Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 soru

Tüm türler131Çoktan seçmeli115Sayısal16
Soru 101Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a2+b⋅ca^2 + b \cdot c
ifadesi bir çift sayı,
b+cb + c
ifadesi ise bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b⋅ca + b \cdot c

Cevap

a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Verilen bilgilere göre, b+cb + c toplamı tek olduğundan bb ve cc değişkenlerinden biri tek diğeri çifttir. Bu nedenle b⋅cb \cdot c çarpımı her zaman çifttir. a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesi çift olduğundan ve b⋅cb \cdot c çift olduğundan a2a^2 de çift olmalıdır. aa pozitif tam sayı olduğundan kendisi de çift sayıdır. Dolayısıyla çift bir sayı olan aa ile çift bir sayı olan b⋅cb \cdot c çarpımının toplamı her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
b+cb + c ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpımlarının durumunu belirlemek.
bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan b⋅cb \cdot c çarpımı her zaman bir çift sayıdır.
Toplamları tek olan iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Bir çift sayı ile bir tek sayının çarpımı ise her zaman çift sayıdır.
2
a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesinin çift sayı olmasını kullanarak aa sayısının teklik-çiftlik durumunu bulmak.
a2a^2 çift bir sayıdır, dolayısıyla aa sayısı da çift bir sayıdır.
Çift bir sayı ile toplanıp çift sonuç veren sayı çifttir. Pozitif tam sayılarda karesi çift olan sayı kendisi de çifttir.
3
Seçenekleri analiz ederek her zaman çift olan ifadeyi belirlemek.
a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinde aa çift ve b⋅cb \cdot c çift olduğundan toplam daima çift bir sayıdır.
İki çift sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Toplama ve Çarpma Kuralları ile Pozitif Tam Sayı Kuvvetlerinin Özellikleri
Soru 102Soru →

6'şar 6'şar artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisinin ilk terimi 10, son terimi ise xx'tir. Bu dizinin terim sayısı x8+3\frac{x}{8} + 3 olduğuna göre, bu dizideki tüm sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 686

Cevap

Dizideki tüm sayıların toplamı 686'dır.
Ardışık sayılarda terim sayısı formülü uygulandığında, ilk terimi 10, son terimi xx ve artış miktarı 6 olan dizinin terim sayısı x−106+1\frac{x - 10}{6} + 1 olur. Bu ifadeyi paydaları eşitleyerek düzenlediğimizde x−46\frac{x - 4}{6} elde ederiz. Soruda verilen terim sayısı ifadesi olan x8+3\frac{x}{8} + 3 (yani x+248\frac{x + 24}{8}) ile bu ifadeyi birbirine eşitlediğimizde 8(x−4)=6(x+24)8(x - 4) = 6(x + 24) denklemini elde ederiz. Sadeleştirmeler yapıldığında 4x−16=3x+72⇒x=884x - 16 = 3x + 72 \Rightarrow x = 88 bulunur. Buradan terim sayısı 1414 olarak hesaplanır. Dizideki sayıların toplamı ise terim sayısı ile ortalama terimin çarpımı olan 14×10+882=68614 \times \frac{10 + 88}{2} = 686 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısı formülünü yazarak dizinin terim sayısını xx cinsinden ifade edelim.
Terim Sayısı = x−106+1=x−46\frac{x - 10}{6} + 1 = \frac{x - 4}{6}
Ardışık sayılarda terim sayısı formülü: Terim Sayısı=Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 şeklindedir.
2
Elde ettiğimiz terim sayısı ifadesini soruda verilen x8+3\frac{x}{8} + 3 ifadesine eşitleyip xx bilinmeyenini çözelim.
x=88x = 88
x−46=x+248⇒8(x−4)=6(x+24)⇒4(x−4)=3(x+24)⇒4x−16=3x+72⇒x=88\frac{x - 4}{6} = \frac{x + 24}{8} \Rightarrow 8(x - 4) = 6(x + 24) \Rightarrow 4(x - 4) = 3(x + 24) \Rightarrow 4x - 16 = 3x + 72 \Rightarrow x = 88 elde edilir.
3
x=88x = 88 değerini kullanarak dizinin terim sayısını hesaplayalım.
Terim Sayısı = 14
Terim Sayısı=888+3=11+3=14\text{Terim Sayısı} = \frac{88}{8} + 3 = 11 + 3 = 14 veya 88−106+1=14\frac{88 - 10}{6} + 1 = 14 bulunur.
4
Terim sayısı, ilk terim ve son terimi kullanarak dizideki sayıların toplamını bulalım.
Toplam = 686
Ardışık sayıların toplamı formülü: Toplam=Terim Sayısı×I˙lk Terim+Son Terim2=14×10+882=14×49=686\text{Toplam} = \text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2} = 14 \times \frac{10 + 88}{2} = 14 \times 49 = 686 olur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin cebirsel denklemlerle ilişkilendirilmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 103Soru →
xx, yy ve zz gerçel sayıları için
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0
y⋅z<0y \cdot z < 0
x−z>0x - z > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: z−xy−x\frac{z - x}{y - x}

Cevap

z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesi
Verilen eşitsizliklerden sırasıyla x<0x < 0, z<0z < 0 ve y>0y > 0 işaretleri saptanır. Bunlar birleştirildiğinde z<x<0<yz < x < 0 < y sıralaması bulunur. Bu doğrultuda z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesinde pay olan z−xz - x ifadesi, küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için negatif; payda olan y−xy - x ifadesi ise büyük sayıdan küçük sayı çıkarıldığı için pozitiftir. Negatif bir değerin pozitif bir değere oranı daima negatif sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliği inceleyerek xx değişkeninin işaretini belirlemek.
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinde y≠0y \neq 0 olduğundan çift kuvveti olan y2>0y^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın sonucunun negatif olması için x3<0x^3 < 0 olmalıdır, bu da x<0x < 0 (negatif) demektir.
Çift kuvvetli terimlerin daima pozitif olmasından yararlanarak tek bilinmeyenli bir işaret analizi yapmak.
2
Üçüncü eşitsizlik yardımıyla zz değişkeninin işaretini ve xx ile olan ilişkisini belirlemek.
x−z>0  ⟹  x>zx - z > 0 \implies x > z olur. x<0x < 0 olduğu bilindiğine göre, z<x<0z < x < 0 elde edilir. Buradan zz sayısının da negatif (z<0z < 0) oldu��u sonucuna ulaşılır.
Bulunan xx işaretini diğer eşitsizlikte yerine koyarak zz hakkında kesin bilgi edinmek.
3
İkinci eşitsizlikten yararlanarak yy değişkeninin işaretini bulmak ve tüm değişkenleri sıralamak.
y⋅z<0y \cdot z < 0 eşitsizliğinde z<0z < 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için yy sayısının pozitif (y>0y > 0) olması gerekir. Sonuç olarak z<x<0<yz < x < 0 < y sıralaması elde edilir.
Tüm değişkenlerin işaretlerini belirleyip sayı doğrusu üzerindeki yerlerini netleştirmek.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini bu sıralamaya göre değerlendirmek.
z−xy−x\frac{z - x}{y - x} ifadesinde; pay kısmında z<x  ⟹  z−x<0z < x \implies z - x < 0 (negatif), payda kısmında ise x<y  ⟹  y−x>0x < y \implies y - x > 0 (pozitif) elde edilir. Negatifin pozitife bölümü daima negatif olacağından bu ifade kesinlikle negatiftir.
Elde edilen işaret ve büyüklük bilgilerini kullanarak kesin olarak negatif olan ifadeyi bulmak.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Belirleme ve Eşitsizlik Yorumlama
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 104Soru →
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve CACA doğal sayıları için
ABC=4⋅(AB+BC+CA)−5ABC = 4 \cdot (AB + BC + CA) - 5
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC doğal sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 875

Cevap

Bu koşulu sağlayan ABCABC doğal sayısı 875'tir.
Verilen denklem çözümlenip sadeleştirildiğinde 56A+5=34B+43C56A + 5 = 34B + 43C eşitliğine ulaşılır. Rakamların sıfırdan farklı ve birbirinden farklı olması kısıtlaması altında bu denklemi sağlayan tek değer kümesi A=8,B=7,C=5A=8, B=7, C=5 şeklindedir. Bu rakamlarla oluşturulan üç basamaklı sayı 875'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleme
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C, AB=10A+BAB = 10A + B, BC=10B+CBC = 10B + C, CA=10C+ACA = 10C + A
Denklemdeki basamak yapısını matematiksel olarak ifade etmek için
2
��özümlenmiş ifadeleri denklemde yerine koyarak sadeleştirme
56A+5=34B+43C56A + 5 = 34B + 43C
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi daha basit bir formda incelemek için
3
Rakamların alabileceği değer sınırlarını (1-9 arası ve birbirinden farklı) kullanarak denklemi çözme
A=8A = 8, B=7B = 7, C=5C = 5
Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar kısıtına uyan tam sayı çözümlerini bulmak için
4
Bulunan rakamları birleştirerek ABCABC sayısını oluşturma
ABC=875ABC = 875
İstenen üç basamaklı sayıyı elde etmek için

Anahtar Kavram

Basamak çözümlemesi ve rakam kısıtları altında Diophantine (tam sayı) denklemlerinin çözümü
Soru 105Soru →
aa ve bb negatif tam sayılar olmak üzere,
a=−3a = -3 ve b=−2b = -2 için
a2−b⋅[a−(a−b)⋅(b−a)]a^2 - b \cdot [ a - (a - b) \cdot (b - a) ]
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin doğru değeri 5'tir.
İşlem önceliği kurallarına göre, önce parantez içindeki ifadeler (a−b=−1a-b=-1 ve b−a=1b-a=1) çözümlenir, ardından bu ifadelerin çarpımı (−1⋅1=−1-1 \cdot 1 = -1) bulunur. Köşeli parantezin içi −3−(−1)=−2-3 - (-1) = -2 olarak hesaplanır. Son olarak üslü ifade (−3)2=9(-3)^2 = 9 hesaplanıp çarpma önceliği gözetilerek 9−(−2)⋅(−2)=9−4=59 - (-2) \cdot (-2) = 9 - 4 = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki en küçük ifadeler olan a−ba-b ve b−ab-a değerlerini hesaplama
a−b=−3−(−2)=−1a - b = -3 - (-2) = -1 ve b−a=−2−(−3)=1b - a = -2 - (-3) = 1 olur.
Köşeli parantez içindeki çarpma işlemini gerçekleştirebilmek için bu çarpanların değerlerini önceden belirlememiz gerekir.
2
Köşeli parantezin içindeki ifadenin tamamını hesaplama
−3−(−1)⋅1=−3−(−1)=−3+1=−2-3 - (-1) \cdot 1 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2 bulunur.
Çarpma işleminin çıkarma işlemine göre önceliği olduğundan, önce çarpma işlemini yaparız, ardından çıkarma işlemini gerçekleştiririz.
3
Dışarıdaki üslü ifadeyi hesaplayıp ana işlemi tamamlama
a2=(−3)2=9a^2 = (-3)^2 = 9 ve −b⋅(−2)=−(−2)⋅(−2)=−4-b \cdot (-2) = -(-2) \cdot (-2) = -4 olduğundan, ana işlem 9−4=59 - 4 = 5 olarak bulunur.
Üslü ifadenin değerini hesaplayıp işlem önceliğine göre önce çarpma, ardından çıkarma işlemini tamamlarız.

Anahtar Kavram

Dört işlem içeren matematiksel ifadelerde işlem önceliği (parantez içi, üslü sayılar, çarpma/bölme, toplama/çıkarma) ve negatif sayılarla işaret kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 106Soru →

Elemanları birer tam sayı olan ve elemanlarının çarpımı −12-12 olan 3 elemanlı bir kümenin elemanlarının toplamı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

-9 değeri doğru cevaptır.
Çarpımları −12-12 olan birbirinden farklı en küçük toplamı veren tam sayı grubu {−1,−2,−6}\{-1, -2, -6\} olup toplamları −9-9 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme kavramını ve elemanlarının özelliğini belirleme
Kümenin 3 elemanı da birbirinden farklı tam sayılar olmalıdır.
Bir kümede aynı eleman birden fazla kez yer alamaz.
2
Çarpımları −12-12 olan üç sayının işaret durumlarını inceleme
Sayıların ya üçü de negatif olmalıdır ya da biri negatif, ikisi pozitif olmalıdır.
Üç tam sayının çarpımının negatif olması için negatif sayı adedi tek olmalıdır.
3
Üç negatif tam sayı durumunu değerlendirme
Birbirinden farklı ve çarpımları −12-12 olan negatif tam sayı grupları: {−1,−2,−6}\{-1, -2, -6\} (toplamı −9-9) ve {−1,−3,−4}\{-1, -3, -4\} (toplamı −8-8) olarak bulunur.
Bu sayıların çarpımları (−1)⋅(−2)⋅(−6)=−12(-1) \cdot (-2) \cdot (-6) = -12 ve (−1)⋅(−3)⋅(−4)=−12(-1) \cdot (-3) \cdot (-4) = -12 olup koşulları sağlar.
4
Bir negatif, iki pozitif tam sayı durumunu değerlendirme
Toplamın en küçük olması için negatif sayı olabildiğince küçük (mutlak değerce en büyük) seçilmelidir. Bu durumda {1,2,−6}\{1, 2, -6\} kümesi için toplam 1+2+(−6)=−31 + 2 + (-6) = -3 olur.
Negatif sayıyı daha küçük seçmek için pozitif sayıları en küçük seçmeliyiz.
5
Elde edilen en küçük toplamı belirleme
Bulunan toplamlar arasından en küçüğü −9-9 olarak belirlenir.
−9<−8<−3-9 < -8 < -3 olduğundan en küçük toplam −9-9 değeridir.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri özellikleri, küme tanımı ve tam sayılarda dört işlem kuralları
Soru 107Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı için aşağıdaki bilgiler veriliyor:

* Yüzler ve onlar basamağ��ndaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayının değeri 180180 azalmaktadır.
* Onlar ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayının değeri 2727 artmaktadır.
* ABCABC sayısı ile bu sayının rakamlarının ters sırayla yazılmasıyla elde edilen CBACBA sayısının toplamı 10001000'den küçüktür.

Buna göre, bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 739

Cevap

Koşulları sağlayan tüm sayıların toplamı 739'dur.
Verilen bilgilere göre, basamak çözümlemesi yapıldığında yüzler ve onlar basamağının yer değiştirmesiyle oluşan farktan A−B=2A - B = 2, onlar ve birler basamağının yer değiştirmesiyle oluşan farktan C−B=3C - B = 3 bağıntıları elde edilir. Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olma koşulu altında yazılabilecek sayılar 314314, 425425, 536536, 647647, 758758 ve 869869'dur. Bu sayılardan kendisi ile tersinin toplamı 10001000'den küçük olanlar yalnızca 314314 (314+413=727314 + 413 = 727) ve 425425 (425+524=949425 + 524 = 949) sayılarıdır. Bu iki say��nın toplamı ise 739739 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci koşulu matematiksel denkleme dönüştürme
ABC−BAC=180  ⟹  90(A−B)=180  ⟹  A−B=2ABC - BAC = 180 \implies 90(A - B) = 180 \implies A - B = 2
Yüzler ve onlar basamağı yer değiştirdiğinde değerin 180 azalması, ABCABC'nin BACBAC'den 180 büyük olduğunu gösterir.
2
İkinci koşulu matematiksel denkleme dönüştürme
ACB−ABC=27  ⟹  9(C−B)=27  ⟹  C−B=3ACB - ABC = 27 \implies 9(C - B) = 27 \implies C - B = 3
Onlar ve birler basamağı yer değiştirdiğinde değerin 27 artması, ACBACB'nin ABCABC'den 27 büyük olduğunu gösterir.
3
Rakam bağıntılarını yazıp sıfırdan ve birbirinden farklı rakam koşuluna göre olası değerleri listeleme
A=B+2A = B + 2 ve C=B+3C = B + 3. BB değerlerine göre:
* B=1  ⟹  A=3,C=4  ⟹  ABC=314B = 1 \implies A = 3, C = 4 \implies ABC = 314
* B=2  ⟹  A=4,C=5  ⟹  ABC=425B = 2 \implies A = 4, C = 5 \implies ABC = 425
* B=3  ⟹  A=5,C=6  ⟹  ABC=536B = 3 \implies A = 5, C = 6 \implies ABC = 536
* B=4  ⟹  A=6,C=7  ⟹  ABC=647B = 4 \implies A = 6, C = 7 \implies ABC = 647
* B=5  ⟹  A=7,C=8  ⟹  ABC=758B = 5 \implies A = 7, C = 8 \implies ABC = 758
* B=6  ⟹  A=8,C=9  ⟹  ABC=869B = 6 \implies A = 8, C = 9 \implies ABC = 869
AA, BB ve CC sıfırdan farklı rakamlar olduğundan ve en büyük rakam C=B+3≤9C = B + 3 \le 9 koşulunu sağladığından BB en fazla 6 değerini alabilir.
4
Eşitsizlik koşulunu kontrol ederek geçerli sayıları belirleme
* ABC=314ABC = 314 i��in CBA=413  ⟹  314+413=727<1000CBA = 413 \implies 314 + 413 = 727 < 1000 (Geçerli)
* ABC=425ABC = 425 için CBA=524  ⟹  425+524=949<1000CBA = 524 \implies 425 + 524 = 949 < 1000 (Geçerli)
* ABC=536ABC = 536 için CBA=635  ⟹  536+635=1171>1000CBA = 635 \implies 536 + 635 = 1171 > 1000 (Geçersiz)

B≥3B \ge 3 için tüm toplamlar 1000'den büyük çıkacaktır. Dolayısıyla sadece 314 ve 425 sayıları koşulları sağlar.
ABC+CBA<1000ABC + CBA < 1000 koşulunu sağlayan durumlar belirlenmelidir.
5
Geçerli sayıların toplamını hesaplama
314+425=739314 + 425 = 739
Soruda istenen, koşulları sağlayan tüm sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Basamak analizi ve basamak değeri değişimiyle rakamlar arası doğrusal ilişkilerin belirlenmesi ve bu ilişkilerin eşitsizlik sınırlar�� dahilinde çözülmesi.

Alternatif Yöntem

ABC+CBAABC + CBA toplamı çözümlenirse 101(A+C)+20B101(A + C) + 20B elde edilir. A=B+2A = B + 2 ve C=B+3C = B + 3 ifadeleri yerine yazıldığında toplam 222B+505222B + 505 olur. Bu ifadenin 10001000'den küçük olması için 222B<495222B < 495 olmalıdır, buradan BB en fazla 22 değerini alabilir. Böylece tek tek denemeden BB'nin sadece 11 ve 22 olabileceği doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 108Soru →

A>BA > B olmak üzere, iki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarının toplamı, AA ile BB rakamlarının farkının 44 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABAB sayısının rakamları çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Rakamları çarpımı 15'tir.
Çözümlenen AB+BA=11(A+B)AB + BA = 11(A+B) ifadesi, 44(A−B)44(A-B) değerine eşitlendiğinde A+B=4(A−B)A+B = 4(A-B) ve buradan 5B=3A5B = 3A elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek sıfırdan farklı rakam çifti A=5A=5 ve B=3B=3 olup, rakamların çarpımı 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A şeklinde çözümlenir. Bu iki sayının toplamı ise AB+BA=11A+11B=11(A+B)AB + BA = 11A + 11B = 11(A+B) olur.
Sayı basamaklarının değerlerini kullanarak ifadeyi daha sade bir biçimde yazmak için basamak çözümlemesi yapılır.
2
Soruda verilen eşitliği kuralım ve sadeleştirelim.
11(A+B)=44(A−B)  ⟹  A+B=4(A−B)  ⟹  A+B=4A−4B  ⟹  5B=3A11(A+B) = 44(A-B) \implies A+B = 4(A-B) \implies A+B = 4A - 4B \implies 5B = 3A bağıntısı elde edilir.
Toplamın, rakamlar farkının 44 katına eşit olduğu bilgisi cebirsel olarak ifade edilip sadeleştirilir.
3
A ve B rakamlarının değerlerini belirleyip çarpımını bulalım.
AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olduğundan 5B=3A5B = 3A eşitliğini sağlayan tek değerler A=5A = 5 ve B=3B = 3'tür. Buradan rakamların çarpımı A⋅B=5⋅3=15A \cdot B = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
İki basamaklı sayı tanımına uygun olarak rakam kısıtlamaları uygulanıp doğru basamak değerlerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak analizi
Soru 109Soru →

pp bir asal sayı olmak üzere, p2−1p^2 - 1 ifadesi de bir asal sayıya eşittir.

Buna göre, pp sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Verilen koşulu sağlayan sayı 2'dir. p=2p = 2 yazıldığında p2−1=3p^2 - 1 = 3 olur. 3 sayısı asal olduğundan koşul sağlanır. 2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayı olduğundan, karelerinin 1 eksiği her zaman 2'den büyük çift bir sayı olacaktır. Çift sayılardan sadece 2 asal olduğu için 2 dışındaki asal sayılar bu koşulu sağlayamaz.

Adım Adım Çözüm

1
pp asal sayısının alabileceği durumları incelemek
En küçük ve tek çift asal sayı 22'dir. 22'den büyük tüm asal sayılar tektir.
Asal sayıların teklik-çiftlik özellikleri çözümü daraltmaya yardımcı olur.
2
pp sayısının tek olması durumunda p2−1p^2 - 1 ifadesinin alacağı değeri analiz etmek
pp tek sayı ise p2p^2 tektir. Tek bir sayıdan 1 çıkarıldığında (p2−1p^2 - 1) sonuç çift bir sayı olur. 22'den büyük tüm çift sayılar 22 ile bölünebildiğinden asal olamaz. Dolayısıyla pp tek bir asal sayı olamaz.
Çift sayıların asallık özelliğini kullanarak tek asal sayıların elenmesini sağlamak.
3
Çift olan tek asal sayı olan p=2p = 2 değerini yerine yazarak denemek
p=2p = 2 için p2−1=22−1=3p^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3 bulunur. 33 sayısı bir asal sayıdır. Koşul sağlanır.
Bulunan tek olası asal sayı değerinin doğruluğunu kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Çift olan tek asal sayının 2 olması ve asal sayıların teklik-çiftlik özellikleri

İpuçları

1
En küçük asal sayı hangisidir ve bu sayının çift-tek olma durumuyla ilgili özel bir niteliği var mıdır?
2
2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. Tek sayıların karesinin 1 eksiği her zaman çift bir sayı üretir. Bu durum asallık kuralını nasıl etkiler?
Tahmini Süre:45s
Soru 110Soru →

Bir xx doğal sayısından başlayarak ileriye doğru 5'er 5'er artırılarak yazılan ardışık sayı dizisinin 12. terimi yy, yine xx sayısından başlayarak geriye doğru 3'er 3'er azaltılarak yazılan ardışık sayı dizisinin 8. terimi ise zz'dir.

y+z=154y + z = 154 olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru yanıt 60'tır.
Başlangıç terimi xx olan ve 5'er 5'er artan bir dizinin 12. terimi y=x+(12−1)×5=x+55y = x + (12-1) \times 5 = x + 55 olur. Aynı şekilde xx ile başlayan ve geriye doğru 3'er 3'er azalan dizinin 8. terimi z=x−(8−1)×3=x−21z = x - (8-1) \times 3 = x - 21 olur. İkisinin toplamı olan y+z=2x+34=154y + z = 2x + 34 = 154 eşitliğinden 2x=1202x = 120 ve x=60x = 60 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk dizinin 12. terimi olan yy değerini xx cinsinden ifade etmek.
y=x+55y = x + 55
xx sayısından başlayıp 5'er 5'er artan bir dizinin 12. terimini bulmak için başlangıç terimine 11 adet artış miktarı eklenir: y=x+(12−1)×5=x+55y = x + (12 - 1) \times 5 = x + 55.
2
İkinci dizinin 8. terimi olan zz değerini xx cinsinden ifade etmek.
z=x−21z = x - 21
xx sayısından başlayıp geriye doğru 3'er 3'er azalan bir dizinin 8. terimini bulmak için başlangıç teriminden 7 adet azalış miktarı çıkarılır: z=x−(8−1)×3=x−21z = x - (8 - 1) \times 3 = x - 21.
3
Elde edilen yy ve zz ifadelerini y+z=154y + z = 154 denkleminde yerine yazarak xx'i bulmak.
x=60x = 60
(x+55)+(x−21)=154  ⟹  2x+34=154  ⟹  2x=120  ⟹  x=60(x + 55) + (x - 21) = 154 \implies 2x + 34 = 154 \implies 2x = 120 \implies x = 60 elde edilir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayılarda belirli bir adımdaki terimin değerini artış/azalış miktarı ve terim sayısı ilişkisiyle bulma.
Soru 111Soru →

Ardışık çift sayılardan oluşan iki farklı sayı dizisi hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* İkinci dizinin ilk terimi, birinci dizinin ilk teriminden 1010 fazladır.
* ��kinci dizinin son terimi, birinci dizinin son teriminden 44 eksiktir.
* Birinci dizinin terimlerinin aritmetik ortalaması 3030'dur.
* Birinci dizinin terimlerinin toplamı, ikinci dizinin terimlerinin toplamından 120120 fazladır.

Buna göre, ikinci dizinin terim sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İkinci dizinin terim sayısı 30'dur.
İkinci dizinin terimlerinin ortalaması, birinci dizinin ortalamasından 3 fazladır (yani 33'tür). Birinci dizinin terim sayısı da ikinci dizininkinden 7 fazladır. Toplamlar arasındaki fark olan 120 bağıntısı yazıldığında ikinci dizinin terim sayısı 30 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci dizinin ilk terimine aa, terim sayısına n1n_1 diyelim. Birinci dizinin son terimi L1=a+2(n1−1)L_1 = a + 2(n_1 - 1) olur. İkinci dizinin ilk terimi b=a+10b = a + 10 ve son terimi L2=L1−4L_2 = L_1 - 4 olarak veriliyor.
b=a+10b = a + 10, L2=a+2n1−6L_2 = a + 2n_1 - 6
Dizilerin terimlerini ve sınır değerlerini birbirleri cinsinden ifade etmek için.
2
İkinci dizinin terim sayısı olan n2n_2 değerini formülle yazalım: n2=L2−b2+1n_2 = \frac{L_2 - b}{2} + 1. Burada L2L_2 ve bb değerlerini yerine koyalım.
n2=(L1−4)−(a+10)2+1=L1−a−142+1n_2 = \frac{(L_1 - 4) - (a + 10)}{2} + 1 = \frac{L_1 - a - 14}{2} + 1. L1−a=2n1−2L_1 - a = 2n_1 - 2 olduğundan, n2=2n1−2−142+1=n1−7n_2 = \frac{2n_1 - 2 - 14}{2} + 1 = n_1 - 7 bulunur. Buradan n1=n2+7n_1 = n_2 + 7 elde edilir.
İki dizinin terim sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için.
3
Birinci dizinin ortalaması a+L12=30\frac{a + L_1}{2} = 30 olarak verilmiştir. İkinci dizinin ortalamasını bulalım: b+L22=(a+10)+(L1−4)2=a+L1+62=a+L12+3=30+3=33\frac{b + L_2}{2} = \frac{(a + 10) + (L_1 - 4)}{2} = \frac{a + L_1 + 6}{2} = \frac{a + L_1}{2} + 3 = 30 + 3 = 33 olur.
İkinci dizinin terimlerinin toplamını terim sayısı cinsinden yazabilmek için aritmetik ortalamasını bulmak gerekir.
4
Birinci dizinin toplamı A=30⋅n1A = 30 \cdot n_1 ve ikinci dizinin toplamı B=33⋅n2B = 33 \cdot n_2 olur. A−B=120A - B = 120 eşitliğinde n1=n2+7n_1 = n_2 + 7 yazarak denklemi çözelim.
30(n2+7)−33n2=120  ⟹  210−3n2=120  ⟹  3n2=90  ⟹  n2=3030(n_2 + 7) - 33n_2 = 120 \implies 210 - 3n_2 = 120 \implies 3n_2 = 90 \implies n_2 = 30.
İkinci dizinin terim sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı, aritmetik ortalama ve terimler toplamı arasındaki ilişkiler.
Soru 112Soru →

Bir kk tam sayısı için 5k−35k - 3 sayısının bir çift sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: k2+2k^2 + 2

Cevap

k2+2k^2 + 2 ifadesi
Verilen 5k−35k - 3 ifadesinin bir çift sayı olduğu belirtilmiştir. Çift bir sayıdan tek sayı çıkarıldığında sonuç tek olacağından, 5k5k ifadesi tek sayı olmalıdır. Çarpımın tek sayı olması için kk tek sayı olmalıdır. kk tek sayı ise, karesi olan k2k^2 de tek sayıdır. Tek bir sayıya çift olan 22 eklendiğinde (k2+2k^2 + 2) sonuç her zaman tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 5k−35k - 3 ifadesinin çift sayı olmasından yola çıkarak kk sayısının tekliğini/çiftliğini belirlemek.
kk sayısı tek sayıdır.
5k−35k - 3 ifadesi çift sayıdır. −3-3 tek sayı olduğuna göre, 5k5k ifadesi tek sayı olmalıdır (tek - tek = çift). 55 tek sayı olduğundan, çarpımın tek olması için kk tek sayı olmalıdır.
2
Bulunan kk değeri için seçeneklerdeki ifadeleri tek tek incelemek.
k2+2k^2 + 2 ifadesinin sonucunun her zaman tek sayı olduğu görülür.
kk tek sayı ise, karesi olan k2k^2 de tek sayıdır. Tek bir sayıya çift olan 22 sayısı eklendiğinde sonuç her zaman tek sayı (tek + çift = tek) olur. Diğer tüm seçenekler çift sayı üretir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Tahmini Süre:45s
Soru 113Soru →

Bir AA kümesi, 3'ten başlayıp 4'er 4'er artan ardışık tam sayılardan; BB kümesi ise 5'ten başlayıp 3'er 3'er artan ardışık tam sayılardan oluşmaktadır. Her iki kümenin de eleman sayısı eşit olup AA kümesinin en büyük elemanı ile BB kümesinin en büyük elemanının toplamı 204'tür. Buna göre, bu iki kümenin ortak elemanlarının sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Ortak elemanların sayısı 7'dir.
Ortak elemanlar ilk terimi 11 ve ortak farkı 12 olan bir aritmetik dizi oluşturur. B kümesinin en büyük elemanı 89 olduğundan ortak elemanlar bu değeri aşamaz. Bu koşulu sağlayan ortak elemanlar 11, 23, 35, 47, 59, 71 ve 83 olmak üzere toplam 7 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin genel terimlerini (n. elemanlarını) n değişkenine bağlı olarak yazalım.
AA kümesinin en büyük (n.) elemanı: TA=3+(n−1)×4=4n−1T_A = 3 + (n - 1) \times 4 = 4n - 1 olur. BB kümesinin en büyük (n.) elemanı ise: TB=5+(n−1)×3=3n+2T_B = 5 + (n - 1) \times 3 = 3n + 2 olur.
Her iki kümenin de eleman sayısı eşit olduğundan, en büyük elemanlar n. terim formülü olan a1+(n−1)da_1 + (n-1)d kullanılarak ifade edilir.
2
En büyük elemanların toplamını kullanarak eleman sayısı olan n değerini bulalım.
(4n−1)+(3n+2)=204⇒7n+1=204⇒7n=203⇒n=29(4n - 1) + (3n + 2) = 204 \Rightarrow 7n + 1 = 204 \Rightarrow 7n = 203 \Rightarrow n = 29 bulunur.
Verilen en büyük elemanların toplamı denklemine göre bilinmeyen eleman sayısı çözülür.
3
Kümelerin üst sınırlarını (en büyük elemanlarını) hesaplayalım.
AA kümesinin en büyük elemanı: 4(29)−1=1154(29) - 1 = 115 olur. BB kümesinin en büyük elemanı ise: 3(29)+2=893(29) + 2 = 89 olur. Bu durumda ortak elemanlar en fazla min⁡(115,89)=89\min(115, 89) = 89 değerini alabilir.
Ortak elemanlar her iki kümenin de sınırları içinde yer almak zorundadır.
4
Kesişim kümesinin ilk elemanını ve artış miktarını belirleyelim.
A={3,7,11,15,… }A = \{3, 7, 11, 15, \dots\} ve B={5,8,11,14,… }B = \{5, 8, 11, 14, \dots\} yazıldığında ilk ortak eleman 1111 olarak bulunur. Artış miktarı ise EKOK(4,3)=12\text{EKOK}(4, 3) = 12 olur.
Aritmetik dizilerin ortak elemanları, artış miktarlarının en küçük ortak katı kadar aralıklarla tekrarlanır.
5
Sınırlar dahilindeki ortak elemanların terim sayısını hesaplayalım.
Ortak elemanlar 1111 ile başlayıp 1212'şer artarak en fazla 8989'a kadar gidebilir. Bu koşula uyan en büyük terim 8383'tür (11+12×6=8311 + 12 \times 6 = 83). Terim sayısı formülü uygulanırsa: 83−1112+1=6+1=7\frac{83 - 11}{12} + 1 = 6 + 1 = 7 elde edilir.
Belirli bir kurala göre artan sonlu bir dizideki terim sayısını bulmak için son terimden ilk terim çıkarılıp artış miktarına bölünür ve sonuca 1 eklenir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

İpuçları

1
Kümelerin eleman sayıları eşit olduğuna göre, n. elemanları genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ile yazıp toplamlarını 204'e eşitleyerek eleman sayısını bulun.
2
Eleman sayısını bulduktan sonra her iki kümenin en büyük elemanlarını hesaplayın. Ortak elemanlar, bu iki en büyük elemanın küçüğünü aşamaz.
3
Kümelerin ilk ortak elemanını yazarak bulun. Ardışık ortak elemanlar, kümelerin artış miktarları olan 3 ve 4'ün en küçük ortak katı (EKOK) kadar artacaktır. Son olarak terim sayısı formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç farklı artış miktarına sahip dizinin ortak elemanlarının sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kümelerin eleman sayısını bulduktan sonra, A kümesinin elemanlarını 4k+34k + 3 ve B kümesinin elemanlarını 3m+53m + 5 biçiminde yazabiliriz. Ortak elemanlar için x=4k+3=3m+5x = 4k + 3 = 3m + 5 eşitliği sağlanmalıdır. Buradan x+1=4(k+1)=3(m+2)x + 1 = 4(k + 1) = 3(m + 2) elde edilir. Dolayısıyla x+1x+1 sayısı hem 3'ün hem de 4'ün katı olmalı, yani 12'nin katı olmalıdır (x+1=12p⇒x=12p−1x + 1 = 12p \Rightarrow x = 12p - 1). Kümelerin sınırları olan 5≤x≤895 \le x \le 89 aralığındaki 12p−112p - 1 biçimindeki sayılar p=1,2,3,4,5,6,7p = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 değerleri için yazılabilir. Bu da 7 farklı ortak eleman olduğunu gösterir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 114Soru →
[(−8)⋅(−3)−(−12)÷(−4)]÷[−5−(−2)⋅(−1)][(-8) \cdot (-3) - (-12) \div (-4)] \div [-5 - (-2) \cdot (-1)]

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İşlemler doğru sırayla gerçekleştirildiğinde sonuç -3 olarak bulunur.
İşlem önceliği kurallarına göre ilk parantez içindeki çarpma ve bölme işlemleri yapılarak 24−3=2124 - 3 = 21 sonucu elde edilir. İkinci parantez içinde ise öncelikle çarpma işlemi yapılarak −5−2=−7-5 - 2 = -7 sonucu elde edilir. Son adımda bu iki sonucun birbirine bölünmesiyle 21÷(−7)=−321 \div (-7) = -3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parantez içindeki çarpma ve bölme işlemlerini işlem önceliğine göre yapalım.
(−8)⋅(−3)=24(-8) \cdot (-3) = 24 ve (−12)÷(−4)=3(-12) \div (-4) = 3 olur.
Çarpma ve bölme işlemlerinin çıkarma işlemine göre önceliği vardır.
2
İlk parantez içindeki çıkarma işlemini tamamlayarak parantezin değerini bulalım.
24−3=2124 - 3 = 21 elde edilir.
Parantez içi işlemleri sonuçlandırmak gerekir.
3
İkinci parantez içindeki çarpma işlemini işlem önceliğine göre yapalım.
(−2)⋅(−1)=2(-2) \cdot (-1) = 2 olur.
Çarpma işleminin çıkarma işlemine göre önceliği vardır.
4
İkinci parantez içindeki çıkarma işlemini tamamlayarak parantezin değerini bulalım.
−5−2=−7-5 - 2 = -7 elde edilir.
Parantez içi işlemleri sonuçlandırmak gerekir.
5
İlk parantezden elde edilen sonucu ikinci parantezden elde edilen sonuca bölelim.
21÷(−7)=−321 \div (-7) = -3 elde edilir.
İki parantez arasındaki bölme işlemini gerçekleştirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda dört işlem yaparken işlem önceliğine (önce çarpma/bölme, sonra toplama/çıkarma) ve işaret kurallarına dikkat edilmelidir.
Soru 115Soru →

a,ba, b ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

a−b>a−ca - b > a - c
a⋅bb−c<0\frac{a \cdot b}{b - c} < 0
a+c=0a + c = 0

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅c+ba \cdot c + b

Cevap

a⋅c+ba \cdot c + b
İşaret analizi yapıldığında a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 olduğu bulunur. Buna göre, a⋅ca \cdot c ifadesi negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir. Negatif bir sayıya negatif olan bb sayısı eklendiğinde elde edilen toplam da kesinlikle negatif olur.

Adım Adım Çözüm

1
a−b>a−ca - b > a - c e��itsizliğinde her iki taraftan aa çıkarılarak sadeleştirme yapılır.
−b>−c-b > -c elde edilir. Bu eşitsizliğin her iki tarafı −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve b<cb < c sonucuna ulaşılır.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkisini belirlemek için.
2
b<cb < c bağıntısı kullanılarak b−cb - c ifadesinin işareti belirlenir.
b<c⇒b−c<0b < c \Rightarrow b - c < 0 yani negatif olduğu bulunur.
Rasyonel ifadenin paydasının işaretini bilmek, payın işaretini bulmamızı sağlayacaktır.
3
a⋅bb−c<0\frac{a \cdot b}{b - c} < 0 eşitsizliği analiz edilir.
Payda (b−cb - c) negatif olduğundan, bölümün negatif çıkması için pay kısmındaki a⋅ba \cdot b ifadesinin pozitif olması gerekir (a⋅b>0a \cdot b > 0). Bu durum aa ve bb sayılarının aynı işaretli olduğunu gösterir.
Çarpımın işaret kuralını uygulayarak değişkenlerin işaret ilişkisini bulmak için.
4
a+c=0a + c = 0 eşitliği ve b<cb < c eşitsizliği birlikte değerlendirilir.
a+c=0⇒a=−ca + c = 0 \Rightarrow a = -c olur. Bu durumda aa ile cc zıt işaretlidir. aa ile bb aynı işaretli olduğuna göre, bb ile cc de zıt işaretli olmalıdır. b<cb < c olduğundan, küçük olan bb negatif (b<0b < 0), büyük olan cc ise pozitif (c>0c > 0) olmalıdır. Dolayısıyla aa da negatif (a<0a < 0) olur. Sonuç olarak işaretler: a<0a < 0, b<0b < 0 ve c>0c > 0 şeklindedir.
Her bir değişkenin kesin işaretini belirlemek için.
5
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretleri elde edilen a<0a < 0, b<0b < 0, c>0c > 0 değerlerine göre incelenir.
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde; a<0a < 0 ve c>0c > 0 olduğundan a⋅c<0a \cdot c < 0 (negatif) olur. Negatif bir sayıya negatif olan bb sayısı eklendiğinde (a⋅c+ba \cdot c + b) sonuç kesinlikle negatif olur.
Doğru seçeneği doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem ve eşitsizlik özellikleri kullanılarak sayıların işaretlerinin belirlenmesi.

İpuçları

1
a−b>a−ca - b > a - c eşitsizliğinden yola çıkarak bb ile cc arasındaki büyüklük ilişkisini belirleyin.
2
b<cb < c olduğundan b−cb - c farkının negatif olduğunu görebiliriz. Bu bilgiyi rasyonel ifadeden a⋅ba \cdot b çarpımının işaretini bulmak için kullanın.
3
aa ile bb aynı işaretlidir. a+c=0a + c = 0 bağıntısı aa ile cc'nin zıt işaretli olduğunu gösterir. Buradan tüm sayıların işaretlerini sırasıyla belirleyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde rasyonel ve üslü ifadeler içeren işaret belirleme soruları çözerek eşitsizlik yönü kurallarını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayıların işaretlerini belirledikten sonra, a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=2c = 2 gibi koşulları sağlayan basit değerler seçip seçeneklerde yerine koyarak da hangisinin kesinlikle negatif olduğunu görebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 116Soru →

Üzerlerinde birer tam sayı yazılı olan topların bulunduğu iki torbadan;
* Kırmızı torbada −6,−3,2,4-6, -3, 2, 4 sayıları,
* Mavi torbada −5,−2,1,3-5, -2, 1, 3 sayıları
yer almaktadır.

Kırmızı torbadan birbirinden farklı iki top çekilip üzerlerindeki sayılar sırasıyla aa ve bb olarak, mavi torbadan da birbirinden farklı iki top çekilip üzerlerindeki sayılar sırasıyla cc ve dd olarak belirleniyor.

Buna göre, bu sayılarla oluşturulan
a⋅b−c⋅da \cdot b - c \cdot d
ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -34

Cevap

-34 değeri doğru cevaptır. Bu değere eksilen terimi en küçük (-24), çıkan terimi ise en büyük (10) seçerek ulaş��rız.
İfadenin en küçük değerini alabilmesi için eksilen terim olan kırmızı torbadaki çarpımın alabileceği en küçük değer, çıkan terim olan mavi torbadaki çarpımın ise alabileceği en büyük değer hesaplanmalıdır. Kırmızı torbadan seçilen birbirinden farklı sayılar için en küçük çarpım (−6)⋅4=−24(-6) \cdot 4 = -24 olur. Mavi torbadan seçilen birbirinden farklı sayılar için en büyük çarpım (−5)⋅(−2)=10(-5) \cdot (-2) = 10 olur. Bu iki değerin farkı alındığında −24−10=−34-24 - 10 = -34 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin yapısını inceleme ve strateji belirleme
Eksilen terimin en küçük, çıkan terimin ise en büyük seçilmesi gerektiği belirlendi.
a⋅b−c⋅da \cdot b - c \cdot d ifadesinin en küçük değerini alabilmesi için eksilen terim olan a⋅ba \cdot b'nin en küçük, çıkan terim olan c⋅dc \cdot d'nin ise en büyük olması gerekir.
2
Kırmızı torbadan en küçük a⋅ba \cdot b çarpımını bulma
a⋅ba \cdot b çarpımının en küçük değeri −24-24 olarak bulundu.
Kırmızı torbadaki sayı kümesi {−6,−3,2,4}\{-6, -3, 2, 4\}'tür. En küçük çarpım için zıt işaretli ve mutlak değerce en büyük elemanlar seçilmelidir. Buradan −6-6 ve 44 seçildiğinde (−6)⋅4=−24(-6) \cdot 4 = -24 elde edilir.
3
Mavi torbadan en büyük c⋅dc \cdot d çarpımını bulma
c⋅dc \cdot d çarpımının en büyük değeri 1010 olarak bulundu.
Mavi torbadaki sayı kümesi {−5,−2,1,3}\{-5, -2, 1, 3\}'tür. En büyük çarpım için aynı işaretli elemanlar çarpılmalıdır. Negatif sayılardan −5-5 ve −2-2 seçildiğinde (−5)⋅(−2)=10(-5) \cdot (-2) = 10 olur. Pozitif sayılardan 11 ve 33 seçildiğinde 1⋅3=31 \cdot 3 = 3 olur. Dolayısıyla maksimum değer 1010'dur.
4
Elde edilen değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama
a⋅b−c⋅d=−24−10=−34a \cdot b - c \cdot d = -24 - 10 = -34 elde edildi.
Belirlenen minimum a⋅ba \cdot b ve maksimum c⋅dc \cdot d değerleri çıkarma işleminde yerine yazılarak en küçük tam sayı sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılar kümesinde dört işlem kuralları ve işaretlerin çarpımı, belirli kısıtlar altında cebirsel ifadelerin optimizasyonu (en büyük/en küçük değer bulma).

İpuçları

1
Bir çıkarma işleminin sonucunu en küçük yapmak için eksilen sayıyı mümkün olduğunca küçük, çıkan sayıyı ise mümkün olduğunca büyük seçmelisiniz.
2
Çarpımları hesaplarken sayıların işaretlerine dikkat edin. Negatif iki sayının çarpımının pozitif olacağını unutmayın.
3
Kırmızı torbadan en küçük çarpım için zıt işaretli mutlak değerce en büyük sayıları (-6 ve 4), mavi torbadan en büyük çarpım için aynı işaretli mutlak değerce en büyük sayıları (-5 ve -2) seçmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çalışan fakat toplama ve bölme işlemlerini içeren diğer optimizasyon sorularını çözerek sayı kümelerindeki işaret kurallarını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çarpım sonuçlarını tek tek listelemek yerine, kırmızı kümeden bir pozitif ve bir negatif sayı seçerek negatif en küçük çarpımı (-24); mavi kümeden ise iki negatif sayı seçerek pozitif en büyük çarpımı (10) doğrudan tespit edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 117Soru →

xx, yy ve zz asal sayılardır.

x2−y2=zx^2 - y^2 = z

olduğuna göre, x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Doğru cevap olan 11 değerine ulaşmak için iki kare farkı yardımıyla x−y=1x - y = 1 ve x+y=zx + y = z denklemleri elde edilir. Farkları 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2 olduğundan x=3x=3 ve y=2y=2 bulunur. Buradan z=5z=5 elde edilir. Sonuç olarak 3⋅2+5=113 \cdot 2 + 5 = 11 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−y2=zx^2 - y^2 = z denklemini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(x−y)(x+y)=z(x - y)(x + y) = z elde edilir.
İki kare farkı formülü a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) şeklindedir.
2
zz bir asal sayı olduğundan çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir. xx ve yy asal sayılar (pozitif) olduğu için x+y>1x + y > 1 olmalıdır. Bu durumda çarpanlardan küçük olanı 1'e, büyük olanı zz'ye eşitleyin.
x−y=1x - y = 1 ve x+y=zx + y = z olur.
Asal sayıların kendisinden ve 1'den başka pozitif böleni yoktur.
3
x−y=1x - y = 1 eşitliğini sağlayan ve aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çiftini belirleyin. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2 olduğundan, farkları 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir.
x=3x = 3 ve y=2y = 2 bulunur.
Farkı 1 olan tek ardışık asal sayılar 2 ve 3'tür.
4
Bulduğumuz x=3x = 3 ve y=2y = 2 değerlerini x+y=zx + y = z eşitliğinde yerine yazarak zz asal sayısını bulun.
z=3+2=5z = 3 + 2 = 5 elde edilir.
Değerlerin toplamı üçüncü asal sayıyı verir.
5
Bulunan x=3x = 3, y=2y = 2 ve z=5z = 5 değerlerini kullanarak x⋅y+zx \cdot y + z ifadesini hesaplayın.
3⋅2+5=6+5=113 \cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11 bulunur.
İşlem önceliğine göre önce çarpma, ardından toplama işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği yardımıyla asal sayıların çarpan analizi ve tek çift asal sayı özellikleri.
Soru 118Soru →
xx, yy ve zz asal sayılardır.
xz−y=29x^z - y = 29
olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitliği sağlayan asal sayıların toplamı 10'dur.
Verilen eşitliği sağlayan asal sayılar x=2x=2, y=3y=3 ve z=5z=5'tir. Bu değerlerin toplamı 2+3+5=102 + 3 + 5 = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xz−y=29x^z - y = 29 eşitliğinde xx tabanının tek veya çift olma durumlarını incelemek.
Eğer xx tek bir asal sayı olsaydı, tek sayının tüm pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağı için xzx^z de tek olurdu. Farkın tek bir sayı (2929) çıkabilmesi için yy asal sayısının çift olması gerekirdi. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan y=2y=2 olurdu. Bu durumda xz−2=29  ⟹  xz=31x^z - 2 = 29 \implies x^z = 31 elde edilirdi. Ancak z≥2z \ge 2 asal sayısı için bu eşitliği sağlayan bir xx asal sayısı yoktur. Dolayısıyla xx çift bir asal sayı olmalıdır.
xx'in tek sayı olamayacağını göstererek çift olan tek asal sayıya (22) eşitlemek.
2
xx yerine en küçük ve tek çift asal sayı olan 22 değerini yazarak eşitliği düzenlemek.
2z−y=292^z - y = 29 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak zz ve yy asal sayılarını belirlemek.
3
zz asal sayısı için olası değerleri denemek.
z=2z = 2 için: 22−y=29  ⟹  y=−252^2 - y = 29 \implies y = -25 (Negatif sayılar asal olamaz).
z=3z = 3 için: 23−y=29  ⟹  y=−212^3 - y = 29 \implies y = -21 (Negatif sayılar asal olamaz).
z=5z = 5 için: 25−y=29  ⟹  32−y=29  ⟹  y=32^5 - y = 29 \implies 32 - y = 29 \implies y = 3 (33 bir asal sayıdır).
z>5z > 5 olan tek asal sayılar için 2z−292^z - 29 ifadesi daima 33'ün katı ve 33'ten büyük olacağından asal sayı olamaz. Dolayısıyla tek çözüm x=2x=2, y=3y=3 ve z=5z=5 asal sayılarıdır.
Tanım kümesine uygun asal sayı değerlerini kesinleştirmek.
4
Bulunan asal sayıları toplamak.
x+y+z=2+3+5=10x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Asal Sayıların Özellikleri ve Çift Asal Sayı
Soru 119Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a2+a+ba^2 + a + b ifadesi bir tek sayı,
* b⋅(c+1)b \cdot (c + 1) ifadesi bir çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşa��ıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2+a+ca^2 + a + c

Cevap

Ardışık iki tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilen terimi içeren ve tek olan terimle toplanan ifade her zaman tek sayıdır.
Verilen bilgilere göre, ardışık iki tam sayının çarpımı olan a(a+1)a(a + 1) yani a2+aa^2 + a ifadesi her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla ilk öncülde verilen a2+a+ba^2 + a + b ifadesinin tek sayı olabilmesi için bb sayısı tek sayı olmalıdır. İkinci öncülde yer alan b⋅(c+1)b \cdot (c + 1) ifadesinin çift sayı olabilmesi ve bb'nin tek olması nedeniyle c+1c + 1 ifadesi çift olmalı, yani cc sayısı tek sayı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde, a2+a+ca^2 + a + c ifadesinde a2+aa^2 + a her zaman çift, cc ise tek sayı olduğundan bu toplamın sonucu her zaman tek sayı çıkacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
a2+aa^2 + a ifadesinin karakterini incelemek.
a2+a=a(a+1)a^2 + a = a(a + 1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımıdır. Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift sayı olacağından, çarpımları olan a2+aa^2 + a ifadesi aa tam sayısının değerinden bağımsız olarak her zaman bir çift sayıdır.
İlk öncülde verilen ifadedeki bb değişkeninin tekliğini veya çiftliğini bulabilmek için diğer terimi analiz etmek gerekir.
2
bb sayısının tekliğini veya çiftliğini belirlemek.
a2+a+ba^2 + a + b ifadesinin tek sayı olduğu verilmiştir. a2+aa^2 + a çift bir sayı olduğuna göre, sonucun tek olabilmesi için bb sayısının tek sayı olması gerekir (Çift + Tek = Tek).
bb değişkeninin durumunu netleştirerek ikinci öncüldeki cc değişkenine geçiş yapmak.
3
cc sayısının tekliğini veya çiftliğini belirlemek.
b⋅(c+1)b \cdot (c + 1) ifadesinin çift sayı olduğu verilmiştir. bb sayısının tek sayı olduğunu bulmuştuk. İki sayının çarpımının çift olabilmesi için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir. bb tek olduğuna göre, c+1c + 1 ifadesi çift sayı olmalıdır. Buradan cc sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır (Tek + Tek = Çift).
Soruda verilen öncüllerden elde edilebilecek tüm kesin bilgileri tamamlamak.
4
Seçenekleri analiz etmek.
Bulgularımıza göre: bb tek sayı, cc tek sayı ve aa sayısı hakkında kesin bir bilgi yoktur (tek veya çift olabilir). Bu durumda, a(a+1)+ca(a+1) + c ifadesinde a(a+1)a(a+1) her zaman çift ve cc her zaman tek olduğundan, toplamın sonucu olan a2+a+ca^2 + a + c ifadesi her zaman tek bir sayıdır.
Doğru seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile ardışık tam sayıların çarpımının çift sayı olması kuralı.

Alternatif Yöntem

aa değişkeninin çift ve tek durumları için ayrı ayrı değerler vererek (örneğin a=0a=0 ve a=1a=1 için) seçeneklerin doğruluğu test edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 120Soru →
a,b,ca, b, c ve dd sayıları
S={−4,−3,−2,−1,1,2,3,4}S = \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}
kümesinin birbirinden farklı elemanlarıdır.
\begin{align*}
a - b &= 5 \\
c \cdot d &= -6
\end{align*}
olduğuna göre, a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer -11'dir.
En küçük değeri elde etmek için a−b=5a - b = 5 ve c⋅d=−6c \cdot d = -6 eşitliklerini sağlayan elemanlar arasından a=1a = 1, b=−4b = -4 ve c=3c = 3 seçilir. İşlem önceliği kuralına göre önce çarpma işlemi yapıldığında 1+(−4)⋅3=1−12=−111 + (-4) \cdot 3 = 1 - 12 = -11 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a−b=5a - b = 5 eşitliğini sağlayan (a,b)(a, b) tam sayı ikililerini SS kümesinden belirleme.
(a,b)(a, b) ikilileri (4,−1)(4, -1), (3,−2)(3, -2), (2,−3)(2, -3) ve (1,−4)(1, -4) olabilir.
Sayıların farkının 5 olması ve elemanların SS kümesinde yer alması gerektiği için bu ikililer seçilmiştir.
2
c⋅d=−6c \cdot d = -6 eşitliğini sağlayan {c,d}\{c, d\} ikililerini belirleme.
{c,d}\{c, d\} kümesi {2,−3}\{2, -3\} veya {3,−2}\{3, -2\} olabilir.
SS kümesinde çarpımları −6-6 olan yegâne eleman çiftleri bunlardır.
3
Elemanların birbirinden farklı olması koşulunu gözeterek a+b⋅ca + b \cdot c ifadesini en küçük yapacak değerleri bulma.
a=1a = 1, b=−4b = -4 ve c=3c = 3 seçildiğinde tüm koşullar sağlanır ve sayılar birbirinden farklı olur.
İfadeyi en küçük yapmak için negatif katsayılı terimi (b⋅cb \cdot c) mümkün olduğunca küçültmek (mutlak değerce büyütüp negatif yapmak) gerekir.
4
İşlem önceliğine göre önce çarpma işlemini yaparak sonucu hesaplama.
a+b⋅c=1+(−4)⋅3=1−12=−11a + b \cdot c = 1 + (-4) \cdot 3 = 1 - 12 = -11 bulunur.
Matematiksel işlemlerde çarpma işleminin toplama işlemine g��re önceliği vardır.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinde dört işlem, işaret kuralları ve işlem önceliği.
ÖncekiSayfa 6 / 7Sonraki