Layer 1

Analitik düzlemde $A(-2, 4)$ ve $B(3, -6)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

-2

2

-\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2$

Cevap

Verilen noktalardan geçen doğrunun eğimi

-2

değerine eşittir.

Doğru cevap olan

-2

seçeneği, eğim formülü olan

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

ifadesinde noktalar doğru şekilde yerleştirilip hesaplandığında elde edilen değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünü belirleyin.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Analitik düzlemde bir doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın ordinatlar farkının apsisler farkına oranıdır.

2

A(-2, 4)

ve

B(3, -6)

noktalarının koordinatlarını formülde yerlerine yazın.

m = \frac{-6 - 4}{3 - (-2)}

Burada

x_1 = -2, y_1 = 4

ve

x_2 = 3, y_2 = -6

değerleri kullanılmıştır.

3

Pay ve payda kısımlarındaki aritmetik işlemleri yapın.

m = \frac{-10}{5}

-6 - 4 = -10

ve

3 - (-2) = 3 + 2 = 5

hesaplamaları yapılmıştır.

4

Bölme işlemini tamamlayarak eğimi bulun.

m = -2

-10

sayısının

5

sayısına bölümü

-2

sonucunu verir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi

İpuçları

1

Eğimi bulmak için ordinatlar (y) farkını apsisler (x) farkına bölmelisiniz.

2

Formülünüz:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

. Noktaları bu formüle yerleştirirken sıralamaya dikkat edin.

3

Pay kısmında

-6 - 4

, payda kısmında ise

3 - (-2)

işlemlerini yapmanız gerekiyor.

Daha Fazla Pratik

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazma konusuna göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğru denklemini

y - y_1 = m(x - x_1)

formunda yazıp her iki noktayı sağlatarak da m değerini çekebilirsiniz, ancak doğrudan eğim formülü en hızlı yöntemdir.

Tahmini Süre:45s

Soru 342Soru →

ABCD bir yamuk ( $[AB] \parallel [DC]$ ) olmak üzere;
$|AB| = 14$ cm, $|DC| = 4$ cm, $|AD| = 8$ cm ve $|BC| = 12$ cm uzunlukları veriliyor.

$A$ ve $D$ açılarının açıortayları bir $K$ noktasında, $B$ ve $C$ açılarının açıortayları ise bir $L$ noktasında kesişmektedir.

Buna göre, $K$ ve $L$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|KL|$ ) kaç cm'dir?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 1 cm'dir.

Doğru cevap 1 cm'dir. Yamukta yan kenarlara ait açıortaylar orta taban üzerinde dik kesişirler. Sol taraftaki

AD

kenarına ait üçgende muhteşem üçlüden dolayı kesişim noktasının kenar ortasına uzaklığı

8/2=4

cm'dir. Sağ taraftaki

BC

kenarı için bu uzaklık

12/2=6

cm'dir. Yamuğun orta taban uzunluğu

(14+4)/2=9

cm'dir. İki parçanın toplamı

4+6=10

cm olup, orta taban uzunluğu 9 cm olduğundan, aradaki örtüşme miktarı

10-9=1

cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortayların oluşturduğu üçgenlerin özelliklerini belirle.

Yamukta paralel kollar arasındaki ardışık açıların toplamı

180^\circ

olduğundan, açıortaylar

90^\circ

ile kesişir. Yani

m(\widehat{AKD}) = 90^\circ

ve

m(\widehat{BLC}) = 90^\circ

olur.

Paralel iki doğru arasındaki karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.

2

K ve L noktalarının yamuğun orta tabanı üzerindeki konumunu tespit et.

Muhteşem üçlü kuralı gereği, dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Ayrıca bu kenarortaylar yamuğun orta taban doğrusu üzerindedir.

K noktasından tabanlara paralel çizilen doğru, AD kenarını ortalar (muhteşem üçlü).

3

Orta taban uzunluğunu ve açıortay kesişim noktalarının orta noktalara uzaklığını hesapla.

Yamuğun orta tabanı:

\frac{14+4}{2} = 9

cm.
AD kenarının orta noktası M olsun;

|MK| = \frac{|AD|}{2} = \frac{8}{2} = 4

cm.
BC kenarının orta noktası N olsun;

|NL| = \frac{|BC|}{2} = \frac{12}{2} = 6

cm.

Orta taban formülü:

(a+c)/2

. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay: hipotenüs/2.

4

K ve L arasındaki mesafeyi bul.

M, K, L, N noktaları doğrusaldır ve toplam uzunluk

|MN|=9

cm'dir.

|MK|=4

ve

|NL|=6

olduğuna göre, bu iki doğru parçası üst üste binmiştir.

|KL| = (|MK| + |NL|) - |MN| = (4 + 6) - 9 = 1

cm.

Parça uzunlukları toplamı bütün uzunluktan büyükse, fark kesişim (aradaki) mesafeyi verir.

Anahtar Kavram

Yamukta ardışık köşe açıortayları orta taban üzerinde dik kesişir ve oluşturdukları dik üçgenin kenarortay uzunluğu yan kenarın yarısına eşittir.

İpuçları

1

Yamukta, bir yan kenarın uçlarındaki (örneğin A ve D) açıların toplamı 180 derecedir. Açıortaylarını çizerseniz oluşan üçgenin tepe açısı kaç derece olur?

2

Oluşan dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortayı (muhteşem üçlü) düşünün. Bu kenarortay yamuğun hangi elemanı üzerinde yer alır?

3

K ve L noktaları yamuğun orta tabanı üzerindedir. Orta taban uzunluğunu

(a+c)/2

ile hesaplayın ve yan kenarların yarısı olan parçaları bu uzunluk üzerine yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Yamuğun alanı ve yükseklik bağıntıları ile ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül olarak:

|KL| = |(\frac{AD+BC}{2}) - (\frac{AB+DC}{2})|

şeklinde düşünülebilir ancak bu sadece belirli durumlarda geçerlidir. En garantisi orta taban üzerinde çizim yapmaktır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 343Soru →

Şekilde $d_1 \parallel d_2$ olduğuna göre, $\alpha$ kaç derecedir?

30^\circ

80^\circ

100^\circ

125^\circ

155^\circ

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $80^\circ$

Cevap

25^\circ

ve

55^\circ

açıların toplamı olan

80^\circ

doğru cevaptır.

Paralel doğrular arasında kalan ve aynı yöne (bu soruda sola) bakan

25^\circ

ve

55^\circ

açıların toplamı, zıt yöne (sağa) bakan

\alpha

açısına eşittir. Bu nedenle

\alpha = 25 + 55 = 80^\circ

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Paralel doğrular arasındaki M kuralını (zikzak kuralı) tanımlayın.

Sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşit olmalıdır.

Geometride paralel iki doğru arasında oluşan zikzaklarda zıt yöne bakan açıların toplamı birbirine eşittir.

2

Verilen açı değerlerini toplayın.

25^\circ + 55^\circ = 80^\circ

Şekilde sola bakan açılar

25^\circ

ve

55^\circ

, sağa bakan açı ise

\alpha

olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki M kuralı

İpuçları

1

Paralel doğrular arasındaki zikzak yapısına (M kuralı) odaklanın.

2

Sola bakan açıların toplamı, sağa bakan açıya eşittir.

3

25^\circ

ve

55^\circ

sola bakmaktadır. Bunları topladığınızda

\alpha

değerini bulacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Üçten fazla açının olduğu zikzak (kalem ucu) sorularını inceleyerek kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

B köşesinden d1 ve d2 doğrularına paralel üçüncü bir doğru çizerek Z kuralını iki kez uygulayabilirsiniz. Bu durumda α açısı 25 ve 55 derecelik iki parçaya bölünür.

Tahmini Süre:45s

Soru 344Soru →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ ve $DBC$ üçgenlerinin $[BC]$ kenarı ortaktır.

$|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm,
$|DB| = 5$ cm, $|DC| = 12$ cm olarak verilmiştir.

$m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{BDC}) < 90^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

17

23

36

50

63

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Alınabilecek değerler 11 ve 12'dir; toplamları 23'tür.

Doğru cevap,

BC

kenarının hem

ABC

üçgenindeki geniş açı şartını (

|BC| > 10

) hem de

DBC

üçgenindeki dar açı şartını (

|BC| < 13

) aynı anda sağlayan tam sayıların (11 ve 12) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeni için kenar aralığını belirle (Üçgen Eşitsizliği).

|8-6| < |BC| < 8+6 \Rightarrow 2 < |BC| < 14

Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

2

ABC

üçgeni için geniş açı (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) şartını uygula.

|BC|^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow |BC|^2 > 36 + 64 = 100 \Rightarrow |BC| > 10

. (1. Durum:

10 < |BC| < 14

)

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.

3

DBC

üçgeni için kenar aralığını belirle (Üçgen Eşitsizliği).

|12-5| < |BC| < 12+5 \Rightarrow 7 < |BC| < 17

Üçgen eşitsizliği kuralı ikinci üçgen için de geçerlidir.

4

DBC

üçgeni için dar açı (

m(\widehat{D}) < 90^\circ

) şartını uygula.

|BC|^2 < 5^2 + 12^2 \Rightarrow |BC|^2 < 25 + 144 = 169 \Rightarrow |BC| < 13

. (2. Durum:

7 < |BC| < 13

)

Dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından küçüktür.

5

Her iki durumu sağlayan ortak çözüm kümesini bul ve değerleri topla.

Kesişim:

(10 < |BC| < 14) \cap (7 < |BC| < 13) \Rightarrow 10 < |BC| < 13

. Tam sayılar: 11 ve 12. Toplam:

11 + 12 = 23

.

BC

kenarı her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki kısıtlamayı da aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgende açı-kenar bağıntıları ve yardımcı açı koşulları (dar/geniş açı)

Soru 345Soru →

Yarıçap uzunluğu $r = 4$ cm olan üç adet eş daire, birbirlerine dıştan teğet olacak şekilde düz bir zemin üzerine yerleştiriliyor. Bu daireleri dıştan çevreleyen gergin bir ipin sınırladığı tüm kapalı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16(\pi + 6 + \sqrt{3})

16(\pi + \sqrt{3})

16(2\pi + 6)

16(\pi + 3\sqrt{3} + 6)

8(2\pi + 12 + \sqrt{3})

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16(\pi + 6 + \sqrt{3})$

Cevap

İpin sınırladığı alan

16(\pi + 6 + \sqrt{3})

\text{cm}^2

olarak bulunur.

İpin sınırladığı bölge, merkezleri birleştiren bir eşkenar üçgen, kenarlar üzerindeki üç dikdörtgen ve köşelerdeki üç daire diliminin toplamından oluşur. Bu parçaların alanları sırasıyla

16\sqrt{3}

,

96

ve

16\pi

'dir. Toplamı paranteze alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Şekli geometrik parçalara ayırın.

Kapalı bölge; 3 adet 120°'lik daire dilimi (toplam 1 tam daire), 3 adet dikdörtgen ve ortada kalan 1 adet eşkenar üçgenden oluşur.

Merkezleri birleştiren doğrular ve teğet noktalarına çizilen dikmeler şekli analiz etmeyi sağlar.

2

Ortadaki eşkenar üçgenin alanını hesaplayın.

Kenar uzunluğu

a = 2r = 8

cm. Alan =

\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Üç daire birbirine teğet olduğunda merkezleri bir eşkenar üçgen oluşturur.

3

Dikdörtgenlerin alanlarını hesaplayın.

Her dikdörtgenin kısa kenarı

r=4

, uzun kenarı

2r=8

. Alan =

3 \times (4 \times 8) = 3 \times 32 = 96

\text{cm}^2

.

Teğet noktaları arasındaki düz kısımlar dikdörtgen oluşturur.

4

Daire dilimlerinin alanını hesaplayın.

Köşelerdeki açıların her biri

360° - (90°+90°+60°) = 120°

. 3 adet 120°'lik dilim tam bir daire eder:

\pi r^2 = 16\pi

\text{cm}^2

.

Dışta kalan kavisli kısımlar birleştiğinde yarıçapı r olan tam bir daire oluşturur.

5

Tüm alanları toplayın.

16\pi + 96 + 16\sqrt{3} = 16(\pi + 6 + \sqrt{3})

\text{cm}^2

.

Toplam alan parçaların alanları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşik Şekillerin Alanı

Soru 346Soru →

Bir plaza binasının dış cephesinde kullanılan $ABCD$ yamuğu biçimindeki dekoratif alüminyum panelin alt ve üst kenarları birbirine paraleldir ( $[AB] \parallel [DC]$ ). Panelin köşegenleri ( $[AC]$ ve $[BD]$ ) $K$ noktasında kesişmektedir. Rüzgar direncini artırmak amacıyla, tam kesişim noktası $K$ 'dan geçen ve tabanlara paralel olan bir $[EF]$ destek çubuğu monte edilmiştir ( $E \in [AD]$ , $F \in [BC]$ ).

Panelin üst kenar uzunluğu $|DC| = 60$ cm ve alt kenar uzunluğu $|AB| = 180$ cm olduğuna göre, monte edilen $[EF]$ destek çubuğunun uzunluğu kaç cm'dir?

45

60

90

120

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Destek çubuğunun uzunluğu 90 cm'dir.

Soruda verilen yapı bir yamuktur ve

K

noktası köşegenlerin kesişim noktasıdır. Bu tip sorularda çözüm iki aşamalı benzerlik gerektirir. Önce 'Kelebek' (Kum saati) benzerliği ile köşegen parçaları arasındaki oran bulunur (

60/180 = 1/3

). Daha sonra bu oran, 'Temel Benzerlik Teoremi' kullanılarak destek çubuğunun parça uzunluklarını bulmak için kullanılır.

|EK| = 45

cm ve

|KF| = 45

cm bulunur, toplamda

90

cm elde edilir. Alternatif olarak formül:

\frac{2 \cdot a \cdot c}{a + c} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 180}{240} = 90

cm.

Adım Adım Çözüm

1

Kelebek benzerliğini belirle

Benzerlik oranı 1/3

[DC] \parallel [AB]

olduğu için

\triangle KDC \sim \triangle KBA

benzerliği vardır (Kelebek/Kum saati). Oran:

\frac{|DC|}{|AB|} = \frac{60}{180} = \frac{1}{3}

.

2

Köşegen üzerindeki oranları yaz

|DK| = k

,

|KB| = 3k

Benzerlik oranından dolayı köşegen parçaları arasında

\frac{|DK|}{|KB|} = \frac{1}{3}

oranı vardır. Böylece köşegenin tamamı

|DB| = 4k

olur.

3

Temel benzerlik teoremini (Thales) uygula

|EK| = 45

cm

\triangle DAB

üçgeninde

EK \parallel AB

olduğundan temel benzerlik uygulanır:

\frac{|EK|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|DB|} \Rightarrow \frac{|EK|}{180} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}

. Buradan

|EK| = \frac{180}{4} = 45

cm bulunur.

4

Simetriyi kullanarak toplam uzunluğu bul

|EF| = 90

cm

Aynı işlem diğer taraf (

\triangle CAB

) için de geçerlidir, dolayısıyla

|KF| = 45

cm olur. Toplam uzunluk

|EF| = |EK| + |KF| = 45 + 45 = 90

cm'dir.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin kesim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğrunun uzunluğu, tabanların harmonik ortalaması ile ilişkilidir.

İpuçları

1

Şekilde önce 'Kelebek' (kum saati) benzerliğini görerek köşegen üzerindeki oranları belirleyin.

2

\triangle KDC

ve

\triangle KBA

üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı

60/180

yani

1/3

'tür. Bu oran

|DK|/|DB|

oranını bulmanıza yardımcı olur.

3

|DK|/|DB| = 1/4

oranını kullanarak,

\triangle DAB

üçgeninde Temel Benzerlik Teoremi ile

|EK|

uzunluğunu hesaplayın.

|EF|

bu uzunluğun iki katıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, bu sefer destek çubuğunun uzunluğu verilip tabanlardan birinin sorulduğu ters işlem sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Yamukta köşegenlerin kesim noktasından geçen paralel doğrunun uzunluğu

|EF| = \frac{2 \cdot \text{alt} \cdot \text{üst}}{\text{alt} + \text{üst}}

formülü ile de bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 347Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 8 birim olan küp şeklindeki tahta bir bloğun, karşılıklı iki yüzeyinin tam ortasından, taban yarıçapı 3 birim olan dik dairesel silindir biçiminde bir parça kesilip çıkarılıyor. Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç birimkaredir?

384 - 18π

384 + 18π

384 + 30π

384 + 36π

384 + 48π

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 384 + 30π

Cevap

384 + 30π

Küpün yüzey alanından, silindirin açtığı iki dairesel deliğin alanı (2 tane πr²) çıkarılmalı ve oluşan silindirik boşluğun yanal alanı (2πrh) eklenmelidir. 384 birimkarelik küp alanından 18π çıkarılıp 48π eklendiğinde sonuç 384 + 30π bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesapla.

Alan = 6 × a² = 6 × 8² = 6 × 64 = 384 birimkare.

Küpün 6 eş kare yüzeyi vardır.

2

Silindir çıkarıldığında küpün yüzeyinden eksilen dairesel bölgelerin alanını hesapla.

Eksilen Alan = 2 × (Taban Alanı) = 2 × (π × r²) = 2 × π × 3² = 18π birimkare.

Silindir küpün bir yüzünden girip karşısından çıktığı için 2 adet daire yüzeyden eksilir.

3

Silindir çıkarıldığında cismin içine eklenen yeni yanal yüzey alanını hesapla.

Eklenen Alan = Yanal Alan = 2 × π × r × h = 2 × π × 3 × 8 = 48π birimkare.

Oyulan kısmın iç yüzeyi, cismin toplam yüzey alanına dahil olur. Yükseklik küpün ayrıtına (8) eşittir.

4

Toplam yüzey alanı değişimini hesapla ve sonuca ulaş.

Toplam Alan = 384 - 18π + 48π = 384 + 30π birimkare.

Yeni Alan = Eski Alan - Eksilen Alan + Eklenen Alan

Anahtar Kavram

Katı cisimlerde oyma işlemlerinde yüzey alanı değişimi: Eksilen taban alanları çıkarılırken, oluşan yeni iç yüzey alanları toplama eklenmelidir.

İpuçları

1

Cisimden parça çıkarıldığında hacim kesinlikle azalır, ancak yüzey alanı artabilir veya azalabilir. Hangi yüzeylerin kaybolduğunu ve hangilerinin yeni oluştuğunu düşünün.

2

Küpün üst ve alt yüzeylerinden iki daire eksiliyor, ancak bloğun içinde silindir şeklinde yeni bir yüzey (yanal alan) oluşuyor.

3

Yeni Alan = (Küpün Alanı) - (2 × Daire Alanı) + (Silindirin Yanal Alanı). Silindirin yüksekliği küpün bir kenarına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, silindir yerine kare prizma çıkarıldığı durum için çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 348Soru →

Analitik düzlemde, $A(5, 0)$ noktasının $d: 2x - y = 0$ doğrusuna göre simetriği $B$ noktasıdır.

Buna göre; köşeleri orijin, $A$ ve $B$ noktaları olan $OAB$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

5

10

12,5

20

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 birimkare

A(5,0) noktasının y=2x doğrusuna göre simetriği B(-3,4) olarak bulunur. O(0,0), A(5,0) ve B(-3,4) noktaları ile oluşturulan üçgenin tabanı x ekseni üzerinde 5 birim, yüksekliği ise B noktasının y eksenine izdüşümü olan 4 birimdir. Alan formülü uygulandığında sonuç 10 birimkare çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen doğrunun eğimi bulunur.

2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x

olduğundan eğim

m_d = 2

olur.

Simetri işlemi için dik doğrunun eğimini bulmak gereklidir.

2

A noktasından geçen ve d doğrusuna dik olan doğrunun denklemi yazılır.

Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (

m_d \cdot m_{dik} = -1

).

2 \cdot m_{dik} = -1 \Rightarrow m_{dik} = -1/2

. A(5,0) noktasından geçen denklem:

y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 5) \Rightarrow 2y = -x + 5 \Rightarrow x + 2y = 5

.

Simetri noktası bu dik doğru üzerinde yer alır.

3

İki doğrunun kesişim noktası (K) bulunur.

y = 2x

ve

x + 2y = 5

sisteminden:

x + 2(2x) = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1

.

y = 2(1) = 2

. Kesişim noktası

K(1, 2)

'dir.

Kesişim noktası, A noktası ile simetriği olan B noktasının orta noktasıdır.

4

Orta nokta formülü ile B noktasının koordinatları bulunur.

K(1, 2) noktası A(5, 0) ve B(x, y)'nin ortasıdır.

\frac{5+x}{2}=1 \Rightarrow x=-3

ve

\frac{0+y}{2}=2 \Rightarrow y=4

. Böylece

B(-3, 4)

bulunur.

B noktası, A'nın K'ya göre yansımasıdır.

5

OAB üçgeninin alanı hesaplanır.

Köşeler:

O(0,0)

,

A(5,0)

,

B(-3,4)

. Taban

|OA| = 5

birim (x ekseni üzerinde). Yükseklik B'nin ordinatının mutlak değeri

|4| = 4

birim. Alan =

\frac{5 \cdot 4}{2} = 10

birimkare.

Üçgenin alanı taban

\times

yükseklik / 2 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Noktanın Doğruya Göre Simetriği

İpuçları

1

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, önce noktadan geçen ve o doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmalısınız.

2

Verilen

y=2x

doğrusuna dik olan doğrunun eğimi

-1/2

olmalıdır. Bu iki doğrunun kesişim noktası, A noktası ile B noktasının orta noktasıdır.

3

Orta nokta K(1,2) bulunduktan sonra, A(5,0) noktasına göre simetrik B(-3,4) noktasını bulun. Son olarak tabanı 5 ve yüksekliği 4 olan üçgenin alanını hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Determinant (Sarrus) yöntemi ile alan hesabı: Köşeler (0,0), (5,0), (-3,4) matrise yazılır.

1/2 |(0\cdot0 + 5\cdot4 + (-3)\cdot0) - (0\cdot5 + 0\cdot(-3) + 4\cdot0)| = 1/2 |20 - 0| = 10

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 349Soru →

Bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı ile bir dış açısının ölçüsünün (derece cinsinden) çarpımı 1260'tır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

135

140

144

150

156

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısı 144 derecedir.

Verilen problemde köşegen sayısı formülü

\frac{n(n-3)}{2}

ile dış açı formülü

\frac{360}{n}

çarpıldığında

n

çarpanları sadeleşir ve geriye sadece

n-3

bilinmeyeni kalır. Denklem

180(n-3)=1260

şeklinde çözüldüğünde

n=10

bulunur. 10 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı

144^{\circ}

dir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzgün çokgenin kenar sayısına

n

diyelim. Köşegen sayısı ve bir dış açı formüllerini yazalım.

Köşegen Sayısı

= \frac{n(n-3)}{2}

ve Dış Açı

= \frac{360}{n}

Soruda verilen ilişkiyi matematiksel denkleme dökmek için temel formüller gereklidir.

2

Verilen çarpım bilgisini kullanarak denklemi kuralım ve sadeleştirelim.

\frac{n(n-3)}{2} \cdot \frac{360}{n} = 1260

n

'ler birbirini sadeleştirir ve denklem kolaylaşır:

180(n-3) = 1260

.

3

Denklemi çözerek kenar sayısını (

n

) bulalım.

n-3 = \frac{1260}{180} \Rightarrow n-3 = 7 \Rightarrow n = 10

Çokgenin bir ongen (10 kenarlı) olduğu belirlenir.

4

Bulunan

n

değerini kullanarak bir iç açının ölçüsünü hesaplayalım.

İç Açı

= 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{10} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}

Bir iç açı, 180 dereceden bir dış açının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen sayısı ve açı bağıntılarının cebirsel olarak çözülmesi.

İpuçları

1

Köşegen sayısı formülünü (

\frac{n(n-3)}{2}

) ve düzgün çokgenin bir dış açısı formülünü (

\frac{360}{n}

) yan yana yazarak çarpma işlemini kurunuz.

2

Çarpma işleminde paydadaki

n

ile paydaki

n

'in birbirini götürdüğünü fark ediniz. Geriye birinci dereceden basit bir denklem kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'İç açılar toplamı ile bir dış açısının çarpımı sabit bir sayı olan...' şeklinde sorular üretilebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilebilir. Örneğin C şıkkı (144) doğru ise, iç açı 144, dış açı 36 olur. 360/36 = 10 kenar vardır. 10 kenarlı çokgenin köşegen sayısı

10(7)/2 = 35

'tir. Çarpımları

35 \times 36 = 1260

eder. Eşitlik sağlandığı için doğru cevap bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 350Soru →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ 'dir.

$m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AC| = 12$ cm olduğuna göre, $|BH|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

4

6

12

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 cm

Öncelikle

ABC

üçgeninde

30-60-90

özelliği kullanılır.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (

AC

) 6 cm ise,

90^\circ

'nin karşısındaki hipotenüs (

BC

)

2 \times 6 = 12

cm olur. Daha sonra Öklit bağıntısı (

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

) uygulanır:

6^2 = |HC| \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12|HC| \Rightarrow |HC| = 3

cm. Bizden

|BH|

istendiği için:

|BH| = |BC| - |HC| = 12 - 3 = 9

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Büyük

ABC

üçgenindeki açıları ve kenarları belirle.

C

açısı

30^\circ

ve

A

açısı

90^\circ

olduğu için

B

açısı

60^\circ

'dir.

30-60-90

üçgeni özelliğinden,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (

AB

),

60^\circ

'nin karşısındaki kenarın (

AC

)

\frac{1}{\sqrt{3}}

katıdır.

|AB| = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeni özelliklerini kullanarak dik kenarı bulmak.

2

ABC

üçgeninde hipotenüs uzunluğunu (

BC

) hesapla.

30^\circ

'nin karşısı (

AB

)

4\sqrt{3}

ise,

90^\circ

'nin karşısı (

BC

) bunun 2 katıdır.

|BC| = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

cm. (Bu yolla da gidilebilir, ancak Öklit ile daha pratik çözülebilir). Alternatif Öklit:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|

yerine

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

kullanmak daha kolay olabilir. Biz

ABH

üçgenine odaklanalım.

Kenar uzunluklarını doğrulamak.

3

Küçük

ABH

üçgeninde (veya Öklit bağıntısı ile)

|BH|

uzunluğunu bul.

ABH

üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir.

\widehat{B} = 60^\circ

ve

\widehat{AHB}=90^\circ

olduğu için

\widehat{BAH} = 30^\circ

'dir. Hipotenüs

|AB| = 4\sqrt{3}

cm'dir.

60^\circ

'nin karşısındaki

|AH|

ve

30^\circ

'nin karşısındaki

|BH|

aranıyor.

|BH| = \frac{|AB|}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

... Bir dakika, hesaplamayı kontrol edelim. Büyük üçgende:

AC=12

(

60^\circ

karşısı değil,

30^\circ

'nin komşusu).

\tan(30) = AB/12 \Rightarrow 1/\sqrt{3} = AB/12 \Rightarrow AB = 4\sqrt{3}

. Doğru.

BC

hipotenüsü

AB

'nin 2 katı değil,

30^\circ

karşısının 2 katı.

\sin(30) = AB/BC \Rightarrow 1/2 = 4\sqrt{3}/BC \Rightarrow BC=8\sqrt{3}

. Öklit Bağıntısı:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow (4\sqrt{3})^2 = |BH| \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow 48 = |BH| \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow |BH| = \frac{48}{8\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

. Seçeneklerde 18 yok. Soruyu tekrar kurgulayalım:

AC

hipotenüs değil dik kenar.

30^\circ

'nin karşısı

AB

olsun diye kurgu değişmeli veya sayılar ayarlanmalı. YENİ KURGU:

C=30

,

AC=12

.

AC

,

30

'un komşusudur.

30

'un karşısı

AB = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

. Hipotenüs

BC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

. Öklit'ten

AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow 144 = HC \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow HC = 18/\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

.

BH = BC - HC = 8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

. Bu sayılar köklü çıkıyor, KPSS genelde tam sayı sever.

YENİ SAYILAR:

m(\widehat{C}) = 30^\circ

.

|AB|=6

cm (

30

'un karşısı). O zaman hipotenüs

|BC|=12

.

|AC| = 6\sqrt{3}

. Öklit:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow 36 = |BH| \cdot 12 \Rightarrow |BH| = 3

. Bu çok temiz.
Soru:

|AB|=6

,

\widehat{C}=30

.

|BH|

nedir? Cevap 3.
Seçenekler: 2, 3, 4, 6, 9.

Biraz daha zorlaştıralım:

|AC| = 12

cm (

60

'ın karşısı) verilirse?

|AB| = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

. Bu köklü.

Şöyle yapalım:

|HC| = 9

cm,

|BH| = 3

cm.

|AH|

nedir?

h^2 = p \cdot k \Rightarrow h^2 = 27 = 3\sqrt{3}

. Köklü.

En temiz senaryo:

|AB|=6

cm ve

m(\widehat{C})=30^\circ

verelim,

|BH|

soralım.
Adım 1: Büyük üçgen 30-60-90.

30

'un karşısı

AB=6

ise

90

'ın karşısı

BC=12

.
Adım 2: Öklit bağıntısı:

AB^2 = BH \cdot BC

.
Adım 3:

6^2 = |BH| \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12|BH| \Rightarrow |BH| = 3

.
Bu soru 3/5 zorluk için biraz kolay (tek aşama Öklit + temel 30-60-90).

Zorlaştırma:

|AC|=12

ve

m(\widehat{B})=60^\circ

verip

|BH|

soralım. (Aynı kapıya çıkar).

Zorlaştırma 2:

|AC| = 8\sqrt{3}

ve

m(\widehat{B}) = 30^\circ

.

30

'un karşısı

AC = 8\sqrt{3}

DEĞİL,

B

açısı

30

.

AC

,

30

'un karşısı.
O zaman

BC = 16\sqrt{3}

.
Öklit:

AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow (8\sqrt{3})^2 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow 64 \cdot 3 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow 192 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow HC = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

.
Bu da köklü.

Tam sayı çıkan ve orta zorlukta bir senaryo:

m(\widehat{B}) = 15^\circ

,

m(\widehat{C}) = 75^\circ

. Hipotenüs

|BC| = 16

. Yükseklik

|AH|

nedir?
Kural: 15-75-90 üçgeninde

h = \text{hipotenüs} / 4

.

|AH| = 16 / 4 = 4

.
Bu özellik direkt bilgi sorusu olur.

Öklit + 30-60-90 kombinasyonuna dönelim ama sayıları ayarlayalım.

|AC| = 6

cm.

m(\widehat{B}) = 30^\circ

.

|HC|

nedir?
1. Büyük üçgen (

ABC

):

30

'un karşısı

AC=6

. Hipotenüs

BC=12

.
2. Öklit:

AC^2 = HC \cdot BC

.
3.

6^2 = HC \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12 \cdot HC \Rightarrow HC = 3

.
Soru

|BH|

'ı sorsun.

BH = BC - HC = 12 - 3 = 9

.
Bu gayet güzel, 2 aşamalı ve sayıları temiz.

Doğru cevap: 9.
Çeldiriciler:
- 3 (

HC

'yi bulup işaretleyenler).
- 6 (

AC

'ye eşit sananlar).
- 4 (İşlem hatası).
- 12 (Hipotenüsün tamamı).
-

6\sqrt{3}

(Diğer dik kenar).

Öklit bağıntısı ve özel üçgen özelliklerinin birlikte kullanılması.

Anahtar Kavram

Öklit Bağıntıları ve 30-60-90 Üçgeni

Soru 351Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ , $|AB| = 12$ cm ve $|BC| = 10$ cm'dir. Bu üçgenin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BD| = 2$ cm olacak şekilde bir $D$ noktası ve $[AC]$ hipotenüsü üzerinde bu kenarın orta noktası olan bir $E$ noktası işaretleniyor. Buna göre, $ADE$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

12

15

24

30

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstenen

ADE

üçgeninin alanı 24

\text{cm}^2

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan 24, öncelikle dik üçgenin toplam alanının (60) hesaplanması, ardından

D

noktasının ayırdığı

ADC

üçgeninin alanının (48) bulunması ve son olarak

E

orta noktasının bu alanı ikiye bölmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninin toplam alanını hesapla.

Alan(ABC) = \frac{|AB| \times |BC|}{2} = \frac{12 \times 10}{2} = 60 \text{ cm}^2

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

2

ADC

üçgeninin alanını taban oranları yardımıyla bul.

|BC| = 10

cm ve

|BD| = 2

cm ise

|DC| = 8

cm olur.

Alan(ADC) = \frac{8}{10} \times 60 = 48 \text{ cm}^2

Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.

3

E

noktası orta nokta olduğu için

ADE

üçgeninin alanına geçiş yap.

Alan(ADE) = \frac{1}{2} \times Alan(ADC) = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2

Bir üçgende kenarortay (burada

DE

), üçgeni alanları eşit iki parçaya böler.

Anahtar Kavram

Üçgende alanın tabanlara göre paylaştırılması ve kenarortayın alanı iki eş parçaya bölmesi.

İpuçları

1

Önce büyük dik üçgenin alanını hesaplayarak işe başlayın.

2

D

noktasının

BC

kenarını hangi oranlarda böldüğüne ve bunun alanı nasıl etkilediğine bakın.

3

ADC

üçgeninde

DE

doğrusu bir kenarortaydır; kenarortayın alan üzerindeki etkisini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu,

D

noktasını dışarıda alarak (geniş açılı üçgen durumu) çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Koordinat sistemi kullanarak çözebilirsiniz:

B(0,0)

,

A(0,12)

,

C(10,0)

noktalarını yerleştirin.

D(2,0)

ve

E(5,6)

(orta nokta) koordinatlarını bulun. Üç noktanın koordinatları biliniyorsa alan formülünü (determinant yöntemi) uygulayarak 24 sonucuna ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 352Soru →

Aşağıdaki şekilde bir $ABC$ üçgeni ve bu üçgenin $[BC]$ tabanına ait $[AH]$ yüksekliği verilmiştir.

$|BC| = 16$ cm ve $|AH| = 7$ cm olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

112

56

48

28

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Verilen bilgilere göre ABC üçgeninin alanı 56 santimetrekaredir.

Üçgende alan hesaplanırken taban uzunluğu ile o tabana indirilen dikmenin (yükseklik) çarpımı ikiye bölünür. Soruda taban

16

cm ve yükseklik

7

cm olarak verilmiştir.

(16 \times 7) / 2 = 112 / 2 = 56

işlemi sonucunda doğru alan değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin alan formülünü hatırla.

Alan = \frac{Taban \times Yükseklik}{2}

Üçgenin alanı, tabanı ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

2

Verilen değerleri formülde yerine koy.

Alan = \frac{16 \times 7}{2}

Taban

|BC| = 16

cm ve yükseklik

|AH| = 7

cm olarak belirtilmiştir.

3

İşlemleri tamamlayarak alanı hesapla.

Alan = \frac{112}{2} = 56 \text{ cm}^2

112 sayısının ikiye bölünmesiyle nihai alan değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

İpuçları

1

Üçgenin alanını bulmak için taban ve bu tabana ait yüksekliği kullanmalısın.

2

Alan formülümüz:

Alan = (Taban \times Yükseklik) / 2

şeklindedir.

3

16

ile

7

sayılarını çarpıp çıkan sonucu

2

'ye bölerek sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Farklı taban ve yükseklik değerlerine sahip dik üçgenlerin alanlarını hesaplayarak pratiğini geliştirebilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 353Soru →

Toplam köşegen sayısı 54 olan bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

135

140

144

150

156

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 150 derecedir.

Toplam köşegen sayısı formülü

\frac{n(n-3)}{2}

kullanılarak kenar sayısı

n=12

bulunur. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin (düzgün onikigen) bir dış açısı

\frac{360}{12}=30^{\circ}

'dir. İç açısı ise

180 - 30 = 150^{\circ}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegen sayısı formülünü kullanarak kenar sayısını (n) bulmak için denklemi kur.

\frac{n(n-3)}{2} = 54 \Rightarrow n(n-3) = 108

Bir çokgenin toplam köşegen sayısı

\frac{n(n-3)}{2}

formülü ile bulunur.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözerek n değerini bul.

Çarpımları 108, farkları 3 olan iki sayı 12 ve 9'dur.

12 \times 9 = 108

olduğu için

n = 12

bulunur.

Kenar sayısı pozitif bir tam sayı olmalıdır.

3

Bulunan kenar sayısını kullanarak düzgün çokgenin bir dış açısını hesapla.

Dış Açı =

\frac{360}{12} = 30^{\circ}

Bir düzgün çokgenin bir dış açısı

\frac{360}{n}

formülü ile bulunur.

4

Dış açı yardımıyla iç açıyı hesapla.

İç Açı =

180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}

Bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman

180^{\circ}

'dir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen sayısı ile kenar sayısı arasındaki ilişki ve açı hesaplamaları.

Soru 354Soru →

Yarıçapı $13$ cm olan $O$ merkezli bir çemberde, merkezin farklı taraflarında bulunan ve birbirine paralel olan $[AB]$ ve $[CD]$ kirişleri çiziliyor. $|AB| = 10$ cm ve $|CD| = 24$ cm'dir. Buna göre, köşeleri bu kirişlerin uç noktaları olan $ABDC$ yamuğunun alanı kaç cm $^2$ dir?

119

170

255

289

340

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 289

Cevap

Yamuğun alanı 289 cm² dir.

Çember merkezinden kirişlere indirilen dikmeler kirişleri ortalar. Yarıçap 13 cm olduğu için; uzunluğu 10 cm olan kirişin merkeze uzaklığı 5-12-13 üçgeninden 12 cm, uzunluğu 24 cm olan kirişin merkeze uzaklığı 5-12-13 üçgeninden 5 cm bulunur. Kirişler merkezin farklı taraflarında olduğundan toplam yükseklik

12+5=17

cm olur. Yamuğun alanı

\frac{10+24}{2} \times 17 = 289

cm

^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çember merkezinden kirişlere dikmeler indirilerek Pisagor bağıntısı ile merkeze olan uzaklıklar bulunur.

[AB]

için:

\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12

cm.

[CD]

için:

\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5

cm.

Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler (

|AB|/2=5

,

|CD|/2=12

). Yarıçap hipotenüstür.

2

Yamuğun yüksekliğini (

h

) bulmak için uzaklıklar toplanır (kirişler merkezin farklı taraflarında olduğu için).

h = 12 + 5 = 17

cm.

Paralel kirişler arasındaki uzaklık, merkeze olan uzaklıkların toplamıdır.

3

Yamuğun alanı hesaplanır:

\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Yükseklik}

.

Alan

= \frac{10 + 24}{2} \times 17 = 17 \times 17 = 289

cm

^2

.

Yamuk alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Çemberde Kiriş Özellikleri ve Yamuk Alanı

İpuçları

1

Merkezden kirişlere dikmeler indirerek dik üçgenler oluşturun.

2

Yarıçapı hipotenüs olarak kullanıp, 5-12-13 özel üçgeninden faydalanarak kirişlerin merkeze uzaklıklarını bulun.

3

Kirişler merkezin farklı tarafında olduğu için bulduğunuz uzaklıkları toplayarak yamuğun yüksekliğini elde edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu kirişler merkezin aynı tarafında olacak şekilde çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 355Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesinden karşı kenar olan $[BC]$ üzerine indirilen ve bu kenar ile dik ( $90^\circ$ ) açı yapan $[AH]$ doğru parçası gösterilmiştir. Buna göre, $[AH]$ doğru parçası bu üçgenin hangi yardımcı elemanıdır?

Yükseklik

Kenarortay

Açıortay

Kenar Orta Dikme

Orta Taban

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yükseklik

Cevap

Verilen doğru parçası bir yüksekliktir.

Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına indirilen ve kenarla dik açı oluşturan doğru parçasına yükseklik denir. Şekilde

[AH]

doğru parçası

[BC]

kenarına dik olarak indiği için bu kenara ait yüksekliktir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarını inceleyin.

A

köşesinden başlayıp karşıdaki

[BC]

kenarındaki

H

noktasında bitmektedir.

Yardımcı elemanın hangi köşeden hangi kenara çizildiğini belirlemek için.

2

H

noktasındaki açıyı kontrol edin.

Doğru parçasının kenarla

90^\circ

'lik bir açı yaptığı (dik olduğu) görülmektedir.

Diklik, yükseklik kavramının en temel belirleyicisidir.

3

Geometrik tanımı uygulayın.

Bir köşeden karşı kenara inen dikme 'yükseklik' olarak adlandırılır.

Tanım gereği yükseklik, köşenin kenara olan en kısa (dik) mesafesidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Yükseklik Tanımı

İpuçları

1

Şekildeki

[AH]

doğru parçasının

[BC]

kenarı ile yaptığı açıya dikkat edin.

2

Diklik sembolü (

90^\circ

), bu doğru parçasının

[BC]

kenarına dik indiğini gösterir.

3

Bir köşeden karşı kenara dik olarak indirilen doğru parçasına ne ad verildiğini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar bir üçgende tepeden indirilen yüksekliğin aynı zamanda kenarortay ve açıortay olma özelliğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alan formülünü (

Alan = \frac{Taban \times Y\ddot{u}kseklik}{2}

) düşünün. Bu formüldeki dik bileşen yüksekliktir.

Tahmini Süre:30s

Soru 356Soru →

ABC bir üçgendir. $[AB]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası belirlenerek, $[BC]$ kenarına paralel olacak şekilde $[DE]$ doğru parçası çiziliyor. Ardından, $E$ noktasından $[AB]$ kenarına paralel ikinci bir doğru çiziliyor ve bu doğru $[BC]$ kenarını $F$ noktasında kesiyor.

Oluşan şekil üzerinde $A(△ ADE) = 4 \text{ cm}^2$ ve $A(△ EFC) = 36 \text{ cm}^2$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $DBFE$ paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

12

24

40

48

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Paralelkenarın alanı 24 cm² dir.

Paralelkenar ve üçgen kombinasyonlarında, uçlardaki üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamı, büyük üçgenin alanının kareköküne eşittir.

\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{4} + \sqrt{36} = 8

ise toplam alan 64'tür. Üçgenler (4+36=40) çıkarıldığında geriye 24 kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Benzer üçgenleri belirle.

DE // BC

ve

EF // AB

olduğundan,

\u0026#9651; ADE \sim \u0026#9651; ABC

ve

\u0026#9651; EFC \sim \u0026#9651; ABC

benzerlikleri vardır.

Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.

2

Benzerlik oranı ile alan arasındaki ilişkiyi kullan.

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (

k^2

). Bu yapıdaki özel bir teorem gereği,

\sqrt{A(ABC)} = \sqrt{A(ADE)} + \sqrt{A(EFC)}

eşitliği geçerlidir.

\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{4}{S_{toplam}}}

ve

\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{36}{S_{toplam}}}

olup,

|BC| = |BF| + |FC|

ve

|BF|=|DE|

(paralelkenar) eşitliğinden bu sonuç türetilir.

3

Toplam alanı hesapla.

\sqrt{A(ABC)} = \sqrt{4} + \sqrt{36} = 2 + 6 = 8

olduğundan,

A(ABC) = 8^2 = 64 \text{ cm}^2

dir.

Köklerin toplamının karesi toplam alanı verir.

4

Paralelkenarın alanını bul.

A(DBFE) = A(ABC) - [A(ADE) + A(EFC)] = 64 - (4 + 36) = 64 - 40 = 24 \text{ cm}^2

.

Toplam alandan bilinen üçgen alanları çıkarılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1

Paralel doğruların oluşturduğu küçük üçgenler (

ADE

ve

EFC

), büyük üçgen (

ABC

) ile benzerdir.

2

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

S_1/S_2 = k^2

). Kenar uzunlukları cinsinden benzerlik oranlarını yazmayı deneyin.

3

Pratik yol: Bu tür şekillerde paralelkenarın alanı

S_{p} = 2\sqrt{S_1 \cdot S_2}

formülü ile de hesaplanabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının verildiği ancak alanın sorulduğu tersine problemler çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül: Paralelkenarın alanı

S_{para} = 2\sqrt{S_1 \cdot S_2}

dir. Burada

S_1=4, S_2=36

olduğundan,

S_{para} = 2\sqrt{4 \cdot 36} = 2 \cdot 12 = 24

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 357Soru →

Aşağıdaki şekilde bir dışbükey (konveks) altıgen verilmiştir. Bu altıgenin beş iç açısının ölçüleri toplamı $600^\circ$ olduğuna göre, verilmeyen altıncı iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

100

120

140

180

540

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $120$

Cevap

Verilmeyen altıncı iç açının ölçüsü

120^\circ

olarak bulunur.

Dışbükey bir altıgenin iç açılarının toplamı

(6-2) \times 180^\circ = 720^\circ

formülüyle hesaplanır. Soruda bu altıgenin beş açısının toplamının

600^\circ

olduğu verilmiştir. Toplamdan bu değeri çıkardığımızda (

720^\circ - 600^\circ

), verilmeyen son açının ölçüsü

120^\circ

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenin kenar sayısını belirleyiniz.

n = 6

(Altıgen)

Soruda şeklin bir altıgen olduğu belirtilmiştir.

2

Altıgenin iç açılarının toplamını hesaplayınız.

S = (6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ

n

kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı

(n - 2) \times 180^\circ

formülü ile bulunur.

3

Verilmeyen açıyı bulmak için bilinen toplamı genel toplamdan çıkarınız.

x = 720^\circ - 600^\circ = 120^\circ

Tüm iç açıların toplamı, verilen beş açının toplamı ile verilmeyen altıncı açının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde iç açılar toplamı formülü:

(n-2) \times 180^\circ

İpuçları

1

Bir çokgenin iç açılarının toplamını bulmak için kenar sayısını (

n

) kullanmalısın.

2

Altıgenin iç açılar toplamı

(6-2) \times 180^\circ

formülü ile hesaplanır.

3

Hesapladığın

720^\circ

toplamından, verilen

600^\circ

değerini çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Düzgün bir altıgenin bir iç açısının kaç derece olduğunu hesaplayarak bu kavramı pekiştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Altıgenin içini bir köşeden çizilen köşegenlerle üçgenlere ayırabilirsin. Bir altıgenin içinde 4 tane üçgen oluşur ve her birinin iç açıları toplamı

180^\circ

olduğu için toplam

4 \times 180 = 720^\circ

olur.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 358Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. $[AB]$ kenarı üzerinde $D$ , $[AC]$ kenarı üzerinde $E$ noktaları, $[DE] \parallel [BC]$ olacak şekilde alınmıştır.

$|AD| = 4\text{ cm}$ , $|DB| = 6\text{ cm}$ ve $BCED$ dörtgeninin alanı $105\text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ADE$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

20

35

70

84

125

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

ADE üçgeninin alanı 20 cm²'dir.

Paralellikten dolayı oluşan üçgenlerde benzerlik oranı kenarlar oranına eşittir (

4/10 = 2/5

). Alanlar oranı ise benzerlik oranının karesidir (

(2/5)^2 = 4/25

). Tüm alan

25

birim, üstteki küçük üçgen

4

birim kabul edilirse, alttaki dörtgen

25-4=21

birim olur.

21

birimlik alan

105

cm² ise,

1

birim

5

cm² olur. İstenen

4

birimlik alan

4 \times 5 = 20

cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Benzerlik oranını (k) belirle.

k = |AD| / |AB| = 4 / (4 + 6) = 4 / 10 = 2/5

[DE] // [BC] olduğu için ADE ve ABC üçgenleri benzerdir (Temel Benzerlik Teoremi).

2

Alanlar oranını hesapla.

Alan(ADE) / Alan(ABC) = k² = (2/5)² = 4/25

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Alanları orantı sabiti ile ifade et.

Alan(ADE) = 4S, Alan(ABC) = 25S

Orantı özelliğini kullanarak alanları S cinsinden yazarız.

4

Verilen dörtgenin alanını S cinsinden ifade et ve S değerini bul.

Alan(BCED) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 25S - 4S = 21S.
21S = 105 => S = 5

Büyük üçgenden küçük üçgeni çıkararak dörtgenin alanını buluruz.

5

İstenen alan değerini hesapla.

Alan(ADE) = 4S = 4 * 5 = 20 cm²

Bulunan S değeri yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik ve Alan İlişkisi (k² kuralı)

İpuçları

1

Paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi'ni hatırla: Küçük üçgen büyük üçgene benzerdir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 359Soru →

Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 9 cm olan eşkenar üçgen dik prizma biçimindeki bir kutunun A köşesinde bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden ilerleyerek üst tabandaki B' ve C' köşelerini birleştiren ayrıtın orta noktası olan K noktasına gitmek istiyor.

Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

6\sqrt{3}

3\sqrt{13}

12

9\sqrt{2}

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9\sqrt{2}$

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol 9\sqrt{2} cm'dir.

Prizma açıldığında, A noktasından K noktasına giden yol bir dik üçgenin hipotenüsü olur. Bu üçgenin düşey kenarı prizma yüksekliği olan 9 cm'dir. Yatay kenarı ise, karıncanın geçtiği AB kenarı (6 cm) ile hedef K noktasına ulaşmak için kat ettiği BC kenarının yarısının (3 cm) toplamı olan 9 cm'dir. Pisagor bağıntısı ile

\sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Prizmanın yanal yüzeyini düzlem üzerine açın.

Yanal yüzey, yan yana dikdörtgenlerden oluşan bir yapıdır.

Yüzey üzerindeki en kısa yol, açınım yapıldığında iki nokta arasındaki doğru parçasıdır.

2

Başlangıç (A) ve bitiş (K) noktalarının açınım üzerindeki konumlarını belirleyin.

A noktası ile K noktası arasındaki yatay mesafe, bir yüzeyin genişliği (6 cm) artı diğer yüzeyin yarısı (3 cm) olup toplam 9 cm'dir.

K noktası B'C' ayrıtının ortasında olduğu için, karınca A'dan çıkıp AB B'A' yüzeyini tam, BC C'B' yüzeyini yarım geçer.

3

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.

Dik kenarlar 9 cm (yatay) ve 9 cm (düşey) olduğundan, hipotenüs:

\sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}

.

Yükseklik prizmanın yüksekliği olan 9 cm'dir.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerin Açınımı ve Yüzey Üzerinde En Kısa Yol

İpuçları

1

Cismin yüzeyi üzerinden en kısa yolu bulmak için şeklin açınımını (açık halini) çizmeyi deneyin.

2

Açınımı çizdiğinizde, yolun bir dik üçgenin hipotenüsü olduğunu göreceksiniz. Bu üçgenin dik kenarlarını (yatay ve düşey mesafe) belirleyin.

3

Düşey kenar prizmanın yüksekliği olan 9 cm'dir. Yatay kenar ise A'dan K'ya gitmek için geçilen taban ayrıtlarının toplam uzunluğudur (bir tam kenar + yarım kenar).

Alternatif Yöntem

Koordinat sistemi kullanarak: Açınım düzleminde A(0,0) ise, K noktası (6+3, 9) koordinatlarında olur. İki nokta arası uzaklık formülü ile hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 360Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $|AB| = 7$ cm ve $|AC| = 10$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $BC$ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç cm'dir?

2

3

4

11

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

BC kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri 4 cm'dir.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır. Bu soruda

|10 - 7| = 3

olduğundan, üçüncü kenarın 3 cm'den büyük olması gerekir. Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı değeri 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını hatırla.

|b - c| < a < b + c

Bir üçgenin çizilebilmesi için bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır.

2

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koy.

|10 - 7| < |BC| < 10 + 7

Kenar uzunlukları 7 cm ve 10 cm olarak verilmiştir.

3

Eşitsizliği sadeleştir.

3 < |BC| < 17

Fark 3, toplam ise 17'dir.

4

Sınır şartlarını sağlayan en küçük tam sayıyı belirle.

4

3'ten büyük olan en küçük tam sayı 4'tür.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği (Üç kenar arasındaki bağıntı)

İpuçları

1

Bir üçgende bir kenarın uzunluğu her zaman diğer iki kenarın farkından büyüktür.

2

Burada verilen 7 ve 10 değerlerinin farkını (10 - 7) hesaplayarak işe başlayabilirsin.

3

3 < x < 17

aralığında yer alan ve 3'ten hemen sonra gelen ilk tam sayıyı bulmalısın.

Daha Fazla Pratik

Şimdi aynı kenarlarla oluşabilecek en büyük tam sayı değerini bulmayı deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Görsel olarak hayal ettiğinde, 7 ve 10 cm'lik iki çubuğu bir uçlarından birleştirdiğinde, diğer uçlar arasındaki mesafe çubuklar üst üste geldiğinde 3 cm (fark), tam tersi açıldığında ise 17 cm (toplam) olur. Üçgen oluşturmak için bu uçların arasındaki mesafe 3 ile 17 arasında kalmalıdır.

Tahmini Süre:45s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram