıkarma işlemini ortak çarpan parantezi yardımıyla basitleştirmek için.
3
Elde edilen çarpımı paydadaki 6!6! ifadesine bölerek sadeleştirme yapalım.
6!⋅486!=48\frac{6! \cdot 48}{6!} = 48
Pay ve paydadaki ortak 6!6! çarpanları birbirini sadeleştirir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme kuralları.
ÖncekiSayfa 3 / 7Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3 | Examkin