Layer 1

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ olarak verilmiştir.

$|BH| = 2$ cm ve $|HC| = 8$ cm olduğuna göre, $|AH|$ kaç santimetredir?

4

5

10

16

2\sqrt{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 cm'dir.

Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inilen dikme, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Öklit yükseklik bağıntısına göre, yüksekliğin karesi bu parçaların çarpımına eşittir (

h^2 = p \cdot k

). Verilen soruda

h^2 = 2 \cdot 8 = 16

olduğundan, yükseklik 4 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen geometrik şekli ve özellikleri analiz et.

Üçgen dik üçgendir (

A

açısı

90^\circ

) ve hipotenüse ait yükseklik çizilmiştir (

[AH] \perp [BC]

). Bu durumda Öklit bağıntıları geçerlidir.

Dik üçgende hipotenüse inilen dikme varsa Öklit bağıntısı kullanılır.

2

Yükseklik bağıntısını uygula.

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|

formülü kullanılır. Değerler yerine konulursa:

|AH|^2 = 2 \cdot 8

.

Öklit'in yükseklik bağıntısı:

h^2 = p \cdot k

.

3

Sonucu hesapla.

|AH|^2 = 16 \Rightarrow |AH| = \sqrt{16} = 4

cm.

İşlem sonucu.

Anahtar Kavram

Öklit Bağıntıları (Yükseklik)

İpuçları

1

Dik üçgende dik açıdan inilen dikme varsa 'Öklit Bağıntılarını' hatırlayınız.

2

Öklit yükseklik bağıntısı: Yüksekliğin karesi, tabanda ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (

h^2 = p \cdot k

).

3

|AH|^2 = 2 \cdot 8

eşitliğini çözünüz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğunu Öklit bağıntısı ile bulmayı deneyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 422Soru →

Üçgen biçimindeki bir park arazisi ( $ABC$ ), taban kenarı olan $BC$ 'ye paralel çekilen iki çit ( $DE$ ve $FG$ ) ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. $A$ köşesi arazinin en üst noktası olup, $DE$ çiti tepeye daha yakındır.

Bu işlem sonucunda oluşan üç bölgenin (tepe üçgeni, orta şerit ve alt şerit) alanları birbirine eşittir.

$BC$ taban uzunluğu 60 metre olduğuna göre, tabana daha yakın olan $FG$ çitinin uzunluğu kaç metredir?

20\sqrt{3}

40

20\sqrt{6}

30\sqrt{2}

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20\sqrt{6}$

Cevap

Tabana yakın olan çitin (

FG

) uzunluğu

20\sqrt{6}

metredir.

Soruda verilen paralel çitler (

DE

ve

FG

), büyük üçgen (

ABC

) ile benzer küçük üçgenler (

ADE

ve

AFG

) oluşturur. Üç bölgenin alanları eşit olduğundan, tepeden itibaren kümülatif alanlar sırasıyla

S

,

2S

ve

3S

olur. Bizden istenen

FG

çiti, alanı

2S

olan ortadaki üçgenin tabanıdır. Büyük üçgenin alanı ise

3S

'tir. Benzerlik kuralına göre, alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\left(\frac{|FG|}{|BC|}\right)^2 = \frac{2S}{3S}

. Buradan

\frac{|FG|}{60} = \sqrt{\frac{2}{3}}

bulunur. İşlemi yaparsak

|FG| = 60 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi geometrik olarak modelle ve alanları tanımla.

Üç bölgenin alanları eşittir (

S

). Tepe üçgeni (

ADE

) alanı

S

, ortadaki (

AFG

) toplam alanı

2S

, en büyük üçgen (

ABC

) toplam alanı

3S

olur.

Paralel doğrularla oluşan üçgenlerde temel benzerlik teoremini uygulayabilmek için kümülatif alanları bulmalıyız.

2

İstenen çit (

FG

) ile taban (

BC

) arasındaki benzerlik ilişkisini kur.

AFG

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Alanlar oranı

\frac{Alan(AFG)}{Alan(ABC)} = \frac{2S}{3S} = \frac{2}{3}

tür.

Tabana paralel doğrular benzer üçgenler oluşturur.

3

Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.

Benzerlik oranı (

k

), alan oranının kareköküdür:

k = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Bu yüzden uzunluk oranı için karekök alırız.

4

FG

uzunluğunu hesapla.

\frac{|FG|}{|BC|} = \sqrt{\frac{2}{3}} \implies |FG| = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

. Paydayı rasyonel yapmak için

\sqrt{3}

ile genişletirsek:

60 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6}

.

Orantıyı çözerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1

Paralel doğrular gördüğünüzde 'Temel Benzerlik Teoremi'ni hatırlayın. Ayrıca üçgenleri parça parça değil, tepeden başlayarak iç içe geçmiş (kümülatif) üçgenler olarak düşünün (

ADE

,

AFG

,

ABC

).

2

Bölgelerin alanları eşit olduğuna göre; en küçük üçgenin alanı

S

ise, ortadaki üçgenin (

AFG

) alanı

S+S=2S

, en büyük üçgenin (

ABC

) alanı

S+S+S=3S

olur.

3

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının (kenarlar oranının) karesine eşittir. Yani

\frac{Alan(AFG)}{Alan(ABC)} = \left(\frac{|FG|}{|BC|}\right)^2

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, alanlar oranı yerine kenar uzunlukları oranı verilip alan sorulan versiyonuyla (örneğin kenarlar 1/3 oranında ise alanlar oranı 1/9'dur) pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözüm: Alanı

3S

olan üçgenin tabanı 60 ise, alan formülünden

h \cdot 60 / 2 = 3S

diyerek yükseklik ile alan ilişkisi kurulabilir, ancak benzerlik oranı kuralı (Alan

\propto k^2

) en pratik yoldur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 423Soru →

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı $2$ artırıldığında, toplam köşegen sayısı $15$ artmaktadır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

720^{\circ}

900^{\circ}

1080^{\circ}

1260^{\circ}

1440^{\circ}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1080^{\circ}$

Cevap

Sekiz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

1080^{\circ}

'dir.

Verilen bilgiler ışığında kurulan köşegen sayısı değişim denklemi çözüldüğünde çokgenin

8

kenarlı olduğu tespit edilir. Kenar sayısı

8

olan bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı

(8-2) \times 180^{\circ}

işleminden

1080^{\circ}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kenar sayısı

n

olan bir çokgenin köşegen sayısı formülünün yazılması ve değişim denkleminin kurulması.

D_n = \frac{n(n-3)}{2}

ve

D_{n+2} = \frac{(n+2)(n+2-3)}{2} = \frac{(n+2)(n-1)}{2}

Köşegen sayısındaki artışı hesaplamak için başlangıç ve son durumdaki formüller gereklidir.

2

Köşegen sayısındaki

15

artışı veren denklemin çözülmesi.

\frac{(n+2)(n-1)}{2} - \frac{n(n-3)}{2} = 15 \Rightarrow \frac{n^2+n-2 - (n^2-3n)}{2} = 15 \Rightarrow \frac{4n-2}{2} = 15 \Rightarrow 2n-1 = 15 \Rightarrow n=8

Çokgenin kaç kenarlı olduğunu bulmak için verilen artış miktarı denklemde yerine konur.

3

8

kenarlı çokgenin (sekizgen) iç açılar toplamı formülünün uygulanması.

İç açılar toplamı

= (n-2) \times 180^{\circ} \Rightarrow (8-2) \times 180^{\circ} = 6 \times 180^{\circ} = 1080^{\circ}

Herhangi bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı kenar sayısına bağlı olan

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Çokgenlerde kenar sayısı, köşegen sayısı ve iç açılar toplamı arasındaki ilişkiler.

İpuçları

1

Kenar sayısı

n

olan bir çokgenin köşegen sayısı formülünü hatırlayın:

D = \frac{n(n-3)}{2}

.

2

Kenar sayısı

n+2

olduğunda köşegen sayısı

\frac{(n+2)(n-1)}{2}

olur. Bu iki değer arasındaki farkın

15

olduğunu kullanarak

n

değerini bulun.

3

2n-1 = 15

denkleminden kenar sayısını

8

bulduktan sonra

(n-2) \times 180

formülü ile iç açılar toplamına ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Aynı çokgenin bir dış açısının ölçüsünü bulmaya yönelik düzgün çokgen sorularını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 424Soru →

Dik kenarlarından birinin uzunluğu $3\sqrt{13}$ cm olan bir dik üçgenin, hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir.

Buna göre, bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

4

2\sqrt{13}

9

13

6\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{13}$

Cevap

Diğer dik kenarın uzunluğu

2\sqrt{13}

cm'dir.

Verilen dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan parçalar arasındaki Öklid bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) ve Pisagor teoremi kullanılarak sonuca ulaşılır. Bilinen kenardan yola çıkılarak önce bir parça (9), sonra Öklid ile diğer parça (4) ve en son diğer dik kenar (

2\sqrt{13}

) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri bir model üzerinde göstererek bilinen dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünü (k) hesapla.

Pisagor teoreminden:

k^2 + 6^2 = (3\sqrt{13})^2 \Rightarrow k^2 + 36 = 117 \Rightarrow k^2 = 81 \Rightarrow k = 9

cm.

Yükseklik dik üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır; bilinen kenarı içeren küçük üçgende Pisagor uygulanır.

2

Öklid (Euclid) bağıntısını kullanarak diğer dik kenarın izdüşümünü (p) bul.

h^2 = p \cdot k \Rightarrow 6^2 = p \cdot 9 \Rightarrow 36 = 9p \Rightarrow p = 4

cm.

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

3

Diğer küçük dik üçgende Pisagor teoremi uygulayarak istenen dik kenarı (c) bul.

c^2 = h^2 + p^2 \Rightarrow c^2 = 6^2 + 4^2 \Rightarrow c^2 = 36 + 16 = 52

. Buradan

c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

cm.

Diğer dik kenar, yükseklik ve bulduğumuz kısa parçadan oluşan dik üçgenin hipotenüsüdür.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları ve Pisagor Teoremi

İpuçları

1

Soruyu çözmek için bir dik üçgen çizin ve hipotenüse ait yüksekliği indirin.

2

Yüksekliğin ayırdığı küçük üçgenlerden birinde Pisagor teoremi uygulayarak taban parçalarından birini bulun.

3

Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) kullanarak diğer taban parçasını bulun, ardından tekrar Pisagor yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu Öklid yan kenar bağıntılarını kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Öklid'in dik kenar bağıntısı (

b^2 = k \cdot a

) kullanılarak önce hipotenüsün tamamı (

a

), sonra diğer dik kenar bulunabilir:

(3\sqrt{13})^2 = k \cdot a

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 425Soru →

İç açılarından üçü dik açı olan bir dışbükey çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri $150^{\circ}$ 'dir. Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

5

6

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 6'dır.

Dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamı her zaman

360^{\circ}

'dir. Soruda 3 iç açının

90^{\circ}

olduğu verilmiştir, bu açıların dış açıları da

90^{\circ}

'dir. Diğer

n-3

adet iç açının

150^{\circ}

olması, bunların dış açılarının

30^{\circ}

olması demektir.

3 \times 90 + (n-3) \times 30 = 360

denklemi çözüldüğünde kenar sayısı 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iç açılardan hareketle bu açılara karşılık gelen dış açıları hesaplayalım.

3 adet dik iç açı (

90^{\circ}

) için dış açılar

180 - 90 = 90^{\circ}

olur. Diğer iç açılar

150^{\circ}

olduğu için bunlara karşılık gelen dış açılar

180 - 150 = 30^{\circ}

olur.

Çokgenlerde bir iç açı ile bir dış açının toplamı

180^{\circ}

'dir.

2

Çokgenin toplam kenar sayısına

n

diyelim ve dış açılar toplamı formülünü (

360^{\circ}

) uygulayalım.

3 \times 90 + (n - 3) \times 30 = 360

Tüm dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamı kenar sayısından bağımsız olarak daima

360^{\circ}

'dir.

3

Oluşturulan denklemi çözerek

n

değerini bulalım.

270 + 30n - 90 = 360 \Rightarrow 180 + 30n = 360 \Rightarrow 30n = 180 \Rightarrow n = 6

Matematiksel sadeleştirme ve denklem çözme adımları kenar sayısını verir.

Anahtar Kavram

Dışbükey Çokgenlerde Dış Açılar Toplamı

İpuçları

1

Çokgen sorularında iç açılar karmaşıksa, dış açılar üzerinden işlem yapmak genellikle daha kolaydır.

2

Tüm dışbükey çokgenlerin dış açılarının toplamı her zaman

360^{\circ}

'dir. Önce her bir açının dış açısını bulun.

3

Kenar sayısına

n

derseniz,

3 \times (180-90) + (n-3) \times (180-150) = 360

denklemini kurmalısınız.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının ölçüleri toplamının 4 katı olan bir çokgenin kenar sayısını bulmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

İç açılar toplamı formülü

(n-2) \times 180

kullanılarak da çözülebilir. Denklem:

3 \times 90 + (n-3) \times 150 = (n-2) \times 180

şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde

270 + 150n - 450 = 180n - 360

elde edilir, buradan

30n = 180

ve

n=6

bulunur.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 426Soru →

Analitik düzlemde köşe noktaları $A(0,0)$ , $B(3,0)$ , $C(3,2)$ ve $D(0,5)$ olan $ABCD$ dik yamuğu veriliyor. Bu düzlemsel bölgenin $x$ -ekseni etrafında $360^\circ$ döndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi kaç $\pi$ birimküptür?

21

29

39

49

63

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Oluşan cismin hacmi

39\pi

birimküptür.

Verilen noktalar çizildiğinde, taban yarıçapı

r_1=5

, tavan yarıçapı

r_2=2

ve yüksekliği

h=3

olan bir kesik koni oluşur. Kesik koni hacim formülü

V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)

kullanılarak

39\pi

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen noktaları koordinat sisteminde işaretleyip şekli analiz et.

A(0,0)

ve

B(3,0)

noktaları

x

-ekseni üzerindedir.

AD

doğru parçası

y

-ekseni üzerinde olup uzunluğu

5

birimdir (

r_1=5

).

BC

doğru parçası

x=3

doğrusu üzerinde olup uzunluğu

2

birimdir (

r_2=2

). Yükseklik

AB

uzunluğudur (

h=3

).

Dönme ekseni (

x

-ekseni) ve cismim boyutlarını belirlemek için gereklidir.

2

Oluşan cismin türünü belirle.

Bir dik yamuğun dik kenarı (

AB

) etrafında döndürülmesiyle 'Kesik Koni' (Frustum) oluşur.

Hangi hacim formülünün kullanılacağını tespit etmek için.

3

Kesik koni hacim formülünü uygula.

V = \frac{\pi \cdot h}{3} (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)

formülünde değerler yerine konulur:

V = \frac{\pi \cdot 3}{3} (5^2 + 5\cdot 2 + 2^2)

.

Hacim hesabı için doğru matematiksel bağıntıyı kullanmak.

4

İşlemleri tamamla.

V = \pi (25 + 10 + 4) = 39\pi

.

Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir dik yamuğun dik kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle kesik koni oluşur. Kesik koni hacmi

V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)

formülü ile veya büyük koniden küçük koninin çıkarılması yöntemiyle bulunur.

İpuçları

1

Verilen noktaları koordinat düzleminde çizerek oluşan şeklin bir 'Kesik Koni' olduğunu fark etmeye çalışın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 427Soru →

$ABCD$ bir ikizkenar yamuk olmak üzere, $[AB] \parallel [DC]$ ve $|AD| = |BC|$ 'dir. Verilen uzunluklara göre $|DC| = 4$ cm, $|AB| = 10$ cm ve $|AD| = 5$ cm'dir.

Buna göre, $ABCD$ ikizkenar yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

21

24

28

35

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

ABCD ikizkenar yamuğunun alanı 28 cm² dir.

İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler, tabanda eş parçalar oluşturur. Taban farkının yarısı (10-4)/2 = 3 cm, dik üçgenin bir kenarıdır. Hipotenüs 5 cm olduğundan, 3-4-5 özel üçgeni gereği yükseklik 4 cm olur. Alan formülü ile (10+4)/2 * 4 = 28 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun yüksekliğini bulmak için üst köşelerden alt tabana dikmeler indirilir.

D ve C köşelerinden [AB] kenarına indirilen dikmelerin ayaklarına H ve K diyelim. |HK| = |DC| = 4 cm olur.

İkizkenar yamukta yükseklik hesabı için dik üçgen oluşturulmalıdır.

2

Oluşan dik üçgenlerin taban kenarlarını hesapla.

Geriye kalan parça |AH| + |KB| = 10 - 4 = 6 cm'dir. İkizkenar yamuk olduğu için |AH| = |KB| = 3 cm olur.

Simetri özelliğinden dolayı kalan taban uzunluğu iki eş parçaya ayrılır.

3

Pisagor bağıntısı ile yüksekliği (h) hesapla.

AHD dik üçgeninde hipotenüs |AD| = 5 cm, dik kenar |AH| = 3 cm'dir. 3-4-5 özel üçgeninden h = |DH| = 4 cm bulunur.

Alan hesabı için yamuğun yüksekliğine ihtiyaç vardır.

4

Yamuğun alan formülünü uygula.

Alan = (Alt Taban + Üst Taban) / 2 * Yükseklik = (10 + 4) / 2 * 4 = 7 * 4 = 28 cm².

Sonucu bulmak için standart yamuk alanı formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

İkizkenar yamuğun alanı hesaplanırken köşelerden dikmeler indirilerek yükseklik bulunur ve (Alt Taban + Üst Taban)/2 * h formülü uygulanır.

Soru 428Soru →

$ABC$ bir üçgendir. $D \in [BC]$ , $E \in [AC]$ ve $F \in [AD]$ noktaları için aşağıda verilen eşitlikler sağlanmaktadır:

3|BD| = 2|DC|

|AE| = |EC|

|AF| = 2|FD|

Buna göre, $\text{Alan}(EFC)$ değerinin $\text{Alan}(ABD)$ değerine oranı kaçtır?

1/4

1/3

1/2

2/3

3/4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/2

Cevap

İstenen oran 1/2'dir.

Üçgende alan sorularında, tepe noktası ortak olan üçgenlerin alanları taban uzunluklarıyla doğru orantılıdır. Öncelikle büyük üçgeni

AD

keseni ile tabanları oranında (

2k/3k

) parçalara ayırdık.

\text{Alan}(ABD) = 2S

ve

\text{Alan}(ADC) = 3S

bulduk. Daha sonra

ADC

üçgenini

F

noktası üzerinden tabanları oranında (

2m/m

) ayırarak

\text{Alan}(FAC) = 2S

elde ettik. Son olarak,

E

noktası kenarortay olduğu için

FAC

üçgeninin alanını ikiye böldük ve

\text{Alan}(EFC) = S

sonucuna ulaştık. İstenen oran

S / 2S = 1/2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oranları parametrik olarak ifade et.

3|BD| = 2|DC| \Rightarrow |BD|=2k, |DC|=3k

.

|AF|=2|FD| \Rightarrow |FD|=m, |AF|=2m

.

Alan dağılımını yapmak için taban uzunlukları arasındaki oranlar belirlenmelidir.

2

AD

doğru parçasını taban kabul eden alanları

ABC

üçgenine paylaştır.

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.

\text{Alan}(ABD) = 2S

ise

\text{Alan}(ADC) = 3S

olur.

ABC

üçgeni

AD

doğrusu ile iki parçaya bölünmüştür ve tabanları

2k

ve

3k

'dır.

3

ADC

üçgeni içindeki

F

noktasına göre alan dağılımı yap.

ADC

üçgeninde

C

köşesi ortak, tabanlar

AD

üzerindedir.

|AF|=2m, |FD|=m

.

\text{Alan}(FAC) = \frac{2}{3} \cdot \text{Alan}(ADC) = \frac{2}{3} \cdot 3S = 2S

.

ADC

üçgeninin alanı taban oranına (2:1) göre

FAC

ve

FDC

üçgenlerine bölünür.

4

FAC

üçgeni içindeki

E

noktasına göre

\text{Alan}(EFC)

'yi bul.

E

noktası

AC

'nin orta noktasıdır (

|AE|=|EC|

). Kenarortay alanı iki eş parçaya böler.

\text{Alan}(EFC) = \frac{1}{2} \cdot \text{Alan}(FAC) = \frac{1}{2} \cdot 2S = S

.

FE

,

FAC

üçgeninin kenarortayıdır.

5

Sonuçları oranla.

\frac{\text{Alan}(EFC)}{\text{Alan}(ABD)} = \frac{S}{2S} = \frac{1}{2}

.

Hesaplanan birim alanlar (S cinsinden) birbirine oranlanır.

Anahtar Kavram

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.

İpuçları

1

Üçgenin alanını hesaplamak için formüle değil, taban uzunlukları ile alan arasındaki ilişkiye odaklanın. Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.

2

Soruyu çözmeye en küçük parçalardan veya belirli bir referans alan (örneğin S) vererek başlayın. Önce

ABC

üçgenini

AD

çizgisiyle ikiye ayırın.

3

|BD|=2k, |DC|=3k

ise

\text{Alan}(ABD)=2S, \text{Alan}(ADC)=3S

diyebilirsiniz. Sonra

3S

alanını

F

ve

E

noktalarına göre parçalara ayırın.

Alternatif Yöntem

Sinüs alan formülü kullanılarak da çözülebilir. Ortak açılara (örneğin C açısı veya A açısı) sahip üçgenlerin alan oranları, açıyı oluşturan kenarların çarpımıyla orantılıdır, ancak taban-alan ilişkisi (yüksekliklerin eşitliği) bu soruda çok daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 429Soru →

$ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. Hipotenüs uzunluğu $|AC| = 10$ cm olduğuna göre, $AB$ kenarının uzunluğu kaç santimetredir?

5

5\sqrt{3}

5\sqrt{2}

10

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu

5

cm'dir.

Geometride

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni en temel özel üçgenlerden biridir. Kural gereği, bu üçgende

30^\circ

'lik açının tam karşısında bulunan dik kenarın uzunluğu, en uzun kenar olan hipotenüsün tam yarısı kadardır. Soruda hipotenüs

|AC| = 10

cm verildiğinden,

30^\circ

'nin karşısındaki

|AB|

kenarı

5

cm olur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılarının belirlenmesi

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

Dik üçgende bir dar açı

30^\circ

ise, diğer dar açı

90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

olur.

2

Özel üçgen kuralının uygulanması

|AB| = \frac{|AC|}{2}

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde,

30^\circ

karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Hesaplama yapılması

|AB| = \frac{10}{2} = 5

cm

Hipotenüs uzunluğu

10

cm olarak verildiği için sonuç

5

cm bulunur.

Anahtar Kavram

30^\circ-60^\circ-90^\circ

Özel Dik Üçgeni

İpuçları

1

Bu bir dik üçgen olduğu için iç açılar toplamından faydalanarak üçüncü açıyı bulun.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde kenarlar arasında

1 : \sqrt{3} : 2

oranı olduğunu hatırlayın.

3

En kısa kenar olan

30^\circ

'nin karşısındaki kenar, hipotenüsün (

90^\circ

karşısındaki kenar) yarısıdır.

Daha Fazla Pratik

Kenarları

3-4-5

olan bir dik üçgenin alanını hesaplayarak dik üçgen bilgilerini pekiştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak

\sin(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}

formülünden

\frac{1}{2} = \frac{|AB|}{10}

eşitliği ile

|AB| = 5

bulunabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 430Soru →

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAC}) = 30^\circ$ dir. $[BC]$ tabanı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları sırasıyla $3$ cm ve $5$ cm'dir. Buna göre, $ABC$ üçgeninin eşit kenarlarından birinin uzunluğu kaç cm'dir?

16

8

8\sqrt{3}

12

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşit kenarlardan birinin uzunluğu 16 cm'dir.

İkizkenar üçgen özelliği gereği, taban üzerindeki

D

noktasından

|AB|

ve

|AC|

kenarlarına çizilen dikmelerin toplamı (

3+5=8

), bu kenarlara ait yüksekliğe eşittir. Tepe açısı

30^\circ

olan bir dik üçgende (yüksekliğin oluşturduğu üçgen),

30^\circ

'nin karşısındaki yükseklik (

8

cm), hipotenüsün (üçgenin kenarı) yarısıdır. Bu durumda kenar

16

cm olur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar üçgen özelliğini uygula.

h = 3 + 5 = 8

cm

İkizkenar üçgende tabandan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı (

DE + DF

), kenara ait yüksekliğe (

h_b

veya

h_c

) eşittir.

2

Yükseklik ile kenar arasındaki ilişkiyi kur.

h = |AC| \cdot \sin(30^\circ)

Bir üçgende yükseklik, hipotenüs (kenar) ile tepe açısının sinüsünün çarpımına eşittir.

3

Kenar uzunluğunu hesapla.

8 = |AC| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |AC| = 16

cm

\sin(30^\circ) = 1/2

değerini yerine koyarak

|AC|

(ve dolayısıyla

|AB|

) uzunluğunu buluruz.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban üzerinden yan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı yan kenara ait yüksekliği verir.

İpuçları

1

İkizkenar üçgende tabandan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ile kenara ait yükseklik arasındaki ilişkiyi hatırlayın.

2

Dikmelerin toplamı 8 cm'dir. Bu 8 cm, yan kenara ait yüksekliğe eşittir.

3

Yüksekliği 8 cm ve tepe açısı 30 derece olan bir dik üçgende yan kenar hipotenüs durumundadır.

Daha Fazla Pratik

Tepe açısı

45^\circ

veya

60^\circ

olan benzer senaryolarla pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 431Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$ noktasıdır. $G$ noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan doğru, $[AB]$ kenarını $D$ , $[AC]$ kenarını ise $E$ noktasında kesmektedir. $B$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[DE]$ doğru parçasını $K$ noktasında kestiğine göre; $|BD| = 4$ cm ve $|BC| = 18$ cm verileri ışığında $|KG|$ uzunluğu kaç santimetredir?

1

2

3

4

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2 santimetredir.

Soru, geometri bilgisini sentezlemeyi gerektirir. İlk olarak,

DE // BC

paralelliği ve

B

açısının açıortayı kullanılarak 'Z kuralı' yardımıyla

\triangle DBK

'nin ikizkenar olduğu ve

|DK|=|BD|=4

cm olduğu bulunur. İkinci olarak,

G

ağırlık merkezi olduğu için tabana paralel çizilen doğru, kenarortayı

2:1

oranında böler (köşeden ağırlık merkezine 2 birim). Bu da

\triangle ADG

ile

\triangle ABM

(M, BC'nin orta noktası) arasında

2/3

benzerlik oranı kurar.

|BM|=9

cm olduğundan,

|DG| = (2/3) \cdot 9 = 6

cm bulunur. Sonuç olarak aradaki fark

|KG| = 6 - 4 = 2

cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Paralellik ve açıortay özelliklerini kullanarak üçgen türünü belirle.

DE // BC

olduğu için Z kuralından

m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{KBC})

olur. Açıortaydan

m(\widehat{DBK}) = m(\widehat{KBC})

olduğundan,

m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{DBK})

bulunur. Bu durumda

DBK

üçgeni ikizkenardır ve

|DK| = |BD| = 4

cm olur.

Sorudaki paralellik ve açıortay bilgisi, gizli bir ikizkenar üçgeni (DBK) ortaya çıkarır.

2

Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak benzerlik oranını belirle.

G

ağırlık merkezi olduğundan,

A

köşesinden gelen kenarortay

G

noktasında 2'ye 1 oranında bölünür. Bu oran, Tales teoremi gereği

ADE

ve

ABC

üçgenleri arasındaki benzerlik oranını

2/3

yapar.

Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır; bu da tabanlara paralel doğrularda 2/3 benzerlik oranı sağlar.

3

DG uzunluğunu hesapla.

A

köşesinden inen kenarortayın

BC

kenarını kestiği noktaya

M

dersek,

|BM| = 18 / 2 = 9

cm olur. Benzerlikten

|DG| / |BM| = 2/3

ise,

|DG| / 9 = 2/3 \Rightarrow |DG| = 6

cm bulunur.

Paralel doğru parçasının uzunluğunu bulmak için temel benzerlik teoremi uygulanır.

4

İstenen KG uzunluğunu bul.

K

noktası

D

ile

G

arasında bir noktadır (çünkü

|DK|=4

ve

|DG|=6

). O halde

|KG| = |DG| - |DK| = 6 - 4 = 2

cm bulunur.

Bulunan parça uzunlukları farkı alınarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende ağırlık merkezi 1:2 oranı, paralel doğrularda Z kuralı ve açıortay ile oluşan ikizkenar üçgen özellikleri.

İpuçları

1

Paralel doğrularda açıortay gördüğünüzde 'Z kuralını' (iç ters açılar) kullanarak gizli bir ikizkenar üçgen arayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 432Soru →

Şekilde birbirine paralel $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $ABC$ üçgeninin $A$ köşesi $d_1$ doğrusu üzerinde, $[BC]$ kenarı ise $d_2$ doğrusu üzerindedir. $d_1$ doğrusu ile $[AB]$ kenarı arasında oluşan dar açının ölçüsü $35^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 65^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

70

80

90

100

115

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

İstenen açının ölçüsü 80 derecedir.

Paralel doğrular arasındaki iç ters açılar (Z kuralı) gereği, üçgenin B köşesindeki iç açı 35 derecedir. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, 35 ve 65 derecelik açıların toplamı olan 100 dereceyi 180'den çıkardığımızda 80 dereceye ulaşırız.

Adım Adım Çözüm

1

Paralellik özelliğini kullanarak üçgenin bir iç açısını belirlemek.

m(\widehat{ABC}) = 35^\circ

d_1 \parallel d_2

olduğu için iç ters açılar (Z kuralı) gereği,

d_1

doğrusu ile

[AB]

kenarı arasındaki açı, üçgenin

B

köşesindeki iç açısına eşittir.

2

Üçgenin iç açılarının toplamını hesaplamak.

m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ

Herhangi bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

3

Bilinen değerleri yerine koyarak bilinmeyen açıyı bulmak.

35^\circ + 65^\circ + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ \Rightarrow 100^\circ + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{BAC}) = 80^\circ

Toplama ve çıkarma işlemleriyle denklem çözülerek hedef açıya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar (Z kuralı) ve üçgenin iç açılar toplamı.

İpuçları

1

Paralel

d_1

ve

d_2

doğruları arasındaki 'Z kuralını' (iç ters açılar) kullanarak

B

köşesindeki açıyı bulmaya çalışın.

2

d_1

doğrusu ile

AB

kenarı arasındaki 35 derecelik açı, üçgenin içindeki

B

açısına (

ABC

) eşittir. Şimdi üçgenin iki açısını biliyorsunuz.

3

Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. 35 ve 65 derecelik açıları toplayıp 180'den çıkararak sonuca ulaşın.

Daha Fazla Pratik

İki iç açının toplamının kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğu kuralını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

A noktasından geçen ve

d_2

doğrusuna paralel üçüncü bir doğru çizerek yöndeş ve iç ters açıları kullanarak da aynı sonucu bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 433Soru →

Bir ABCD dörtgeninde [AC] köşegeni çizilmiştir. Dörtgenin kenar uzunlukları $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm, $|AD| = 5$ cm ve $|DC| = 12$ cm olarak verilmiştir.

$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{ADC}) < 90^\circ$ olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1

2

3

4

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İki şartın kesişimi olan 10 < x < 13 aralığında 2 farklı tam sayı değeri vardır.

Soruda verilen iki farklı üçgen için hem temel üçgen eşitsizliği hem de açı-kenar bağıntıları ayrı ayrı uygulanmalıdır. ABC üçgeninde B açısı geniş olduğu için

x^2 > 6^2+8^2

şartından alt sınır 10 bulunur. ADC üçgeninde D açısı dar olduğu için

x^2 < 5^2+12^2

şartından üst sınır 13 bulunur. Bu iki şartın kesişimi olan

10 < x < 13

aralığında sadece 11 ve 12 tam sayıları yer alır, dolayısıyla cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

|AC| = x

diyelim. Öncelikle ABC üçgeni için üçgen eşitsizliği ve açı şartını inceleyelim.

Üçgen eşitsizliği:

|8-6| < x < 8+6 \Rightarrow 2 < x < 14

. Açı şartı (

B > 90^\circ

):

x^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow x^2 > 100 \Rightarrow x > 10

. Bu iki durumun kesişimi: **

10 < x < 14

**.

Bir üçgende bir açı 90 dereceden büyükse, karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

2

Şimdi ADC üçgeni için üçgen eşitsizliği ve açı şartını inceleyelim.

Üçgen eşitsizliği:

|12-5| < x < 12+5 \Rightarrow 7 < x < 17

. Açı şartı (

D < 90^\circ

):

x^2 < 5^2 + 12^2 \Rightarrow x^2 < 169 \Rightarrow x < 13

. Bu iki durumun kesişimi: **

7 < x < 13

**.

Bir üçgende bir açı 90 dereceden küçükse, karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçüktür.

3

Her iki üçgen için bulunan çözüm aralıklarının kesişimini alalım.

I. Aralık:

10 < x < 14

II. Aralık:

7 < x < 13

Ortak Aralık: **

10 < x < 13

**

x

uzunluğu her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki şartı aynı anda sağlamalıdır.

4

Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip sayalım.

10 ile 13 arasındaki tam sayılar: 11 ve 12'dir. Toplam 2 farklı değer vardır.

Soru bizden kaç farklı tam sayı değeri olduğunu istemektedir.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği ile geniş/dar açı kenar bağıntılarının (Pisagor teoremi genellemesi) birlikte kullanılması.

İpuçları

1

Soruda iki farklı üçgen (ABC ve ADC) ortak bir kenara (AC) sahiptir. Her iki üçgen için ayrı ayrı kısıtlamaları yazmalısınız.

2

Geniş açı (

>90^\circ

) ve dar açı (

<90^\circ

) şartları, Pisagor bağıntısına benzer şekilde (

a^2 = b^2 + c^2

) eşitsizlik olarak yazılır (

a^2 > ...

veya

a^2 < ...

).

3

ABC üçgeninde

x^2 > 6^2 + 8^2

ve ADC üçgeninde

x^2 < 5^2 + 12^2

eşitsizliklerini çözerek ortak aralığı bulun.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 434Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [BC]$ noktası işaretlenmiştir. $|AB| = |AD| = |DC|$ ve $m(\widehat{BAD}) = 40^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{ACB}) = \alpha$ kaç derecedir?

20

30

35

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

İkizkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği ve dış açı özelliğinden hareketle

\alpha = 35^\circ

olarak bulunur.

Verilen

|AD| = |DC|

eşitliğinden

ADC

üçgeninin taban açılarının

\alpha

olduğu görülür. Bu üçgenin

D

köşesindeki dış açısı

2\alpha

olur.

|AB| = |AD|

olduğu için

ABD

üçgeni de ikizkenardır ve taban açıları

2\alpha

'dır.

ABD

üçgeninin iç açılar toplamından

4\alpha + 40 = 180

denklemi kurulur ve

\alpha = 35

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ADC

üçgenindeki ikizkenarlığı kullanmak

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA}) = \alpha

|AD| = |DC|

olduğu için

ADC

bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları birbirine eşittir.

2

Dış açı özelliğini uygulamak

m(\widehat{ADB}) = \alpha + \alpha = 2\alpha

Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir (

ADC

üçgeninde

D

köşesindeki dış açı).

3

ABD

üçgenindeki ikizkenarlığı kullanmak

m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 2\alpha

|AB| = |AD|

olduğu için

ABD

bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir.

4

ABD

üçgeninin iç açılar toplamını yazmak ve çözmek

2\alpha + 2\alpha + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow 4\alpha = 140^\circ \Rightarrow \alpha = 35^\circ

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman

180^\circ

'dir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği ve bir dış açının iki iç açının toplamına eşit olması kuralı.

İpuçları

1

Şekilde iki farklı ikizkenar üçgen olduğunu fark edin ve eşit kenarların karşısındaki açılara aynı ismi verin.

2

ADC

üçgeninin iç açılarını

\alpha

türünden yazdıktan sonra,

D

köşesindeki dış açıyı bulun.

3

ABD

üçgeninin taban açılarının

2\alpha

olduğunu göreceksiniz. Bu üçgenin iç açıları toplamını

180^\circ

yaparak denklemi çözebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgenlerin 'zincirleme' olarak verildiği bu tip sorularda, her zaman en küçük açıdan başlayarak dış açı kuralı ile ilerlemek çözümü kolaylaştırır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 435Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ eşitliği bulunmaktadır. $AC$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $|BC| = |BD| = |DA|$ eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

30

36

45

54

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

İstenen açının ölçüsü 36 derecedir.

Verilen eşitlikler zincirleme bir açı ilişkisi kurmamızı sağlar. Tepe açısına

x

dediğimizde, ikizkenar özelliklerinden ve dış açı kuralından dolayı taban açıları

2x

bulunur. Büyük üçgenin iç açıları toplamı

x + 2x + 2x = 5x = 180^{\circ}

denkleminden

x=36^{\circ}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyen açıyı isimlendir.

m(\widehat{BAC}) = x

olsun.

Soruda istenen tepe açısına değişken atayarak diğer açıları bu değişken cinsinden ifade etmek gerekir.

2

|DA| = |BD|

eşitliğini kullanarak

\triangle ABD

içindeki açıları belirle.

\triangle ABD

ikizkenar olduğundan

m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{BAC}) = x

olur.

İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları eşittir.

3

Dış açı özelliğini kullanarak

m(\widehat{BDC})

açısını bul.

\triangle ABD

için dış açı:

m(\widehat{BDC}) = x + x = 2x

olur.

Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

4

|BD| = |BC|

eşitliğini kullanarak

\triangle BDC

açılarından

\triangle ABC

taban açısına geç.

\triangle BDC

ikizkenar olduğundan

m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BDC}) = 2x

olur. Bu aynı zamanda

\triangle ABC

'nin taban açısıdır (

m(\widehat{ACB}) = 2x

).

Eşit kenarları gören taban açıları eşittir.

5

|AB| = |AC|

eşitliğini kullanarak büyük üçgenin iç açılar toplamını yaz ve denklemi çöz.

\triangle ABC

ikizkenar olduğundan

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x

olur. İç açılar toplamı:

x + 2x + 2x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 36^{\circ}

.

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği ve 'bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır' kuralı.

İpuçları

1

Soruda verilen eşit kenarları kullanarak ikizkenar üçgenleri belirleyin. En küçük açıya

x

diyerek başlayın.

2

m(\widehat{BAC}) = x

olsun.

\triangle ABD

ikizkenar olduğundan

m(\widehat{ABD})

de

x

olur.

D

noktasındaki dış açıyı (

m(\widehat{BDC})

) bu iki açıyı toplayarak bulun.

3

m(\widehat{BDC}) = 2x

bulunduktan sonra,

|BD|=|BC|

eşitliğinden

m(\widehat{ACB}) = 2x

olur.

|AB|=|AC|

olduğundan

m(\widehat{ABC})

de

2x

olmalıdır. Şimdi

\triangle ABC

iç açılarını toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak dış açıortayların kesişimi ile ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Altın üçgen (Golden Triangle) özellikleri biliniyorsa,

36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}

üçgeninin kenar özelliklerinden doğrudan

36^{\circ}

olduğu hatırlanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 436Soru →

Aşağıdaki $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$ köşegendir. $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 90^\circ$ , $|AB| = 5$ cm ve $|BC| = 12$ cm'dir. $ADC$ üçgeninde $|AD| = 8$ cm ve $m(\widehat{ADC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|CD| = x$ 'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen koşulları sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.

Doğru yanıt olan seçenek,

|AC|=13

cm bulunduktan sonra

5 < x < 21

üçgen eşitsizliği ile

x^2 < 105

geniş açı kuralının kesişiminden gelen

5 < x < 10,24

aralığındaki tam sayı adedini (6, 7, 8, 9, 10) doğru ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninde hipotenüs uzunluğunu hesapla.

|AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \Rightarrow |AC| = 13

cm.

İki üçgenin ortak kenarı olan köşegenin uzunluğu, diğer üçgendeki bağıntıları kurmak için gereklidir.

2

ADC

üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygula.

|13 - 8| < x < 13 + 8 \Rightarrow 5 < x < 21

.

Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

3

m(\widehat{ADC}) > 90^\circ

geniş açı koşulunu uygula.

13^2 > 8^2 + x^2 \Rightarrow 169 > 64 + x^2 \Rightarrow x^2 < 105 \Rightarrow x < \sqrt{105} \approx 10,24

.

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

4

Elde edilen eşitsizlikleri birleştirerek

x

değerlerini belirle.

5 < x < 10,24 \Rightarrow x \in \{6, 7, 8, 9, 10\}

.

Hem üçgen eşitsizliği hem de geniş açı kuralı aynı anda sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Geniş Açı Kuralı

Tahmini Süre:2m 30s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap