Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 soru

Tüm türler131Çoktan seçmeli115Sayısal16
Soru 81Soru →
aa, bb ve cc birer pozitif tam sayı olmak üzere,
(ab+1)⋅(b+c)(a^b + 1) \cdot (b + c)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ac+b⋅ca^c + b \cdot c

Cevap

Daima çift sayı olan ifade ac+b⋅ca^c + b \cdot c ifadesidir.
Verilen çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek olması gerekir. Buradan ab+1a^b + 1 ifadesinin tek, yani aba^b ifadesinin çift olduğu anlaşılır. bb pozitif tam sayı olduğundan aa kesinlikle çift sayıdır. Diğer çarpan olan b+cb + c tek olduğundan, bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. ac+b⋅ca^c + b \cdot c ifadesinde, aa çift ve cc pozitif tam sayı olduğundan aca^c daima çifttir. bb ve cc'den en az biri çift olduğundan b⋅cb \cdot c da daima çifttir. İki çift terimin toplamı daima çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesinin tek sayı olma durumunu analiz etmek
ab+1a^b + 1 ve b+cb + c ifadelerinin her ikisi de tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
ab+1a^b + 1 ifadesinin teklik durumundan faydalanarak aa değişkeninin karakterini bulmak
aba^b çift sayı olmalıdır. bb pozitif bir tam sayı olduğundan, tabandaki aa sayısı da çift sayı olmak zorundadır.
Tek sayıdan 1 çıkarıldığında çift sayı elde edilir. Pozitif tam sayı kuvvetleri tabanın teklik-çiftlik durumunu değiştirmez.
3
b+cb + c ifadesinin teklik durumundan faydalanarak bb ve cc değişkenlerinin durumlarını belirlemek
bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayı olmalıdır. Bu durum iki olası senaryo yaratır: 1) bb çift, cc tek; 2) bb tek, cc çift.
İki tam sayının toplamının tek sayı çıkması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
4
Elde edilen durumları ac+b⋅ca^c + b \cdot c seçeneğinde yerine koyarak incelemek
aa çift ve cc pozitif tam sayı olduğundan aca^c terimi daima çift sayıdır. bb ve cc sayılarından biri mutlaka çift olduğundan b⋅cb \cdot c çarpımı da daima çift sayıdır. İki çift sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, bu ifade daima çift sayıdır.
Genel kurallara göre çift sayı ile çift sayının toplamı çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Çarpma, Toplama ve Üs Alma Kuralları
Soru 82Soru →
İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için,
A+D=11A + D = 11
B+C=8B + C = 8
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, AB+CDAB + CD toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark 126'dır.
Çözümlenmiş ifadenin 9(A+C)+199(A+C) + 19 olduğu gösterildikten sonra, AA ve CC değerlerinin sınır koşullarına uygun olarak A+CA+C toplamının en çok 17, en az 3 olabileceği belirlenir. Bu değerler yerine koyulduğunda toplamın alabileceği en büyük değer 172, en küçük değer 46 bulunur. Bu iki değer arasındaki fark 126'dır.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve CDCD iki basamaklı sayılarını çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve CD=10C+DCD = 10C + D olur. Bu iki ifadenin toplamı: AB+CD=10A+B+10C+D=10(A+C)+B+DAB + CD = 10A + B + 10C + D = 10(A + C) + B + D şeklindedir.
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyenlerin katsayılarını ve ilişkilerini netleştirmek için ilk adımdır.
2
Verilen A+D=11A + D = 11 ve B+C=8B + C = 8 eşitliklerini kullanarak tek türden değişken elde edelim.
D=11−AD = 11 - A ve B=8−CB = 8 - C ifadelerini toplam denkleminde yerine yazarsak: AB+CD=10(A+C)+(8−C)+(11−A)=9(A+C)+19AB + CD = 10(A + C) + (8 - C) + (11 - A) = 9(A + C) + 19 elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak, ifadenin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri belirlemeyi kolaylaştırır.
3
AA, BB, CC ve DD harflerinin birer rakam olması ve ABAB ile CDCD sayılarının iki basamaklı olması koşullarını inceleyelim.
A∈{1,2,…,9}A \in \{1, 2, \dots, 9\} ve C∈{1,2,…,9}C \in \{1, 2, \dots, 9\} olmalıdır (onlar basamağı sıfır olamaz).
- D=11−AD = 11 - A bir rakam olmalıdır. 0≤11−A≤9  ⟹  2≤A≤110 \le 11 - A \le 9 \implies 2 \le A \le 11 olur. Buradan 2≤A≤92 \le A \le 9 elde edilir.
- B=8−CB = 8 - C bir rakam olmalıdır. 0≤8−C≤9  ⟹  −1≤C≤80 \le 8 - C \le 9 \implies -1 \le C \le 8 olur. Buradan 1≤C≤81 \le C \le 8 elde edilir.
Harflerin rakam olma ve basamak değerlerinin sınırlarını koruma zorunluluğu, sınır değerleri doğru belirlemek için gereklidir.
4
A+CA+C toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bularak toplamın sınırlarını hesaplayalım.
- En büyük değer için: A=9A = 9 ve C=8  ⟹  (A+C)max=17C = 8 \implies (A+C)_{max} = 17 olur. Bu durumda en büyük toplam: 9(17)+19=1729(17) + 19 = 172 olur.
- En küçük değer için: A=2A = 2 ve C=1  ⟹  (A+C)min=3C = 1 \implies (A+C)_{min} = 3 olur. Bu durumda en küçük toplam: 9(3)+19=469(3) + 19 = 46 olur.
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlere ulaşmak için elde edilen aralık sınırları kullanılır.
5
En büyük ve en küçük toplam değerleri arasındaki farkı bulalım.
Fark =172−46=126= 172 - 46 = 126 olarak bulunur. (Veya doğrudan 9×((A+C)max−(A+C)min)=9×(17−3)=9×14=1269 \times ((A+C)_{max} - (A+C)_{min}) = 9 \times (17 - 3) = 9 \times 14 = 126 şeklinde de hesaplanabilir.)
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak için fark işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam sınırlarının (basamak analizi) doğru belirlenmesi.

İpuçları

1
ABAB ve CDCD sayılarını 10A+B10A+B ve 10C+D10C+D şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Çözümleme sonrasında elde ettiğiniz ifadede verilen D=11−AD = 11 - A ve B=8−CB = 8 - C eşitliklerini yerine yazarak ifadeyi sadece AA ve CC cinsinden ifade edin.
3
AA, BB, CC ve DD harflerinin her birinin birer rakam (0-9 arası) olması gerektiğini ve AA ile CC'nin sıfır olamayacağını (iki basamaklı sayıların onlar basamağı oldukları için) dikkate alarak AA ve CC için en büyük ve en küçük değer aralıklarını bulun.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 83Soru →
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için
a!=120⋅b!a! = 120 \cdot b!
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131

Cevap

131
Verilen eşitlikten a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 elde edilir. aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, 120120 sayısı ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılmalıdır. Bu durumlar:
1) Tek çarpan: 120=120  ⟹  a=120,b=119120 = 120 \implies a = 120, b = 119
2) Üç ardışık çarpan: 6⋅5⋅4=120  ⟹  a=6,b=36 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies a = 6, b = 3
3) Dört ardışık çarpan: 5⋅4⋅3⋅2=120  ⟹  a=5,b=15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \implies a = 5, b = 1 şeklindedir.
Olası aa değerleri 120120, 66 ve 55 olup toplamları 120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği oran biçiminde yazalım.
a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 elde edilir.
a! ifadesini b! cinsinden açarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
2
a!/b!a! / b! ifadesini ardışık çarpanlar��na ayıralım.
a⋅(a−1)⋅⋯⋅(b+1)=120a \cdot (a-1) \cdot \dots \cdot (b+1) = 120 olur. Burada aa ve bb pozitif tam sayılardır (a>ba > b).
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazarak olası aa ve bb değerlerini bulmak.
3
120 sayısını ardışık çarpanlarına ayırma durumlarını inceleyelim.
Durum 1: Tek çarpan olması: 120=120120 = 120. Bu durumda a=120a = 120 ve b=119b = 119 olur.
Durum 2: İki ardışık çarpan olması: n(n−1)=120n(n-1) = 120 denkleminin tam sayı çözümü yoktur.
Durum 3: Üç ardış��k çarpan olması: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Bu durumda a=6a = 6 ve b=3b = 3 olur.
Durum 4: Dört ardışık çarpan olması: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120. Bu durumda a=5a = 5 ve b=1b = 1 olur.
Durum 5: Beş ardışık çarpan olması: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Bu durumda a=5a = 5 ve b=0b = 0 olur ancak bb pozitif tam sayı olmak zorundadır. Bu nedenle bu durum yeni bir aa değeri üretmez.
120 sayısının tüm ardışık çarpan kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek.
4
Bulunan farklı aa değerlerini toplayalım.
120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131 bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi

İpuçları

1
a!=120⋅b!a! = 120 \cdot b! ifadesini a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 biçimine getirerek başlayabilirsiniz.
2
120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı yolla yazabileceğinizi düşünün.
3
120 sayısını 120120, 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 ve 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 şeklinde ardışık çarpanlarına ayırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 84Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayıları için

a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ca \cdot c

Cevap

a⋅ca \cdot c
Sıfırdan farklı her a sayısı için a^2 daima pozitiftir. a^2 \cdot b < 0 eşitsizliğinden b'nin negatif olduğu bulunur. a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinde b negatif olduğu için, çarpımın pozitif kalabilmesi adına a \cdot c çarpımı negatif olmalıdır. Bu durum, a \cdot c ifadesinin değerinin daima negatif olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliği analiz ederek b say��sının işaretini belirleyin.
a2a^2 ifadesi, sıfırdan farklı her gerçel aa sayısı için daima pozitiftir. a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 olduğuna göre pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatif olacağından b<0b < 0 (negatif) olmalıdır.
Çarpımın işaretinin negatif olabilmesi için çarpanlardan birinin negatif olması gerekir.
2
İkinci eşitsizlikte b'nin işaretini yerine yazarak a ile c arasındaki ilişkiyi bulun.
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0 eşitsizliğinde b<0b < 0 olduğundan, çarpımın pozitif olabilmesi için geri kalan a⋅ca \cdot c ifadesinin negatif olması gerekir (a⋅c<0a \cdot c < 0).
Negatif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı pozitif bir sonuç verir.
3
Elde edilen sonuçlara göre seçenekleri değerlendirin.
a⋅c<0a \cdot c < 0 olduğu kesin olarak bulunmuştur. Dolayısıyla a⋅ca \cdot c ifadesinin değeri daima negatiftir.
a ve c sayılarının zıt işaretli olması, çarpımlarının her koşulda negatif olmasını garanti eder.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Çarpma ve İşaret Analizi
Soru 85Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a!+b!=2ca! + b! = 2^c
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b,c)(a, b, c) sıralı üçlüsü vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan 4 farklı (a, b, c) pozitif tam sayı sıralı üçlüsü vardır.
Denklemde a≤ba \le b kabul edilerek yapılan analizde, a=1a=1 için yalnızca (1,1,1)(1, 1, 1) çözümü; a=2a=2 için (2,2,2)(2, 2, 2) ve (2,3,3)(2, 3, 3) çözümleri bulunur. a≥3a \ge 3 için ise faktöriyeller 3'ün katı olurken 2c2^c sayısı 3'ün katı olamadığından çözüm bulunmaz. aa ve bb'nin yer değiştirmesiyle oluşan (3,2,3)(3, 2, 3) çözümü de eklendiğinde toplamda 4 farklı sıralı üçlü elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genelliği bozmadan a≤ba \le b olduğunu varsayalım ve a=1a = 1 durumunu inceleyelim.
a=1a = 1 ise 1!+b!=2c  ⟹  1+b!=2c1! + b! = 2^c \implies 1 + b! = 2^c olur. cc pozitif tam sayı olduğundan 2c2^c çift bir sayıdır. b≥2b \ge 2 için b!b! çift olacağından 1+b!1 + b! tek sayı olur ve eşitlik sağlanamaz. Dolayısıyla b=1b = 1 olmalıdır. Buradan 1!+1!=2=21  ⟹  c=11! + 1! = 2 = 2^1 \implies c = 1 bulunur. Bu durumdan (1,1,1)(1, 1, 1) çözümü elde edilir.
En küçük pozitif tam sayı değerinden başlayarak durum analizi yapmak için.
2
a=2a = 2 durumunu inceleyelim.
a=2a = 2 ise 2!+b!=2+b!=2c2! + b! = 2 + b! = 2^c olur. b=2b = 2 için 2+2=4=22  ⟹  c=22 + 2 = 4 = 2^2 \implies c = 2 bulunur, buradan (2,2,2)(2, 2, 2) çözümü gelir. b=3b = 3 için 2+6=8=23  ⟹  c=32 + 6 = 8 = 2^3 \implies c = 3 bulunur, buradan (2,3,3)(2, 3, 3) çözümü gelir. b≥4b \ge 4 için b!b! sayısı 4 ile tam bölünür (b!=4kb! = 4k). Denklem 2+4k=2c  ⟹  2(1+2k)=2c  ⟹  1+2k=2c−12 + 4k = 2^c \implies 2(1 + 2k) = 2^c \implies 1 + 2k = 2^{c-1} halini alır. b≥4b \ge 4 için 2+b!≥26  ⟹  c≥52 + b! \ge 26 \implies c \ge 5 olduğundan 2c−12^{c-1} çift, fakat 1+2k1 + 2k tektir; çelişki nedeniyle b≥4b \ge 4 için çözüm yoktur.
a=2a = 2 için bb değerlerini adım adım büyütüp bölünebilme kurallarını uygulayarak sınırlandırmak i��in.
3
a≥3a \ge 3 durumunu inceleyelim.
a≥3a \ge 3 ve kabulümüz gereği b≥3b \ge 3 olduğundan hem a!a! hem de b!b! sayıları 3 ile tam bölünür. Dolayısıyla a!+b!a! + b! toplamı da 3'ün katı olmalıdır. Ancak 2c2^c sayısının 3 ile bölümünden kalan hiçbir zaman 0 olamaz (2'nin kuvvetlerinin asal çarpanı sadece 2'dir). Bu çelişki nedeniyle a≥3a \ge 3 için çözüm yoktur.
aa ve bb değerleri 3 veya daha büyük olduğunda faktöriyellerin barındırdığ�� ortak asal çarpanları (bu durumda 3) kullanarak eşitliğin imkansızlığını göstermek için.
4
Elde edilen çözümleri sıralı üçlüler olarak yazalım ve simetri durumunu ekleyelim.
a≤ba \le b varsayımı altında bulunan çözümler: (1,1,1)(1, 1, 1), (2,2,2)(2, 2, 2) ve (2,3,3)(2, 3, 3)'tür. aa ve bb'nin yer değiştirebilme özelliğinden ötürü, a≠ba \ne b olan (2,3,3)(2, 3, 3) çözümünün simetriği olan (3,2,3)(3, 2, 3) de bir çözümdür. Böylece tüm çözümler: (1,1,1)(1, 1, 1), (2,2,2)(2, 2, 2), (2,3,3)(2, 3, 3) ve (3,2,3)(3, 2, 3) olmak üzere 4 tanedir.
Sıralı üçlü tanımına uygun olarak tüm olası permütasyonları eksiksiz saymak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırması yapılması.

İpuçları

1
Denklemi çözmek için a≤ba \le b varsayımı yaparak durumları sınırlandırmayı deneyin.
2
a≥3a \ge 3 durumunda hem a!a! hem de b!b! ifadelerinin hangi ortak asal çarpan değerine sahip olduğunu ve bu çarpanın 2c2^c ifadesinde bulunup bulunmadığını kontrol edin.
3
a=1a=1 ve a=2a=2 durumlarını ayrı ayrı ele alıp b≥4b \ge 4 için 2+b!=2c2 + b! = 2^c ifadesini her iki tarafı 2'ye bölerek tek-çift sayı analiziyle çelişkiye ulaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla a!+b!+c!=2da! + b! + c! = 2^d denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümlerini araştırmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde her iki tarafın 3 ile bölümünden kalanlar (mod 3) incelenebilir. n≥3n \ge 3 için n!≡0(mod3)n! \equiv 0 \pmod 3 olduğundan, a,b≥3a, b \ge 3 durumunda sol taraf 0(mod3)0 \pmod 3 olur. Ancak 2c≡(−1)c(mod3)2^c \equiv (-1)^c \pmod 3 olduğundan sağ taraf asla 0 olamaz. Bu da bize doğrudan aa veya bb değerlerinden en az birinin 3'ten küçük (yani 1 veya 2) olması gerektiğini gösterir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 86Soru →
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için
AB2−BA2=1485AB^2 - BA^2 = 1485
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı 128'dir.
Doğru cevap olan 128 seçeneği, verilen matematiksel ifadenin iki kare farkı özdeşliği ve basamak çözümlemesi ile 99(A2−B2)=148599(A^2 - B^2) = 1485 biçimine getirilmesiyle bulunur. Buradan A2−B2=(A−B)(A+B)=15A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) = 15 eşitliği elde edilir. AA ve BB birer rakam olduğu için bu eşitliği sağlayan değer çiftleri (8,7)(8, 7) ve (4,1)(4, 1)'dir. Bu da bize ABAB sayısının 87 veya 41 olabileceğini gösterir. İki değerin toplamı 87+41=12887 + 41 = 128 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A olur.
Sayıları rakamları cinsinden ifade ederek cebirsel işlem yapabilmek için.
2
AB2−BA2AB^2 - BA^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla açalım ve çözümleme sonuçlarını yerine yazalım.
AB2−BA2=(AB−BA)(AB+BA)=[(10A+B)−(10B+A)][(10A+B)+(10B+A)]=[9(A−B)][11(A+B)]=99(A2−B2)AB^2 - BA^2 = (AB - BA)(AB + BA) = [(10A + B) - (10B + A)][(10A + B) + (10B + A)] = [9(A - B)][11(A + B)] = 99(A^2 - B^2) elde edilir.
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpanlarına ayırmak için.
3
Elde edilen ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyip A2−B2A^2 - B^2 değerini bulalım.
99(A2−B2)=1485  ⟹  A2−B2=1599(A^2 - B^2) = 1485 \implies A^2 - B^2 = 15 bulunur.
AA ve BB rakamları arasındaki bağıntıyı sadeleştirmek için.
4
A2−B2=15A^2 - B^2 = 15 ifadesini (A−B)(A+B)=15(A-B)(A+B) = 15 biçiminde yazalım ve AA ile BB rakamlarının alabileceği değerleri inceleyelim.
AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olduğu için A−BA-B ve A+BA+B birer pozitif tam sayıdır ve A−B<A+BA-B < A+B koşulunu sağlamalıdır. 15 sayısının bu koşula uyan pozitif çarpan çiftleri şunlardır:
1) A−B=1A-B = 1 ve A+B=15  ⟹  2A=16  ⟹  A=8,B=7A+B = 15 \implies 2A = 16 \implies A = 8, B = 7 (Sayı: AB=87AB = 87)
2) A−B=3A-B = 3 ve A+B=5  ⟹  2A=8  ⟹  A=4,B=1A+B = 5 \implies 2A = 8 \implies A = 4, B = 1 (Sayı: AB=41AB = 41)
Çarpımları 15 olan uygun tam sayı bölenlerini belirleyip denklem sistemlerini çözmek için.
5
Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamını hesaplayalım.
87+41=12887 + 41 = 128 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve iki kare farkı özdeşliği

İpuçları

1
ABAB ve BABA sayılarını 10A+B10A+B ve 10B+A10B+A şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
AB2−BA2AB^2 - BA^2 ifadesini (AB−BA)(AB+BA)(AB-BA)(AB+BA) şeklinde iki kare farkı olarak yazıp elde ettiğiniz çözümlemeleri yerleştirmeyi deneyin.
3
99(A2−B2)=148599(A^2 - B^2) = 1485 denklemini sadeleştirip A2−B2=15A^2 - B^2 = 15 elde ettikten sonra, çarpımları 15 olan pozitif tam sayı çarpanlarını (1×151 \times 15 ve 3×53 \times 5) düşünerek AA ve BB rakamlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayıları için ABC2−CBA2ABC^2 - CBA^2 farkının basamak analizi sorularında nasıl sadeleştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İki kare farkından gitmek yerine doğrudan AB2−BA2=1485AB^2 - BA^2 = 1485 ifadesini (10A+B)2−(10B+A)2=1485(10A+B)^2 - (10B+A)^2 = 1485 şeklinde açarak tam kare ifadeleri düzenleyebilirsiniz. Kareler açıldığında 100A2+20AB+B2−(100B2+20AB+A2)=1485100A^2 + 20AB + B^2 - (100B^2 + 20AB + A^2) = 1485 olur. Buradan 20AB20AB terimleri birbirini götürür ve geriye yine 99A2−99B2=148599A^2 - 99B^2 = 1485 ifadesi kalır. Bu adımdan sonra değer verme aşamasına geçilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 87Soru →
x!⋅y!=24⋅(x−1)!x! \cdot y! = 24 \cdot (x-1)!

eşitliğini sağlayan xx ve yy pozitif tam sayıları için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Farklı x+y toplamlarının alabileceği değerlerin toplamı 51'dir.
Denklemin sadeleştirilmiş hali olan x⋅y!=24x \cdot y! = 24 eşitliğinde, y!y! ifadesinin 24'ü tam bölen değerleri (1!,2!,3!,4!1!, 2!, 3!, 4!) incelenir. Bu durumlardan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 25, 14, 7 ve 5'tir. Bu farklı değerlerin toplamı 51 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki x!x! ifadesi, ardışığı olan (x−1)!(x-1)! cinsinden açılır.
x!=x⋅(x−1)!x! = x \cdot (x-1)! özdeşliği kullanılarak denklem x⋅(x−1)!⋅y!=24⋅(x−1)!x \cdot (x-1)! \cdot y! = 24 \cdot (x-1)! haline getirilir.
Denklemin her iki tarafında yer alan ortak faktöriyel çarpanları sadeleştirmek.
2
Eşitliğin her iki tarafı (x−1)!(x-1)! ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
x⋅y!=24x \cdot y! = 24 denklemi elde edilir.
xx pozitif bir tam sayı olduğundan (x−1)!(x-1)! ifadesi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirme yapılabilir.
3
xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan, y!y! ifadesinin 24'ün bir böleni olmas�� gerektiği dikkate alınarak olası tüm yy değerleri değerlendirilir.
Pozitif tam sayı olan yy için olası durumlar:
- y=1  ⟹  1!=1  ⟹  x=24  ⟹  x+y=25y = 1 \implies 1! = 1 \implies x = 24 \implies x+y = 25
- y=2  ⟹  2!=2  ⟹  x=12  ⟹  x+y=14y = 2 \implies 2! = 2 \implies x = 12 \implies x+y = 14
- y=3  ⟹  3!=6  ⟹  x=4  ⟹  x+y=7y = 3 \implies 3! = 6 \implies x = 4 \implies x+y = 7
- y=4  ⟹  4!=24  ⟹  x=1  ⟹  x+y=5y = 4 \implies 4! = 24 \implies x = 1 \implies x+y = 5
y≥5y \geq 5 için y!≥120y! \geq 120 olacağından pozitif tam sayı olan bir xx değeri bulunamaz.
Koşulları sağlayan tüm (x,y)(x, y) çiftlerini ve bu çiftlere karşılık gelen x+yx+y toplamlarını bulmak.
4
Bulunan farklı x+yx+y değerleri toplanır.
25+14+7+5=5125 + 14 + 7 + 5 = 51 sonucu bulunur.
Soruda bizden istenen farklı toplam değerlerinin genel toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve pozitif tam sayılarda değer verme analizi

İpuçları

1
x!x! ifadesini (x−1)!(x-1)! cinsinden yazarak her iki taraftaki ortak terimleri sadeleştirmeyi deneyin.
2
Sadeleştirmeden sonra elde edeceğiniz x⋅y!=24x \cdot y! = 24 denkleminde y!y! ifadesinin alabileceği değerlerin 24'ün böleni olması gerektiğini unutmayın.
3
yy pozitif bir tam sayı olduğuna göre, faktöriyeli 24'ü tam bölen tüm yy değerlerini (1, 2, 3 ve 4) sırasıyla deneyerek her biri için xx ve x+yx+y değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soru olarak, x!⋅y!=48⋅(x−1)!x! \cdot y! = 48 \cdot (x-1)! eşitliğini sağlayan xx ve yy pozitif tam sayıları için xx değerlerinin toplamı sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, y!y! değerlerini doğrudan 24'ün bölenleri arasından seçip (1,2,6,241, 2, 6, 24), bu değerlere karşılık gelen yy pozitif tam sayılarının varlığını kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 88Soru →

Terim sayısı 40 olan ve 3'er 3'er artan bir AA aritmetik dizisinin ilk terimi 10'dur. Terim sayısı 30 olan ve 4'er 4'er artan bir BB aritmetik dizisi ile AA dizisinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme 6 elemanlıdır. Buna göre, BB dizisinin ilk teriminin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

B dizisinin ilk teriminin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri 50'dir.
B dizisinin ilk terimi 50 olduğunda, A ve B dizilerinin kesişim aralığı [50, 127] olur. Bu aralıktaki ortak elemanlar 58, 70, 82, 94, 106 ve 118 olup tam olarak 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
A dizisinin son terimini hesaplama
Son terim = 127
Terim sayısı formülünden son terim bulma: İlk terim + (Terim sayısı - 1) * Artış miktarı
2
B dizisinin son terimini ifade etme
Son terim = b + 116
İlk terimi b, terim sayısı 30 ve artış miktarı 4 olan dizinin son terimi b + 29 * 4 = b + 116 olur.
3
Ortak elemanların artış miktarını bulma
Artış miktarı = 12
Farklı iki aritmetik dizinin ortak elemanları, artış miktarlarının EKOK'u olan EKOK(3, 4) = 12 farkla artan yeni bir aritmetik dizi oluşturur.
4
Ortak eleman sayısı 6 olacak şekilde aralık sınırlarını belirleme
Kesişim aralığında tam olarak 6 tane ortak eleman bulunması koşulu
En küçük ortak eleman c ise, c + 60 kesişim aralığında olmalı ancak c - 12 ve c + 72 bu aralığın dışında kalmalıdır.
5
Olası c ve b değerlerini analiz etme
En küçük pozitif b değeri için b = 50 olarak bulunur.
Aralık analizinden c değerinin 58, 61, 64 veya 67 olabileceği görülür. b'nin en küçük pozitif değeri c = 58 için b = 50 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İki aritmetik dizinin kesişim kümesinin eleman sayısını (terim sayısını) aralık sınırları ve modüler aritmetik yardımıyla belirleme
Soru 89Soru →
xx ve yy tam sayılar�� için
3x+y3x + y
ifadesi bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+yx + y

Cevap

x+yx + y ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen 3x+y3x + y ifadesinin çift sayı olması, 3x3x ve yy terimlerinin teklik-çiftlik durumlarının aynı olmasını gerektirir. 3x3x teriminin teklik-çiftlik karakteri xx ile aynı olduğundan, xx ve yy tam sayılarının her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir. Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, x+yx + y ifadesinin sonucu daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
3x+y3x + y ifadesinin çift olmasını kullanarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi analiz edelim.
xx ve yy tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlenir.
3x+y3x + y ifadesinin çift olması için 3x3x ile yy ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. 3x3x ifadesinin teklik-çiftlik durumu xx ile aynı olduğundan, xx ile yy aynı karakterdedir (yani her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir).
2
Seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını inceleyelim.
x+yx + y ifadesinin sonucunun her zaman çift sayı olduğu görülür.
xx ve yy sayılarının her ikisi de tek olduğunda toplamları (tek + tek = çift), her ikisi de çift olduğunda ise toplamları (çift + çift = çift) olur. Bu nedenle toplamları daima bir çift sayıdır.

Anahtar Kavram

İki tam sayının teklik-çiftlik durumları aynı ise toplamları her zaman çift sayıdır.
Soru 90Soru →

AA ve BB iki basamaklı doğal sayılardır.

AA ve BB aralarında asal olmak üzere,
EBOB(A,B)+EKOK(A,B)=421\text{EBOB}(A, B) + \text{EKOK}(A, B) = 421
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, ardışık olan AA ve BB sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Ardışık olan sayıların toplamı 41'dir.
Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 1 ve en küçük ortak katı (EKOK) bu sayıların çarpımına eşittir. Verilen denklemde EBOB(A,B)=1\text{EBOB}(A, B) = 1 yazıldığında EKOK(A,B)=420\text{EKOK}(A, B) = 420 ve dolayısıyla A⋅B=420A \cdot B = 420 elde edilir. Çarpımları 420 olan iki basamaklı ardışık iki doğal sayı 20 ve 21'dir. Bu sayıların toplamı ise 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleninin (EBOB) özelliğini kullanmak.
EBOB(A,B)=1\text{EBOB}(A, B) = 1 olur.
Aralarında asal iki pozitif tam sayının 1'den başka ortak böleni yoktur.
2
EBOB değerini verilen denklemde yerine yazarak EKOK değerini bulmak.
1+EKOK(A,B)=421  ⟹  EKOK(A,B)=4201 + \text{EKOK}(A, B) = 421 \implies \text{EKOK}(A, B) = 420 olur.
Denklemde EBOB(A,B)\text{EBOB}(A, B) yerine 1 yazılarak en küçük ortak kat yalnız bırakılır.
3
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katının (EKOK) bu sayıların çarpımına eşit oldu��unu kullanmak.
EKOK(A,B)=A⋅B=420\text{EKOK}(A, B) = A \cdot B = 420 olur.
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
4
Çarpımları 420 olan iki basamaklı ardışık iki doğal sayıyı belirlemek.
A⋅(A+1)=420  ⟹  A=20A \cdot (A + 1) = 420 \implies A = 20 ve B=21B = 21 bulunur.
Sayılar ardışık olduğundan aralarındaki fark 1'dir. 420≈20.49\sqrt{420} \approx 20.49 olduğundan bu sayılar 20 ve 21'dir ve her ikisi de iki basamaklıdır.
5
Bulunan AA ve BB sayılarının toplamını hesaplamak.
A+B=20+21=41A + B = 20 + 21 = 41 bulunur.
Soruda ardışık AA ve BB sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Aralarında asal sayıların en büyük ortak bölenlerinin 1 olması ve en küçük ortak katlarının bu sayıların çarpımına eşit olması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 91Soru →

xx, yy ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.

x(y−z)=22x(y - z) = 22

olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

En küçük x+y+zx + y + z toplamı 19'dur.
Verilen x(y−z)=22x(y - z) = 22 eşitliğinde xx asal sayısı 22'yi tam bölmelidir. x=2x = 2 durumunda y−z=11y - z = 11 olur ve buradan z=2,y=13z = 2, y = 13 bulunur; fakat bu durumda xx ve zz birbirine eşit çıktığı için elenir. x=11x = 11 durumunda y−z=2y - z = 2 elde edilir. Birbirinden farklı en küçük asal sayıları elde etmek için y=5y = 5 ve z=3z = 3 seçilir. Bu durumda en küçük toplam x+y+z=11+5+3=19x + y + z = 11 + 5 + 3 = 19 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikteki çarpanları analiz etme.
x(y−z)=22x(y - z) = 22 eşitliğinde xx bir asal sayı olduğundan 22'nin asal bölenleri olan 2 veya 11 değerlerini alabilir.
Eşitliğin sol tarafındaki xx çarpanının sağ taraftaki 22'yi tam bölmesi gerekir.
2
x=2x = 2 durumunun incelenmesi.
x=2x = 2 ise y−z=11y - z = 11 olur. Farkları tek sayı olan iki asal sayıdan biri çift (yani 2) olmalıdır. Buradan z=2z = 2 ve y=13y = 13 bulunur. Ancak bu durumda x=z=2x = z = 2 olur ve sayılar birbirinden farklı olmaz.
Soruda verilen asal sayıların birbirinden farklı olması koşulu sağlanmalıdır.
3
x=11x = 11 durumunun incelenmesi.
x=11x = 11 ise y−z=2y - z = 2 olur. Farkları 2 olan ve x=11x=11 değerinden farklı en küçük asal sayılar y=5y = 5 ve z=3z = 3 olarak belirlenir.
Toplamın en küçük değerini bulmak için en küçük asal sayıları seçmemiz gerekir.
4
Seçilen değerlerin toplanması.
x+y+z=11+5+3=19x + y + z = 11 + 5 + 3 = 19 elde edilir.
Tüm koşulları sağlayan en küçük toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tanımı, çift olan tek asal sayının 2 olması ve asal sayı denklem çözümleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 92Soru →
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa, bb ve cc sayıları için
a⋅b+ca \cdot b + c
ifadesinin bir tek sayı,
a+b⋅ca + b \cdot c
ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ab+baa^b + b^a

Cevap

Tabanı çift ve üssü pozitif olan üslü ifadelerin toplamı olan ifade her zaman çifttir.
Duyarlılıkla elde edilen aa çift, bb çift ve cc tek değerleri için, doğru seçenekteki ab+baa^b + b^a ifadesinde her iki terim de pozitif çift tam sayıların kuvvetleri olduğundan çifttir. İki çift sayının toplamı da her zaman çift bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri analiz etmek için aa sayısının tek veya çift olma durumlarını inceleyelim.
aa çift sayı ise, a⋅ba \cdot b çift olur. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için cc tek sayı olmalıdır.
Çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir ve çift sayı ile tek sayının toplamı tektir.
2
aa çift ve cc tek olduğunda ikinci ifadeyi kontrol edelim.
a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinde aa çift olduğundan, ifadenin çift olabilmesi için b⋅cb \cdot c çift olmalıdır. cc tek olduğundan, bb çift sayı olmalıdır. Bu durumda tutarlı bir biçimde aa çift, bb çift ve cc tek olarak bulunur.
Çift sayı ile çift sayının toplamı çifttir. Tek bir sayı ile çift sayının çarpımı çifttir.
3
aa sayısının tek olma durumunu inceleyip çelişki olup olmadığını görelim.
aa tek ise, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için b+cb + c tek olmalıdır (biri tek, diğeri çift). İkinci ifadede a+b⋅ca + b \cdot c çift ise, b⋅cb \cdot c tek olmalıdır, yani hem bb hem cc tek olmalıdır. Ancak hem bb hem cc tek olursa b+cb + c çift olur ve bu durum çelişki yaratır. Dolayısıyla aa tek olamaz.
İki tek sayının toplamı çift olmalıdır, bu da b+cb+c ifadesinin tek olması gerektiği bilgisiyle çelişir.
4
Bulunan aa çift, bb çift ve cc tek paritelerini kullanarak seçenekleri değerlendirelim.
Seçeneklerdeki ab+baa^b + b^a ifadesinde aa ve bb pozitif çift sayılar olduğundan, aba^b ve bab^a ifadeleri de çifttir. İki çift sayının toplamı da çift olacağından bu ifade her zaman çifttir.
Tabanı çift olan pozitif tam sayı kuvvetleri her zaman çifttir ve iki çift sayının toplamı çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 93Soru →

xx, yy ve zz asal sayılardır.

x+y+z=20x + y + z = 20
y−z=5y - z = 5

olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
İki asal sayının farkı tek sayı (5) ise bu sayılardan biri çift sayı olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan z=2z = 2 ve buna bağlı olarak y=7y = 7 olur. Bu değerler toplam denkleminde yerine yazıldığında x+7+2=20⇒x=11x + 7 + 2 = 20 \Rightarrow x = 11 elde edilir. 11 de bir asal sayı olduğundan tüm koşullar sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
y−z=5y - z = 5 denklemini inceleyelim.
İki asal sayının farkı tek bir sayı (5) ise, bu sayılardan biri çift, diğeri tek sayı olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan, küçük olan sayı z=2z = 2 olmalıdır. Buradan y=2+5=7y = 2 + 5 = 7 bulunur. 77 de bir asal sayıdır.
Farkı tek sayı olan iki tam sayıdan biri çift, diğeri tek olmak zorundadır. Asal sayılar kümesindeki tek çift sayı 2'dir.
2
Bulunan y=7y = 7 ve z=2z = 2 değerlerini x+y+z=20x + y + z = 20 denkleminde yerine yazalım.
x+7+2=20⇒x+9=20⇒x=11x + 7 + 2 = 20 \Rightarrow x + 9 = 20 \Rightarrow x = 11 elde edilir.
Birinci denklemde bilinmeyen tek değişken olan xx değerini bulmak için bilinen değerler yerine konur.
3
Elde edilen x=11x = 11 değerinin asal sayı olma koşulunu kontrol edelim.
11 bir asal sayıdır. Bu nedenle x=11x = 11 değeri tüm koşulları sağlar.
Soruda xx'in de bir asal sayı olması gerektiği belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri ve çift olan tek asal sayının 2 olması
Soru 94Soru →
Rakamları birbirinden farklı ABCABC ve BACBAC üç basamaklı doğal sayıları için
ABC−BAC=270ABC - BAC = 270
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısı ile en küçük ABCABC sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1378

Cevap

Koşulları sağlayan en büyük ABCABC sayısı 968, en küçük ABCABC sayısı ise 410 olup, bu iki sayının toplamı 1378'dir.
Basamak çözümleme yöntemiyle ABC−BAC=90(A−B)=270ABC - BAC = 90(A-B) = 270 denklemi çözüldüğünde A−B=3A - B = 3 elde edilir. Yüzler basamağının sıfır olamayacağı kuralı ve rakamların farklı olması kısıtlamasıyla en büyük sayı 968, en küçük sayı ise 410 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 1378 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları çözümleyerek fark ifadesini basitleştirin.
ABC−BAC=90(A−B)ABC - BAC = 90(A - B)
Basamak çözümlemesi yaparak basamak değerlerinin farkını bulmak için.
2
Bulunan fark ifadesini verilen sayısal değere eşitleyerek rakamlar arasındaki farkı bulun.
A−B=3A - B = 3
Verilen fark değerinden rakam ilişkisini tespit etmek için.
3
Sayıların üç basamaklı olma şartını dikkate alarak olası rakam çiftlerini listeleyin.
(A,B)∈{(4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)}(A, B) \in \{(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6)\}
ABCABC ve BACBAC sayılarının yüzler basamağındaki AA ve BB sıfır olamaz.
4
Rakamları farklı olma koşulunu kullanarak en büyük ABCABC sayısını oluşturun.
ABC=968ABC = 968
En büyük A=9A = 9 ve B=6B = 6 için CC rakamı 99 ve 66 olamayacağından en fazla 88 seçilebilir.
5
Rakamları farklı olma koşulunu kullanarak en küçük ABCABC sayısını oluşturun.
ABC=410ABC = 410
En küçük A=4A = 4 ve B=1B = 1 için CC rakamı 44 ve 11 olamayacağından en az 00 seçilebilir.
6
Bulunan en büyük ve en küçük sayıları toplayın.
968+410=1378968 + 410 = 1378
İstenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Basamak çözümleme ve verilen kısıtlamalar altında en büyük/en küçük sayıları oluşturma.
Soru 95Soru →
aa ve bb ardışık tek pozitif tam sayılar, bb ve cc ise ardışık pozitif tam sayılardır.
EBOB(a,b)+EKOK(b,c)−2⋅EKOK(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) + \text{EKOK}(b, c) - 2 \cdot \text{EKOK}(a, b) = 1
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Farklı durumlar için elde edilen toplamların toplamı olan 20 sayısıdır.
Doğru cevap olan 20 değeri, ardışık sayıların aralarında asal olma kuralları uygulanarak elde edilen iki farklı çözüm kümesindeki a+b+ca+b+c toplamlarının (14 ve 6) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların aralarında asal olma özelliğini belirleme
Ardışık tek sayılar olan aa ve bb için EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) = 1 ve EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b olur. Ardışık sayılar olan bb ve cc için ise EKOK(b,c)=b⋅c\text{EKOK}(b, c) = b \cdot c olur.
Ardışık tam sayılar ve ardışık tek tam sayılar kendi aralarında daima asaldır ve ortak bölenleri sadece 1'dir.
2
Elde edilen EBOB ve EKOK ifadelerini ana denklemde yerine yazarak sadeleştirme
1+b⋅c−2⋅a⋅b=1  ⟹  b(c−2a)=01 + b \cdot c - 2 \cdot a \cdot b = 1 \implies b(c - 2a) = 0 elde edilir.
Soruda verilen denklemi çözülebilir bir cebirsel ifadeye dönüştürmek.
3
bb pozitif bir tam sayı olduğundan b≠0b \neq 0 koşulunu kullanarak sadeleştirilmiş denklemi çözme
c−2a=0  ⟹  c=2ac - 2a = 0 \implies c = 2a olmalıdır.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
aa ve bb ardışık tek pozitif tam sayılar, bb ve cc ardışık pozitif tam sayılar koşullarını test etme
Durum 1: b=a+2b = a + 2 için cc ya a+3a+3 ya da a+1a+1 olur. Bunlar sırasıyla a=3,b=5,c=6a=3, b=5, c=6 (toplam 14) ve a=1,b=3,c=2a=1, b=3, c=2 (toplam 6) çözümlerini verir. Durum 2: b=a−2b = a - 2 için pozitif tam sayı çözümü bulunmaz.
Tüm olası sayı çiftlerini ve pozitiflik koşullarını belirlemek.
5
Bulunan a+b+ca + b + c değerlerini toplama
14+6=2014 + 6 = 20 bulunur.
Soru bizden alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların aralarında asal olması ve EBOB-EKOK ilişkileri
Soru 96Soru →
(−24)÷[2−(−2)×(−3)]+(−4)(-24) \div [2 - (-2) \times (-3)] + (-4)

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İşlemin doğru sonucu 22 tam sayısıdır.
İşlem sırasına göre önce parantez içindeki çarpma işlemi yapılır: (−2)×(−3)=6(-2) \times (-3) = 6. Ardından parantez içi çıkarma işlemi tamamlanır: 2−6=−42 - 6 = -4. Daha sonra bölme işlemi yapılır: (−24)÷(−4)=6(-24) \div (-4) = 6. Son olarak toplama işlemi yapılarak 6+(−4)=26 + (-4) = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki çarpma işlemini gerçekleştirin.
(−2)×(−3)=6(-2) \times (-3) = 6
İşlem önceliğine göre parantez içindeki çarpma işlemi, çıkarma işleminden önce yapılmalıdır.
2
Bulunan değeri parantez içine yazarak parantez içi işlemi tamamlayın.
2−6=−42 - 6 = -4
Parantez içindeki çıkarma işlemi tamamlanarak ana bölme işlemine geçilir.
3
Bölme işlemini gerçekleştirin.
(−24)÷(−4)=6(-24) \div (-4) = 6
Bölme işlemi, toplama işleminden önce yapılmalıdır. Negatif iki sayının bölümü pozitif bir sayı verir.
4
Son olarak toplama işlemini tamamlayın.
6+(−4)=26 + (-4) = 2
Elde edilen bölme sonucu ile dışarıdaki negatif sayı toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda dört işlem ve işlem önceliği kuralları.
Soru 97Soru →

Ardışık ve 44'ün katı olan pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sırasıyla x,x+4,…,yx, x+4, \dots, y şeklinde yazılmıştır. Bu sayı dizisinin terim sayısı 1515 ve tüm terimlerinin toplamı 660660 olduğuna göre, yy kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

En büyük terim olan 7272'dir.
Ardışık sayı dizisinin ortanca terimi 66015=44\frac{660}{15} = 44 olarak bulunur. Ortanca terim aynı zamanda ilk terim ile son terimin toplamının yarısı olduğu için x+y=88x + y = 88 elde edilir. Terim sayısı formülünden ise y−x4+1=15⇒y−x=56\frac{y-x}{4} + 1 = 15 \Rightarrow y - x = 56 denklemine ulaşılır. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2y=144⇒y=722y = 144 \Rightarrow y = 72 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ortanca terimini (aritmetik ortalamasını) hesaplayın.
Tüm terimlerin toplamı 660660 ve terim sayısı 1515 olduğundan, ortanca terim 66015=44\frac{660}{15} = 44 olarak bulunur.
Ardışık sayı dizilerinde toplam değer, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir.
2
Ortanca terimin ilk terim xx ve son terim yy cinsinden ifadesini yazarak x+yx + y toplamını bulun.
Ortanca terim x+y2=44\frac{x + y}{2} = 44 olduğundan x+y=88x + y = 88 elde edilir.
Bir aritmetik dizide ortanca terim, ilk ve son terimin aritmetik ortalamasıdır.
3
Terim sayısı formülünü kullanarak y−xy - x farkını elde edin.
Terim sayısı =Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1= \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 formülünden, 15=y−x4+1⇒y−x4=14⇒y−x=5615 = \frac{y - x}{4} + 1 \Rightarrow \frac{y - x}{4} = 14 \Rightarrow y - x = 56 bulunur.
Dizideki terimlerin her biri 44'ün katı olduğu için artış miktarı 44 olarak alınır.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek en büyük terim olan yy değerini bulun.
x+y=88x + y = 88 ve y−x=56y - x = 56 denklemleri taraf tarafa toplanırsa, 2y=144⇒y=722y = 144 \Rightarrow y = 72 elde edilir.
Taraf tarafa toplama işlemi xx değişkenini yok ederek doğrudan en büyük terim olan yy'yi bulmamızı sağlar.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayılar, Terim Sayısı ve Toplam İlişkisi
Soru 98Soru →
aa, bb ve cc asal sayılar olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=95a \cdot b + a \cdot c = 95
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 170

Cevap

En büyük değer olan 170
Verilen denklem a(b+c)=95a(b+c) = 95 şeklinde düzenlendiğinde, 95=5⋅1995 = 5 \cdot 19 olduğundan a=5a=5 veya a=19a=19 olabilir. a=5a=5 için b+c=19b+c=19 olup, toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,17}\{b, c\} = \{2, 17\} bulunur ve çarpım 5⋅2⋅17=1705 \cdot 2 \cdot 17 = 170 elde edilir. Bu değer alabilecek en büyük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
a(b+c)=95a(b + c) = 95
Çarpımın sonucunu veren çarpanları inceleyebilmek için ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır.
2
95 sayısının asal çarpanlarını bulun.
95=5⋅1995 = 5 \cdot 19
aa asal sayı olduğundan, aa değeri ya 5 ya da 19 olmak zorundadır.
3
a=5a = 5 durumunu inceleyin.
b+c=19b + c = 19 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (19) olduğundan, bu sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,17}\{b, c\} = \{2, 17\} elde edilir (17 asaldır). Bu durumda çarpım a⋅b⋅c=5⋅2⋅17=170a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 2 \cdot 17 = 170 olur.
Toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri mutlaka çift sayı (yani 2) olmak zorundadır.
4
a=19a = 19 durumunu inceleyin.
b+c=5b + c = 5 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (5) olduğundan, biri 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,3}\{b, c\} = \{2, 3\} elde edilir (3 asaldır). Bu durumda çarpım a⋅b⋅c=19⋅2⋅3=114a \cdot b \cdot c = 19 \cdot 2 \cdot 3 = 114 olur.
Benzer şekilde, toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri 2 olmalıdır.
5
Bulunan çarpım değerlerini karşılaştırarak en büyüğünü belirleyin.
En büyük değer 170'tir.
170 ve 114 değerleri arasından en büyüğü seçilmesi istendiği için sonuç 170 olur.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri ve tek-çift sayı kurallarının asal sayılara uygulanması (özellikle en küçük ve tek çift asal sayı olan 2'nin kullanımı).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 99Soru →

a,ba, b ve cc birbirinden farklı negatif tam sayılardır.

a+b+c=−9a + b + c = -9

olduğuna göre,

a−b⋅[c−a⋅(b−c)]a - b \cdot [c - a \cdot (b - c)]

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük değer 4'tür.
Verilen koşullara uygun olarak en büyük değeri elde etmek amacıyla a=−3a = -3, b=−1b = -1 ve c=−5c = -5 değerleri seçilir. İşlem önceliği kurallarına dikkat edilerek sırasıyla önce iç parantezdeki çıkarma, sonra çarpma ve ardından dışarıdaki çıkarma işlemleri yapıldığında en büyük değer olan 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin alabileceği değer kümelerini belirleme
a,b,ca, b, c birbirinden farklı negatif tam sayılar ve toplamları −9-9 olduğundan, bu sayıların oluşturabileceği olası kümeler sırasız olarak {−1,−2,−6}\{-1, -2, -6\}, {−1,−3,−5}\{-1, -3, -5\} veya {−2,−3,−4}\{-2, -3, -4\} olmalıdır.
Koşulları sağlayan sayı gruplarını sınırlandırarak doğru değerleri bulmak için.
2
İfadeyi en büyük yapacak sayı dağılımını seçme
a=−3a = -3, b=−1b = -1 ve c=−5c = -5 değerleri seçildiğinde ifade maksimum değere ulaşmaktadır.
Dört işlem kurallarında negatif işaretlerin etkileşimlerini analiz edip en büyük sonucu veren kombinasyonu belirlemek için.
3
Köşeli parantez içerisindeki işlemleri öncelik sırasına göre yapma
b−c=−1−(−5)=−1+5=4b - c = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4
a⋅(b−c)=−3⋅4=−12a \cdot (b - c) = -3 \cdot 4 = -12
c−a⋅(b−c)=−5−(−12)=−5+12=7c - a \cdot (b - c) = -5 - (-12) = -5 + 12 = 7
Matematiksel kurallara göre önce iç parantezlerin çözülmesi gerektiği için.
4
Dışarıdaki çarpma ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirme
a−b⋅7=−3−(−1)⋅7=−3−(−7)=−3+7=4a - b \cdot 7 = -3 - (-1) \cdot 7 = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4
Çarpma işleminin çıkarma işlemine göre önceliği olduğundan, önce b⋅7b \cdot 7 işlemini tamamlayıp ardından çıkarma işlemini yapmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinde değer atama sınırları ve çok adımlı işlemlerde işlem önceliği kuralları.
Soru 100Soru →
İki basamaklı ardışık 44'ün katı olan doğal sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanarak
12,16,20,…,9612, 16, 20, \dots, 96
sayı dizisi elde ediliyor.

Buna göre, bu dizideki terimlerden kaç tanesi 66 ile kalansız bölünür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Dizideki terimlerden 8 tanesi 6 ile kalansız bölünür.
Verilen dizideki elemanlar 4'ün katı olan ardışık sayılardır. Bu sayılardan 6 ile tam bölünenlerin hem 4'e hem de 6'ya bölünebilmesi, yani en küçük ortak katları olan 12'nin katı olmaları gerekir. Bu koşulu sağlayan sayılar 12, 24, 36, ..., 96 şeklindedir. Terim sayısı formülünden bu sayıların adedi 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak kat (EKOK) hesabı yapılması
EKOK(4,6)=12\text{EKOK}(4, 6) = 12
Dizideki tüm sayılar zaten 4'ün katıdır. Bu sayıların aynı zamanda 6 ile tam bölünebilmesi için hem 4'ün hem de 6'nın katı (yani 12'nin katı) olmaları gerekir.
2
İlk ve son terimlerin belirlenmesi
İlk terim = 1212, Son terim = 9696
Verilen dizide 12'nin katı olan en küçük iki basamaklı sayı 12, en büyük sayı ise 96'dır.
3
Terim sayısı formülünün uygulanması
96−1212+1=8\frac{96 - 12}{12} + 1 = 8
Terim sayısını bulmak için Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Ortak kat özelliklerini kullanarak belirli bir aralıktaki ardışık sayıların terim sayısını hesaplama.

Alternatif Yöntem

Koşulu sağlayan terimler tek tek yazılıp sayılabilir: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Bu listede toplam 8 adet sayı bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 5 / 7Sonraki